（热能工程专业论文）快堆燃料组件抗震分析新的流体附加质量计算方法研究.pdf

华北电力大学硕士学位论文 摘要 浸没在液态钠中的快堆堆芯组件在地震作用下发生振动，可能导致组件结构损 坏或堆芯结构变形，从而影响反应堆结构完整性和安全，流体使该振动表现为强烈 的非线性，因此研究地震引起的流固耦合效应对快堆抗震分析十分重要。本文主要 研究流固耦合问题中附加质量的计算方法，该方法由w e s t e r g a a r d 首先提出，是一种 考虑水体对结构作用的简化动力学计算方法，它将动水压力等效成质量附加在结构 上，质量等效原则自提出在各行业得到广泛应用，但缺乏详细理论推导。本文首先 推导出附加质量公式；接着对单根和两根组件用c a s t e m 在空气和水中进行建模； 最后将频率、碰撞力分别与试验值比较，结果表明计算值和实验值吻合。 关键词：快堆，燃料组件，流固耦合，附加质量 a b s t r a c t f u e la s s e m b l i e so ff b rc o r es u b m e r g e di nt h el i q u i ds o d i u mm a yv i b r a t eu n d e rt h e e a r t h q u a k e ，w h i c hp o s s i b l yl e a d st os t r u c t u r a ld a m a g eo ff u e la s s e m b l yo rs t r u c t u r a l d e f o r m a t i o no ft h ec o r ea n da f f e c t ss t r u c t u r a li n t e g r i t ya n ds a f e t yq u a l i f i c a t i o no ft h e c o r e f l u i d sm a k et h ev i b r a t i o no ft h ea s s e m b l i e st oa p p e a rs e v e r en o n l i n e a r s ot h e s e i s m i c - i n d u c e df l u i d - s t r u c t u r ei n t e r a c t i o ni so fg r e a ti m p o r t a n c et os e i s m i cc a p a b i l i t yo f f b rc o r e t h ec a l c u l a t i o nm e t h o do fa d d e dm a s si sas i m p l i f i e dd y n a m i ca n a l y s i s m e t h o di nf l u i d - s t r u c t u r ei n t e r a c t i o na n dw a sf i r s t l yp r o p o s e db yw e s t e r g a a r d i t c o n s i d e r st h eh y d r o d y n a m i cp r e s s u r eo ft h ew a t e rt ot h es t r u c t u r eb yt h ee q u i v a l e n tf o r m o fm a s s t h o u g ht h ee q u i v a l e n tm a s sp r i n c i p l eh a sb e e ne x t e n s i v e l ya p p l i e di nm a n y f i e l d s ，i ti sl a c ko ft h e o r e t i c a ld e r i v a t i o ni nd e t a i l i nt h i sp a p e ra d d e dm a s sf o r m u l ai s d e d u c e df i r s t l y ；t h e nt h ef o r m u l ai sa p p l i e df o rt h es i n g l e f u e l - a s s e m b l ym o d e la n d t w o f u e l - a s s e m b l ym o d e lb yc a s t e mp r o g r a mi na i ra n dw a t e r ；f i n a l l yt h ef r e q u e n c y a n ds h o c kf o r c ea r ec o m p a r e dw i t he x p e r i m e n t a ld a t u m t h er e s u l t ss h o wt h a tt h em o d e l c a l c u l a t i o nr e s u l t sa g r e ew i t he x p e r i m e n t a lo n e s w a n gw a n h u i ( t h e r m a le n g i n e e r i n g ) d i r e c t e db yp r o f l ud a o g a n g k e yw o r d s ：f b r ，f u e la s s e m b l y ，f l u i d - s t r u c t u r ei n t e r a c t i o n ，a d d e dm a s s 华北电力大学硕士学位论文 摘要 浸没在液态钠中的快堆堆芯组件在地震作用下发生振动，可能导致组件结构损 坏或堆芯结构变形，从而影响反应堆结构完整性和安全，流体使该振动表现为强烈 的非线性，因此研究地震引起的流固耦合效应对快堆抗震分析十分重要。本文主要 研究流固耦合问题中附加质量的计算方法，该方法由w e s t e r g a a r d 首先提出，是一种 考虑水体对结构作用的简化动力学计算方法，它将动水压力等效成质量附加在结构 上，质量等效原则自提出在各行业得到广泛应用，但缺乏详细理论推导。本文首先 推导出附加质量公式；接着对单根和两根组件用c a s t e m 在空气和水中进行建模； 最后将频率、碰撞力分别与试验值比较，结果表明计算值和实验值吻合。 关键词：快堆，燃料组件，流固耦合，附加质量 a b s t r a c t f u e la s s e m b l i e so ff b rc o r es u b m e r g e di nt h el i q u i ds o d i u mm a yv i b r a t eu n d e rt h e e a r t h q u a k e ，w h i c hp o s s i b l yl e a d st os t r u c t u r a ld a m a g eo ff u e la s s e m b l yo rs t r u c t u r a l d e f o r m a t i o no ft h ec o r ea n da f f e c t ss t r u c t u r a li n t e g r i t ya n ds a f e t yq u a l i f i c a t i o no ft h e c o r e f l u i d sm a k et h ev i b r a t i o no ft h ea s s e m b l i e st oa p p e a rs e v e r en o n l i n e a r s ot h e s e i s m i c - i n d u c e df l u i d - s t r u c t u r ei n t e r a c t i o ni so fg r e a ti m p o r t a n c et os e i s m i cc a p a b i l i t yo f f b rc o r e t h ec a l c u l a t i o nm e t h o do fa d d e dm a s si sas i m p l i f i e dd y n a m i ca n a l y s i s m e t h o di nf l u i d - s t r u c t u r ei n t e r a c t i o na n dw a sf i r s t l yp r o p o s e db yw e s t e r g a a r d i t c o n s i d e r st h eh y d r o d y n a m i cp r e s s u r eo ft h ew a t e rt ot h es t r u c t u r eb yt h ee q u i v a l e n tf o r m o fm a s s t h o u g ht h ee q u i v a l e n tm a s sp r i n c i p l eh a sb e e ne x t e n s i v e l ya p p l i e di nm a n y f i e l d s ，i ti sl a c ko ft h e o r e t i c a ld e r i v a t i o ni nd e t a i l i nt h i sp a p e ra d d e dm a s sf o r m u l ai s d e d u c e df i r s t l y ；t h e nt h ef o r m u l ai sa p p l i e df o rt h es i n g l e f u e l - a s s e m b l ym o d e la n d t w o f u e l - a s s e m b l ym o d e lb yc a s t e mp r o g r a mi na i ra n dw a t e r ；f i n a l l yt h ef r e q u e n c y a n ds h o c kf o r c ea r ec o m p a r e dw i t he x p e r i m e n t a ld a t u m t h er e s u l t ss h o wt h a tt h em o d e l c a l c u l a t i o nr e s u l t sa g r e ew i t he x p e r i m e n t a lo n e s w a n gw a n h u i ( t h e r m a le n g i n e e r i n g ) d i r e c t e db yp r o f l ud a o g a n g k e yw o r d s ：f b r ，f u e la s s e m b l y ，f l u i d - s t r u c t u r ei n t e r a c t i o n ，a d d e dm a s s 声明尸f 纠 本人郑重声明：此处所提交的硕士学位论文快堆燃料组件抗震分析新的流体附加 质量计算方法研究，是本人在华北电力大学攻读硕士学位期间，在导师指导下进行的 研究工作和取得的研究成果。据本人所知，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文 中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得华北电力大学或其他教 育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均 已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者签名：勘轰h 期：扣呵5 、2 9 关于学位论文使用授权的说明 本人完全了解华北电力大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保管、 并向有关部门送交学位论文的原件与复印件；学校可以采用影印、缩印或其它复制手 段复制并保存学位论文；学校可允许学位论文被查阅或借阅；学校可以学术交流为 目的，复制赠送和交换学位论文；同意学校可以用不同方式在不同媒体上发表、传播学 位论文的全部或部分内容。 ( 涉密的学位论文在解密后遵守此规定) 作者签名：导师签名： 日期： 华北电力大学硕士学位论文 1 1课题的背景和意义 第一章引言 能源作为国民经济的基础，核能供热是二十世纪八十年代发展起来的一项新技 术，是一种经济、安全、清洁的能源，因而在世界上受到广泛的重视。而快中子反 应堆是核电中的一朵奇葩，由于它具有独特的优点( 快堆的一个重要优点是将热堆 中不能充分利用的铀2 3 8 转化成易裂变燃烧的钚2 3 9 ，从而将铀燃料的利用率从l 2 提高到6 0 - - 7 0 测) ，对等量的天然铀来说，快堆能发出的电约为压水堆 的1 0 0 倍。正是由于这一显著的优越性，近年来有关快堆的研制及其安全性方面的 研究工作一直受到科学界和工程界的高度重视，故世界上很多国家都在积极开发研 究快中子增殖反应堆。 快堆堆芯的抗震分析是快中子增殖反应堆抗震设计的一个关键部分。液态金属 快中子增值反应堆堆本体含有大量的作为冷却剂和传热载体的液态金属钠，燃料组 件浸没在金属钠中，两组件之间间隙非常小，达到几个毫米，当受到地震激励的时 候，各组件相互碰撞，组件发生各种变形，可能导致组件结构损坏或堆芯结构变形， 从而影响反应堆结构完整性和安全性，流体使该振动表现为强烈的非线性，因此研 究地震引起的流固耦合效应对快堆抗震分析十分重要。 在地震作用下应确保系统部件、设备的完整性和安全性，以及反应堆在突发事 件下的紧急停堆能力，而在地震作用下，堆芯中组件和流体之间的相互作用( 流固 耦合问题) 成为确保组件受损的关键。涉及到流固耦合问题理论上经历了从h o u s n e r 的刚性壁理论到柔性壁理论的发展过程，在计算方法上经历了从简化计算、半解析 数值法到大型有限元程序计算的发展过程。但是对于流固耦合理论方面，主要从流 体附加质量和流体附加阻尼两个方面进行考虑。流体附加质量法是w e s t e r g a a r d 首先 提出的，是一种考虑水体对结构作用的简化了的动力学分析计算方法，它是将动水 压力等效成质量附加在结构上，该质量等效原则自从提出以来，被广泛地用于只要 有流体和固体同时存在的许多领域，诸如风作为流体与桥梁和建筑物的相互作用， 近海石油工程中的海洋石油平台，以及核电站燃料池中的燃料组件和流体以及核电 站堆芯中的燃料组件与流体的相互作用等等。但是该方法首次是针对坝体提出来 的，当我们把这个方法用在核电站的燃料组件的振动分析的时候，其实用性以及准 确性还有待近一步商榷。本文就是在这样的背景下尝试提出来的。 流体附加质量的主要计算方法有理论法( 即w e s t e r g a a r d 提出的简化了的附加质 量法一固体排开液体的质量) 和试验法。w e s t e r g a a r d 理论即排开液体的质量过于简 华北电力大学硕士学位论文 化流体和固体的相互作用，而试验法由于其自身存在的局限性而不具有普遍意义。 鉴于此，本文经过严格的数学推导，针对快堆堆芯燃料组件提出了更加精确的新的 流体附加质量计算方法。 1 2 国内外研究现状 就快堆堆芯抗震分析国内外相继做了大量相关的研究，不仅从理论上进行了分 析而且还做了大量的试验。在这方面比较成熟的技术有法国、日本、意大利和美国 笙 寸o 1 2 1 国内研究现状 国内c e f r ( 中国试验快堆) 中国第一座快堆堆芯抗震分析陆续做了不少工作， 如鲁亮做了中国试验快堆堆本体抗震性能试验研究与分析n ，主要做了整个堆本体 抗震性能的研究，而没有涉及到具体堆芯燃料组件的振动特性的分析；李海龙采用 法国有限元程序c a s t e m 做了快堆堆芯抗震模型的研究，仅限于研究燃料组件在 空气中振动的分析，而没有考虑燃料组件在水中的振动分析；文静、陆道纲做了快 堆堆芯水平抗震分析的单组件预分析n 羽，该研究主要采用日本非线性有限元程序 f i n a s ，以国际上快堆堆芯抗震试验为基础，针对中国试验快堆堆芯进行了抗震分 析，主要工作：1 采用变截面和变弯曲惯量的梁模型模拟单根组件；2 采用等效刚 度的弹簧模拟组件下部管脚与管座之间的间隙；3 采用虚拟附加质量法模拟地震情 况下液钠对组件的影响( 国外在这方面主要采用的是试验法。考虑中国试验快堆工 程尚未进行该试验和试验经费昂贵等原因，文静的研究中依然采用虚拟的流体附加 质量法) 。文静研究所取得的成果：完成了c e f r 堆芯组件在空气和液钠中的动态特 性分析；完成了单根组件在刚性墙壁的碰撞分析；还选取了c e f r 堆芯中心区三排 组件完成了o b e 地震激励下的响应分析；最后对假设的数据进行了敏感性分析。国 内就快堆所做的工作是显而易见的，但就快堆中的流固耦合问题仍然有待进一步开 展。 1 2 2 国外研究现状 国外就l m f b r ( 液态金属快中子增殖反应堆) 堆芯抗震分析做了大量的工作， 如法国p h e n i x 快堆n 引、意大利p e c 快堆n 引、和日本m o n j u 快堆n 朝，针对这些快 堆不仅做了理论分析还进行了相关的试验模拟。为了提高堆芯抗震设计，, 1 n c 和 c e a 组织针对p h e n i x 快堆原堆芯做了一项联合试验n 引，该试验主要包括三部分： 1 两根组件；2 三排组件；3 最接近实际的六边形模型。每个模型都做了自由和约 束试验，所有的试验均在a z a l e e 振动台上完成。依据该试验他们还采用有限元程 2 华北电力大学硕士学位论文 序f i n a s 进行了非线性时域响应分析，用有限元程序f i n a s 建立模型进行分析，主 要分以下几部分：1 采用三维弹性梁单元；2 堆芯栅格处的间隙采用等效线性弹簧； 3 采用非线性间隙和弹簧模拟碰撞；4 流固耦合采用附加质量和阻尼( 理论上就两 个同心圆柱体能推导出附加质量n 引，但是针对两根组件和三排堆芯模型从理论上无 法进行附加质量的推导，所以均从试验中测附加质量n 引；组件的阻尼可以分为结构 阻尼和流体附加阻尼，在该模拟过程中没有考虑流体引起的附加阻尼，仅仅考虑结 构阻尼) 。最后试验与模拟分析的结果进行对比分析，计算的碰撞力比试验所得碰 撞力稍微偏高。 法国原子能委员会f r e n c ha t o m i ce n e r g yc o m m i s s i o nf 倒) 就流固耦合问题 的研究已经做了如下工作( 2 0 0 7 年9 月所开的c f a e - c e a 会议) ：固体在流体中的振 动研究h 引。 单管在水中( 在管上施加力) 如图1 - 1 所示 柱体当量直径d ，柱体 高1 - ，振幅x ，周期t ， 速度是x t ，加速度是 x 诧 图1 - 1 单管在水中的流固耦合 对图卜1 的模型分别从理想流体、粘性、耗散和惯性四个方面进行分析，建立 欧拉方程e = 0 ，斯托克斯方程最= 婀，n s 方程e = c p d h v 2 和欧拉 只= p d 2 册。对不同力进行比较，确定雷诺数r ，和k c 。 通过上述图卜1 初步分析之后，进行了如下三个方面的研究： ( 1 )低频率( 由附加质量引起的惯性效应) 就惯性效应主要有以下几方面的研究： 惯性效应基本原理：从流体方程出发，考虑边界条件，如图1 - 2 ( 流固分界 3 华北电力大学硕士学位论文 面) 分析多自由度地震方程。图卜2 流固耦合示意图 错误l 未找到引用源。1 9 7 2 年f r i t z 所做的两个固体组成的环腔流体域研究n 们 固体l ：r l 如图1 - 3 。 图i - 3 环形流体域 该研究结果表明：就一个无限介质的柱体而言，附加质量等于容器取代了的水 的质量；固体l 和固体2 耦合的越剧烈，附加质量越高。 错误1 未找到引用源。固体一容器的耦合，容器内有一固体球，并且振动台和 固体球是连接的，这个容器振动方式有两种：第一，容器在振动台上振动；第二， 容器内放有振动台的振动，然后利用受力分析得出流固耦合的表达式。 综上所述国外就流固耦合的附加质量做了大量的工作，可是针对快堆多根燃料 组件在水中的振动却没有给出一个确定的方法，而本文就是在这个思路的启发下进 行研究，寻找出量化而直接针对快堆的附加质量公式。 ( 2 )高阻尼 耗散引起的高阻尼效应，理想流体方程的局限性是没有考虑耗散，在此依然考 虑单管和管束在水中的情况。用雷诺阻尼考虑阻尼的问题，在本次论文中对于阻尼 没有太多的分析研究，可以作为今后研究的一个方向。 ( 3 )壳体的自由表面( 可压缩流体) 如图1 - 4 。 水 自由表面 图1 - 4 自由表面的容器( 可压缩流体) 4 华北电力大学硕+ 学位论文 图1 - 4 主要计算模型的频率和模型的质量，取流体中壳体的不同的阻尼值和波 速分别进行分析，分析的结果是流体的附加质量是总质量的6 0 h 们。 从上述国内外的研究状况可以看出，国内与国外就流固耦合问题研究的差距比 较大，国内多采用的是数值模拟，而国外不只做了数值模拟而且还做了很多理论分 析，为了弥补国内理论这方面的不足本文提出了自己的一点理论思想和推导过程。 1 3 本课题研究内容及创新 本文的主要内容如下：第一推导出新的流体附加质量计算方法。在推导过程中 采用窄缝的势流函数理论进行分析，主要内容分两部分：( 一) 从流体力学的连续 性方程出发，把流体假设成不可压缩平面无旋流动，建立边界条件，进行求解解出 势流函数，然后利用伯努利方程得到压强的关系式，最后利用流体和固体相互间的 力平衡建立关系式，从而可得流体附加质量；( 二) 对该流体附加质量公式进行模 型讨论，当间隙趋于无穷大时，本次公式计算的结果与w e s t e r g a a r d ( w e s t e r g a a r d 理 论考虑的只是一根燃料组件在一个大容器中的附加质量) 理论计算结果相等，而实 际堆芯是由带有小间隙的上百根燃料组件组成，并且这个间隙非常小，故不能笼统 的采用以前的w e s t e r g a a r d 方法进行计算。第二详细的介绍了有限元理论，并且对几 个比较经典的有限元方法进行了比较和分析。第三以国外已做的s y m p h o n y 试验 数据作为依据，用有限元程序c a s t e m 对单根和两根燃料组件在空气和水中分别进 行非线性分析，所计算的频率和碰撞力分别和国外已做的试验口3 1 数据进行比较，比 较的结果表明本模型计算结果和试验结果吻合得很好，最后得出该方法可行。 本文的创新点如下：第一提出了一种新的计算流体附加质量的方法；第二把这 种新的流体附加质量的方法应用在实际的燃料组件中，进行了单根和两根燃料组件 在空气和水中的模态分析和时程响应分析。 5 华北电力大学硕士学位论文 第二章理论与方法 2 1 有限元方法及c a s t e m 软件介绍 有限元分析( f i n i t ee l e m e n ta n a l y s i s ) 是将一个复杂的结构问题，简化为 _ 个由有限单元组成的离散集合结构，从而用较简单结构代替复杂结构而求解。 有限元的概念早在几个世纪前就已产生并得到了应用。有限元法最初被称为矩 阵近似方法，应用于航空器的结构强度计算，并由于其方便性、实用性和有效性而 引起从事力学研究的科学家的浓厚兴趣。随着计算机技术的快速发展和普及，有限 元方法迅速从结构工程强度分析计算扩展到几乎所有的科学技术领域，是一种实 用、高效的数值分析方法。 有限元离散化的思想早在2 0 世纪4 0 年代就已经提出，但是直到6 0 年代， 国内外几乎同时在不同实践的基础上，用有限元的方法来解决工程、力学问题，并 给出了收敛性的证明和误差估计。1 9 4 3 年c o u r a n t 发表了一篇使用三角形区域的 多项式函数来求解扭转问题的论文，这些工作开创了有限元分析的先河。1 9 6 3 年 b e s s e l i n g , m e l o s h 和j o n e s 等人研究了有限元方法的数学原理。还有学者进一步 研究了加权残值法与有限元方法之间的关系，对于一些尚未确定出能量泛函的复杂 问题，也可以建立起有限元分析的基础方程，这可以将有限元方法的应用领域大大 地扩展。我国的胡海昌于1 9 5 4 年提出了广义变分原理，钱伟长最先研究了拉格朗 日乘子法与广义变分原理之间关系，冯康研究了有限元分析的精度与收敛性的问 题。这些工作不仅吸取了前人提出的一些想法，而且在算法上有新的突破。它们采 取单元分析、整体合成、代数解算等基本的步骤，充分发挥了划分单元在几何上所 具有的灵活性，使有限元的计算程序具备了简单、通用、标准化等优点，特别是对 于那些物理形态、几何形状比较复杂的课题，更能显示出它的优越性。 有限元法的解是一种近似解，但由于大多数实际问题难以得到准确解，而有限 元不仅计算精度高，而且能适应各种复杂形状，因而成为行之有效的工程分析手段。 2 1 1有限元方法基础 任何有限元模拟的第一步都是用一个有限单元的集合离散结构的实际几何形 状，每一个单元代表这个实际结构的一个离散部分。这些单元通过共用节点来连接。 节点和单元的集合称为网格。在一个特定网格中的单元数目称为网格密度。在分析 中，每个节点的位移是有限元软件计算的基本变量。一旦节点位移已知，每个单 元的应力、应变等量就可以容易地求出。 有限元方法计算最基本的两个问题m ：使用隐式方法求解位移；应力波传播 6 华北电力大学硕士学位论文 描述。 1 使用隐式方法求解位移。 这里仅简单介绍有限元思想的基本理论。如图2 - 1 所示的简单例子，一端约束 而另一端加载的桁架。这个分析是求解桁架自由端的位移、桁架中的应力及桁架约 束端的反力。 图2 - 1 桁架问题 在图2 - 1 所示的模型中，将圆杆离散成两个桁架单元，并标出节点和单元编号， 如图2 - 2 所示。 节点a 图2 - 2 桁架问题的离散化模型 图2 3 显示了模型中每个节点的分离图，通常情况，模型中的每个节点将承受 外部载荷p 和内部载荷厶后者是由于节点相连单元的应力引起的。对于一个处于 静平衡状态的模型，每个节点上的合力必须为零，即每个节点上的外部载荷和内部 载荷必须相互平衡。因而对于每个节点可以建立平衡方程，最终求得节点位移，应 力和应变等。 7 华北电力大学硕士学位论文 p a - - - _ 节点a 一兰l 节点b 匠! 卜 节点。 图2 - 3 每个节点的分离图 2 应力波传播描述 这里是从概念上理解应用于动力学算法时应力是如何在模型中传播的。例如图 2 4 所示的应力沿着一个由三个单元结构的杆件模型传播过程。随着时间增量的变 化而研究杆件的各个状态，这里不做详述。 图2 4 自由端作用有集中力的杆件初始状态 2 1 2 研究方法 在此主要概括和讨论适用于抗震分析的几个主要分析方法，包括静力分析和动力分 析。选择研究方法依赖于许多因素，重点考虑因素是结构的预期响应和响应的相关性； 其次考虑的因素包括系统输入的定义( 如响应谱或时程) ；经济方面的因素以及结构的 评价。 1 模态分析法 模态分析法是研究结构动力特性的一种近代方法，是系统辨别方法在工程振动 领域中的应用。模态分析是建立在试验基础上的，采用试验与理论相结合的方法来 处理工程中的振动问题，是现今工业上普遍使用的分析方法。利用这种方法，可以 决定结构的模态特性，计算每阶模态对于给定激励的响应。以适当的方式组合这些 模态响应可以决定整个结构的响应。 8 华北电力大学硕士学位论文 第一步首先要确定模型的结构特性，定义 m 、 k 和 c 是系统的质量矩阵，刚 度矩阵和阻尼矩阵。 多自由度阻尼线性系统受迫振动微分方程是： 【m x ) + c x ) “k 】 x ) = 矿( f ) ) 对于一个系统，假定它的支承受到同样的激励，方程( 2 1 ) 可以写成： ( 2 1 ) 【m 】 工) + 【c 】 x ) “足】 x ) = 1 m 】 ( 2 - 2 ) 矢量口) 和协 分别表示系统相对于地基的位移和加速度。在这里考虑地基激励 是一个平移运动，不考虑旋转。 对于非解耦的运动方程，当受到一个地基激励时，利用响应谱分析时，系统中 所有模态中的主要部分的组合可以近似代表整个结构的实际响应。而对于阻尼系 统，有阻尼的线性系统拥有模态正交的充要条件是线性坐标转换，这样可以对角化 质量矩阵、刚度矩阵和阻尼矩阵。无阻尼自由振动微分方程为： 令 【m 】 x ) “k x ) = 0 x ) = 【】g 其中g = 和洄) ，将方程( 2 4 ) 代入方程( 2 3 ) 得到特征值方程： ( 2 - 3 ) ( 2 - 4 ) ( 【k 】一【哆2 】【m 】) 】 p 衙) = 0 ( 2 5 ) 求解方程( 2 5 ) 得到特征值哆2 ，特征向量扣， ，列向量是矢量枷 。函数 q j 代表广义坐标。方程( 2 4 ) 代入方程( 2 2 ) 得到： 暂) + 【2 岛哆】 口) + 【巧】 g ) = ，) ( 2 - 6 ) 标量彩，和岛分别是阶模态的频率和阻尼。矢量扩) 代表广义力。总之，阻尼 系统没有正交模态，方程( 2 1 ) 的同一化求解得到复杂的模态振型。然而，用一 个近似方法，对于小阻尼系统( 例如模态阻尼不要超过临界值的2 0 ) ，假定正交 9 。 华北电力大学硕士学位论文 化模态是存在的，这等价于在阻尼矩阵的转化中忽略了非对角线项，当这种假定失 效的时候，可以用f o s s 的方法或者直接积分法来分析。 当三维结构受到同时作用的三向地面加速度时，方程( 2 - 6 ) 为： 茸) “2 历哆】艟) + 【印】 g ) = 一 以) 玩一 以) 哆一 兄) 吃 ( 2 - 7 ) ”篇勰烘z ( 2 - 8 ) 矢量 y i ) 包含在1 方向激励的模态参与因子7 1 ，代表j - t h 模态在结构的全部响 应中所占比例。矢量 4 在，方向位移的矢量为l ，其它方向为0 。 方程( 2 - 4 ) 的线性转化，将7 个解耦的微分方程缩减为7 个非解耦的微分方 程，这些方程和单自由度激振有相同的形式。每个响应g ，比例于相同频率的单自由 度系统，广拍模态的比例因子是参与因子n 。 一旦确定了模态响应，结果要转到物理坐标系下。因此，第j 阶模态中节点j 相对于基础的位移、速度和加速度为： x 0 = 口q ， = 固池 毪= 固施 有些时候，需要额外计算离散的节点力，节点位移引起的节点力超过惯性力，因此 后者忽略了阻尼的影响。 2 响应谱法 响应谱法是将动力问题静力化的一种方法，得到的是动力响应的最大值，对于 多自由度系统，必须通过振型分解来求解。其较为合理的叫法应该是“多自由度的 反应谱法 ，但中国建筑抗震规范称作“振型分解反应谱法 。用于核电站地震设 计的地震激励通常用地面响应谱表示，因此，从具体的位移谱乘以给定模态的模态 参与因子可以决定每阶模态的最大位移g 。 矿= 7 j s d j 节点j 的第阶模态的最大位移响应为： 1 0 ( 2 - 9 ) 华北电力大学硕士学位论文 ) f = 固t i q m a x ( 2 1 0 ) 下面的讨论中，位移矿用来表示模态响应，显而易见，模态位移直接决定了 其它物理量，例如力，加速度。响应谱法导致各种模态响应过程中时间相位的损失， 根据一些规则组合模态响应来近似系统的响应，下面讨论四种模态组合规则。 ( 1 ) 绝对值求和法( a 邢乳肋，由于各阶模态的最大响应不能同时发生，这个 规则只考虑响应的最大值。 兄= 俐 1 = 1 ( 2 - 1 1 ) ( 2 ) 平方和开方法( 删，模态响应的平方和开方法是一种广泛使用的模态 响应组合法，也用来表示最有可能发生的响应。 r 。= y r 2 1 ( 2 1 2 ) 1 = 1 ( 3 ) 二次求和法( 叩d ，二次求和法考虑了各阶模态的相关性。 五= 【成厶z 】k ，成相关系数当成= i 时为s r s s ( 2 1 3 ) k = l j = l 以= 厂( 与，成( o ，1 ) 标量国，和乃分别是第阶频率和临界频率。 ( 4 ) 修正平方法和修正开方法，对于表达相近空间模态的另一种方法是修正 平方法和开方法。尽管相近模态是一个较为精确的概念，认为频率在1 0 以内的两 个模态在空间非常接近，对于模态频率在1 0 以内的一组相近模态，可以直接完成 修正。然而，当相近模态频率在1 0 以内，最低的模态频率和最高的模态频率的间 距大于1 0 ，相近模态的定义变的模糊。为了避免这种复杂性，s r s s 法的进一步 修正如下： ，k( 2 - 1 4 ) 从方程( 2 - 1 1 ) 到( 2 - 1 4 ) ，r 代表任意响应( 如位移、速度、加速度、应力、力和 弯矩等) 。从这些方程中获得的标量兄可以是正也可以是负，而没有具体的物理意义。 3 时程法 1 l 蛭 1 _ j墨 尺 。树m m 2+ ，r 。芦 _ _ l = 心 华北电力人学硕士学位论文 时程法是求解动力问题的一种方法，得到的是各时刻结构的动力响应，有振型 叠加法和逐步积分法之分。 对多自由度系统，通过振型分解，可将其分解为若干个广义的单自由度系统， 求解各单自由度系统的时程响应后，通过振型叠加得到多自由度系统的时程响应。 逐步积分法的计算精度，可以通过控制积分节点数来实现。 ( 1 ) 振型叠加法 用振型叠加法计算体系有阻尼强迫振动，其过程与无阻尼类似。 已经解耦的方程( 2 - 7 ) ，在初位移和初速度为0 的条件下，用杜哈梅积分可求 出其解为 刁o ) 求出后，再代入 ( 2 - 1 5 ) 抄) = y 】 刁) ( 2 - 1 6 ) 就可以得到几何坐标( y ( t ) ) ，即质点的动位移。 如果有初始位移和初始速度，则可由式( 2 1 6 ) 的初始条件涉o j 、p o ，推出 式( 2 1 5 ) 的初始条件切) 、妨，( o ) 。 通常频率最低的振型对振动反应的贡献最大，高阶振型的贡献相对较小，因此 在振型叠加法计算动力反应时，不需要包括所有高阶振型，根据规定的计算精度要 求，可舍弃高阶振型的贡献。 ( 2 ) 逐步积分法 另外一种方法是逐步积分法，逐步积分法中的数值解法特别适用于计算大型结 构在冲击荷载或地震作用下的动力响应。这是因为冲击荷载或地震作用的时间很 短，结构的最大动力响应在很短时间内出现，用数值方法可以较快地直接计算出最 大响应，而无需像振型叠加法那样预先花很多的时问计算频率和振型。更重要的是 对于非线性体系，振型叠加法已经不能用，逐步积分法是最为有效的方法。 平均加速度法、线性加速度法、纽马克( n e w m a r k ) 法、威尔逊( w i l s o n - 护) 法、h o u b l t 法、二级近似加速度法等是目前求解运动方程组常用的逐步积分方法， 其中在工程领域用的比较多的有纽马克( n e w m a r k ) 法、威尔逊( w i l s o n - 秒) 法、 1 2 ) j o 甜 吖 一 上 一吩以 一 一 一 o o n n 咖 曩 ” 叶 h 屹 聃 鼽 鹏 他 。一。一 = 畋 心 以 以 一 一 一一七 l l o 玎 华北电力大学硕士学位论文 h o u b t 法等。 对于非线性结构，n e w m a r k 提出一套方法来绘制非弹性响应曲线，这些响应谱 用来近似的表达有弹塑性特性材料的多自由度结构的响应，对于受地震激励的非线 性结构的较精确的分析，推荐使用时程法。 2 1 3 研究方法比较 对于响应谱法、模态法和时程法，从方便性、精确性、分析费用和预测非线性 能力四方面的比较，见表2 1 。 表2 1用于快堆堆芯抗震的程序 分析方法方便性精确性分析费用非线性分析 假如使用非弹性 响应谱，可以用 响应谱法非常方便结果比较精确合理 来求解，但只能 得到近似的结果 方便，要求生成 对于给定的时 模态法程，分析结果是比较昂贵有限的使用 时程响应谱 精确的 对于考虑高频率 方便，要求生成 的响应，要采取 通常用来分析结 时程法 足够小的时间增比较昂贵 时程响应谱构的非线性 量来改善求解稳 定性 2 1 4 组件振动问题的有限元分析 求解地震引起的快堆燃料组件的振动问题属于动态分析，所以在本文中将组件 振动问题简化为一个线性动态分析问题，并用一个动态性质的载荷来代替地震引起 的力加载在燃料组件模型上，利用有限元程序软件c a s t e m 2 0 0 1 对该模型进行模态 分析。 1 有限元中用于燃料组件的单元 c a s t e m 程序中通常用于梁结构的单元体主要有：两节点单元、三节点单元、四节点 单元、六节点的固体三角形单元、八节点的固体四边形单元和八节点的立方体单元等。 1 3 华北电力大学硕士学位论文 由于在本文中所研究的对象是快堆燃料组件六角形棱柱，燃料组件插放在栅板联箱处， 燃料组件和栅板联箱通过球形支承连接，所以简化燃料组件模型为在两点处均铰支，并 选取八节点的立方体单元作为划分组件模型网格的最小单元体。若要模拟在地震过程中 使得组件的振动频率计算值更接近实际，就必须要考虑组件阻尼的影响，这样就需要通 过非线性有限元分析计算才能求得更为精确的频率，划分组件模型网格单元时可建议使 用平面非线性梁单元。但是在该模型中忽略组件流体阻尼的影响，在这里采用线性的有 限元方法来计算，其原因很大成度上是希望能在满足求解精度范围要求的前提下简化计 算的复杂度。 2 燃料组件固有频率和模态 如下图2 - 5 所示的质量弹簧系统。 质量n 图2 - 5 质量弹簧系统 燃料组件固有振动特征方程口1 可以表示为： 噼旧、艄 浯 式中， m 与 k 分别为组件整体质量矩阵和总体刚度矩阵，并且在 k 中包含了组 件的几何刚度矩阵 1 ( 6 ，即在形成组件单元刚度矩阵时考虑了几何刚度的贡献，其几何 刚度除考虑了轴力、弯矩的作用外，还考虑的轴力与弯矩的相互作用；显然这样以来承 受作用力的组件的几何刚度矩阵 1 ( 6 使 k 增大，从而使结构的固有频率加大。 这个质量弹簧系统的固有频率表示为： 厄 国2 、丽 ( 2 - 1 8 ) 实际结构具有不同的固有频率。因此在设计结构时，避免使载荷可能出现的频率过 分接近于固有频率是非常重要的( 引起共振) 。通过考虑非加载结构的动态响应可以确 华北电力大学硕士学位论文 定固有频率。此时运动方程变为： 对于无阻尼系统，i = k x ，因此有： m j + i = 0 坂+ k x = 0 这个方程的解具有如下式( 2 - 2 1 ) 形式： z = 加汹 将此式代入运动方程，得到了特征值问题： 其中五= 国2 。 k = 脚 ( 2 - 1 9 ) ( 2 - 2 0 ) ( 2 - 2 1 ) ( 2 - 2 2 ) 该系统具有 个特征值，其中7 是有限元模型中的自由度数目。记五；是第- ，特征值； 它的平方根国，是结构的第歹阶模态的固有频率，而，是相应的第阶特征向量。特征 向量也就是所谓的模态( 也称为振型) ，因此它是结构以第阶模态振动的变形形状。 在有限元程序c a s t e m 中，应用频率的提取过程确定结构的振型和频率。这个过程 应用起来十分容易，只要指出所需要的振型数目或所关心的频率即可。 3 组件结构模态分析 模态分析主要分四步进行：建模、定义相应的数学物理模型、施加边界条件并求解、 后处理。 第一步：建模，定义点、线( 选定单元体) 。 第二步：定义相应的数学物理模型 1 ) 定义力学模型、弹性体、选择梁单元，各向同性体。 2 ) 定义材料的物理特性，包括弹性惯量、密度、热膨胀系数、阻尼。 1 5 华北电力大学硕十学位论文 3 ) 定义材料的几何特性，包括转动惯量、壁厚、弯曲半径等等。 4 ) 定义边界条件。 第三步：依据物理模型和边界条件对研究体进行计算，并整合结构的计算结果； 第四步：对结果进行分析处理 1 ) 得到特征频率和模态阶数 2 ) 得出位移时程 。 3 ) 得出最大应力 4 关于有限元方法的思考 由于组件的振动，是由多种激励作用，如：地震、外界冲击、或者流体施加的载荷 等所构成的，因而其振动的固有频率是一个由多个因素固有频率的叠加而组成的频率。 我们可以根据这个特点，在实际测试频率和模态时，可以通过采样分析( 法国在这方面 就采用此方法乜町们) 得到多个因素固有频率及模态( 通常取对组件起主要作用的那几 个因素的模态和频率) 。然后通过有限元计算频率和碰撞力与其实际测量值比较即可。 本文所考虑的是一种模态分析的方法，只是基于计算组件振动问题的一个可行的方 法。有限元分析方法是多种的，这就需要我们根据实际情况，选择简单、合理、适用的 方法来求解组件的振动问题。 2 1 5 c a s t e m 软件介绍 c a s t e m 程序是一种通过有限元法与数值流体动力学法进行结构分析的计算机 程序，该程序起初是由法国原子能委员会( 姗的机械技术部( t h ed e p a r t m e n to f m e c h a n i c sa n dt e c h n o l o g y ) 研发，它是在f 语言和f o r t r a n 语言基础上发展起来的 一种汇编语言。此计算程序采用传统的有限元分析方法对所输入的研究对象进行计 算处理。计算模型根据所要计算的研究体的实际情况，由用户进行选择和定义，并 输入计算所需要的材料特性、工况条件、载荷条件等。翻s 矩m 程序具有强大的、灵 活的分析能力，应用于静力学、动力学( 振动，特征值的提取中) 、热和传热问题、 非线性问题( 弹性，塑性以及蠕变性) 、逐步积分的动力学等问题之中，其中该程 序具有强大地分析线弹性问题的能力。该程序的计算过程通常分为如下四个阶段： ( 1 ) 几何模型的选择和建立( 定义点、线、面和体) ； ( 2 ) 定义相应的数学物理模型； 主要包括以下几点： 定义模型的基本物理参量，