（基础数学专业论文）子流形上奇异积分的有界性研究.pdf

摘要 摘要 第一章主要考虑带粗糙核的奇异r a d o n 变换在l e b e s g u e 空间上的有界性 r a d o n 变换的研究始于f a b e s ( 见【l 】) 证明沿抛物线的h i l b e r t 变换 峨m ) ：f f ( x - - 删譬 ( o 1 )峨，( z ) = ，y ( t ) ) 寻 ( o 1 ) 的l 2 有界性而最先给出这类算子驴有界性证明的是n a g e l ，r i v i e r e 和w a i n g e r ( 见 【2 1 ，【3 】) 在结论的证明过程中，他们发现曲线所满足的曲率条件是一个重要的工 具注意到，( 0 1 ) 式中曲线7 ( t ) 与变元z 无关，算子峨实际上是卷积型的，具有 平移不变的性质因此，在证明算子的有界性时，f o u r i e r 变换，p l a n c h e r e l 定理等 经典调和分析的方法仍然适用当曲线- y ( t ) 随变元z 变化时，或者将问题再复杂 化一些，将( 0 1 ) 中的曲线换成与变元z 有关的曲面或者子流形，这样得到的算子 就复杂得多了要证明它的妒有界性，需要用到一些更难的分析技巧1 9 7 9 年， n a g e l ，s t e i n 和w a i n g e r 在文【4 】中引入的几乎正交的方法在证明r a d o n 变换的l 2 有界性时是非常有效的而这种方法也一直沿用至今 1 9 8 6 年，p h o n g 和s t e i n 为了解决伪凸域上的诺伊曼问题，考虑了旋转曲率处 处不为零的子流形上奇异r a d o n 变换的有界性他们研究的子流形r ( x ，t ) 定 义为 r ( x ，t ) = ( s ，y ) ：s = t - t - 中( ，z ，y ) ) 其中圣( ，z ，y ) 为定义在r n + 1 r n 上的实值光滑函数，且满足对于任意的( t ，z ) r n + 1 都有圣( ，z ，z ) = 0 当子流形r ( x ，t ) 满足曲率条件 d e t 鑫 ( 0 o 时，p h o n g 和s t e i n 证明了对于任意的1 p ，奇异r a d o n 变换 r f ( z ，t ) = 厂( t + 垂( ，z ，可) ) k ( ，z ，z y ) d y 在口空间上有界( 见文【5 】) 这里核函数k ( t ，z ，z ) 为具有紧支集的光滑函数，且 满足条件 摘要 ( i ) l ( 爰) q ( 击) p ( 爱) 1 k ( t ，叩) l a 郇，1 i z l 咄1 ii 和 il ( i i ) i f 。 l z l l ( 爰) a ( 岳) p k ( t ，z ，z ) d z l a q 以1 ，其中0 e 1 从p h o n g 和s t e i n 的结果可以看出，奇异r a d o n 变换的有界性不仅与子流形 所满足的曲率条件有关，而且与核函数所满足的正则性条件之间也有着紧密的联 系最近有关这方面的研究成果也很多，读者可见【6 j ，【7 】，【8 】，【9 】， 1 0 】，【1 l 】，【5 】， 【1 2 ，f 1 3 ，【1 4 ，【1 5 1 9 9 9 年，c h r i s t ，n a g e l ，s t e i n 和w a i n g e r 将文【5 】的结果作了一些推广他们 证明了满足曲率条件( c ) 的k 一维了流形上的奇异r a d o n 变换 t f ( x ) = p 肌砂( z ) f ( r ( x ，t ) ) k ( t ) d t ( 0 2 ) d i t i 0 ，使得 巾一p ( 习t ox q 、) + m ， 、0 l o i r n 其中r ( z ，t ) = o ( i t l m + 1 ) ，并且向量场 x n ：川m ) 及其所有阶数小于等于m 的多莺交换子将x o 点的切空间张成整个r ”，则称r ( z ，t ) 在z o 点满足曲率条件 ( c ) ( o 2 ) 式中缈( z ) 为定义在z o 点附近的非负光滑截断函数，a 为一个充分小的 正数核函数k ( ) c 1 ( r 七 o ) ) 为一k 次齐次函数儿满足条件 j ( 1 t l = a k ( z ) 拈( z ) = 。 摘要 y t t , ，在【6 】中，c h r i s t 等人还证明了满足曲率条件( c ) 的子流形r ( z ，t ) 上极 大r a d o n 变换 m 他) = 0 s u r p a 叫始) j 厂l 。l r 竹( 州) ) 卜 ( 。3 ) li 的驴有界性 文【6 】的作者对p h o n g 和s t e i n 5 】中的结论作了两点推广：第一，子流形r ( x ，t ) 所满足的曲率条件比【5 】中的曲率条件弱；第二，核函数k ( t ) 所满足的正则性条 件比文【5 】中核函数所满足的光滑条件弱 受c h r i s t 等人的启发，第一章的第二节证明了下面的结论 定理1 1 设r ( x ，t ) 在x 0 点满足曲率条件( c ) 并且属于o r l i c s 空间l l o gl ( a o ) ， 则由( o 2 ) 式定义的算子t 在l 2 ( r n ) 空间上有界 定理1 1 中集合a o = 亡r 七：；i t i o ) ，k o ( t ) 为粗糙核k ( t ) 在环形区 域上的限制第一章的第三节证明了奇异r a d o n 变换t 的口有界性 定理1 2 设7 ( z ，t ) 在z o 点满足曲率条件( c ) 并且对某个1 g 0 0 ，k o l q ( a o ) ，则对所有的1 p ，( 0 2 ) 式定义的算子t 在上尸( r n ) 空间上有界 在( o 3 ) 式中加一个粗糙核q ( 亡) ，其中n ( t ) 为零次齐次函数，考虑下面的极大 r a d o n 变换 l，1 m y ( x ) = s u pr - k l 砂( z ) f ( r ( x ，t ) ) f t ( t ) d t i ( 0 4 ) 0 r a i ，i t l r i 的扩有界性，则有下面的结论成立 定理1 3 假设r ( x ，t ) 满足曲率条件( c ) ，对于某个1 口 0 0 ，q l q ( s 七一1 ) ，则 对于所有的1 p 。，算子m 在驴( 舻) 上有界 由于对某一个紧集d ，有下面的嵌入关系 c 1 ( d ) l q ( d ) l l o g 三( d ) 因此，本文第一章的结论推广了c h r i s t 和s t e i n 等人的重要结果，同时也部分解决 了著名分析专家d m u l l e r 在美国数学评论关于文【6 】的特色评论中所提出的问 题第一章的证明思路是先利用提升法，将l 、口j 题归结到幂等李群上具有较好性质 的子流形上的奇异r a d o n 变换的问题来研究然后，再利用l i t t l e w o o d p a l e y 分解 和几乎正交法等现代调和分析的方法和技巧得到主要结论的证明 i i i 摘要 时间频率分析是调和分析中的一个重要分支，其上的一个非常关键的问题是 选择一种合适的方式来刻画一个分布或者一个信号的时间和频率经典的f o u r i e r 分析只是一种纯的频域分析它在时域上局部性的缺乏大大地限制了它的应用短 时f o u r i e r 变换则是一种时频域分析，它为刻画一个分布的时间和频率提供了一 种非常有效的形式基于短时f o u r i e r 变换，f e i c h t i n g e r 在文【1 6 】和【1 7 】中引入了 一类b a n a c h 空间，称之为调幅函数空间，记作mp q ，p ，q 1 ， 其经典定义为 s c h w a r t z 函数类关于范数 i i ，i i m ，。= ( 上。( 上。l k ，( z ，叫) l p d x ) ；d 叫) 百 的闭包当p 或q = 时只需将上述的护或者三。范数改成本性上确界即可这 里k f ( x ，w ) 为所谓的短时f o u r i e r 变换，定义为 k f ( x ，w ) = = e - 2 7 r i w y f ( y ) g ( y x ) d y ， 其中g 为非零的s c h a r w t z 函数，称之为窗函数 最近，k o b a y a s h i 将f e i c h t i n g e r 的定义推广到了一般的0 0 ， 圣口( r n ) 定义为 啦( r n ) = 夕s ( 科) ：s u p p 7c ：吲1 ) ，鸯( 一q 七) = 1 ，睢科 l k e z n ， 为了使空间西n ( 瞅) 非空，可以选取一个充分小q 比较上面的两种定义可以看出，当1sp ，g o o 时，k o b a y a s h i 的一般定义与 f e i c h t i n g e r 所给出的经典定义是等价的；而当0 p ，q 0 且a 1 ，q n 的情形1 9 7 6 年，s a m p s o n ，n a p a r s t e k 和 d r o b o t ( 见【5 0 】) 证明了在一维情形下，当1 一罟 o t 1 且p o = a ( a 一1 + 口) 时，算子t 在扩( r ) 空间卜有界，其中p o p p 0 7 ，这里p o 为伽的共轭指 标八十年代初，p e r s j 6 1 i n 在文【5 1 】中将上述结果推广到n 维空间他证明了若 n ( 1 一罟) q n 并且p o = n a ( n a n + q ) ，则算子t 在z p ( r n ) 上有界当 且仪当p o p p 0 7 p e r s j n i n 对这一结论的证明主要是利用当1 3 a 0 ，则对所有满足条件 1 + 丽 p ( n + 1 ) a 时，算子 f lp 一2 7 r i l t l 一芦 死豳p 他) 2 掣，m r p ( ) ) 、f d t ( o 1 0 ) -一1o l o l 在护空间上有界，其中指标p 满足条件 2 口2 口 万j 而 p 而 特别地，当p = ( n + 1 ) q 时，他们得到了算了死，q ，p 的l 2 有界性接着在【5 8 】中， c h e n ，f a n 等人又给出了算子瓦，口，口在l 2 空间上有界的必要性证明，从而得到了 算子靠“p 在2 空间上有界的充分必要条件是( 礼+ 1 ) 口注意到( 0 1 0 ) 式 中曲线f 口( ) 定义为 r o ( t ) = ( 0 1i t l n ，0 2 1 t l 船，靠砌) ， 其中0 = ( 0 1 ，0 2 ，6 1 1 ) 由算子瓦，口及死，q ，p 的扩有界性结果自然想到这两个算子在调幅函数空间 上是否有界本文第二章第五节证明了下面的结论 v l l 摘要 定理2 3 ( i ) 如果p 3 a ，1 p o 。，0 0 ，q l q ( s n - 2 ) ( 1 q c o ) ，则算子丁在 口( 瓞n ) 空间上有界，对于所有满足条件忐 0 时，由( o 1 1 ) 定义的算子丁在 啤，q ( r n ) 上有界，其中1 p o 。，0 口，s r 第三章主要考虑与s c h r s d i n g e r 算子有关的非齐次b e s o v 空间与调幅函数空 间之间的嵌入关系在b e s o v 空间的定义中，需要用到下面的二进制函数系 对于j = 0 ，1 ，如果函数仍曙( r ) 满足。i y i j 条件： ( i ) 当j = 0 时，s u p p 妒oc z ：旧1 ) ； 而当j 1 时，s u p p t p jc z ：2 j 2 i z i 2 ) ； ( i i ) 对于任意的j ，m 5 1 0 = nu1 0 ，有i 妒，( ) i 2 一加； ( i i i ) o 铷0 叻( ) = 1 则称函数列 ) 罂。为r 中的二进制函数系 利用二进制函数系，【6 7 】中给出了非齐次b e s o v 空间j e 7 ，。( 酞n ) 的定义假设 0 0 ， 使得对所有的j = 0 ，1 ，有 9 ( n + 1 ) j 2 i v ：叻( h ) ( z ，v ) l 国面匆研( 0 1 3 ) 成立，其中印( r ) 且满足条件( i ) 和( i i ) ，( 日) ( z ，可) 为谱算子f ，o j ( h ) 的核 函数则可以定义下面的空间 定义3 1 假设8 r ，0 p 。并且0 0 如果e 为一个充分小的正数，并且实数s 1 ，s 2 ，8 3 ，8 4 满足s 1 = 一n ( 1 一：) ( ：一1 ) + e ( ；一面2 2 + ；) ，s z = 一詈( ；一；) 一；( 3 一；) ，s 3 = 一詈( ；一；) 一e ( 争+ 南) s 4 = 一号( 1 一；1 一：) 一；( 1 + ；) ，则下列结论成立 ( i ) 当1 p 2 ，1 q 2 时，一e p 一, 。q 。( h ) qm p ，q ( r ”) qb 嚣9 ( 日) ( i i ) 当1 p 2 ，2 q 。时，b p 一, q ( h ) qm p ，9 ( 黔) qb 第( h ) ( i i i ) 当2 p o 。，1 q 2 时，b p 一, 。q ：( 日) qm v ，g ( 碾n ) q 吆g ( 日) ( i v ) 当2 p ，2 茎q 时，一b 咖p , q ( h ) qm p ，q ( r n ) qb 。p 。, q ( 、h ，) 关键词：奇异r a d o n 变换，极大r a d o n 变换，l i t t l e w o o d p a l e y 分解，几乎止交， w i e n e r 共合空间，调幅函数空间，f o u r i e r 乘子，s c h r 6 d i n g e r 算子 x a b s t r a c t i nc h a p t e r1 ，w es t u d yt h em a p p i n gp r o p e r t i e so ft h es i n g u l a ra n dm a x i m a lr a d o n c “m s f o r m sw i t hr o u g hk e m e l s t h er e s e a r c ho fr a d o nt r a n s f o r m so r i g i n a t e di nf a b e s p r o o fo f t h el 2 - b o u n d e d n e s so fh i l b e r tt r a n s f o r ma l o n gt h ep a r a b o l a ，w h i c hi sd e f i n e d b y h j ( z ) ：厂f ( x - ，y ( t ) ) 了d t z ) = ，y ( t ) ) 了 ，一 ( 0 1 4 ) t h ei n i t i a l 口r e s u l t sw e r et h e no b t m n e db yn a g e l ，r i v i e r e ，a n dw a i n g e r ( s e e 【2 】，【3 】) i nt h ep r o c e s so ft h e i rp r o o f , t h e yf o u n dt h a tt h ec u r v a t u r ec o n d i t i o nw h i c ht h ec u r v e s a t i s f i e dw a s 锄i m p o r t a n tt 0 0 1 n o t i c et h a ti nf o r m u l a ( 0 14 ) ，t h ec u r v e - y ( t ) i si n d e p e n d e n to ft h ev a r i a b l ez t h eo p e r a t o rh 、i si nf a c tac o n v o l u t i o n _ t y p eo p e r a t o r , w i t ht h ep r o p e r t yo ft r a n s l a t i o ni n v a r i a n c e h e n c e ，s o m ec l a s s i cm e t h o d si nh a r m o n i c a n a l y s i s s u c ha sf o u r i e rt r a n s f o r m a n dp l a n c h e r e lf o r m u l a ，a r es t i l la p p l i c a b l ef o rt h e p r o o fo ft h eb o u n d e d n e s so fs u c ho p e r a t o r w h e nt h ec u r v e - r ( t ) c h a n g e sw i t h v a r l 。 a b l ezo ri sr e p l a c e db y v a r i a b l e ”s u r f a c eo rs u b m a n i f o l d ，t h e nt h eo p e r a t o rd e f i n e d b yf o r m u l a ( o 1 4 ) i sm o r ec o m p l e x t op r o v ei t s j - b o u n d e d n e s s ，s o m e n e wt o o l sa n d t e c h n i q u e sa r en e e d e d i n 【4 】，n a g e l ，s t e i na n dw a i n g e r i n t r o d u c e dt h ea l m o s to r t h o g o n a l i t vm e t h o d ，w h i c hi se f f e c t i v e l yi np r o v i n g t h el 2 - b o u n d e d n e s so fr a d o nt r a n s f o r m a n dt h i sm e t h o dh a sb e e nu s e dt i l ln o w i n19 8 6 i no r d e rt os o l v en e u m a n np r o b l e mo nt h ep s e u d o - c o n v e xd o m a i n ，p h o n g a n ds t e i ni n v e s t i g a t e dt h e p b o u n d e d n e s so ft h es i n g u l a rr a d o n t r a n s f o r mf l o n gs u b 。 m a n i f o l dw i t hn o w h e r ev a n i s h i n gr o t a t i o n a lc u r v a t u r e i nt h e i rp a p e ht h es u b _ m a n i f o l d r ( z ，t ) i sd e f i n e db y r ( z ，t ) = ( s ，y ) ：s ；t + 圣( t ，z ，可) ) ， w h e r e 中( 亡，z ，可) i sar e a ls m o o t h f u n c t i o nd e f i n e do n 黔+ 1 r nw i t h 垂( ，z ，z ) = 0 f o ra l l ( t ，z ) 舯+ 1 t h en o w h e r ev a n i s h i n gr o t a t i o n a lc u r v a t u r ei se q u i v a l e n tt ot h e n o n v a n i s h i n go fd e t e r m i n a n to f t h em a t r i x d e t a 2 西 o x + o y j 1 l ( 0 ，0 ) 0 j x l a b s t r a c t p h o n ga n ds t e i np r o v e dt h a ti ft h ek e r n e lk ( t ，z ，z ) i sas m o o t hf u n c t i o n w i t hf i x e d c o m p a c ts u p p o r ta n ds a t i s f i e st h ec o n d i t i o n s ( i ) i ( 爰) q ( 爱) 卢( 爱) 7 k ( 亡，z ，名) i a a 属7 吲呻一7 a l l a a q ，p 订，w h e r e0 e 1 冗，( z ，t ) = f f ( + 圣( t ，z ，) ) k ( t , x t x - - y ) 曲 i sb o u n d e do nl pf o r1 p 0s u c ht h a t 巾= e x “五t o tk 、) + 肌， 、0 i d i m w h e r er ( x ，t ) = o ( i t l m + 1 ) ，a n dt h ev e c t o rf i e l d s k ：i q l m ) t o g e t h e rw i t ha l l t h e i ri t e r a t e dc o m m u t a t o r so fd e g r e e ms p a nt h et a n g e n ts p a c et o 瓞na tx 0 x l i 膨蚵 为 舱m 尸m饶临 尸仃盛，吼伍l = a b s t r a c t i nf o r m u l a ( 0 15 ) ，砂i sas u i t a b l es m o o t hc u t o f ! ff u n c t i o ns u p p o r t e dn e a rx 0a n d ai sas u f f i c i e n t l ys m a l lp o s i t i v ec o n s t a n t k ( t ) c 1 ( r 七 o ) ) i sh o m o g e n e o u so f d e g r e e - ka n ds a t i s f i e s ， k ( t ) d a ( t ) = 0 ，l t l = l m o r e o v e r , t h ea u t h o ro f 【6 】a l s oi n v e s t i g a t e dt h el p b o u n d e d n e s so ft h em a x i m a l r a d o nt r a n s f o r md e f i n e db y m m ) = 。s u p r a 叫j 乞tm ( 删卜 o ii rl ( o 1 7 ) i i l 【6 】，t h ea u t h o r sh a v em a d et w op r o m o t i o n si nt h e i rc o n c l u s i o n s o no n eh a n d ， t h ec u r v a t u r ec o n d i t i o n sw h i c ht h es u b m a n i f o l ds a t i s f i e sa r ew e a k e rt h a nt h a ti n 【5 1 o nt h eo t h e rh a n d ，t h er e g u l a r i t yo ft h ek e r n e lk ( t ) i sw e a k e rt h a nt h es m o o t hc o n d i t i o n t h a tt h ek e m e ls a t i s f i e si n 【5 】 i n s p i r e db yc h r i s t ，n a g e l ，s t e i na n dw a i n g e r , i ns e c t i o n1 2 ，w ep r o v et h ef o l l o w i n gr e s u l t t h e o r e m1 1s u p p o s et h a tr ( x ，t ) s a t i s f i e st h ec u r v a t u r ec o n d i t i o n ( c ) a tx 0a n dk 0i s i nt h eo r l i c ss p a c el l o gl ( a o ) t h e nt h eo p e r a t o rtd e f i n e db y ( 0 15 ) i sb o u n d e do n l 2 ( 舯) h e r et h es e ta oi sd e f i n e db ya 0 = t r 七：考i t l 口) t h ef u n c t i o nk o ( t ) i s t h er e s t r i c t i o no fk ( t ) t ot h ea n n u a l sa o i ns e c t i o n1 3 ，u n d e rw e a k e ra s s u m p t i o n so nt h er e g u l a r i t yo ft h ek e r n e l ，w ep r o v e t h el p b o u n d e d n e s so ft h es i n g u l a rr a d o nt r a n s f o r i l l o u rr e s u l ti sa sf o l l o w s t h e o r e m1 2 s u p p o s et h a tr ( z ，t ) s a t i s f i e st h ec u r v a t u r ec o n d i t i o n ( c ) a tx 0a n dk o l q ( a o ) f o rs o m e1 q o o t h e n t h eo p e r a t o rtd e f i n e db y ( 0 15 ) i sb o u n d e df r o m z e ( r n lt oi t s e l f f o r e v e r y1 p o o i nf o r m u l a ( o 17 ) ，i fw ei n t r o d u c ear o u g hk e r n e la n dc o n s i d e rt h em a x i m a lr a d o n t r a n s f o i - md e f i n e db v 圳z ) = s u p 0 r ar “卜) j t t 倚( 删q 以l ， il r l ( 0 1 8 ) w h e r eq ( t ) d e f i n e do n 瞅i sh o m o g e n e o u so fd e g r e e0 t h e nt h eo p e r a t o rmh a st h e f o l l o w i n gm a p p i n gp r o p e r t y x i i i a b s t r a c t t h e o r e m1 3s u p p o s et h a tr ( x ，t ) s a t i s f i e st h ec u r v a t u r ec o n d i t i o n ( c ) a tx oa n dq ( t ) l q ( s 七一1 ) f o rs o m e1 口 o o t h e nt h eo p e r a t o rm d e f i n e db y ( o 1 7 ) i sb o u n d e d f r o m ( 黔) t o i t s e l f f o re v e r y1 ：e - 2 一，r i w y f c ，( z ，叫) = = ( i e t h ef o u r i e rt r a n s f o r m 手a p p l i e dt o 1 z g v ) a ( v z ) d y ， r e c e n t l y ，t h ea b o v ed e f i n i t i o nh a sb e e ng e n e r a l i z e db yk o b a y a s h i 【18 】t ot h ec a s e 0 0 ，w ed e f i n e 西口( r n ) t ob et h es p a c e so fa l lg s ( r n ) s a t i s f y i n g s 堋c 纠 1 a n d k e z n 懿埘) = 1 ) w em a yc h o o s eas u f f i c i e n t l ys m a l l 口，s u c ht h a tt h ef u n c t i o ns p a c e 晚( r n ) i sn o t e m p t y i ti sn o td i f f i c u l tt os e et h a tw h e n1 p ，口so o ，t h e s et w od e f i n i t i o n sa r e e q u i v a l e n t ，w h i l e0 p ，q 0a n do 1 ，1 一罟 q 佗，s a m p s o n ，n a p a r s t e ka n d d r o b o to b t a i n e dt h ef o l l o w i n gr e s u l t s e tp 0 = 1 2 ( 1 2 1 + 0 1 ) a n dp 0 7 = p o ( p o 一1 ) ， t h e nt i sb o u n d e do nz e ( r ) i fp o p p 0 7 ( s e e 【5 0 】) i n 【5h ，p e r s j 6 1 i ne x t e n d e dt h e a b o v er e s u l t st o 瓞n h ep r o v e dt h a ti fn ( 1 一号) q 9 2a n dp 0 = n 1 2 ( n 1 2 一亿+ q ) ， t h e nt h eo p e r a t o rti sb o u n d e do np ( r n ) i fa n do n l yi fp 0 p p 0 7 u s i n gt h ef a c t z e ( r n ) = h p ( 1 1 跫n ) f o r1 p 0 a n dn 1 ，q n ，t h e nt h eo p e r a t o rtd e f i n e db y ( 0 2 0 ) i sb o u n d e do n 懈，4 ( 瓞n ) f o r1 p 。，0 0 ，( 0 2 3 ) t h e nt h eo p e r a t o r 咒，口i sb o u n d e do nl e b e s g u es p a c e s t h eo p e r a t o rl ，pw a si n i t i a l l ys t u d i e db yz i e l i n s k ii nh i sp h d t h e s i s ( s e e 【6 3 】) h es h o w e dt h a ti f t ( t ) = t 2 ，t h e n 死，pi sb o u n d e do nl 2 ( r 2 ) i f a n do n l yi f p 3 a t h i s r e s u l tw a sl a t e ri m p r o v e db yc h a n d r a