（化工过程机械专业论文）纤维增强复合材料轴对称界面端应力奇异性研究.pdf

浙江工业大学硕士学位论文 纤维增强复合材料轴对称界面端 应力奇异性研究 摘要 界面是复合材料极为重要的微观结构，目前复合材料的结构和应用中存在许多的轴对 称界面端和圆柱界面裂纹，通常是材料破坏的起点。由于界面端的应力奇异性和界面裂纹 尖端的振荡应力奇异性，要建立适合结合材料的强度和可靠性的评价方法，必须首先求取 表征界面问题的参数，如应力奇异性次数，应力角函数以及应力集中系数等。 本文提出了一种分析横观各向同性纤维增强复合材料轴对称界面端的奇异应力场的 特征值法。主要工作和成果如下： 1 基于横观各向同性弹性材料空间轴对称问题的基本方程和一阶近似假设，利用分 离变量形式的位移函数，分析了具有任意界面角和结合角的横观各向同性轴对称界面端问 题，导出了关于应力奇异性指数和应力角函数的奇异性特征方程，并用无网格方法对其进 行了数值离散。求解离散化的特征方程，可以得到横观各向同性双材料轴对称界面端的各 阶应力奇异性指数、相应的位移角函数和应力角函数，其结果与有限元分析结果完全吻合。 2 利用有限元计算得到的奇异应力场，结合特征值法给出的应力奇异性指数和应力 角函数，通过线性外插得到了相应的应力强度系数。特征值法结合有限元分析，可以完全 确定横观各向同性纤维增强复合材料轴对称界面端的奇异应力行为。 3 讨论了表示纤维半径与轴对称界面端的应力奇异性支配区域大小的相对比值的尺 寸参数占对应力奇异行为的影响。结果表明当纤维半径比奇异性支配区域大小高两个数量 级以上时，特征值法得到的一阶近似结果与准一阶的解析解的结果一致；而纤维半径相对 奇异性支配区域的大小低于两个量级时，准一阶近似的理论结果不能准确描述奇异点附近 的应力奇异行为，此时，必须要考虑尺寸效应的影响。 关键词：横观各向同性，轴对称界面端，应力奇异性，特征值法 浙江工业大学硕士学位论文 o nt h es t r e s ss i n g u l a r i t i e sa tt h e a s y m m e t r i ci n t e r f a c ew e d g e o ff i b e r r e i n f o r c e dc o m p o s i t e s a b s t r a c t i n t e r f a c e sa r ei m p o r t a n tm i c r o s t r u c t u r e so f c o m p o s i t e sa n da x i s y m m e t r i ci n t e r f a c ew e d g e s o ra x i s y m m e t r i cc y l i n d r i c a li n t e r f a c ec r a c k sa r ec o m m o n t h e r em a ya p p e a rm u l t i p l es t r e s s s i n g u l a r i t i e sa ta x i s y m m e t r i ci n t e r f a c ew e d g e sf i t sw e l la so s c i l l a t o r ys i n g u l a r i t i e sa ta x i s y m m e t r i c c y l i n d r i c a li n t e r f a c ec r a c k s ，w h i c hu s u a l l yl e a dt ot h ef a i l u r eo fc o m p o s i t e s t h e r e f o r et h e c o m p r e h e n s i v eu n d e r s t a n d i n go ft h es i n g u l a rb e h a v i o r ss h o u l db et h ep r e c o n d i t i o n sf o rt h e s t r e n g t ha n dr e l i a b i l i t yc r i t e r i o n so fc o m p o s i t e s t h ep a r a m e t e r sf u l l yd e s c r i b i n gt h es i n g u l a r b e h a v i o r si n c l u d et h eo r d e ro fs t r e s ss i n g u l a r i t y , t h es t r e s sa n g u l a rv a r i a t i o n s ，a n dt h es t r e s s i n t e n s i t yc o e f f i c i e n t s a ne i g e n v a l u em e t h o dw a s p r o p o s e dt os t u d yt h es i n g u l a rs t r e s sf i e l da tt h ea x i s y m m e t r i c i n t e r f a c ew e d g eo ft h ef i b e rr e i n f o r c e dc o m p o s i t e s t h em a j o rw o r ko ft h i sp a p e ri sa sf o l l o w s ： 1 b a s e do nt h ef u n d a m e n t a le q u a t i o n so ft h es p a c i a la x i s y m m e t r i cp r o b l e mo ft h e t r a n s v e r s e l yi s o t r o p i cm a t e r i a l sa n dt h ef i r s t o r d e ra p p r o x i m a t i o na s s u m p t i o n ，t h ed i s c r e t e c h a r a c t e r i s t i ce q u a t i o nw a sd e r i v e db yu s i n go ft h ed i s p l a c e m e n tf u n c t i o n sw i t hs e p a r a t e d v a r i a b l e sa n dt h em e s h l e s sm e t h o d t h ee i g e n v a l u ei sr e l a t i v et ot h eo r d e ro fs t r e s ss i n g u l a r i t y ， a n dt h ea s s o c i a t e de i g e n v e c t o ri sw i t hr e s p e c tt ot h es t r e s sa n g u l a rv a r i a t i o n s t h eo r d e ro f s t r e s ss i n g u l a r i t y ，t h ea s s o c i a t e dd i s p l a c e m e n ta n ds t r e s sa n g u l a rv a r i a t i o n so b t a i n e d b y e i g e n v a l u em e t h o da r e i ng o o da g r e e m e n tw i t l lt h o s eb yf e m 2 b a s e do nt h eo r d e ro fs t r e s ss i n g u l a r i t ya n dt h ea s s o c i a t e ds t r e s sa n g u l a rv a r i a t i o n s d e t e r m i n e db yt h ee i g e n v a l u ea n a l y s i s ，a sw e l la st h en u m e r i c a lr e s u l t so fs i n g u l a rs t r e s sf i e l d s b yf e m ，t h es t r e s si n t e n s i t yc o e f f i c i e n tw a sa l s oo b t a i n e di nt e r m so ft h el i n e a re x t r a p o l a t i o n t h es i n g u l a rs t r e s sf i e l da r o u n dt h ea x i s y m m e t r i ci n t e r f a c ew e d g ec a nb ec o m p l e t e l yd e t e r m i n e d b yt h ed e v e l o p e de i g e n v a l u em e t h o dc o u p l i n gw i t ht h ef e ma n a l y s i s 3 t h ei n f l u e n c e so fd i m e n s i o n l e s sp a r a m e t e rd ，w h i c hd e n o t i n gt h er a t i oo ft h ef i b e r s r a d i u st ot h es i n g u l a rd o m i n a t e dr e g i o n ，a r ed i s c u s s e d t h er e s u l t ss h o wt h a t ，w h e nt h er a t i oi s m o r et h a nt w oo r d e r so fm a g n i t u d e ，t h ep a r a m e t e r so b t a i n e db ye i g e n v m u em e t h o da r ei ng o o d 浙江工业大学硕士学位论文 a g r e e m e n t 、析t ht h o s eb yf i r s t - o r d e ra p p r o x i m a t i o n ；w h e nt h er a t i oi sl e s st h a nt w oo r d e r so f m a g n i t u d e ，t h ep a r a m e t e r so b t a i n e db yf i r s t - o r d e ra p p r o x i m a t i o nc a l ln o td e s c r i b et h es i n g u l a r s t r e s sf i e l dn e a rt h es i n g u l a r i t yp o i n t s ，a n dt h e nt h ei n f l u e n c e so f 艿m u s tb ec o n s i d e r e d k e yw o r d s ：t r a n s v e r s ei s o t r o p y , a x i s y m m e t r i ci n t e r f a c ew e d g e ，s t r e s ss i n g u l a r i t y ，e i g e n v a l u e m e t h o d 浙江工业大学硕士学位论文 符号说明 ( ，秒)奇异点奇异应力 “，( ，d奇异点位移 s f奇异特征值 奇异特征值实数部分 奇异特征值虚数部分 1 一j c应力奇异性指数 越( 印位移角函数 人p ( 臼)位移角函数实数部分 衅( p )位移角函数虚数部分 ：( d应力角函数 盯r e ( 9 )应力角函数实数部分 尹( 臼)应力角函数一虚数部分 应力强度系数 k r 。 应力强度系数实数部分 k h 应力强度系数一虚数部分 九弹性常数 e弹性模量 泊松比 万= d ，纤维半径与轴对称界面端的应力奇异性支配区域大小的相对比值 界面结合角 仍材料1 界面端角 仍材料2 界面端角 傩材料k 所属区域内的离散节点个数 m )核函数中心固定于只且相应于区域k 的第f 个离散节点的插值函数 a f j ( f = ，d 未知的节点位移角函数列向量 n 。( 口)插值函数行向量 n ：( 只)插值函数行向量的一阶导数 n ：( 谚)插值函数行向量的二阶导数 i v 浙江工业大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所提交的学位论文是本人在导师的指导下，独立进行研究工作 所取得的研究成果。除文中已经加以标注引用的内容外，本论文不包含其他个人或 集体已经发表或撰写过的研究成果，也不含为获得浙江工业大学或其它教育机构的 学位证书而使用过的材料。对本文的研究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中 以明确方式标明。本人承担本声明的法律责任。 作者签名：镐硝0 日期：) ) ，7 年芗月日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保留 并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本 人授权浙江工业大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 l 、保密口，在年解密后适用本授权书。 2 、不保划 ( 请在以上相应方框内打“”) 作者签名：镐硝牝 导师签名：习级嚷 日期j3 穹年多月2 占日 日期：矽稚l 月名日 ， 浙江工业大学硕士学位论文 第1 章绪论 1 1 研究背景及意义 复合材料( c o m p o s i t em a t e r i a l s ) 是以一种材料为基体( m a t r i x ) ，另一种材料为增强体 ( r e i n f o r c e m e n t ) 组合而成的材料。各种材料在性能上互相取长补短，产生协同效应，使复 合材料的综合性能优于原组成材料而满足各种不同的要求。例如碳纤维与环氧树脂复合的 材料，其比强度和比模量均比钢和铝合金大数倍，还具有优良的化学稳定性、减摩耐磨、 自润滑、耐热、耐疲劳、耐蠕变、消声、电绝缘等性能。非金属基复合材料由于密度小， 用于汽车和飞机可减轻重量、提高速度、节约能源。 先进复合材料正大量应用于航空航天工业，碳纤维增强碳、石墨纤维增强碳或石墨纤 维增强石墨，构成耐烧蚀材料，已用于航天器、火箭导弹和原子能反应堆中。2 0 0 7 年试 飞的波音b 7 8 7 飞机中，复合材料用量高达5 0 。运载火箭的箭体、固体火箭发动机壳 体、卫星和大型空间站的大型太阳能电池阵基板、卫星展开式天线结构等都大量使用碳纤 维增强树脂复合材料。该材料的密度仅为铝合金的6 0 ，且具有整体成型的优点，可以 大量节省连接构件时使用的铆钉、螺钉等紧固件，用它代替铝合金，可以使飞机结构的质 量减少2 5 左右【1 捌。 复合材料一般是由增强相、基体相和它们的中间相( 界面相) 组成，各自都有其独特的 结构、性能与作用。增强相主要起承载作用，基体相主要起连接增强相和传载作用，界面 是增强相和基体相连接的桥梁，同时是应力的传递者。界面是复合材料极为重要的微观结 构，它作为增强体与基体连接的“桥梁”，对复合材料的物理机械性能有至关重要的影响， 尤其影响复合材料层间剪切、断裂、抗冲击等性制引。 从力学分析的角度看，在界面上，一部分力学参数是连续的，而有一部分则是不连续 的。由于相互结合的材料各自的力学性质不同，界面上的内部条件，实际代表了一侧材料 对另一侧材料变形的约束。这种约束存在，会引起界面以及附近的应力集中，特别是在界 面几何形状突变处，在线弹性理论范畴内，会出现应力趋于无穷大的现象，即应力奇异现 浙江工业大学硕士学位论文 象。界面存在以及界面缺陷引起的应力集中及残余应力等，使得界面附近的材料处于较高 的应力水平，因而，结合材料构成的结构的强度和寿命，一般取决于界面的强度寿命特性， 而结合材料的破坏通常都从界面或其附近发生。由于界面端的应力奇异性和界面裂纹尖端 的振荡应力奇异性，以及界面本身与母材的强度不同，传统的强度评价方法，如应力为基 本评价参数的材料力学式的方法，和以裂纹应力强度因子为基本评价参数的断裂力学式方 法，都不能直接用来评价结合材料的强度或断裂行为。而要建立适合结合材料的强度和可 靠性的评价方法，必须首先求取表征界面问题的参数，然后才能在此基础上确定评价参数 及破坏准则。因此，精确地分析界面及其附近的应力分布状况，是建立结合材料强度和可 靠性分析理论的基础，也是为新材料、新结构的设计与开发提供理论指导的基础【4 l 。 目前使用的复合材料主要是纤维增强复合材料【l 】。在长纤维增强复合材料中，由于制 造上的原因，在纤维与基体之间可能会产生圆柱形界面裂纹。在外载荷作用下，纤维在基 体内可能会断裂，拔出后产生轴对称界面端；或者基体断裂后产生纤维与基体之间的无脱 粘或有脱粘的纤维拔出问题p 1 。在短纤维增强复合材料中，由于在纤维端部存在着轴对称 界面角点，因而，在界面角点附近产生应力奇异，并可能在纤维与基体之间发生界面剥离， 从而，在纤维端部形成轴对称币形或圆柱形界面裂纹一1 。复合材料界面剪切强度是复合材 料的一个重要的界面性能指标，在测定纤维增强复合材料界面强度的纤维拔出v j 、压入例、 压出网和微粘结【1 等实验方法中，也存在着轴对称界面端、界面角点和轴对称币形或圆柱 形界面裂纹。而且由断裂、拔出、压入和微珠等四种试验方法得到的界面剪切强度值分散 性很大【1 1 1 ，戴瑛等【1 2 , 1 3 l 指出：了解界面端的应力奇异行为是建立界面脱黏判据的先决条 件。因此，为了弄清纤维增强复合材料的破坏原因，对实验结果进行更精确的分析，必须 对纤维与基体的轴对称界面裂纹、界面端和界面角点的应力奇异性及其附近的奇异应力场 进行研究。 由于界面问题的复杂性，只有较少数的界面问题可以理论求解，而实验测量也很难准 确测量界面处的应力。在多重应力奇异性的情况下，实际的位移场和应力场总是以多重应 力奇异性叠加的形式出现的，在某些方向( 如对应于最强的应力奇异性次数的角函数为零 的方向) 上，甚至是较弱的应力奇异性占支配地位，因此，确定各阶应力奇异性次数及其 相应的应力强度系数，对于完整地描述奇异点附近的位移场和奇异应力场，进而正确地考 虑其评价方法，具有重要意义。另外，确定多重应力奇异性次数所对应的应力强度系数也 非易事，目前该强度系数主要还只能以数值或实验方法确定【l4 1 。 浙江工业大学硕士学位论文 结合材料中的基体或增强纤维材料有的为各向同性材料，如玻璃纤维，但也有很多为 横观各向同性材料，如硼纤维、石墨纤维等。目前对轴对称界面问题的研究多集中在对各 向同性结合材料的研究，而对横观各向同性材料的理论与数值研究都比较少。 综上所述，建立一种高精度的数值方法，来求取表征横观各向同性轴对称界面问题的 特征参数，如应力奇异性次数，应力角函数以及应力集中系数等参数，具有重要的理论及 工程意义。 1 2 研究现状与分析 物理意义上的界面，即材料的结合部，实际上是一个具有十分复杂力学行为的中间材 料所占据的区域，或一层微观上表面不平的粘结剂，称为界面相。界面相材料可以是由扩 散引起的，也可以是由产生化学反应形成的。但在宏观连续介质力学模型建模来考虑，由 于界面层很薄，通常在几个微米到数百个微米量级，而其材料组织分布又十分复杂，定量 评价其力学性能几乎不可能，因此通常会把界面结合部理想化为一个有自身强度特性而没 有厚度的面( 平面或者曲面) ，即力学意义上的界面( i n t e r f a c e ) 。 通常需要根据实际结合部的具体情况来决定是曲面界面还是平面界面，是单个界面还 是多个界面。对于常见的结合方法，形成的界面相厚度一般最多在数百个微米以下，在考 虑其宏观力学性能时，都可以把它理想化为一个界面。但是随着制造工艺的发展，也有不 同的界面相距很近的情况。例如在先进芯片中，硅片的厚度以及硅片相互之间的间隔可以 在微米甚至纳米的量级，此时，由于间隔层( 双面胶或者其它粘结剂) 的物性相对稳定， 仍必须做多个界面处理1 4 j 。 1 2 ，1界面力学模型1 4 j ( a ) 明显呈曲面形状的界面建模 曲线界面 浙江工业大学硕士学位论文 ( ”界面极薄且基本为平面的界面建模 ( c ) 界面相较厚且具有稳定中间层的界面建模 图1 1 界面力学模型 f i g 1 1 i n t e r f a c em o d e l s 界面1 界面2 界面的力学模型如图1 1 所示，当界面层较薄时，简化为一个界面，如图1 - 1 ( a ) 、图 1 1 ( b ) ；而当界面层较厚时，在其中心位置附近通常会形成一个物性相对稳定的中间层， 应该当作两个界面来处理，如图l 一1 ( c ) 。 ( a ) 界面端( b ) 界面折点( c ) 界面裂纹尖端 图l - 2 界面应力奇异点 f i g 1 - 2 i n t e r f a c es i n g u l a rp o i n t s 4 - 浙江工业大学硕士学位论文 到目前为止，大多数关于界面问题的研究，都集中在宏观线弹性范围内，而其中绝大 多数是又关于应力分析的。人们对宏观界面及其对应力分布( 应力奇异性) 的影响已有一 些普遍认同的观点，在图1 - 2 所示的界面奇异点附近，即界面端部( 结合界面和材料表面 的交点) 、界面角点( 即界面的转折处) 以及界面裂纹尖端附近，应力和位移可以统一描 述为 ( ，秒) = 壹，d 鬈；( 臼) f 1 1 ( ，d = ，疋衅 f 篁i ( 1 - 1 ) 兵甲，为呙奇异点阴距离，刀表不腰刀订羿住阴思l 毅。s f 杯为奇异行，仕值，逋常取值 范围为o r e s f 0( 在影响域q j 内) ( 2 ) 伊( x x ，) = 0( 在影响域q ，外) ( 3 ) l 缈0 一_ 盥= 0 ( 在整个域q 上) ( 4 ) 伊o x ，) 为单调减函数，即它随着x 至l j x t 的距离的增加而减小 可以看出，权函数是一个紧支函数，即它只在对于节点x ，生成的q ，( x - 巧) 0 的局部 区域内有定义，而在其它区域为零。使权函数有定义的局部区域，一般称为紧支撑域或者 权函数影响域。权函数与空间距离有关，假设 尹( 工一) = 缈( 力 ( 3 8 ) 其中，d 为计算域中任意点到节点而的距离，e pd = l l x - x , i l 。对于圆形权函数影响域，设 其半径为口，对式( 3 8 ) 的自变量做无量纲处理，可得 伊( 形口) = 矿( d ) ( 3 9 ) 浙江工业大学硕士学位论文 式中，孑= d a 为无量纲权函数影响半径。 根据权函数的选取原则，可以构造出许多满足这些条件的权函数，其中在数值计算中 常见的有： ( 1 ) 幂权函数 厕= r 户蠹 其中，口的通常取值为口= 0 4 。 ( 2 ) 三次样条函数 ( 3 ) b 样条插值函数 缈( 舀) = ， 三一4 j 2 + 4 孑3 3 兰一4 孑+ 4 孑：一兰孑s 33 0 认西= 嘉 1 6 孑2 + 6 孑3孑三 2 o - a ) 3 丢 i 3 2 奇异性特征方程 采用无网格法，数值求解第二章的一维边值问题。取二阶基函数为 p r ( x ) = 【l ，x ，x 2 】 ( 3 - 1 3 ) 权函数为 10 2 乙 贴r 吖，) - 吉 ( 2 q ，6 l 邵2 ( 3 1 4 ) 【( 2 3 ) 一z ；( 1 一z ，2 ) 0 z ，1 其中，z ，= i ( 靠一x ，) d l ，d 表示支持域在x 方向的大小。 无网格法离散双材料轴对称界面端模型时，每种材料占据的区域具有各自独立的离散 节点分布。位于双材料界面上的坐标相同的节点对，由于分属于不同的离散节点分布，因 )_ 工l - )lt _ 一 一2一d 2 个实数应力奇异性时，在奇异性支配区域内，在距离奇异 点半径为r k 的环线上，任取刀个角坐标分别为以( m = 1 刀) 点，取出其上对应于无网格 离散节点的奇异应力值( ，既) ，以及由特征值法确定的奇异性指数s f 和应力角函数 ；( 巳) ( f = 1 ”) 。将这些参数代入公式( 3 - 2 3 ) ，得到以鬈( ) 为未知量的聆元线性方 程组，求解可得相应的应力强度系数t ( 噍) 。最后以，为横坐标，t ( 厂) 为纵坐标，绘制 ，一k ，p ) 关系曲线，采用线性外插法，即可得到厂= 0 时的应力强度系数峰。 3 3 3 一对共轭复数根 与共轭特征值相对应的应力和位移可以表示为 其中，芦= r l ，表示离奇异点的距离，与特征长度三的比值。 在距离奇异点半径为吃的环线上，任取2 个角坐标分别为b 和岛的点，取出对应于无 网格离散节点的奇异应力值( 吒，岛) 和也，岛) ，以及特征值法确定的奇异性指数s 黜、 j 川川叫叫 鸟 h j 要 0 p 呱 义 1 ) 磊 沁 砖 忆 伊 力 v p h 矿斟， 砖 ) 卜 尹， 停 芦 h m 跏 咿 0 引 吒 g a 酊 d 力 一一厉一瓜 浙江工业大学硕士学位论文 和相应的应力角函数( 幺) 、笋鸭) 、z 乒( 幺) 、( 岛) 。将以上参数代入公式( 3 - 2 7 ) ， 可以得到以应力强度系数k 以) 、瓴) 为未知量的两元线性方程组 c r u ( r k ，a t ) = k r e ( r k ) 嘞( ，七，q ) + k i m ( ，七) ( 噍，幺) ( ，岛) = 氐( ) a q ( r t ，幺) + k t n l ( 吃) b q ( ，七，魄) ( 3 - 2 8 ) 其中 瓴，巳) = 去s a e - i 【( 巳) c 。s o 岫l n 力+ 尹( 巳) s i i l 。hl n 歹) 】 瓴，见) = 面r k s k - il 厶l ，r e ( 色) s 缸s i r el n y ) 一严( 巳) c o s ( s z mi n ) r e = l - 2 ( 3 - 2 9 ) 求解方程组( 3 2 8 ) ，可得应力强度系数瓦( ) 、k ( ) 。以，为横坐标，分别以氏( 咯) 、 k 1 m ( r k ) 为纵坐标，绘$ 1 j r - k ( r ) 关系曲线。然后，采用线性外插法，即可得到，= 0 时的 应力强度系数氏瓴) 、k ( ) 。 3 4 本章小结 本章简单介绍了无网格算法，包括无网格法的函数近似，形函数和权函数的构造等。 利用无网格法对上一章得到的横观各向同性轴对称界面端通用特征方程进行了数值离散， 即采用无网格法中的固定核重构法构造形函数，得到了用无网格节点上的场变量表示的与 应力奇异性指数以及角函数相关的离散化的特征方程。求解该特征方程，可以得到各阶应 力奇异性次数，以及相应的位移、应力角函数。 本章还给出了当特征方程为单个实数根、多个实数根以及一对共轭复数跟情况下的应 力强度系数的求解方法。 浙江工业大学硕士学位论文 第4 章轴对称界面端及圆柱型界面裂纹的奇异应力场 目前使用的复合材料主要是纤维增强复合材料【l 】。在长纤维增强复合材料中，由于制 造上的原因，在纤维与基体之间可能会产生圆柱形界面裂纹。在外载荷作用下，纤维在基 体内可能会断裂，拔出后产生轴对称界面端；或者基体断裂后产生纤维与基体之间的无脱 粘或有脱粘的纤维拔出问题p 1 。在短纤维增强复合材料中，由于在纤维端部存在着轴对称 界面角点，因而在界面角点附近产生应力奇异，并可能在纤维与基体之间发生界面剥离， 从而在纤维端部形成轴对称币形或圆柱形界面裂纹州。 本章研究横观各向同性轴对称界面端和圆柱形界面裂纹问题的具体算例。对于纤维拔 出问题，建立轴对称有限元模型，对特征值法得到的奇异特征值及相应的位移、应力角函 数进行验证。结合有限元模型得到的奇异应力场，用线性外插法讨论相应的应力强度系数。 同理，建立圆柱形界面裂纹的有限元模型，讨论了裂尖的振荡奇异场以及相应的应力强度 系数。最后本章还研究了纤维径向尺寸对于界面端应力奇异行为的影响。 4 1 纤维拔出界面端 4 1 1 特征值法模型 图4 1 轴对称界面端 f i g 4 - ia x i s y m m e t r i ci n t e r f a c ew e d g e 浙江工业大学硕士学位论文 纤维拔出界面端模型如图4 1 所示，其中，基体为各向同性材料，纤维为横观各向同 性材料。界面结合角= 0 。，界面角仍= 一1 8 0 。，仍= 9 0 。，下标中的1 和2 分别表示纤维 和基体。 基于一阶近似的轴对称界面端的奇异应力场可写为1 0 1 ( ，国= ，矿1 k ，z ；( 刃( 4 - 1 ) 其中，拧表示应力奇异性的总个数，( 1 - s ，) 表示应力奇异性指数，k ，和；( d 分别表示相 应于j 。的应力强度系数和应力角函数。若上述各个参量已知，奇异应力场就可以完全确定。 采用特征值法，分析图4 - l 所示的纤维拔出模型轴对称界面端的奇异应力场。各向 同性环氧树脂基体的材料常数为p 2 】： l = 五3 = 3 0 g p a ， 2 = a 3 = 1 8 g p a ，扎= 0 6 g p a ； 横观各向同性碳纤维的材料常数为【3 刁：五l = 2 1 5 g p a ，五2 = 5 5 g p a ，磊3 = 5 。4 g p a ， 五3 = 2 0 2 2 g p a ，五4 4 = 3 0 0 g p a 。数值计算时，尺寸参数万= d ，取为无穷大，即假设纤维 半径远大于奇异支配区的尺寸，忽略了纤维的尺寸效应。 轴对称界面端模型的无网格节点分布，由分别隶属子基体( 实点) 和纤维( 空心圆) 的两个各自独立的节点分布组成，离散节点在两个区域内都是均匀分布的，如图4 2 所示。 纤维区域内共划分9 7 个离散节点，基体区域有4 9 个离散节点。 特征值法的计算结果表明：轴对称界面端的奇异应力场只有单个实数应力特征值j ， 应力奇异性指数大小为1 一j = 0 3 4 9 。由与奇异性特征值相应的特征向量，得到了归一化的 位移和应力角函数，分别如图4 3 和图4 - 4 所示。 ) d 7 一 m 图4 2 无网格节点分布示意图 f i g 4 - 2 d i s t r i b u t i o no f t h em e s h l e s ss c a t t e r e dp o i n t s 浙江工业大学硕士学位论文 c 2 罢 要 k 旦 己 c 叮 芒 o e 8 娈 鲁 石 a n g u l a rc o o r d i n a t eo d e g r e e 图4 - 3 归一化的位移角函数分布图 f i g 4 - 3 n o r m a l i z e dd i s p l a c e m e n ta n g u l a rv a r i a t i o n s a n g u l a rc o o r d i n a t e0 d e g r e e 归一化的应力角函数分布 f i g 4 - 4 n o r m a l i z e ds t r e s sa n g u l a rv a r i a t i o n s 4 1 2 有限元模型 对图4 5 所示的纤维拔出模型( l = 5 m m ，口= l m m ，6 = 3 m m ) 进行有限元分析，验证 特征值法的有效性。纤维端部施加大小为p = 1 0 m p a 的轴向均布拉力，位移约束如图所示。 模型采用2 d 四节点轴对称单元p l a n e 4 2 。界面端附近划分1 4 0 4 个单元，最小单元尺寸 约为l 1 0 _ 4 口，有限元网格如图4 - 6 所示。 浙江工业大学硕士学位论文 产 干 i l i o i ： 图4 巧纤维拔出模型 f i g 4 - 5 m o d e l o f t i b e t p u n - o u t 图4 缶有限元网格 f 嘻4 6 f i n i t ee l e m e n t m e s h 当界面端只存在单一的应力奇异性时，公式( 籼1 ) 简化为 ( r ，研= ，“k ，( 4 - 2 ) 任选一个方向口= 岛则这个直线方向上的角函数z 。慨) 为常数对公式( 4 - 2 ) 左右两端 取对数得到 l o g t y p = l o g k + l o g z ( o o ) 一( 1 一s ) l o g r = c o 一( 1 - s ) l o g r ( 4 - 3 ) 浙江工业大学硕士学位论文 由公式( 4 3 ) 可知，此时奇异点附近直线p = e o 上的双对数应力分布为直线，其斜率即为 应力奇异性指数。 通过有限元计算，得到了界面端d 7 附近沿秒= 2 2 5 0 方向的双对数应力分布，如图4 7 所示。四个应力分量的双对数曲线都有非常好的线性并且近似平行，表明界面端d 只存在 一个实应力奇异性指数。用最小二乘法对每条双对数应力分布曲线进行线性拟和，得到四 个应力分量确定的应力奇异性指数，分别为：o r r ：( 1 一s ) = 0 3 5 5 ，o r e ：( 1 一j ) = 0 3 5 5 ， ：( 1 - s ) = 0 3 5 8 ，o r ：( 1 一s ) = 0 3 5 4 。比较特征值法与有限元模型得到的应力奇异性指 数，两者之间的最大相对误差仅为2 6 ，表明两种方法的结果吻合良好。 n o r m a l i z e dd i s t a n c ei o g ( r l ) f r o ms i n g u l a rp o i n t 图4 7 l o g ( 盯p ) 随l o g ( r l ) 的变化 f 喀4 - 7v a r i a t i o n so fl o g ( o p ) v e r s u sl o g ( r l ) 在界面端d 7 附近的应力奇异性支配区域内，选取与奇异点d 等距离的任一条环线， 如图4 5 所示，取出其上所有单元节点的角坐标、位移分量和应力分量。选取的所有单元 节点，具有相同的径向坐标，o ，环向坐标在区间卜1 8 0 。, 9 0 。】。位于环线1 7 上各单元节点的 位移和应力角函数可表示为 欠，( 乡) = r o 一u ( t o ，d 肛 笼，