（工程力学专业论文）弹性支承柔性轴转子系统动力学研究.pdf

摘要 摘要 本文在考虑轴的弯曲、扭转等所有弹性变形影响的基础上，推导考虑轴承刚 度和转速影响的弹性支承柔性转子系统动力学模型。给出一种建立非线性耦合系 统动力学模型的新方法，此方法运用柔性多体系统动力学，将有限元法与拉格朗 日方程相结合，建立在弹性支承条件下的柔性转子系统动力学模型。在对称不偏 心，对称偏心及一般位置条件下分析转子和空间柔性轴的多柔体动力学特性矩阵 表达式。动力学方程的建立过程中考虑轴承刚度变化和转子转速对系统的影响。 讨论求解柔性转子系统动力学控制方程的各种解法，采用n e v m a r kb 法对转子偏 心、轴承刚度变化及转子转速变化对系统动力学特性影响进行仿真分析，给出系 统动力响应曲线，并进行了比较、分析。 关键词：弹性支承转子系统偏心非对称动力学控制方程动力学仿真 a b s t r a c t a b s t r a c t i nt h i sp a p e r , o nt h eb a s i so fc o n s i d e r i n gt h es h a f iq u a l i t ya n ds h 撒t o r s i o n f l e x i b l ed e f o r m a t i o ni n f l u e n c e ，w ed e r i v e de l a s t i cb e a r i n gf l e x i b l er o t o rs y s t e m d y n a m i c sm o d e li nc o n s i d e r a t i o nt ot h ei n f l u e n c eo fb e a r i n gr i g i d i t ya n dr o t a t i o n a l s p e e d p a p e rp r e s e n t san e wm e t h o dt oe s t a b l i s han o n - l i n e a rd y n a m i cm o d e lo f c o u p l e ds y s t e m ，t h i sm e t h o du s e sf l e x i b l em u l t i - b o d ys y s t e md y n a m i c sa n dc o m b i n e s f i n i t ee l e m e n tm e t h o dw i t l ll a g r a n g e se q u a t i o n , af l e x i b l er o t o rs y s t e md y n a m i c s m o d e le s t a b l i s h e do nt h ec o n d i t i o no ft h ee l a s t i cb e a r i n ga n a l y z et h er o t o ra n df l e x i b l e s p a c e sm a t r i xa n a l y t i ce x p r e s s i o n so fm u l t i - b o d yd y n a m i c su n d e rt h ec o n d i t i o no ft h e s y m m e t r i cn o n - e c c e n t r i c ，s y m m e t r i ce c c e n t r i ca n dg e n e r a lp o s i t i o n t h ec r e a t i o n p r o c e s so fk i n e t i ce q u a t i o nc o n s i d e r st h ei m p a c to fr o t o rs p e e da n db e a t i n gr i g i d i t y c h a n g eo nt h es y s t e m d i s c u s st h ev a r i o u sw a y so fs o l v i n gf l e x i b l er o t o rs y s t e m d y n a m i ce q u a t i o n s ，a n dn e w r n a r kpm e t h o dw a se m p l o y e dt ot h es i m u l a t i o na n a l y s i s o ft h ei m p a c to ft h er o t o re c c e n t r i c i t y , b e a r i n gs t i f f n e s sc h a n g ea n dr o t o rs p e e dc h a n g e o nt h es y s t e m ，t h e ns y s t e md y n a m i cr e s p o n s ec u r v ew a sg i v e na n dc a r r i e do u tb y c o m p a r i s o na n di na n a l y s i s k e yw o r d s ：e l a s t i cb e a r i n g - r o t o rs y s t e m ，e c c e n t r i c i t y , a s y m m e t r y d y n a m i c a lc o n t r o le q u a t i o n ，d y n a m i c a ls i m u l a t i o n 西安电子科技大学 学位论文独创性( 或创新性) 声明 秉承学校严谨的学风和优良的科学道德，本人声明所呈交的论文是我个人在 导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标 注和致谢中所罗列的内容以外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成 果；也不包含为获得西安电子科技大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的 材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中做了明确的说 明并表示了谢意。 申请学位论文与资料若有不实之处，本人承担一切的法律责任。 本人签名：蛐 日期兰丝! ! ! ! f 西安电子科技大学 关于论文使用授权的说明 本人完全了解西安电子科技大学有关保留和使用学位论文的规定，即：研究 生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属西安电子科技大学。学校有权保 留送交论文的复印件，允许查阅和借阅论文；学校可以公布论文的全部或部分内 容，可以允许采用影印、缩印或其它复制手段保存论文。同时本人保证，毕业后 结合学位论文研究课题再撰写的文章一律署名单位为西安电子科技大学。 本人签名： 导师签名： 日期兰型竺：兰：! 苎 日期圣型! ：主：兰 第一章绪论 第一章绪论 1 1 转子系统动力学研究现状 旋转机械是工程中常见的机械装置，被广泛地应用于包括燃气轮机，航空发 动机，工业压缩机及各种电动机等机械装置中，在电力、航空、机械、化工、纺织 等国民经济领域中有着广泛的应用，并且起着非常重要的作用。像燃气轮机，航 空发动机，工业压缩机及各种电动机都是典型的旋转机械，都是以转子作为工作 主体。旋转机械在运转时，转子系统常常发生振动，振动的害处是产生噪音、加 快磨损、降低使用寿命和机器的工作效率，严重的振动会使元件断裂，造成事故， 而转子系统的不平衡是引起振动的一个主要原因。任何转子由于材质不均匀，加 工和安装误差等原因，不可避免地存在着偏心，即质心偏离转子的名义中心。在 偏心离心力作用下转子产生了振动，通过轴承传到机座，从而引起整机的振动。 特别是，近年来旋转机械的发展出现一个显著的特征，就是向高转速、高精度、 轻结构、长寿命的方向发展，轻柔部件在强离心力作用下会发生强烈的弹性变形， 因此不能再像低转速时那样把许多部件简化为刚体，而必须作为弹性体处理，综 合考虑刚体运动和弹性变形以及二者的耦合，从而构成了复杂的柔性转子系统。 关于柔性转子系统动力学特性的研究，人们虽然作了很多的工作，但对研究的模 型都作了许多的简化和假设，如将转子系统两端轴承刚度设为无穷大，轴单元假 设为刚性，这些处理与真实的系统是不符合的，从而造成与之相应的理论具有一 定的局限性h 乳4 9 1 。随着科技的发展，这些模型逐渐暴露出许多的缺点，这就迫切 需要一种能够反映真实系统的模型和一套与之匹配的理论，从而为旋转机械转子 的优化设计、提高效率、保证安全、减少故障和延长寿命提供理论和技术上的支 持与保障。现有的研究已经对转子系统两端约束作了很多工作，给出接近真实系 统的响应分析。本文在此基础上给出了在弹性支承条件下的柔性转子系统动力学 瞬态响应分析。此模型已经和实际系统模型已经高度接近。 转子的不平衡响应计算是转子动力学研究中的一个重要方面。转子的临界转 速与其工作转速应有一定的避开裕度，但有时由于种种原因转子的临界转速与工 作转速较接近，为了了解转子振动的大小，就需要进行不平衡响应计算。转子的 强迫振动主要是由于与转子转速同步的质量不平衡产生的离心惯性力所激起，通 过不平衡响应计算可以得出不平衡量在转子上不同位置时的不同影响。同时，通 过对不平衡响应的分析，可以预测机组在某些情况下的振动情况，此外不平衡响 2 弹性支承一柔性轴转子系统动力学研究 应的计算还可以确定转子在计及阻尼影响时的临界转速。到目前为止，我们查阅 了许多国内、外有关转子动力学的文献n 2 伯”1 ，但关于柔性转子系统在不平衡质 量以及转子在不同位置影响下的精确的动力学方程的论文还没有看到。以前的方 程是在各种假设条件下进行，日本两作者的书中指出，对同一问题方程不同，5 0 余年来却无法统一。随着对轴的柔性要求的提高，对方程精度要求也越来越高， 所以就有必要建立更加符合实际情况的柔性转子系统模型。给出柔性转子系统在 不平衡质量，以及不同位置影响下的精确的动力学方程，进而完成其动力学特性 的分析是本文研究的主要目的。 1 1 1 转子系统的不平衡强迫响应与平衡技术 转子系统的不平衡响应是转子动力学研究的基本问题。对转子不平衡响应的 研究主要是针对定转速的稳态响应和变转速时的瞬态响应特性分析。早期的研究 都认为转子的强迫振动响应频率与转子转速相同，即响应是同步的。后来人们发 现了响应频率与转速不同步的现象。这种现象通常被称为是“非协调响应”或“非 同步涡动 。轴承的油膜力、通过叶轮间隙的气动力、转轴的材料内阻、转子与定 子或轴承间的摩擦、转轴的初弯、非对称刚性转子、裂纹转子等都是引起非协调 响应的因素。这种非协调响应不仅会产生交交应力，加速转子的疲劳，也可以引 起转子的自激振动、造成失稳。近年来， 转子系统中存在大量的非线性振动现象， 叉和混沌的研究高潮。 随着非线性振动理论的发展，人们发现 从而引起了对转子系统非线性振动、分 求解转子系统的不平衡响应除了对简单的二自由度以下系统采用理论求解 外，大都采用数值积分的方法。这种方法可用于求解稳态和瞬态响应，也适用于 线性和非线性系统。 由于转子的不平衡是旋转机械最主要的激励源，因此转子的平衡是关系到转 子平稳运行的关键，其目标是减少转子挠曲、振动和轴承动反力。目前常用的平 衡方法有模态平衡法、影响系数法和混合法。 对转子系统不平衡响应的进一步研究集中在两个方面：一是建立可能符合实 际转子结构和运行状态的力学模型并计算这类大型复杂转子系统的响应特性。二 是更深入地研究各类非线性激励引起的响应特性。对前者，利用成熟的商业分析 软件如a n s y s 等可以达到很好的效果，对后者目前除了数值积分法外还没有很好 的分析方法，这主要是因为目前对多自由度、强非线性系统还缺少成熟的理论分 析方法。 第一章绪论 1 1 2 转子系统的稳定性分析 高转速、大功率、柔性转子是近年来高速旋转机械的发展趋势，它在提高转 子性能的同时也引起了更严重的失稳现象。转子动力学的一个重要的研究内容就 是转子系统的稳定性分析。以前对转子系统稳定性的分析都是通过线性化处理再 借助特征值或r o u t h - - h u r w i t z 准则来判定稳定性，这种方法实际是研究解的稳 定性。由于转子系统中存在着大量的非线性因素，因而存在多解的情况。通过线 性化处理来判断稳定性存在很大的局限性。为此，近年来又发展了一些基于非线 性仿真方法的稳定理论，如能量法和谱分析方法等。目前在非线性转子系统稳定 性的分析中采用最多的方法仍是数值积分方法。 由于影响转子系统稳定性的因素很多，且经常可能是多个因素共同作用，加 上目前对造成转子失稳的力学模型还很不完善，与实测结果误差较大，因而非线 性稳定性分析的难度很大。目前转子系统稳定性分析尚待解决的主要问题有：造 成转子失稳因素的准确建模问题；非线性转子系统的全局稳定性分析问题；多种 因素共同作用下的稳定性问题和新的非线性系统的稳定性分析方法等。 1 1 3 转子系统的非线性振动、分叉与混沌 实际的转子动力学问题绝大多数是非线性的。早期由于数学理论和计算条件 的限制，往往将非线性问题线性化以得到近似的结果，但这样做往往会导致大的 误差。随着非线性动力学理论的发展和计算机速度和容量的迅速提高，对转子系 统非线性特性的研究已引起了人们的高度重视，并成为目前转子动力学研究最活 跃的领域之一。非线性分叉与混沌理论的发展为转子系统非线性响应的研究打开 了一扇大门。e h r i c h 对转子系统中存在的分叉与混沌现象进行了深入地研究，发 现复杂转子系统的分叉与混沌特性与单自由度非线性系统的特性有着许多相似之 处。随后国内外的学者们在研究中又发现了大量的分叉与混沌现象。这些转子系 统主要是通过倍周期分叉，h o p f 分叉等道路进入或退出混沌，这些现象基本没有 超出对简单单自由度非线性d u f f i n g 方程的分析结果。这说明在受到周期激励的 复杂非线性系统中存在一些共性的东西可以通过简单的系统加以描述。 对非线性转子动力学的进一步研究的关键在于发展高维系统的非线性动力学 理论；建立更符合实际的转子非线性模型；加强非线性转子动力学的试验研究； 应用非线性转子动力学的分析结果解决实际问题；提出对系统非线性振动实施控 制的方法。 4 弹性支承一柔性轴转子系统动力学研究 1 1 4 转子系统振动与稳定性的主动控制技术 对转子振动和稳定性的控制的难度随着转子转速和功率的提高而不断地增 大，现代工业的自动化向转子系统提出了主动控制的要求。对转子系统振动主动 控制的研究包括：控制的目标函数，控制器的设计和施加控制力的方法等，但最 关键的还是实现对转子系统振动和稳定性的主动控制。一个成功的主动控制作动 器应具有：紧凑的结构，大的作动力，大的调节距离，宽的频率范围。目前最常 见的几种转子系统的振动主动控制手段有：磁轴承，压电作动器，记忆合金作动 器，液压作动器，主动可倾瓦轴承以及电磁流变阻尼器等。 磁轴承特别适用于对转子的直接控制，其工作原理是磁悬浮技术，即利用可控电 磁铁制造旋转磁场并实现稳定的磁悬浮。首次将电磁力用于转子振动控制是在 1 9 7 4 年，随后磁轴承的研究和应用得到了迅速地发展。压电作动器的控制力是通 过压电材料产生的压电力，这种作动器适用于小振动或高精度机构。记忆合金作 动器是通过记忆合金的形状改变达到调节刚度的，而液压作动器是通过压力控制 改变控制力的。电磁流变阻尼器是近几年出现的一种新型主动控制阻尼器，在转 子系统的振动控制中取得了很好的效果。 上述转子振动主动控制方法各有优缺点，如磁轴承的不足在于轴承参振质量大， 承载力小，需附加保护轴承等；记忆合金和液压作动器的不足是反馈速度慢等。 到目前为止，还只有磁轴承得到了较广泛的商业应用。 1 1 5 新的交叉学科研究方向 旋转机械转子动力学从其诞生起就是一门涉及多个学科领域的综合学科。早 期的转子动力学研究包括了数学、理论力学、结构力学、稳定性理论、流体动力 润滑理论等学科，后来又涉及到气动力学、控制理论、弹性力学、计算力学、有 限元方法、试验技术、信号采集与处理技术、非线性动力学、新材料与智能材料 等学科。在今后的研究中有以下几个交叉研究领域应引起重视。 一微重力环境下的转子动力学。空间技术是2 l 世纪我国重点发展的高新技 术，旋转机械在空间技术发展中也有着普遍的应用。但在微重力环境下， 转子动力学现有的许多理论和研究成果都受到了挑战，需要作很大的修 正。为此需要结合微重力环境开展转子动力学的有关研究工作。 - 超微机械中的转子动力学问题。微机械的问世和发展对转子动力学提出了 新的挑战，如上海交大研制的2 m m 微电机就为转子动力学的分析和实验 带来了许多新问题。一是理论建模和分析方法的适用性问题；二是新的驱 动方式和轴承润滑问题；三是动态特性测试问题。激光测试可能是目前唯 第一章绪论 5 一可行的方法。因此加强对超微机械转子动力学的理论和实验研究是一个 迫切的课题。 一生物中的转子动力学问题。在旋转式人工心脏、人体微型“清道夫”的研 制和分子马达的研究中可能会遇到转子动力学的问题。 1 2 转子系统动力学研究方法 对复杂转子系统现代的计算方法可分为两大类：传递矩阵法和有限元法。经 典传递矩阵法( t 姗) 是2 0 世纪2 0 年代建立起来的用于研究弹性构件组成的一维 线性系统振动问题的方法。h o l z e r ( 1 9 2 1 ) 最先利用初参数法求解多圆盘轴的扭转 振动问题随1 ，称之为h o l z e r 方法。m y k l e s t a d ( 1 9 4 4 ) 用类似h o l z e r 的方法求解梁的 弯曲振动模态阳1 。p r o h ( 1 9 4 5 ) 把h o l z e r 方法成功推广到解决轴的横振动问题n 0 1 ， 称之为m y k l e s t a d 方法。随着计算机的发展以及振动研究中采用矩阵运算， m y k l e s t a d 方法逐步发展为传递矩阵法。r u b i n ( 1 9 6 4 ) 提出了传递矩阵的一般处理 方法以及传递矩阵与其他形式频率响应矩阵的关系n 。传递矩阵法在结构力学特 别是转子动力学中得到了长期普遍应用，原因在于这种方法频率行列式的阶次低， 非常便于编程和数值计算。传递矩阵法由于其建模灵活、计算效率高、无需建立 系统的总体动力学方程等优点，已在包括光学、声学、电子学、表面科学、机器 人学、兵器、航空、航天、机械诸多现代工曾、科学、技术领域得到了广泛的应 用。 但是经典传递矩阵法不能解决多刚柔体系统振动特性计算问题，不能解决时 变、非线性、大运动的多刚体系统动力学和多刚柔体系统动力学问题。能否将经 典传递矩阵方法结合现代算法，解决诸如二维系统和三维系统动力学、线性多刚 柔体系统振动特性、线性多体系统动力响应、多刚体系统动力学、多刚柔体系统 动力学、受控多体系统动力学的快速计算难题，成为经典传递矩阵大诱人的现代 发展方向。 有限元法是( f e m 法) 是2 0 世纪3 0 年代建立起来的用于结构分析的数值计算 方法。它把校运动弹性连续体离散为由若干个有限单元组成的集合体，通过单元 分析和组合得到联立代数方程组，求数值解得到其力学行为，其主要思想是“化 整为零，截弯取直，以简驳繁，化难为易”。它理论基础牢靠，条理明晰易懂，应 用范围广，特别适合于高度复杂结构的程序设计和科学计算，因而引起了工程设 计分析的重大革新。有限元法的应用已经由弹性力学平面问题扩展到空间问题， 由静力学问题扩展到稳定问题、动力问题和波动问题。分析的对象从弹性材料扩 展到塑性、黏弹性、黏塑性和符合材料等，从固体力学扩展到流体力学、传热学 和连续介质力学领域。在工程分析中的作用分析和校核扩展到优化并与计算机辅 6 弹性支承一柔性轴转子系统动力学研究 助设计相结合。2 0 世纪6 0 年代中后期数学家介入有限元法研究使有限元有了坚实 的数学基础。z i e n k i e w i c z 和c e u n g ( 1 9 6 5 ) 宣布有限元法可以用于所有能按变分形 式进行计算的场问题，有限元的应用也推广到了更为广阔的范围。随着计算机技 术的迅猛发展，有限元法的专用和通用计算软件大量出现，如n a s t r a n 、d y t r a n 、 a s k a 、s a p 、m a r c 、a n s y s 、a d i n a 等软件，有限元已经成为一个基础稳定为大家所 接受的工程分析工具n 引。有限元法主要解决复杂多维结构静力学和动力学问题， 主要用离散力学方法解决连续力学问题，功能特别强大是其主要特征，但计算规 模庞大，虽可利用质量矩阵和刚度矩阵的稀疏或带状性质克服大发型复杂结构精 细的动态分析和计算速度难以满足要求之间的矛盾，但这毕竟是有限的，所以如 何降阶处理以提高速度是有限元法追求的永恒主题。 实践证明，传递矩阵法与有限元法相结合，高效率地解决复杂工程问题，已 成为两种方法发展的必然。各自的优缺点在结合中得以弥补，本文将重点介绍有 限元的具体处理方法。 1 3 本文研究方法的必要性 现代转子动力学的研究与以前大不相同，系统多为非线性、耦合系统。传统 传递矩阵方法在解决转子系统状态矢量的动力响应问题中已经取得了成熟的算法 研究嘞1 。传递矩阵方法在计算时主要以状态矢量和传递矩阵来计算系统响应，状 态矢量的数量决定系统最终的响应数量，计算时一般认为状态量之间的耦合很小 而忽略或把非线性问题线性化，此方法最终计算结果和实际系统响应误差较大。 随着转子系统转速和柔性的提高，轴的柔性和转速都会对系统状态响应产生很大 的影响，这样以来传统方法忽略非线性和耦合因素是不恰当的。需要一种综合考 虑二者共同影响的方法来解决转子响应问题。有限元法考虑节点两端的广义响应， 利用结点两端1 2 个状态量表示节点间任意点的状态。运用有限元方法建立的动力 方程通过数值积分方法建立模型考虑非线性和耦合因素，可以更好体现真实系统 的动力学特性。由此可以看出运用本文的方法解决转子动力学问题是很有必要的。 1 4 本文主要工作 本文在传统转子系统模型基础上，对已有模型进行复杂处理，得到更符合实 际转子系统的模型。新模型综合考虑弹性支承对系统瞬态响应和稳态响应的影响。 给出弹性支承条件下偏心非对称柔性转子系统模型，并进行了动力学控制方程推 导及动力响应计算和分析等方面的研究工作。给出了弹性支承条件下柔性转子系 统在不平衡质量及不平衡位置影响下比较精确的动力学控制方程。对控制方程进 第一章绪论7 行仿真给出柔性转子系统瞬念响应曲线和定转动条件下的稳态动力学响应曲线及 对比分析。 ( 1 ) 首先根据柔性转子系统结构和运动的特点，指出了以往模型在建模方面的 不足。在此基础上，给出了综合考虑转轴的质量和扭转变形以及转轴非对 称的影响更加接近实际系统的动力学模型。 ( 2 ) 在标量力学的基础上，引入弹性支承并利用柔性多体系统动力学的分析方 法，将拉格朗日方程和有限元法相结合，就柔性转子系统中具有一般性集 中质量单元和空间梁单元进行了特性分析，并推导出了动力学控制方程系 数矩阵的解析表达式。 ( 3 ) 将集中质量单元和空间梁单元组集推导出了弹性支承条件下柔性转子系统 的动力学控制方程及其系数矩阵的解析表达式。给出了系统在动不平衡情 况下的动力学控制方程。 ( 4 ) 讨论了求解柔性转子系统动力学控制方程的各种解法，并利用n e w m a r kt 3 法对柔性转子系统动力学控制方程进行动力学仿真，给出了系统在不平衡 质量及不平衡位置情况下的动力响应曲线并进行了比较、分析。验证了本 文模型的建立和动力学控制方程推导的正确性，为柔性转子系统的控制提 供了必要的理论基础。 ( 5 ) 讨论不平衡质量及不平衡位置条件下改变支撑刚度，得到刚度条件变化对 系统瞬态响应曲线。验证了本文模型的建立和动力学控制方程在不同领域 的适用性，为柔性转子系统的控制提供了必要的理论基础。 ( 6 ) 讨论不平衡质量及不平衡位置条件下不同转速对系统瞬态响应曲线。为不 同领域的转子系统稳态响应给出理论分析值。验证了本文模型的建立和动 力学控制方程在不同领域的适用性，为柔性转子系统实际运转时控制提供 了必要的 第二二章柔性转子系统动力学基础知识 9 第二章柔性转子系统动力学基础知识 由于本文应用多柔体系统动力学理论 1 3 和有限元法 1 5 - 1 7 结合推导转子 系统的动力学控制方程，所以有必要介绍相关的基础理论。本章将简要介绍有限 元法相关理论和柔性体上任一点状态描述及坐标变化方法，柔性多体系统动力学 控制方程的一般形式等相关知识。 2 1 有限元法的基本思想和求解步骤 2 1 1 有限元法基本思想及坐标转化方法 有限元法的基本思想是将连续的求解区域离散为一组有限个单元、且按一定 方式相互联结在一起的单元组合体。由于单元能按不同的联结方式进行组合。且 单元本身可以有不同形状，因此可以模型化几何形状复杂的求解区域。有限元法 作为数值分析方法的一个重要特点是利用在每一个单元内假设的近似函数。分片 地表示全部求解域上待求的未知场函数。单元内的近似函数通常由未知场函数或 其导数在单元的各个节点的数值和其插值函数表达。这样，一个问题的有限元分 析中。未知场函数或其导数在各个节点上的数值就成为新的未知量( 即自由度) ， 从而使一个连续的无限自由度问题变成离散的有限自由度问题。一经求解出这些 未知量，就可通过插值函数计算出各个单元内场函数的近似值。从而得到整个求 解域上的近似解。 下面我们给出柔性体的坐标转换 方法：对柔性体离散化可以将具有复 杂形状、边界条件和载荷的物体，划 整为零，分割为有限数量、有限大小 且具有一定规则形状的单元，使得对 每个单元的变形模式的选取变得非 常容易。柔性多体系统动力学控制方 程用有限元法列式表示时，首先需要 建立单元、物体和整体坐标系间的变 换关系，因此，本节将讨论各坐标系 间的变换关系。 图2 1 柔性体有限元划分图 y 图2 1 所示为某i 物体的有限元划分图，o i x yz 为i 物体坐标系，o ”j x “y o z 。 为i 物体上第j 个单元的单元坐标系，与结构力学中有限元单元坐标系相同，它 1 0弹性支承一柔性轴转子系统动力学研究 不是浮动的，而是与单兀上某点邻域的微兀固连的。0 x y z 为整体坐标系。 设j 单元上任一点的位移向量i 9 ，可以用该单元的节点位移向量苫9 ，通过 在单元坐标系下单元形函数n 日表示为 吾4 = n 日苫9 ( 2 1 ) 式中( ：) 表示在单元坐标系下描述的向量。设u 日为该点在i 物体坐标系o x y z 下的位移向量，则吾9 与u 间的变换关系为 u q = 耳u 9 ( 2 2 ) 式中1 ；：| j 为向量吾。从单元坐标系到物体坐标系的变换矩阵， 矩阵。于是式( 卜2 ) 表为 u j j = 砰州 而单元节点位移向量苫。变换到物体坐标系下，有 在三维情况下为3 3 ( 2 3 ) 石o=t20e。(2-4) 式中e 日为在物体坐标系下的j 单元节点位移向量，i ! ；j 为节点位移向量在单元坐标 系和物体坐标系下的变换矩阵，其维数等于单元节点自由度总数，例如对于空间 梁单元为一个1 2 1 2 的矩阵。于是 u ”= 吖n ”f e ” ( 2 5 ) 此处砰n 。掣是在物体坐标系下，对应单元节点位移向量的形函数。 将j 单元组装到i 物体中去时，单元节点位移向量要按i 柔性体上所有单元 节点重新排序，即有 e “= l l j q ； ( 2 6 ) 式中l j 为布尔指示矩阵，其元素不是零就是l ，q ；为i 柔性体的节点位移向量， 于是 u ”= 耳n ”e l i j q ；= s ”q ；( 2 - 7 ) 式中 s ”= 耳n ”时p ( 2 8 ) 则式( 2 8 ) 为在物体坐标系下的有限单元形函数，它对应i 物体节点位移向量q ；。 为统一把节点位移向量q ；称为该节点坐标向量，及描述物体变形的广义坐标。 第二章柔性转子系统动力学基础知识l l 2 1 2 有限元法基本求解步骤 对于不同物理性质和数学模型的 问题。有限元求解法的基本步骤是相 同的。只是具体公式推导和运算求解 不同。有限元法求解的基本步骤通常 为： 1 ) 问题及求解域定义。根据实际 问题近似确定求解域的物理性质和 几何区域。 2 ) 求解域离散化。将求解域近似 为具有不同大小和形状且彼此相连 的有限个单元组成的离散域，习惯上 称为有限元网络划分。 3 ) 确定状态变量及控制方法。一 个具体的物理问题通常可以用一组 包含问题状态变量边界条件的微分 方程式表示，为适合有限元求解，通 常将微分方程化为等价的泛函数形 式。 开始 山 i 建立多体系统动力攀模型讫 i 整为霉，确定系统广义坐标 山 分别建立转子盘模 型、转子轴模型 分别计算各个模型褶疲矩霹表达式l ( 质量矩阵、动旋矩阵等) l 山 结合边界条件缰装系统方程 山 应用数值算法求解系统广义坐标响应l 0 结束 图2 2 有限元法求多体系统响应求解步骤 4 ) 单元推导。对单元构造一个适合的近似解，即推导有限单元的列式，其中 包括选择合理的单元坐标系，建立单元式函数，以某种方法给出单元各状态变量 的离散关系。从而形成单元矩阵( 结构力学中称刚度阵或柔度阵) 。 5 ) 总装求解。将单元总装形成离散域的总矩阵方程( 联合方程组) ，反映对近 似求解域的离散域的要求，即单元函数的连续性要满足定的连续条件。总装是 在相邻单元结点进行，状态变量及其导数( 可能的话) 连续性建立在结点处。 6 ) 联立方程组求解和结果解释。 概括起来。有限元法可分成三个阶段，前处理、处理、后处理。 在应用有限元法解决多体系统响应问题时一般求解步骤见图2 2 所示。 2 2 柔性体上任点的状态描述 柔性多体系统动力学研究由可变形物体以及刚体所组成的系统在经历大范围 空间运动时的动力学行为，与人们所熟悉的多刚体系统动力学合称为多体系统动 1 2弹性支承一柔性轴转子系统动力学研究 力学。多刚体动力学是以系统中各部件均抽象为刚体，但可以计及各部件联结点 处的弹性、阻尼等影响为其分析模型的，而柔性多体动力学则在此基础还进一步 考虑部件的变形。粗略地说，多刚体动力学侧重“多体”，多柔体动力学侧重“柔 性”，研究物体变形与其整体刚性运动的相互作用或耦合，以及这种耦合所导致的 独特的动力学效应。变形运动与刚体运动的同时出现及其耦合正是柔性多体系统 动力学的核心特征。 在分析刚体运动时，采用运动分解方法，把复杂的刚体运动分解为几种简单 运动。例如，若过刚体的任一点建立一个坐标轴始终与惯性参考系对应坐标轴平 行的移动坐标系，则刚体运动可分解为随动坐标系的移动和相对于动坐标系的转 动。在多刚体系统运动学分析时，通常又在各刚体上建立一个固连于该刚体的参 考系，称为连体坐标系，以此坐标系相对于移动参考系的转动表示刚体的相对运 动。对于柔性体的运动，特别是小变形情况，也可以采用类似的办法，将柔性体 的运动分解为整体( 即刚性) 运动和变形运动两部分，例如，在柔性体的某微元上 建立一个移动参考系，于是柔性体的运动视为随动参考系的牵连运动和相对于该 动参考系的相对运动的合成运动，这也相当于将柔性体运动分解为其未变形情况 下的刚性运动和相对于未变形物体的变形运动的合成。 根据以上的分析，我们只要对所考察的柔性体建立一个动参考系，把柔性体 空间任意运动分解为随动参考系牵连刚性运动和相对于动参考系的变形运动，则 当柔性体在空间任意运动时，其上任一点的位置、速度和加速度就不难求到。 如图2 3 所示，柔性体上任一点的位置向量为 名= r ，+ a u = 兄，+ a ( u o ，+ 甜r ) ( 2 9 ) 式中，r 。，为动坐标系0 x y z7 的原点0 7 位置向量，a 为动坐标系0 x y z 向整体 惯性坐标系o x y z 的旋转变换矩阵，u7 为p 点相对于动坐标系的位置向量，u 为未变形时的位置向量u 一与变形引起的位移向量u ，的迭加。 相对变形位移向量u ，可以用不同方法离散化，例如，经典的瑞利一里兹 ( r e y l i e g h - - r i t z ) 法、有限单元法和模态分析及综合法。本文将采用有限单元法 进行离散化。在用有限单元法近似模拟真实物体时，弹性体上无限多质点的位移， 是由有限多个单元节点位移，通过各单元的形函数来描述的，从而实现无限多自 由度的离散。于是，柔性体某单元上任一点p 的位移向量u ，可表示为 “，= g ， ( 2 - l o ) 式中，n 为该单元的变形模式( 或假设位移场) ，称为单元形函数，q ，为该单元的 节点位移向量。在将所有单元组集后，物体上所有节点的位移向量，就构成了该 物体的弹性广义坐标。 第二章柔性转子系统动力学基础知识1 3 柔性体上任一点p 的速度向量，可以将位置向量式( 2 - 9 ) 对时间求一阶导数 得到。即： 0 = 岛+ 五“+ a u = + a 。u + 么啄+ 么甄 将速度向量式( 2 - 1 1 ) 对时间求导，可得到加速度向量。 图2 3 柔性体上任一点的位置向量 2 3 柔性多体系统动力学控制方程的一般形式 2 3 1 柔性多体系统动力学控制方程的特点 ( 2 - 1 1 ) 柔性多体系统动力学问题的主要特点是，系统中的柔性体部件在运动过程中 经历着大的刚体整体移动和转动，同时又有变形运动，而且这两种运动又是高度 耦合的。它不像多刚体系统动力学分析的那样，只要动参考系选定，诸如惯性张 量等都是不随时间改变的量。而在柔性体情况下，除了那些只与选定的变形模式 有关的量不随时间而变外，包括惯性张量等在内都是随物体变形而变的，它们都 是时间的函数，这就大大增加了问题的复杂性。在建立系统动力学控制方程时， 可以采用不同的原理和方法n 刀，例如，牛顿一欧拉法，该方法是在向量力学的基 础上，用动量定理描述柔性体的移动，用动量矩定理描述柔性体的转动，且这两 方面都包含柔性体的变形运动。还有就是基于高斯原理即极小原理的方法，它开 辟了一条不必建立运动方程而直接用优化方法进行动力学分析的新途径。再有是， 在虚位移和达朗伯原理基础上演变出的拉格朗日方程，它是以标量力学为其主要 特征，通过引入动力学函数建立起系统的动力学控制方程n 引。 另外，在多体系统中对运动的描述，可以用绝对描述，即将系统中各物体的 运动变量，直接在惯性坐标系描述，也可以用相对描述，即分别建立各物体的动 参考系，将物体的运动分解为刚性整体牵连运动和相对动参考系的变形运动两部 1 4 弹性支承柔性轴转子系统动力学研究 分，然后直接应用相对运动变量来建立运动方程。 本文所采用的方法是用拉格朗日方程导出自由柔性体动力学方程，然后通过 约束和边界条件的处理得到系统的动力学控制方程。系统中各柔性体在每时刻的 位移，用两组广义坐标描述，即描述动参考系及弹性变形的两组广义坐标。动参 考系的广义坐标描述该柔性体跟随动坐标系的移动和转动，而弹性广义坐标是描 述该柔性体对于该动参考系的相对变形运动n 引。 由于弹性体都具有无限多自由度，动力学问题的精确解是无法得到的，因此 通常都是将其离散成有限自由度作为近似分析模型。对常见的弹性变形广义坐标， 有以下几种离散化方法：经典的瑞利一里兹( r e y l i e g h - - r i t z ) 法，模态分析及综 合法和有限单元法。因为有限单元法可以将具有复杂形状，边界条件和载荷的物 体，划整为零，分割为有限数量、有限大小且有一定规则形状的单元，使得对每 个单元的变形模式的选择变得非常容易，所以本文将采用有限单元法进行离散化， 并在此基础上列写柔性多体系统的动力学控制方程。 2 3 2 柔性体的动力学控制方程 拉格朗日方程啪3 的表达式为 昙c 嚣一景= q k 朋z n 仁埘 其中t 为系统的动能，q k 为对应全部主动力的广义力，q k 为系统的广义坐标， n 为广义坐标的个数。 首先，将拉格朗日方程写成矩阵形式为 婚一a a q t ( 2 - 1 3 ) 式中 q = _ k q + q f ( 2 1 4 ) 其中q f 为作用于柔性体上，除变形引起的弹性力以外的全部主动力的广义力， 一k q 为弹性力对应的广义力。 又柔性体的动能可以表示为： t = 圭工p ( ) t ( ) d v = 互1 ( 4 ) t m ( q ) ( 2 - 1 5 ) 其中屯为柔性体上任一点在惯性坐标系下的速度向量，m 为质量矩阵。 将动能表达式代入拉格朗日方程得： 第二章柔性转子系统动力学基础知识 1 5 + 岫一面a 互1 矗t m q ) + k q = q ， 令 q v - 一岫+ 丙a 虿1q t ) 称q v 为与速度二次项有关的广义力，从相对运动学的角度看， 性力和陀螺力( 包含科氏惯性力) 。于是可得： m i i + k q = q f + q v 上式就是自由柔性体的动力学控制方程。其一般常用方程为： m i i + k q + c ：九= q v + q f ( 2 - 1 6 ) ( 2 - 1 7 ) q v 相当于离心惯 ( 2 - 1 8 ) ( 2 - 1 9 ) c ( q ，t ) = 0( 2 。2 0 ) 式中c 。是约束的雅可比矩阵，入是待定拉格朗同乘子向量，维数为m 1 l ，m 为 所有的约束方程数，而系统的质量矩阵m 、刚度矩阵k 以及与速度二次项有关的 力向量q v 和外主动力向量q f 、分别由各子结构的对应矩阵组装起来，这也是本 文的重点内容。因此只要将方程式( 2 - 7 ) 中的系数矩阵m 、q v 、k 求出，即可得 到物体的动力学控制方程。柔性多体系统的动力学控制方程是强耦合、强非线性 方程，这种方程的求解目前只能通过计算机用数值方法进行。本文中柔性转子系 统的动力学控制方程，就是利用上述各式进行求解的。 2 4 小结 本章给出了经典转子系统简化模型和引入弹性支承后的转子模型。给出了柔 性多体系统动力学控制方程的一般形式。柔性多体系统的动力学控制方程是强耦 合、强非线性方程，这种方程的求解目前只能通过计算机用数值方法进行。 第三章柔性转子系统动力特性分析 1 7 第三章柔性转子系统动力特性分析 典型转子系统一般由离散叶轮，具有分布质量及弹性的轴段和轴承组成。可 以沿轴线把转子系统分成盘、轴段和轴承座等单元，各单元在节点处联结。本章 将重点介绍本文研究的新模型，并在此模型基础上建立具有质量偏心圆盘和轴段 的动力学模型，最后推导出圆盘和任一轴段的动力学控制方程。 3 1 柔性转子系统模型建立 历史上比较典型的转子模型是j e f f c o t t 转子模型，现今许多的理论结果都 是在该模型的基础上得到的。j e f f c o t t 转子模型是在跨中装有一个刚性薄圆盘的 等直轴，为了消除重力的影响，转子垂直地安装在两个轴承内。分析中把轴看作 具有一定弯曲刚度和无限大扭转刚度，并且不计及轴的质量；把轴承简化成铰， 并且认为它的基座是刚性的。 在j e f f c o t t 转子模型基础上综合考虑轴的质量及轴的扭转、拉伸变形和简化 了的集中质量点在偏心、不对称位置的情况下对系统运动的影响，同时也作了一些 假设：两端的支承为刚性支承；不计柔性转子系统的内阻和外阻；不计转子系统 的重力和初始静挠度的影响。如图3 1 所示： 图3 1 以往转子模型 特点：此模型是在j e f f c o t t 转子模型基础上为使有限元法和多体系统动力学 结合而做的理想简化。比起j e f f c o t t 转子模型该模型考虑轴的柔性对节点的影 响，已有的研究工作经过建模分析已经给出了节点六个自由度响应。但是作为 实际转子系统此模型是不能完全体现节点和节点的广义坐标响应h 8 一引。 本文的建模将在综合以上模型基础上考虑轴的弯曲、扭转等所有弹性变形的 柔性轴与刚性转子组成的柔性转子系统。同时做了假设：两端支承为弹性支承， 弹性支承一柔性轴转子系统动力学研究 不计柔性转子系统的内阻和外阻，不计转子系统的重力和初始挠度影响。一般转 子系统模型如图3 2 所示，其中转子不在轴的对称位置即a 不等于b ，偏，i i , 距为e 。 本文将在该模型基础上，应用柔性多体系统动力学理论将拉格朗日方程与有限元 相结合推导系统动力学控制方程。 3 2 一般位置转子系统转子动力特性分析 典型转子系统通常由一些离散的转子，具有分布质量及弹性的轴段和轴承座 等部件组成。可以沿轴线把转子系统分为转子、轴段和轴承座等单元，各单元彼 此在节点处联结。由于在转子系统的旋转运动中，转子本身的_ 些变形对系统来 说影响比较小，影响较大的主要是转子位置的偏心和不对称，因此为了更好的从 整体上来把握转子系统的不平衡响应，以及分析转子的柔性影响系统( 特别是高速 转动系统) 的特性，我们将转子系统简化为集中质量转子和转轴组合的柔性转子系 统。在这一节中，我们将讨论转子在一般位置情况下的转子系统建模问题。 3 2 1 单元的划分和坐标系的建立 转子系统在静止状态时的位置如图3 2 所示，两端支承中心的连线与安装不 偏心时的转子中心交于节点，转子质心到节点的偏心距为p ，转子质量为m p ， 转轴分为1 3 个单元，n + 1 个节点，转子位于其中某个单元的节点上，各单元的节 点惯性坐标位移向量如图3 3 所示。 图3 2 本文研究转子系统模型 第二章柔性转子系统动力特性分析1 9 图3 3 转轴单兀划分 广义坐标为： 广 g 2 【- 秒伊q 2q 3 气q 5q 6 q 4q 8q 9q 7 f q 口q bq cq dq e q f q gq m q n 此广义坐标均为在惯性坐标下的坐标量。 根据变形的特点建立以下3 个坐标系口卜2 4 1 ： 整体惯性坐标系o x y z ，o z 轴为轴静止时两支承中心的连线。 固结于转轴上的连体坐标系o l x l x z 。( 物体坐标系) ，o lz l 轴过轴两端点 连线，o 。x l 轴和o l y 轴绕着o 。z 。轴转动。 固结与转子上的连体坐标系o ：x ：y 2 z ：，原点o ：为转子与转轴的交点，各 坐标轴与物体坐标系o ，x 1 y z 。的各相应的坐标轴平往。 变形后质心某一瞬间位置如图3 4 所示： 图3 4 转子质心某瞬间位置 z