（力学专业论文）抛物面天线反射面形变与应力分析.pdf

国防科学技术大学研究生院硕士学位论文 摘要 天线结构由反射面和支撑反射面的背架结构组成，其中反射面是天线发射和 接收电磁信号的主要构件，其表颟形状的精度直接影响着天线电磁性能的发挥。 本文应用弹性力学中的薄壳理论研究抛物面天线反射面在羚载 乍用下的变形性 质，并针对工程实际中几种常见反射面的边框约束，对不同边框条件下反射面的 位移场和应力场进行了计算和分析，总结了常见边框约束对反射面变形的影响特 点。与以往天线结构力学分析采取数僮计算方法不同的是，本文从解析法酶思路 出发研究天线反射面的力学性质。 分析过程中，将抛物面天线反射面看作抛物面薄壳结构，而将背架结构对反 射面的支撑和约束作用简化为作用于反射面顶点处的中心体支撑和壳边处的边框 约束。在对薄壳麴变形方程进行了由偏微分方程转化为常微分方程、消元、积分 等一系列化简后，整理为以位移法求解反射面变形的基本方程，同时提出了中心 体支撑以及边框约束的边界条件，从而确立了应用解析法研究反射面变形的定解 问题。 计算过程中，提出了一种幂级数方法和一种按照方程中的小参数展开进行求 解的方法用以解决反射面变形方程的求解问题，分别对小阴径和大口径抛物面天 线反射面进行了具体算例的计算，得到了反射面位移场和应力场的解析表达式， 在此基础土对反射瑟的变形性质进行了分折。 考虑到边框约束对反射面变形的影响，对不同边框条件下反射面的变形进行 了求解和比较分析，着重总结了刚性边框和弹性边框对位移场的约束效果，及其 与反射露几俺参数之闻的影响规律。 关键词：抛物面天线反射面薄壳位移场应力场自由边框刚性边框 弹性边框 第i 页 国防科学技术大学研究生院硕士学位论文 a b s t r a c t a n t e n n as t r u c t u r ei sc o m p o s e do fr e f l e c t o ra n da n t e n n af r a m ew h i c hi su s e dt o s u p p o r t t h er e f l e c t o r 。r e f l e c t o ri st h ep r i m a r yc o m p o n e n to fa n t e n n as t r u c t u r et os e n d a n dr e c e i v ee l e c t r o m a g n e t i s ms i g n a l s o 氆es u r f a c e p r e c i s i o no fr e f l e c t o rd i r e c t i n f l u e n c e st h ee l e c t r o m a g n e t i cp e r f o r m a n c eo fa n t e n n a i nt h i sp a p e r ，t h ed e f o r m a t i o n p r o p e r t yo fr e f l e c t o ru n d e rl o a d i n ge f f e c ti sr e s e a r c h e db ye l a s t i c i t yt h e o r yo ft h i ns h e l l 强ed i s p l a c e m e n ta n ds t r e s sf i e l d so fr e f l e c t o r sc o n s t r a i n e db ys e v e r a ld i f f e r e n tt y p e so f e d g ei ne n g i n e e r i n ga r ea n a l y z e da n dc o m p a r e d a n dt h el a wo f e d g ec o n s t r a i n te f f e c to n r e f l e c t o r sd e f o r m a t i o np r o p e r t yi ss u m m a r i z e d d i f f e r e n tf r o mp r e v i o u sm e c h a n i c a l a n a l y s i so fa n t e n n as t r u c t u r e ，t h ed i s p l a c e m e n ta n ds t r e s sf i e l d so fr e f l e c t o r sa r e o b t a i n e db ya n a l y t i cm e t h o di nt h i sp a p e r a ta n a l y z i n ga n t e n n as t r u c t u r e sm e c h a n i c a lp r o p e r t y 。t h er e f l e c t o ri ss e e na sa 也i n s h e l lm o d e l ，a n di t sc o n s t r a i n t sa r es i m p l i f i e da sat o pp o i n ts u p p o r ta n da ne d g e c o n s t r a i n t a f t e rt h es i m p l i f i c a t i o ni n c l u d i n gt h es t e p so fc h a n g i n gp a r t i a ld i f f e r e n t i a l e q u a t i o n si n t oc o n s t a n td i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，e l e m e n te l i m i n a t i o na n di n t e g r a l t h es h e l l d e f o r m a t i o ne q u a t i o ni st u r n e di n t ot h ed i s p l a c e m e n tm e t h o db a s i ce q u a t i o n a n d 也e b o u n d a r yc o n d i t i o no ft o pp o i n ts u p p o r ta n de d g ec o n s t r a i n ti sp r o p o s e d t h u st h e d e f i n i t ep r o b l e mo fr e f l e c t o rd e f o r m a t i o ne q u a t i o ni se s t a b l i s h e d i nc a l c u l a t i o np r o c e s s ，ap o w e rs e r i e sm e t h o da n dam e t h o db a s e do ne x p a n s i o n r e f l e c t o rd e f o r m a t i o ne q u a t i o na c c o r d i n gas m a l lp a r a m e t e ri nt h ee q u a t i o na r eu s e dt o r e s o l v es m a l l d i a m e t e ra n dl a r g e - d i a m e t e rp a r a b o l o i da n t e n n ar e f l e c t o r sd e f o r m a t i o n p r o b l e mr e s p e c t i v e l y o nt h eb a s e do ft h er e s u l to fd i s p l a c e m e n ta n ds t r e s sf i e l d s ，t h e d e f o r m a t i o nc h a r a c t e r i s t i co fr e f l e c t o ri sa n a l y z e dd e t a i l e d l y f o re m b o d y i n gt h ei n f l u e n c eo f e d g ec o n s t r a i n tt or e f l e c t o r sd e f o r m a t i o np r o p e r t y ， t h ed e f o r m a t i o nc h a r a c t e r i s t i c so fr e f l e c t o r sc o n s t r m n e db yf r e ee d g e ，r i g i de d g ea n d e l a s t i ce d g ea r ea l la n a l y z e da n dc o m p a r e di nt h i sp a p e r , w h i c hr i g i de d g ea n de l a s t i c e d g ee f f e c to nr e f l e c t o r sd i s p l a c e m e n tf i e l d s ，a n dt h er e l a t i o nb e t w e e nt h ee f f e c ta n d t h eg e o m e t r i cp a r a m e t e r so fr e f l e c t o ra l es u m m a r i z e de m p h a t i c a l l y k e yw o r d s ：p a r a b o l o i da n t e n n ar e f l e c t o rt h i ns h e l l d i s p l a c e m e n tf i e l d s s t r e s sf i e l d sf r e ee d g e r i g i de d g ee l a s t i ce d g e 第i i 页 因防科学技术大学研究生院硕士学位论文 i i i l l l l l i l l l l l l l l li 1i l l 表目录 表3 1 法向均布载荷作用下自由边框反射面各点位移( x p i e ) 2 1 表3 。2 法向均布载荷作用下自由边挺反射面位移最大值( 爰厂2i ( e t ) ) 。2 4 表3 。3 载祷x = p s i n z ，z = 一p c o s 儋震下皂蠢边框反射面备点位移( x p e 2 7 表3 4 载荷x = p s i n a ，z - - - r p c o s a 作用下自由边框反射面位移最大值( e f 2 ( e t ) ) 。，。，。，。：；o 表3 。5 载蘅x = p s i n 诺，z = - p c o s a 俸溪下剐性边框反射嚣备点位移x p e ) 3 2 表3 6 刚性边框的约束效果。3 5 表4 1 法向均布载荷作用下自由边框反射面各点位移( x p e ) 4 3 表4 2 载荷x = p s i n 球，z = 一p c o s o t 作耀下壹由边挺反射覆各点链移( x p e ) 4 6 表4 3 瓯篇露，4 时刚性边框反射露各熹位移( x p e ) 4 8 表4 4 燃万6 时刚性边框反射面各点位移( x p e ) 5 0 表4 。5 刚性边框的约束效果( 2 ( e t ) ) 5 2 表4 6 法向均布载胬作用下弹性边框反射面各点使移( x p e ) 。5 4 表4 7 嚣n 6 时弹性边框的约束效果5 5 表4 8 篇疗4 时弹性边框的约束效果5 5 表4 。9 甄= ：, r 3 时弹性边框静约束效栗5 5 表4 1 0 载荷x = p s i n a ，z = 一p c o s a 作用下弹性边框反射面各点位移( x p e ) 5 7 第1 i i 页 国防科学技术大学研究生院硕士学位论文 图目录 图2 1抛物面天线反射面模型8 图3 1法向均布载荷作用下自由边框反射面位移变化曲线。2 1 图3 2 法向均布载荷作用下自由边框反射面主要应力变化曲线。2 3 图3 3载荷x = p s i n 口，z = 一p c o s a 作用下自由边框反射面位移变化曲线2 6 图3 4 载荷x = p s i n 口，z = 一p c o s a 作用下自由边框反射面主要应力变化曲线2 9 图3 5 载荷x = p s i n a ，z = 一p c o s c r 作用下刚性边框反射面位移变化曲线3 2 图3 6 载荷x = p s i n t z ，z = 一p c o s a 作用下刚性边框反射面主要应力变化曲线3 5 图4 1法向均布载荷作用下自由边框反射面位移变化曲线4 3 图4 2 法向均布载荷作用下自由边框反射面主要应力变化曲线。4 4 图4 3载荷x = p s i n 口，z = 一p c o s a 作用下自由边框反射面位移变化曲线4 6 图4 4 载荷x = p s i n a ，z = 一p c o s a 作用下自由边框反射面主要应力变化曲线4 7 图4 5= 7 4 时刚性边框反射面位移变化曲线。4 8 图4 6o o = 7 4 时刚性边框反射面主要应力变化曲线4 9 图4 7= 万6 时刚性边框反射面位移变化曲线。5 0 图4 8= 7 l 6 时刚性边框反射面主要应力变化曲线。5 1 图4 9 法向均布载荷作用下弹性边框反射面位移变化曲线。5 4 图4 1 0 法向均布载荷作用下弹性边框反射面主要应力变化曲线5 4 图4 11 载荷x = p s i n a ，z = 一p c o s c t 作用下弹性边框反射面位移变化曲线5 7 图4 1 2 载荷x = p s i n a ，z = 一p c o s o ! 作用下弹性边框反射面主要应力变化曲线5 7 第1 v 页 独创性声明 本人声臻所量交茵学位论文莛我本人在导癖指导下进行的研究工俸及取得 魄研究成果。尽我所知，除了交巾特剃加以标注奢致谢昀地方外，论文中不包含 其他人艺经发表和撰写过酶研究成暴，也不包舍身获褥筐防耩学技术大学或其它 教育机构的学位或证书而使用遗的材料与我一碗工作的同志对奉研究所徽的任 嚣贾麸均已在论文幸箨了鹾确鳆说跷并表示谢意。 学位论文题目：擞趋道丞缉魔趱甄矍变盏廑左金越 学位论文律者签名：囱煎嚣期：2 7 年tt 层? 蓦 学位论文版权使用授权书 本人完全了解豳防科学技米大学有关保留、使用学位论文的规定。本入授权 营黪辩学技术大学露瑷缳蟹并恕西家有关部门或机构遥交论交的复毋佟和电子 文档，允许论文被蠢阕和借阕；可以将学位论交酶全部或部分良客编入有关数据 库避行梭索，可以来耀影印，缩印或扫搓等复铡手段保存、汇缓学位论文。 ( 保密学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文题良 一一巍翅垂丞壅基蕴垂爱塞釜廑走金堑。 一 学位论文律者签名：塑篮 葚期：川年善萝簏毒罗珏 作者指导教师签名：! 查薹耋日期：m 一7 年，月矽日 国防科学技术大学研究生院硕士学位论文 第一章绪论 1 1 课题研究的背景和意义 自从人类进入信息时代以来，电子通讯技术不断发展。作为电子通讯的基本 工具，天线更是在工程实际中得到广泛的应用。从地面到太空，从军事领域到民 用领域，无处不活跃着天线的身影。譬如在航天领域内，卫星信号的发射和传送， 航天器的通讯等都离不开星载天线的工作。 天线的作用是发射和接收电磁信号，其电性能的工作精度主要取决于天线反 射面表面形状的精度。然而天线总是在露天环境下工作，必然会受到各种各样环 境载荷的作用( 如风载荷作用，物体的打击作用，对于星载天线而言，还将受到 环境温度的改变叫3 1 以及太阳光压h 1 的影响等) 。作用在天线上的载荷将会使天线 的反射面及其它部件产生不同程度的变形而使反射面偏离预先设计的形状，当这 种变形达到一定的程度时，就会使天线电磁波反射散乱，指向误差增大，方向图 产生畸变，从而降低天线按预期目标正确执行任务的能力。天线处于正常工作状 态时，对反射面变形精度的要求是相当苛刻的。特别是对于大型高精度毫米波段 的天线，如大型卫星通讯中继站、大型天文射电望远镜等，通常要求整个天线反 射面形变的均方根值不得超过其最短工作波长的1 1 6 1 3 2 哺1 。以最短工作波长 l m m 计算，则其反射面形变的均方根不能超过0 0 3 1 2 5 0 0 6 2 5 m m 。另一方面，载 荷的作用除了使反射面产生变形位移以外，还会使天线的反射面及其它结构内部 产生相应的应力，当内应力过大的时候也有可能使天线结构遭到破坏而无法正常 工作。因此天线结构的设计不同于一般的工程设计，当天线处于正常工作状态时， 天线结构的机械性能必须要同时满足以下两个要求嘲： 1 ) 天线结构在载荷作用下结构变形应能满足电性能的指标要求； 2 ) 天线结构在载荷作用下保证不破坏。 为使这两方面的要求得到满足，天线结构必须具有足够的刚度和强度，与之 直接相关的是天线反射面在外载作用下产生变形的位移场和应力场的性质。由此 可见，对天线结构的力学性质，特别是对天线反射面在外载作用下的变形特性的 研究，具有一定的工程实际应用价值。 随着人类对宇宙探索的不断深入，超大型、高清晰度的航天器成为不可缺少 的工具盯1 ，大口径和高精度的星载天线应用而生。在这一方面，国外已进行了大量 的理论研究和实际应用的发展，而我国尚处于初步阶段，有待于进一步的深入研 究。 随着应用领域拓宽到航空领域，工作环境的变化促使天线结构的类型也日趋 第l 页 国防科学技术大学研究生院硕七学位论文 复杂多样。文献 8 、9 对星载天线结构的现状和发展趋势进行了较为详细的叙述。 对于星载天线而言，一方面，外载作用的类型较为复杂，需要考虑温度的变化、 太阳光压等在反射面上产生的变形位移和应力；另一方面，天线结构自身也出现 了很多变化。考虑受到有效仓载容积的限制，星载天线大多设计成可展开式结构， 制作反射面的材料不再局限于刚性实体材料，同时为了降低发射成本，天线结构 的重量必须尽量减轻，因此依靠增加反射面材料的刚性和厚度来提高精度的方法 受到了较大的限制，于是工程实际中产生了一些新的手段和方法来改善反射面的 力学性能。例如，在反射面的边缘处加上某一类型的边框约束就是其中较为可行 的一种。除自由边框外，根据实际情况的需要，通常采用的边框有刚性边框、弹 性边框等m 1 。 天线结构的这些发展变化促使我们在对天线结构进行力学分析时必须全面的 考虑到新的影响因素，从总体上分析和比较不同结构类型的天线反射面的力学性 质和变形特性，以便于工程实际中采取合适的结构类型和适当的改善措施。 在经济飞速发展，国防科技突飞猛进的当今中国，天线无论是在军事领域还 是在民用领域都大有用武之地。目前，研制大口径和高精度的抛物面天线的需求， 对天线结构的力学性能提出了更高的要求。在这样的背景下，选择抛物面天线反 射面对其变形性质进行研究和分析，无论是在结构力学分析的研究方法上，还是 在工程实际的参考价值上，都不失为一项有意义的课题。 1 2 天线结构设计和力学分析及其相关理论的研究发展历史和现状 天线结构优化设计的理论最早可以追溯到1 9 6 7 年，h o e n e r 提出了天线结构 保型设计的思想。其后，早期的关于天线结构设计的研究比较有代表性的有，f a g e r 和g a r r i o t t 于1 9 6 9 年提出了大口径可展开天线的概念n 别，l e v y n 剐较早地将计算机 辅助方法应用于大型天线结构的分析之中。此后，国内外大批研究者在这一领域 进行了很多的研究，他们的工作有大量文献可以参考n 卜1 8 1 ，然而这段时期的优化结 果付诸于工程应用的很少。其原因有两个：1 ) 优化模型不合理；2 ) 设计载荷工况 的单一性。由于没有考虑到天线所受载荷的随机性和天线多工况的工作环境，优 化过程中降低了结构的安全性和通用型，从而导致了工程上不宜采用。针对上述 关于天线结构设计的两个问题，陈建军等对天线结构进行了反射面精度与结构体系 的可靠性分析n 钔，研究了基于可靠性理论的天线结构多工况优化设计模型和方法 啪2 。随后，马洪波等瞄1 研究了具有随机参数天线结构基于概率的优化设计。 近年来，为了适应对大型天线结构的形状精度要求不断提高的需要，突破传 统的提高结构刚度的思路，智能天线结构的研究得以出现，并取得了一些进展。 首先，在利用智能桁架结构自身的主动构件产生的内作动力，实现结构的振动控 第2 页 国防科学技术大学研究生院硕士学位论文 制方面，进行了多种控制方法的理论和实验研究。2 。2 1 。在此基础上，文献 2 5 设计 了线性二次型最优控制律，实现了智能桁架结构的振动控制。在自适应天线方面 h 州，k o c o n i c 和k o l l a r 用解析方法寻找了作动器最佳输入电压啪1 。f u r u y a 和h a f t k a 研究了桁架结构的变形预测问题凹1 ，通过采用并置压电传感器和作动器的主动单 元研究了天线桁架结构静态形状估计和控制的效果。k i e l y 等啪1 开发了一种通过改 变天线上的微条贴块和其寄生单元之间的空间来改变天线带宽的作动器。 w a s t i n g t o n 3 妇和y o o n 3 2 1 采取p z t 作动器，通过对固粘于天线反射表面的压电材料 施加电压来改变抛物面形状，分别设计了一种抛物面“单弯曲”天线和一种“双 弯曲压电陶瓷带状驱动孔径天线。一些研究者还研究了压电复合壳覆盖整个壳 表面时的形状变化情况口引。s a r a v a n a n 等口们探讨了用可变几何桁架结构对多普勒天 线进行表面误差控制的方法，并采用遗传算法研究了作动器的最优配置问题。 国内方面，聂润兔等汹，研究了智能桁架结构主动杆多层次多目标的最优形状 控制。姚国风等m 1 研究了抛物面天线面板上粘贴压电膜时的控制方法。隋允康、 龙连春等研究者针对自适应天线结构的强度和位移最优控制d 7 矧、机电耦合下的 形状调控啪1 ，以及智能抛物面天线多目标最优控制m 3 、分层序列最优控制等问题 进行了一系列的研究h 。 除了在天线结构设计的过程中考虑反射面的力学性质对天线的电磁性能的影 响，也有不少研究文献针对某一类型或既定型号的天线反射面进行形变和应力分 析，这类分析建模较为简单，得到的结论较为明确。其中以分析外界环境载荷作 用对反射面变形的位移场和应力场的影响为重点的有：文献 4 2 、4 3 分别对天线 结构的数字化建模以及作用在反射面上的风载荷的数学模拟进行了较为深入的研 究；文献 4 4 在对天线结构进行力学分析的基础上，重点考虑应用预调技术克服 天线自重对反射面的影响；文献 6 对一种典型的抛物面天线应用有限元方法进行 了计算和分析；而文献 4 5 重点分析了天线座的强度与刚度；文献 4 6 则分析和 比较了抛物面和圆锥两种天线反射面的变形特性。 另一方面，天线结构自身的不确定性也会对反射面的变形特性以至天线的工 作性能产生不可忽略的影响。即便对于型号确定的天线而言，其结构在生产、装 配过程中不可避免地受到多种不确定因素的影响，使其结构的物理参数和几何参 数具有不确定性。在考虑这些不确定因素时，文献 4 7 5 0 将之视为随机性或模糊 性来处理，文献 5 1 加入了未确知因子更加全面地考虑了结构的不确定性。 在考虑外载作用以及天线结构自身的影响因素计算得到反射面的变形之后， 接下来的问题是如何对反射面的形状误差进行合理的评价。文献 5 2 5 5 在这方面 进行了较为细致的探讨，其中文献 5 5 提出了一种基于拟合抛物面的表面形状误 差改进算法，推导了反射面轴向、法向与径向误差的计算公式。 第3 页 国防科学技术大学研究生院硕十学位论文 纵脱上述的研究工作，大多数采取有限元方法进行数箧计算，很多都是在 a n s y s 软件下建模并完成计算和分析的，也有的采取实验方法( 如文献 4 6 ) 进 行研究，它们的共同特点是只能够得到数值计算结果，后续的分析工作也都是在 这一结果基础上完成的。这种做法虽然能够针对某一特定问题得到满足工程应用 中精度要求的数值解，但是没有得到反射面变形的位移场或应力场的解析规律， 不利于总体上分析反射面变形的性质以及后续工作的进行。因而，从解析法的思 路出发研究反射面的变形特性，具有不可替代的理论和实际意义。理论上，所有 数值方法都是建立在相关的解析方法基础上的，解析方法的研究为数值方法的改 进提供了理论基础。实际应用上，得到天线反射面变形的解析规律，便于总体上 比较不同天线结构的力学性能，分析反射面变形位移场和应力场与结构的各形状 和材料参数之间的关系。尤其是对于分析和比较天线反射面的几何参数以及约束 类型的改变对反射兹变形的影嘛规律，此时如果应用数值方法逐个计算无疑是事 倍功半的，但是如果在进行合理的简化假设后，得到反射面变形的解析规律，所 有问题的分析都可以很方便的进行。 应用解橱法研究抛物面天线反射面的变形特性时，可以将反射面从天线的背 架结构中独立出来，抽象为弹性力学中的薄壳模型。此时，要得到反射面变形的 解析规律就必须求解薄壳的变形方程豳1 。然而，抛物面薄壳的变形方程是一个高 阶的偏微分方程组，要求得这样一个方程组的解析解是相当网难的，这也是在计 算抛物蘧天线反射蘑昭变形时较少采取解析法的原因。文献 5 7 】孛的相关章节给 出了应用薄壳的无矩理论简化方程计算所得到的抛物面天线反射面变形的解析 解，但是这种方法受到无矩理论简化假设的限制，不适用于较为复杂的反射面支 撑情况以及载荷作用类型的求解。 比较薄壳的无矩理论方程和考虑内力矩作用的变形方程，可以发现内力矩对 薄壳变形位移场的影响反映在方程中，是一些含有小参数作为系数的高阶微分项。 该参数随着反射面的几何参数的改变，对方程的性质起着不网的影响作用。这给 求解方程带来了一定的复杂性。因此，一些关于探讨高阶顼中含有小参数的方程 求解方法的研究文献，对于求解抛物面天线反射面的变形具有一定的参考意义。 文献 5 8 提供了求解这一类含有小参数的摄动方程的数学基石出理论，文献 5 9 讨 论了类奇摄动方程的边值问题，文献 6 0 重点研究了类似方程的边界层问题， 文献c 6 1 英| j 将这类数学问题的求解方法应用到隧转壳的应力分析上。这些问题与 抛物面天线反射面的变形问题具有一定的类似性，其中所采取的按照小参数展开 逐项求解的方法以及边界层的相关处理方法均可以应用到求解抛物面天线反射面 变形阆题上来。 第4 页 国防科学技术大学研究生院硕士学位论文 1 3 本文进行的主要工作 由于目前对抛物面天线反射面的力学分析大多采取数值计算和实验的方法， 对于不同类型的反射面没有形成统一的求解过程，不利于反射面变形性质的总体 分析和比较评价。针对这一情况，本文力求从解析方法的思路出发，对各种不同 类型的抛物面天线反射面的变形进行计算和分析。本文根据反射面的几何参数的 差异，首先将抛物面天线大致划分为大口径抛物面天线和小口径抛物面天线两类， 分别提出不同的计算方法，对这两类反射面变形的位移场和应力场进行了计算， 在此基础上着重对不同边框条件反射面的位移场进行了比较，总结了边框对反射 面变形的实际约束效果与外载以及反射面几何参数之间的关系。据了解，目前还 没有以边框条件作为主要考虑因素对抛物面天线反射面的变形性质进行分析和比 较的相关文献，本文在这方面进行了一些尝试。 全文的内容分为如下四章： 1 ) 简要介绍了课题研究的背景和意义，评述了国内外关于抛物面天线结构设 计和力学分析的研究历史和发展现状。 2 ) 建立了抛物面天线反射面的结构模型，对抛物面天线反射面的变形方程进 行了必要的化简，确立了应用位移法求解抛物面薄壳变形问题的基本方程。提出 了自由边框、刚性边框、弹性边框条件下反射面变形的各自的边界条件。 3 ) 提出适应于小口径反射面变形问题的幂级数计算方法。通过实际算例分别 对自由边框和刚性边框反射面变形的位移场和应力场进行了求解，并与有限元方 法以及无矩理论的计算结果进行了比较。在计算结果的基础上分析了自由边框反 射面变形的性质，和刚性边框的约束效果及其与反射面几何参数之间的关系。 4 ) 提出了按照小参数展开求解大口径抛物面天线反射面变形方程的方法，通 过实际算例分别求解了自由边框、刚性边框和弹性边框反射面变形的位移场和应 力场，计算结果与有限元方法进行了比较。并将自由边框反射面变形的计算结果 与无矩理论计算结果进行了比较，而将刚性边框、弹性边框位移的计算结果与自 由边框的计算结果进行比较，总结了这两种边框对位移场的约束特点。 第5 页 国防科学技术大学研究生院硕士学位论文 第二章抛物面天线反射面变形的定解问题 天线的反射面是天线发射和接收电磁信号的主要构件，其表面形状的精度与 天线的工作精度密切相关。绪论部分已经提到，在天线正常工作的状态下，反射 面的力学性能必须满足的2 个条件。其中第1 个条件对应于刚度要求，即主要考 虑反射面在各种外界环境载荷的作用下变形的位移场必须处于精度要求的范围 内，而不会使电磁信号反射散乱，降低天线的电性能工作指标。第2 个条件对应 于强度要求，主要考虑反射面内部的应力场不会使天线结构产生破坏。因此，对 天线结构的力学分析，首先应当计算反射面在外载作用下的位移场和应力场。在 这两个条件中，又以刚度要求最为重要。工程实际中，通常会出现天线的精度要 求首先遭到破坏，而强度要求还有一定裕度的情况。因而，反射面位移场的分析 更是重中之重。 抛物面天线的反射面由天线支座的中心体支撑，同时承受边框和支撑背架的 约束，属于典型的回转壳结构。本章主要基于弹性力学中的薄壳理论将抛物面天 线的反射面看作由中心体支撑和边框约束的薄壳来研究其变形的位移场和应力 场。求解薄壳变形问题的困难在于需要找到适合一组由薄壳的平衡方程、物理方 程和几何方程组成的高阶偏微分方程，并满足其变形边界条件的解。目前在弹性 力学范围内，柱壳的弯曲问题和球壳的轴对称弯曲问题由于其几何形状的特殊性， 已经得到较为完善的解析解或级数形式的近似解析解，抛物面薄壳问题的求解相 对较为复杂。但是我们也可以充分利用其结构的对称性以及外载作用的特点对问 题进行简化，从而最终找到适合问题的解。 以下几节中，首先基于薄壳理论并结合抛物面的几何形状特点列出抛物面薄 壳的弹性力学方程，在对该方程进行化简的基础上采取f o u r i e r 级数展开的方法 将偏微分方程组转化为常微分方程组。然后应用位移法求解该方程，首先得到一 组以位移为基本未知量可以独立求解的常微分方程：然后通过一组表达位移与内 力、内力与应力之间关系的方程将位移与应力联系起来；最后对抛物面天线反射 面的边框约束进行分析，分别提出各种边框类型的边界条件，最终得到用位移法 求解抛物面天线反射面变形问题的一个封闭体系。 2 1 模型的建立 天线结构可以分为反射面和背架结构两部分，其中反射面是主要的工作构件， 通常由刚性或弹性材料组成。背架结构主要对反射面起支撑和约束作用，将反射 面在自重以及外界载荷作用下产生的变形控制在精度许可的范围内。总体而言， 第7 页 国防科学技术大学研究生院硕十学位论文 反射商所受的约束有位于项点处的中心体支撑、壳边处的边框约束以及壳面上的 桁架支撑等类型，而其中对反射面变形起主要限制作用的是中心体支撑和边框约 束。抛物面天线的反射面就是在这些边界条件约束下的抛物面薄壳结构，如图2 1 所示。根据抛物面天线反射面自身结构以及外载作用的特点，作基本假设如下： 1反射面为抛物面薄壳结构，构成 反射面的材料符合弹性力学中 酶基本假定； 2 反射面承受中心体和边框的约 束作用，其中中心体支撑为固支 边界，焉边棰约束根据边捱类型 的不同提供不同的位移和力的 边界条件； 3在天线正常工作范围志，忽略作 图2 。1 抛物蟊天线反射西模塑 用在反射面壳面上的支撑作用； 4 反射面的变形在线弹性范围内，不考虑几何和材料非线性。 这样，我们就可以把抛物夏天线反射面的精度和强度分辑等效为求解弹性力 学中抛物面薄壳的变形问题。 2 。2 1 薄壳的一般理论 2 2 基本计算公式 薄壳的概念是宙壳体简化面来的。当壳体的厚度f 远小于壳体中面的最小曲率 半径r 时( 通常需要满足r r 0 0 5 ) ，该壳体即可称之为薄壳。壳体理论采用如 下计算假定： l 垂直于中匿方向的正应交珂以不计； 2 中面的法线保持为直线，而且中面法线及其垂直线段之间的直角保持不变， 即该二方向的剪应变为零； 3与中面平行的截面上的正应力( 挤压应力) ，远小于其垂直面上的正应力， 第8 页 国防科学技术大学研究生院硕士学位论文 因而它对形变的影响可以忽略不计； 4 体力及面力均可化为作用于中面的载荷。 薄壳在满足上述假定的基础上，还可以略去壳体变形方程和边界条件中某些 随着比值，r 的减小而减小的小量。 根据以上假设，可以得到一般薄壳在正交曲线坐标系下的平衡方程、物理方 程和几何方程如下 平衡方程 物理方程 几何方程 昙( 叫) 一等2 + 荔s + 易( 删+ 彳砚q + a b x = o 易( 彳2 ) 一嚣l + 等s + - f - d ( b s ) + a b k 2 q 2 + 彳b y = o 一么b ( 毛l + 乞2 ) + 杀( 阳) + 嘉( 彳q 2 ) + a b z = o ( 2 1 ) o a0 1 ) 昙( 蹦：) + a 0 1 口3m 1 2 - 荔m + 易( a m 2 ) 一彳b q = o - 易p ( a m i ：) + 嚣一嚣m ：+ 杀( 蹦) 一彳b 9 = o l = 南( q + 腹)2 = 毒( 岛+ 腭) f t ”。 m i2 而m -( 石+ t z 2 ) m s2 而p _ f -( 筋+ 肠) ( 2 2 ) s = 而e 丽t q z m z = 面e 丽t 3 石z 1o u10 4 = 一+ 一一v + 咒w l aa 仅a ba 8 l 1o v1a b s ，= 一+ 一u + w ba l ba b8 0 c 2 aa ，u 、ba ，v 、 岛：2 百历( j ) + j 瓦( 百) 1a ，1 跏、10 4 挑 j ) 石一j 瓦呀瓦) a b e0 1 3 0 1 3 1a ，1o w 、1a bo w 筋一五万与万a 2 bc 3 a o o t 1 ，a 2 w1 幽o w1 船o w z 1 2 一面丽a 历瓦一bo af f 万) 其中口，为壳面内的两个正交曲线坐标的坐标方向；a ，b 分别为口，方向的 第9 页 国防科学技术大学研究生院硕十学位论文 拉密系数；毫，箍分别为g ，多方向的鲢率；e ，t 分别为薄壳材料的杨氏模壁，泊松 比和薄壳的厚度；x ，z 分别表示口，方向以及薄壳中面法线方向上的载荷分量； l ，2 ，s 分别表示口，方向的内力以及剪力；m ，m z ，m l ：分别表示口，方向的内力 矩以及掇矩；嫉，易分别表示岔，多方向与法向之闻的平错力；懿，镌，量：分别表示g ，多 方向的正应变以及剪应变；z l ，2 2 ，石：分别表示中面内口，方向曲率的改变以及扭 率的改变；群，v ，w 分别表示口，多方向以及法向的位移。 此外，薄壳的应力与内力以及内力矩之闻存在如下关系 q = 等+ 半7 吒= 等+ 半y 铲等( 等) 铲了6 q 2 7 t 2 引2 - ( 2 4 ) s 1 2 m , ， _ ：2 7 + 产y 其中y 表示中面法线方向的坐标( 在中面上有7 = 0 ) ；q ，呸，气分别表示 口，y 方向的正应力；五：，乃3 分别表示三个方向两两所夹的剪应力。除以上列 出的关系外，根据壳体理论假设的第3 条，可以近似认为以为零。 2 2 2 抛物面薄壳的弹性力学方程 抛物瑟薄壳是典型的回转壳，其中厦可以看作壶抛物线z 2 寿x 2 绕z 辘回转 而成。其中厂表示该抛物面的焦距。根据其几何形状的特点选取纬线和经线( 或 称之为环向和径向) 为坐标线，如图2 。l 所示，抛物瑟上任意一点p 处的法线与z 轴所成的角为该点的口坐标，而以该点处的子午面与某一基准子午面( 图2 1 中为 x 轴与z 轴所成的平面) 所成的角为该点的坐标。 根据几何知识，可以计算出抛物瑟薄壳在上述曲线坐标系下的主趣率和拉密 系数 么省三乙 c o s j 窿 0 。5 b = 2 f t a n c r 第l o 页 国防科学技术大学研究生院硕十学位论文 将式( 2 5 ) 代入式( 2 1 ) 、( 2 3 ) ，并将式( 2 3 ) 代入式( 2 2 ) ，整理口j 以得剑- 如卜砚叨 面薄壳的弹性力学方程 切n 0 a n 口i + s e c 2 口( l 一2 ) + 忑1 石硒a s + 伽口q 1 + 毛警x = 。 击等+ 2 s e c 2a s + 锄口瓦0 , 9 + 丽t a n 口踢a + 等剐 一伽口l 一面t a n 乏a 2 + 杀口q 1 ) + 易( 击q ) + 毛警z = 。 ( 2 6 ) 锄弘a 钯m i - - - - - - - - - l + 2 s e c 2a m ：+ 击可o m 2 2 c f 。t s a 。n 口aq 2 = 。 击等+ o a m 口l + s e c 2 0 f c 蚴一警q = 。 l = 2 = 志吣3 口( 罢州+ 面1 口( 掣o r + c o s s i n 州 志【伽1 l 口( 掣a v + c o s a u + s i n a w ) 懈o s 3 口( 罢侧 s ：当【上黑+ t a l lc o s 3 昙( 圭) 】 蠢焉- 筇c 。s 3o a 和心誉：害+ 面c o s 4 a 拶0 w ( 2 7 ) m = 高【a ( c o s 3 口参叫击害+ 面瓦) 】一 鸩= 蒜【- ( 面1 丐万0 2 w + 警罢，一c 。s 3 口杀c c 。s 3 口老 赤卜鲁c 舄一j s i n t zc o s a 2 2 3 应用f o u r i e r 级数展开将偏微分方程转化为常微分方程 式( 2 6 ) 、( 2 7 ) 为高阶偏微分方程，直接求解较为困难。而抛物面薄壳的弹性力 学方程具有这样一个特点：方程中，关于所有未知量的系数均只与口有关而与无 关，因此可以将方程中的所有未知量设为p 的f o u r i e r 级数的形式，并将载荷分量 按f o u r i e r 级数展开，然后根据方程两边卢的0 次项以及c o s ，l 、s i n n f l 的系数对 应相等得到一组关于口的常微分方程。具体操作如下。 首先由式( 2 6 ) 消去g ，q ，得到 第1 1 页 国防科学技术大学研究生院硕十学位论文 1 0 ( t a n - a n l ) 瑾鹄+ 丽s e c 3 a 1 0 ( t a n 厂2a s ) + 系t a 击n 学 蚤伐诫强 舀j 2 伐毛蛰 + c o s 3o r c 0 ( t a n a m i ) 一c o s o ! m ，+ 2 f t a n o rx ：0 2 f o a2 f c o s 3o r ，0 ( s e e 2 搿码) s e e 窃二 宅8 。 1 o ( t a n 2a s ) ， - i 一一 t a n o ro a + s e c 2o r o m 2 + 2 f t a n o ry ：0 + 一+ 2 2 fa c o s 二o r c o s o ( t a n 2a m l 2 ) 2 f t a n a o c t 锄口塌+ 学+ 锄s c c 2 + s i n o r l c o s o r 学 i a 晓28p2 o ( s e c 2d 2 ) 8 9 t a n 口一20 ( t a n 2 口 + ：一 s i n 3 岱 a 8 十三( 型警x ) + 0 口c o s 。掰 2 f c o s 4 掰 s 1c o s 2 口+ 1a 2 ( t a n 2a s ) s i n l 馐c o s o r棼确8 o y 2 f t a n o rz ：= 0 为b c o s ：o r ( 2 8 ) 然后将式( 2 。8 ) 、( 2 。7 ) 中所有的未知量以及右端的载蘅顼展开为 ，：碚) + 至 ( ：) c 。s 胛+ 乓葛s i nn i l 的形式，对式( 2 8 ) 、( 2 7 ) 进行展开， ( 其中 n = l f = 域，鹚，s 丝，鹚，鼍2 ，x z 五婊砖w ) 跑较式0 8 ) 中的第1 、3 个方程以及式( 2 7 ) 中的 第1 、2 、4 、5 个方程两边的c