（凝聚态物理专业论文）kerr黑洞熵的拓扑结构及其拓扑相变理论.pdf

摘要 本论文利用拓扑流方法和黑洞熵与e u l e r 示性数的关系，研究了k e r r 黑洞 熵的内部拓扑结构及其相变理论。从g a u s s b o n n e t c h e r n 定理出发，我们引入 了黑洞熵密度的概念，进而利用矿一映射方法和拓扑流理论，证明了k e r r 黑洞 熵的拓扑结构是由时空k i l l i n g 矢量场的零点决定的。通过计算k i l l i n g 矢量场 在零点处的f f o p f 指数和b r o u w e r 度，分别得到了非极端k e r r 黑洞的e t d e r 示性 数z = 2 和熵s = a 4 ，以及极端k e r r 黑洞的e u l e r 示性数z = o 和熵s = 0 。我 们还研究了，随着k e r r 黑洞的质量与比角动量比值的变化，黑洞c a u c h y 视界上 的零点会和事件视界上的零点重合，从而使k e r r 黑洞的e u l e r 示性数和熵发生 不连续变化，导致k e r r 黑洞发生一级相变。但是由于在极端条件下的温度为零 没有与一级相变对应的相变潜热。这说明我们不可能通过相变潜热来观察一级相 变或极端k e r r 黑洞与非极端k e r r 黑洞的转化。 关键词：拓扑流、熵、k e r r 黑洞、e u l e r 示性数、k i l l i n g 矢量场 v a b s t r a c t i nt h el i g h to ft o p o l o g i c a lc u r r e n ta n dt h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h ee n t r o p ya n d t h ee u l e rc h a r a c t e r i s t i c ，t h ei n t r i n s i ct o p o l o g i c a ls t r u c t u r eo fe n t r o p ya n dp h a s e t r a n s i t i o no fk e r rb l a c kh o l ea r es t u d i e d f r o mt h eg a u s s b o n n e t c h e mt h e o r e m ，t h e e n t r o p yd e n s i t yo fb l a c kh o l ei si n t r o d u c e d t h e nu s i n g 庐一m a p p i n gm e t h o da n d t o p o l o g i c a lc u r r e n tt h e o r y ，i ti ss h o w nt h a tt h ei n t r i n s i ct o p o l o g i c a ls t r u c t u r eo f e n t r o p yo f k e r rb l a c kh o l ei sd e t e r m i n e db yt h ez e r o so ft h ek i l l i n gv e c t o rf i e l do f s p a c e t i m e b yc a l c u l a t i n gt h eh o p fi n d i c e sa n db r o u w e rd e g r e e so f t h ek i l l i n gv e c t o r f i e l da tt h ez e r o s ，t h ee u l e rc h a r a c t e r i s t i c z = 2a n dt h ee n t r o p ys = a 4f o r n o n e x t r e m ek e r rb l a c kh o l ea n dt h ee u l e rc h a r a c t e r i s t i cz = 0a n dt h ee n t r o p y s = 0f o re x t r e m eo n ea r eo b t a i n e d ，r e s p e c f i v e l yi ti sa l s od i s c u s s e dt h a t ，谢t ht h e c h a n g eo ft h er a t i oo fm a s st oa n g u l a rm o m e n t u mf o ru n i tm a s s ，t h ee u l e r c h a r a c t e r i s t i ca n dt h ee n t r o p yo fk e r rb l a c kh o l e sw i l lc h a n g ed i s c o n t i n u o u s l yw h e n t h ez e r o so nc a u c h yh o r i z o nm e r g ew i t ht h ez e r o so ne v e n th o r i z o n ，w h i c hw i l ll e a d t ot h ef i r s t o r d e rp h a s et r a n s i t i o no fk e r rb l a c kh o l e h o w e v e r , s i n c et h et e m p e r a t u r e o fk e r rb l a c kh o l ea tt h ee x t r e m a ll i m i ti sz e r o ，t h e r ei sn oc o r r e s p o n d i n gl a t e n th e a t o f t h ef i r s t o r d e rp h a s et r a n s i t i o n t h i sm e a n so n ec a n n o to b s e r v et h ef i r s t o r d e rp h a s e t r a n s i t i o no rt h et r a n s f o r m a t i o no fn o n e x t r e m ea n de x t r e m ek e r rb l a c kh o l e sv i at h e 】a t e n th e a t k e y w o r d s ：t o p o l o g i c a lc u r r e n t ，e n t r o p y , k e r rb l a c kh o l e ，e u l e rc h a r a c t e r i s t i c ， k i l l i n gv e c t o rf i e l d 原创性声明 本人声明：所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作。 除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已发表 或撰写过的研究成果。参与同一工作的其他同志对本研究所做的任何 贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 签名：畚红日 本论文使用授权说明 鞭：h 6 。“ 本人完全了解上海大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学 校有权保留论文及送交论文复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可 以公布论文的全部或部分内容。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名：垭导师签名： 1 1 日期：2 b ( i f 上海大学硕士学位论文 1 1 课题来源 第一章绪论 本课题来源上海市科学技术委员会自然科学基金，项目编号：0 4 z r l 4 0 5 9 ； 上海市科学技术委员会重点实验室项目，项目编号：0 4 d z 0 5 9 0 5 ；国家自然科 学基金，项目编号：1 0 5 7 5 0 6 8 ；上海市教育委员会青年基金：量子代数的数学 物理应用。 1 2 课题研究的目的和意义 黑洞由于其自身特有的极端物理条件和物理性质，使其成为天文学观测和 理论物理学研究的主要对象之一，而黑洞热力学更成为广义相对论、热力学统 计物理、弦理论和微分几何等多个学科和领域研究的交叉点。本课题将以k e r r 黑洞为例，利用微分几何和拓扑学的方法，得到k e r r 黑洞熵的拓扑起源及其拓 扑相变理论，指出k e r r 黑洞熵是由时空k i l l i n g 矢量场在奇点处的1 1 0 p f 指数 和b r o u w e r 度决定的。同时随着黑洞质量和角动量的变化，k i l l i n g 矢量场的 奇点将发生变化，从而导致k e r r 黑洞的拓扑结构和熵发生突变，进一步给出 k e r r 黑洞的一级相变理论。这从拓扑的角度为进一步研究黑洞熵的起源和内部 结构，以及黑洞的相变理论和演化方向提供了新的思路和方法。 1 3 黑洞熵研究现状 在关于黑洞的h a w k i n g 蒸发的观点和黑洞熵的b e k e n s t e i n - - h a w k i n g 公式 提出来以后 1 】，黑洞熵的微观统计起源问题始终是一个悬而未决的开放问题。 长期以来，人们提出了各种研究观点和方案。第一种是h a w k i n g 提出的 2 】，在 e u c l i d e a n 空间中利用引力作用量的路径积分得到黑洞热力学系统的配分函数 上海大学硕士学位论文 和熵的方案。第二种是弦理论的方案 3 ，v a f a ( c u m r u nv a f a ) 和s t r o m i n g e r ( a n d r e ws t r o m i n g e r ) 一方面利用i i 型弦理论紧致化后的低能有效作用量， 加上b p s 条件得到了五维极端黑洞的解，再由视界面积计算出它的b e k e n s t e i n h a w k i n g 熵。另一方面他们通过计算b p s 孤子基态在d - - b r a n e 上的微观状态 数给出了极端黑洞的熵。进而弦理论提出h a w k i n g 辐射可以看成从d - - b r a n e 发 射闭弦的过程 4 ，5 】，这给出了极端黑洞熵的一种微观解释。第三种是量子圈 引力的方案【6 】。另外，还有一些关于黑洞熵的修正的研究，如考虑统计引起的 涨落，特别是熵的涨落 7 ，以及在计算e u c l i d e a n 空间引力作用量时，引进 r i e m a n n 曲率高阶顼 8 1 , n 表面项 9 等。th o o f i ( g e r a r d u s th o o f t ) 在量子层次 上研究了黑洞熵的统计起源和量子修正 1 0 1 ，认为黑洞熵的起源来源于黑洞视 界附近传播的量子场的贡献，为了克服量子场的状态密度在视界附近的发散问 题，他提出了砖墙模型( b r i c k - - w a l lm o d e l ) ，并计算了一个自由标量场对 s c h w a r z s c h i l d 黑洞的熵的贡献。 利用上述各种研究方案，人们对各种黑洞的熵进行了大量的研究1 1 1 - - 2 0 1 。 湖南师范大学和中国科技大学的研究小组通过研究一般稳态轴对称黑洞发现， 利用e u c l i d e a n 路径积分方法得到的黑洞热力学熵和利用砖墙模型得到的黑洞 统计力学熵在适当条件下( 适当调节正规子) 是相等的 2 1 1 ，他们还发现，各 种量子场对黑洞熵的量子修正与粒子自旋的平方及黑洞自转有关 2 2 1 。北京师 范大学和中国科学院上海天文台的研究小组在砖墙模型的基础上提出了一个膜 模型 2 3 ，2 4 1 ，认为量子场对黑洞熵的贡献主要来源于黑洞视界附近的一个薄 膜内，并计算了任意自旋场对n u t k e r r n e w a n 黑洞的熵的影响 2 5 。中国 科学院理论物理研究所的研究小组则利用r i e m a n n 曲率高阶项的方法研究了d e s i t t e r 时空中的g a u s s - - b o n n e t 黑洞 2 6 和l o v e l o c k 引力理论中的d 维黑洞 2 7 等的热力学性质，发现在l o v e o c k 引力理论中，尽管黑洞的几何和视界结构可 以非常复杂，但利用视界半径，黑洞的一些热力学量( 如质量、h a w k i n g 温度 和熵) 具有非常简单的表达式，特别是黑洞视界是一个r i c c i 平坦的超曲面时， 黑洞是热力学稳定的( 具有正的热容量) ，它们的熵仍然遵守 b e k e n s t e i n h a w k i n g 公式。 上海大学硕士学位论文 另一方面，近年来人们认识到，黑洞熵是和它的拓扑性质紧密联系的。 h a w k i n g ( s t e p h e nh a w kj n g ) 等人 2 8 ，2 9 首先从几何和拓扑的角度发现，在 e u c l i d e a n 空间中考虑极端r e i s s n e r - - n o r d s t r s m 黑洞和非极端r e i s s n e r n o r d s t r s m 黑洞具有完全不同的几何和拓扑结构，它们的r u l e r 示性数是不同 的，极端r e i s s n e r - - n o r d s t r s m 黑洞的r u l e r 示性数等于零，非极端r e i s s n e r - - n o r d s t r s m 黑洞r u l e r 示性数等于2 ，而且尽管极端黑洞的视界面积不为零， 但它的熵却为零，这和通常黑洞的b e k e n s t e i n h a w k i n g 熵相矛盾。h a w k i n g 等 人的观点受到了z a s l a v s k i i ( o b z a s l a v s k i i ) 等人 3 0 3 2 的质疑，他们 发现如把四维非极端的r e i s s n e r - - n o r d s t r s m 黑洞放在一个有限尺度的空腔 中，利用热力学的巨正则系综方法，达到热动平衡后非极端黑洞可以无限地接 近极端黑洞，同时保持原来非极端黑洞的拓扑性质和r u l e r 示性数，它的熵仍 然可以用b e k e n s t e i n - h a w k i n g 公式来计算。超弦理论通过计算极端和近极端黑 洞的量子状态数目支持了z a s l a v s k i i 的观点 3 3 】。 l i b e r a t i ( s t e f a n ol i b e r a t i ) 和p o l l i f r o n e ( g i u s e p p ep o l l i f r o n e ) 计算了各种四维黑洞的熵和拓扑性质的直接联系，归纳出一个新的 b e k e n s t e i nh a w k i n g 公式 3 4 ，即s = 詈z ，z 为e u l e r 示性数( 但这个结果不 6 适用于某些特殊情况的黑洞，如e u l e r 示性数等于零的奇数维黑洞和t o r u s 状 黑洞以及具有特殊拓扑结构的带n u t 荷的黑洞等) 。利用这个新的 b e k e n s t e i n h a w k i n g 公式，复旦大学的研究小组发现 3 5 ，h a w k i n g 和 z a s l a v s k i i 在计算过程中采用了不同的极限顺序( 极端条件极限和边界条件极 限) ，取极限条件顺序的不同会导致两种不同的结果，第一种具有极端状态下的 拓扑和零熵，第二种具有非极端状态下的拓扑和正比于视界表面积四分之一的 b e k e n s t e i n h a w k i n g 熵。通过进一步对四维和二维极端和非极端黑洞的r u l e r 示性数和热力学性质的研究 3 6 3 8 ，他们提出自然界存在两类不同的黑洞， 第一类来自宇宙大爆炸时期，第二类由非极端黑洞通过相变演化而来。在对a n t i - - d es i t t e rr e i s s n e r - - n o r d s t r s m 黑洞热力学性质的研究中，其他一些研究 人员利用h a m i l t o n i a n 形式 3 9 、巨正则系综【4 0 和正则系综 4 1 1 i n 方法也给出 了类似的结果，但这些研究的重点都是放在极端黑洞的熵上面的。近两年，我 上海大学硕士学位论文 们通过研究r e i s s n e r - - n o r d s t r s m 黑洞 4 2 、s e h w a r z s e h i i d 黑洞 4 3 】和任意 ( 1 + 3 ) 维球对称黑洞 4 4 1 的熵和e u l e r 示性数的内部结构，指出黑洞的熵和它 的拓扑性质的联系更进一步的是由黑洞时空的k i l l i n g 矢量场的奇点决定的， 通过k i l l i n g 矢量场的奇点在黑洞的c a u c h y 视界、事件视界和空腔的边界上的 不同分布，可以分别得到非极端黑洞和两类极端黑洞的熵，并进而提出利用 k i l l i n g 矢量场的奇点研究黑洞熵的起源和相变理论的观点。中国科学院高能 物理研究所和中国科学院理论物理研究所的研究小组则从另一个角度，利用微 分同胚不变性和k i l l i n g 矢量场的n o e t h e r 荷给出了四维黑洞的热力学第一定 律和熵 4 5 1 。 综上所述，我们认为黑洞熵的起源可以分为统计起源和拓扑起源。统计起 源是和黑洞事件视界的面积联系在一起的，而拓扑起源是和黑洞的拓扑结构有 着密切的关系。这启发我们通过研究黑洞的拓扑结构来研究黑洞熵的起源，即 黑洞熵的拓扑起源和相变问题。在微分几何和拓扑场论中，有两种方法可以得 到黑洞的e u l e r 示性数 4 2 - - 4 4 。一种是利用g a u s s - - b o n n e t - - c h e r n 定理计算 黑洞的曲率二形式的体积分，它给出了黑洞的整体拓扑性质，南京东南大学的 研究小组利用这种方法计算了四维旋转黑洞的e u l e r 示性数 4 6 1 。另一种是根 据h o p f 指数定理，黑洞的e u l e r 示性数等于黑洞时空中一个光滑的切矢量场的 奇点的指数和，这个光滑的切矢量场就是黑洞时空的k i l l i n g 矢量场。我们认 为h o p f 指数定理更加深入和细致的反映了黑洞的整体拓扑性质的内部结构( 因 为对相同的e u l e r 示性数可以有不同的奇点及其拓扑指数的组合) 和熵的拓扑 起源( 因为只有部分的k i l l i n g 矢量场的奇点及其拓扑指数才对黑洞的熵有贡 献) 。 1 4 论文的主要研究内容 1 4 1 利用黑洞熵和e u l e r 示性数的关系，通过g a u s s - - b o n n e t - - c h e r n 定理 引入黑洞熵密度的概念，得到黑洞熵密度的关系式。 4 上海大学硕士学位论文 1 4 2 利用西一映射方法和拓扑流理论，研究k e r r 黑洞熵和k i i i i n g 矢量场的 奇点及其拓扑指数( h o p f 指数和b r o u w e r 度) 之问的关系，得到黑洞熵 的拓扑起源、内部结构及其拓扑量子化。 1 4 3 利用拓扑流分歧理论，找到影响这些奇点的动力学行为的物理变量，研 究它们的分歧行为和黑洞中的熵增加原理，从拓扑的角度给出黑洞的相 变理论和演化方向。指出由黑洞事件视界面积引起的熵增加是一个连续 熵增，因而引起的相变是一个二级相变；而由k i l l i n g 矢量场的奇点g 起的黑洞的拓扑结构的改变，以及相应的熵的增加是一个突变，因而是 一个一级相变。 上海大学硕士学位论文 2 1 黑洞概念的起源 第二章黑洞 黑洞概念的提出已经有2 0 0 多年了。i 7 8 3 年，英国人m i c h e l l ( j o h n m i c h e l l ) 第一个提出存在质量足够大并足够紧密的恒星它的引力是如此强 大，以致连光线都不能逃逸。几年后，法国科学家l a p l a c e ( p i e r r - - s i m o nd e l a p l a c e ) 也在他的世界系统一书中提出了和m i c h e l l 类似的观点，他依据 牛顿的万有引力定律和力学三定律指出，宇宙中最大的星体所发射的光，有可 能被自己产生的万有引力拉回来，因而使外界看不见它们。l a p l a c e 考虑一个 光子，它的动能是三珊c z ，它的总能量是动能加万有引力势能一g m m ，如果光 2， 子的总能量小于0 表示光子无法跑到无限远让观察者看到，l a p l a c e 具体计算 出这类暗星产生的条件，即，型尝。其中m 为星体质量，c 为光速，g 为引 c 力常数。他把这种星体称为暗星，这种暗星后来被称为“黑洞”。l a p l a c e 的结 果是对的，但计算过程是错的。其实l a p l a c e 在计算引力的时候，相当于只考 虑等效原理，也就是平坦时空上的引力，没有考虑引力场本身的弯曲；而他在 计算光子能量的时候，用的能量公式应该是相对论性的m c 2 。黑洞观点随着1 9 世纪光的波动说的流行而被科学家们所遗忘。 2 2 黑洞思想的重新活跃 1 9 0 0 年，k e l v i n 勋爵( w i l l i a mt h o m s o n ) 向世人宣布：“物理学的大厦已 经建成只是远处的天空还飘着两朵让人不安的乌云。”然而仅仅过了五年， e i n s t e i n ( a l b e r te i n s t e i n ) 在 a n n a l e nd e rp h y s i k ( 物理学年鉴) 上发 表了他著名的论文o nt h ee l e c t r o d y n a m i c so fm o v i n gb o d i e s 3 ( 论运动物 体的电动力学) ，提出了新的时空观，狭义相对论诞生。e i n s t e i n 认为狭义相 6 上海大学硕士学位论文 对论不该局限于惯性系。1 9 1 5 年e i n s t e i n 在他1 9 0 7 年提出等效原理( 即惯性 质量与引力质量相等) 的基础上，提出了遵守广义协变性原理( 即所有参照系 等价，任何参照系中物理规律形式相同) 的引力场方程。这标志着广义相对论 诞生，它所描述的时空是弯曲的。虽然，数学家h i l b e r t ( d a v i dh i l b e r t ) 也 同时由数学的道路推出了这个引力方程，但新方程还是被命名为“e i n s t e i n 引 力场方程”，即 g r = 一8 嬲，( 2 一1 ) 其中g ，：r ，一委g ，。r 称为e i n s t e i n 张量，l 。是能量动量张量，a 是亏j i ) t g - 数，r ，。= 月知称为r i c e i 张量，r = g ”r 。= r ：称为标量曲率，g 。，是时空的 度规张量。r 乞，为曲率张量， r 乞。= 一吆，+ 聪，。一r 三曙+ 聪瞄，( 2 - - 2 ) 其中，r 乞为仿射联络，它将使张量在平移后仍保持张量的性质。在广义相对论 中采用c h r i s t o f f e l 联络， f o ：昙g 。b ，一 4 - g v , 。, p g 础，) ， ( 2 3 ) 将式( 21 ) 作变换后，可得到e i n s t e i n 方程的另一表达形式 r ，：一8 刀g ( l ，一i 1g ，丁) ，( 2 - - 4 ) 其中t = 形。在真空区域，显然能动张量l 。= 0 ，就得到了真空区的爱因斯坦 方程 r。=0。(2-5) 图2 1 反映了广义相对论所描述的弯曲时空。 h 海大学硕士学位论文 图2 1 广义相对论的时空图像 在e i n s t e i n 引力场方程确立后一个月，s c h w a r z s c h i l d ( k a r l s c h w a r z s c h i l d ) 马上就找到了真空场方程( 2 5 ) 的一个稳定的球对称解。它 的e u c l i d e a n 度规为 d s 2 ：一( 1 2 g m ) d r2 + ( 1 2 g m ) 1 d r 2 + r 2 ( d 0 2 + s i n2 日，p 2 ) ，( 26 ) r， 其中m 就是黑洞质量( 这里采用了自然单位c = 1 ) 。然而当时发现 s c h w a r z s c h i l d 的解有两个奇异性。第一，在半径r = 2 g m 处( s c h w a r z s c h i l d 半径) ，解出现奇异，后来发现这是因为坐标选得不好。可是这个半径仍然有一 些奇怪的性质，那里的时间被无限的膨胀，在远处的观察者看来，就像是一张 永恒不变的照片；另外，小于那个半径的正质量物体，只能向半径为零的地方 落去，绝对无法回头。第二，s c h w a r z s c h i l d 的解在半径为零的地方也有奇异， 这个奇异却是用任何坐标变换都无法消除的。我们把这一点叫做奇点，已知的 物理在那里全都失效，所以，物体落到那里的时候，物体这个词就已经没有意 义了。上面提到的s c h w a r z s c h i l d 半径处的球面就是视界，在它的里面包藏着 奇点，在它内部的东西，包括光，都不能逃出。因此尽管外部的探测器可以有 去无回地进入视界里面，它却不能为向外部的观察者传回任何信息，这也是最 直接探索黑洞是否存在的难度所在。图2 2 简略地表示了这样的天体。 上海大学硕士学位论文 图2 2 黑洞视界和奇点 另外与太阳质量相同的黑洞，密度高达每立方厘米1 0 0 亿吨! ? 因此当时 科学家对黑洞的存在极为怀疑，它的密度太惊人。因此，虽然s c h w a r z s c b il d 在理论中发现了黑洞的存在，但是奇异时空的思想在二十世纪二三十年代没有 被广泛的接受，直到六十年代。 2 3 黑洞的理论基础 在三十年代，美籍印度裔科学家c h a n d r a s e k h a r ( s u b r a h m a n y a n c h a n d r a s e k h a r ) 就提出了著名的“c h a n d r a s e k h a r 极限”，即：一个恒星的 质量是太阳质量的1 4 4 倍以上时，当其氢核燃尽，将不可能变成白矮星，而 会继续坍塌收缩，不断的辐射，直到只有几公里半径，变成体积比白矮星更小， 密度比白矮星更大的星体，甚至于会坍塌成一个点。所谓白矮星，就是由像太 阳那样的恒星经过塌缩以后演变而成的。所以，它的体积比太阳小得多，但密 度大、温度高。 苏联理论物理学家l a n d a u ( l e vd a v i d o v i cl a n d a u ) 在1 9 3 7 年提出了中 子星的概念。美国科学家o p p e n h e i m e r ( j u l i u sr o b e r to p p e n h e i m e r ) 很快就 注意到中子星极大质量的问题。他先是研究了由简并中子态物质构成的致密星 9 上海大学硕士学位论文 体，即中子星的平衡和稳定性。这种星体的性质，主要由自引力和简并中子压 力二者之间的平衡决定。利用广义相对论的无转动球对称星体结构方程，并用 理想f e r m i 气体方程作为中子物质的物态方程，o p p e n h e i m e r 和他的博士后 v o l k o f f ( g e o r g ev o l k o f f ) 用数值计算的方法得到中子星的质量上限，大概是 1 5 到3 个太阳质量，预言不可能存在超过这一上限的稳定中子星。这就是 o p p e n h e i m e r - - v o l k o f f 极限。 1 9 3 9 年o p p e n h e i m e r 又和另一名学生s n y d e rt h a r t l a n ds n y d e r ) 合作发表 一篇论文 4 7 ，从e i n s t e i n 的广义相对论再次导出了上述的暗星条件，与 l a p l a c e 等人用牛顿理论算出的结果完全一致。对黑洞的天体物理学特性进行 了现在认为是最早的清晰的说明( 不同于s c h w a r z s c h i l d 等人的纯数学处理，这 实际上是需要9 0 年代的计算机才能勉强做到的，但是o p p e n h e i m e r 排除了不重 要的旋转，形状，内部压力等因素) 。对于大质量恒星最终命运简洁扼要的表述 为 4 7 ： “当全部热核能源消耗殆尽，一颗质量足够大的恒星将坍缩。除非自转造 成的分裂、质量的抛射、或辐射作用下的质量流失，将恒星质量减少到与太阳 质量相仿，这种收缩将无止境继续下去恒星发出的光将逐步变红一个 外部观测者将看见这颗恒星渐渐地缩d , n 它的引力半径。” 由于第二次世界大战在这篇论文发表的那个月爆发，直到四分之一个世纪 以后，当脉冲星被发现并被解释为自转中子星时，才又注意到这些思想，天文 学家才信服地承认中子星确实存在，因而黑洞也可能存在。 1 9 5 8 年，f i n k e l s t e i n ( d a v i df i n k e l s t e i n ) 深入地研究了e d d i n g t o n 坐 标，找到了可以覆盖s c h w a r z s c h i l d 时空的新坐标系统，并且在s c h w a r z s c h i l d 半径处没有奇异。 当光子向内落入黑洞时，s c h w a r z s e h i l d 时间坐标的弊病表现在r 寸2 g m 时， ，、 t ：一r 一2 g m l n f j - 一1 l 斗。，( 2 - - 7 ) l 2 g m 对s c h w a r z s c h il d 坐标进行坐标变换 1 0 上海大学硕士学位论文 f ，：r + 2 g m l n l r _ 一1 1 2 g m ( 2 8 ) ( 2 9 ) 并代入( 2 - 6 ) 式，为了书写方便将r ，t 再换成，r ，这样s c h w a r z s c h i l d 解的 度规就可以化为 d s 2 = _ ( 一半 n ( + 孚卜半抛艘2 ( 2 - - 1 0 ) 其中，艘2 是立体角元。用新坐标讨论外部粒子下落穿过视界的运动已没有任 何弊病，即在t 为有限值时，粒子就穿过了视界。新坐标在内部区正确地描述了 黑洞的行为，即t 的增加必然伴随，的减小。但是如果我们用这个坐标描述白洞 ( 即内部区的物质只能向外运动而穿出s e h w a r z s c h i l d 球面的情况) ，那么内部 区的将来方向将是r 减少的方向，而且内部物质必须在t - - - 一o o 时，才能逼近视 界而不能穿出视界。因此这组坐标叫做内行坐标，常用它讨论物体下落进入视 界的运动，但它不能描述白洞的物质发射过程。 所以，如果要讨论从内部区向外穿过视界的运动，就要引入外行坐标 r ，- h g m n l 赤一i ， 这样s c h w a r z s e h i l d 解的度规就可以化为 d s 2 = _ ( t 一半) 肌( ，+ 半卜 ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) 型毋出+ r 2 锄2 ( 2 1 3 ) r 这里也是将，7 ，t7 再换成r ，t 。虽然采用内行或外行坐标后，部分地消除了视界面 上的弊病，但是视界面内外时空的性质仍是不同的，即外部是可能运动的双向 区而内部是可能运动的单向区，这并没有因坐标的改变而改变。也就是说，视 界内部的特殊性是时空所固有的，而不是选用某一种坐标系的后果。 在1 9 6 0 年，k r u s k a l ( m a r t i nk r u s k a l ) 和s z e k e r e s ( g e o r g es z e k e r e s ) 独立地建立了一套坐标系，后来被称为k r u s k a l 坐标，视界面上的奇异性完全 上海大学硕士学位论文 消除。k r u s k a l 坐标( v ，“，0 ，妒) ，其中角坐标护，妒与s c h w a r z s c h i l d 坐标一致 用v ，“代督s c h w a r z s c h i l d 坐标中的f ，并定义为 当r 2 g m 时， 、i 2 “：f 二一1l p ，i , i g mc o s h l ， l 2 g m4gm v = 赤一 1 2 e r l 4 g ms 劬赤：( 2 - - 1 4 ) 当r a 。+ a ：，这非常类似于热力学 第二定理，相应的事件视界面积4 对应热力学系统的熵s 。但黑洞力学第二定 理的要求比热力学第二定理高，黑洞力学第二定理要求每个黑洞的视界面积都 不会减小，而热力学第二定理只要求总熵不减少。 黑洞力学第一定理：8 m = 兰s a + f 2 h 甜h + i l l k f j + 历跏+ p k s 5 疗 。 其中，m 为黑洞的总质量，q 。是黑洞的角速度并且视界上各点的值都相等，如 是黑洞的角动量，把黑洞视界外圆形轨道上的物质作为理想流体，q 是流体的 角速度，是流体的角动量，是流体的红移化学势，是流体的粒子数，口是 流体的红移温度，s 是流体的熵。容易看出舞非常类似于温度，彳非常类似于 熵。 黑洞力学第零定理：稳态黑洞事件视界上的表面引力芷是一个常数。 黑洞力学第三定理：通过有限次操作，不可能存在任何过程使表面引力茁减 少到零。 他们在文中特别指出：“我们必须强调，和a 不同于黑洞的温度和熵。 6 石 事实上，黑洞的等效温度是绝对零度。黑洞力学四定理的形式既与热力学四定 上海大学硕上学位论文 理相似，又在一定程度上超越了热力学四定理。” b e k e n s t e i n 知道了h a w k i n g 的这些结果后，从信息论的角度提出黑洞的视 界面积就是黑洞熵 4 9 。他在文章中明确指出：黑洞熵应与它的视界面积成正 比，这个正比系数是p l a n c k 长度平方的倒数。p l a n c k 长度平方又与牛顿引力 常数和p l a n c k 常数成正比( 下面将提到) ，所以黑洞熵的起源既与引力有关， 又与量子有关。而且黑洞熵可以用来衡量黑洞的内部信息，这对于外部的观察 者来说是不可测量的。 开始h a w k i n g 是反对b e k e n s t e i n 的观点的。但是不到一年，h a w k i n g 就给 出了一个证明 5 0 ，指出黑洞会发射热辐射，即黑洞的h a w k i n g 辐射，黑洞的 温度是真实的温度。h a w k i n g 辐射的过程是：任何黑洞都会产生和辐射粒子， 比如中微子和光子，并且以正比于表面引力的速率辐射。随着黑洞的辐射，它 的质量将减小。 图3 1h a w k i n g 辐射的机制 那么h a w k i n g 辐射的图像是什么昵? 简单说就是真空的量子涨落产生一对 正负粒子，然后强大的引力场把它们分开，反粒子( 负质量) 落进黑洞，让黑 上海火学硕士学位论文 洞质量减少，而正粒子飞向远方，成为h a w k i n g 辐射。另有一种从路径积分方 法出发的图像是粒子从奇点处被创造，在视界处被散射到无穷远。图3 1 就 反映了h a w k i n g 辐射的机制。 t l a w k i n g 辐射是黑体谱，其温度与s c h w a r z s c h i l d 半径成反比，黑洞越大 温度就越小，所以辐射出的粒子的波长大多与s c h w a r z s c h i l d 半径接近。当辐 射出的粒子变成实粒子后，它们要克服引力作用到达无限远处，所以黑体谱受 引力场影响成为灰体谱。图3 2 就反映了h a w k i n g 辐射谱的变化。 图3 2h a w k i n g 辐射的引力红移 关于黑洞熵的一切悖论都可以用h a w k i n g 辐射来解决，因为其实黑洞就是 一个浸在热辐射中的黑体。这个黑体有些奇异的性质，例如它的比热是负的， 因此吸收了能量，温度反而会降低，结果它不可能与周围辐射达到平衡。现在 宇宙的背景温度是2 7 k ，那么黑洞想要存活，它在出生的时候质量就必须很大， 因为它会一边蒸发，一边升高温度，结果蒸发得更快。 上海大学硕士学位论文 3 4 黑洞热力学性质 如果把黑洞的表面引力视为温度，把黑洞事件视界的面积视为熵，则前面 描述的黑洞性质恰是热力学的四条定律，称为黑洞热力学四定律： ( 1 ) 第零定律：稳态黑洞视界的温度是常数。 ( 2 ) 第一定律：能量守恒蹦= 隅+ q 酊+ 固。 ( 3 ) 第二定律：黑洞熵在顺时方向永不减少，6 s 0 。 ( 4 ) 第三定律：不可能通过有限次操作把视界的温度降低到绝对零度。 其中， ，：三 2 万 为黑洞视界的温度( 这里已经采用g kh1 的单位) 。黑洞视界的表面引力 r 2 趸r 孑+ - 干r 罚，- 和r r 是黑洞的视界半径。 s = ! 彳 4 为黑洞熵。添上单位后是s = 差苦4 ，此即b e k e n s t e i n - - h a w k i n g 公式，其中t 是b o lz m a n n 常数，h 是p l a n c k 常数，g 是引力常数。 8 0 年代以来，黑洞理论未取得重大进展，奇点困难一直遗留至今。天文观 测也没有最后确认黑洞的存在。然而，9 0 年代后期，黑洞研究再次成为热点。 人们认识到黑洞不应看作一般的星体，黑洞问题也不是单纯的天文学问题。黑 洞性质涉及到物理学的基本规律和时空属性。 黑洞熵是国际理论物理研究的前沿课题之一。通过熵的研究，可以得到黑 洞的热力学性质和几何及拓扑结构的信息，还可以对“黑洞无毛定理”和“宇 宙全息原理”等有更加深入的理解，这对进一步研究宇宙论、弦理论、量子引 力以及极端条件下的物理具有重要意义，因而受到人们的广泛关注。下一章我 们将详细研究k e r r 黑洞熵的拓扑结构。在这之前我们先简要看看关于黑洞的天 文观测。 2 1 上海大学硕士学位论文 3 5 黑洞的观测 近年来，密度达每立方厘米1 吨的白矮星和每立方厘米1 亿吨的中子星的 相继发现，使高密度黑洞的存在已不再是无法接受的了。实际上，黑洞的密度 与其质量平方成反比，大黑洞的密度可以很小。进一步的研究表明，黑洞内部 除奇异区( 奇点和奇环) 外，全是真空，谈论它的密度毫无意义。 前面一直没有提到黑洞的实际观测，到底这样的天体是否存在呢? 答案当 然是肯定的。第一次“看到”黑洞是在1 9 7 1 年，那时通过1 9 7 0 年1 2 月1 2 日 美国发射的小型天文卫星“自由号”( u h u r u ) ，发现了一个来自天鹅座区域的 很强的x 射线脉冲源，它被命名为天鹅座x l ( c y g n u sx - 1 ) ，这是第一个被具 体确认的黑洞。图3 3 就是最早发现的黑洞天鹅座x 一1 双星系统。从那以后， 图3 3 天鹅座x 一1 双星系统( c y g n u sx - lb i n a r ys y s t e m ) 黑洞变成了天体物理学的热门课题。今天，我们对黑洞的形成过程已有很多了 解，简单地说，黑洞是质量巨大的恒星在超新星爆发后坍缩( 即自身极强烈的收 上海大学硕士学位论文 缩) 而成的。 两个大质量的恒星或黑洞相互绕对方运行，就构成了一个双星系统。当两 个星体螺旋状地相互靠近时，它们将以产生引力波的形式损失能量。星体靠得 越近，产生的引力波也越强，当两个星体最终相撞，将产生非常强的引力波信 号。双星系统中的星体可以是恒星、黑洞或两者的组合。图3 4 就是两个黑洞 的双星系统示意图。 图3 4 黑洞双星 黑洞是一个引力极强的空间区域，那里甚至光也不能逃脱它的牵引。至今， 科学家只知道二种类型的黑洞：恒星型和巨无霸型。恒星型黑洞是比太阳质量 大几倍的恒星“死”后留下的残骸( c y g n u sx - 1 就是恒星级别的黑洞) 。巨无 霸型黑洞有令人惊愕的一百万至十亿个太阳质量，它们可能形成于宇宙初期的 巨型气云或是不计其数的恒星聚集坍缩后的结果。图3 5 就是“钱德拉 ( c h a n d r a ) ”望远镜拍摄到的新级别黑洞x 光图，图3 6 是巨型黑洞的结构图。 上海大学硕士学位论文 图3 5 “钱德拉( c h a n d r a ) ”望远镜拍摄到的双鱼座的m 7 4 星系中新级 别( 一万个太阳质量) 黑洞x 光图 图3 6 仙女座超级黑洞( 约3 千万倍太阳质量) 的结构图 上海大学硕士学位论文 图3 7n 6 c 1 0 6 8 星系的x 射线( 蓝色和绿色) 与可见光( 红色) 的合成图 图3 7 还展示了一个超巨黑洞周围喷出( 以高速风形式) 的物质。在这 幅利用x 射线( 蓝色和绿色) 与可见光( 红色) 合成的n g c1 0 6 8 星系的照片上， 可以清楚地看到从一个中央超巨黑洞周围喷出的物质，无论是利用x 射线还是 利用可见光波段都能很好地看到该星系旋臂内部的恒星活跃形成区域。气团延 伸形状的形成是由于圆环形冷气团和尘埃团影响的结果，冷气团和尘埃团分布 在此黑洞的周围，冷气团和尘埃团的质量大约为5 0 0 万颗太阳。由无线电观察 可知，环形气团距黑洞的距离从几光年延伸至约3 0 0 光年。 e 海大学硕士学位论文 第四章k e r r 黑洞熵的拓扑结构 近些年来，科学家们做了很多关于黑洞熵及其拓扑结构的工作 2 7 3 0 ，3 3 ，3 4 ，3 7 ，3 8 ，4 2 4 6 ，5 】 。这些工作指出时空的拓扑结构在黑洞熵的拓 扑解释中起着关键的作用。另外，由于在拓扑结构上的不同，极端黑洞应该在 本质上被看作是与非极端黑洞完全不同的物体。对于非极端黑洞，由于事件视 界和任意固定点之间的固有距离是有限的，视界上的圆锥奇点在度规与 e u c l i d e a n 空间引力作用量的计算中应该被除去。那么