（应用数学专业论文）分析捕食系统的稳定性和hopf分支.pdf

中文摘要 本文主要研究关于b e d d i n g t o n - d ea n g e l i s 型捕食系统和具有年龄结构的带有 时滞的捕食系统问题 全文共分为五章： 第一章为前言，主要介绍所研究问题的一些相关背景，以及本文所要研究解 决的问题 第二章主要介绍本文所应用到的一些基础知识 第三章主要研究了一个b e d d i n g t o n - d ea n g e t i s 型的捕食系统 l 害= 如( 1 一蚤) 一卫a + b x + - y y ， 害= 可( 一d + 卫a + b x + w v 、 iz ( o ) = x o 0 ，y ( 0 ) = y 0 0 ， 讨论系统平衡点的局部和全局稳定性，运用p o n t r y a g i n 极大值原理寻求一种渔业 保护的最优税收政策 第四章主要研究一个捕食者具有年龄结构的带有时滞的捕食系统 i 象= u ( a 一乩) 一，毗， 。 警= 弛( 一7 ) 2 ( t r ) 一( m + e ) 口1 ， 【警= m v l e v 2 讨论了系统的解，平衡点的稳定性，及h o p f 分支的存在性、方向、稳定性和周期 解等问题 第五章为结束语，总括全文的工作 关键词：b e d d i n g t o n - d ea n g e l i s 型捕食系统； 稳定性；最优税收政策；年龄 结构；时滞；周期解；h o p f 分支 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，ab e d d i n g t o n - d ea n g e l i sp r e d a t o r - p r e ym o d e la n das t a g e - s t r u c t u r e d p r e d a t o r - p r e ym o d e lw i t ht i m ed e l a yw i l lb ec o n s i d e r e d t h ep a p e ri sm a i n l yd i v i d e di n t of i v ec h a p t e r s t h ef i r s ts e c t i o ni st h ei n t r o d u c t i o no ft h ew h o l ep a p e r w et a l ka b o u tt h eb a c k - g r o u n do ft h i sp r o b l e m ，a n dm a k ep l a n sf o rt h er e s e a r c ho ft h ep r o b l e m s n e x ts e c t i o nm a i n l yi n t r o d u c e ss o m ee l e m e n t a r yk n o w l e d g et h i sp a p e ra p p l i e s t h et h i r ds e c t i o no ft h ep a p e rm a i n l yi n v e s t i g a t e sab e d d i n g t o n - d ea n g e l i sp r e d a t o r p r e ym o d e l i 鲁= 如( 1 一景) 一。+ 触s x y + w ， 害= 可( 一d + 卫a + 口x + t y 、j ， 【z ( o ) = ：g o 0 ，y ( o ) = y o 0 ， s t u d yt h ee q u i l i b r i a sl o c a la n dg l o b a ls t a b i l i t yo ft h es y s t e m ，o p t i m a lt a xp o l i c yi s d i s c u s s e du s i n gp o n t r y a g i n sm a x i m u mp r i n c i p l ef o rc o n s e r v a t i o no ft h ef i s h e r y t h ef o u r t hs e c t i o nm a i n l yi n v e s t i g a t e sas t a g e - s t r u c t u r e dp r e d a t o r - p r e ym o d e lw i t h t i m ed e l a y , l 客= u ( a 一阮) 一，删2 ， 等= 一r ) v 2 ( t 一7 - ) 一( m + e ) 口1 ， 【纽d t 2 m 口l e v 2 s o l u t i o n so ft h es y s t e m ，s t a b i l i t yo fe q u i l i b r i u m ，a n dt h ee x i s t e n c e ，d i r e c t i o n ，s t a b i l i t y , p e r i o d i cs o l u t i o n so fh o p fb i f u r c a t i o na x ed i s c u s s e d a tl a s t ，w es u m m a r i z et h er e s u l t so f t h ew h o l ep a p e r k e yw o r d s ：b e d d i n g t o n - d ea n g e l i sp r e d a t o r - p r e ym o d e l ；s t a b i l i t y ；o p t i m a lt a x a - t i o n ；s t a g e - s t r u c t u r e ；d e l a y ；p e r i o d i cs o l u t i o n ；h o p fb i f u r c a t i o n 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的 研究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得丞盗盘堂或其他教育机构的学位或证 书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均己在论文中 作了明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者躲杰砰一飙加口7 年6 月产日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解苤鲞盘茔有关保留、使用学位论文的规定。 特授权墨盗盘鲎可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文储潞加乎 签字日期：切呷年6 月 叶日 导师虢吕彩夏 签字日期：叼年月午日 第一章前言 第一章前言 捕食一被捕食模型是一种很重要的种群模型，它已经被很多学者研究 过并得到了许多有用的结果 1 中指出，近年，与功能性反应函数相关的捕 食模型已经引起了应用数学家和生态学家的极大兴趣特别是依赖于食饵 密度的功能性反应函数，即功能性反应函数被作为食饵密度的一种线性或 饱和的函数而执行例如，著名的h o l l i n g 型功能性反应函数而基于比率的 功能性反应函数不仅依赖于食饵的密度，还依赖于捕食者的密度，但是这种 功能性的反应函数在低密度下的单一行为引起了很多争议b e d d i n g t o n d e a n g e e s 型的功能性反应函数与基于比率型的有一些相同的功能特征，但是 它避免了基于比率型在低密度下的一些单一行为 自然资源是人类的衣食之源，由于缺乏科学的管理，自然资源被过度 开发，受到了不同程度的破坏，对人类产生了严重的不良后果如何对自然 资源进行适当的保护和合理的开发，防止资源的进一步减少和环境恶化， 已成为人类亟待解决的问题之一由【2 】2 中可知，管理机构通常采取税收、 执照费、出卖财产权，季节性收获等手段作为资源管理的控制手段，但是相 对于其它方法来说，征税由于其灵活性以及能比其它方法更能使系统保持 平衡的优点更多的引起了经济学家的注意第三章中我们主要以渔业保护 为例，研究以税收作为控制手段，利用最优控制理论探讨了渔业开发的最 优税收政策在这一章中我们研究了如下带有b e d d i n g 吨o n - d ea n g e l i s 型功能 性反应函数的捕食系统： l 害= 如( 1 一蚤) 一鼎， 害= ! ，( 一d + 焉) ， 【z ( o ) = z o 0 ，y ( o ) = y o 0 这里利用t a p a nk u m a rk a r 【3 】中的方法，通过计算系统所对应的线性近似 方程的系数矩阵的特征根情况分析了系统平衡点的局部稳定性，以及构造 合适的l y a p o t m o v 函数，得到了正平衡点全局稳定性的充分条件；然后利用 p o n t r y a g i n 最大值原理的表达式h a m i l t n i a x a 函数，使其在最优控制下取到最 大值，从而讨论了渔业的最优税收收获策略 生物种群具有年龄结构是一种自然现象，通常情况下我们把种群的年 第一章前言 龄阶段分为两种，即幼年和成年例如，哺乳动物和某些两栖动物年龄结 构对研究种群的影响是不可忽略的第四章中我们把捕食者分为成年和幼 年两个阶段，并且假设幼年的捕食者不捕食食饵，因为它们大都由成年的 捕食者来喂养，对于一些哺乳动物来说这似乎是比较合理的，而且幼年的 捕食者对于食饵的攻击以及对繁殖率的影响是可以被忽略的时滞在自然 界中是经常发生的现象，时滞对于系统的稳定性的影响是数学研究的一个 重要课题这里由于捕食者在捕食了食物以后不是立即进行繁殖，因为它 的怀孕会需要一些时间因此，第四章中我们讨论了如下一个带有时滞的 捕食者具有年龄结构的捕食模型： l 鬻= u ( a 一阮) 一f u v 2 ， 等= c u 一7 - ) 口2 ( t 一7 - ) 一( m + e ) v l ， 【警：m ，一e 珏 本文结合了【4 】和【5 中的方法，首先分析了系统的正解及其有界性，从而说 明了种群存在的持续性和有限的资源对种群生长的一种限制；运用r o u t h - h u r w i t z 定理讨论了没有时滞情况下平衡点的稳定性，得到了正平衡点稳定 的充要条件，即说明了在没有时滞时种群能够共存的条件；利用b u t l e r 引 理，分析了时滞不为零时，正平衡点的稳定性；然后证明了h o p f 分支的存 在性；由n y q u i s t 标准得到了平衡点保持稳定的时滞区间；最后一部分利用 正规形理论和中心流形定理确定了h o p f 分支在+ 处发生的方向、稳定性 以及周期解的一些性质 2 第二章基础知识 第二章基础知识 2 1 基本理论 在本节中，我们首先介绍一下本文中涉及到的一些基本概念和定理 具体的内容请参考文献【2 【6 】 7 】， 8 】，【9 】，【l o 定义2 1在指数、对数、三角等方程中，未知数和一些常数不仅施行 有限次代数运算，而且还要实行有限次指数、次数、三角函数等运算，这样 的方程叫做超越方程 定理2 1( 比较定理) 设有c a u c h y 问题 慧婴 慧? 其中，与f 均在域g r xr 内连续，满足局部l i p s c h i t z 条件， 并设( 2 1 ) 与( 2 2 ) 的解均在闭区间 a ，6 i 上存在，分别记作 y = 秒( z ) ，y = y ( z ) ，asz b 若 ，( z ，y ) f ( x ，可) ，v ( x ，可) g ， 则 y ( x ) y ( z ) ，x o z b ， y ( x ) y ( z ) ，a z x 0 3 ( 2 1 ) ( 2 2 ) ( 跏，y o ) g ， 第二章基础知识 定理2 2( r i e s z 表示定理) 设日是h i l b e r t 空间，是日上任意有界线性泛函，则存在唯一的y l 日， 使得对每一个z 日有 ，( z ) = ( z ，y 1 ) ， 并且 i i l l i = i l y ，1 1 定理2 3( n y q u i s t 标准) 若l 是围绕右半平面的一条曲线的弧长度，那么曲线，( l ) 围绕原点 的圈数等于在右半平面上p a l ) 的极点和零点的点数之差 代数稳定判据就是一般所说的r o u t h - t i u r w i t z 判据，利用特征方程式的 各项系数进行代数运算，得出全部特征根为负实部的条件，以此来判断系 统是否稳定设系统的特征方程为 c h 入n + c h 一1 a n 一1 + + a l a - i - a o20 ， 定理2 4( r o u t h - h u r w i t z 定理) 上面这个特征方程的根有负实部的充要条件是： 1 ：口l o ，2 ：i 口1 印i ， n 30 2 t i = n 1a o 00 口3 口2n l 0 a 2 n - 1 口n 这里当8 n 。则a 8 = 0 = n l a n 0 2 2 最优控制理论 最优控制理论特别是l s p o n t r y a g i n 于1 9 6 2 年发表的著名的最大值原 理，是经典变分法求泛函极值的扩充最大值原理是求出当控制向量受到 4 第二章基础知识 约束时的最优控制的必要条件本节主要是简单介绍一下本文中所应用到 的关于最优控制的理论及最大值原理设微分方程 象= ，m 札( t ) 】o t t ( 2 3 ) 及初始条件 x ( o ) = x 0 ( 2 4 ) 其中f ( z ，t ，让) 是z 、t 和乱的已知连续可微函数变量z = x ( t ) 称为状态变 量，方程( 2 3 ) 称为状态方程，终止时间t 称为时间界限给定一个特定的 控制u ( t ) ，0 t t ，方程( 2 3 ) 相应的解x ( t ) 称为响应容许控制类u 定 义为所有规定在0 t 范围的分段连续的实函数u ( t ) ，并满足 廿( t ) 阢，( 2 5 ) 其中仉是一个给定区间( 可以是无限的) ，称为控制集 我们引入一个目标泛函 。 ，i r ， 乱) = 9 【z ( ) ，t ，u ( t ) d t ， ( 2 6 ) 其中g ( x ，t ，u ) 是已知的连续可微函数最优控制理论中的基本问题是求使 j u ) 达到最大值的可行控制札( t ) ，这样的控制如果存在的话称为最优控制 最大值原理最方便的公式称为h a m i l t o n i a n 函数： 日陋( ) ，t ，乱( ) ；a ( t ) 】= 9 【z ( t ) ，t ，( t ) 】+ a ( ) ，k ( t ) ，t ，让( t ) 】，( 2 7 ) 这里a ( t ) 是一个附加的未知函数，称为伴随变量如果札( t ) 是最优控制，z ( ) 是相应的响应，则最大值原理断言，存在满足下述方程的伴随变量x ( t ) ： 瓮= 一筹= 一瓦o g 一椰) 墓， ( 2 8 ) 一= 一一= 一一一 ir i 一 z - 出a z阮一”7 如 7 日p ( t ) ，t ，u ( t ) ；a ( ) 】兰紧日p ( t ) ，t ，乱；a c t ) ， ( 2 9 ) t t u t 对所有的t 成立，0 t t 微分方程( 2 8 ) 称为伴随方程强调一下这些 方程涉及最优控制u ( t ) ，相应的响应x ( t ) 以及相应的伴随变量a ( t ) ，它们是 最优控制和响应必须满足的必要条件方程( 2 9 ) 断言，在每个给定的时间 t ，最优控制牡( t ) 值必须是满足控制约束( 2 5 ) 的一切。容许”值中的一个， 5 第二章基础知识 并使h a m i l t o n i a n 函数取得最大值注意：如果最优控制u ( t ) 碰巧位于控制区 间阢的内部( 即如果控制约束没有约束力) ，则( 2 9 ) 意味着 o 百h ：0 ( 2 1 0 ) a 札 一”7 当最优控制乱( t ) 的系数为零时，h a m i l t o n i a n 变成与u 无关，所以最大值原理 不能确定最优控制的值当u ( t ) 的系数在某一个大于零的区间上都等于零 时，出现一最重要的情况，成为奇异情况当( t ) 取极限值的控制称为崩一 崩控制最大值原理表明，对于线性问题的最优控制必须是奇异控制和崩 一崩控制的结合 2 3 正规形理论和中，d 流形定理 正规形理论的基本思想是在奇点( 或不动点) 附近经过光滑变换把向量 场( 或微分同胚) 化成( 在一定意义下) 尽可能简单的形式，以便于研究 微分方程在奇点附近的正规形考虑以z = 0 为奇点的伊微分方程 p 3 ) ，它在z = 0 附近可表示为 j 丽a x = a x + ，2 ( z ) + + ，r 一1 ( z ) + o ( 1 = 1 7 ) ， ( 2 1 1 ) 其中z 舻( 或c 竹) ，a 是线性部分矩阵，七( z ) h 七n ，h 七n 为n 元佗维k 次齐 次向量多项式所成的空间，k = 2 ，r 一1 定理2 5 设x x r ( r ”) ( 或( c n ) ) ，x ( 0 ) = 0 ，d x ( o ) = a ，并且x 有表达 式( 2 1 1 ) ，则在原点附近的邻域内存在一系列变换 z = y + h k ( 剪) ，k = 2 ，7 一1 ， 其中h k ( 剪) h n ，经过这一系列变换( 每次变换后把y 换回z ) ，可以把( 2 1 1 ) 变成如下形式 鲁= 止( 卅w 一( 卅o ( i 扪i ， ( 2 1 2 ) 其中g k ( z ) g k , 胪是渺：= 乳( a d k a ) 在h 七n 中的补空间，算子a d k a 由下式定义 a d 七a ：h 七t l h 七n ，a d 七a ( h 知( z ) ) = d h ( z ) 以z a 。( z ) ， k = 2 ，r 一1 6 第二章基础知识 定义2 2微分方程( 2 1 2 ) 的j 次截取式( 2 j r 一1 ) 面d x = a z + 9 2 ( z ) + + 9 j ( z ) ， 其中矿( z ) ，i = 2 ，j ，称为方程( 2 1 1 ) 的j 次正规形 映射在不动点附近的正规形。考虑以z = 0 为不动点的c 7 映射p 3 ) ， 它在z = 0 附近可表示为 f ( z ) = a x + ，2 ( z ) + + f - i ( z ) + o ( i z i ) ，( 2 1 3 ) 其中。舻( 或c n ) ，a 是线性映射( 我们把它在某组基下的矩阵仍记为a ) ， ，七( z ) h n ，h 七n 为仡元礼维k 次齐次向量多项式所成的空间，k = 2 ，r 一1 定理2 6 设f d i f f ( 俨) ( 或d i f ，r ( c “) ) ，并且有表达式( 2 1 3 ) ，则在原 点附近的邻域内存在一系列变换 一z = y + h k ( 可) ，k = 2 ，r 一1 ， 其中胪( 剪) h 七n ，经过这一系列变换( 每次变换后把y 换回z ) ，可以把( 2 1 3 ) 变成如下形式 g ( z ) = a x + 9 2 ( z ) w + g r - 1 ( z ) + o ( i z l r ) ，( 2 1 4 ) 其中9 七( z ) 胪，胪是噼：= 跪( 砂a ) 在日知。中的补空间，算子胪a 由下式定义 l 七a ：h 知n _ h 七竹，l k a ( h 膏( z ) ) = d h 七( z ) 缸一a h 七( z ) ， k = 2 ，r 一1 定义2 3映射( 2 1 4 ) 的j 次截取式( 2 j r 一1 ) a x + 9 2 ( z ) + + 一p ) ， 其中扩( z ) ，i = 2 ，歹，称为方程( 2 1 3 ) 的j 次正规形 中心流形定理考虑方程 童2 聃f ( 而们， ( 2 1 5 ) 【家= 励+ g ( z ，耖) ， 。 第二章基础知识 其中z 俨，y r m ，a 和b 分别是nx 佗和m m 阶常数矩阵，且a 的所有特 征值均具有零实部，b 的所有特征值均具有负实部f 和g 分别是从r n + m 到r n 和i v 的映射，满足 o ( 入 o ) ，( 2 1 7 ) 在原点的邻域内有渐进稳定的闭轨 r 第二章基础知识 研究一些有实际背景的微分方程模型的h o p f 分支时，一般是先求出模 型的奇点，在奇点将模型线性化，得到线性化系统的系数矩阵恰有一对纯 虚根和一个负实根所对应参数的临界值，考查参数在临界值附近变化时特 征值的变化是否满足上述定理的条件再利用中心流形定理验证参数取临 界值时奇点的稳定性后就可以从定理得到模型的h o p f 分支 引理2 1( g j b u t l e r 引理) 设某系统的平衡点e 对应的特征方程为 a 2 一( h + r ) a + h r l v q e 7 a = 0 ， 设日+ r n q ，那么当丁 0 ，是使特征方程有零实部的根的最小值 在上面的特征方程中，设a = 弘+ i v ，分离实部与虚部，我们可以得到超 越方程： p 2 一 2 一( h + r ) p + h r n q e 一 r g c 0 8 t v = 0 ， 2 # v f 日+ r ) v + n q e 一1 肛s i n t v = 0 我们有一个分支定理： 定理2 9设日+ r 0 ，n q 0 ，有m = m ( r ) 0 ，使当i z o | | 0 ， 这里的o l ，屈1 ，6 ，8 ，d ，叩和k 都是正常数，z ( t ) 和y ( ) 分别表示食饵和捕食者 在t 时刻的种群密度，6 是食饵的固有增长率，k 是食饵在没有被捕食时 的环境负载容量捕食者消耗食饵为b e d d i n g t o n - d ea n g e l i s 型的功能性反应 函数s z 可( q + 触+ 7 箩) ，从而捕食者的生长率为卵s x y ( a + 触+ 7 ) 常数d 是捕食者的死亡率，y 是两者互利的生存常数系统( 3 1 ) 中的函数反应是 由【2 3 】和【2 4 分别提出来的 1 2 第三章通过最优税收进行渔业保护：一个b e d d i n g t o n - d ea n g e l i s 捕食系统 为了简单，我们把系统( 3 1 ) 作变量代换，令 那么我们可以得到 th ，x l kh z ，yhy ， 害= x ( 1 一z ) 一且a + x + m y ， 客= 剪( 一七+ 南) ， ( 3 2 ) x ( o ) = x o 0 ，u ( o ) = y o 0 ， 其中 6 = 赤，= 器，七= 等，口= 杀，m = 去 观察系统( 3 2 ) ，若o 0 ，m = 0 ，就变成了带有m i c h a e l i s - m e n t e n ( 或者 h o m n gt y p ei i ) 函数反应的k o l m o g e o r o v 型捕食系统模型( 1 5 ， 2 2 】) ： f 害= x ( 1 一z ) 一虹a + x ， 害= r 鲈( 一后+ 南) ， iz ( o ) ：z 。 o ， 3 ，( o ) ：加 o ， 甓篓，丧扎 在【3 】中讨论了以征税为控制手段的基于比率的捕食渔业系统的有选择性的 收获问题 基于比率的形式也具体表现捕食者之间的相互干扰，但是它在低密度 下的一些单一行为以及其它方面引起了一些争议f 2 5 】做了一些数学方面的 分析和【2 1 是生物学家们关于比率依赖性的争论的一些方面b e d d i n g t o n - d e a n g e l i s 形式的功能性的反应函数与基于比率形式的有一些相同的性质特征， 但是它避免了基于比率的模型在密度方面的一些行为引起的争论假设只 收获捕食者种群为了保护种群，管理机构在每单位生物量上强加了一种 税收r 0 0 0 ， y ( o ) 0 ， e ( o ) 0 ， 这里q 表示捕食者种群的可捕系数捕捉率函数q e y 是根据【1 2 】中的c p u e ( 单 位收获量成本) 假设，p 是所收获的单位生物量的价格，c 是单位收获量成 本常数q o 是衡量私人努力量的反应强度的强度系数 本论文讨论了一个b e d d i n g t o n - d ea n g e l i s 型渔业捕食系统的动力反应模 型，这里假设只有捕食者被收获通过强加征税方案威段渔民，阻止渔业资 源被过度开采的一种方式本文的主要目的是在捕食者表现灭绝时通过收 获寻找一个对生物群落带来最好利益的合适的税收政策讨论了可能的稳 定状态的存在性和局部稳定性，通过构造l y a p u n o v 函数讨论了系统的全局 稳定性，运用p o n t r y a g i n 极大值原理讨论了最佳税收政策首先，我们研究 一下非负平衡点的存在性以及它们的稳定性 3 2 平衡点分析 通过计算我们可以知道系统( 3 3 ) 有四个非负平衡点岛( o ，0 ，o ) ，p l ( 1 ，0 ，o ) ，b ( 虿，玩0 ) 和b ( 矿，y ，e + ) 显然蜀和只是存在的下面我们讨论一下其他两个点的 存在性 b ( 虿，可，0 ) 的存在性：这里的虿和可是下面两个方程的正解： 1 一z 一 堕 ：0 a + z + m y k + i 毛：0 ， a + z + m y 假设p 2 ( x ，可，0 ) 是存在的，那么有 z2 显然的虿是正的， 2 m 要使哥为正，必有 o 。， 的一m y + 一a 。 同样的，要使 只要 矿= + 击) o ， 口、口+ z + 竹l 兰： 后 a + z + + m y 于是我们可以得到下面的结论： ( 3 4 ) ( 3 5 ) 定理3 1若条件p 丁，( 3 4 ) 和( 3 5 ) 都成立，那么系统( 3 3 ) 存在唯一 的正平衡点b ( 矿，y ，e + ) 3 3 局部稳定性 平衡点的局部稳定性可以通过讨论它们所对应线性近似方程的系数矩 阵的特征值的各种情况而得到下面就是这些平衡点的线性稳定性情况t 1 5 第三章通过最优税收进行渔业保护：一个b e d d i n g t o n - d ea n g e l i s 捕食系统 1 p o ( o ，0 ，0 ) 是一个鞍点，其中沿弘方向是局部不稳定流形，在y e 空 间存在局部稳定流形 2 若1 ( 1 + a ) p c 口且b 雪( a + 虿+ m _ ) 2 1 + r m 可( a + 虿+ 咖) 2 ，则平衡点 恳( _ ，可，0 ) 在z y e 空间是局部渐进稳定的 4 平衡点b ( 矿，y ，e + ) 的特征方程可以表示为 入3 + a 1 a 2 + a 2 入+ a 3 = 0 ， 其中 a = z 一百_ f ；b _ x * 干y 研* + i = i f r ；m f x 干* 研y * ， =瓦r丽rnx*2y*高为+aoq2a2 - 4 -a o q ( 。p r 一) y 只 2 百i i 研石再i 研 一 占 a 3 = a o q 2 ( p 一丁) 可f 矿一两了x * 再y 砰i j 由r o u t h - h u r w i t z 定理可知，当b y ( 口+ 矿+ m y + ) 2 i n ( 1 + z ) x ( 1 + z ) 可得) 1 6 第三章通过最优税收进行渔业保护：一个b e d d i n g t o n - d ea n g e l i s 捕食系统 求y 的沿着( 3 3 ) 的解的全导数，然后通过一系列代数代换，我们可以 得到 警- - ( x - - , t * ) 2 一万等群等+ 再老籍 b x + ( z z + ) ( 秒一y ) 1 ，r r m x 4 ( ! ，一可) 2 一百- f ；j 面另i - f ：_ 干石历可j 十a l 【一i i f i 了丐两万石- f 孑_ 丽 a r ( x z + ) ( 可一y 4 ) t o r y + ( z z ) ( 可一y + ) 。( a + z + m 秒) ( n + z + + m y + ) 1 ( a + z + m y ) ( a + z + m y + ) - q ( y 一可) ( e e 4 ) i + d 2 a o q ( p 一7 ) ( 一可+ ) ( e e ) = 【一x - - 2 7 * ) 2 一i 竺罟主= = 芋耄簧云端+ i - i ；_ = f b y 石* 函( 2 7 可鬲- j x _ * i ) 2 丽】 jr r m x ( 可一) 2 r ( n + m y ) ( z z ) ( 可一y ) 十“一石_ f ；j i 元罚i _ f ；_ 干；万万十i i f ；了i 鬲万石_ f ；f f 磊石可 - q ( y 一矿) ( e e + ) 】+ d 2 a o q ( p 一7 ) ( 耖一矿) ( e e + ) 】 取d l = b ( a + 2 7 * ) r ( a + m y ) ，d 2 = b ( a + z ) q o r ( p 一下) ( 口+ m y ) ，贝0 可得 dv：一(zz)2+dt 2 一【z z 厂+ 的( z 一2 7 * ) 2 ( a + z + m y ) ( a + z + m y m b x + ( o + 2 7 * ) ( 剪一旷) 2 + m y + ) ( 口+ z + m y ) ( a + 2 7 + + m y ) 。)( a 显然上式中( y 一矿) 2 的系数为负，而 一2 7 * ) 2 的系数为 1 妒 1 。( n + z + m y ) ( a + z + + m y ) 从而可得d v d t 小于零的一个充分条件 砌广 卅外m y 再a 孑幸而 十z + 十m 若满足上面这个条件，则平衡点岛( 矿，矿，p ) 是全局渐进稳定的 进一步考虑，我们注意到，当 0 尘! 堕止逛兰型堕堂， 时，岛在整个第一象限都是稳定的 1 7 第三章通过最优税收进行渔业保护：一个b e d d i n g t o n - d ea n g e l i s 捕食系缠 3 5 最优税收政策 在这部分我们讨论被管理机构所采用的最优税收政策，他们计划把从 渔业得到的折扣的净收入最大化，利用对捕涝上来的鱼征税作为控制手段 引入的目标泛函，为 j = o 丌。，y ，e ，t ) e 一以出， 其中7 r ( z ，y ，e ，t ) = ( m y c ) e ，仃表示贴现的瞬时年率我们的目的就是将 确定一种税收政策r = r ( t ) ，在t m 饥rs 丁仃眦的限制下，使服从系统( 3 3 ) 的现值j 取得最大这个控制问题的h a m i l t o n i a n 函数是 h = e - a t 。g 可一c ) e + a 1 p ( 1 一z ) 一i f b z x 十ym ! ， + a 2 【r 可( 一七+ i 南) - q e y + 入3 q o e 【一r ) q y q ，。 ( 3 6 ) 其中入l ，a 2 和入3 是伴随变量h a m i l t o n i a n 函数( 3 6 ) 应该在下【梳n ，龟眦】上 取得最大值 假设那个最优解不是在丁= t m 饥或啪取得，【2 】给出了奇异控制 筹砘( 删) 0 0 e 0 虬_ 0 ( 3 7 ) 伴随方程为 尘d t = 一等一m 1 - 2 x - 揣h z 器】， ( 3 8 ) 等= 一筹= 【e 卅p g e 再b x 而( a + x 研) 讹 _ r 南+ 篇书( 3 9 ) 尝= 一差- 【e 刊卅咄捌o ( 3 1 0 ) 由( 3 1 0 ) 可得 a 2 ( ) = e 刮白一云) ( 3 m ) 为了得到最优的平衡解，通过考虑内部平衡我们把e q ( 3 8 ) 写成下面的形式 i d ) q a i a l ：一a 2 e - 矾， 1 8 第三章通过最优税收进行渔业保护：一个b e d d i n g - t o n - d ea n g e l i s 捕食系统 其中 a - = z 一面孑b x 研* y * ， 伽。一导，篇等蒜 上面这个线性微分方程的一个解为 州归熹e 一 同样的我们可以得到 m 归鲁e ， 其中这里 b - = 面万r m 研x * y * ， b 2 = p q e * - 而a 2 石b 再x * 巧( a - 研b x * ) ( 3 1 2 ) ( 3 1 3 ) 把( 3 1 1 ) 中a 2 的值代入方程( 3 1 3 ) 可以得到 ，? d - j o 一季) 2 百而2 ( 3 1 4 ) 现在把第2 节中矿，y 和e 的值代入方程( 3 1 4 ) 我们可以得到关于7 的方 程若这个方程有解，我们设这个解为而利用丁= 7 a 这个值我们可以得 到最优的平衡解z = z ，y = y a 和e = 易 这里我们已经建立了满足极大值原理的最优平衡解存在的必要条件 【1 2 】中指出，我们很难找到一种包括崩一崩控制和非平衡态奇异控制的组合 的最优途径在【1 2 】中，甚至在研究一个简单的含有两个独立的鱼类种群的 模型时，都面临了这个难题当前的这个模型要比c l a r k 前述的模型复杂的 多由于这些难题，我们只考虑了一个最优平衡解 由上面的分析我们可以观察到： 1 从方程( 3 7 ) ，( 3 1 2 ) 和( 3 1 3 ) 中我们注意到九( z = 1 ，2 ，3 ) ，其中凡是 伴随变量，在最佳平衡时保持常量，所以当t 一。o 时它保持有界性 1 9 第三章通过最优税收进行渔业保护：一个b e d d i n g t o n - d ea n g e l i s 捕食系统 2 考虑内部平衡，方程( 3 1 0 ) 可以写为 a a q y = 产印卅= e 刮蠢 这意味着收获每单位努力的总使用者成本与在稳定状态努力水平下的未来 价格的贴现价值是相等的 3 由方程( 3 1 1 ) 和( 3 1 3 ) 我们可以得到 p q y 钉= 器训，a 8 它表示社会的纯经济收入，丌( z ，y o o ，e o o ) = 0 这表示，无限折扣率导致了 经济收入的消散我们也注意到零贴现率时j 获得最大值 第四章分析一个具有年龄结构的时滞捕食系统的稳定性和h o p f 分支 第四章分析一个具有年龄结构的时滞捕食系统的稳定 性和h o p f 分支 4 1引言 在自然界中，有很多种群一生中都会经历两个年龄阶段，即幼年和成 年例如哺乳动物和某些两栖动物在本文的捕食系统中我们把捕食者分成 了幼年和成年，这种具有结构的捕食系统已经被很多学者研究过了在 2 6 】 中分析了由幼年和成年个体组成的具有年龄结构的单一种群的生长【2 7 】进 一步假设了从幼年到成年的时间是由种群自身的状态决定的这里，我们 把捕食者分类为幼年和成年个体并假设幼年的捕食者不捕食食饵这对于 一些哺乳动物来说似乎是比较合理的，因为未幼年捕食者都是由父母来喂 养；它们对食饵的攻击以及对繁殖率的影响都可以被忽略 捕食者具有年龄结构的捕食系统由h a s t i n g s 在 2 8 ，2 9 】中提出，如下所 示： 其中，t ( t ) ，v l ( t ) 和v 2 ( t ) 分别是食饵，幼年和成年的捕食者在时间t 时的种 群密度，a 时食饵的出生率，捕食者由幼年个体转化为成年个体与现有幼 年个体的密度成比例，比率为仇，这里我们假设幼年和成年的捕食者有相 同的死亡率e ，食饵的密度是受限制的，b 就是食饵种群内部的竞争系数， 捕食者消耗食饵率为f ，c 是捕食者在捕食了食饵以后的繁殖率，其中a b 决 定了食饵的承载容量，成熟率m 决定了幼年期的平均长度，a ，b ，f ，c ，m 和e 都是正常数 捕食者捕食了食饵并不是立即就繁殖，因为捕食者的怀孕会需要一些时 间。我们设这个滞后的时间为r 且我们假设食饵种群的滞后时间在【一丁，0 】 2 1 坦 钞 眦d ， + ， ”书一 一 您 1 忙 眦 = = = 如面机百垃出 第四章分析一个具有年龄结构的时滞捕食系统的稳定性和h o p f 分支 i 面d u = 仳( 口一地) 一f u r 2 ， 鲁= 侧( 一1 - ) v 2 ( t r ) 一( 仇+ e ) v l ， ( 4 2 ) i i 警= 舢1 一e v 2 以h 芒，一b 乱h 牡1 ，u 1h 让2 ，吨h 让3 ， 一u l ( 1 一札1 ) 一q u l u 3 ， 触1 一r ) t 幻 一7 ) 一( 8 + 1 ) u 2 ， ( 4 3 ) 8 t 2 一i t 3 ， 其中 ，y ：一a ，q ：，p ：t a c ，8 ：竺，y2 一， q = 一，p2t ， 2 一 eee de 系统( 4 3 ) 满足初始条件s u l ( 0 ) 札2 ( 口) u 3 ( o ) l ( 臼) 0 ，p 【- 7 - ，o ) ，1 ( o ) 0 ， 九( p ) 0 ，口【一f ，o ) ，屯( o ) 0 ， ( 4 4 ) 3 ( 0 ) 0 【3 0 讨论了系统( 4 1 ) 带有时滞的情况，那篇文章的主要特点是研究具有年 龄结构的两个种群系统的渐进行为，然后寻找没有时滞具有年龄结构的模 型与带有时滞的模型之间的不同现在我们讨论的是稍简单一点的同一个 模型带有时滞的情况本文的结构安排情况是这样的；第二节讨论了系统 ( 4 3 ) 的正解及其有界性，平衡点的稳定性以及在正平衡点h o p f 分支的存在 性在第三节得到了讨