（基础数学专业论文）纤维超空间分离性的研究.pdf

学位论文独创性声明 f删iiiiihiifllrill i | l l l lr | l l li lr l i y 18 9 0 117 。 本人承诺：所呈交的学位论文是本人在导师指导下所取得的研究成果论文中除特别加以标注和 致谢的地方外，不包含他人和其他机构已经撰写或发表过的研究成果，其他同志的研究成果对本人 的启示和所提供的帮助，均已在论文中做了明确的声明并表示谢意 学位论文作者签 学位论文版权的使用授权书 本学位论文作者完全了解辽宁师范大学有关保留、使用学位论文的规定，及学校有 权保留并向国家有关部门或机构送交复印件或磁盘，允许论文被查阅和借阅本文授权 辽宁师范大学，可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库并进行检索，可以采 用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文，并且本人电子文档的内容和纸质 论文的内容相一致 保密的学位论文在解密后使用本授权书 学位论文作者签名指导教师签名 签名日期： 矽，年岁一月乃归 辽宁师范大学硕士学位论文 摘要 纤维分离条件在t o p , 范畴中占有重要的地位，( 其中t o p a 范畴中对象是以召为底的 纤维拓扑空间，对于对象，p ) ，( y ，q ) 之间的态射是连续映射巾：x y ，满足 p = q 。巾) 在t o p b 范畴中的两个对象之间的态射满足一定条件时保持( 逆保持) 纤维分 离性本文在t o p , 范畴中已有性质的基础上讨论了在t o p 范畴中的态射满足什么条件 时仍能保持( 逆保持) 纤维超分离性( 其中t o p 范畴中的对象是以2 b , 2 b 为不同底的纤维 超拓扑空间，对于对象( 2 x 厂l ( 2 y ，g ) ，它们之i 日- j 的态射是连续偶 ，九) ，满足 九。f = g 。巾) 本文主要讨论的性质： l 、态射佛，九) 中，巾是开且闭的连续纤维满射，九是开的连续映射时，保持纤维超 zg = o ，l ，2 ) 性，纤维超r 性，纤维超( 完全) i e 贝u 性，纤维超正规性 2 、态射佛，九) 中，巾是开的连续纤维满射，九是连续映射时，逆保持纤维超互o = o ，1 ，2 ) 性， 纤维超凡性，纤维超( 完全) 正则性；巾是闭的连续纤维单射，九是连续映射时，逆保 持纤维超正规性 3 、当态射佛，九) 满足哪些条件时，纤维超空间的分离性在子空间上具有可遗传性 关键词t o p , 范畴；t o p 范畴；纤维超z ( f = o ，1 ，2 ) ；纤维超r o ；纤维超( 完全) 正则； 纤维超正规 辽宁师范大学硕十学位论文 s t u d yo n t h ef i b r e w i s es e p a r e t i o nc o n d i t i o no ff i b r e w i s eh y p e r s p a c e s a b s t r a c t t h ef i b r e w i s es e p a r a t i o nc o n d i t i o nh o l d si m p o r t a n ts t a t u si nt h et o p sc a t e g o r y ( t h e o b j e c t sa r et h ef i b r e w i s et o p o l o g i c a ls p a c e so v e rb ，f o rt w oo b j e c t s 伍，p ) a n dp ，g ) ，a m o r p h i s mf r o mxt o yi sac o n t i n u o u sm a ps u c ht h a tp = qo 1 i th a ss o m ei n t e r e s t i n g p r o p e r t i e s n a m e l y ，i nt h et o p sc a t e g o r y ，am o r p h i s mp r e s e r v e s ( i n v e r s e l yp r e s e r v e s ) t h e f i b r e w i s es e p a r a t i o ne o n d i t i o nw h e ni ts a t i s f i e sc e r t a i nc o n d i t i o n c o m b i n e d 、i t ht h ea n a l y s i s o ft h ee x i s t e dp r o p e r t i e s ，t h ec o n d i t i o n so ft h em o r p h i s mw h i c ha l s op r e s e r v e s ( i n v e r s e l y p r e s e r v e s ) t h ef i b r e w i s es e p a r a t i o nc o n d i t i o ni nt h e 冗磁口c a t e g o r y ( t h eo b j e c ta r et h e f i b r e w i s et o p o l o g i c a ls p a c e so v e rd i f f e r e n tb a s e s ，f o rt w oo b j c e t sam o r p h i s mf r o m2 爿t o 2 7i sap a i r 西，九o f c o n t i n u o u sm a p ss u c ht h a t 九of = g 。西) a l eg i v e n h e r ei st h eo u t l i n eo f t h e s i s ： 1 , m o r p h i s mp ，九) ，f i b r e w i s er o ，f i b r e w i s e 互o = o ，1 ，2 ) ，f i b r e w i s e ( c o m p l e t e l y ) r e g u l a r ，f i b r e w i s en o r m a la r ep r e s e r v e d w h e ni so p e nc o n t i n u o u sf i b r e w i s es u r j e c t i o n a n dxi so p e nc o n t i n u o u sm a p 2 , m o r p h i s m ( ，九) ，f i b r e w i s er o a n df i b r e w i s e ( e o m p l e t e y l ) r e g u l a ra l ei n v e r s e l y p r e s e r v e dw h e n i so p e nc o n t i n u o u sf i b r e w i s es u r j e c t i o na n d x i sc o n t i n u o u sm a p p i n g ； f i b r e w i s en o r m a li si n v e r s e l yp r e s e r v e sw h e n 西i sc l o s e dc o n t i n u o u sf i b r e w i s ei n j e c t i o n a n dxi sc o n t i n u o u sm a p 3 ，w h a tc o n d i t i o n ss h o u l db eh o l dw h e nt h ef i b e r w i s eo v e ras u b s p a c eo fas p a c ec a nb e h e r e d i t a r y k e yw o r d s ：t o p s c a t e g o r y ；t o p 2 。c a t e g o r y ；f i b r e w i s er 。；f i b r e w i s e 正g = o ，1 ，2 ) ； f i b r e w i s e ( c o m p l e t e l y ) r e g u l a r ；f i b r e w i s en o r m a l 辽宁师范人学硕士研究生学位论文 目录 摘要i a b s t r a c t i i i 1 绪论1 1 1 研究背景1 1 2 文章的结构与内容介绍2 2 预备知识3 2 1 纤维拓扑空间。3 2 2 超空间6 3 纤维超空间定义9 4 纤维超空间的纤维超五( f ；o 工2 ) 性与纤维超尺o 1 0 4 1 纤维超i ( f 一0 , 1 ) 1 0 4 2 纤维超五空间。1 0 4 3 纤维超风性。1 2 5 纤维超( 完全) 正则空间1 4 5 1 纤维超正则。1 4 5 2 纤维超完全正则。1 7 6 纤维超正规。2 0 结论：1 2 参考文献2 3 攻读硕士学位期间发表学术论文情况2 5 致谢。2 6 v 辽宁师范大学硕士研究生学位论文 1 绪论 1 1 研究背景 纤维拓扑空间是以一拓扑空间为底空间所构成的当底空间为单点时，纤维拓扑 空间理论就变为一般拓扑学理论以拓扑空间b 为基底的纤维拓扑空间是纤维拓扑空 间一偶( x ，p ) ，其中x 是拓扑空间，p ：x b 是连续映射x 上的纤维拓扑是使p 连续 的任意拓扑，最粗的拓扑是由p 导出的两个世纪前，r i e l a n n 提出了纤维拓扑的思想， 但是直到上世纪三十年代，h u r e w i c 研究纤维空间时才发展了这一理论随后， w h i m e y 研究纤维丛时发展了纤维观点，逐步形成现代纤维拓扑理论v v h i m e y 是第一 个采用纤维观点的拓扑学家，c a i n 4 和其他人在w h i m e y 的基础上又做了一些工作， 包括p a s y n k o v 6 和他的学生b o o t h 和b o r w n 7 ， 9 】首次在纤维映射空间中构造了令人 满意的纤维拓扑随后，l e w s i 在 1 0 中把b o o t h b o r w n 拓扑恢复在纤维拓扑空间中， 许多概念都是一般拓扑空间中重要概念的纤维对应在一定的条件下，纤维拓扑空间 中一些特殊性质等价于它的每个纤维保持这些性质但在大多数情况下，这种等价性 是不成立的于是底空间上的拓扑就起到一定的作用例如：若以b 为底的纤维拓扑空 间x 是纤维闭的，则需p ：彳一b 是闭的 超空间的研究起源于以给定的拓扑空间为基空间，取它的一些子集之族赋予各种 自然的拓扑所得到的拓扑空间而在研究过程当中，讨论过的拓扑空间有彳( x ) ，2 爿， c 伍) 我们主要讨论的是由空间石中非空闭子集组成的集族2 x 最早在2 x 上定义拓 扑的是f h a u s d o r f f 他在论文 1 2 中定义了有界度量空间z 上的超空间的度量( 后来被 称为f h a u s d o r f f 度量) ：假设 r、 彳，b 2 工，p h ( a ，b ) = m a x s u p p ( 口，b ) , s u p p ( b ，彳) l 口e 一 6 口 j 其中p 为x 上的度量但是由于其定义的局限性，关于f h a u s d o r f f 度量的研究并没有 得到较快的发展，直至i 1 9 2 3 年，三v i e t o r i s 在其论文 1 3 中定义了一般拓扑空间x 上的 超空间拓扑，l v i e t o r i s 拓扑( 也被称为有限拓扑) 随后在1 9 5 1 年，e m i c h a e l 在他的文章 “t o p o i o g y e so hs p a c e so fs u b s e t s ” 1 1 中给出了v i e t o r i s 拓扑的基元素的形式并且 定义了超空间上的分离性，为超空间的的研究奠定了坚实的基础在1 9 5 6 年， e m i c h a e l 又发表了一系列关于分离性和紧性的论文，这标志着对分离性研究的讵式开 始在此之后，拓扑学家们在超空间上定义了各种各样的拓扑结构，并且研究了相应 纤维超空间分离性的研究 于各种拓扑的分离性与空间x 拓扑性质之间的联系随着对此类性质研究的深入和系统 化，选择理论逐渐发展成为一般拓扑学中的独立分支 对于超空间2 j 的研究主要集中在下面两个方面 ( 1 ) 空间x 的拓扑性质与超空间2 x 的拓扑性质之间的关系： ( 2 ) 如果空间x 是广义度量空间或者是具有某些特殊性质的拓扑空间，则超空间 2 j 是否具有同样的性质 其中一些基本的拓扑性质，如紧性、连通性和分离性公理等，e m i c h a e l 在论文中 进行了讨论并得到了相应的结果，拓扑学中一些需要精确化描述的问题都可以应用集 合来论述 本文主要研究两个分支点联系，建立一个全新的概念：纤维超拓扑空间，在此基础 上研究它的特殊性质，主要探讨纤维超空间的分离性因为大量自然现象具有连续性， 所以纤维超空间拓扑学具有广泛联系各种实际事物的可能性拓扑学是研究曲面的全 局联系的情况，通过拓扑学的研究，可以阐明空间的集合结构，从而掌握空间之间的 函数关系研究纤维超空间为其它学科，各类空间、各种领域等提供一定的理论基础 1 2 文章的结构与内容介绍 本文除绪论外，分五部分展开研究纤维超空间的分离性 第二章主要介绍在正文中所要用到的一些约定和必要的预备知识 本文主要是对纤维拓扑范畴中的纤维分离条件的性质做了进一步的推广，分四节进 行论述，第三章主要是建立纤维超空间的定义和必要的性质，为下面讨论在纤维超空间 的基础上讨论其分离条件提供新的理论依据，第四、五、六、三章分别研究了在不同底 的纤维超空间的范畴中巾，九满足怎样的条件时能够保持( 逆保持) 纤维超互o ：o 1 2 ) 性， 纤维超r 性，纤维超正则性和纤维超完全正则性，纤维超正规性 2 辽宁师范大学硕士研究生学位论文 2 预备知识 本部分内容主要介绍论文中用到的定义和命题以及一些符号约定，在文章中出现的 符号如没给出说明，都采用文献【1 1 】中的符号约定 2 1 纤维拓扑空间 定义2 1 1 1 7 】设集合x ，丁是x 的子集所构成的集族且满足： ( 1 ) t ，x 丁； ( 2 ) 若u r ( i = 1 , 2 ，3 ，z ) ，贝0n 翟u ，r ； ( 3 ) 若u 丁( 丫r ) ，则ud r ? i 丫r ) t ( r 为无限集) 则称，丁) 是拓扑空间，丁是x 的子集族，t 中的元素称为( x ，丁) 的开集 在没有必要指出x 上的拓扑丁时，通常简单的用x 表示拓扑空间 定义2 1 2 【1 7 】设似，丁) 是拓扑空间，x x ，如果u 是x 的子集，存在开集v t ，使 得x vcu ，称u 为x 的邻域，若u 是开集，则称u 是点x 的开邻域点x 的所有邻域 构成的x 子集族称为x 的邻域系 定义2 1 3 1 7 l 设u g ) 是点x 的所有邻域所组成的集族，且满足以下几个条件： ( 1 ) x u g ) ； ( 2 ) 若ucu g ) ，i ux u ； ( 3 ) 若ucu g ) ，vcu ，则vcu g ) ： ( 4 ) 若u ，vcu g ) ，$ uun vc u g ) ： ( 5 ) 若ucu g ) ，则存在v 使x vcu 及对任f qy v ，vcu l 定义2 1 4 【 】设集合x 的每一个点x 确定了一个子集族u g ) 满足条件( 1 ) 一( 5 ) ， 我们称u g ) 的元素为点x 的邻域满足拓扑空间的定义，从而形成拓扑空间 ( 这里以邻域为原始概念出发定义的拓扑空间) 命题2 1 1 1 7 】拓扑空间x 中的子集u 是开集当且仅当u 是它的每一点的邻域 纤维超空间分离性的研究 定义2 1 5 i l j 设b 是一基集，z 是一任意集，尸：x - - b 称为纤维投射，对于任意 b b ，x 的子集x 。= p 。1 ( 6 ) 称为b 点所对应的纤维 定义2 1 61 1 j 设曰是一基集，z 是一任意集，对于曰的任意子集召，x 子集 x 。= p 。1 曰】称为以召为基底的纤维集 定义2 1 7 q 设曰是一给定的拓扑空间，x 是以b 为基底的纤维集，若x 上的拓扑 使得p ：x 寸b 是连续的，则称彳上的拓扑为纤维拓扑以b 为基底的纤维及其上的纤 维拓扑构成以召为基底的纤维拓扑空间 定义2 1 8 【l 】x ，y 是b 上的纤维拓扑空间，相应的投射分别是p ，q ，如果f ：x - - - y ， 满足：g 。f = p ( 即图2 1 - 1 可相互交换) ，则称厂是x _ 】，的纤维映射 x 厶y 8 图2 1 1 定义2 1 9 【l 】x ，y 是b 上的纤维拓扑空间，相应的投射分别是p ，q ，如果f ：x 岭y ， 足：q 。厂= p 且厂是开( 闭) 映射，则称厂是开( 闭) 纤维映射 定义2 1 1 0 【l 】x ，y 是b 上的纤维拓扑空间，：x - - 9 , y ，若对于任意点 x x b ，b b ，b ) 的邻域y 的逆像1 v l r ex 的邻域，则称是连续的 定义2 1 1 1 1 1x 是以b 为基底的纤维拓扑空间，若对于任意点x x 。，b b ，x 的任 意邻域y 存在b 的邻域w ，满足x 。n x ) cv ，则称x 是纤维r 。的 定义2 1 1 2 【l jx 是以b 为基底的纤维拓扑空间，若对于任意点，xx x b ，b b ， x x ，称x 是纤维正的o = 0 , 1 ，2 ) ，若x 满足以下条件： 扛0 ，存在一个邻域包含x ，x 两点中其中一点； 4 辽宁师范大学硕士研究生学位论文 i = 1 ，x ，x 分别存在一个邻域不含另外一个点： i = 2 ，x ，x 分别存在一个邻域不含另外一个点，且这两个邻域不相交 定义2 1 1 3 1 】x 是以b 为基底的纤维拓扑空间，若对于任意点，x x b ，b b ，对 x 的任意邻域矿，存在b 的邻域w ，存在x 的邻域u ，ucx 。，满足石。n 口cv ，则称x 是纤维正则的 定义2 1 1 4 1 】工是以b 为基底的纤维拓扑空间，若对于任意点x 托，b b ，对x 的 任意邻域瞎在州m ，且存在连续函数描。_ ，满足 则称x 是 纤维完全正则的 定义2 1 1 5 qx 是以b 为基底的纤维拓扑空间，b b ，h ，k 是x 的两个任意的不 交闭集，若存在b 的邻域，使得分别存在u = x ，nk ，v = x ，nh ，unv = ，则称x 是纤维正规的 命题2 , 1 2 s l x 是以b 为底空间的纤维拓扑空间，若工是纤维正则且纤维瓦的，则 彳是纤维正的 。 证任取两点x ，x 托，b b ，x x ，由x 是纤维t o 的，故存在x 的邻域vc 工不包 含x ，又由于彳是纤维正则的，故存在b 的邻域wcb ，x 的邻域ucx ，满足 x 矿n 痧c y 贝o u ，x 矿一( x n 痧) 是x ，x 的不交邻域，故x 是纤维五的 命题2 1 3 【8 】x 是以b 为底空间的纤维拓扑空间，若x 是纤维完全正则且纤维瓦的， 则x 是纤维疋的 证任取两点x ，x 托，b b ，x x ，由x 是纤维t o 的，故存在x 的邻域v 不包含x ， 又由于x 是纤维完全正则的，故存在b 的邻域形，连续函数仅：一，满足 t 茴曼 于勋叱o c g t ) = 0 ，故x 是纤维碘 纤维超空间分离性的研究 t o p , , 范畴的对象是纤维拓扑空间到其基上的连续映射对于两个对象 f ：x b ，g ：y 专d ，厂到g 的态射是偶 ，九) ，其中：x y 是连续映射，九：b d 的连续映射且偶 ，九) 满足 x 生_ y ，i9 l 8 od 图2 】2 可交换，范畴t o p 的对象个体记为o h ( t o p ) ，态射全体记为m o r ( t o p ) ，t o p , 范畴中的 两个对象伍，厂) ，( 】，g ) 之间的全部态射记为h o m ( x ，】，) 2 2 超空间 定义2 2 1 【1 1 】设似，r ) 是拓扑空间，2 x 表示拓扑空间伍，t ) 的非空闭子集的全体， 即 2 x = e ie c x ，e = 重巾) 2 x 称为幂空间( 亦称为超空间) 它的基形如： ( “。) ：函2 xl bc u 。bn 甜，巾，o 乩2 ，刀) ) 的集合全体“，u ：甜一是x 的开子集 定义2 2 2 【1 1 1 设伍，r ) 是拓扑空间，2 x 表示拓扑空间伍，t ) 的非空闭子集的全体， 则u ) iu 丁) 是2 j 上的一个拓扑2 + 的基，拓扑2 + 称为2 _ 的上半有限拓扑拓扑空间 2 x , 2 + ) 称为上半有限拓扑空间，其中缈) 葛仁2 工ie cu g g gk 拓扑 定义2 2 3 【l l 】设，r ) 是拓扑空间，2 x 表示拓扑空间似，t ) 的非空闭子集的全体， 则取彳，u ) ju 丁) 是2 j 上的一个拓扑2 一的基，拓扑2 一称为2 的下半有限拓扑拓扑空 i n ( 2 x , 2 一) 称为下半有限拓扑空间，其中( x ，u ) = 仁2 xe n u 巾) 6 辽宁师范大学硕士研究生学位论文 定义2 2 4 1 1 1 】设( ，丁) 是拓扑空间，h 为其非空子集族，在日中以 ( u ，) 。g 如iv ，丁，z w ) 为基的拓扑称为有限拓扑( 也称玩幻，s 拓扑) 若，27 1 ) 为拓扑空间，称日为具有有限拓 扑的超空间 论文中用到的v e t o r i s 拓扑的命趑： 命题2 2 1 【1 3 】若f 是空间x 的闭集，则扩f ( x ) ：ec ，) ，扩，) ：enf 巾) 是 超空间p 伍) ) 中的闭集 命题2 2 2 1 1 3 】假设( u 。，u ：u 朋) ，( k ，圪) 是超空间p 伍) ，) 的基元素， 则有下列性质： 0 ) ( u 。，u ：，) n ( k ，蚝，圪) = ( u 。n y ，u ：n y ，u ，n y 巩n y ， u n 5 ，u n v ：，u n 圪u n v ) 其中u = u ：。u ，y = u ：。巧； ( 2 )( u l ，u ：，乩，u 。) c ( k ，k ，圪，k ) 营u 羔。u ，cv = u 巧， 且对于任意的m ，1 9 m cz ，存在刀【1 ，刀 cz 满足u 卅fc k ，； ( 3 ) ( 而u 肘 ) = 命题2 2 3 【”】若( x ，j ) 是互拓扑空间，则 ( 1 ) 亿) ，肛) 是空间；( 2 ) ( c o 伍) ) 是瓦空间 证( 1 ) 设a e o 似) ；b 昂伍) 且a b ，则a b 巾或b a 巾，不妨设x a b ， 因为( z ，) 是互拓扑空间，则x g ) = q 是一开集，我们有b ，g ，】cp o ) ，但 a 茌l ，g ，】cp o 伍) ，( 其中l ，g 】= 妙p o 似) iu c g ) ) 所以亿( x ) ，) 是瓦空间 ( 2 ) 设a b 伍) ，b p o ) 且a b ，则a b 巾或召a 巾，不妨设x a b ，因 为( 戈，j ) 是互拓扑空间，则x b ) = g x 是一开集，我们有b i o c 异) ，但 a 萑，g ，cr ( ) ( 其中i q r = 妙p o ( x ) lu i qg 巾) ) ，故亿伍) ，) 是瓦空间 7 纤维超空间分离性的研究 命题2 2 4 【1 3 1 对任意的拓扑空间似，) ，则佤) ，厶) 是死空间，佤( l ) 也是兀 空间 证设取任意的a f o 似) ，召f o 伍) ，且a 旺b ，或b 岱a ，假设前者成立，令 g = x 召是一个开集，且乇是慨( x ) ，厶) 的一个开集，使得ac 乞，b 旺如，故 佤似) ，山) 是瓦空间同理可得亿伍) ，) 是兀空间 命题2 2 5 ( 1 ) 若似，) 是一个正则空间，则佤) ，) 是疋( 胁淞如，) 空间； ( 2 ) 若( x ，) 是互拓扑空间，且( t o ) ，以) 是疋( h a u s d o r f f ) 空间，则( x ，) 是一个 正则空间 证( 1 ) 设伍，) 是一个正则空间，且a f o 似) ，b f o ) 则彳b 或 b a 取前者我们可设口a b ，由假设可得存在两个不交邻域g ，g ，使得 a g ，b g ，则k 与 ，g 】是r 伍) 中两个不相交开集，且a 1 6 ，b “，g 。】故 佤似) ，以) 是疋( 胁琊面形) 空间 ( 2 )设帆伍) ，以) 是疋( h a u s d o r f f ) 空间，设f 昂( x ) ，口诺f ，则f 与 f = ，u 妇) 是e ) 中两个不同元素，由已知存在两个不交开集v ，v ，使得f v ， f 。v 且矿r 、y ，对与f 相交的任意一开集必与f 相交不空，所以y 的开集为 【，g 】，因为f 必属于其中之一，不妨设fcv ，f 旺v ，a 萑v 反过来，对包含f 的 任意一开集必包含f ，故y 的形式为i 矿，有口v ，且fn y = 因此y 与v 是满足 条件的两个开集可分离f ，口且y 厂、y 。= 西得证 因为范畴t o p s 同构于范畴t o p , 的特殊情况即：b = d ，九= i d ，所以t o p 范畴是 t o p s 的推广同底的纤维拓扑空间之间存在许多重要的关于纤维分离条件的性质，那 么这些性质在t o p 范畴中有怎样的推广呢? 张新在广义纤维拓扑范畴中给出来纤维分 离性的推广本文主要是论述当底空间b 和纤维空间x 分别变成超空间2 占，2 x 时，纤维 超空间的分离性 8 辽宁师范大学硕士研究生学位论文 3 纤维超空间定义 定义3 1 设2 x 为超空间，对任意的e 2 x ，满足多陋) = 两司= 烈e 】，则称 p ：2 j 一2 b 为纤维超投射( 其中p ：x 专b 是纤维闭映射) 引理证明上述定义中矽：2 x 一2 口是连续的，其中p ：x 专b 是纤维闭映射 证任取材为2 占中的开集，则：歹- 10 ) = 切- 10 ) i “为b 中闭集) 下面只需验证：j i i - 1u ) 为2 z 中的开集即可 由u 为2 口中的开集，满足 ) = 仁i e c o u ，v u u ，s t “ne ) 多- 1 【( “) 】= u 拓。1 ( e ) l e 红) ) = u b 一伍) i e u u ，v 甜u ，s t uf e ) = u 杪忉眇】u u ，v ”u j f u n e ) - - u v v u p _ u 】，v u u ，u n p 一眇】j 因为p 是闭映射且连续，则p - 1l k u ) 是x 中的开集由有限拓扑的定义可得多连续 定义3 2 在似，p ，b ) 中，伍，) 为拓扑空间，p 是x 到召的纤维闭映射2 x , 2 口分别 赋予有限拓扑j ，。，使得多：2 。2 s 连续，则称2 j 为纤维超空间 如果是建立在底空间2 口的一纤维拓扑空间，则称2 x 为纤维超空间表示为 2 x 多，2 b ) ，或称2 x 是相对于拓扑而言的纤维超空间；当拓扑已约定或在行文中无 需指出时称2 x 为纤维超空间，其中中的每一个元素叫做纤维超空间【2 z ，多，2 口) 或2 j 的一个开集其表示形式为 ( 甜。，) = 访2 zib c u 瑚n u ，bn 坼巾，o = 1 ，2 ，2 ) j 其中 r1 2 x = ee cx ，e = 重巾 lj 规定本文讨论纤维超空间性质时都认为是在2 x 上赋予有限拓扑基础上研究的正文 中将不再说明 9 ，孥7。 纤维超空间分离性的研究 4 纤维超空间的纤维超zo = 0 , 1 ，2 ) 性与纤维超r 。 4 1 纤维超z o = o ，1 ) 定义4 1 1 在( 2 x ，多，2 口) 中，对任意的a ( 2 x ) c ，b ( 2 x ) 。，c 2 8 且彳b ，存在一 邻域( u 4 ) c2 x 满足a ( u 一) ，且( u 月) n8 = ( 或存在一邻域( u 口) c2 x ，满足 b ( u 曰) ，( u b ) na = ，) 则称( 2 x ，多，2 b ) 为纤维超瓦空间 定义4 1 2 在( 2 x ，歹，2 占) 中，对任意的a ( 2 x 九，b ( 2 x ) 。，c 2 占，且a b ，存在 么，b 的邻域( u 4 ) ，( u 口) ，满足a ( u 一) ，b ( u 口) ，且( u 一) nb = ，( u 占) na = ，则称 【2 j ，歹，2 占) 为纤维超正空间 命题4 1 1 若，) 是纤维超互空间，则2 x , 2 bj p ) 是纤维瓦空间2 x , 2 b ，) 也是 纤维超瓦空间 证设彳，b 是( 2 x ) c 中任意两个不同元素，其中c 2 b ，则烈召或叭彳非空 不妨设x 彳b ，则由( ，) 是五空间，故z x ) = g 工，( u ，) = ( g ，) n ( 2 工c ，则( u 。) 是 ( 2 x ) c 的一个开集所以我们有曰( u ) ，但彳萑( v x ) ，故( 2 x , 2 b 以) 是死空间 若( 2 x ，多，2 口) 是一个纤维超空间，若2 x 为正，不能推出x 是正 举例说明：当2 x 为超空间时，已经不满足上述定理 假设空间x = 函，b ，c ，d ) ，j = 口，6 ) ，p ，d ) ，x 则可知x 中闭集为 口，6 ) ， c ，d ) ，西，x ，则2 z 明显满足互分离公理，但x 不满足互 4 2 纤维超兀空间 定义4 2 1 在( 2 x , 2 b ，j ，) 中，对任意的e ( 2 x ) 。，e ( 2 x ) 。，c 2 丑，e e ，在 ( 2 x ) c 中存在两不相交邻域( 矿) ，( y ) ，使得e ( 矿) ，e e ( v ) 成立则称( 2 工，2 bj ，) 是 纤维超疋空间 疋的纤维拓扑空间也称为纤维h a u s d o r f f 的，故纤维超疋空间也称为纤维超 h a u s d o r f f 的，以2 口为底的纤维拓扑超空间，2 是纤维乃的g = 0 , 1 ，) 的，等价于任意的 e ( 2 xx ，c 2 b ，纤维( 2 x ) p ( 云) 是纤维互的，但是这种情况不适用于纤维超疋空间 1 0 辽宁师范人学硕士研究生学位论文 说明：例2 口x2 x 是纤维超互，对所有的疋空间2 x ，纤维超疋不要求空间是疋，且 纤维超疋，不能得到空间为互空间 例如2 x = 2 口的平凡空间 定理4 2 1 设( 2 x ，2 曰l ( 2 7 ，2 s ) d 6 ( 兀垅) ， ，九) h o m ( 2 x , 2 rl 巾：2 x _ 2 7 是一个 连续的纤维超单射，其中2 x ，2 y 是分别建立在2 b , 2 口。上的纤维超空间九：2 口一2 曰。是 开的连续映射，若2 y 是纤维超疋则2 x 也是纤维超疋 证设e ( 2 z ) 。，e ( 2 x ) 。其中c 2 口且e e ，b = 入_ 10 ) 2 丑，则巾陋) ， 巾仁) ( 2 y x ，巾伍) 巾仁) ，由2 y 是纤维超疋，故存在邻域( 矿) ，( v ) 使得巾伍) ( v ) ， 巾仁) v ) 且( y ) r 、缈) = 巾，则其逆象巾- 1 ( y ) ， - 1 v ) ，在( 2 jx 中是e ，e 的不交邻域， 即e 巾- 1 ( ( y ) ) ，e 巾- 1v ) 且巾- 1 ( y ) n 巾_ 1v ) = 巾故2 x 是超纤维超正空间 定理4 2 2i 发( 2 x , 2 曰l ( 2 r ，2 b ) d 6 ( 兀况) ， ，九) h o r n ( 2 x , 2 rl 巾：2 x 一2 r 是一个开 的连续的纤维超满射，其中2 x ，2 y 是分别建立在2 s , 2 口。上的纤维超空间，九：2 口一2 曰是 连续映射，若2 j 是纤维超疋，则2 y 也是纤维超疋 证 设e ( 2 y ) 。，e 。( 2 y ) 。，其中c 2 b 且e e ，b ：r ，0 ) 2 口则巾一1 仁) ， 巾一1 仁) ( 2 x x ，巾一1 伍) 巾- 1 仁) ，由2 j 是纤维超疋，故存在邻域( y ) ，v ) 使得巾- 1 伍) ( y ) ， 巾- 1 伍) ( y ) 且( y ) n ( y ) = 咖由于巾是开的连续的纤维超满射，故其逆象巾( y ) ，巾( y ) ， 在( 2 xx 中是e ，e 的不交邻域即e 巾( ( 矿) ) ，e 巾( 矿) 且巾( 矿) 厂、巾( y ) = 巾故2 y 是超纤 维超疋空间 定理4 2 3 设巾：2 j 一2 y 是一连续的纤维超映射，其中2 x ，2 r 都是建立在2 8 上 的纤维超空间拓扑若2 y 是纤维超疋空间，则纤维图t ：2 j 一2 x ：。2 y 是一个闭的嵌 入图示如下： 2 图4 2 1 纤维超空间分离性的研究 定理4 2 4 设舱) ，) 是建立在2 b 上的一类疋的纤维超空间，则纤维超拓扑乘积 2 j = i i b ( 2 x ) r 是纤维超瓦 证设e ，e ( 2 x 其中c 2 b _ re e 则兀，伍) 兀，忙) ，因为( 2 x ) ，是超纤维疋， 则存在邻域( k ，y ) 。c ( 2 ) ，( k ，砭，y 。) c ( 2 x ) ，使得冗，仁) ( k ，砭k ) ， 兀，仁。) ( k ，矿。) ，则兀，- 1 ( ( 1 ) ) ，7 【，- 1 矿劝o = l ，2 ，3 ，z ) 是e ，e 在2 j 中的邻域 故n ，。( 2 x ) ，是超纤维疋 4 3 纤维超r oi l 生 定义4 3 1 在( 2 j ，多，2 占) 中，若对任意的a ( 2 xx 其中c 2 口，对彳在( 2 彳x 中的任 意邻域( y ) ，存在c 2 口中的邻域w ，使得( 2 jln 蕊c ( v ) 则称( 2 ，歹，2 曰) 是纤维超 r 。空间 定理4 3 1 ( 2 x , 2 口) ，( 2 x ，2 占) 曲( 兀况) ， ，九) h o r n ( 2 x , 2 j l 其中巾：2 彳- - 2 j 。是 一个纤维超空间嵌入映射，其中2 j ，2 是分别建立在2 s , 2 口上的纤维超空间 九：2 b 一2 占。是连续的满射，若2 z 。是纤维超r 。，则2 x 也是纤维超r 的 证设彳( 2 ) c ，其中c 2 口，( 矿) 是么在2 j 中的邻域，d = 九( 6 ) 2 占，则( 矿) = 巾- 1v ) ， 其中( v ) 是( 2 jx 的一个邻域且包含4 = 巾) 由已知2 j 是纤维超r 。，则存在d 的邻 域w c2 8 ，2 x l n w c ( 矿) ，由已知九是连续满射，故存在w = 九一1h 】是6 的邻域， ( 2 xwr 、蕊c 。1 始z bn 百功c 巾。1v ) = ( 矿) 故2 x 也是纤维超空间r 。的 定理4 3 2 设( 2 z ，2 bl ( 2 y ，2 s ) 0 6 仃观) ， ，九) h o r n ( 2 x , 2 7l 其中巾：2 x - - - 0 2 y 是一 开的连续纤维超满映射，其中2 x ，2 y 是分别建立在2 b ，2 8 上的纤维超空间，九：2 占_ 2 曰 是连续嵌入映射，若2 y 是纤维超如的，则2 j 也是纤维超r 。空间 证设么2 xx ，其中c 2 b ，( y ) 是彳在2 x 中的邻域d = 九( 6 ) 2 口则( 矿) = 巾。1v 。) 其中( y ) 是( 2 yb 的一个邻域且包含a = 巾0 ) ，由已知2 r 是纤维超r 。则存在d 的邻域 w c 22 口，2 y l r 、阳c ( 矿) ，由已知九是嵌入映射，故存在w = 九一1 h 】是6 的邻域， 1 2 辽宁师范入学硕士研究生学位论文 ( 2 j ln 团c 。1 2 y l r 、百) c 巾一v ) = ( 矿) ? 故2 j 也是纤维超空间民的 定理4 , 3 3 设( 2 x ，2 b l ( 2 y ，2 口) e0 6 ( 兀况) ， ，九) h o r n ( 2 x , 2 7 l 其中巾：2 j 一2 r 是一 闭的连续纤维超映射，其中2 x ，2 r 是分别建立在2 口，2 口上的纤维超空间，九：2 bj 2 口 是开的连续映射，若2 j 是纤维超r 。的，则2 y 也是纤维超民空间 证设e ( 2 7x ，其中c 2 占，且设( v ) 是e 在2 y 中的一个邻域，取6 = 一0 ) 2 口， 五巾一1 伍) ，则( u ) = 巾- ( 矿) 是e 的一个邻域，由2 是纤维超r 。的，故存在6 的邻域w 使得( 2 。ln 砑c 缈) ，由于九是开的连续映射，所以w = 九_ 卜】是6 的邻域，则 ( 2 yl n 两：( 2 yl r 、巾仁) ：巾( ( 2 lr 、匹功c 巾( u ) = ( y ) 由巾是闭的，故4 碡) = 巾征) ，所以2 7 是纤维超空间 定理4 3 4 设 ( 2 j ) ，j 是建立在2 占上的纤维超r 。空间的有限空间族，则纤维超拓扑 空间乘积2 j = i 1 2 n ( 2 x ) ，是纤维超r 。空间 证设e 2 x ) c ，c 2 b , 则有兀，仁) 兀( ( 2 jxl ，其中7 c 0 ) = d 由2 j 是纤维超氐空 r、 间，则存在c 2 b 的邻域w ，使得( 2 lr 、 应 c ( y ) ，由于7 c 是纤维投射故连续，所以存 l j 在d 的邻域冗，m ) 有兀 ( 2 x l 】n 兀| 应1c 兀( ( y ) ) ，兀( ( y ) ) 是( ( 2 x ) r l 中的邻域 i ! i j 2 x = h e b ( 2 x ) ，是纤维超r 。空间 1 3 纤维超空间分离性的研究 5 纤维超( 完全) 正则空间 5 1 纤维超正则 定义5 1 1 纤维超五，建立在2 占上的纤维超空间2 x 是正则的若对每个点 e ( 2 xx ，其中ee2 口则对e 的每一个邻域( 矿) ，存在c 的邻域wc2 b 和疋的邻域 缈) c ( 2 x l ，使得( 2 w 厂、( 万) 在( 2 j l 中包含于( y ) 中如下图所示： ( 2 ) w 2 b 图5 1 1 定义5 1 1 在( 2 x ，歹，2 b ) 中，对任意e ( 2 jl ，其中ce2 b r l 为( 2 ) c c 2 b 中的 闭集若在邻域( y ) ，( 形) 满足e ( 矿) ，互c ( 形) 且( y )