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几类l o t k a - v o l t e r r a 型系统的持续性和周期解 摘要 本硕士论文由四章组成，主要讨论了几类l o t k a - v o l t e r r a 型系统的持 续性和周期解 第一章介绍了问题研究的历史背景和该领域的研究现状以及本文的 主要工作 第二章讨论了一类具有扩散和变时滞的非自治捕食与被捕食系统 推广了有关文献的结论 第三章讨论了一类具有周期系数和变时滞的扩散模型 + d 1 ( t ) ( t ) 一z 1 ( t ) ) ， t ) ) ， 的正周期解的存在性和全局渐近稳定性先利用b r o u w e r 不动点原理论证 了正周期解的存在性，然后通过构造l y a p u n o v 函数的方法得出了正周期 解全局渐近稳定的充分条件，扩展了有关文献的结论 第四章讨论了一类具有脉冲和无限时滞的非自治周期系统 y l c t ) a c t ) 一b ( t ) y x ( t ) 一c ( t ) w c t ) ， 龇) 【_ d + m _ t ) 心灿 = f l ( 靖) 一y l ( t ) = “l ( “) ， = 抛( t j ) 一抛( “) = d y 2 ( t k ) ， i + e ( t ) 玑( 吼 t t k ，k = 1 ， t t k ，k = 1 ， 七= 1 ，p ， k = 1 ，p 币 砒 进 啪 改，lr 、， ，z 龇 分 ， f u 啪 院 + 啪 蹦 “ 铡砖z 寺州一拍财 一一一一 ，t 一 o 1 e 一 “扣娟 纪呲瓣 嘞仍嘞 弱哪瑚瑚躲 咖卅咖 汀 “币 垃 训删刊 ：蠡| 心p 0 法 慨础帆 捞 “吩羽 鲢 一 黼 ”旷盼 m 以 佣 、j、， p o 小 a 以现侈 毛 = = q 准 力”卜 缚“睁 z丑f 时 瞄一 俐吲 q 卅一 呲啊慨也删删卜”雠呐哪怕纩m 咆 篡一 旧m a = = 、j、j， 0 p 讥伽 矾昵a ，-_-l_ljili_ii、 湖南师范大学2 0 0 7 届硬士学位论文 的正周期解的存在性，利用重合度理论得到了系统存在正周期解的充分 条件，推广了一些已知的结果 关键词：扩散；时滞；持续性；正周期解；全局渐近稳定性；b r o 。w c r 不动点原理；重合度理论 i i 几类l o t h - v o l t e r r a 型系统的持续性和周期解 i - o ) = 霉1 ( t ) b - o ) 一h ( t ) 霉t o r ( t ) ) 一e l ( t ) l l ( t r o ) ) 1 + d r ( t ) ( 沈( ) 一z t o ) ) 奶o ) = z 2 ( t ) r ( t ) 一p ( t ) z 2 0 一r ) ) 1 + d 2 ( t ) 0 l ( ) 一霉2 0 ) ) ， l 寸0 ) = ( t ) 【一口2 ( t ) + c a ( t ) z t ( t r ( f ) ) 一b 2 ( t ) y ( t r ( t ) ) 】， l 圣l ( t ) = z l ( t ) l a l ( t ) 一b l ( t ) z l ( t f ( t ) ) 一c l ( t ) y ( t r ( t ) ) 1 + d l ( t ) ( z 2 ( t ) 一z 1 0 ) ) ， 圣2 ( t ) = z 2 ( t ) r ( t ) 一p ( t ) z 2 ( t r ( ) ) 】+ 现( ) ( 。1 ( ) 一z 2 ( t ) ) ， 【口( t ) = 口( t ) 【一眈( t ) + 晚( t ) 。l ( t r 0 ) ) 一b 2 ( t ) y ( t r ( t ) ) 】 湖南师范大学2 0 0 7 届硕士学位论文 i m p u l s ea n di n f i n i t ed e l a y i 斫( t ) = 玑( t ) 陋( t ) 一b ( t ) y l ( t ) 一c ( ) 抛( t ) 】，t t k , k = 1 ，p ， 扣) 刊州邶) + 饰“) 玑出+ e 州吼t t 鼬= ”t p ， i a y l ( t k ) = 1 ( t j ) 一讥( “) = e y d t k ) ， 后= 1 ，p ， 【珈( “) = 耽( 吉) 一f 2 ( t k ) = 故址( “) k = 1 ，p b ye m p l o y i n gc o i n c i d e n c ed e g r e et h e o r y , s o m es u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h ee ) d s t t e n c e o f p o s i t i v ep e r i o d i cs o l u t i o n st ot h es y s t e ma r ee s t a b l i s h e d ，w h i c he x t e n ds o m ek n o w n r e s u l t s k e y w o r d s ：d i f f u s i o n ；t i m ed e l a y ；p e r s i s t e n c e ；p o s i t i v ep e r i o d i cs o l u t i o n ；g l o b - a l l ya s y m p t o t i cs t a b i l i t y ；b r o u w e rf i x e dp o i n tt h e o r e m ；c o i n c i d e n c ed e g r e et h e o r y i v 几类l o t k a - v o l t e r r a 型系统的持续性和周期解 湖南师范大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进 行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含 任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出 重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到 本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：席研圩工卯7 年岁月助日 湖南师范大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，研究 生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属湖南师范大学。同意学 校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文 被查阅和借阅。本人授权湖南师范大学可以将本学位论文的全部或部分 内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段 保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后适用本授权书 2 、不保密耐。 ( 请在以上相应方框内打“”) 作者签名 导师签名 考珊 考锹 4 5 日期。柙7 年，月谚日 日期：z 。力年，月谬日 几类l o t k a - v o i t e r r a 型系统的持续性和周期解 第一章绪论 1 1 问题产生的历史背景 常微分方程是一个古老而仍然充满活力的数学分支，其理论不断丰 富发展，与时俱进，如定性理论、稳定性理论、边值问题、特征值问题，振 动性理论以及抽象动力系统等都有丰硕的理论成果随着科技的发展， 常微分方程的应用也日趋广泛，诸如几何学，力学，天文学核物理电 子技术空间技术和星际技术等许多尖端科技领域，以及生物学、人工神 经网络动力学、经济学以及人口理论等领域从1 8 世纪末期以来，常微 分方程已成为物理学、天文学工程技术等许多学科的重要工具之一， 并由此产生了许多新的学科分支，生物数学便是其中之一而以常微分 方程理论为基础的“数学生态学是生物数学各领域中目前发展得最为完 整、最为系统的一个重要分支它所建立的模型和方法，不仅直接推动 着生态学的发展，对生物数学的其它领域，也产生着重要的影响”i t s 从中国徐光启1 5 6 21 6 3 3 用数学方法估算人口的增长，到1 6 6 2 年英 国人j g r a u n t 研究伦敦人口的出生率和死亡率，从1 7 9 8 年神父m a l t h u s 的 人口数学模型到1 9 0 0 年v v o l t e r r a 。应用数学于生物和社会科学的尝试” 的演讲，数学生态学的发展经历了三百多年的漫长道路而生态学的蓬 勃发展，却是上世纪8 0 年代以后的事 在自然界中，有许多现象具有周期性，比如季节的变更，食物的供 给，候鸟的迁徙等同时在时间方面又具有一定的滞后性，如幼虫的成 熟，妊娠期等因此我们可以利用微分方程来构建非自治种群动力系统， 并研究种群的持续生存性，正周期解的存在性和全局渐近稳定性在经 典的微分方程理论中，系统本身的状态是依时间而连续的，但是自然界 的许多实际问题常常受到系统以外的干涉，比如在堵育鱼类时，我们经 1 湖南师范大学2 0 0 7 届硕士学位论文 常会在固定的时间点人为地投放鱼苗或捕获成鱼，这种投放或捕获对鱼 的数量造成一定的影响，我们称这种影响为脉冲效应而描述这种效应 需要研究解不连续的动力系统，我们称这种动力系统为脉冲动力系统 1 2 本文的主要工作 本硕士论文研究了几类l o t k a ，v o l t e r r a 型系统的持续性，正周期解的 存在性和全局渐近稳定性，写成四章第一章为绪论 在第二章，我们讨论了具有扩散和变时滞的非自治捕食与被捕食系 统 的一致持续性，建立了该系统一致持续的充分条件，改进和推广了文【l j l 和文f 2 】的主要结果 在第三章，我们仍然讨论模型 但是模型的所有系数均为周期为u 的连续函数，我们利用b r o u w e r 不动 点原理论证了该模型的正周期解的存在性，然后通过构造l y a p u n o v 函数 的方法讨论了该模型的正周期解的全局渐近稳定性 2 喇 邶机 删吲俐呲 咱慨也喇删嚣 m 喇 嚣一 旧仫 臻僦 一一呲呲 吨慨吨小 q 你一 m 卜m 篙一 小m 嘞 篡一 m 仫m 几类l o t k a - v o l t e r r a 型系统的持续性和周期解 在第四章，我们讨论了一类具有脉冲和无限时滞的非自治周期系统 l 斫( t ) = f 1 ( t ) k ( 一b ( t ) y l c t ) 一c ) 耽( t ) 】， f t k ，k = 1 ，p ， j 班) = 龇) h + 吣一t ) y d s ) & + e 删】i t 舢，枉”一i p ， l 1 ( t k ) = 讥( 砖) 一y 1 ( t k ) = c k y l ( t ) ， k = 1 ，a i 耽( t t ) = 抛( t 者) 一暑2 ( “) = d 阮( “) ， k = 1 ，- ，p 的正周期解的存在性，利用重合度理论，建立了正周期解存在的充分条 件 3 湖南师范大学2 0 0 7 届硬士学位论文 为了行文方便，我们约定： r ：整个实数集 ，e ( 昱i ，飓) ：表示函数，在冠上连续，且函数的值域为勉 ，c 1 ( 见，忍) ：表示函数，在r t 上一阶可导，且函数的值域为尼 另外，如果文中微分不等式成立没有特别指明成立范围，均指对充分 大的t 成立 4 几类l o t k a - v o l t e r r a 型系统的持续性和周期解 第二章具有扩散和变时滞的非自治 捕食与被捕食系统的持续性 2 1 引言 在种群动力学中，时间和空间因素是很重要的，因此研究具有扩散和 时滞的模型是很有意义的由于自然界的物种并非单独存在，它们不断 地为食物资源和空间资源而竞争，竞争的结果往往导致某种群在不同斑 块之间进行迁移，因此出现扩散现象同时，在野生动物保护过程中， 人们也常采用扩散的方法让即将灭绝的种群迁移生存环境或提供避难的 场所，从而达到保护野生动物的目的近年来，具有扩散的种群动力系 统的研究受到生物学界的重视，取得了丰富的结果 1 - l q 如文f 1 】研究了 具有扩散和时滞的捕食与被捕食系统 圣1 0 ) = $ 1 ( t ) 陋i b l x l o r ) 一c l y ( t r ) l + s l ( ：z ：2 ( t ) 一z l ( t ) ) ， e 2 ( t ) = 勋( ) 【r p x 2 ( t r ) 】+ d 2 ( z 1 0 ) 一z 2 ( t ) ) ， 雷( t ) = 可0 ) 【一a 2 + c 2 x 1 ( t r ) 一6 2 0 一r ) l 的持续性文f 2 】研究了具有扩散和时滞的非自治竞争系统 的持续性，其中只有捕食种群变化率的右端含有时滞 本章受文1 1 ，2 l 的启发，我们讨论非自治变时滞系统的持续性其模 型如下： 5 一 汕 ” ， 删肛 仙伊俐姚m删懈蝴删蜊舻舭舻蚓m 训 泓 湖南师范大学2 0 0 7 届硕士学位论文 i 圣- ( ) = z l ( t ) 陋，( t ) 一6 1 0 ) 霉，o r 0 ) ) 一c 1 ( t ) o r ( t ) ) 】+ d ( t ) ( 。2 ( d g l ( t ) ) ， 1 奶( t ) = x z ( t ) r ( t ) 一p ( t ) x 2 ( t r ( t ) ) 】+ d 2 c t ) ( x l ( t ) 一勋( t ) ) ， 【雪( t ) = p ( t ) 【一口2 ( t ) + c 2 ( t ) x x ( t f o ) ) 一6 2 ) 0 一f ( t ) ) 】， ( 2 1 1 ) 其中z ( 母和爹( t ) 分别表示被捕食种群和捕食种群在斑块1 中的密度， 沈( t ) 为被捕食种群在避难的斑块2 中的密度，皿( t ) “= 1 ，2 ) 为种群z 的扩散系数 r ( t ) 为时滞，且连续有界，即3 r 0 ，有0 r ( t ) r 令，= i a f f ( t ) ：彤，严= s u p ( ( t ) ：t 埘，其中，( t ) 为连续有界函数 在系统( 2 1 1 ) 中总是假定啦( t ) ，b t c t ) ，c i ( t ) ，皿( t ) 0 = 1 ，2 ) ，r ( t ) ，p ( t ) 均为严格正 的连续函数，且满足 0 砖皿( t ) o o ，0 6 玩( t ) ， 0 毒s 岛( 力 o o ，0 讲s 觑( t ) d r o o ，i = 1 ，2 0 r 工r ( t ) r 盯 o 。，0 o ( i = 1 1 2 ) ，y o 上讨 论 定义2 1 1 若存在一有界闭域dci n t 霹，使得系统( 2 1 1 ) 具有初值 ( 2 1 2 ) 的每一解z ( t ) 最终进入并停留在区域d 内，则称此系统是一致持 续的 定义2 1 2 1 3 1 设( t ) 是定义在区间 口，+ o 。) ，o r 上的函数，对给定的 常数y ，如果存在序列k 8 ，当竹一+ 且) = 矿，( t ) 旷，t k ，t l = l ，2 ，则称耖关于旷振动，否则称口( 关于矿不振动 6 几类l o t k a - v o l t e r r a 型系统的持续性和周期解 2 2 一些引理 引理2 2 1 ( 比较原理) 令f o ，让) ：丙一r ( n 是( t ，) 平面上的某一区 域，丙是其闭包) 是个连续函数 令y ( f ) ，w ( t ) ：陋o ，t o + d ) 一r ( o 0 ， 勃( t ) i = 0 = d 2 ( t ) z l 0 ，z l 0 ， ”( t ) - - - - y ( o ) 唧m h + ) 州s 叫圳一坼) 小叫s ) ) l d 8 ) 。 显然结论对所有t 0 均成立 引理2 2 3 设系统( 2 1 1 ) 具有初值( 2 1 2 ) 的一个正解为 ( t ) = ( 霉( t ) ， 现( t ) ，j ，( 力) ，则存在个t o ( r 为常数) ，使得当t t 时，有 0 鸩，嵋= m 8 x 管r ，等m 7 ) ， 蟛= 掣静峥嘲r 证明定义( t ) = n 嫩 z ，勋( ) ，计算d + w ( t ) l 仁。1 ) 分两种情况 1 ) 如果z l ( t ) z 2 ( t ) 或z 1 ( t ) = 勋( t ) ，且圣l ( t ) 奶( t ) ，则 即 即 d + w ( t ) = z l ( t ) = x l ( t ) a l ( t ) 一b l ( t ) x l ( t 一下0 ) ) 一c l ( t ) y ( t r 0 ) ) 】 + d l ( t ) ( z 2 ( t ) 一卫1 ( t ) ) 苫1 0 ) 【口l ( t ) 一h ( t ) z - 0 一下( d ) 】 z - ( ) n r 一6 z z 0 一r ( t ) ) 】， ( 2 2 1 ) 孟l ( f ) 1 0 ) n f 一砰x l ( t r ( f ) ) 】( 2 2 2 ) 2 ) 如果z l ( t ) o ，当t 缸+ 2 r 时，有z l o ：) s 辔t ，从而z l ( f ) m 1 同理 有勋( t ) 尬 其次讨论z 。( t ) 关于簪，现( t ) 关于；是非振动的情况，由( 2 2 1 ) ，( 2 2 3 ) 可以导出 ， 。+ c = 血c 兰葛嚣二：葚二：暑： c z 2 z ， l z 2 ( t ) r 肘一矿勋o r ( t ) ) 】 由于我们讨论的解为正解，可得圣l ( t ) n r z t ( t ) ，奶( t ) sr 盯z 2 ( t ) ，在区间 陋一r ( t ) ，胡上对其积分，且由0 r ( t ) r 得到 z l ( t ) e 。r 7 。l o r ( t ) ) ，z 2 ( t ) e r f 勋0 一下( t ) ) ( 2 2 8 ) 将( 2 2 8 ) 变形得到 z 1 0 一r ( t ) ) e 一。r 7 2 1 0 ) ，z 2 0 r 0 ) ) e 1 。7 2 ( d ( 2 2 9 ) 将( 2 2 9 ) 代入( 2 2 7 ) 得 。+ w c = 南c 。 兰暑譬二竺：兰 捌： c z 2 。， 湖南师范大学2 0 0 7 届硕士孝位论文 由( 2 2 1 0 ) 及比较原理知 1 ) 若m a x x 1 ( o ) ，z 2 ( o ) ) m a ，则当t o 时，m 觚 z 1 ( t ) ，现 ) ) 胍 2 ) 若呦x $ - ( o ) ，z 2 ( o ) 尬，令 一口= m a x 舰( 球一6 e 一7 尬) ，舰( r m _ 矿e m 尬) ) ( 。 o ) 考虑下面三种可能 ( a ) w ( 0 ) = 。l ( 0 ) 尬( 霉l ( 0 ) 勋( o ) ) ， ( b ) w ( 0 ) = x 2 ( o ) m a ( z l ( 0 ) m 如果( a ) 成立，则存在 0 ，使得对t i o ，) ，有w ( t ) = f i g l ( t ) m 1 ，可 得d + 矸7 ( z 1 0 ) ，。2 ( t ) ) = 雪1 ( t ) m 1 ，可 得d + 矸7 ( z 1 ( t ) ，z 2 ( t ) ) = 圣2 ( t ) 蚝 或w ( t ) = x 2 ( t ) m ，类似于( a ) ，( b ) 的推导，有d + ( z - ( f ) ，勋( t ) ) = 血( t ) 0 ，当t t i 时，有 w ( t ) = 船扛1 ( t ) ，。2 ( t ) ) 矗( 2 2 1 1 ) 由系统( 2 1 1 ) 的最后一个方程，得 0 ( t ) ( ) 一砖+ d ? 以一6 f 0 一f ( t ) ) 】 ( 2 2 1 2 ) 显然管( 幻关于掣要么是振动的，要么是非振动的对于( t ) y e t 掣振动的情形，类似前面的讨论有毫f o ) 蝎 1 n 几类l o t l 昏v o l t e r r a 型系统的持续性和周期解 如果系统( 2 1 1 ) 的解绯) 关于掣非振动，由于 雪( t ) 冬( c 2 f 尬一砖) ( t ) ， ( 2 2 1 3 ) 在区间陋一r ( 幻，司上对( 2 2 1 3 ) 积分，得 y ( t r ( ) ) v ( c ) e 一傅她一砖卜( 2 2 1 4 ) 将( 2 2 1 4 ) 代入( 2 2 1 2 ) 得 口( t ) - 0 ，使得当t t 2 时，有 竺等声e ( 掣 咖， ( 2 2 1 5 ) 或者 比) m 2 掣e ( 胁一砖p 蟛，且够一砖一皓e 一( 谬胁一砖) r 。若呤 口= 捣 尬一砖一砖e 一掣帆一畸7 尬】， 显然p 0 则口( t ) 乃 时，总有y ( t ) m 2 令t = m a x t 1 + 2 7 t s ，乃，则当t t 时，有 魏，i = 1 ，2 ， u ( t ) 朋i 湖南师范大学2 0 0 7 届顶士学位论文 2 3 一致持续性 在本节的讨论中，m ， “= 1 ，2 ) 均为引理2 2 3 中所定义令 m i = 腼n 生i 产静唧肾够心) r ，；。妒聊p ) ， 钉呓：! ! ! 萼妄笙。暗m 卜蟛一蟛蟛卜， 适当选取m 。，舰，使藉2 m 。 硝，耽 c f f ，蟛 砖m l ， 2 ) o 尬+ 6 f 尬，一 尬，砖m i 以+ 打时，有x l ( ) m 1 同理有x 2 ( t ) 仇1 对于非振动的情形，类似于引理2 2 3 中关于( 2 2 ，1 0 ) 的推导，可以得 到 州蛇黜譬：嘉等芸r 舭酬， 类似引理2 2 3 的讨论，有x d t ) m l ，江1 ，2 由系统( 2 , 1 1 ) 的最后个方程，有 口( t ) ( t ) 瞄”l - 一掣一6 笋o r ( t ) ) 】 类似引理2 2 3 的讨论，有y ( t ) 抛 最后令 d = p l ( ) ，现( t ) ，口o ) ) ：m l 而( t ) 尬，i = 1 ，2 ，m 2 y ( t ) 肘；) 则d 是艘中与边界有正距离的有界闭域由上面的证明知，当t2t 时，系统( 2 i 1 ) 的具有初值( 2 1 2 ) 的正解最终进入并停留在d 中，即系 统( 2 1 i ) 是一致持续的证毕 注若系统( 2 1 i ) 的所有系数均退化为常数，且时滞也变为常数，而 定理的其他条件不变，即为文l i 】中定理3 1 此外，该系统的致持续性 与斑块间的扩散率无关，并且时滞不能太大 1 3 几类l o t k a - v o l t e r r a 型系统的持续性和周期解 第三章具有周期系数和变时滞的扩散模型的正周期解 3 1 引言 在数学生态学中，另一个重要问题是研究扩散模型的周期解本章仍 以模型( 2 1 1 ) 为研究对象，为了讨论的方便，将其记为( 3 1 1 ) ： ， i 圣1 ( t ) = z x ( t ) 【d 1 0 ) 一b l ( t ) x l ( t r ( t ) ) 一c l o ) ”o r ( ) ) l + d 1 0 ) ( 现( t ) 一z l ( t ) ) ， 圣2 ( ) = 勋0 ) 【r ( t ) - p c t ) z 2 ( t 下0 ) ) 】+ d 2 ( t ) ( x 1 ( t ) 一。2 ( t ) ) ， i 口( t ) = y ( t ) 【- a 2 ( t ) + 晚( 句z l o r o ) ) 一b 2 ( t ) y ( t r ( f ) ) 1 ， ( 3 1 1 ) 其中z - ( t ) 和可( t ) 分别表示被捕食种群和捕食种群在斑块1 中的密度， 现( t ) 为被捕食种群在避难的斑块2 中的密度，d i ( t ) “= 1 ，2 ) 为种群z 的 扩散系数r ( t ) 为时滞，且连续有界，即打0 ，有0 r ( ) r 令 f = i n f f ( t ) ：t 研，严= s u p f ( t ) ：t r ) ，其中，( t ) 为连续有界函数此 外，对系统( 3 1 1 ) 我们总是假定啦( t ) ，h i ( t ) ，q ( t ) ，d i ( t ) ( i = 1 ，2 ) ，r ( t ) ，p ( t ) 均为 严格正的，周期为u 的连续函数，且满足 0 砰啦( t ) ，0 b f , 6 ；( t ) s o o ， 0 砖c f ( 亡) o o ，0 讲皿( t ) 掣 o 。，i = 1 ，2 0 一r ( t ) o 。，0 o ) 上讨 论 b r o u w e r 不动点原理设d 是劈中某有界闭凸集，f ：d d 连续， 则f 在d 上必有不动点 本章主要利用b r o u w e r 不动点原理和构造l y a p u n o v 函数的方法，讨论 了系统( 3 1 ，1 ) 的正周期解的存在性和全局渐近稳定性，得出了该系统的 周期解全局渐近稳定的充分条件 3 2 正周期解的存在性 由3 1 知，系统( 3 1 1 ) 的所有系数都是u 周期函数，因此系统( 3 1 1 ) 就是一个周期系统 记周期系统( 3 1 1 ) 具有初值= ( 胡，翘，y o ) 的唯一解为。 x ( t ，x o ) = ( z l ( t ，x o ) ，z 2 ( t ，x o ) ，( t ，弱) ) ，t 0 ， x ( 0 ，x o ) = x o 定义个p o i n c a r e 映射a ：辟一磷 a ( x o ) = x ( u ，x o ) ，磁， 这里，u 为周期系统( 3 1 1 ) 的周期这样，论证系统( 3 1 1 ) 的周期解的 存在性等价于论证映射a 的不动点的存在性 定理3 2 1 如果周期系统( 3 1 1 ) 是一致持续的，那么系统( 3 1 1 ) 至少 存在- - 4 严格正的u 周期解 证明由定理2 , 3 1 知，系统( 3 1 1 ) 在紧域d = ( z l ( t ) ，z 2 ( t ) ，f ( t ) ) ：m l 0 ) 觚，江l ，2 ，1 2 磐( t ) m d 中是一致持续的，且紧域dcj 秕肆是 1 6 几类l o t k a - v o l t e r r a 型系统的持续性和周期解 系统( 3 1 1 ) 的正向不变集同时d 是一个凸紧集，所以a dcd 由解对 初值的连续依赖性知映射a 是连续的，利用b r o u w e r 不动点原理知至少 存在一个不动点x d ，从而x c t ，_ ) 是系统( 3 1 1 ) 的一个严格正的，周 期解证毕 3 3 正周期解的全局渐近稳定性 设( 缸1 c t ) ，牡2 ，口( t ) ) 是系统( 3 1 1 ) 的任意个正解，( x l ( t ) ，现( ) ，y c t ) ) 是 定理( 3 2 1 ) 中所描述的u 周期解如果对t 【o ，+ o o ) 满足全局渐近稳定 是指 2 孽k i 戤0 ) 一蛳( t ) i = o ，i = l ，2 ，0 啐k i r j c t ) 一v ( t ) l = 0 则此周期解是唯一的，且是全局渐近稳定的 b a r b a l e t 引理设，为定义在【o + o 。) 上的非负连续函数若，在 【o ，+ ) 上是可积的，且是一致连续的，则。里，( t ) = o 令 毗。= 醴一胖) 2 t m l0 1 2 = d i n 兰1 ( 1 + 印r m l ) ，口1 3 = 一群( 6 i f t + 1 ) ， 口2 。= 一等( 1 + r 尬) ，n 2 2 = 矿一( ) 。r 尬，铂，= 一， ( 3 3 1 ) 定理3 3 1 若下列条件成立 1 ) 0 , 1 1 0 ，n 篮 0 ， 2 ) a n a - 毖 a , 1 2 a 2 1 ，a z z a 2 2 a 3 3 a 1 3 a 2 2 a 3 1 + q 1 2 0 ”2 1 a 3 3 ， 则系统( 3 1 1 ) 的任一正周期解是全局渐近稳定的 证明设x ( t ) = ( z l ( 力，现( t ) ，口( 力) 是系统( 3 1 1 ) 的一个正的“，周期解， v ( t ) = 似1 ( t ) ，t 2 ( t ) ，口( t ) ) 是系统( 3 1 1 ) 的任意正解，由系统( 3 1 1 ) 的一致持 1 7 湖南师范大学2 0 0 7 届硕士学位论文 续性知存在正常数砜和m ，i = 1 ，2 ，使得对所有的t r c t + 充分大) 有 定义 0 m l 而( t ) m 1 ，i = 1 ，2 ，0 m 2 掣( t ) m 2 ， 0 矿，则 醐器( t ) 瑚) ) o ，i - - 1 ，2 ，3 ) ，使得a 1 1 7 1 + 0 2 1 1 + a 3 l 7 3 = 6 1 o ，d 1 2 ，y l + 啦2 1 曹4 - 口y 3 = 如 0 ，a z 3 7 1 + n 2 3 忱+ a 7 3 = 如 0 定义l y a p u n o v 函数 v ( t ) = 铂( t ) + 7 2 ( t ) + 镌v 3 由( 3 3 1 0 ) ，( 3 3 1 1 ) ，( 3 3 1 2 ) 式可得 d + v ( t ) 一以矿t o ) l z l ( t ) i 一如e m ( o l 勿( t ) i 一6 s ： t o l z s ( t ) i - a l m l l z l ( t ) l 一6 2 m l l z 2 ( t ) l 一6 3 忱l z s ( t ) 1 ( 3 3 1 3 ) 令j = r a i n 6 l m - ，如m “如讹 ，则( 3 3 1 3 ) 式可化为 d + v ( t ) 一j ( 1 盈( t ) l + l 勿( ) j + i z s ( t ) 1 ) 即 卿剑( 磐”酬懈m 1 ) 慨s 均d + y ( 亡) 一6l l 西够) 一瓦( t ) i + j 可 ) 一可( 亡) 1 ) ( 3 3 1 4 ) 佰1 对( 3 3 1 4 ) 两边同时积分得到 y + a 石售吲圳堋旷州蜒州 慨州， 因此 l 夏( 幻一蕊( ”l + i - ( t ) - v ( t ) l l 1 ( t ，+ o o ) 由系统( 3 1 1 ) 的一致持续性知系统( 3 3 。2 ) 和系统( 3 3 3 ) 的解都是有界的， 因此我们得到陬( t ) 一砚( t ) i ， = 1 ，2 ，i - ( t ) 一可( t )