（基础数学专业论文）dirichlet+l函数在直线re+s1附近的零点密度估计.pdf

河南大学硕士学位论文 摘要 设z 1 ，y 0 ，) ( 为模q 的任意一个特征( 这里q z ) ，令( a ，x ，y ) 表 示一个三( s ，x ) 在区域d ：【q r es 1 ，i i ms i y 】i 内非显然零点的个数， 记( a ，q ，y ) =n ( a ，x ，y ) 这篇论文给出了当q 接近于直线r es = 1 时， l ( s ，) ( ) 函数的零点个数( o ，q ，y ) 在区域d 中明确的上界估计 全文由三章组成： 第一章简要介绍数论的发展状况及研究d i r i c h l e tl 一函数零点密度的重要性，并 且给出一些定义、记号以及本文的重要结论 第二章给出证明重要结论所需要的一些引理，并给出引理的证明 第三章证明了本文的重要结论并给出当q 接近于直线r es = 1 时，n ( a ，q ，y ) 在 区域d 中明确的上界估计值 关键词：特征，d i r i c h l e tl 一函数，零点，零点密度 河南大学硕士学位论文 a b s t r a c t i nt h i sp a p e rw es u p p o s et h a tz 1 ，y 0 f o ra n yd i r i c h l e tc h a r a c t e r ) ( t o t h em o d u l u sgw i t hq z ，l e tg ( a ，x ，耖) d e n o t et h en u m b e ro fz e r o so fl ( 8 ，x ) i nt h er e g i o nd ： qsr es 1 ，i i ms l 可) p u t ( a ，q ，y ) ：= ( q ，x ，y ) i nt h i sp a p e rw eg i v et h ee x p l i c i te s t i m a t i o no fu p p e rb o u n d sf o r ( 口，q ，y ) w h e noi s v e r yn e a rt ot h el i n e r es = 1 t h ew h o l et h e s i sc o n s i s t so ft h r e ec h a p t e r s ： i nt h ef i r s tc h a p t e r ，w ei n t r o d u c eb r i e f l yt h ed e v e l o p m e n to ft h en u m b e rt h e o r y ，a n d t h ei m p o r t a n c eo ft h ez e r o - d e n s i t yo fd i r i c h l e tl f u n c t i o n s w ea l s og i v es o m ed e f i n i t i o n s n o t a t i o n sa n dt h em a i nr e s u l to ft h et h e s i s t h es e c o n dc h a p t e rl i s t ss o m el e m m a sa n dg i v e st h ep r o o f so ft h el e m m a si no r d e r t op r o v et h em a i nr e s u l t c h a p t e rt h r e ep r e s e n t st h ep r o o fo ft h em a i nr e s u l ta n dg i v e st h ee x p l i c i te s t i m a t i o n o f u p p e rb o u n d sf o rg ( a ，q ，y ) w h e nqi sv e r yn e a rt ot h el i n e r es = 1 k e y w o r d s ：c h a r a c t e r ，d i r i c h l e tl - f u n c t i o n ，z e r o ，z e r o - d e n s i t y i i 河南大学硕十学位论文 1 x ，x ( q ) 2 1 有恒等式 i i ( 1 一p 。8 ) = n 叫 p n = l ( 式中的p 取遍所有的素数) 成立，并且由此推出素数有无穷多个两个( 实变数) 解析函 数之间的这个恒等式实际上就是算术基本定理的解析等价形式，这正是e u l e r 恒等式 的重要性之所在随后，d i r i c h l e t 仓l j 立了研究数论问题的两个重要工具：即d i r i c h l e t 特征与d i r i c h l e tl 一函数，奠定了解析数论的基础而伟大的数学家r i e m a n n 却开创 了解析数论的一个新时期，关于不超过z 的素数的个数丌 ) 的研究是素数论的中心 问题，r i e m a n n 在数论中引入复变函数( 函数( d i r i c h l e tl 一函数一种特殊的形式) ， 他对这个函数作了深入的研究，得到了许多重要结果特别足他建立了一个与( 函 数零点有关的表示丌( z ) 的公式，因此研究素数分布问题的关键在于研究( 函数的零 点性质我们知道，很多数论问题可以归结为某类求和函数的估计问题，联系数论 和复变函数论的桥梁足p e r o n 公式，利用p e r o n 公式，就可以将求和函数的估计转变 为求某类复变函数的零点、极点分布情况的估计，而大多数数论问题最终都能归结 为对d i r i c h l e tl - 函数的零点性质的讨论 由于d i r i c h l e tl - 函数所有非显然零点都在0 r es l ( 这里的s 是复数) 范 围内，由r i e m a n n 猜想推测d i r i c h l e tl 一函数所有非显然零点也全在直线r es = 0 5 上，从而国内外的不少学者关于d i r i c h l e tl 一函数在区域d ： o l r e8 1 ，i ，ms i 可) 内零点密度的上界估计问题上做了大量的研究工作，获得了一批可喜 的成果用j v ( a ，x ，y ) 表示一个d i r i c h l e tl 一函数在区域d 内的非显然零点个数， 对于( a ，x ，y ) ，当q 靠近r es = 1 时的上界估计在许多数论问题中是很有用 x ( m o d q ) 】 河南大学硕士学位论文 的本文就足在区域d o h a o e 靠近r es = 1 时，通过把一个算术问题化为分析问题， 然后用分析的方法处理，从而导出算术的结果这样一种思想，再利用m a t h e m a t i c a 数 学软件强大的绘图和计算功能，就可得到较好的关于( q ，x ，y ) 确切的上界估 x ( r a o 由) 计了 1 2定义及记号 为了叙述方便起见，我们首先给出全文最常用的一些符号及基本概念 在全文中，设z 1 ，y 0 ，且 z m a o c x y ，1 0 1 1 ) x 为模q 的任意一个特征，1 q x 再设 口= 1 一壶 这里总假定0 2 6 2 1 3 2 入0 5 用( a ，x ，y ) 表示一个l ( s ，x ) 在区域 d ： o l r es 1 ，l i m8 l y ) 中非显然零点( 以下简称为零a ) f c j 个数( q ，q ，可) 表示模q 所有f l j d i r i c h l e t l 一函数在区域d 内零点的个数，即 ( q ，口，y ) = ( q ，x ，可) x ( m o d 口) 文中用到以下几个函数： 他 加r e 击铷懒) 一等( 吣x ) ) 其中l 盯 1 1 5 ，盯1 ：1 + x _ , g - + 一4 c r 2 ，z 为任意的实数 鼬，2 车酬( 去一面b ) s ( q 1 ，口) = ( 1 0 9 p ) pi 口 ptq l 击)锯仃- 一1 ) 河南人学硕七学位论文 撕) 2 莓( 兄e 而1 一孺1 冗e 去) n ( s ) ：= l ( s ，x ) 1 3本文的主要结果 本文主要研究d i r i c h l e tl 一函数在直线r es = 1 附近，在区域d ： o l r es 1 ，i l msj y ) 内的零点密度的上界估计问题，即给出d i r i c h l e tl 一函 数在直线r es = 1 附近，在区域d 内零点个数( q ，q ，y ) ( 简记作) 明确的上界估 计( 见下述定理) 定理设z 1 ，y 0 ，且z m a x x y ，1 0 1 1 ，x 为模q 的任意一个特征，1 q z 令q = 1 一，这里总假定o 2 6 2 1 3 2 入0 5 而 l o gz ( q ，q ，y ) = f ( q ，x ，y ) x ( r a o d 口) 则给出在区域d ： a r e8 1 ，l i m8 i y ) 内零点的个数n = ( q ，q ，可) 明确 的上界估计( 见下述的表格1 至表格7 ) a 0 2 70 2 8o 3 00 3 1o 3 20 3 30 3 40 3 5 一 j 7 v 7891 0 1 1 1 31 51 7 表格2 l 入 0 3 60 3 70 3 80 3 90 4 00 4 10 4 20 4 3 l 2 02 3 2 8 3 5 4 56 0 8 91 6 2 入0 4 50 4 5 10 4 5 20 4 5 30 4 5 40 4 5 5 一 a 20 3 4 1 00 3 4 0 00 3 3 9 40 3 3 8 00 3 3 7 60 3 3 6 8 j v 3 6 43 8 03 9 64 1 24 3 24 5 2 一 a 0 4 5 60 4 5 70 4 5 80 4 5 90 4 60 4 6 1 一 a 20 3 3 5 00 3 3 4 30 3 3 3 00 3 3 2 0 0 3 3 1 00 3 3 0 0 4 7 24 9 65 2 45 5 25 8 46 2 0 一 3 河南大学硕士学位论文 入0 4 6 20 4 6 30 4 6 40 4 6 50 4 6 60 4 6 7 一 a 20 3 2 9 90 3 2 8 00 3 2 7 0 0 3 2 6 0 0 3 2 5 30 3 2 4 0 j v 6 6 07 0 8 7 5 68 1 6 8 8 89 6 8 一 a 0 4 6 80 4 6 90 4 70 4 7 10 4 7 2 0 4 7 3 一 a 2 0 3 2 3 00 3 2 2 00 3 2 1 00 3 2 0 0 0 3 2 1 90 3 2 1 8 1 0 6 41 1 8 41 3 2 81 5 1 21 7 5 62 0 8 8 一 表格7 入 1 ，函数a 9 - 吖关于 盯 0 也是单调递减的因此，对盯 1 和素数p 而言，由 1 + l + 4 0 r 2l + 、5 仃12 广 t 可得： 芳l _ 一赤= 。厂1 一孺嘉) = 霎去p孺) n = l 万a ( 0 1 - - 0 ) - - 1 p 矿一1怕( p 旷一1 )缅帆 鲁m 1 怕 而 壹n - - - - 1 ( 嘉) 学0 ( 学_ n 一去) = 薹( 刍) 学0 孚n 一去) = 卦一去( 刍) 学) l 1 1 2 两一孺两 111 p 一1 怕p 学一1 5 0 7 8 4 0 0 4 0 9 1 0 2 1 4 3 0 1 4 6 7 1 p l 当p = 2 当p = 3 当p = 5 当p = 7 当p 1 1 河南大学硕士学位论文 故 从而有 又 则 跗，- x l o g q = 莓c b 酬( 六一而b ) 一k 荨- o s p = l _ 1 一面b 莓( 六一去志 l 一心ll o g p 一kil o g p l ( o 7 8 4 一k ) l o g2 + ( o 4 0 9 1 一k ) l o g3 o 4 9 7 7 s ( q ) k l o g g + 0 4 9 7 7 乳) - 0 1l o gq = ；1 1 一面b p l 口 u7 引理 2 1 1 证毕 东( p l l ，一丽1 再1 ( o 7 8 4 一o 1 ) l 0 9 2 + ( o 4 0 9 1 一o 1 ) l 0 9 3 + ( o 2 1 4 3 一o 1 ) l 0 9 5 + ( o 1 4 6 7 0 1 ) l 0 9 7 1 0 8 8 6 s ( q ) o 1 l o g q + 1 0 8 8 6 引理2 2 对p 5 ，有 鼬川，k 昭( 盖) + o 4 9 7 7 证明当p 5 时 ( 2 2 ) p p g 曙 蝌 一、l 0 0 一 一 击 志6 击 河南人学硕+ 学位论文 由【2 1 】可得： 乳t ，g ，幽g ( 丢) + o 7 8 4 - 。g 2 + o 4 吼。9 3 一礼9 6 剑。g ( 蒉) + o 4 啪 引理 2 2 】证毕 引理2 3 设x o 为模g 的主特征，则对1 仃 1 1 5 ，有 ，( 口，o ，x 。) 上a - 1 一o 8 9 7 3 一s ( 口) 证明见【1 ，引理3 引理2 4 对任意的实数t ，当1 o r 1 1 5 时，有 ( 2 3 ) ，( 盯，x 。) 1 由【2 ，1 2 ，( 8 ) 和( 1 1 ) 】，当r es 1 时 1 2 驴壹k = l ( 专一p 上k a l ) 2 驴p ，( 击一品与) = s ( q )( 2 7 ) 峨地五1 一互1 昭丌+ 互1 月e ；( 扣一莓r e 再1 故( 2 6 ) 式中的 一冗e 等( 盯州) + 孺1 兄e 等( a l + i t ) = r e 熹矗一孺1 觑志h ( 1 一去) 崦丌 + 淞；( 半+ 1 ) 一孺1r e ；( 半+ 1 ) ) 一莩觑再去彳+ 孺1 莩觑志 ( 2 8 ) 在( 2 8 ) 式中，由 1 ，( 2 0 ) 知 当m = 1 且t l 时 兄e 云南一孺1r e 志 o 、 曲面 坐偷 河南大学硕士学位论文 特别足对任意的实数t ，有 兄e i 南一孺1 冗e 志r e i 由 1 ，引理1 和引理2 中当m = 1 ，a = 2 时】可得： 淞；( 字+ 1 ) 一去r e ；( 字+ 1 ) ) 0 崦0 6 1 5 1 6 部i t l 1 m ( 2 6 ) ( 2 7 ) ( 2 8 ) 可得 当iti 1 时 ，( 盯，x 。) 冗e 杰一k 1 0 9 r + o 0 6 1 5 + s ( g ) 一z ( 盯，) 当lti 1 时 引理【2 4 证毕 f ( o ，t ，x o ) l o gi t i l o g 丌+ o 3 3 1 6 + s ( q ) 一z ( a ，t ) 引理2 5 设t 为任意的实数，x 为模q 的非主特征，且1 1 ( n ，q 1 ) = l ( 墚掣 ( 万1 箬( 州一 孺1 墚掣) 、5 n 以竹 而， o o n = 1 m ，口) 1 似，q x ) = l ( 2 1 2 ) 几一 “x 一件 巫扩 a 一 掣 m 世一 三端 ，：m er 河南大学硕士学位论文 b 0 ) 表格8 入0 2 70 2 80 2 90 3 00 3 l0 3 2 b =0 7 3 8 60 7 2 6 8 0 7 1 4 80 7 0 2 5 0 6 8 9 90 6 7 7 1 n111111 一 a 51 7 31 7 21 7 11 6 91 6 81 6 7 b =2 0 3 9 82 0 3 3 82 0 2 7 72 0 2 1 72 0 1 5 62 0 0 9 4 礼2 222 22 一 a 23 3 33 3 23 3 1 3 3 3 2 93 2 8 河南大学硕士学位论文 入 0 3 30 3 40 3 50 3 60 3 70 3 8 一 b =0 6 6 4 0 0 6 5 0 50 6 3 6 70 6 2 2 60 6 0 8 00 5 9 3 1 礼111 111 一 a 51 6 61 6 51 6 3 1 6 21 6 l1 6 0 b =2 0 0 3 21 9 9 6 91 9 9 0 7 1 9 8 4 31 9 7 8 01 9 7 1 6 住222222 一 a 23 2 83 2 73 2 63 2 53 2 43 2 3 入 0 3 90 4 00 4 10 4 20 4 30 4 4 b =0 5 7 7 6 0 5 6 1 80 5 4 5 30 5 2 8 40 5 1 0 70 4 9 2 4 n 111 111 一 a 51 5 91 5 71 5 61 5 51 5 41 5 3 b =1 9 6 5 11 9 5 8 61 9 5 2 11 9 4 5 51 9 3 8 91 9 3 2 3 n 222222 a 2 3 2 23 2 13 23 1 93 1 83 1 7 入0 4 50 4 60 4 70 4 80 4 90 5 0 一 b =0 4 7 3 30 4 5 3 30 4 3 2 30 4 1 0 10 3 8 6 50 3 6 1 3 佗l11111 一 a 21 5 l1 51 4 91 4 81 4 71 4 5 b = 1 9 2 5 51 9 1 8 81 9 1 2 01 9 0 5 21 8 9 8 31 8 9 1 3 n 1 ，否nh q i ，o ，( 0 ，1 ) 】知当i t i 1 时， l ( s ，x o ) = e ( s ) 满足( 2 1 4 ) 式所有的零点p = p + i7 都位于直线r es = 去上，而 这些零点都不在区域d 内 引理 2 3 】中的l 盯 1 1 5 ，不妨令 盯= 1 + 毒 ( 2 1 5 ) 1 2 河南大学硕士学位论文 当m = 0 ，g = 1 时，由引理【2 2 】及 砷 舱c 小，篆。r e 焘一学n 仁峋 其中若存在m 个零点心= 成+ t 霄，并且这些零点满足w = ，成三时有： = 去慕 若存在n 个零点乃= 岛+ ，并且这些零点满足岛去时有： 聊，薹m去一学n1 = m 十 。 、。 他 x 。) _ 1 时，由引理【2 5 中( 2 9 ) 式得 ，( 呒，x 1 ) , c l o g ( q lm a x 1 ，i t l ) 一, c l o g7 r + 0 3 9 1 8 一z ( o ，t ，x ) 若 1 ，m = 0 时 f ( o ，t ，x 1 ) k l o g z + o 0 7 7 5 , c k l o g7 r + o 3 9 1 8 5 + 怕n + 入 一 ( 2 1 8 ) + 可竹一万万而i n l o g z 综上所述，对任意的1 q 1 q z ，当m = 0 时( 2 1 8 ) 式总成立 又 ，( 盯，0 ， r o oa ( n ) = 等 x o ( m o d1 ) ) + f ( o ，t ，x 1 ) ( 1 一而t 石) ( 1 恤( 学) ) 。 1 4 河南大学硕士学位论文 由引理 2 3 和( 2 1 8 ) 式得 从而有 故 八吼0 ，x o ( m o al j ) + 八o r ，t ，x 1 ) 1 孑兰1 0 8 9 7 3 + k 1 0 9 z + o 0 7 7 5 n k l o g 7 r + 0 3 9 1 8 + 学n 一茄礼g z 0 ，k = 兰i ￥，由于函 1 个i 上u 数厂( z ) = i ，当 6 ( 入) 时关于 蚓单调不增；则对固定的z 而言，由于a + a a 6 ( 入) ，故右式关于入是单调不减 的函数，于是可取a 所在区间中的最大值，譬如当0 2 7 a o 2 8 时，取入= 0 2 8 而对选定的a 而言，右式关于z 是单调不增的函数，我们可以取z 的最小值1 0 1 1 下边主要足确定零点个数n 与参数b 的关系我们目的是使区域r ： q r es 1 ，当m = l 时 ( 3 1 ) 厂( 盯，y ，x ) n l o g ( q 1m a x 1 ，f 7 f ) ) 一t 屯l o g7 r + 0 3 9 1 8 一z ( o ，y ，x ) 剑o g ( g - m a x 1 1 7 1 ) ) 刊o g a + o 3 9 1 8 一罴 k l o g z k l o g 7 r + 。3 9 1 8 一而l o g z ( 3 2 ) 即对任意的1 q l q z ，当m = 1 时，( 3 2 ) 式总包含( 3 1 ) 式办即对任意 的1 q l q z ，当m = 1 时，总有 和 他 胚k 1 0 9z - - t c l o g7 i - + 0 3 9 1 3 98 一罴 对上式关于函数n ( s ) =兀l ( s ，x ) 在区域d 内的所有零点p = p + i 1 求 x 7 ( m o a q ) 萋他一x ) ( k 1 0 9z - n l o g 刀- + 0 3 9 1 8 一而l o gz ) ( q g y ) ( 3 3 ) ( p ) 、 “。7 要估计( q ，口，y ) 的上界，只要l o gz n l o g7 r + 0 3 9 1 8 一华； 0 o g y ) ( 幽g 丌+ 两l o g z 0 3 9 1 8 一礼g z ) 一他，7 x ) 、7 ( p ) 河南大学硕士学位论文 将上不等式两边同时平方得 m 删) ( 礼g 丌+ 而l o g z 一0 3 9 1 8 - t 呓l o g z ) 2 下求出l f ( o ，y ，x ) 1 2 的上界 ( p ) ，( 正7 ，x ) 1 2 ( p ) 由h f l d e r 不等式 而 驴( 警) ( p ) 、7 2 v 5 7 2 a l 一口 n o 1 一口 1 一 n = l 薹掣( 1 一 人( n ) n 4 ( 1 一 l壹(掣n-：l 、 ( 掣( 1 ) ) 5 ( 等 o o n = l i 他，7 ，x ) 1 2 ( 3 4 ) 而口- 一叮 瓢a - 一口 警( 1 一 n 叮 而a ，一， ( p ) x ( n ) n t 7 2 v 信n o l 一一 ( p ) ) 冗e ( 等) ) 丢r e ( 等) = ) ) ) 5 1 一盯 f 兄e ：一 ( p ) ，x ( n ) 、 而) 2 2 2 ) ) 荟1 驴( 等) 丢冗e ( 警) ( p ) 、， 2 f ( o ，0 ，x o ) ，( 盯，0 ，x o ( m o d1 ) ) 二_ 一0 8 9 7 3 ：l o g z 一0 8 9 7 3 一上a 趔 臼n , - r j j = 1 丽( n ) n 一2 讹 1 8 2 = 睡j = l 警) n n f r t ：0 ：一 j = lk = l 托丽( n ) 礼i ( 一1 k ) 2 ( 3 5 ) 叭叫 警 脚 ，f、 脚 万 骼i 芦 = 河南人学硕十学位论文 这里用表示函数n ( s ) =兀l ( s ，x ) 在区域d 内的所有零点p = p4 - 竹的 ) ( 7 ( m o d q ) 个数( 口，g ，y ) ，用乃= 岛+ i 表示p ，与p 对应的原特征x ( m o dq 1 ) 用x j 表示，则 当j = k 时，( 3 6 ) 式为 烈酬 勋翮 x j 丽( n ) ( 一弧) ( 3 6 ) 。，善n 他，o ， 坳( 11 一0 8 9 7 3 ) x o ) x o ( m o d o ， ，( 盯，o ， 1 ) ) ，一 = ( 1 0 n g z 一0 8 9 7 3 ) n c 3 当j k 时，分两种情况讨论： 1 ) 勋丽炳，由引理 2 5 及m = 0 时z ( o ，t ，) ( ) 0 , - 1 - 得 ，( 盯，一饥，勋丽) l o g ( q 1m a x 1 ，i 一1 1 ) ) 一l o g 7 r4 - 0 3 9 1 8 - z ( a ，一饥，勋丽) 4 - s ( 9 1 ，q ) t 乞l o g ( q 1m a x 1 ，i 一q k l ) 一l o g 4 - 0 3 9 1 8 + k 。g ( 盖) + 。4 9 7 7 n l o g ( 2 q y ) 一k l o g 7 r4 - 0 3 9 1 84 - o 4 9 7 7 k l 。g z k l 。g ( 三) + o 8 8 9 5 = k l o g z4 - 0 8 8 9 5 0 1 2 4 8 1 2 9 4 3 9 k l o g z + o 7 6 4 7( 3 8 ) 赤o警 脚 赤 哪l b 似i 脚 脯 芦 弧 一 竹 盯 八 脚 博 = 盯 八 芦 河南人学硕士学位论文 2 ) 勘丽= x o ，则勋= 觚，由引理 2 4 z tm = 0 可得 f ( o ，一讯，丽) m a x r e ( 盯一1 + ( 一饥) ) 一1 一l o g7 r + 0 0 6 1 5 + s ( q ) 一z ( 盯，一佻) ， t c l o gl 竹一饥i t 呓l o g7 r + 0 3 3 1 6 + s ( q ) 一z ( 盯，一讯) ) m a x i 孑_ 二_ i j ：樯一k l 。g ，r + 。6 1 5 + 。1 l 。g g + 1 。8 8 6 l o g1 一 y k i t 乞l 0 9 7 r + 0 3 3 1 6 + t 呓l o g q l + 0 4 9 7 7 ( 3 9 ) 先看( 3 9 ) 式中的第二项，由引理 2 1 】可得： x l o gl 竹一饥i kl o g7 r + 0 3 3 1 6 + l o g q l + 0 4 9 7 7 g l o g ( 2 y ) 一k l o g 丌+ 0 3 3 1 6 + k l o g q + 0 4 9 7 7 sk l o g ( 2 z ) 一k l o g7 r + 0 3 3 1 6 + 0 4 9 7 7 k l 。g z k l 。g ( 三) + o 3 3 1 6 + 0 4 9 7 7 k l o g z + 0 7 0 4 5 k l o g z + 0 7 6 4 7 显然，第二项所得不等式包含在( 3 8 ) 式中 对于( 3 9 ) 式中的第一项，对应引理【2 6 d pn 1 中的参数b ，我们用6 ( 入) 来表 示由于x j = x 七，故对钆1 情况来说，有 忙啦掣 于是 f _ t 鼍；b 一 + 0 0 6 1 5+ 1 0 8 8 6 t 乞l o g 7 r + o 1l o gq 1 石_ = 可声了1 豸可一 + 两而a l o gz - - 呓1 0 9 丌+ o 0 6 1 5 + 0 1l 。g9 1 + 1 0 8 8 6 ( 五i 丽a + 。1 + 0 8 3 3 8 l 。- g 名0 7 6 4 7 、l 。g 名+ 。7 6 4 7 一 塑查盔堂堡堂垡鲨窒 一 一 _ _ _ - _ _ _ _ _ _ _ 一一一 ( 南+ 。1 + 堡垒铲) - 。g z + 。7 6 4 7 ( 3 1 。) 为使( 3 1 0 ) 式也同样包含在( 3 8 ) 式中，只需要 再a 丽十o 1 + 警1 0 k n 2 + 4 6 2 ( 入) 一 l o g 1 1一 即解不等式 1 7 3 6 6 a 2 一1 0 0 0 0 0 a + 4x1 7 3 6 6 b 2 ( 入) 0 ( 3 1 1 ) 下面对入分段，分别代入( 3 1 1 ) 式中，解得： 口 0 4 0 7 8 0 3 9 3 8 0 3 7 9 9 0 3 6 6 0 0 3 5 2 1 0 3 3 8 3 0 3 2 4 5 0 3 1 0 7 0 2 9 6 9 0 2 8 3 1 0 2 6 9 3 0 2 5 5 7 0 2 4 1 9 0 2 2 8 2 0 2 1 4 5 0 2 0 0 9 0 1 8 5 0 0 1 7 3 6 0 1 6 0 0 当0 2 6 2 1 3 2 入s0 2 7 当o 2 7 入0 2 8 当0 2 8 入0 2 9 当0 2 9 a 0 3 0 当o 3 0 入0 3 1 当0 3 1 a 0 3 2 当0 3 2 a 0 3 3 当o 3 3 入0 3 4 当0 3 4 a 0 3 5 当0 3 5 入0 3 6 当0 3 6 入0 3 7 当0 3 7 入0 3 8 当o 3 8 入o 3 9 当0 3 9 入0 。4 0 当0 4 0 入0 4 1 当0 4 1 入0 4 2 当0 4 2 入0 4 3 当0 4 3 。 均 伊 ， 脚 脚 一2 河南大学硕士学位论文 得0 0 3 7 0 5 0 7 a 0 8 8 4 2 9 3 又因为对应( 3 1 2 ) 中0 2 7 入0 2 8 时，a 0 3 9 3 8 ， 从而得：0 0 3 7 0 5 0 7 a o 3 9 3 8 ，又因为函数 f ( a ) = ( 三一筹) 2 一( 三一面0 8 9 7 3 ) ( k + 可o 7 6 4 7 ) 1 ( a + o 2 8 一紫) 2 一( 三一等) ( k + 紫)一k 一面j l 石一面| l k + 可 在( o 1 ，0 4 ) 区间上关于自变量a 单调递减，故取a m = 0 3 9 3 8 ，代x ( 3 1 3 ) 式可 得n 8 ，其它的依次类推便得到表格l 和表格2 当0 4 3 入0 4 4 时，取入= 0 4 4 ，z = 1 0 1 1 ，此时代入( 3 1 4 ) 式可得0 1 5 5 7 2 2 a 0 5 2 4 5 7 4 ，对应( 3 1 2 ) po 4 3 a 0 4 4 时，口0 1 7 3 6 ，从而得：0 1 5 5 7 2 2 a 0 1 7 3 6 ，故取a 仇口z = o 1 7 3 6 ，代入( 3 1 3 ) 式可得n 4 5 4 同样的方法对0 4 4 入0 4 5 是行不通的，因为当取a = 0 4 5 ，名= 1 0 1 1 ，此时 代入( 3 1 4 ) 式可得o 1 7 4 0 8 6 a 0 4 9 1 1 0 3 ，对应( 3 1 2 ) 中o 4 4 入o 4 5 时，a 0 1 6 0 0 ，取两者交集为空集 计 下面我们用另一种方法给出当0 4 4 业掣 ( 3 1 6 ) 由( 3 1 6 ) 式知要想求( o ，q ，y ) 的上界，只需求出1 的上界即可现对( 3 2 ) 式 关于这1 个零点求和，即 莓他 x ) ( 礼g l o g 丌+ o 3 9 1 8 一而l o g z in 1 ( 3 1 7 ) ( p ) 、 ”。“ 这里对p 求和指的是仅对这1 个零点求和 讨论和( 3 3 ) 式至1 j ( 3 1 3 ) 式的情形一样，唯独不同的是在对应讨论( 3 9 ) 式第一项时， 由于函数，( z ) 2 面i x l ，当h 6 时关于单调 不增；则在= 2 6 时，函数厂( z ) = 粤b 的值达到最大 = h = 1l，lj贝lij 卜一半 。l 卜一半 pl 河南大学硕士学位论文 只要 也即 才有 当0 4 4 a 0 4 5 时，对应的6 ( a ) = 1 9 2 5 5 ，若o 2 1 9 2 5 5 ，则 r e ( a 一1 + i ( 一饥) ) 一1 一k l o g7 r + 0 0 6 1 5 + 0 1l o gq l + 1 0 8 8 6 矿哥哥丢哥州1 0 9 r + 0 0 6 1 5 + 0 1 1 0 9 q 1 + 1 0 8 8 6 孑r f 虿蒜l 。g z k l 。g 丌+ o 0 6 1 5 + 0 1 l 。g q l + 1 0 8 8 6 = ( 再虿著丽扎1 + 0 8 3 1 3 d 9 8 - l 。0 ，7 6 4 7 l 。g z + o 7 6 4 7 ( 匹_ r 曩三毒害车+ o 1 + 0 8 3 。3 。8 9 - l 。0 。7 6 4 7 - 。g z + 。，7 6 4 7 k l o gz + 0 7 6 4 7 山g 石一k l o g7 r + 0 3 9 1 8 一粤 o 。批( 咖丌+ 两l o g z 一0 3 9 1 8 - k l o g z ) 一丢他一x ， 将上不等式两边同时平方 研l o g z ：一0 3 9 1 8 - k l o g z 2 i 丢他 删2 求出i ，( 仃，7 ，x ) 1 2 的上界： ( p ) f 蔷他一划2 ( 警- 0 8 9 7 3 ) 2 m + ( 警- 0 8 9 7 3 ) ( 1 0 9 z + o 榭) ( ；- 1 ) 故当a 2 1 9 2 5 5 ，并且 1 1 一k + k l o g n - 0 3 9 1 8 o a + a l o g z 一 2 5 河南大学硕士学位论文 成立时，有 n a 2 ( k l o g r + 而l o g z 一0 3 9 1 8 - k l o g z ) 2 ( ! o _ 口g z 一0 8 9 7 3 ) 2m + ( 警- 0 8 9 7 3 ) ( 咖z + 0 7 6 4 7 删_ 1 ) 于是可得 m ( 三一鬟) 2 一( 三一面0 8 9 7 3 ) ( k + 面0 7 6 4 7 ) 南一紫) 2 一( 三一面0 8 9 7 3 ) ( k + 可0 7 6 4 7 ) ( 3 1 8 ) ( 3 1 8 ) 式在a 2 1 9 2 5 5 ，同时满足( 3 1 4 ) 条件( 即o 1 7 4 0 8 6 a 0 4 9 1 1 0 3 ) 下成 立，此时( 3 1 4 ) d ? 0 1 7 4 0 8 6 a 0 4 9 1 1 0 3 与( 3 1 8 ) 式中a 2 1 9 2 5 5 的交集仍 是( 3 1 4 ) 中的0 1 7 4 0 8 6 a 0 4 9 1 1 0 3 【注：对于竹2 的情况，0 4 4 a 0 4 8 对应的6 ( 入) 1 9 0 5 2 ，当a 219052时，将口=219052代入丽a+ o 1 + 堕挲铲，有 万：万晏而而+ o 1 + 堕雩竺掣：o 2 3 3 9 4 8 4 8 尤，故下边对a u 在o 4 4 a 万干石曩丽十u l 十 磊可r 2 u s 尤，取f 、迈珂a 征u 4 4 9 1 8 5 1 4 ；于是考察a = 0 3 4 1 时，f ( a ) = 9 1 8 4 7 6 9 1 8 4 7 6 从而可得： 对n 2 的情形，当a 0 4 5 ，a = o 3 4 1 时，( a ) 的值达到最小值，( a ) = 9 1 8 4 7 6 ，即当a = 0 3 4 1 时1 9 1 ，则n 3 6 4 又因对n 1 的情形，当0 4 3 a 0 4 4 时，n 4 5 4 所以对于入0 4 5 的情况，都有n 3 6 4 对于其它a 区间 内关于的上界估计情况可依次类推从而可得表格3 至表格7 参考文献 【1 】k s m c c u r l e y , e x p l i c i t z e r o - f r e e r e g i o n sf o rd i r i c h l e tl - f u n c t i o n s ，j o u r n a lo fn u m b e r t h e o r y , 1 9 ( 1 9 8 4 ) ，7 - 3 2 2 】h d a v e n p o r t ，m u l t i p l i c a t i v en u m b e rt h e o r y ，2 n de d ，s p r i n g e rv e r l a g ，g r a d u a t et e x ti n m a t h v 0 1 ，7 4 ，1 9 8 0 【3 】j r c h e na n dt z w a n g ，o nz e r o - d e n s i t ye s t i m a t eo fl - f u n c t i o n sn e a r 盯= 1 ， n a t s c i ，2 4 ( 4 ) ( 1 9 9 4 ) ，1 - 9 【4 】j b r o s s e ra n dl s c h o e n f e l