（运筹学与控制论专业论文）含广义m增生映象的非线性变分包含的灵敏性分析.pdf

四川大学硕l 学位论文 含广义m 一增生映象的 非线性变分包含的灵敏性分析 专业：运筹学与控制论 研究生：毕中胜导师：黄南京教授 通过变分不等式的引入和发展历史的回顾，借用前人对有限 维空间和h i l b e r t 空间中( 广义) 变分不等式问题解的存在性和 灵敏性分析的已知结果，特别是，h u a n g 和f a n g 最近引入的广 义m 增生的概念以及其相应的结果，我们研究并分析了b a n a c h 空间中一类具广义m 增生映象的含参非线性变分包含问题。首 先，我们证明了这类含广义m 增生跌象的含参非线性变分包含 问题的解的存在性，并给出了其特例：然后，通过隐式预解算子 技巧，我们分析了含广义i l l - 增生映象的含参非线性变分包含问 题及其特例的解的灵敏性。 我们的结果统一并推广了已知的相应的结果。 关键词：广义m 增生映象；非线性变分包含；预解算子 解的存在性：灵敏性分析 1 嚣j i l 太学硕士学位论变 s e n s i 专主v i 专ya n a l y s i s f o rn o n 王主n e a r ￥a r i a t i o n a li n c l u s i o r l si n v 0 1 v i n gg e n e r a l iz e dm a c c r e ti v em a p p i n g si nb a n a c hs p a c e s 醚a j o r ：o p e r a t i o n s r e s e a r c ha n dc o n t r o lt h e o r y p o s t g ra d u a t e ：z h o n g s h e n gb ia d v i s or ：p r o f n a n j in gf l u ar i g i nth i sp a p e r ，b yr e c a l1i n gt h ed e v e l o p p i n gh i s t o r y0 f v a r i l 3 t i o n a li n e q u a l i t i e sa n db yu s i n gm a n yo t h e l 7a h t h o r s r e s t l l t si nt h i sf i e i d ，e s p e c i a i l yb yu s i n gt h ee o n c e i ，to f g e n e r a l iz e dm o 。( 2 ：c r e t i v e r a a p p i r i g s i nb a n a c hs p a c e sa n dt h e r e l e v a r l tr e s u l tsw h ic hw a sf i r s ti n t r o d u c e da n ds t u d i e db y h u a n g a n d f a n g w ei n t r o d u c ea n d s t u d y an e wc l a s so f p a r a m e t r i c n o n l ir l e i 日r c a r i a t i o n a li i l c l u s i o i l s ir l v 0 1 v i n g g e t i e r a l i z e di n a c ( 3 r e t i v em a p p i n g si 1 3b a n a c hs p a c e sa n d p r o v et h ee x i s t e l t c et h e o l - e l i i so fs o l t l t i o n s a t1 a s t ，w ea 1s o a n a t y z e t h e s e n s i t i ￥i t y 0 fs o l t i t i o t q sf o rt h isk i n d0 f r i o n l ir t e a l ? v a r i a t i o n a li n c l u s i o r l s k e yw o r d s ：g e n e r a l i z e d1 1 3 一a c c r e ti r em a p p i n g ，n o n l i1 3 e a r v 8 r i a t i 0 1 3 8 1i n c l u s i o n ，r e s o l v e i l t0 1 ) e r a t o r ，s e n s i t i v i t y a n a l y 8 i s i i 四川大学硕士学位论文 一引言 1 9 6 6 年，h a r t m a n 和s t a m p a c c h i a 3 5 1 在一篇研究椭圆泛函微分 方程的文章中首次引入并研究了下面经典的变分不等式问题： 工k ：( t x , y j ) 0 ，v y k ( 1 1 ) 其中k 为r ”中一闭凸子集，r 为从腰忸”泛函。 这一变分不等式最先在有限维空间讨论，以后被l i o n s 3 6 】， b r o w d e r 3 7 1 等人推广到无穷维空间，沿着这一方向，变分不等式问 题作为变分原理的主要推广得到大力发展研究和发展。而变分包含 问题作为变分不等式问题的一种更广泛情形，随着不等式理论的成 熟和发展在最近几年同样得到了广大数学工作者的重视和研究，如 今变分不等式及变分包含理论己被大量的用于研究产生于应用数 学、优化与控制理论、经济与金融、交通与运输均衡、微分与积分 方程、对策论等各个领域的问题，为我们探索世界和追求真理提供 了一种有力的工具。( 参见 1 卜【3 】，【6 - 【1 2 】， 2 0 一 2 2 】，【2 5 ， 3 5 “3 6 】， 【3 9 】) 。 最近，h u a n g 和f a n g 1 3 引入广义m - 增生的概念，它推广了 m 增生映象。他们还给出了b a n a c h 空间中广义m 增生映象的预解 算子的定义。进一步地，h u a n g ，f a n g 和d e n g 【1 4 】引入并研究了 b a n a c h 空间中一类含广义m 增生映象的非线性变分包含。 与此同时，许多数学工作者对变分不等式解的性质如灵敏性在 多种背景下采用多种方法也进行了研究。例如针对变分不等式 ( 1 1 ) ，人们不仅研究了它的解的存在性和唯一性，而且还研究了 它的如下含参问题： 石k ： ( r ( x ，兄) ，y x ) 0 ，v y k ， ( 1 2 ) 其中巧为r ”中一闭凸子集，确从巧a 至f j k x 的一泛函。 首先，在研究背景方面，f i a c e o 2 8 在研究非线性规划的背景下 讨论了变分不等式含参问题即解的灵敏性问题：而t o r b i n 【2 6 1 ， k y p a r i s i s 2 7 在一种更广泛的背景下分别研究了这类问题；其次， 在研究技巧方面人们也采用了多种方法进行了研究，运用投影技巧， d e f e r m o s 【2 9 1 ，m u k h e r j e e 和v e r m a 3 0 ，n o o r 【31 】以及y e n 【3 2 分别 婴型查兰堕主兰垡堕苎 在h i l b e r t 空间讨论了变分不等式解的灵敏性问题；运用隐式泛函逼 近的方法，r o b i n s o n 3 3 研究了有限维空间中多边凸集上经典变分 不等式问题解的灵敏性问题；最近，a g a r w a l 等 3 4 ，d o n g 和g a o 2 4 】 则采用隐式预解算子技巧分析了h i l b e r t 空间中一类非线性隐拟变分 包含问题解的灵敏性问题。 本文引入并分析了b a n a c h 空间中一类含广义m 增生映象的含 参非线性变分包含问题，证明了这类含广义m 增生映象的含参非线 性变分包含问题的解的存在性，然后通过隐式预解算子技巧分析了 这类问题解的灵敏性。 二预备知识 本文以下处处设x 为一实b a n a c h 空间，x + 为其对偶空间，( ，) 表示x 与z 之间的配对，而2 x 表示x 中所有非空子集。 给出广义对偶映象以：x 寸2 ，如下： j q ( x ) = ，名：( 工y - - p i 工4 4 且州i = q - i , 、x x ) ， 其中q 1 为常数。特殊地，用以表一般正规对偶映象。一般地，对 所有x o 有j 。( x ) = l l x l l 即j 2 ( x ) ，并且当x 为严格凸空间时，j q 为单值 映象( 见 1 8 ) 。如果x = h 为h i l b e r t 空间，则以变为日空间中的 单一映象，本文以下处处用j 。表广义单值对偶映象。 空间x 的光滑度为泛函p 。：f o m ) j 【o ，。) ，定义如下： p x ( ，) = s u p 去( 1 k + y 0 + l 悻一y 1 1 ) 一i ：i 忙1 1 0 ，使得 2 婴! ! ! 茎鲎堡主堂垡堡苎 pv 甜。，q 1例如：h i b e r t 空间，p ( ，p ) 空间，s o b o l e v 空间 扩“9 ，l p 0 均成立，其中，表示单一映射。 凌瓣上述定义终麴下说鹞： ( 1 ) 在定义2 1 中，我们可以用无代替五，并且强增生常数， 0 与口无关： ( 2 ) 谯定义2 。1 中，如栗并= x = 臀。帮b a n a c h 空阕退纯楚 h i i b e r t 空阋，粼上述定义( i ) 一( i v ) 分剐遐纯为单调，严格单调， 强单调和极大单调的定义。 定义2 2 多值映象t ：x _ c s ( x ) ，称为一l i p s c h i t z 连续，如 栗存在鬻数k 0 ，後褥 h ( z u ，n ) - k 1 1 - 1 l ，v u ，v x ， 其中c b ( x ) 表示x 中所有非空脊界闭集簇。日( ，) 表示撩于c b ( x ) 上 魏h a u s d o r f f 距襄。 定义2 3 ( 【1 3 ) 映象圩：x x 寸x + 称为 ( i ) 单调的，如果映象，7 满足 ( 球一v ，譬( 挑v ) ) 0 ，v u ，v 蕞x ； ( i i ) 格萃诿的，螽栗浃蘩露满足 ( “一v ，吁( “，v ) ) o ，v u ，v 仨x 四川= 学硕士学位论文 并且当且仅当“= v 时敬等号； ( i i i ) 强萃谗熬，翅果存在鬻数，艿 0 壤褥映象撑潢足 ( “一u 翠( “，v ) ) d l 甜一司1 2 ，v u ，v x ； ( i v ) l i p s c h i tz 涟续的，如果存在常数f 0 使得映黎玎满足 l l 蟹( “，v ) l f l “v b v ”，v x 。 定义2 4 ( i3 】) 浚获象野：x x 盖- - x 为革篷映象，称多鬣浚 象m ：砷2 为 ( i ) 村一增生的，如果 、羔y ，v ( u ，谚0 ，v u ，廿芒善，等托m u ，m y ； ( i i ) 严格玎一增生的，如果 ( x y ，q ( u ，v ) ) o ，v u ，v x ，x m u ，y m y 当旦仅当群= v 时取等母 0 均成立，其串，表示擎映瓣。 现对上述定义作如下说明： ( 1 ) 摄定义2 4 中，如果x = x = 爿，即b a n a c h 空间退化为 h i i b e r t 察闻，则上述定义( i ) 一( i v ) 分别邋他先碍一单调，严格蟹一 单调，焱母一单调和檄大野一单调酌定义； ( 2 ) 如果x 为一致光滑空间，且叩( z ，y ) = j ：( x y ) 。则定义2 4 中( i ) 一( i v ) 分别邋化为在一致光滑b a n a c h 空间中增生的，严格增 生懿，强增生戆霹磁一增生豹定义。 定义2 5 ( 3 ，1 3 ) 称泛函，：x x 彳崎震u 栅) 在并为o 一对角拟 凹的( 筒记为o - d q c y ) ，如果对有限集 趣，x 2 靠 c 爿和y = 誓 其中 乏o ，且善 ；1 满足m 。i ；n f ( x , ，y ) o 定义2 。6 ( 7 ，1 9 】) 设唳象r l ：x x x x + 为单筐戆，称真泛甄 $ ：x 4 震u + m 在x 簸为露一伪次可锻的，如聚存在f + 琶x ，使樗零满 4 一一些型查堂婴主兰垡堡壅 足 ( 岁) 一零( 固 ，+ ，警( 五芦) x 强黑 其中称f 。为中的个在r 处r l 一伪次可微的点，所脊辔的z 处r l 伪次可微的点的集合记为o ( x ) ：定义映象a m ：肖寸2 。如下： a q ) ( x ) = f x ：o ( ，) 一( x ) 夕，零( 茹，y ) ，、移爿 ( 2 1 ) 称谚拈) 为。韵帮一伪次微分。 定义2 7 ( 7 ) 设巾：j r u + 。0 ) 为一真泛函，对任一给定z 爿 和p 0 ，如果存在映象r l ：x x x 心石及唯一点辣x 使褥 群一x ，犟( ，群 。商( 掰) 一必( 岁) ，v y 盖( 2 2 ) 成立，则称映象，( * ) ：x 卜“为彤的叩一逼近映象。 由定义2 3 和，( t ) 的定义，可以得出 了尹砖= ( ，+ 膨零一0 ) ，v x x 。 命题2 1 1 3 ，1 4 3 ) 设翠：x x 哼x 为l i p s c h i z 逡续的和强单 调的，以及r ( u ，v ) = 一叩( v ，u ) 对所肖“，v x 都成立：并且对某一给定 x x ， 泛函h ( y ，辩) = 扛一封，r l ( y ，甜) 在点y 处0 一d q c v ； 设 审：若_ 露0 懈 力一蟹一伪次可徽憋真下半适续泛函，掰斑( 2 。i ) 式 定义的吁一伪次微分a ( x ) 为广义m 一增生的映象。 话嬲? 由参考文献 3 中定理2 8 我们知道( f + 名a m ) ( 膏) = 爿， 薮交广义m - 增生弱定义只绥逶鞠舯( 萄为蟹一攒生筠。辩 壬一绘逡 “i ，n i x ，e 西( 蚝) ，x 2 仨o ( 2 ) ，硅叩一伪次微分的定义可得： 西( ，) 一西( 甜i ) ( x l ，v ( y ，m ) x 跏鬯搿， ( 2 3 ) + 零( y ) 一巾( 甜2 ) 2x ：，带( 弦甜2 ，、9 x ， ( 2 。4 ) 在( 2 3 ) 式串令y = u ：，程( 2 4 ) 式巾令y = q ，并将两式稽 加可得 协x 2 ，r l ( u l ，甜2 ) ) 0 怼￥坞，毪x ，五芒陂墨a e ( u 2 ) 均裁立。褡擎。 定理2 1 ( ( 1 3 ，1 4 ) 设r l ：x x 哼并为严格单调的，m ：x 一2 。 为广义m 一增生映象，则下列结论成立： ( 1 装怼所奏v , y ) g r a p h ( m ) 毒扛一岁，r ( u ，妨o 成立，剐必定骞 ( “，x ) e g r a p h ( m ) 成i ，其中( h ，对e g r a p h ( m ) = ( “，x ) x x ：x 磊如 ； 塑望奎兰堡兰鲎婆婆苎 ( 2 ) 逆漱射( ，+ 删) 。为单值映射对所有五 0 均成立。 江刃j 假设结论( 1 ) 为错误的，则存在( ，x 。) 萑g r a p h ( m ) 使得 一岁，q ( u o ，v ) ) 0 ，v ( v ，y ) g r a p h ( m ) ( 2 。5 ) 医态掰为广义m - 增生暧蒙，艨凑有( 1 + 膦) ( 菇) = 菇，敛存在 ( 1 1 l ，x 1 ) g r a p h ( m ) 使得 “i 十越= 4 - 砜( 2 6 ) 出( 2 5 ) 帮( 2 ，6 ) 式，我裁嚣 2 ( x o x i ，r l ( u o ，”1 ) ) m ( “o 一“f ，r l ( u o ，甜i ) ) 0 ， 即，( “o - - u l ，叩( “。，“i ) ) 蔓0 又因为蹿：x x x _ 彤+ 为严格单调的，所以我们可以得嬲堍= 弘， 褥麸( 2 s ) 鬻l 冀得蹬x o x ；，这与( u 0 x o ) 萑g r a p h ( m ) 矛詹，敬结论( 1 ) 成立。 现证结论( 2 ) ：对给定2 e z 以及常数z 0 ，令砧，v ( ，十删) 1 ( 2 ) ， 剿 2 - 1 ( z - ”) 汀( “) ，2 - ( z - v ) e ( v ) 由于映氟m 为r l 一增生的，故 o = = 一z ，砑国一v ) ) = 五g 。一“) 三。一v ) 吠鲜一v ) ) + 和一h 叩。一v ) ) “一v ，叩( “一v ) ) ， 壶予姨象r 为严穰肇调兹，我髓褥裂= v ，帮( f + 磁p 为单 值映。证肇。 在定理( 2 1 ) 的基础上，我们w 以定义广义恍一增生肘：肖哼2 。 戆蓣薅算予鲤下 掣( ：) = ( j + 删) 。( 由，糕并 其中p 0 为常数，叩：x x x x 为严格单调映象 定理2 2 ( 13 ，1 4 ) 设野：盖爿峥x 是分铡其常数艿 0 釉f 0 的强单调和l i p s c h i t z 连续映象，m ：x 斗2 。为广义m 一增生的映 象，则m 的预解算子l i p s c h i t z 连续且具常数 6 四川丈学硕士学位论文 和 正拶? 令“，v 为肖中两个任懑给定的点。由髟的定义有 了爹( 掰) 蒜 0 先一常数，彤) = 0 + 毋m ( ，5 ) ) _ 。 雩l 疆3 。2 【i 9 设x 是一实一致竞淆b a n a c h 空瀚，聪z 是譬一 致光滑的当且仅当存在常数c 。0 ，使得对任意的x ，y 鞲，都有 黔+ y 0 和f 0 的强单调和l i p s c h i t z 连续映象， a ：x a o x 为关予第一变元其豢数r 瓣强增生帮爨害数s 豹 l i p s c h i t z 连续欧象，m ：x x f - 9 2 。关予籀一交元是广义研一增嫩 9 堕型查堂塑主兰皇兰堡兰 映象。假设存在p 0 ，使得 r 1 - r q p + c 。s q p ”弦 0 与引理3 2 中的一样，则问题( 3 1 ) 有唯一解鼻 证劈j对任意给定的五人和s r ，由引理3 1 ，“是问题 ( 3 1 ) 的解当且仅当 “= j 1 5 ( “一0 ， ”， 这里口 0 为一常数。令 f ( x ，a ，s ) = ，f 1 5 g p a ( x ，五) ) v ( x ，五，s ) r a x f 易知，甜是问题( 3 1 ) 的解当且仅当对每一个丑a 和s f ，“ 是f 的唯一不动点。因此，我们只需证明f ，a ，j ) 在q - 致光滑 b a n a c h 空间x 中有唯一不动点即可。 根据定理2 2 ，我们有 慨“，丑，s ) 一f ( v ，a ，s = 0 夥0 一0 ，兄) ) 一蟛4 ( v 一( v ，a 酬 - h u - - v - - p ( 爿0 ，a ) 一爿( v ，a 朔i 因为x 是口一一致光滑b a n a c h 空间，所以我们有 恤一v p ( a ( u ，五) 一a ( v ，五w 肛一v 一g p ( 4 0 ，a ) 一_ ( v ，五) ，u - v ) ) + q p 90 。0 ，丑) 一4 ( v ，旯】1 4 s j 卜一v 9 9 一q l l u v 1 r + c 。p q s 4 i l “一叫1 。 = 口9 f l u - v l l 9 其中 口= 0 一r 妒+ c 。s - p v 芦 因此， 丑，s ) 一f 吼s 肛一v 肛 由条件( 3 7 ) 知，对任意给定的a a 和s r ，f ，a ，j ) ：x _ x i o 塑望奎兰矍主鲎垄鲨苎 蹩一个压缀映象，献蕊f f ，z ，s ) 在x 中有唯一不动点“，帮“是阕遂 ( 3 i ) 在。v 中的唯一解。征笋。 定理3 2 设x 为一口一一致光滑b a n a c h 空阈，玎：x x x 衅x + 是 分凝其罄数艿 0 移f 0 戆强蕈调窝l i p s c h i t z 连续浚象， a ：x a 呻为具常数，的强增生和其常数s 的l i p s c h i t z 连续映 浆，m ：x 砷2 。是广义小增生映熬。假设存在一 0 ，使得( 3 7 ) 成 立，剽闯瑟( 3 。2 ) 毒唯一释。 注3 。2 如果x 是2 致光滑b a n a c h 空问，盥存在妒0 ，使得 卜矧 巫珂c 2 嚣 2 ，r 2 b 掣2 ( f 2 ) ， 剃( 3 7 ) 成交。我们注意蓟 i l i b e r t 空闻移三。( 1 q ) 空闯( 2 s 譬 ) 都是2 一一致光滑空间。 豳解的瑟敏性分毒厅 现在，我们分析b a n a c h 空间巾类含广义m 增生映苏的非线 性变分包禽( 3 。1 ) 的解的灵敏性。 定理4 。i 设x ，鼯：菇x x + ，：盖a 啼菇，m ：x f 呻2 。势 别与定理3 1 中保持致，并且假设：x x a - x 是关于第二变元 具有常数叩的l i p s c h i t z 连续的映象；而且s 呻j ，4 ( x ) 从r 到x 连 续，爨| j 超越( 3 。1 ) 静瓣缸毒，s ) 麸a x f 墼留连续。 话劈r 辩任意讧，s j ，讧，s j a x f ，由定爨( 3 ，1 ) 及f 0 ，盖，s ) 的定义，我们有 走s ) = 礅五习，瓿；) = 曩毫乏j ) ， ，s ) “伍，；】| = lf 囊o ，s 五，s ) f 0 ，i 乏j i 嚣矩大攀磺墨学谴论文 令磊；“伍，；) 。我们有 护0 防，i ns ) 一f 0 ( _ ，；l 万，刮 = | l t ，5 0 嚣，i ) 一g 氲；j 冀) ) 一歹多g 冀，习一删g 瓯i ) 砌l p 岁“j ，一删每，五) ) ，芦。f ( - 一脚瓴五) ) l + i i j 岁n ( _ 一每，a ) ) 一j 7 ，i ) 每一每，万) 】! p 每，五) 一一每，五靴 ( 4 z ) 由定理( 3 i ) 知 馥，s ns ) 一f 0 臣；胁i 警s ) 越臣i 卜( 4 。3 ) 结合( 4 1 ) 一( 4 3 ) ，我们有 研，s ) 拄每，习 s 否南品r 怕仁，五) 4 ( 一，五d f | ”( - 一例每，劫一，仁( - j 蜥 由于a ：x x a - x 怒关于第二瓷元具有常数穆的l i p s c b i t z 连续 陕象著且映象s 呻嚣g ) 从f 墅瞄连续，献上舔的不等式筏们可越 得到“以，s ) 的连续性。征筝。 注4 1 扶定理4 ，1 鹣证明过程易知，如果s _ 嚣 4 b 蹩从r n x l i p s e h i t z 连续豹，捌阔蘧( 3 1 ) 豹解“，s 是觚a f n x l i p s c h i t z 连续的。 定理4 2 设z ，对：x x x _ x 。，a ：x x a - , x ，m ：峥2 。分别 与定理3 2 孛缳骛一皴，蒡量鬏浚a ：x x a - x 建关于第二变元具有 常数玎的l i p s c h i tz 谶续的映象，则问题( 3 2 ) 的解封0 ) 从a 至岈连 续。 1 2 汪 4 一一 s 一丑 n m两 ，甲f f 一 、酆 0 厶 丑a砖缸 烘 峙旷o 一 四川i 大学硕士学位论文 参考文献 1s a d l y ，p e r t u r b e da l g o r i t h ma n ds e n s i t i v i t ya n a l y s i sf o r ag e n e r a lc l a s so f v a r i a t i o n a li n c i u s i o n s ，jm a t h a n a l a p p l 2 0 i ，6 0 9 6 3 0 ，1 9 9 6 2c b a i o c c h ia n da c a o p e l o ，v a r i a t i o n a la n dq u a s i v a r i a t i o n a l l n e q u a l i t i e s ， a p p l i c a t i o n st of r e eb o u n d a r yp r o b l e m s ，w i l e y ，n e wy o r k ，1 9 8 4 3 x p d i n ga n dc l l u o ，p e r t u r b e dp r o x i m a lp o i n ta l g o r i t h m sf o rg e n e r a l i z e d q u a s i v a r i a t i o n a l i i k ei n c l u s i o n s ，j c o m p u ta p p l m a t h 11 3 ，1 5 3 - 16 5 ， 2 0 0 0 4 m f u k u s h i m a ，e q u i v a l e n td i f f e r e n t i a b l eo p t i m i z a t i o np r o b l e m sa n dd e s c e n t m e t h o d sf o rs y m m e t r i cv a r i a t i o n a li n e q u a l i t yp r o b l e m s ，m a t h p r o g r a m m i n g 5 3 ，9 9 - 1 1 0 ，1 9 9 2 5r g l o w i n s k i ，j l l i o n s ，a n dr t r e m o l i e r e s ，n u m e r i c a l a n a l i s i so f v a r i a t i o n a li n e q u a l i t i e s ，n o r t h - h o l l a n d ，a m s t e r d a m ，1 9 8 1 6p t h a r k e ra n dj ，s p a n g f i n i t e d i m e n s i o n a lv a r i a t i o n a li n e q u a l i t ya n d n o n i i n e a rc o m p l e m e n t a r t yp r o b l e m s ：as u r v e yo ft h e o r y ，a l g o r i t h m sa n d a p p l i c a t i o n s ，m a t h p r o g r a m m i n g4 8 ，1 6 1 - 2 2 0 ，1 9 9 0 7a h a s s o u n ia n d a m o u d a f i ，ap e r t u r b e da l g o r i t h m f o rv a r i a t i o n a l i n e q u a l i t i e s ，j m a t h a n a l a p p l 18 5 ，7 0 6 - 7 1 2 ，1 9 9 4 8 b s h e ，ac l a s so fp r o j e c t i o na n dc o n t r a c t i o nm e t h o d s f o rm o n o t o n e v a r i a t i o n a li n e q u a l i t i e s ，a p p l m a t h o p t i m 3 5 ，6 9 - 7 6 ，1 9 9 7 9n j h u a n g ，g e n e r a l i z e dn o n l i n e a rv a r i a t i o n a li n c l u s i o n sw i t hn o n c o m p a c t v a l u e dm a p p i n g ，a p p l m a t h l e t t 9 ( 3 ) ，2 5 2 9 ，1 9 9 6 10n j h u a n g ，an e wc o m p l e t e l yg e n e r a lc l a s so fv a r i a t i o n a li n c l u s i o n sw i t h n o n c o m p a c tv a l u e dm a p p i n g s ，c o m p u t e r sm a t h a p p l 3 5 ( 6 ) ，9 - 1 4 ，1 9 9 8 11 n j h u a n g ，a n e wm e t h o df o rac l a s so fn o n l i n e a rs e t v a l u e dv a r i a t i o n a l i n e q u a l i t i e s 。z a n g e w m a t h m e c h 7 8 ，4 2 7 - 4 3 0 ，1 9 9 8 12n j h u a n ga n dc x d e n g ，a u x i l i a r yp r i n c i p l ea n di t e r a t i v ea l g o r i t h m sf o r g e n e r a l i z e ds e t - v a l u e ds t r o n g l yn o n l i n e a rm i x e d v a r i a t i o n a l - l i k ei n e q u a l i t i e s 删川大学硕士学位论文 j m a t h a h a l a p p l 2 5 6 ，3 4 5 3 5 9 ，2 0 0 1 13nj h u a n ga n dy p f a n g g e n e r a l i z e d m a c c r e t i v e m a p p i n g si n b a n a c h s p a c e s ，j s i c h u a nu n i v ，3 8 ( 4 ) ，5 9 l 一5 9 2 ，2 0 0 1 1 4 n j h u a n g ，y pf a n g a n d c x d e n g ，n o n l i n e a r v a r i a t i o n a li n c l u s i o n s i n v o l v i n gg e n e r a l i z e d m a c c r e t i v em a p p i n g s ，p r o c e e d i n g so ft h ebe i l m a n c o n t i n u m ：i n t e r n a t i o n a l w o r k s h o p o nu n c e r t a i n s y s t e m s a n ds o f t c o m p u t i n g ，b e i j i n g ，c h i n a ，j u l y 2 4 2 7 ，2 0 0 2 ，p p 3 2 3 3 2 7 15 c h l e e ，q h a n s a r ia n dj c y a o ，ap e r t u r b e da l g o r i t h mf o rs t r o n g l y n o n l i n e a rv a r i a t i o n a l - l i k ei n c l u s i o n s ，b u l l a u s t r a l m a t h s o c6 2 ，4 1 7 - 4 2 6 ， 2 0 0 0 1 6s b n a d l e r ，m u l t i v a l u e dc o n t r a c t i o n s ，p a c i f i cj m a t h 3 0 ，4 7 5 - 4 8 8 ，1 9 6 9 i7mv s o l o d o va n dp t s e n g ，s o m em e t h o d sb a s e do nt h ed g a pf u n c t i o nf o r s o l v i n g m o n o t o n ev a r i a t i o n a l i n e q u a l i t i e s ，c o m p u t o p t i m a p p i 1 7 ， 2 5 5 2 7 7 ，2 0 0 0 1 8 n h x i u ，j z z h a n ga n dm a n o o r ，t a n g e n tp r o j e c t i o ne q u a t i o n aa n d g e n e r a lv a r i a t i o n a li n e q u a l i t i e s ，j m a t h ，a n a l a p p l 2 5 8 ，7 5 5 7 6 2 ，2 0 0 1 i9h k x u 。i n e q u a l i t i e si nb a n a c hs p a c e sw i t ha p p l i c a t i o n s ，n o n l i n e a ra n a l 1 6 ( 1 2 ) ，1 1 2 7 - 11 3 8 ，1 9 9 1 2 0j c y a o ，a b s t r a c tv a r i a t i o n a li n e q u a l i t yp r o b l e m sa n dab a s i ct h e o r e mo f c o m p l e m e n t a r i t y , c o m p u t e r sm a t h a p p l 2 s ( 1 ) ，7 3 - 7 9 ，1 9 9 3 2 1 g e o r g ex z y u a n ，k k mt h e o r ya n da p p l i c a t i o n s i nn o n l i n e a ra n a l y s i s ， m a r c e ld e k k e r ，n e wy o r k ，19 9 9 2 2 l p z h a n g ，j y h a n a n dd c x u ，e x i s t e n c et h e o r e m so fs o l u t i o nt o v a r i a t i o n a li n e q u a l i t yp r o b l e m s ，s c i c h i n as e r a4 4 ，2 1 2 - 2 1 9 ，2 0 0 1 2 3h d o n g 。b y u n g - s o ol e e ，n j h u a n g ，s e n s i t i v i t ya n a l y s i sf o rg e n e r a l i l z e d p a r a m e t r i ci m p l i c i tq u a s i v a r i a t i o n a li n e q u a l i t i e s ，n o n l i n e a ra n a l f o r u m 6 ( 2 ) ，3 13 - 3 2 0 ，2 0 0 1 2 4 h d o n g c j g a o ，s o l u t i o ns e n s i t i v i t y o fn o n l i n e a r i m p l i c i t q u a s i - v a r i a t i o n a li n c l u s i o nj s i c h u a nu n i v 3 9 ( 1 ) ，1 3 1 6 ，2 0 0 2 2 5d a f e r m o ss t r a f f i ce q u i l i b r i u ma n dv a r i a t i o n a li n e q u a l i t i et r a n s p o r t i o ns c i 1 4 4 3 - 5 4 ，1 9 8 0 1 4 四川大学硕士学位论文 2 6 t o r b i n r l s e n s i t i v i t ya n a l y s i s f o rv a r i a t i o n a l l n e q u a l i t i e sj o p t i m t h e o r ya p p 【4 8 ，1 9 l 2 0 4 ，1 9 8 6 2 7 k y p a r i s i s ，js e n s i t i v i t ya n a l y s i sf r a m e w o r kf o rv a r i a t i o n a ll n e q u a l i t i e s m a t h p r o g r a m m i n g3 6 10 5 1 l3 ，1 9 8 7 2 8f i a c c o ，a v i n t r o d u c t i o nt os e n s i t i v i t ya n ds t a b i l i t ya n a l y s i si nn o n l i n e a r p r o g r a m m i n g a c a d e m i cp r e s s ，n e wy o r k1 9 8 3 2 9d a f e r m o s ，s e n s i t i v i t y i nv a r i a t i o n a l i n e q u a l i t i e s ，m a t h o p e r r e s 1 3 ， 4 2 1 4 3 4 ，1 9 8 8 3 0r n m u k h e r j e e a n dh 1 v e r m a s e n s i t i v i t ya n a l y s i s o fg e n e r a l i z e d v a r i a t i o n a li n e q u a l i t i e s ，j m a t h a n a l a p p i 1 6 7 ，2 9 9 - 3 0 4 ，1 9 9 2 3 1m a n o o rs e n s i t i v i t ya n a l y s i sf o rq u a s i - v a r i a t i o n a li n e q u a l i t i e s j o p t i m t h e o r ya p p l 9 5 ，3 9 9 - 4 0 7 ，1 9 9 7 3 2n d y e n l i p s c h i t zc o n t i n u i t yo fs o l u t i o n so fv a r i a t i o n a ll n e q u a l i t i e sw i t h ap a r a m e t r i cp o l y h e d r a lc o n s t r a i n t ，m a t h o p e r r e