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功能梯度压电层合板动力分析及振动控制研究 摘要 功能梯度压电材料( f g p m ) 是一种新型材料，集多种优良特性于一身，能满 足多方面的性能要求，近年来，其力学行为的研究得到了很大的发展，并应用 于结构振动控制领域。 本文根据功能梯度压电材料的力一电耦合本构关系、几何关系、板的边界条 件等，运用h a m i1 t o n 原理，推导出压电材料耦合场的有限元动力方程，并根据 层合板理论，建立功能梯度压电材料层合板力一电耦合有限元模型。由有限元软 件a n s y s 力一电耦合场的性质特点，对a n s y s 进行二次开发，实现材料属性的梯 度变化。根据功能梯度压电层合板板的特点，利用a p d l 语言编写计算有限元程 序。进行计算分析功能梯度压电层合板的模态分析和动力响应分析。由于作为 制动器和传感器的功能梯度压电板很薄，引入退化三维耦合场单元，并根据压 电结构控制理论的基本原理，建立功能梯度压电层合板的控制方程。利用现代 控制理论的l q g 控制，实现对功能梯度压电材料层合板振动控制。通过本文对 功能梯度压电层合板动力分析及振动控制研究的研究得出一些有益结论，有指 导实践的现实意义。 关键词：功能梯度压电材料；动力学分析；振动控制；l q r 法； d y n a m i ca n a l y s i sa n dv i b r a t i o nc o n t r o lo ff u n c t i o n a l l yg r a d e d p i e z o e l e c t r i cl a m i n a t ep l a t e s a b s t r a c t f u n c t i o n a l l yg r a d e dp i e z o e l e c t r i cm a t e r i a l ( f g p m ) i san e wm a t e r i a lw h i c h a s s e m b l e sm a n ym a t e r i a l s g o o dc h a r a c t e r i s t i c st oi t s e l f t h ef g p mh a sb e e n w i d e l y u s e di nal a r g en u m b e ro fe n g i n e e r i n gs t r u c t u r e sa n di t sm e c h a n i c a l b e h a v i o rr e s e a r c hh a sb e e ng r e a t l yd e v e l o p e da n da p p l i e dt os t r u c t u r a lv i b r a t i o n c o n t r 0 1 i nt h i sp a p e r ，b a s e do naf u n c t i o n a l l yg r a d e dp i e z o e l e c t r i cm a t e r i a lf o r c e e l e c t r i c c o u p l e dc o n s t i t u t i v er e l a t i o n s ，g e o m e t r i cr e l a t i o n s ，a n d b o u n d a r y c o n d i t i o n s ，u s i n gh a m i l t o np r i n c i p l e ，d e r i v e df r o mp i e z o e l e c t r i cm a t e r i a lc o u p l e d f i e l df i n i t ee l e m e n td y n a m i c e q u a t i o n ，a n di n a c c o r d a n c ew i t hl a m i n a t ep l a t e s t h e o r y ，s e tu pf u n c t i o n a l l yg r a d e dp i e z o e l e c t r i cl a m i n a t e sf o r c e e l e c t r i cc o u p l e d f i n i t ee l e m e n tm o d e l b yt h ef i n i t ee l e m e n ts o f l w a r ea n s y s sn a t u r eo ff o r c e - e l e c t r i cf i e l d c o u p l i n g c h a r a c t e r i s t i c sa n dl a m i n a t e t h e o r y ，m a k ea n s y s s e c o n d d a r yd e v e l o p m e n ta n dt h ep a r a m e t e ro fm a t e r i a lp r o p e r t yc h a n g eg r a d e d l y a c c o r d i n gt ot h ec h a r a c t e r i s t i c so ff u n c t i o n a l l yg r a d e dp l a t e ，b yv i r t u eo fa p d l l a n g u a g ef i n i t ee l e m e n tc o m p u t i n gp r o g r a mt oc a l c u l a t ea n da n a l y s em o d e la n a l y s i s a n dd y n a m i cr e s p o n s eo ff u n c t i o n a l l yg r a d e dp i e z o e l e c t r i cl a m i n a t ep l a t e s a l l b e c a u s e o ff u n c t i o n a l l yg r a d e dp i e z o e l e c t r i ct h i n p l a t eu s e da s a c t u a t o r sa n d s e n s o r s ，i n t r o d u c ed e g e n e r a t e dt h r e ec o u p l e df i n i t ee l e m e n tm o d e l ，a n dp i e z o e l e c t r i c s t r u c t u r ei na c c o r d a n c ew i t ht h eb a s i cp r i n c i p l e so fc o n t r o lt h e o r y ，d e p r i v eo ft h e f u n c t i o n a l l yg r a d e dp i e z o e l e c t r i cl a m i n a t e so ft h ec o n t r o le q u a t i o na n du s em o d a l c o n t r o lt h e o r yo fl q oc o n t r 0 1 t h r o u g ht h i sa r t i c l eo nt h ef u n c t i o n a l l y g r a d e d p i e z o e l e c t r i cl a m i n a t e sd y n a m i ca n a l y s i sa n dv i b r a t i o nc o n t r o ls t u d yt od r a ws o m e u s e f u lc o n c l u s i o n st og u i d ep r a c t i c e k e y w o r d s ：f u n c t i o n a l l yg r a d e dp i e z o e l e c t r i cm a t e r i a l ，d y n a m i ca n a l y s i s ，v i b r a t i o n c o n t r o l ，l q rm e t h o d ； 插图清单 图1 1p z t 材料极化处理前2 图1 2p z t 材料极化处理后2 图2 1 三维耦合场单元9 图3 1 梯度指数对c l ，沿厚度分布的影响2 0 图3 2 有限元分析流程图2 1 图3 3 功能梯度压电板计算模型2 2 图3 48 层p f g m 模型2 4 图3 5 电压自由度的耦合2 4 图3 - 6p f g m 中心点位移随时间的变化曲线( v = 2 0 0 v ) 2 5 图3 7p f g m 中心点位移随时间的变化曲线( v = 0 v ) 2 5 图3 - 8p f g m 中心点位移随时间的变化曲线( v = 2 0 0 v ) 2 5 图3 - 98 层p f g m p 模型2 6 图3 1 0p f g m p 中心点位移随时间的变化曲线( v = 2 0 0 v ) 2 6 图3 1 1p f g m 和p f g m p 中心点位移随时间变化比较2 7 图4 1 均匀压电材料进行结构控制的原理图2 8 图4 2 功能梯度压电材料进行结构控制的原理图2 8 图4 3 矩形压电板单元2 9 图4 4 振动控制模型3 9 图4 5 参数c 在不同梯度指数下沿厚度变化曲线3 9 图4 6 材料指数变化为o 时，一阶振型图片4 0 图4 7 一阶振型图片4 0 图4 8 第一阶振型下板不受控制时板中心点的位移响应4 1 图4 9 第一阶振型下板受控制时板中心点的位移响应4 l 图4 1 0 施加控制电压随时间变化的曲线4 1 图4 1 1 二阶振型图片4 2 图4 1 2 第二阶振型下板不受控制时板中心点的位移响应4 2 图4 1 3 第二阶振型下板不受控制时板驻点a 的位移响应4 2 图4 1 4 第二阶振型下板受控制时板驻点a 的位移响应4 3 图4 1 5 施加控制电压随时间变化的曲线4 3 图4 1 6 三阶振型图片4 4 图4 1 7 第三阶振型下板不受控制时板中心点的位移响应4 4 图4 18 第三阶振型下板不受控制时板驻点b 的位移响应4 4 图4 1 9 第三阶振型下板受控制时板驻点b 的位移响应4 5 图4 2 0 施加控制电压随时问变化的曲线4 5 表格清单 表3 1p z t - 4 的材料常数 5 7 2 2 表3 2 功能梯度材压电层合板的固有频率2 3 独创性声明 本人声明所里交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。据我所 知，除了文中特别加以标志和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果， 也不包含为获得 金壁兰些盔堂 或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作 的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谓十意。 学位论文作者签字： 础暂 擀瞅：如即乒| 卜 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解金8 墨王些盔堂有关保留、使用学位论文的规定，有权保留并向 国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅或借阅。本人授权金g 墨王些盔 堂一可以将学位论文的全部或部分论文内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 通讯地址： 导师签名： 签字日期： 豸肫万厅0 月日 协 电话：r c “q 2 ；3 1 邮编： 致谢 值此论文完成之际，谨向我的导师方诗圣教授表示最诚挚的感谢。本人在 硕士研究生学习、撰写学位论文的过程中，自始至终得到了我的导师方诗圣教 授的悉心指导，无论从课程学习、论文选题，还是到收集资料、论文成稿，都 倾注了导师大量的心血。导师渊博的学识、严谨的治学态度、精益求精的敬业 精神、诲人不倦的育人情怀，必将伎我终身受益，并激励我勇往直前。作者再 次表示深深的谢意。 论文的顺利完成离不开土木与水利工程学院许多老师，特别是王建国教授 对论文给予的指导，在此表示我深深的谢意，感谢他们的鼓励和支持。 感谢父母的养育之恩，他们艰苦耐劳的精神、无私善良的品德、塌实敬业 的为人，是我一生前进的动力。感谢胡荣金、桑健权等师弟的帮助，与他们一 起讨论问题，解决问题。 谨在此对所有帮助过我的人致以诚挚的谢意! 作者：咸玉席 2 0 0 9 年3 月 1 1 功能梯度压电材料简介 第一章绪论 功能梯度材料( f u n c t i o n a l l yg r a d e dm a t e r i a l ，简称f g m ) ，是指构成材 料的要素组成、结构在空间连续变化、结构在空间连续变化，由两种或多种性 质完全不同的材料复合而成。这种材料的显著特点是在宏观尺寸上各族份材料 的体积含量在空间位置上是连续变化的，其物理性能没有突变，因而可较好地 避免或降低应力集中现象心卜2 8 。 从本质上讲，功能梯度材料也是一种多相材料，但与一般的层合材料不同， 其设计思想是在材料的制备过程中，通过连续的控制各组分含量的分布，弱化 甚至完全消除各组分之间的界面，使材料的宏观特性如弹性摸量、压电系数等 在空间上呈现梯度变化，从而满足结构元件不同部位对材料使用性能的不同要 求，达到优化结构整体使用性能的目的。 功能梯度材料按照材料特性随空间梯度变化的维数可分为：一维、二维和 三维等几种类型。一维功能梯度材料是指材料性质只沿一个方向梯度变化。同 样二维和三维功能梯度材料，分别指材料性质沿二个、三个方向均梯度变化。 功能梯度材料的产生和发展可追溯到1 9 7 2 阳3 年，当时提出了使材料性质呈 梯度变化的一些建议。直到2 0 世纪8 0 年代功能梯度材料的设计、制造、优化 才真正开始。在1 9 8 4 年为了提高重复利用火箭发动机中陶瓷涂层和金属基体的 粘结强度，并降低热应力集中现象，制造出了材料组织结构连续变化的耐热材 料。在此研究基础上，研究人员认识到通过按照要求控制材料性质连续变化可 以产生新材料或具有新功能的材料，从此便产生了功能梯度材料的概念凹吲。 功能梯度材料的提出，立刻引起了国际学术界和工程界的广泛关注。19 8 7 年，日本科学技术厅启动了国家级研究项目“关于开发缓和热应力的功能梯度 材料的基础技术研究”订3 ，次年成立了功能梯度材料研究会。l9 9 3 年，日本科 学技术厅又启动了“具有功能梯度构的能量转换材料的研究”的国家级项目哺1 。 与此同时，美、法、俄、德、中、澳等国也很快开展了对功能梯度的研究工作 阳1 。美国从上世纪年代中期开始，每年在方面投入的研究经费达一亿美元，而 我国则将项目列入国家“重大项目计划 。19 9 0 年在日本召开了第一届功能 梯度材料国际研讨会，之后成为系列国际会议，每隔两年召开一次，迄今已举 办了八届。第七届国际会议年在我国北京召开，由清华大学材料系承办。 功能梯度材料作为一种现代材料，具有研究体系的四个要素：材料的固有 性质，材料的结构与成份、材料的使用性能和材料的合成与加工。因此功能梯 度材料的开发研究涉及多产业、多学科的交叉与合作，是一个系统的工程，通 常有材料设计，材料合成和性能评估三个部分组成捧j 。功能梯度材料的设计是 由计算机辅助设计获得最优的材料组成和分布。首先按照包括几何形状和边界 条件在内的技术要求，在材料性能数据库设计基本资料的基础上选择可能的材 料成分组合，在预定的混合比分布下进应力分析：经过多次迭代计算以确定最 佳的材料组合和组份分布。然后由材料合成部门进行材料的梯度合成；对合成 后的材料进行性能评估，把测定结果和评估意见反馈给材料设计部门；经过循 环设计、制备及评价，后研制出满足要求的功能梯度材料【6 j 。 压电材料是各向异性的介电材料。受机械载荷时会产生电荷，称为正压电 效应：反之，在电场效应下压电材料会产生机械形变，称为逆压电效应。 以p z t 材料为例来解释压电效应，p z t 材料在极化处理前是具有对称中心的立方 体，表现为各向同性的结构，不具有压电性。极化处理后，晶体的结构变为各向异性 的结构，当有机械应力作用时，应力改变了正负电荷间的相对位置，晶体表现出压电 特性。逆过程，表现出逆压电效应。 图卜1p z t 材料极化处理前 图l 一2p z t 材料极化处理后 v o ig t 于1 8 9 4 年找到了正压电效应的正式数学表达。压电材料由于具有 正、逆压电效应，己经广泛用作智能结构的传感器( s e n s o r ) 和执行器 ( a c t u a t o r ) ，应用于结构的形状控制、振动和噪声控制以及结构的损伤监测等 诸多领域。这些应用通常要求压电作动器有较大的位移及较强的承载能力。为 达到上述目的，常常将两个压电陶瓷薄片以板的形式粘接在一起，将压电激励 器做成压电双晶片形式。这种设计，在提供大位移的同时，也带来了缺点。当 粘接两个不同的压电材料，若极化方向不同的两个同种的压电材料时，将产生 严重的应力集中，并会在低温下会发生裂纹、高温下产生蠕变以及剥落，导致 压电双晶片的电场诱导位移特性降低，器件的寿命缩短，难以应用在要求高可 靠性的计测控制装置上。为了克服传统压电双晶片元件的缺点，w u 等n 23 人发 展了一种新的被称作功能梯度压电材料( f g p m ) 的新型压电材料。功能梯度压电 材料可以用于单一压电装置、或是两个不同压电装置之间的粘结过渡层。这种 材料的优点是由于组成和性能在空问连续变化的特点，使压电性能、介电性能 等性能参数得到恰当的分配，没有明显的内在边界，降低应力峰值，产生较大 2 的位移，应力集中导致的传统元件故障可以被避免。因此，功能梯度压电激励 器可以在产生大位移的同时，减缓分界面处的应力集中，从而大大提高了压电 元件的可靠性和寿命。随着现代材料制造技术的发展，使得满足各种梯度组成 的材料能够制造出来。功能梯度压电材料( f g p m ) 作为一种全新的材料设计理念， 其应用前景十分广阔。 1 2 功能梯度压电材料( f g p m ) 的力学问题研究现状 功能梯度压电材料是一种特殊的非均匀材料。相对于均质力学，非均匀介 质力学的数学特点是求解耦合变系数微分方程组。其力学问题主要为静力学响 应和动力学响应。 在静力响应方面，静力特性是f g m 结构最基本的力学特性，是研究其它问 题的基础。杨杰和沈惠申阳1 用经典板理论，研究了一对边固支、另对边任意约 束的各向同性f g m 矩形板，在面内与横向载荷共同作用下的横向弯曲问题。其 中梯度模型采用沿板厚方向的幂函数模型，并且考温度变化对材料物性参数的 影响。r e d d y 和c h e n g 引用渐进展开式结合传递矩阵公式得到了智能功能梯度 ( p f g m ) 结构( 由弹性f g m 层和压电层组成) 的渐近解。陈伟球和丁皓江1 研究 了功能梯度压电材料矩形板的自由振动问题。l i 和w e n g n 引，胡克强，仲政阻6 1 7 3 基于三维弹性理论和压电理论，对材料系数按指数函数规律分布的功能梯度压 电板条中的裂纹问题进行了求解。j inb ，z h o n gz 引等对功能梯度压电材料的 反平面裂纹问题进行了研究。l i u 和t a n il 【l 钊研究了波在功能梯度压电板中的 传播文体。吴瑞安心0 2 功能梯度压电材料平板进行了力电耦合结构分析，并从压 电材料基本方程出发，导出并求解了四边简支、接地条件下功能梯度压电材料 矩形板的自由振动方程。l i m 和h e 陋纠给出了复合梯度压电层合结构的三维精确 解。p i r l l u ，h 、pc 2 2 j 等利用s t r o h - iik e 方法计算了四边简支功能梯度压电板问 题。e p a n 和fh a n 陋3 3 研究了四边简支功能梯度层合板的磁、电、弹耦合问题。 a l m a jid 乜们等对经典层合板理论进行了改进，以考虑力电耦合效应，分析了功 能梯度压电板的应力和平面外弯曲问题。伍晓红，沈亚鹏心叫提出了一个简单而 有效的求解压电梯度薄壳力、电行为特性的高阶理论。设定位移分量为壳厚的线性函 数，而电势沿厚度方向为二次分布。考虑了压电作动元的驱动信号不同时所具有的不 同形式的电荷平衡方程。应用f o u r i e r 级数法得到压电系数沿厚度坐标变化的梯度壳 的力电耦合的解析解。刘玮，闰铂拉剐基于经典板理论，研究了四边简支压电功能 梯度矩形薄板的屈曲问题。陈江义等心利用状态空间法对功能梯度电磁弹性多 层板场变量的精确解进行了分析。朱吴文等心引用变分原理和功能梯度压电材料 的本构关系、几何关系、板的边界条件等，推导出功能梯度板的有限元方程。 在动力学响应方面，f g p m 结构的动力特性在实际工程中具有非常重要的意 义，研究内容主要包括自由振动和稳态、瞬态响应等。伍晓红和沈亚鹏心刚从三 维弹性理论和压电理论出发，将基本方程改写成用位移表示的形式，用幂级数 展开的方法求解了四边简支的有限长矩形f g m 压电板的自由振动频率，文章假 定压电系数在厚度方向线性梯度变化，而其他材料参数则保持不变。黄小林和 沈惠申 3 0 ：从r e d d y 高阶剪切变形理论和广义k a r m a n 型方程出发，采用f o u r i e r 级数展开法，求出了四边简支带压电层功能梯度复合材料混合层合板的自由振 动及动力响应的解析解。r e d d y 和c h e n g 等拍推广了存在于平板中的薄膜比拟 法，将简支的f g m 球形扁壳同与其俯视图周线重合的平面膜相比拟，建立了分 别对应于f g m 球形扁壳的经典理论、一阶理论和三阶理论的振动比拟关系。 c h e n 【3 2 3 从r e d d y 三阶板理论出发，考虑转动惯量的影响，分析了置于 w i n k l e r p a s t e r n a k 地基上、承受面内静水压力的简支各向同性f g m 多边形板 的临界屈曲荷载和振动频率，发现它们与边界固支的、与板形状一致的膜的频 率存在着一种比拟关系，从而用比拟法求出了f g m 板的相应解。陈伟球等口副用 状态空间法求出了四边简支的横观各向同性f g m 矩形板的自由振动频率方程。 陈伟球等43 还研究了横观各向同性f g m 磁电弹性板的自由振动问题。陈伟球等 b 叫又研究了表面自由的径向呈梯度性质的球面各向同性f g m 球壳的自由振动问 题h e 拍嗣等从经典层合板理论出发，用有限元方法对集成了压电传感器和作动 器的f g m 板的形状和振动控制进行了数值分析。l i 等用a b a q u s 软件，对装 甲用的金属一陶瓷层合梯度板，承受冲击荷载时产生的大振幅应力波进行了粘 塑性有限元分析。l iu 3 8 1 等采用分层近似模型，根据哈密顿( h a m il t o n ) 原理建 立了压电f g m 板的动力平衡方程，结合瑞利一里兹商和特征向量的正交条件， 分析了压电f g m 板中波的弥散和波阵面特性。y a n g 和s h e n 钊从经典的小变形 板理论出发，采用一维的微分积分法以及伽辽金法，求解了具有初应力的f g m 矩形薄板的自由振动频率，板悬空或置于双参数弹性地基( p a s t e r n a k 地基) 上， 两对边固支，另两对边或简支、或固支、或有旋转弹性约束的，再用模态叠加法 计算了板对侧向冲击载荷的瞬态响应。n g h 们等从经典薄板理论出发，结合哈密 顿原理，求解了在面内简谐荷载作用下f g m 矩形板的参量共振，其中对不稳定 域的确定采用b o lo t ni 法。该文着重讨论了各组分的体积分数以及组分的配置 对不稳定域位置及尺寸的影响。h a n 和l il l 4 1 采用分层近似模型，将每一层内 的材料参数假定为为厚度的二次函数，结合层间连续条件、边界条件以及傅立 叶逆变换技术，分析了f g m 板中的s h 波。h a n 等n 2 1 用半解析法分析了受点荷载 冲击的f g m 圆柱壳的瞬态响应问题。他们用环形壳单元将f g m 圆柱壳沿径向离 散，而轴向和环向采用解析表达式，通过哈密顿原理建立了运动平衡方程，再 结合傅立叶变换和模态分析方法，求出了f g m 圆柱壳的位移响应。 4 1 - 3 功能梯度材料压电层合板振动控制的研究意义及现状 1 3 1 结构的振动控制 在讨论功能梯度材料结构主动控制之前，先讲一般结构的振动控制。结构 的抗振动性能对于结构系统的工作可靠性和精度是至关重要的。一般工程结构 在实际运行中普遍承受环境的随机振动激励，如不采取措施对结构的振动给以 控制，将会影响结构上各构件的工作性能或精度，甚至出现疲劳破坏而发生重 大事故。因此，必须对结构进行实时振动控制，来提高结构的工作性能、精度 及安全可靠性。按照控制器是否需要外界供给能源将振动控制分为被动控制、 主动控制和主、被动体化控制。现有的振动控制策略( 算法) 有：直接输出 反馈控制法、极点配置法、自适应控制法、模态控制法等。 ( 1 ) 被动控制 被动控制不需要外界供给能源，利用减振装置吸收、消耗振动能量，通过 隔振装置阻止能量向被控系统传递，以达到降低振动的目的。随着技术的发展， 对结构系统的抗振动性能提出了更高的要求。对很多实际工程结构，采用被动 控制对结构进行振动控制显得非常困难或难以凑效的，主要因为：a 被动控制 存在着根本的局限性，主要在于缺少控制上的灵活性，对突发环境变化应变能 力差，不具备随环境自适应调节的能力；b 有些精密结构，对其外形有很高的 要求，传统的被动控制难以满足其实际需要；c 被动隔振器不能有效抑制结构 在宽频段内的振动。 虽然被动控制是一种直接的减振方法，具有容易实现和结构简单等特点， 具有高可靠性和鲁棒性，但缺少灵活性，对突发性环境变化适应性差o 因而， 现在振动控制方法的主要发展趋势是利用智能材料进行主动控制或主、被动一 体化控制。 ( 2 ) 主动控制 驱动器需要外部供给能源，使其作用与系统运动相关，达到减振的目的。 最常用的是闭环反馈控制系统：根据传感器检测到的结构的振动信号，应用振 动控制策略经过实时计算得到所需的控制输入，从而驱动驱动器对结构施加一 定的力或力矩以达到抑振或消除振动。利用智能材料结构技术进行振动主动控 制是当前振动工程的个研究热点。在结构振动主动控制研究中，智能结构多 以压电材料作为传感器和驱动器，压电薄膜p v d f 和压电陶瓷p z t 是应用最为 广泛的两种压电材料。主动控制附加质量轻，响应快，并且能够满足阻尼特性 随环境变化而变化的要求，但也存在不足，例如要产生大的阻尼则要求很高的 控制增益；控制器的故障会使阻尼作用完全失败而造成结构失稳。 ( 3 ) 主、被动控制一体化 主、被动控制一体化是同时采用主动控制和被动控制的方法对结构进行振 5 动控制，以最少外界能源供给、减少附加装置或质量，达到最佳控制效果。这 样便能同时发挥主动控制和被动控制的优点，所以控制效果比单独使用主动控 制或单独使用被动控制都要好。压电材料是实现主、被动一体化控制的理想材 料，可以通过压电材料把主、被动控制技术有机结合在一起。具体做法为：在 传统的不可控阻尼材料即在粘弹层上铺设一层压电材料，通过反馈控制来主动 调节压电层的轴向变形，这样不仅给结构施加控制力，而且直接影响粘弹层的 剪切变形，进而影响粘弹层的阻尼特性，增大其阻尼；系统中的粘弹层则象传 统的被动阻尼结构那样，通过剪切机理耗散结构振动的能量。 1 3 2 功梯度材料结构振动控制研究现状 像一般材料所形成的智能结构一样，f g m 结构的主动控制研究也随着f g m 结构的广泛应用而展开。但现阶段这方面的研究还比较少，主要是用压电材料 来做传感和驱动元件来实现功能梯度材料板结构主动控制。 目前智能结构振动控制的研究主要有三个方面： 1 力学分析，侧重于集成在母体结构中的压电元件对母体结构的传感作动 机理。 2 控制研究，主要集中于控制算法的研究也有一些压电元件布置优化方面 的研究。 3 应用及实验研究。 x q h e 等n 钉采用经典层合板理论( c l p t ) 用整体式压电层来实现f g m 板的 形状和振动的主动控制。k m l io w 他2 一副等采用一阶剪切变形理论( f s d t ) 采用 整体式压电层来实现f g m 板的形状和振动的主动控制和在频率域用有限元方法 研究了嵌有压电传感器或作动器的功能梯度壳在封闭环内的反馈控制。孙东昌 等心列在压电智能梁振动控制的研究中，以控制各阶模态所需的控制电能尽可能 小作为目标。s m y a n g 和j j b i a n 等强们研究了带有压电传感作动元件的复合 材料层合板的控制，控制算法为普通的负速度反馈，另外在一定的控制方法下 可以采用不同的物理量作为控制目标。唐纪晔等h 引对压电自适应结构的振动控 制进行了研究采用独立模态控制方法将结构的各阶模态的阻尼比作控制标。在 有限元数值方面，尹林等 采用板的一阶剪切变形理论推导了含有压电材料层 的复合材料层合板的动力有限元方程并且采用负速度反馈实现了主动振动制。 h w a n g 等83 提出了一种4 节点l2 自由度的弯曲板单元采用负速度反馈计算了悬 臂板的振动控。b s a m a n t a 等h 纠考虑一阶剪切变形推导了带有压电传感作动层 的8 节点二维等参板单元，并用简支板验证了负速度反馈控制。 6 1 4 本文的主要研究内容 1 根据压电材料的本构方程和h a m il t o n 原理，利用功能梯度压电材料的本 构关系、几何关系、板的边界条件等，推导出功能梯度压电层合板的有限元动 力方程。 2 根据有限元软件a n s y s 力电耦合场的性质特点，编写a p d l 语言计算有 限元程序，并根据层合板理论，对a n s y s 进行二次开发，实现材料属性的梯度 变化。以此为基础进一步进行功能梯度压电层合板结构耦合系统的模态分析和 瞬态动力分析。利用数值计算软件m a t l a b 7 0 和有限元软件a n s y s l 0 o 进行编 程计算，并分析其计算结果。 3 由于作为制动器合传感器的功能梯度压电板很薄，引入三维耦合场单元 单元，并根据压电结构控制理论的基本原理，建立功能梯度压电材料层合板的 振动控制方程。利用现代控制理论的l q g 控制，实现对功能梯度压电材料层合板 振动控制。 7 第二章功能梯度压电层合板力一电耦合有限元模型 2 1 平衡方程 1 力学平衡方程陆0 3 弹性体v 域内任一点沿三个坐标轴x ，y ，z 为方向的平衡方程为： 冬+ 孥+ 冬+ 六刊，：成 吼 u y 叫 孥+ 等+ 孥+ 乃刊y ：y ( 2 - 1 ) a x矾a z y l y 冬+ 孥+ 冬+ 正刊：脚： o a - u y 叱 上式中，六，六，z 分别为沿着x ，y ，z 方向的单位体积的体积力，c ，“分别为 材料组尼系数和位移。 2 电学平衡方程 若压电材料中不存在自由体电荷，m a x w e l1 方程为： 孕+ 孕+ 孕：o ( 2 _ 2 ) o x o y a z 上式中，d ，d ，d ：分别是x ，y ，z 方向的电位移。 2 2 几何方程 一般所说的几何方程是指在微小位移和微小变形的情况下，略去位移导数 的高次幂，所得应变分量和位移分量的关系式。从力学量和电学量比拟关系可 知应变分量对应电场强度分量，位移分量对应电势分量，所以此处可类似力学 几何方程的表述，将电场强度分量和电势分量的关系称为电学几何方程。 1 力学几何方程 a u l2 _ o x a 甜加 2 万+ 瓦 2 电学几何方程 e ：一娑 o x 驴一影 占，：竺 ( 2 - 3 3 )占，= l) z 化 一 y ，罢+ _ 0 w ( 2 4 ) v = 一+ 一 iy 一4l ，“ 7 o z d x e ：一娑 ( 2 _ 5 ) 陇 型砂 塑钞 v叶z a 习 塑瑟 y = 占 。 2 3 力一电耦合的本构方程 本文所研究的压电一功能梯度材料板、壳结构涉及到力一电的耦合，本构 方程张量形式为： 矩阵形式： a 。= c | f l c l q e 嘛e k d k = e q k u + 芎k | e | 仃6 l 2 c 6 x 6 占6 x l e 6 x 3 e 3 x 1 d 3 x 12e 6 。3s 6 x 1d - 毒3 3ee63 l3 x 1 2 s 6 x 1言3 33 l ( 2 - 6 ) ( 2 7 ) 上式中盯，仇，e 口，e ，c 删，已耻，知分别为应力张量，电位移向量，应变张量，电场 强度向量，弹性常数，压电应力系数，介电常数。 2 4 边界条件 1 力学边界条件包括位移边界条件和力平衡方面边界条件 位移边界条件： 甜，= 瓦在f ，上 ( 2 - 8 ) 力边界条件： 仃，z ，= 疋，在r 。上 ( 2 - 9 ) 上式中f ，r 。分别为给定位移边界和给定力边界；巧表示已知边界上的位移值； r ，表示边界外法线方向余弦；疋，为已知边界上的面力。 2 电学边界条件包括已知边界电势和已知边界面电荷。 电势边界条件： = 矽在l 上 ( 2 10 ) 电位移与面电荷关系：d ，胛= 一g 。在l 上 ( 2 1 1 ) 上式中表示边界上己知的电势值；g 。表示边界上已知的面电荷；d ，电位移。 2 5 压电材料力一电耦合的有限元动力方程 借用参考文献 5 1 中的三维耦合场单元对压电结构进行分析，推导压电材 料力电耦合的有限元动力方程。 x 上y k 图2 1 三维耦合场单元 9 o p 心l j ( 针l g mo 辨l o l j 设单兀节点的位移夕i j 阵为： 函， = l ，“。，材，“，甜m ，甜，材。，甜，r ( 2 12 ) 元内的任意一点( x ，y ，z ) 的位移的近似函数为： u x ，y ，z 】7 = ” 囊，) ( 2 13 ) 上式中，n 为单元形函数。 设压电耦合系统的动能为t ，势能为u ，外力功为w ，则有： 丁= 扭”风p 扭+ 抵 p 妇泗 ( 2 - 1 4 ) u = 扭 枷毛l ， p ，冲一抵 d d n c2 耶) 矽= 上，缸h e 妞+ k ，函y f d s + 函y 以) 一l ，矽q d s ，由搬 ( 2 16 ) 其中p 为密度，s 表示面积，q 表示体积， 乞) 为体力向量， 乓) 为面力向量， e ，) 为集中力向量，g 为体电荷密度，g 为面电荷密度。 根据h a m i l t o n 原理得到： 万j ：2 ( 丁一u + w ) d t = o ( 2 17 ) 最后得到系统的有限元运动方程为： m 谚( 讲+ k 。 甜以) ) + k 月 力( r ) ) = z ( ，) ) ( 2 1 8 ) 坼( 嘞+ 谚( ，) ) = g 以) ) ( 2 1 9 ) 其中f 为时间， m 】为结构质量矩阵： m _ 坂】+ i m p = l 。成 l ，r 玑 施+ l 。砟 mr 玑 d q ( 2 2 0 ) k 。 为结构刚度矩阵： 如 = f k ， + k 妒 = ，【色 7 1 c f 色 d q + 。 e ， 丁 c e 鼠】d q ( 2 2 1 ) k = 7 为结构力一电耦合刚度矩阵： k 矿 = 巧。 7 = l 色 r p 7 岛 d q ( 2 2 2 ) 为介电刚度矩阵： 一一上。 岛 7 e s 饬 q ( 2 2 3 ) ( z ) = l ，) 7 1 e ) d q + l 矾) r ( 只) 嬲+ m ，) 7 ( c ) ( 2 2 4 ) l o 从式( 2 7 8 ) 令护 = e + k j ) ， 吕 = 一q ， 7q d q l q 7q d s 中解出 谚( ，) ) 并代入到式( 2 7 9 ) 中可得到： 【m ) + 【c + k = ，) + 汹) 则有限元运动方程简化为： 阻 伽) + c 如) + k b ) = 扩) 2 6 耦合场动力响应有限元的解法 2 6 1n e w m a r k 法求动力响应 ( 2 2 5 ) ( 2 2 6 ) ( 2 2 7 ) 由于耦合场的动力响应通常是以低频成分为主要的，从计算精度考虑，允 许采用较大的时间步长的临界值出。，的限制而使时间步长太小。同时，动力响 应问题中时间域的尺度通常大于波传播问题的时间域的尺度，如果时间步长太 小，则计算工作量太大。因此通常采用无条件稳定的隐式算法，时间步长主要 取决于精度要求。 n e w m a r k 方法瞄朝是应用最广泛的一种隐式算法。它所用的假设是： h 出西= 7 舀+ l ( 1 一万) z i + 8 h 山西j f( 2 2 8 ) ，十厶，“= ，“+ 7 吱r + i ( 丢一口 7 办+ 口h 山西i 产 c 2 2 9 ， 式( 2 2 8 ) 和式( 2 - 2 9 ) 中，口和万是可以根据积分的精度和稳定性确定的参数。 n e w m a r k 最初提出的是以恒定一平均- a n 速度作为无条件稳定的格式，此时 占= 1 2 口= 1 4 。此时，a t 内的加速度为： m = 去 ，+ 舢) ( 2 3 0 ) 为了得到时刻t + a t 的位移、速度和加速度的解，除了式( 2 2 8 ) 和式( 2 - 2 9 ) 外， 还需要考虑时刻f + 出的平衡方程： 从而得到 阻 每似) + c 函m ，) + k + k m ) = 亿+ 加) ( 2 3 1 ) 一7 t+出-t)l面1沪(去斗(2-32)ut+at a a t 2 ( u t + 一 l 面坼一【五。1j 代入到( 2 2 8 ) 式，一并代入到运动方程，得到甜，+ ，两步递推公式： ( k 。 + 古吣啬 c 吵小奴小阻( 古+ 击钒 ( 一1 计 c ( 寺+ ( 引”( 争p 利用n e w m a r k 方法逐步求解耦合场运动方程的算法步骤： 1 初始计算 ( 1 ) 形成刚度矩阵k ，质量矩阵肘和阻尼矩阵c ( 2 ) 给定o u , 0 2 2 和o 。 ( 3 ) 选择时间步长a t ，参数a 和占，并计算积分常数。 万0 5 0 ，口0 2 5 ( 0 5 + 占) 2 2 否q2 五a 22 否吃2 2 a 。1 旷 = 等( 争一) , a 6 = a t ( 1 a 5 2 a 6a t i j 埘a 7 = b a ta 42 一一， 2 ：ii j d 2 口z 么 ( 4 ) 形成有效的刚度矩阵霞露：k + 口。m + a l c ( 2 - 3 3 ) ( 2 - 3 4 ) ( 2 - 3 5 ) ( 2 - 3 6 ) 霞进行三角分解 露= 工时 ( 2 - 3 7 ) 2 对于每一时1 9 步长( f = o ，a t ，2 a t ，) ( 1 ) 计算时间，+ 缸的有效荷载 丘+ ，= f + m ( 口。甜，+ 口2 西，+ 口3 i i ，) + c ( 口l 甜，+ 臼4 幻，+ 口5 舀，) ( 2 3 8 ) ( 2 ) 求解时刻h f 的位移 l d l 7 h 甜：h 出户( 2 3 9 ) ( 3 ) 计算时刻t + a t 的加速度和速度 7 + 脚= a o ( 7 + 出甜一7 甜) - - a 2 l j 一口，7 舀 ( 2 4 0 ) 7 + z i = 7 幻+ a 6 + a 77 + 7 2 6 2 振型叠加法求动力响应 振型叠加法晦3 1 是用结构的振型( 特征矢量) 来形成r it z 基，通过对方程 ( 2 2 7 ) 作变换，用广义坐标代替原来的有限元节点坐标，以降低方程的阶数。 由于固有振型的正交性，振型叠加法不仅可以降低阶数，而且可以解除原方程 的各自由度间的耦合，简化了方程的运算。一般来说，在不太复杂的外力作用 下结构通常只激起较低的一部分振型，而大多数高阶振型分量很小，可以忽略 1 2 不计。对n 阶动力方程，起主要作用的是其前q 阶振型，且q n 。 采