（基础数学专业论文）若干自由边界问题的适定性研究.pdf

浙江大学博士学位论文 摘要 本博士学位论文由两篇组成。在这两篇中，分别有模型的推导、存在性证明 和唯一性证明。我们分别采用了几种不同的方法给出它们的存在性或唯一性的证 明。 第一篇，我们研究m h n i 电池氢化物电极的充放电过程单相和二相数学模 型解的适定性问题。其中，唯一性证明在第二章。在该章，我们证明了如下伪二 维单相非线性问题( 问题p ) 的古典解的唯一存在性： u t ( x ，y ，r ) = “( x ，y ，) + g ( y 且y ( x ，y ，f ) ，0 石l ，0 0 y ( 石，1 ，) + 爿0 g ，1 ，t ) e x p ( b v 一e x p 一c 叮) = 0 , 0 工1 ， r 0 u ( x ，y ，0 ) = g ，0 工1 , 0 0 问题p 是由线性抛物方程的第三初边值问题与常微分方程两点边值问题偶 合而成的非线性问题，我们已经证明了其古典解的存在性，并已另文发表了该结 论。 众所周知，非线性t n n n - - 性证明，往往没有雷同的工作可循，我们在本 文的该项工作中主要采用积分估计的办法，同时注意运用硬分析技巧得到了结 果。 在本篇的第三章至第五章，我们研究了如下伪二维两相非线性问题( 问题0 ) 的古典解的存在十牛问题： ( q ) ( q b ) “( x ，s ( r ) ，t ) = v ( x ，s ( r ) ，f ) = 0 ， 上v ，( 工，j ( ，) ，) 一d j “，( s ( ，) ，) “。( x ，0 ，f ) = 0 ， v ，( x , 1 ，f ) + a k ( w ( x ，f ) ，v ( 工，1 ，) ) = 0 ， l “( x ，y ，0 ) = 厂( 工，y ) ， v ( x ，y ，0 ) = ( x ，y ) ， 【s ( o ) 二6 ， c 剑，w x x ，譬鬣摊妙 其中，0 b 1 ，g ( y ) = 4 鸲+ k ) ，且 加 0 , i 】( 0 ，瓦】， 厨1 ( f ) ， i n ( o ，1 i x ( 0 ，兀】， 加【0 , 1 ( 0 ，t o ， 加【o ，1 ( 0 ，兀】， m 0 , 1 】 0 ，6 】， m 0 , 1 【6 ，1 ， 加【0 , 1 】( o ，7 o 】 0 f 瓦， k l瓦瓦 ， r p o 吐k “ y y ( do “ k i 一 一 工 r 一 0 问题q 是继单相放电( 问题p ) 达到相变临界值后产生的。我们在该模型 的古典解存在性工作中主要采用经典先验估计方法并应用l e r a y - s c h a u d e r 不动 点定理来证明。为此，我们应用双层位势理论来建立辅助问题q b 对已知数据的 连续依赖性。 第二篇，我们对正冻土次级冻胀模型进行理论研究。鉴于管志成先生等已经 对由冻结缘和己冻区间的数学问题作了研究，故我们这里只对未冻区和冻结缘间 的数学问题( 问题r ) 展开研究，即研究如下的问题： ( r ) h o ( “) “一k o “站+ 五o h ( ，) “，= 0 ， h i ( u ) u ，一k t u 。+ o ) “，= 0 ， u ( s ( t ) 一o ，f ) = “( j 0 ) + 0 ，f ) = 0 ， k o u ，( s ( t ) 一0 ，f ) = k t u ；( j ( f ) + 0 ，f ) ， u ( o ，f ) = g o ( r ) ， “( n f ) = y ( f ) ， u ( x ，0 ) = “o ( 工) ， s ( o ) = s o ， m 饼， mg ， 0 ，s t 0 f t 0 f 蔓t 0 t t 0 f ”i o ， 0 s o h l o ， 由于自由边界处的条件不显含自由边界的信息，故不能应用l e r a y - s c h a u d e r 不动点定理来证明存在性。为此，我们采用先证明弱解的存在唯一性， 再用s a r d 定理和隐函数存在定理咀及极值原理所构成的正则化技术来证明该模 型古典解的存在性，这里主要是采用逼近序列的极限将自由边界确定下来。 关键词：m l n i 电池，氢化物电极，次级冻胀，数学模型，古典解，存在 性，唯一性 浙江大学博士学位论文 a b s t r a c t t h i sd o c t o r a ld i s s e r t a t i o ni sc o m p o s e do ft w op a r t s i nt h et w op a r t s t h e r ea r e f o r m u l a t i o n so fm o d e l i n g ，e x i s t e n c ep r o o f sa n du n i q u e n e s sp r o o f sr e s p e c t i v e l y w e a d o p ts e v e r a lm e t h o d st op r o v et h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s sf o rt h e mr e s p e c t i v e l y i nt h ep a r ti w es t u d yt h ew e l l p o s e d n e s sf o rt h es i n g l ep h a s ea n dt w op h a s e m a t h e m a t i c a lm o d e l sr e s u l t i n gf r o mt h ec h a r g e & d i s c h a r g ep r o c e s so fh y d r i d e e l e c t r o d eo fm h n ic e l l n l ep r o o fo fu n i q u e n e s si si nc h a p t e r2 i nt h i sc h a p t e r , w e s h o wt h a tt h eu n i q u e n e s so ft h ec l a s s i c a ls o l u t i o no ft h ef o l l o w i n gp s e u d o2 ds i n g l e p h a s en o n l i n e a rp r o b l e m w jw i l ic a l lt h i sp r o b l e mt 1 1 ep r o b l e mpl a t e r t h ep r o b l e m pi sd e s c r i b e da sf o l t o w s ： ( p ) u t ( x ，y ，f ) = b t y y ( x ，y ，f ) + 9 0 h 。( 工，y ，r ) ，0 x l ，0 0 “。( z ，l ，f ) + a ( u ( x ，1 ，t ) e x p b v 一e x p 卜c ) ) = o ，0 工s 1 ， r 0 u ( x ，y ，0 ) = g ， v 。= d ( u ( x ，1 ，t ) e x p b v 一e x p 一c v ) ) v 。( o ，r ) = 0 ，v ，( 1 ，t ) = e ， 0 x 1 , 0 0 w h e r e ，g ( y ) = 上r o 由+ k ) i s ab o u n d e dc o n t i n u o u sf u n c t i o no n o ，1 t h ep r o b l e mpi san o n l i n e a rp r o b l e mw h i c hi sc o u p l e do ft h et h i r di n i f i a l - b o u n d a r y v a l u e p r o b l e m f o ral i n e a r p a r a b o l i cp a r t i a l d i f i e r e n t i a l e q u a t i o n a n d t w o p o i n t - b o u n d a r y v a l u e p r o b l e mf o r ao r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n w eh a v e p r o v e dt h ee x i s t e n c eo ft h ec l a s s i c a ls o l u t i o no f 山ep r o b l e mp a n dh a v ep u b l i s h e dt h e c o n c l u s i o ni na n o t h e rp a p e r i t i sw e l l k n o w nt h a tt h e r ei sn o ts t a n d a r dm e t h o dt of o l l o wi nt h ep r o o fo ft h e u n i q u e n e s sf o rt h en o n l i n e a rp r o b l e m s w ea d o p tt h em e 血o do ft h ei n t e g r a le s t i m a t e a n da p p l i e dt h eh a r da n a l y s i st e c h n i q u et od ot h i sw o r ki nt h i sc h a p t e r , a n dw eg o tt h e c o n c l u s i o n f r o mc h a p t e r3t oc h a p t e r5 w es t u d yt h ee x i s t e n c eo f 血ec l a s s i c a ls o l u t i o nf o r t h ep s e u d o2 dt w op h a s en o n l i n e a rp r o b l e m ( t h ep r o b l e mq ) w h i c hi sc o u p l e do ft h e p r o b l e mq b a n dt h ep r o b l e mq a i ti sd e s c r i b e da sf o l l o w s ： ( q b ) “，= d z ( u 。+ g ( y ，l i n q ：= 0 工蔓1 ，0 y j ( r ) ，0 f 瓦k v ，= d 。( v 。+ 9 0 ) l ，l i n q ：= o 茎x 1 ，j ( f ) y 1 ，0 r 瓦k u ( x ，j ( f ) ，) = v ( x ，j ( f ) ，f ) = 0 ，i n 0 , 1 ( 0 ，瓦】， d 。v ，( x ，s ( f ) ，f ) 一d f “y ( z ，j ( f ) ，r ) = 腼( f ) ， i n 0 , 1 i x ( o ，瓦】， “。( 工，0 ，f ) = 0 ，i n 【0 , 1 】( o ，瓦】， v 。( x , l ，) + a k ( w ( x ，f ) ，v ( x ，i ，f ) ) = 0 ， i n ( 0 , 1 】x ( 0 ，矗 ， u ( x ，y ，0 ) = f ( x ，y ) ， i n 0 , 1 】 o r 6 】， v ( x ，y ，0 ) = a ( x ，y ) ， i n 【0 , 1 x 【6 ，1 】， s ( 0 ) = b ， 浙江大学博士学位论文 ( ( 弛) iw 。= d k ( w ( x , t ) ，v ( z ，1 ，f ) ) ， l w ，( o ，r ) = o ，m ( 1 ，t ) = e ， w h e r e0 b 1 ，g ( y ) = 4 ( ) + 写) ，a n d 加 0 , 1 ( o ，瓦】， 0 r 0 a st h es i n g l ep h a s ec h a r g ep r o c e s s ( d e s c r i b e db yt h ep r o b l e mp ) d e v e l o p e d ，i t a t t a i n st h ec r i t i c a lv a l u eo f t h ep h a s ec h a n g e t h e ni tb e g i n st w op h a s ec h a r g ep r o c e s s t l l i sy i e l d st h ep r o b l e mq w ea d o p tt h ec l a s s i c a lap r i o re s t i m a t em e t h o da n da p p l y t h el e r a y s c h a u d e rf i x e dp o i n tt h e o r e mt op r o v et h ee x i s t e n c e w ee s t a b l i s ht h e c o n t i n u o u sd e p e n d e n c eo n 血ed a t ao ft h ea u x i l i a r yp r o b l e mq bb ym e a n so ft h e d o u b l e 1 a y e rp o t e n t i a lt h e o r y 1 1 1 cc o n t i n u o u sd e p e n d e n c eo nt h ed a t aw i l lb ei i s e 如l i n t h ep r o o f o f t h ee x i s t e n c ef o rt h ep r o b l e mq i nt h ep a r t2 w es t u d yt h es e c o n d a r yf r o s th e a v em o d e l si nt h ef r e e z i n gs o i l s i n c ep r o f e s s o rg u a nz h i c h e n gc ta 1 h a v eg o tt h ep r o p e rp o s i n gc o n c l u s i o no ft h e m a t i l e m a t i c a lm o d e lc o m p o s e do ft h ee q u a t i o n sb e t w e e n 也ef r o z e nf r i n g ea n df r o z e n r e g i o n ，w es t u d yt h em a t h e m a t i c a lm o d e lc o m p r i s e do fe q u a t i o n sb e t w e e nt h ef r o z e n f r i n g ea n du n f r o z e nr e g i o n t h em o d e lw i l lb ec a l l e d 血ep r o b l e mr a n di sd e s c r i b e d a sf o l l o w s ： ( r ) h o ( “) “，一“。+ a h ( ，) “，= 0 ， 何1 ( “) “。一k l “。+ 硝( ，) “，= 0 ， “( j ( ，) 一o ，) = u ( s ( t ) + o ，t ) = 0 ， k o u ，( j ( r ) 一o ，) = i i “。( s 0 ) + o ，f ) u ( o ，r ) = g o ( r ) ， u ( n l o ，f ) = y ( r ) ， u ( x ，0 ) = u 0 ( x ) ， s ( 0 ) = s o ， 加饼， 拥饼， 0 f 茎t 0 r t 0 r t 0 ，t 0 f ”l o j 0 5 0 啊o s i n c et h e r ei sn o ta n ye x p l i c i tf o r m u l a t i o no ft h ef r e eb o u n d a r ya tt h ef r e e b o u n d a r y , t h el e r a y s c h a u d e rf i x e dp o i n t1 1 l e o r e mm a yn o tb ea p p l i e di nt h ew o r k t op r o v et h ee x i s t e n c e w ep r o v et h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so ft h ew e a ks o l u t i o n f i r s t t h e n w eu s et h er e g u t a r i t yt e c h n i q u et od e t e r m i n et h ef r e eb o u n d a r yb ym e a i l s o fa p p r o x i m a t i n gs e q u e n c eo ff u n c t i o n s t h er e g u l a r i t yt e c h n i q u ei sc o m b i n e dt h e s a r dt h e o r e m ，t h ei m p l i c i tf u n c t i o nt h e o r e m ，t h em a x i m u mp r i n c i p l ea n de t c f i n a l l y , w ep r o v et h ee x i s t e n c eo f t l l ec l a s s i c a ls o l u t i o no f t h ep r o b l e mr k e yw o r d sa n dp h r a s e s ：m h n ic e l l ，h y d r i d ee l e c t r o d e ，s e c o n d a r yf r o s th e a v e ， m a t h e m a t i c a lm o d e l i n g ，c l a s s i c a ls o l u t i o n ，e x i s t e n c e ，u n i q u e n e s s 浙江大学博士学位论文 第一篇m h n i 电池数学问题的理论研究 刖面 对电池氢化物电极的充放电过程进行数学描述，建立数学模型，并进而进行 计算机模拟，以动态而定量地揭示电极内部反应历程，这在理论和实践上，都是 一件非常有意义的工作。近来，越来越多的研究人员和制造商对这种工作产生兴 趣。 然而，几乎所有的这类工作都是直接对数学模型进行数值模拟，而没有考虑 到数学模型之解的存在唯一性。这些数学模型的适定性并不是现成的答案，这使 数值模拟的有效性产生了问题。 本篇的写作结构如下，在第一章中，我们首先简要回顾了问题的背景，并给 出氢化物镍( 1 n i ) 电池电极的化学反应机理。继而在第二章中，我们给出了 m h n i 电池的负电极在放电时的一相简化数学模型。在第三章中，我们证明了 一相简化数学模型古典解的唯一存在性。在第四章中，我们给出了 忸，n i 电池 的负电极在放电时的两相简化数学模型。在第五章中，我们给出了一些技术性引 理以及一些辅助问题解的性质的证明，包括列出一个辅助问题解的已有结论，另 一个辅助问题解及其一阶导数和二阶导数的有界性估计，并利用双层位势理论证 明了其解对已知数据的连续依赖性。在第六章中，我们应用l e r a y s c h a u d e r 不 动点定理证明了由氢化物镍( m i - i n i ) 电池的氢化物电极充放电过程所产生的两相 数学模型之古典解的存在性。 为了应用l e r a y - s c h a u d e r 不动点定理，我们需要辅助问题解对已知数据的 连续依赖性，由于方程的绕射项系数是变系数，用双层位势理论可以来证明连续 依赖性，我们在附录a 给出了双层位势理论的一些结论，我们获得了双层位势 的一些有用的结论，它们的应用使连续依赖性获得了证明。 浙江大学博士学位论文 第一章绪论 本章，我们首先给出问题的背景，然后给出氢化物镍( 删n i ) 电池电极的化 学反应机理。 1 1 问题的提出 许多研究人员和制造商对电池的充放电过程产生兴趣。众所周知，电池的表 现是其内部发生的复杂的化学、物理反应的结果。对电池的充放电过程建立数学 模型，有助于理解这些现象。 八十年代初以来，研究人员只是用一维方程组来建立电池的数学模型，例如， c h o i 和y a o i l l 的镍锌( n i o o h z n ) 电池模型，m i c k a 和r o u s a r 【筇1 的镍锌 ( n i o o h z n ) 电池模型，以及f a n 和w h i t e 【4 0 l 的镍镉( n i o o h c d ) 电池模型 等，他们的数学模型的适定性是有保障的，因此其计算机数值模拟是有意义的。 进入九十年代，研究人员开始用伪二维模型来研究电池的充放电过程，例如， b o u e te ta i 1 6 1 的电池模型，m a oe ta 1 【7 1 的镍氢( n i o o h i y 2 ) 电池模型，v i d t s 和 w h i t e l 8 1 的镍镉( n i o o h c d ) 电池模型以及褚义勇1 9 l 的氢化物镍( m h n i ) 电池模 型等，这些数学模型的适定性没有现成的答案，从而，其计算机数值模拟的意义 不明确，因此，有必要对这些问题的适定性开展研究。 与镍镉( n i c d ) 电池相比，氢化物镍( m h 州i ) 电池除了对人体无危害以外， 还有以下一些突出特点：比能量为镍镉( n i c d ) 电池的1 5 2 倍、良好的耐过 充和过放性能、无记忆效应、主要特性与镍镉( n i c d ) 电池相近，等等。在氢 化物镍( m h n i ) 电池的制造工艺得以突破以来，随着人们的环保意识的增强，用 氢化物镍( m h n i ) 电池代替镍镉( n i c d ) 电池已是大势所趋( 见文献 9 1 ，p 2 ) 。因 此，在本篇中，我们将只对氢化物镍( m h ，n i ) 电池的数学模型的适定性开展研究。 1 2 氢化物镍( m h ni ) 电池电极反应机理 图1 是氢化物镍( m h n i ) 电池的理想化断面图，氢化物镍( m h ，n i ) 电池由三部 分组成：正电极( 多孔氢氧化镍) 、隔离层、以及负电极( 多孔含氢金属m h ) 。 电解液是浓缩k o h 水溶液。 m h 电极隔离层镍电极 包含在模型中的电化学反应是： 正电极( 镍) ： n i o o h + h2 0 + e 骂n i ( o h ) 2 + o h 一 o 2+h2 0 + 2 e _ 苎k2 0 h 一 2 ( 1 1 1 ) ( 1 i 2 ) 浙江大学博士学位论文 负电极( 氢化物) ： 2 h2 0 + 2 e 骂h2 + 2 0 h m h + o h 一骂m + h 2 0 + e 2 0 h 一_ 堕k ；o 2+h2 0 + 2 e m+h2 + o h 一骂m h + h 2 0 + e 上述化学反应方程式在充电时，箭头反向。 集电器 基 堡电器 图l模型中氢化物镍( m h ，n i ) 电池的理想化断面图 参考文献 ( 1 1 3 ) ( 1 1 4 ) ( 1 1 5 ) ( 1 1 6 ) 1 】c h o i ，k w a n dy a o ，n p ( 1 9 7 9 ) i nb a t t e r yd e s i g na n do p t i m i z a t i o n ，s g r o s s ，e d n o p v 7 9 - i ，p 6 3 ，e l e c t r o c h e m i c a ls o c i e t yp r o c e e d i n g ss e r i e s ，p r i n c e t o n ，n j - 【2 】m i c k a ，k a n dr o u s a r , i ( 1 9 8 0 ) e l e c t r o c h i m a c t a ，2 5 ，1 0 8 5 浙江大学博士学位论文 3 】m i c k a , k a n dr o u s a r , j r ( 】9 8 2 ) b d ，2 7 ，7 6 5 【4 】f a n ，d a n dw h i r e ，r e ( 1 9 9 1 ) ，f i e c t r o c h e m s o c ，3 8 ，1 7 【5 f a n ，d a n dw h i t e ，r e ( 1 9 9 1 ) 曲碰，3 8 ，2 9 5 2 6 b o u e t ，j ，r i c h a r d ，f ，a n db l a n c h a r d ，p h ( 1 9 9 0 ) i np r o c e e d i n g so f t h es y m p o s i u mo nn i c k e l h y d r o x i d ee l e c t r o d e s ，c o r r i g a nd a a n dz i m m e r m a na h e d i t o r s ，p v9 0 - 4 ，p 2 6 0 ，t h e e l e c t r o c h e m i c a ls o c i e t yp r o c e e d i n g ss e r i e s ，p e r t n i n g t o n ，n j 7 】m a n ，z ，v i d t s ，p d e ，a n dw h i t e ，r e ( 1 9 9 4 ) j = e l e c t r o c h e m s o c ，1 4 1 ，5 4 【8 】8v i d t s ，p d e a n dw h i r e ，r e ( 1 9 9 5 ) j = e l e c t r o c h e m s o c ，1 4 2 ，1 5 0 9 9 】9 褚义勇宝街钐曹叛庀旃官i 于j 量萨筝柳教值镤拟【硕士学位论文】杭州：浙江大学， 1 9 9 6 9 3 1 2 1 0 4 浙江大学博士学位论文 第二章m h ni 电池一相数学模型 本章，我们首先在伪二维的基础上，给出m h n i 电池的负电极在放电时的 一相简化数学模型。 2 1 一相放电过程数学模型的建立 2 1 1 基本假设 氢化物镍( m h 斛i ) 电池的模型方程建立在以下假设基础上： ( 1 ) 忽略电解液中对流的影响： ( 2 ) 溶液为不可压缩流体，并符合浓溶液规律： ( 3 ) 液相平均活度系数为1 ； ( 4 ) k o h 的扩散系数三，氢原子在氢化物电极中的扩散系数d 。均保持 恒定，不受温度和浓度变化的影响； ( 5 ) 负极中的氢化物颗粒为圆柱形； ( 6 ) 所有的导电材料都紧密地接触在一起，由于导电材料的电阻比起活性 材料来要小得多，因此，可认为在导电基体上电位恒定，固相中的电 位降主要是由活性材料引起的； ( 7 ) 假设金属氢化物具有平的平台压力； ( 8 ) 忽略溶液中k o h 、h ：、o ：的浓差极化，即在充放电过程中，k o h 、 日，、0 ，的浓度保持不变；同时，忽略氢、氧次要反应； ( 9 ) 不考虑固相活性材料中的电阻压降假定反应表面和导电基体具有同 样的电位： ( 1 0 ) 忽略负电极的孔隙度变化，即孔隙度因子e = 常数； ( 1 1 ) 氢化物电极固相合金处于均匀的单相状态。 2 1 2 氢化物电极的放电模型方程 根据反应机理和基本假设，我们写出氢化物电极的放电模型方程如下： x 向共有2 个独立变量，即经过k o h 溶液的电流密度毛和液相电位p ：；y 向的独立变量有1 个，即电极中的氢浓度c 。 x 向的方程组如下： 修正o h m 定律 之k s = 一堕o a r ( 2 川) ， 、7 上式中，k 是电解液的有效电导，y 是曲折度因子。 传输电流 浙江大学博士学位论文 o i _ l z ：， 凹。 ( 2 1 2 ) 对应于反应式( 1 1 4 ) 的电流体积密度_ 可用b u t l e r - v o l m e r 方程来计算 一h 可 妊唧旧c t , a f 哺 一一( 一制 式( 2 1 3 ) 中，口。是m h 电极合金比表面积，f 0 硝是负电极在参考条件下的 m h 反应交换电流密度，口。是m h 反应阳极传递系数，a 。，是m h 反应阴极传递 系数，r 是气体常数，t 是温度，r 1 是过电位，它的计算式为 r i = 一妒2 一u i 一 ( 2 i 4 ) 式( 2 i 4 ) 中，反应式( 1 1 4 ) 在参考条件下的平衡电位是 u i ，可= 一0 9 3 0 4 5 0 0 2 9 5 4 7 l g 斥：。可 ( 2 1 5 ) 其中，乓。，可是参考氢压。 起始点x = o 处的边界条件为 i 2 l = 0 ( 2 1 6 ) 三纠 ：0 ( 2 1 7 ) a xl 。 = ，处是负电极与隔离层的界面，固相电流为0 ，而液相电流达到最大值 j 2 i m = 1 c e l l ( 2 1 8 ) 剖o x 。一罟k 6 ( 2 t l t 9 ) i m ， 7 。 其中，i 。是放( 充) 电电流密度a y 向的方程如下： 活性物质中的质子扩散仅在圆柱体的半径方向y 上进行，按圆柱坐标的f i c k 律，我们有 鲁= 以( 可0 2 c o + 南割 ， 活性物质与h m 基体界面处的边界条件为 6 浙江大学博士学位论文 生l ：0 ( 2 1 1 1 ) o yk 、 电解液与活性物质界面处的边界条件为 坷一刮。= 老 亿z ， 放电时的初始条件为 勺l ，= 0 = o ( 2 1 1 3 ) 注：对于充电模型，只需将( 2 1 1 3 ) 中的初始条件置0 ，并将c 。在y = 0 与y = l y 处 的取值互换即可。 2 1 , 3 小结 至此，我们已将m h n i 电池的m h 负电极的放电的简化模型全部写出，更详 细的内容，请见文献 l 、 2 以及 3 的第四章。 该模型是在伪二维的假设基础上建立的，它由( 2 1 i ) 一( 2 i 1 3 ) 所组成，函数 p ：由于方程( 2 i 3 ) 而成为既是变量x 的也是变量r 的函数，而函数c 口由于边界 条件( 2 1 ，1 2 ) 而成为既是变量x 、y 也是变量t 的函数。因此，x 方向和y 方向的 方程的相互依赖性很强，是一个强偶合方程组的初边值问题。 2 2 模型的无维化处理 本节，我们将前节所述的数学模型作无维化处理，得到一般的数学问题。 令x 玑，y = 皿。矿让；，v 确，“咖) = 硪c a x = , e 专t 肛a o l _ f g = 彘，。= c ：a c l _ _ f f _ f ， k rr 丁 4 2 瓦i l 下y 瓦l o , ”f ，并且在模型2 1 1 2 1 3 消去未知函数b 和_ ，得到一个 等价的无维化数学模型，即问题p ： “。( z ，y ，f ) = u y y ( x ，y ，f ) + g ( y - ，( z ，y ，r ) ，0 x s l ，0 0 ，( 2 2 2 ) “，( x ，1 ，) + 爿( “g ，i ，t ) e x p b y - e x p - c v ) = 0 , 0 工1 ， f o ，( 2 2 3 ) u ( x ，y ，0 ) = g ，0 工1 , 0 0 ，( 2 2 6 ) 浙江大学博士学位论文 其中，g ( y ) = z , 鸲+ k ) 是【o ，1 上的有界连续函数。 2 3 关于问题p 的文献综述 问题p 可以看作是由线性抛物型方程的第三初边值问题( 2 2 1 ) - ( 2 2 4 ) 与半线 性发展二点边值问题( 2 2 5 ) 一( 2 2 6 ) 偶合而成的一个非线性偶合发展初边值问题。 由于问题( 2 2 5 ) 一( 2 2 6 ) 的解依赖于u ( x ，l ，) ，因而间接地成为时间t 的函数， 因此，记其解为v ( x ，) 。而问题( 2 2 5 ) ( 2 2 6 ) 可被称为半线性发展二点边值问题， 也可以被视作以时间t 为参数的单参数半线性二点边值问题。同样，线性抛物型 方程的第三初边值问题( 2 2 1 ) - ( 2 2 4 ) 的解u ( x ，y ，f ) 是因为依赖于v ( 工，t ) 而成为x 的函数，因此，线性抛物型方程的第三初边值问题( 2 2 i ) 一( 2 2 4 ) 可以被视作以x 为参数的单参数线性抛物型方程的第三初边值问题。 线性抛物型方程的第三初边值问题的一般理论见文献 4 ，p 6 1 6 2 ，以及第 五章 及 5 ，它已经比较完美了。半线性二点边值问题的般理论见文献及研究 方法见文献 6 ，p 6 一l 7 以及文献 7 。 我们在文献 8 中，已经证明了问题p 古典解的存在性。在下一章，我们将 证明问题p 古典解的唯一存在性。 参考文献 m a o ，z ，d t s ，p d e ，a n dw h i t e ，r e ( 1 9 9 4 ) je l e c t r o c h e ms o c ，1 4 1 ，5 4 2 】v i d t s ，pd e a n dw h i t e ，r e ( 1 9 9 5 ) j ：e l e c t r o c h e m s o c ，1 4 2 ，1 5 0 9 3 褚义勇氢化纺曹扳在兹宕i f 翟矛舅税裁省秀# 烈【硕士学位论文】杭州：浙江大学， 1 9 9 6 9 31 2 1 0 4 】费里德曼，a 著夏宗伟译( 1 9 8 4 ) 掰劫望惰暂分方稠：m 】北京：科学出版社 【5 】l a d y z c n s k a j a , o a ，s o l o r m i k o v , va ，a n du r a l c e v a , n n ( 19 6 8 ) l i n e a ra n dq u a s i - l i n e a r 目u a t i o n so f p a r a b o l i ct y p e m a m s t r a n s l a t i o n s2 3 6 】c h a n g ，k wa n dh o w e s ，f a ( 1 9 8 4 ) n o n l i n e a r s i n g u l a r p e r t u r b a t i o n p h e n o m e n a ：t h e o r y a n d a p p l i c a t i o n m n e wy o r k ：s p r i n g e r - v e r l a g 7 l a k s h m i k a n t h a m ，v _ ( 1 9 8 4 ) t h e p r e s e n t s t a l eo f t h em e t h o d o f u p p e ra n d l o w e r s o l u t i o n s t r e n d s 加t h e o r ya n dp r a c t i c eo f n o n l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s m 】e d i t e db yv l a k s h m i k a m h a m ，m a r c e ld e k k e r , i n c ，n e wy o r ka n db a s e l ，p p 8 5 - 2 9 9 、趴橘已衰窀意藏( 2 0 0 、氢纯饧电极充鼓电过程所产生的数学晦题2 吉典解鲍存在强n 高校应用数学学报a 辑，1 6 ( 3 ) ，p p 2 9 9 3 0 8 浙江大学博士学位论文 第三章m h ni 电池一相数学问题之古典解的唯一存在性 因为我们已经在文献 1 中证明了m h n i 电池一相数学问题( 问题p ) 之古 典解的存在性，本章，我们只需要证明解的唯一性。所谓问题p ，它在2 2 中定 义，即下述问题： “，( 工，y ，t ) = “。( 工，y ，f ) + g 抄皿，( x ，y ，r ) ，0 工1 , 0 o ，( 2 2 2 ) “。( 工，i ，f ) + 彳( “b ，1 ，t ) e x p b v ) 一e x p - - c v ) = 0 , 0 工1 ， f o ，( 2 2 3 ) u ( x ，y ，o ) = g ，0 s 工1 , 0 0 ，( 2 2 6 ) 引理3 1 存在正常数m ，m 使得0 m s u ( x ，) ，f ) m ，一m v ( x ，t ) m 其中( z ，y ，f ) 一q t 。 证明：由文献 1 的定理3 1 之证明过程中的5o ，易得上述结论。口 为书写方便起见，在下面的证明中，我们引进如下记号，记 f ( u ，v ) = u ( x ，1 ，t ) e x p b v ( x ，f ) ) 一e x p 一c v ( x ，f ) ) 。 定理3 2 问题p 的古典解是唯一存在的。 证明：不妨设( w ，v i ) ，忸：，v 2 ) 是问题p 的两组解，令u = “。一“：， 那么，我们得到 u ，( ，y ，) = u y ( x ，y ，f ) + g ( y 妙。( x ，y ，r ) ，0 兰z 1 ，0 0 ( 3 2 ) u 。( 工，1 ，f ) + a f ( u 。x ，1 ，f l v l ( x ，t ) ) - f ( u 2 g ，1 ，f l v 2 ( 工，f ) ) 】= 0 ，0 zs 1 ， 0 ( 3 - 3 ) u ( x ，y ，0 ) = 0 0 x 1 ，0 y i y 二( x ，f ) = d f ( u g ，1 ，f l v 。( x ，r ) ) 一i ( u ：g ，1 ，l v 2 ( x ，f ) ) 】，0 0 ( 3 6 ) 在( 3 1 ) 两端乘以u ，并在9 上积分得： 丢jf u2 ( w ，f ) 出咖= “爿叭姒硝f ) ，嘣列) ) 一，( 州硝f ) ，v 舡，f ) ) 州“，) 西曲 塑垩堑塑型堂里旦里一 一i jl u a y a t + j ll g ( y ) u ，u d x d y d t ， 整理上式得： 告ff u2 撕+ i ll u y 2 d x d y d t + m 叭枷) “p b v l