（基础数学专业论文）带位势调和映照的守恒律及其性质.pdf

a b s t r a c t 妒4 6 7 2 7s i f ，：( 舰g ) 一( ) i sas m o o t hm a pb e t w e e nt w or i e m a n n i a nm a n i f o l d s ，i t se n e r g yi sd e f i n e db y e ( ，) = e ( f ) d v 。，w h e r ep = t r a c 厂 i s t h ee n e r g yd e n s i t y 。f - ， a s w ek n o wt h a th a r m o n i cm a p sa r et h es m o o t hc r i t i c a lp o i n t so f e ( ，) ，i et h es o l u t i o n so f d e e u l e r l a g r a n g ee q u a t i o nf ( ，) = 0 w h e r er ( j ) = d i v ( i sc a l l e dt h et e n s i o nf i e l do f 厂 i nt h e i ra r t i c l e “h a r m o n i cm a p sw i t hp o t e n t i a l ”( c a l c1 9 7 zv a t51 8 3 2 9 7 ) ，a l lf a r d o u na n d a n d r e ar a t i og e n e r a l i z e dt h ec o n c e p to f h a r m o n i cm a pb yi n t r o d u c i n gp o t e n t i a lf u n c t i o ng ：v 一月 t h e yd e f i n e de ，( ) = l ( e ( ，) 一g ( f ) ) d v 。a st h ee n e r g yo ff w i t hp o t e n t i a lg , a n dc a l l e d t h es m o o t hc r i t i c a lp o i n t so fe ，( 厂) ，o r t h es o l u t i o n so f e u l e r l a g r a n g ee q u a t i o no fe ，j ( ) 出， r g ( ) = f ( ) + w ；0 0 = 0a st h eh a r m o n i cm a p s w i t hp o t e n t i a lg a st h e yp o i n t e do u t ，i np h y s i c a lt e r m ，g e o d e s i c sp a r a m e t e r i z e dp r o p o r t i o n a l l yt oa r cl e n g t h ( o li n o t h e rw o r d s ，h a r m o n i cm a p sw h e nd i mm = 】) r e p r e s e n tt h em o t i o no f f r e e l yf a l l i n gp a r t i c l e s m o v i n go nni nt h ea b s e n c eo fg r a v i t y a d d i n ge “( f ) c o r r e s p o n d st os t u d y i n gt h em o t i o n o fp a r t i c l e su n d e rt h ei n f l u e n c eo fa ( g r a v i t a t io n a l 、f o r c ef = - v gw h i c hd e p e n d so n l y o nt h ep o s i t i o n t h e nt h e yd i s c u s s e dt h ee x i s t e n c eo fh a r m o n i cm a p si ns o m ep a r t i c u l a r c a s e s f o re x a m p l e s ，ft2 - - s 2 o rf ：s2 寸s 2 a n d g i s t h er e s t r i c t i o n t o no f a l i n e a r o raq u a d r a t i cf u n c t i o no ne u c l i d e a ns p a c e t h ep u r p o s eo ft h i sp a p e ri st og e n e r a l i z et h el i o u v i l l et y p et h e o r e mo fh a r m o n i cm a p ( yl x i n ， l i o u v i l l et y p et h e o r e ma n dr e g u l a r i t yo f h a r m o n i cm a p s s p r i n g e rv e r l a gl e c t u r en o t e sm a t h 、1 9 8 7 1 2 5 5 9 8 2 0 8 、t ot h eh a r m o n i cm a pw i t hp o t e n t i a l 带位势调和映照的守恒律及其性质+ 姚松 复旦大学数学所 摘要 峄一照每抵沓 1 引言 设，：( m ，g ) - ( j 】v ， ) 是r i e m a n n 流形间的光滑映照，分别定义e ( ，) = l d ，1 2 ， e ( ，) = 山e ( f ) d v 9 和r ( ，) = ( v 。；d f ) ( e d 为，的能量密度，能量积分和张力场称r ( ，) 的零点为调和映照由有关内容可知：调和映照就是能量积分的临界点，即r ( ，) = 0 是能量积分的欧拉一拉格朗日方程( 有关调和映照的一些经典结论，可参阅 1 】， 4 ， 5 ，【6 ) 前不久，a f a r d o u n 和a r a t t o 【8 】在目标流形上引入势函数g ：n _ r ，旨 在研究重力场f ：一v g 下流形上的运动他们称佑( ，) 箩r ( ，) + v g ( f ) 的零点为 带位势g 的调和映照便于具体讨论，他们将视为彤+ 1m = d i m n ) 中的超曲面 特别感谢导师忻元龙教授在本文撰写过程中给予的热情鼓励和大力帮助 ( h = 0 ，h ：r 叶1 r 是光滑的) ，并将g ：n _ r 视为光滑函数百：r n + 1 r 在 上的限制则丁g ( ，) 的零点即是啊( ，) 在约束h ( f ) = 0 下的零点，故利用l a g r a n g e 乘子法可得到带位势g 的调和映照的欧拉一拉格朗日方程： ，+ v 召( ，) = a v 日( ，) 其中， x = 尘型业黹豁里幽塑 ( 1 ) 然后，他们给出两个重要的例子： ( a )日( z ) = 2 一i ( n 是欧氏球面) ；召( z ) = ( a z ，z ) ，a 是对称阵则( 1 ) 式 化为： a f = 一a ，+ ( a f ，) 一1 d ，1 2 ， ( 2 ) 特别地，若取m = r ，a 为正定阵，则( 2 ) 就是经典的n e u m a n n 运动 ( b )日( z ) = 吲2 一l ；百( z ) = ( q ，。) ，q 是r ”1 中的非零向量则( 1 ) 式化为： ，= 一q + ( q ，) 一l 甜门，( 3 ) 特别地，若取( m ，g ) 为欧氏单位球面丑2 ，则( 3 ) 就是静态的l a n d a u l i f s h i t z 方程。 f a r d o u n 和r a t t o 发现“，：s 2 _ s 2 是调和的_ ，是的土h o l o m o r p h i c 的( 即，在 其同调类中是能量最小的) ”这一命题在带位势的情形下几乎不成立( 8 定理1 ) ：若 g c o ( s 2 ) 是非常值函数，那么泛函e g ( f ) 无法在 ，：铲_ 铲) 的非平凡同调类 中达到最小借助于映照：厶，k ：s 2 铲( s i n r e ”，c o s r ) _ ( s i n a ( r ) e “。，c o s a ( r ) ) ( 其中z ，r 0 ，”】，a ： 0 ，丌 _ 0 ，” 满足边界条件a ( o ) = 0 ，q ( ”) = ”) 他们研 究了线性势函数及带二次势函数的调和映照在s 2 _ s 2 间的存在性( 8 命题1 ) ， 并利用等变法将结论推广到高维球面之间( 【8 定理2 ) e e l l s 和w o o d 曾论断：无论取何种度量，t 2 _ + s 2 间不存在度数为1 的调和映 照而f a r d o u n 和r a t t o 发现若取g 为s 2 上的c 1 ，4 函数( v0 卢 2 ，n 是任意黎曼流形) 必是常值映照 ( b ) 稳定的调和映照f ：m _ 扩( n 2 ，m 是紧致的黎曼流形) 必是常值映照 陈群发现带位势的调和映照继承了性质( a ) ，而在条件h e s s ( g ) 0 下，性质( b ) 也 适用于带位势调和映照( f 9 j 定理1 , 2 ) 此外，陈群在 1 2 】中就带位势调和映照的最大值原理，唯一性和存在性问题作 了相关的研究，并讨论了它在l a n d a u l i f s h i t z 方程中的应用 综上所述，调和映照和带位势调和映照有共同的方面，也有很多不同之处因 此带位势调和映照是调和映照一类有意义的推广众所周知，调和映照是自然的几 何变分问题的解，在几何和其他数学问题中有广泛的应用；而带位势调和映照作为 调和映照的一种推广，可应用到更为广阔的领域中本文研究带位势调和映照的守 恒律及其应用首先定义它的应力能量张量，推导了应力一能量张量的基本陛质 和基本公式，作为应用得到了带位势调和映照的l i o u v i l l e 型定理 2 带位势调和映照的应力一能量张量 设，：( m ，g ) ( n ，h ) 是r i e m a n n 流形闻的光滑映照，g 是上的函数( 一般 情况下总认为它是光滑的) 作下列定义： 定义1 ( f 的带位势g 的能量密度函数) 定义2 ( f 的带位势g 的能量积分函数) e g ( ，) 型e ( ，) 一g ( ，) = i d f l 2 一g ( ，) e a ( f ) 咝 me g ( f ) d v 9 3 定义3 ( f 的带位势g 的张力场) ：下g ( ，) 曾r ( ，) + ( v g ) ( ，) 定义4 ( 带位势g 的调和映照f ) ：佑( ，) 的零点 定义5 ( f 的带位势g 的应力能量张量) ：s y 髻e g ( ，) g f * h 定义6 ( 带位势g 的守恒律) ：对光滑函数，：( m ，9 ) - ( ， ) ，若战 ( $ ) ；0 ，则称 ，满足带位势g 的守恒律 命题1 带位势g 的调和映照是带位势g 的能量积分的临界点 证明：设单参数映照族 满足： f o = ，警k o = ”，帕f ( f t t n ) 是沿着f 的n 上的向量场可视 为m ( 一e ，e ) _ n 的映照在m 上定义整体向量场 肌= ( 磐，几e ，) e j ，先来验证： 战”w t = 去e ( ) + l ( 百d f t ，r ( ) ) ( 4 ) v p m ，取其附近的局部幺正法标架场k ) ( v 。勺i ，= o ) ，仍记乘积流形 m ( 一e ) 上的联络为v ，显然有： v 著瓦0 = v 舻= v 。象= 。 在p 点进行计算： d 而帆= ( v q i ( 1 , 面d f t ， + 勺) 勺) ，e 。) = ( v 。( 虮( 晏) ) jf t , e i ) + ( 篆，( v 。吼) 瞄 = ( ( v 。圳爰，f t * e i ) + ( 篆，毗) ) 2 ( ( v 岳吼) 邑，厶晚) + ( 堑d t ，r ) ) ( 利用b k y ( ，) 的对称性，详见【1 1 p 1 2 ) 2 ( v 击船”f t , e i ) + ( 警，m ) ) = 未e ( ，c ) + ( 盟d t ，毗) ) 由于p 的任意性，( 4 ) 在m 上成立如果”的支集q 是紧集，则在m a 上 警i e o = 0 辛 ；，辛矾= 0 ，从而眠的支集也为紧由g r e e n 定理： d i v 眠 1 = 0 j m 4 将( 4 ) 式在m 上积分可得 。= 厶丢( e g ( t ) + g ( ，) ) + 1 + 厶( 鲁，r ( ，f ) ) * 1 辛d e g ( f t ) = 一厶爰g ( ，一，( 堕d t ，m 1 号d e a ( f t ) = 一厶l 面o g i 川百o y io a + l 一厶( 警，r ( ，c ) ) + 1 ( 设 是上的局部坐标) 辛d e c ( f t ) 一厶( 警，v a ( f d ) + l 厶( 警，r ( ，i ) ) + 1 辛d e g ( a ) = 一厶( 象，r g ( f t ) ) + 1 将t = 0 代入便得：岳e g ) j # o = 一山( u ，佑( ，) ) + 1 即丁g ( ，) = 0 是带位势g 的能量积分的欧拉一拉格朗日方程社 命题2 出”( 卵) = 一丁g ( ，) ，d f ) 证明：v p m ，v x 乃m ，取p 附近的局部幺正法标架场 e ) ，在p 点进行计算： ( d i ”s f ) ( x ) = ( v 。s y ) ( e ，x ) = v 。( $ ( e i ，x ) ) 一$ ( e i ，v 。x ) = v q ( e g ( f ) ( e i ，x ) 一( 8 e ， x ) ) 一e g ( f ) ( e i ，v e ，x ) + ( f , e i ， v 。，x ) = v 自( e ( f ) ( e i ，x ) ( f * e i ， x ) ) 一e ( f ) ( e i ，v q x ) + ( f * e i ， v 。x ) 一v 。( c ( f ) ( e i ，x ) ) + g ( f ) ( e i ，v e ，x ) ( 1 p 3 9 定理2 1 的证明过程) = 一( r ( ，) ， x ) 一v 日( g ( f ) ( e i ，x ) ) + c ( f ) ( e i ，v 。，x ) = 一( r ( ，) ， x ) 一( v 。g ( ，) ) ( e i ，x ) = 一( r ( ，) ， x ) 一v x c ( f ) = 一盯( ，) ， x ) 一( v ，x g ) ( ，) = 一( r ( ，) ， x ) 一( ( v g ) ( ，) ， x ) = 一( 7 g ( f ) ， x ) 由于x 的任意性，故命题得证袢 推论：带位势g 的调和映照必满足带位势g 的守恒律 5 下面来推导带位势g 的应力一能量张量的一个重要公式v x f ( t m ) ， 设 2 k ) 是m 上的任意局部坐标，v p 。k ，设 e 1 ) 是p 附近的局部幺正法标架 场，并做如下定义： v x ( e 。，e j ) 型( v 。，x ，勺) 在p 点进行计算： d i v ( e v ( f ) x ) = ( v 。e g ( ，) ) ( x ，e i ) 十e g ( f ) v q x ，e i ) = v x e o ( f ) + e g ( f ) ( v x ，g ) = v x e ( f ) + e ( ，) ( v x ，g ) 一v x a ( f ) 一c ( f ) 0 ( z 。m ，蜘 ，三2 上1 )( 9 ) a ( y ) = 9 - u 0 1 ) , 。c r ，= i 孝2 。i 三，。云，一。+ 。+ 。，。一。责，e l o 。, ，l 。j ， 其中卢 0 ，c ( l 1 ，l 2 ) 只依赖于l l ，l 2 ，且满足：c ( l l ，l 2 ) _ 0 + ( l 1 _ 0o rl 2 _ 0 0 ) ，此外非正函数垂( r ) 还满足如下不等式： 厶到m ) _ ，( 圳”打( m _ 1 ) c o t h 小l 节1 ( m 刊2 e 1 嘣1 ) e ( l i , l 2 ) ( 1 0 ) 为了表达方便，将( 1 0 ) 右端定义为f ( l ，l 2 ) ，我们还要求，的能量呈卢状慢发 散( 确切的含义在下文中交待) 则可得结论：，必为常值映照 8 注1 ： 当l l _ 0 或l 2 _ o 。时，总有c ( l 1 ，l 2 ) - 0 由( 1 0 ) ，可取西( r ) 兰0r 0 ，如 ，从而进一步可取g ( r ) j0r 0 ，。 现同时令l 1 _ 0 及l 2 _ 。，则不仅 g ( r ) 可恒为0 ，且条件( 9 ) 退化这便回到了 2 命题2 8 的情形，可见本命题是它 的延拓 注2 ： g ( r ) 的存在性：当l l ，l 2 有限时，在 0 ，l 2 中可取9 ( r ) = 西( r ) 是使得( 1 0 ) 式成立的负常数，在 5 2 ，。 中可取g ( r ) = c ( l 1 ，l 2 ) ( 音) 一( 4 + ”+ 2 ) e ”责，然后在l 2 右侧的某个领域内对g ( r ) 作c 1 化处理 命题3 的证明：反证法：若在题设下，非常值，则j c 0 ，3 r 。 0 ，v r r 。有 厶肌，小l g ( 1 0 ) 在公式( 6 ) 中取d = b 譬( z 。) 显然从。出发的距离函数r 的平方在m 上光 滑( 3 p 1 1 0 引理4 ) 。再在( 6 ) 中取x = r 暑，其中番表示单位径向向量场显然 a b 臀( 。) 的单位法量场n = 番。 厶) ( $ ，v x ) 1 = 进行估计，先做一些准备工作 v 鲁磬= 0 ，v 岳x = 品， v e ，x = ( v 岛r ) 著+ r v 石o = r ( v 岛暑，) 印 = - r ( v 。，e t ，畚) e fr ( ( v 嘲r ) e ( 3 p 1 4 8 高斯引理) = r h e s s ( r ) ( e s ，e t ) e t d i v x = ( v e 。x ，e d ) = l 十r h e s s ( r ) ( e s ，e s ) 其中 e 。 = 皤，e 。 是b 譬( 。) 上的局部么正标架场，故 ( s 尹，v x ) = ( 曲 = ( s ， v x ) 一g ( ，) ( 9 ，v x ) v x ) 一a ( 1 ) d i v ( x ) 9 二 = ( s ，v x ) 一g ( ，) ( 1 + r 日e 5 5 ( r ) ( e 。，e 。) ) 5 e ( f ) 一g ( ，) ( 1 + r h e s s ( r ) ( e 。，e s ) )( 1 2 ) 最后步是根据 1 ( 2 1 4 ) ，现对g ( 川1 + r h e s s ( r ) ( e ，e ，) ) 进行估计： k 曼k s k 。 g ( ，) ( 1 + r h e s s ( r ) ( e 。，e s ) ) l e ( i f ( x ) 一f ( x o ) f ) ( 1 + r t l e s s ( r ) ( e 。，e s ) ) + l 圣( i ，( z ) 一f ( x 。) i ) ( 1 + ( ”i 1 ) b r c o t h ( b r ) 1 ( 1 3 ) ( 1 4 ) ( 1 4 ) 是因为：v x b y ( x 。) ，l t l x 一。1 i f ( x ) 一f ( x 。) 1 l 2 i x z 。i l 2 ( 1 5 ) 利用h e s s i a n 定理的结论b c o t h ( b r ) ( g - d r d r ) sh e s 4 r ) ac o t h ( a r ) ( g d r d r ) 【b ) 岛( 训一b 刚( 1 + ”日哪( 讹 ) ) 1 k 0 ) _ 怍) 眠( 盟云刨一洲) e _ 4 蚀掣 ( 1 + r h e s s ( r ) ( 岛，e s ) ) 1 f “r 1 ( 1 + ( m 一1 ) a re o t h ( n r ) ) g ( 乩工2 ) r 叫斛”2 e 咖以洲训女1 s( m 十口) g ( 工l ，l 2 ) r 一( 卢+ m + 1 ) e 一8 7 y o f ( a 上( z 。) ) d r ( 1 5 ) f ( m + 2 e v a i ( 1 ) c ( l 1 ，l j r 一( m ) d r( 1 6 ) = 一3 - 1 ( m + 盯) 2 e 一9 k i ( 1 ) g ( 工 ，l 2r 一卢j 产 = ( l l ，l j ( r 一口一1 ) ( 1 7 ) 前两个不等式是因为：l f ( x ) 一f ( x 。) i 工l i 。一z 。i l 1 ，( 1 6 ) 和( 1 7 ) 分别利用了 引理1 和引理2 的结果将( 1 3 ) 式两边在b m ( x 。) 上积分，综合( a ) 和( b ) 及( 1 1 ) ， 并利用题设可得： 厶) ( $ ，蹦) “6 厶) e ( ，州乩蚴_ “乩蚴 一厶西( i m ) 一m 。) 啡+ 打( m - 1 ) c o t h ( b r ) + 1 6 c 一( ( 己l ，l 2 ) r 一4( 1 8 ) l o f 的能量呈p 状慢发敢是指存在满足： 戚妒( r ) r 一( 1 + 4 ) 打 三i ) g c v ，= ，c 1 。一”。i ，。c r ，= i 詈 2 。i 三，。云，一。+ 。+ 。，。一。责，r e 。工 0 。, ，l 。2 ； 其中卢 0 ，c ( l l ， ( l 1 - - y0o rl 2 _ o 。) 。 l ， m 圣( f ，( z ) 一 j 日r ( 。) l 2 ) 只依赖于工1 ，三2 ，且满足：g ( 工1 ，l 2 ) 0 + 此外非正函数中( r ) 还满足如下不等式： ，( z 。) f ) + l 一卢一1 1 + ( m 1 ) 叫( m + 盯) e 一4 i 么( 1 ) e ( 三i ，三2 ) 我们还要求，的能量呈卢状慢发散则可得结论： ，必为常值映照 证明：由 7 的h e s s i a n 比较定理：；( g d r od r ) h e s s ( r ) 詈( g d r o 咖) ，本命 题的证明与命题3 的证明类似，从略 参考文献 1 1 | 忻元龙调和映照上海科学技术出版社1 9 9 3 2 1 丘成桐，孙理查微分几何科学出版社1 9 8 8 3 】伍鸿熙，沈纯理，虞言林黎曼几何初步北京大学出版社1 9 8 5 f 4 1e e l l s ，j ，l e m a i r e ，l ：ar e p o r to nh a r m o n i cm a p s ，b u l l l o n d o nm a t hs o c 1 0 ( 1 9 7 8 ) 1 - 6 8 5 e e l l s ，j ，l e m a i r e ，l ：s e l e c t e dt o p i c so i lh a r m o n i cm a p s ，c m b s r e g i o n a lc o n fs e r i e s5 0 ， ams p r o v i d e n e ef1 9 8 3 1 f 6 1e e l l s ，j ，r a t t o ，a ：h a r m o n i cm a p sa n dm i n i m a li m m e r s i o n sw i t hs y m m e t r i e s ，a n n a l so f m a t h s t u d i e s1 3 0 ，p r i n c e t o nu n i vp r e s s ( 1 9 9 3 ) ( 7 g r e e n ，re a n dw u ，hf u n c t i o