（应用数学专业论文）大气非线性重力波相互作用下的耦合schrodinger方程组解的存在性研究.pdf

硕士学位论文 大气非线性重力波相互作用下的耦合s c h r s d i n g e r 方程组解的存在性研究 中文摘要 大量观测和研究表明，重力波在中高层大气中无处不在，重力波能够解释中高层大气 参量的起伏变化，说明某些暂态现象的物理原因，重力波能量和动量从波的源区向空间输 送，导致大气不同层区之间的相互耦合，在全球中高层大气能量收支平衡中占有重要的地 位，因为大气密度随高度指数性下降，由对流层上传得重力波在中层顶附近获得较大的扰 动速度而破裂并且产生湍流，从而改变温度场合环流结构重力波的演变囿于s c h r s d i n g e r 动力学，研究大气非线性重力波的演化方程和其解的存在性，不仅具有理论意义，还具有 重要的实用价值 s c h r s d i n g e r 波动方程是量子力学中最基本的方程之一，它揭示了微观世界中物质运 动的基本规律，奠定了近代量子力学的基础 本论文根据大气动力学原理，研究具有垂直切变的基本流场中尺度非线性重力内波波 包演变过程，对中尺度动力学方程进行约化摄动，得到了大气非线性重力波相互作用的演 变方程组。主要方法是从大气基本运动方程出发，利用多重尺度摄动法导出两个非线性重力 波波包的相互作用过程，该过程最终可以归结为非线性耦合s c h r s d i n g e r 方程组，其中方程 的系数与实际大气的基本气流的垂直结构有关 通过研究，结果表明，大气非线性重力波相互作用的演变过程满足耦合s c h r s d i n g e r 方程组： i ，筹蚂等删4 4 - o ， 【，筹+ ：芸坞等嘶2 ，肌酬2 玲o ， 该方程组的系数由实际大气的基本场确定 本文研究当c ：，= 0 即相对群速度为0 时的情况： l ，筹蛔等酬4 h 榭烨o ， 【f 器坞可0 2 a 2 砒卅+ 仃：4 - o ， 利用分离变量法将耦合s c h r 6 d i n g e r 方程组转化为方程三甜+ 舰= f u ，当耦合 s c h r s d i n g e r 方程组满足三+ 是d ( 三) 到y 的同胚的条件时，方程组的解存在 关键词：大气非线性重力波，耦合s c h r s d i n g e r 方程组，同胚 硕士学位论文 大气非线性重力波相互作用下的耦合s c h r s d i n g e r 方程组解的存在性研究 a b s t r a c t l a r g en u m b e ro fo b s e r v a t i o na n dr e s e a r c hs h o w s t h a tt h eg r a v i t yw a v e si nt h e u p p e ra t m o s p h e r eo fp e r v a s i v e ，t h eg r a v i t a t i o n a lw a v ec a ne x p l a i nt h a tt h eu p p e r a t m o s p h e r ep a r a m e t e r sf l u c t u a t i o nc h a n g e ，s h o w e d c e r t a i nt r a n s i t i o nc o n d i t i o n p h e n o m e n o nt h ep h y s i c a lr e a s o n t h eg r a v i t a t i o n a lw a v ee n e r g ya n dt h em o m e n t u m f r o mt h ew a v es o u r c ea r e at ot h es p a t i a lt r a n s p o r t a t i o n c a u s eb e t w e e nt h e a t m o s p h e r i cd i f f e r e n tl e v e la r e at h em u t u a lc o u p l i n g ，t h eu p p e ra t m o s p h e r ee n e r g y b u d g e tb a l a n c e dh o l d st h ei m p o r t a n ts t a t u s i nt h ew h o l ew o r l d b e c a u s eo ft h e a t m o s p h e r ed e n s i t ya l o n gw i t ht h ei n d e xd r o p ，r e s u l t si nt h eg r a v i t a t i o n a lw a v eh i g h l y b yt h et r o p o s p h e r eu p l o a dn e i g h b o rt h ei n t e r m e d i a t ed e c kg o e sa g a i n s to b t a i n st h e b i gp e r t u r b a t i o nv e l o c i t yt ob u r s ta n dt op r o d u c et h er a p i d s ，t h u sc h a n g et e m p e r a t u r e s i t u a t i o nc i r c u l a t i o ns t r u c t u r e t h es c h r o d i n g e rw a v ee q u a t i o ni si nt h eq u a n t u mm e c h a n i c so n eo fm o s tb a s i c e q u a t i o n s ，i th a sp r o m u l g a t e di nt h em i c r o c o s mt h em o t i o no fm a t t e rb a s i cr u l e ，h a s l a i dt h em o d e r nt i m e sq u a n t u mm e c h a n i c sf o u n d a t i o n t h ep r e s e n tp a p e rb a s i sa t m o s p h e r i cd y n a m i c sp r i n c i p l e ，t h er e s e a r c hh a st h e v e r t i c a ls h e a rb a s i cf l o wf i e l dm e s o s c a l em i s a l i g n m e n tg r a v i t yi n t e r n a lw a v ep a c k e t s u c c e s s i o n a iv a r i a t i o np r o c e s s ，c a r r i e so nt h er e d u c e dp e r t u r b a t i o nt ot h e m e s o s c a l ed y n a m i ce q u a t i o n ，o b t a i n e dt h ea t m o s p h e r i cm i s a l i g n m e n tg r a v i t yw a v e i n t e r a c t i o ne v o l u t i o n e q u a t i o ns e t t h e m a i nm e t h o di se m b a r k sf r o mt h e a t m o s p h e r e b a s i ce q u a t i o no fm o t i o n ，t h eu s em u l t i p l ec r i t e r i o np e r t u r b a t i o n m e t h o d sd e r i v et w om i s a l i g n m e n tg r a v i t a t i o n a lw a v ep a c k e t st h ei n t e r a c t i o np r o c e s s 。 t h i sp r o c e s sm a ys u mu pf i n a l l ya st h em i s a l i g n m e n tc o u p l i n gs c h r o d i n g e re q u a t i o n s e t ，t h ee q u a t i o nc o e f f i c i e n ta n dr e a la t m o s p h e r e sb a s i ca i r c u r r e n t sv e r t i c a l s t r u c t u r ec o n c e r n s a c c o r d i n gt o t h i st h e s i s p r i n c i p l e o fa t m o s p h e r i cd y n a m i c s ，p e r t u r b i n gt h e d y n a m i c so ft h es c a l eo ft h ee q u a t i o n ，g a i nt h ei n t e r a c t i o no fa t m o s p h e r i cg r a v i t y w a v e st h ee v o l u t i o no fn o n l i n e a re q u a t i o n s t h r o u g hr e s e a r c h ，r e s u l t ss h o w e dt h a t ： n o n l i n e a ri n t e r a c t i o no fa t m o s p h e r i cg r a v i t yw a v e sa c c o r dw i t ht h ee v o l u t i o no ft h e c o u p l e ds c h r o d i n g e re q u a t i o n ： i ，鲁咱m 卅+ y 1 。2i a 2 1 2 ) 4 - o ， 洲 似 ， 【，鲁+ 缸三2 i a a 2 心等竹洲2 心协心一o t h ec o e f f i c i e n to ft h i se q u a t i o n sd e t e r m i n eb yt h ea c t u a lb a s i cf i e l do ft h ef a c t u a i i i 硕士学位论文 大气非线性重力波相互作用下的耦合s c h r s d i n g e r 方程组解的存在性研究 a t m o s p h e r e i nt h i sp a p e rw h i c hs t u d yc ：, 2 = o ，n a m e l yi m m e d i a t e l yg r o u pv e l o c i t yr e l a t i v et o t h es i t u a t i o ni n0 ： 筹m 们w + y 洲2 即o ， 等心w 2 + 。小2 北1 2 ) 心：o ， t h eu s eo fs e p a r a t i o no fv a r i a b l e sw i l l e q u a t i o n sl u + n u = f u w h e nc o u p l e d b ec o u p l e ds c h r o d i n g e re q u a t i o n si n t o s c h r o d i n g e re q u a t i o n s a r et om e e t + w i t hd ( 三) t oyt h eh o m e o m o r p h i s mo ft h ec o n d i t i o n s ，t h es e to fe q u a t i o n s e x i s t e n c e k e yw o r d s ：a t m o s p h e r i cg r a v i t yw a v e s ，c o u p l e ds c h r o d i n g e re q u a t i o n s ， h o m e o m o r p h i s m i l l 学位论文独创性声明 本人郑重声明： 1 、坚持以“求实、创新”的科学精神从事研究工作 2 、本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作和取得的研究 成果 3 、本论文中除引文外，所有实验、数据和有关材料均是真实的 4 、本论文中除引文和致谢的内容外，不包含其他人或其它机构 已经发表或撰写过的研究成果 5 、其他同志对本研究所做的贡献均已在论文中作了声明并表示 了谢意 作者签名： 日 期： 学位论文使用授权声明 本人完全了解南京信息工程大学有关保留、使用学位论文的规 定，学校有权保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论 文的电子版和纸质版；有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制 并允许论文进入学校图书馆被查阅：有权将学位论文的内容编入有 关数据库进行检索；有权将学位论文的标题和摘要汇编出版保密的 学位论文在解密后适用本规定 作者虢编蕴 日 期： 碰! 厶， 硕士学位论文 大气非线性重力波相互作用下的耦合s c h r s d i n g e r 方程组解的存在性研究 第一章绪论 1 1 问题背景与提出 1 l1 重力波的概念 重力波是发生在中高层大气中最重要的也是最普遍的动力学过程，重力波能够解释中 高层大气参量的起伏变化，说明某些暂态现象的物理原因，重力波能量和动量从波的源区 向空间输送，导致大气不同层区之间的相互耦合，在全球中高层大气能量收支平衡中占有 重要的地位，因为大气密度随高度指数性下降，由对流层上传得重力波在中层顶附近获得 较大的扰动速度而破裂并且产生湍流，从而改变温度场合环流结构 1 1 i2s c h r s d i n g e r 方程 s c h r s d i n g e r 波动方程是量子力学中最基本的方程之一，它揭示了微观世界中物质运 动的基本规律，奠定了近代量子力学的基础 非线性s c h r s d i n g e r 方程( n l s e ) 在高能物理、非线性光学、超导以及深水波等许多 领域有着广泛的应用 s c h r s d i n g e r 方程最初是由奥地利著名物理学家s c h r s d i n g e r 在研究微观粒子的波粒 二象性时提出的，它是描写微观粒子波动性的一个波动方程，它是量子力学中的基本方程， 相当于牛顿方程在经典力学中的地位 在最简单的情况下其形式为： f 昙y ( ；，) ：( 一笔v z + y ( ；) 渺( ，) ， ( 1 ) 优z 所 在一维情况时它简化为： z 昙啉) - ( 一篆昙川撕班 ( 2 ) 它们实际上都是线性偏微分方程，与我们所要讨论的方程是不同的，我们这里所要讨 论的是非线性的耦合s c h r s d i n g e r 方程( 组) ，它们在天气动力学，物理学，生物学等领域 硕士学位论文大气非线性重力波相互作用下的耦合s c h r 6 d i t l g e r 方程组解的存在性研究 都有应用 1 1 3 流固耦合力学 流固耦合力学是流体力学与固体力学交叉而生成的- - f 新的力学分支，它是研究变形 固体在流场作用下的各种行为，以及固体位形对流场影响这二者相互作用的一门科学 流固耦合力学的重要特征是两相介质之间的相互作用，变形固体在流体载荷作用下会 产生变形或运动变形或运动又反过来影响流，从而改变流体载荷的分布和大小，正是这种 相互作用将在不同条件下产生形形色色的流固耦合现象 实际上流固耦合问题是场( 流场与固体变形场) 间的相互作用：场间不相互重叠与渗 透其耦合作用通过界面力( 包括多相流的相间作用力等) 起作用，若场间相互重叠与渗透 其耦合作用通过建立不同与单相介质的本构方程等微分方程来实现 1 2 研究的目的及意义 1 2 1 对大气成分的大气物理化学过程的研究 研究城市化特别是超大城市发展对城市及区域大气环境的影响发展高分辨率区域大 气化学一气象耦合模式，模拟研究城市化和超大城市发展引起的大气中各种物理、化学过 程的变化，研究这些过程之间的相互作用及反馈机制，研究人类活动通过改变地表状况对 大气热力和动力结构的影响，以及天气条件在空气污染形成中的作用，更侧重研究人为污 染物排放引起大气成分和大气物理、化学过程的变化对气象条件的影响 1 2 2 为水文气候和水资源的影响评价提供理论依据 在天然河流大尺度紊动结构研究的基础上，同时应用水文气象和近地层大气湍流结构 的有关研究成果，以大型水利工程对生态环境的影响为背景，以河流大气为整体体系， 探讨两种湍流运动的各自特征及两者的耦合，并根据动量传递理论提出了稳态情况下一种 简单的耦合模式方程与解法可为大型水利工程对当地水文气候和水资源的影响评价提供 一个方面的理论依据，帮助流域生态环境的保护与改善，增强水利与水资源可持续性发展 能力 2 - 硕士学位论文 大气非线性重力波相互作用下的耦合s c h r 6 d i n g e r 方程组解的存在性研究 1 3 国内外研究进展 对耦合s c h r s d i n g e r 方程组，已有多种文献从多方面进行了研究 t t c m o r r i s 1 用w e 延拓结构理论研究a k n s 系统，讨论了两分量耦合s c h r s d i n g e r 方程的延拓结构，并将结果推广到多分量耦合s c h r s d i n g e r 方程 k p o r s e i a n 2 用双线性方法对常系数高阶两分量耦合s c h r s d i n g e r 方程、常系数三分 量耦合s c h r s d i n g e r 方程和常系数高阶两分量耦合s c h r s d i n g e r 方程的可积性条件进行研 究，并用这种方法给出了常系数高阶两分量耦合s c h r s d i n g e r 方程和常系数高阶两分量耦 合s c h r s d i n g e r 方程的孤子解 a u t h a y a k u m a r 3 ，通过一个变换，并用a k n s 形式研究了一种非均匀两分量耦合 s c h r s d i n g e r 方程组，得出其l a x 表示，再由此通过b a c k l u n d 变换求得了其孤子解，最后 将结果推广到了非均匀多分量耦合s c h r s d i n g e r 方程组 1 4 文章主要内容与结构 本文主要分为四章，第一章介绍耦合s c h r s d i n g e r 方程组的问题背景与问题的研究意 义，国内外研究进展以及文章主要内容与结构第二章根据大气动力学原理，利用多尺度摄 动法约化摄动大气中尺度动力学方程，导出非线性重力波互相作用的耦合s c h r s d i n g e r 方 程组第三章利用分离变量法将耦合s c h r s d i n g e r 方程组转化为l a z e r 方程，再对其进行存 在性分析第四章是对本文所讨论问题的总结，指出工作的意义以及今后需要进一步完成的 工作 3 硕士学位论文 大气非线性重力波相互作用下的耦合s c h r 6 d i i l g e r 方程组解的存在性研究 第二章耦合s c h r s d i n g e r 方程组的数学模型 2 1 引言 自从h i n e s 7 将所观测到的不规则运动归功于重力波以来，人们对重力波的观测和理 论研究就没有停止过 大量观测和研究表明，重力波在中高层大气中无处不在，重力波是中高层大气中最重要 的波动过程之一，它的能量和动量的传输在中高层大气与上下层大气之间的耦合以及全球 大气能量收支平衡中起着重要的作用六七十年代，人们用线性理论对重力波进行了广泛的 研究，得到了许多极有价值的结论，但随着实验观测的增多，人们发现许多观测结果很难从 线性重力波理论中得到合理的解释由于大气密度随高度指数减小，波的扰动速度随高度 指数增长，因此，非线性过程对重力波在中高层大气中传播影响不容忽视从八十年代开始， 随着计算机技术的发展，数值模拟方法被广泛用于研究重力波的非线性传播p r u s a 8 利 用非弹性近似方法模拟了二维等温、可压大气情况下，底部边界激发的高斯型波包在中高层 大气中的传播和破碎过程，分析了不同尺度重力波波包的破碎区域w a l t e r s c h i e d 等 9 采用两步l a x 2 w e n d r o f f 方法模拟了以单色波形式向上传播的重力波演化过程，其结果表明 了非线性过程在重力波饱和及随后破碎变成湍流的过程中起着十分重要的作用，他们的模 拟结果支持了l i n d z e n 1 0 的线性饱和理论，但他们的模式是针对等温大气而言的 本文主要是从大气基本运动方程出发，利用多重尺度摄动法导出两个非线性重力波波 包的相互作用过程，该过程最终可以归结为非线性耦合s c h r s d i n g e r 方程组，其中方程的系 数与实际大气的基本气流的垂直结构有关 2 2 基本方程 根据大气动力学原理 2 6 ，研究具有垂直切变的基本流场中尺度非线性重力内波波包 演变过程，可利用如下b o u s s i n e s q 近似下的二维非线性方程组( 无量纲形式) ： 4 堡士学位论文大气非线性重力波相互作用下的耦合s c h r b d i n g e r 方程组解的存在性研究 塑+ u 塑+ w 塑：一上篁 一十一+ w 一= 一上 aa x恕 民瓠： 掣+ “业+ w 塑：一土望+ 墨r ， 一十“一+ 一= 一一二+ = i 8 t瓠8 z p n 包r o 要+ “罢+ w i o t + 0 d - y ) w _ 0 ，一+ “一+ w 一+ l w = u 氆a ) ca z 。j ( 1 ) 及譬+ 半：0 ( 2 ) 苏昆 其中p 和丁。分别为相对于纬向平均的扰动气压和温度； 比= g o 为干绝热递减率，厂为温度场的递减率； 甜，w 分别为x ，z 方向上的风速，p o 为静态大气的密度 记r = 儿一y , a = g 瓦，瓦为常数 令“= 五( z ) + ，w = w ，磊( z ) 为纬向基本风场 引入流函数y = 痧( z ) + 1 1 f ，莎( z ) 为纬向平均基本流函数，则( 1 ) 式可化为： 悟云耖y + 等- - - ) 警伽_ 0 杪b = y b = o 其中，( 见6 ) = 罢警一塞罢，= 昙+ 虿0 2 ，- - = 窘，y 为扰动流函数 设扰动垂直运动可以由基本风场对温度的平流项“t 决定的，即： 一匀 曝+ - 犁0 v 2 y , 十。i a f _ - ) 警+ ，似 , v 2 1 p r ) - o - 5 - ( 4 ) ( 5 ) o 兰 ：型缸储 r 式 + )堡锄 一纷 则 硕士学位论文大气非线性重力波相互作用下的耦合s c h r 6 d i n g e r 方程组解的存在性研究 方程( 5 ) 是关于扰动流函数l f ，。的单一变量偏微分方程，由于我们所讨论的是重力内 波，因此对扰动流函数l f ，可提如下定解问题： ( 6 ) 2 3 耦合s c h r 6 d in g e r 方程组的演化过程 对于小振幅扰动时，考虑在扰动波动之间的相互作用是弱非线性相互作用问题，扰动 的演变一般取时间特征尺度：t - 1 0 4s ，水平空间特征尺度：l - 1 0 51 7 1 ，垂直空间尺度h - 1 0 4 m 采用多重尺度分析方法 2 7 】，为此可以引入缓变的时间和空间变量f ，髻，叩，且有 ：2 甜 q2 e z t , 其中f ，_ ，毒，叩为缓变量，且s 1 ， ( 7 ) 【言2 s x ，i7 1 = e l x ， 按实际大气动力过程，可以认为扰动量在时间和x 方向是缓变的，而在z 方向仍为快 变的，故作如下微分变换： fa a a ， a i 一斗一+ s 一+ s 一， l 钟 西a f a l la aa ，a 一一一+ e + - ， l 苏 苏 a 毒 a 7 7 laa l 一 【瑟 瑟 将扰动流函数按小参数s 展开： l f ，= s y ( o ) + s 2 l f ，( 1 ) + s 3 l f ，( 2 ) + 将方程( 8 ) ，( 9 ) 代入方程( 5 ) ，可得到s 的各阶问题： o ( s 1 ) ：l f ， = o ， 6 望锄 口 一 亚知仉 一 一 妒一k 卜盟知 y r + ， ) u 寥 r h y u 一 、j 一r堑苏 一甜 一饿 + a一西玎一西喙望西 ) ) ) 8 9 o，l ( ( 1 硕士学位论文 大气非线性重力波相互作用下的耦合s c h r s d i n g e r 方程组解的存在性研究 。c s 2 ，：三卜c 。) ：一c 昙+ 云善，v 2 y c 。，+ c 云”一i a f ，笔竽 一2 曝+ u 瓦o ) 0 苏2 v t 必( o ) 一， c ，v 2 y c o ) ) ， c ， ：叫= 一岳+ 磊秒n 口- a 甜t ) 等一2 如刍筹 一c 扣专等叫扣旁筹一岳+ u - 毒) v 2 1 o ) - 2 ( 0 + 石毒面0 2 1 ( 1 ) + ( _ 。一坚) 笙一笙旦v 2 l f ，c o ) 4 笙旦v z 严2 ( 笙竖一鲨掣)、 甜7a 眚a 考a za za 考 、o x o x o z o a zo x 2 a 7 一j 缈，v 2 y 1 ) 一g ( v n ，v 2 l f ，o ) 其中算子： = 防毒嘻0 2 + 拶0 2 + c i a f _ _ ，斟 在( 1 0 ) 式中，设有两个波包解： 2 = 4 ( r ，f 1 ，考，叩) 哆( z ) p 嘭”勺+ c c j = l ( 1 2 ) ( 1 3 ) 其中4 为扰动流场的副振幅为缓变坐标的函数，它由高阶问题决定，竹( z ) 则决定了 波的垂直结构，c c 为前项的共轭，将( 1 3 ) 式代入( 1 1 ) 式，可得到哆( z ) 满足： 万d 2 + 莉a f 丢瑚删 由边界条件( 5 ) ，可得： 哆( 0 ) = 竹( 日) = 哆( o ) = 纺( 日) = 0 ( 哆为哆的共轭) 将( 1 3 ) 式代入( 1 1 ) 式，并利用( 1 4 ) 式，有： - 7 - ( 1 4 ) ( 1 5 ) 硕士学位论文 大气非线性重力波相互作用下的耦合s c h r s d i n g e r 方程组解的存在性研究 其中： 2 一印p 比驰叫9 2 厂诅4 e “讹净一”。9 3 = l 一鹤4 p 酏一如删白c 1 一也c 2 p 9 4 + c c ， 钆= c 李南斟乒叫p - 矿d 2 q j 咖- 一 r t f 悟 9 2 j 唧町知等x 一咖= ( o 町z o j x i 尹一丐町) 旷c 慨三一吃x 2 南川咖三一q 警x 李而， ( 1 6 ) 9 4 ：( 七l 竹= d + 后2 冬) ( 孚一七；五) 一( 眨五要+ b 导x 一七i 1 9 1 ) ( 1 7 ) d zd z d z d zd zd z 设( 1 6 ) 式中第一项相对应的特解为： y = 硝( z 弦勺“o + c r c 争嘞譬 恤吨蚋争嘲掣a f 叫嚣) 对( 1 8 ) 式两边同乘以哆，并对z 从0 到日积分，左端为： 右端积分也同样： 丽i 习百a a j 与, h 虿d 2 啊哆) 竹比+ 8 ( 1 8 ) ( 1 9 ) g d 勺 一 口 吩 p ：闩 一 = 1 j y ，。l ，而 i i 足 ，一叼， 满 耐一一卜 恤焉 式 ml： 上 锄云似筝 硕士学位论文大气非线性重力波相互作用下的耦合s c h r s d i n g e r 方程组解的存在性研究 箦施, i - - 。, 万d 2 t p j 啊哆) 哆+ ( 坚u 一云。) 谚一2 盼巳) 谚k 。 则( 8 ) 式化为： 争嘞= u - ：c u7 一南卜 令c 掣i - - - c j + 2 k 2 d z 研a f 一南1 1 将( 1 4 ) 式代入上式，可化为： 等+ 兽一o ， a f a 考 口 上式表明，在d 0 2 ) 问题中，波振幅4 以群速度勺传播 再令舻磷，嚣， 又有其边界条件： 砚，( o ) = 办( 日) = 驴。，( 0 ) = 驴- ，( 日) = 0 将( 2 3 ) 代入( 1 9 ) ，利用( 2 2 ) 可得： 警+ 赢a f 屯 一c i ) 一三一劈) 噍， u c j 。 卜叫害嘞m 嘶一巳 对于( 1 6 ) 式中第二、三、四项的特解为： y 男= 妨彳p 记弘叫忆c ， l f ，：1 = 九4 4 p 。毛+ 屯卜7 柏+ 屯勺”+ c 名， - 9 - ( 2 0 ) ( 2 1 ) ( 2 2 ) ( 2 3 ) ( 2 4 ) ( 2 5 ) ，而 硕士学位论文 大气非线性重力波相互作用下的耦合s c h r s d i n g e r 方程组解的存在性研究 i f ，二l = 0 4 a r 4 ：e 屯+ 屯酬向q + k 2 c 2 + c r ， 其中屯，九，九分别满足： 争+ 焉一丢叫妨= 丽9 2 j ， 垡2 九i 订( 毛一岛)甜( 毛+ 岛) d z 2 l 甜 ( 白+ 乞) 一( 毛q + 乞c 2 ) ) “( 白+ k 2 ) - ( k l c l + k 2 c 2 “( 毛+ 屯) 一( 墨q + k 2 c 2 ) d 2 九i a r ( 墨一乞)”( 白一乞) d z 2 i “( “( 毛一如) 一( 毛q 一乞乞) ) “( 毛一乞) 一( 白q 一 ：墨l 一“( 毛一乞) 一( 毛q 一屯乞) 及其边界条件： 如( o ) = 屯，( 日) = 晚( o ) = 如( 日) = 九( o ) = 九( 日) = 咖：，( 0 ) = z j ( 日) = 妒s ( o ) = ，( 日) = 妒。( 0 ) = 驴。( 日) = 0 故对方程( 1 7 ) 有以下解： ( 2 6 ) ( 2 7 ) ( 2 8 ) y 1 = 特解+ 齐次解= y 1 = y ! ：+ v ，+ v ，罢+ y j l + v ，j 1 + 咖( z ，f ，考) ( 2 9 ) 其中( z ，r ，考) 为( 1 6 ) 的齐次方程的解，它由( 1 2 ) 式所决定 为了进一步得到4 和所满足的条件，继续考虑o ( s 2 ) 的问题 将方程( 1 3 ) ，( 1 8 ) 代入( 1 3 ) 式右端，得到以下方程： 陟：) ：一2a 尸嘭( p 州一a p 嘶( x 叫) f 1 4 1 24 一仍p 啦( 一叫f 1 4 1 24 一2 仍，p 2 嘭( j 一勺一2 岛尸3 勺( x 一吖一鼽p 呐+ 屯卜娲c l + b 妙一岛p 呐一如卜酏q 一如c 2 ) ， j = l= 1 1 0 - 硕士学位论文 大气非线性重力波相互作用下的耦合s c h r i s d i n g e r 方程组解的存在性研究 一概p ，( 南+ 2 乞) 川( 毛c t + 2 如c 2 ) 7 4 名一弘p ，( 2 毛+ 屯) j 一( 2 确+ 乞c 2 ) 。彳4 一识p 酏一2 b 州毛q - 2 乞勺4 4 2 一i p 9 e j ( 2 k l - k 2 ) x - t ( 2 k t c t - k 2 c 2 ) t “一喜l ( 竹_ _ d d 矿i pd出2q)：jaqj)ca6 p j 一帅+ 4 k f l 。j 誓一 一 彳4 2 一l ( 竹i 由，、由：一砖竹) +半一 = li “ 瓦d 一缸( d 矿2 咖l j 叫 一( 昙+ 磊壶炉妒+ ( - 一坚u ) 簧+ 弧( 3 。) d f d ca 其中用，p l ，p 2 ，p 2 ，p s ，p 4 ，鼽，p 6 ，p 7 ，风，p 9 ，为系数： 以，卟巧2 9 广7 d 2 t p jx 鼍+ ：等h ：。一了a f ，百o a j 町埘产21 ，i a 4 j9 - ，可a 2 a j 町 轭吩c 鲁+ ：争”廿+ 孕，c 鲁+ ：争m 嘶刊 ， “ + j k j a j 单j ，磐妒勺面兰一2 誓x 4 铂广争呐c 2 虼，三+ 半一弓李， 窘州一巧町+ 李，勺兰， 斗2 ，讣2 + 7 d 2 4 怍 2 扣眨，斗心 謦仆蚓鸭知警卜珏7 d 2 ；2 ，+ ( k l - k 2 ) 妒4 知警卜矿李x 垆k 地吲钏_ ( k l _ k 2 ) 2 小斜怫地蚓斗鹏 学 + ( k l + k 2 ) 垂3 知斗而+ 7 d 2 ；1 卜 ( k l - k 2 ) 驴4 知斗椰参 ：c 4 广7 d 2 $ 2 jx 誓+ ：等亏c - 一c ，誓吒一：。一了c t f ，誓虼+ c 町三一等， 1 1 订一 一 一h “ 一 硕士学位论文 大气非线性重力波相互作用下的耦合s c h r s d i n g e r 方程组解的存在性研究 c w 2 d 2 妒_ _ _ j j 也町知锄+ 争川嘞知笋咖纠勺詈， 。悟2 锄+ 争2 吻兰一如斜 p4=d263 1 a a a l 。a 2 + ：) - 2 ( k l + k 2 ) e c q c 。+ k 2 c 2 ) + ：( q + 纠鸭 石。一了a f ，百a a i a 2 鸭+ 眨兰c 一椰2 ，4 瓦0 4 2 兰c 一咿李心瓦0 4 1 一i d q , 1c 一如 + 李，4 瓦0 4 2 一i d t p 2c 一如+ ，如等叫q 竹等一咖导x k 2 a l 等一讹嚣， * 知争嘲2 每川知笋柏+ 刽彳。等 一卜2 知争粕。粤川饷。知争彩2 每， 砖， 毋= i d 2 妒41 c 譬a a i a 2 + ：警) - 2 ( k 1 - k 2 ) e - ( k l c l - k 2 c 2 ) + u ( k 1 - k 2 ) 鸭警 七- 一了a f ，警鸭+ 竹乏c 一；2 + 粤，吒+ 瓦0 4 1 + ；2 三c 一砰竹+ 2 d rm 等一誓c 一；2 扯 嘴 盘 韶 出 喵 舷 + 7 d 2 ；2 m 要o - 4 2 一害c 一“+ 李，z 嚣叫q 唧譬+ 吃；2 誓x 眨4 善o - 4 2 + q 互詈， 扣。扣施2 + 争h 蛹2 知譬如+ 刽 一卜2 知害汁+ 争川知警卅扬+ 7 d 2 ；2 ， , 0 4 1 ， 酬慨一d 屹i d 0 9 1 州协争小妒2 丢地蚓誓屹 1 2 坐必 硕士学位论文 大气非线性重力波相互作用下的耦合s c h r s d i n g e r 方程组解的存在性研究 + 卜2 吒2 i d 一白i d $ 2 2 “ 争，+ 卜啪d2 i d # 3 卜咿告l 一牵q + 参k 喝屹靴卟咖 坤印2 。兰一吃等卜咖2 + ，+ ( k l + k 2 ) 3 三一q 警卜唧+ 李x 十2 扣眨，譬- ( k l - k 2 ) 2 驴4 + t aj 地妒。 嘞誓也罢一誓，c 告嘞) 警 孕h 后+ 卑， a z 比 为了得到4 的演化方程，再考虑( 3 0 ) 式中的另一类非齐次解： 1 f ，2 ) 其中： f ，f l ，亏，7 7 ，z ) 少。一叫+ c c ， 1 3 2 驮+ d 一出 旷 堕出 户一出 特 匙 瑚一舻 蛾懒争。主一黼 糍荔一 h 懈 诎蝴 ：芦每耐粤一等 忙卧卜： d 出 d一出 d一一出 一鸳 m 盱。 m 式 到 一栅 r 巾 稠稚窃 i c ：纠 = 硕士学位论文大气非线性重力波相互作用下的耦合s c h r s d i n g e r 方程组解的存在性研究 州私知鲁吼h 洲2 3 4 ， 只 二 其中： 厂 1 h 1 = 辔+ 鲁嘞嘞讹讹屹铲， 叫一粤， 面一弓巧粤师”一鼽+ 2 肾饵， 。：一。( _ 一。，勺一2 。( _ 一匀，。一( - 一c 彰) ( 一弓吨+ a 2 歹c , l j ) 一2 哆( _ 一 州+ ( 办丛u 1 铲。障卑嘞+ 缸2 磋一警 吁2 甲- 可d 2 面j ) 2 = 一 c 勺+ ，j d i + 砭- d - g 呜- ( 一磅面2 1 4 粤 _ 嘶dn ，纠 硕士学位论文大气非线性重力波相互作用下的耦合s c h r 6 d i n g e r 方程组解的存在性研究 卜妒吒剐吲dn 斟即妒啦+ 吮d z - - - t 忙啪毫一吃堕a z 怯j 每 ， 叫d 艘l 比忙j - + 斟旧d 也删拿 卜妒鸭+ 卸吲d 气唰吨砒肇 扣啪罢+ 斟押剀 3 扩 鲥静雒 设非齐次方程( 3 1 ) 的解为： l f ，：2 = 衍2 p 嵋”q + c c ，i f ，：2 = 以2 e 啦”掣+ c r 则对j = 1 ，2 ，均有： 南卜南 ，并对z 从0 到日积分，利用( 1 5 ) 式得： 1 5 ( 3 3 ) ( 3 4 ) ( 3 5 ) ( 3 6 ) 妒七- rc+ d 勺 一 协 嘭 p c ：闩 = 叭 a 一缸 1 ”一 到 面一甜舭辱 n 产 y 入 代 a 夏 ) 一m 一栅 ( 一_， 扒 a 一衍 i 霄一 皆 沈 一 一 式 动一 粥 等一 硕士学位论文大气非线性重力波相互作用下的耦合s c h r s d i n g e r 方程组解的存在性研究 r 警哆一卜丢一南卜卜 则( 3 6 ) 式右端乘以，t 包x tz 从0 到h 积分，即 竹= 0 对于，= l ，2 ，则有 r 嚣+ 喏等1 4 1 2 州：1 4 1 2 4 毗铂删， ( 3 7 ) ( 3 8 ) f 嚣+ 噜警峨1 4 1 2 4 1 4 1 24 + 厶讹删( 3 9 ) 将式( 3 3 ) 代入式( 3 9 ) ，利用式( 2 2 ) ，化简( 3 9 ) 式，得到4 和4 的演化方程： c 毒均私小等刊郇1 2 | 硝4 ) = 0 ， 岳咏私七等坞2 ：。2 4 蝴 = o ， 其中： = 巳+ 警c 为式q 。的同形， 令：u j = 一f pj d z ，i j o = f j 挣j d z ，l ，= 毫f 归j d z ，l n = 毫脚皿。 ( 2 1 水) 厶。= r 五t 仍也l s = r s 竹也a ，= 可j o 一= 缶m z = 缶以。= 可2 1 ，一= 可i j 3 我们将式( 3 0 ) 与( 4 0 ) 一道称为关于妒，4 和4 的耦合方程组，它反映了非线性相互 作用对中立内波包的影响，进一步简化，作如下变换： - 1 6 旦一乃 上 硕士学位论文大气非线性重力波相互作用下的耦合s c h r s d i n g e r 方程组解的存在性研究 二善。叩一。q ，：考一c g ，：s 。x 一咯。， 将( 4 1 ) 代入( 3 1 ) ，得： 球嘞，窘崎a f 彳，驴h j = l j - 乏办，警 ( 4 1 ) 一竹挚h 碍哆警飞瓦d 爿d e 学嘞，恼4 1 2 ， 设特解为妒：2 一( z ) 1 4 1 2 ， 得：( 一u - c g 。) 孕+ 擘i a , l 一云。) q 得： - ) 孝+ 唔一甜) q ( 4 3 ) ：屯知碧一哆鲁h 碍仍警飞云d 一警) ( 警一啪 ， 将( 4 1 ) ，( 4 3 ) 代入( 4 0 ) ，得： 番4 蚂警+ q 4 训4 1 2 4 州和烨。， f 刍4 + 托- c 9 1 ) 嚣坞警坞1 4 1 2 4 训4 1 24 州和蛤o ， 妒靼 j 一毫qj j 产 1 7 - ( 4 5 ) 硕士学位论文大气非线性重力波相互作用下的耦合s c h r s d i n g e r 方程组解的存在性研究 h - k 1 协+ 鲁 掣 q 9 j f j d z 故( 4 5 ) 式又可化简为： ，筹鸲豢酬4 4 一o ， ( 4 6 ) ，筹+ z ：嚣坞等毗肌仃榭蛤o ， ， 其中a 。，口2 同上，c * 1 ( c 9 2 - c 9 1 ) ，仃：= 仃1 + l ，仃2 = 0 2 + a 2 2 ， y 1 22y 1 2 + 2 y 2 1 2 7 2 1 + 如l 一m 卜等十纷警，警卜 ：= 如。= 一一 一土k 2 q 0 2仍争十砭仍+ 参，警k u 1 ( 4