（岩土工程专业论文）饱和土复杂局部场地对瑞雷波散射的研究.pdf

北京交通大学硕士学位论文 摘要 复杂的局部场地条件对地震波的传播影响很大，可能引起地震地 面运动产生较大的放大或缩小，以及震害分布区域化。实测地震记录 和理论分析都表明，震害较重的场地，复杂局部场地的地震动比平坦 场地大。这说明复杂局部场地条件对地震动的影响不容忽视。本文利 用解析解的方法对含饱和士复杂的局部场地的地震动进行了深入的 研究，并通过数值计算进行了分析，取得了一系列有益于理论和实践 昀研究成果。 l 、以b i o t 的两相饱和多孔介质动力方程为基础，利用波函数展开方 法，给出了含饱和土的复杂的局部场地对瑞雷波散射问题的一系列解 析解：( 1 ) 具有饱和土沉积层的沉积谷场地对平面瑞雷波散射问题的 解析解；( 2 ) 具有饱和土的充水河谷场地对平面瑞雷波散射问题的解 析解：( 3 ) 具有饱和土沉积层的层状谷地对平面瑞雷波的散射的解析 解。 2 、在解析解昭基础上，绘出算倒，研究表明含饱和土鳃局部场地地 震动除了与场地的形状( 沉积谷的高宽比餐) 和入射波形式及特性( 入 射波频率) 有关外，还与饱和士的材料参数有着密切的关系。同时揭 示了对于较软的饱和土场地，用单相弹性介质来模拟势必造成较大的 误差。 关键词：流体饱和多孔介质，复杂局部场地，地震波散射，解析解 瑞雷波 北京交通大学硕士学位论文 l r r e g i i l 缸s u 慨t o p o g r a p h y 蛐d 鲫l o g i c a lc 0 d 确汕sm a yh a v e s i l 面6 c 蛐te f 托do nt h e 枷p l i 丘c a 石锄o f i s m i c 舯u n d 瑚o t i o n 粕d g e 眦f a t ec o n c 伽心a t e dd a m a g et ob u n 曲ga n do t h e r 谢le 蟛n e 耐n g s 协l 咖r c s m 砸l ys e i s m i cr c 训s 强dt h r c t i c a l 孤a l v s i s 诅d i t et l l a tt h e e a r l l l q u d k em o t i 傩o f 池es i t ew h c f ct l i ec 盯l l i 讲i a ：k cd i s 罄t c ri sm o r es e v e i e i sl a r 窖et h 蛆t l i c 胁o r 豫霉1 1 1 缸幽w h i c hi d i 锄把t l l a tl h ee 丘e c to ft h e c ) 玎叩l c xl o c a ls i | eo nt l i ee 缸t h q u a l 脚豳nc a n n o tb ei 毋1 0 f e d hn l i s t l l 鹤j s ，t h ee a r l h q 硇址e 瘁m m dm o l i 0 璐0 f1 0 c a l 面犯p 皿l a rs i t e sw i t hs 甜1 l 】阻t e d s o dw a si n v 鹤虹辱啦，db v 粕a l y s i sa n dm 堋剃c a ls i m 血t i ，矾das a j e so f r c 蜘l n sw e r co b a j 械 f i i s n y ，0 nt h cb a s i so fb 萤o td y n a m i c 也o o r y ，as e f i c so fa n a l y t i c a l s o l u t 如咀sf o rs c 绷垂c f i n go fp l a n cr a y l c i 馥w g v e sb ys a t 哪a t e d j ll o c a l i i r e 殍i l a r s i t cw e r cd e v e l o p e du s i n gf o 谢e 卜i k s s e ls e r i e s e x p a n s i o n t e c h n i q u e ：( 1 ) 柚a i y t i c a ls o l u t i o 璐f o rs c a t t e 血go fp l a n er a y l e i g l lw a v e sb y a l l 嘶a lv a l l e y s 、) l ，i t i ls a t u r a t e ds o i ld e p o s i t s ；( 卸a l v t i c a ls o l u t j o 地f o r s c a n e 血g o fp l 姐e r a y l e j g hw a v c sb yc 而跚l a r - a r cl a y e r e dv a l k y s c o n s i s t i n go ft h ei l l t e r a c t i o nb e 押陀e nw a t 盯a n ds a t u r a t e ds o i ld e p o s i 住；( 3 ) d i f 陆虬t i o no fp l 矩er a y l e j 曲w 孙髑b yac i r c u l a r a r cl a v e r c da u v i a l v a l k y ：姐a l y t i c a is o l u t i o n s t 幻训l y ，o nl h eb a o ft h e 柚a l v t i c a l 抽黼l sm e n d o 戚a ：b 0 c a n d 也e 如幅确；a t i 蚰o nt h en a | u ma n dt i 豫p h y s i c dm e c ：b a n i s ma f r t h l 啮l 汜 m o t i o i 毽0 ft h es 砒砒e ds o i ll o c a li f r e p 阻i 缸s i 峨t h en 啪e r i c a lr e s l l l 饵w 黜 西啪t oi l h 她t et h a tt h e 肿i l n dm o t i 蛐so ft h es a t u 穗l c ds o i l 脯 i r f e g l i l 盯s i t en o to l l l yd e p e n do t h cm m e n s i o n l e 辎仃e q u e n c yo ft h e i n c i d e n tw a v 髓，b u ta l s 0d e p e n d 嗨t l i es a t 瑚砒i o n 锄dp 0 1 0 s i t vo ft h e j l d e p i t s ，t h es | i 矗嘛s 锄dp 区s 湖，s 枷oo ft l l es o i i d s k d e t o n ，a n dt h e b 叭m d a r yc o n d i t i o n s a tt l l es 蜘et i n l c ，t h e f t 靴瞳删e ds o ns “e 锄b e s i n l u l a t e db ye l 枷c0 n e - p h a s e i i dm o d e l b vn i l i d - s 砷_ l r 砷e dp o r a 惦 m o d i am o d e l ，b u tt b cr e s l l l t so ft h c 罩o u n dm o d 衄b vt h et w om o d e l sw e r e g r e a td i 丘b r c n t k 卵w o r d s ： f l u i ds a l l l f a t c dp o m u sm e d i 哪，c d m p l c xl o c a ls j t e ， s c a n e i i go fs e i s m i cw a v e s ，a n a l y t i c a ls o l u 6 蛐，r a y l e i 业w a v e 北京交通大学硕士学位论文 1 1 研究背景 第一章绪论 伴随着我国经济建设的迅速发展，以及西部大开发战略的实施， 将会有更多的建设项目在我国的西部进行：由于我国西部多数地处山 区，局部场地条件很复杂，建设项目难以避免这种复杂的局部场地情 况，同时很多地区位于高烈度地震区。这种复杂场地对地震波的放大 作用及其地震反应分析一直受地震工程和岩土地震工程界瞩目。所 以，对局部场地的研究显的尤为重要，本文将对瑞雷波入射到复杂场 地的情况进行一系列研究。 场地反应问题作为地震工程学中的两大类波动问题之一，主要是 研究局部场地条件对地震波传播的影响。本文所指的复杂的场地主要 考虑局部地质构造变化的影响( 它包括竖向变化与水平向变化) ，如 存在单层沉积河谷、充水河谷、层状河谷等等情况。局部场地条件对 域震波的传播影响很大，从而可能引起地震地面运动产生较大的放大 或缩小，以及震害分布区域化，这已经被大量的震害所证实。当今世 晃上，由于复杂局部场地条件影响而遭受巨大损失的地区当数墨西哥 城( s i n 曲，m e n a 和c a s t r o ，1 9 8 8 ) ：1 9 8 5 年9 月1 9 日距墨西哥城4 0 0 公里以外的墨指根洲的海岸发生m s = 8 1 级的地震，墨西哥城遭受到严 重破坏，其震害程度不仅极大地超过周围地区，而且比震中区还严重。 这主要是由于该城局部地质构造的影响而造成的；墨西哥城坐落在一 个很深的盆形软粘土层上。长周期地震波和横向非均匀软土的相互作 用造成了长周期结构物的严重破坏。1 9 8 8 年云南澜沧耿马地震( 孙 北京交通大学硕士学位论文 平善，陈达生等，1 9 8 9 ) 中，处于柔软沉积盆地中的房屋建筑震害普 遍严重，此盆地中的烈度比盆地周围地区的烈度高2 度左右。1 9 7 6 年 唐山地震( 佟恩宠等，1 9 8 4 ) 中，在瓮地地区出现了许多的震害异常 区，这些盆地地区的震害分布特点是从盆地边缘到盆地中心房屋倒塌 率高，并在盆地中心形成了一个震害异常区。实测地震记录和理论分 析都表明，震害较重的场地，多为复杂局部场地，其地震动比平坦场 地大。这说明复杂局部场地条件对地震动的影响不容忽视。 研究局部复杂场地反应一方面是为已发生地震的地面运动的局部 放大或缩小以及空间变化等做出理论上的解释，另一方面是对将来地 震发生的时候，地面运动特征进行预测。此外对于大跨结构物的地震 反应，以及土与结构动力相互作用问题的研究中，场地反应的研究也 是前提。由此可见，无论从理论分析或从工程应用上来说，复杂局部 场地动力反应的求解都是一项重要的研究课题。 1 2 研究现状 在过去的三十多年来，无论在国内还是国外对局部地形对地震波 的散射影响进行了大量的研究，取得了丰颈的成果，建立了可用于一 些实际场地和地形分析的数学模型以及分析局部地形和地质构造对 地震动的影响的方法。极大地推动了复杂场地地震动的研究工作。 1 2 1 理论分析方法 研究复杂局部场地地震动的方法总体上分为两大类：理论分析方 法和模型试验方法。理论分析方法也可以称为数学方法，它通过对描 北京交通大学硕士学位论文 述问题机理的数学模型的计算分析来研究问题。而模型试验方法是一 种物理方法，它通过对物理模型的试验分析来研究问题。理论分析方 法又可以分为解析方法和数值方法。 解析方法是最早用于研究波传播问题的方法，例如分类变量法， 积分变换法、复交函数法、波爵数展开法等。它适用于研究均匀、线 弹性介质中的波传播问题。在非均匀介质内波动问题的研究中，由于 实际的介质力学模型的复杂性，很难用解析方法分析。不规则地形和 地质构造对地震波的散射问题，可以查到的解析解为数有限，它们有： 平面s l l 波入射下二维半圆形凹陷场地( t r i f u n a c ，1 9 7 3 ) 和平面s h 波入射下二维半圆形沉积河谷场地( t r i f u n a c ，1 9 7 1 ) 、平面s h 波入 射下二维半椭圆形凹陷场地( w o n g 和t r i f u n a c ，1 9 7 4 a ) 和平面s h 波入射下二维半椭圆形沉积河谷场地( w o n g 和t r i f u n a c ，1 9 7 4 b ) ， 平面s i l 波入射下二维圆弧形凹陷场地( y u a n 和l i a o ，1 9 9 5 ) 和平面 s h 波入射下二维圆弧形沉积河谷场地( t o d o v s k a 和l e e ，1 9 9 1 ) ； 平面p 波入射下二维圆弧形凹陷场地( c a o 和l e e ，1 9 9 0 ) ，平面s v 波入射下二维圆弧形凹谷场地( l e e 和c a o ，1 9 8 9 ) ，平面r a y l e i g h 波入射下二维圆弧形凹陷场地( t o d o r o v s k a 和l e e ，1 9 9 0 ) ，圆弧形 沉积河谷场地在平面p 波入射下的响应( 梁建文等，2 0 0 1 a ) ，圆弧形 层状沉积河谷地对入射平面p 波的散射解析解( 梁建文等，2 0 0 l b ) ； 三维半球形凹陷场地( l e e ，1 9 8 2 ) 和三维半球形沉积谷( l e e ，1 9 8 4 ) 对s h ，s v 和p 波入射时的散射解析解。饱和土沉积谷场地对平面p 波 的散射( 李伟华，赵成刚2 0 0 3 ) 圆弧形凹陷饱和土场地对平面p 波 散射问题的解答( 李伟华，赵成刚2 0 0 2 ) 饱和土半空闻中圆柱形孔洞 对平面p 波的散射( 李伟华，赵成刚2 0 0 4 ) 饱和土沉积谷场地对平面 3 北京交通大学硕士学位论文 w 波的散射问题的解析解( 李伟华，赵成刚2 0 0 4 ) 三维半球形凹陷饱 和土场地对平面p 波散射问题的解析解( 董俊，赵成刚) 等。 1 2 旃在的问题 随着计算机技术的高速发展以及试验仪器设备和试验手段的不断 完善，分析局部地形和地质构造对地震动的影响的方法得到了长足的 发展，力学模型也日趋完善。愠也存在以下问题有待深入研究： 1 原则上讲，数值法可解决各种复杂场地的动力响应问题。而解析 方法在求解波动问题时受到很大的限制，但是对某些特殊问题求得精 确的解析解仍是十分必要的。因为：( 1 ) 解析法可以定量或定性地分 析问题的本质和物理机制，对特殊地形在地震时场地反应能给出一个 直观的理解和解释，有着数值法无可替代的作用。( 2 ) 解析法可用来 检验数值方法的精度和收敛性。( 3 ) 波动方程的解析解的表达式可进 一步用于不规则边界的情况( t r i f u n a c ，1 9 7 3 ；e e n v a a i r i 和 t r i f u n a c ，1 9 8 8 a ，b ) 。因而为了建立有效的分析方法而将数值方法 和解柝方法结合起来的发展趋势值得重视。在发展数值方法时，必须 注意从解析方法吸取有用的观点、方法和研究结论。 2 到目前为止大多数复杂局部场地对地震动影响的研究中都假定场 地土为单相介质。而实际上场地土是一种由两相或者三相介质组成复 杂介质，尤其是河谷中的沉积层多为饱和土，是一种流固两相介质。 由于两相介质的动力特性远比单相固体介质复杂，因此在局部场地的 地震动特性的研究中把场地土视为单相介质，是一种简化的做法。显 然，采用两相介质模型比采用单相固体介质来研究饱和土的动力反应 更为合理，更能反应实际情况。 4 北京交通大学硕士学位论文 两相饱和多孔介质的动力学理论研究及其应用自b i o t 将连续介 质力学应用于流体饱和多孔介质这一两相材料体系，建立流体饱和多 孔介质波传播理论以来，已经成为岩土工程、地震工程、工程振动以 及地球物理等科学领域中的重要研究课题，并成为土动力学与岩地 震工程的重要分支( 赵成刚等，1 9 9 8 ；黄茂松等，2 0 0 2 ) 。但对于两 相饱和多孔介质中弹性波在曲面上的折射与散射的研究目前尚不多 见( 徐长节等，1 9 9 7 ，1 9 9 8 ；胡亚元等，1 9 9 8 ) 。 3 鉴于实际的工程场地和地震波场的复杂性，复杂局部场地条件对 地震动的影响因素是多方面的。目蘸理论分析中一般常考虑局部场地 的几何形状，如不同介质区的交界面、地表地形：介质的质量密度、 阻尼比；波动的传播速度、频率、介质刚度比等几种因素的影响。 1 3 本论文的研究目标 目前，用两相饱和多孔介质b i o t ( 1 9 5 6 ) 动力方程分析复杂的局部 场地或局部不规则场地问题仅限于p 波和w 波，对两相饱和介质条件 下的瑞雷波入射到复杂场地蛇情况还没有涉及到，瑞雷波是一种常见 的界面弹性波，是沿半无限弹性介质自由表面传播的偏振波。由l 瑞雷于1 8 8 7 年首先指出其存在而得名。地震学中称其为r 波或l 波。 在表层附近，质点的运动轨迹为椭圆；在离表面为o _ 2 个波长的深度 以下，其运动轨迹仍为椭圆，但运动方向与表层相反。在自由表面上， 质点沿表面法向的位移约为切向的1 5 倍。瑞雷波的波速与频率无关， 只与介质的弹性常数有关，为同介质中横波波速的o 8 6 2 o 9 5 5 倍。 在震中附近，不出现瑞雷波。从震源射出的纵波在离震源距离 为臼危砒? 碟后才形成瑞雷波。由震源射出的横波在离震源距离为 北京交通大学硕十学位论文 。r 愚疆r 西后才形成瑞雷波。其中c l 为瑞雷波波速； 为震源深度； c l 、c ：分别为纵波和横波波速。瑞雷波沿二维自由表面扩展，在距波 源较远处，其摧毁力比沿空问各方向扩展的纵波和横波大得多，因而 它是地震学中的主要研究对象。 1 3 1 含饱和土的复杂局部场地地震波散射闯题的解析解 本文将在b i o t 饱和多孔介质动力学理论的基础上，利用 f o u r i e r - b e s s e l 级数展开法，得到下列各种情况下地震波散射问题的 解析解：( 1 ) 具有饱和土沉积层的沉积谷场地对平面瑞雷波散射闯题 的解析解：( 2 ) 具有饱和土的充水河谷场地对平面瑞雷波散射问题的 解析解：( 3 ) 具有饱和土沉积层的层状谷地对平面瑞雷波的散射的解 析解。 1 3 2 影响含饱和土的复杂局部场地地震动的因素研究 在解析解的基础上，给出算例，从硪究具有两相饱和介质沉积层 的复杂局部场地的地震动特性的本质和物理机制的入手，定性和定量 地研究入射波的波长，河谷的几何形状，沉积层的材料性质等因素对 考虑两相饱和多孔介质情况下复杂的局部场地地震动特性的影响。找 出考虑两相饱和多孔介质情况下影响复杂局部场地条件地震响应的 主要因素。 1 4 本文研究内容 北京交通大学硕十学位论文 本文共分五章，研究了含饱和土的复杂局部场地瑞雷波散射问题 的解析解。 第一章绪论介绍了论文的背景和现状；第二章中重点介绍了饱和 土中弹性波的基本理论，讨论了建立解析解法将要使用的数学工具， 圆柱坐标系下的波函数的展开以及g r a f 加法公式；第三、四、五章 分别给出了具有饱和土沉积层的沉积谷场地对平面瑞雷波散射问题 的解析解、具有饱和土沉积层的充水河谷对平面瑞雷波散射问题的解 柝解，具有两相饱和多孔介质沉积层的层状谷地对平面瑞雷波的散射 的解析解，并给出了数值计算结果，分析研究了影响含饱和土的复杂 局部场地地震地面运动的因素；最后给出结论与展望。 7 北京交通大学硕士学位论文 第二章饱和土中弹性波的基本理论及波函数展开方法 b i o t 于1 9 5 6 年建立了流体饱和多孔介质的动力方程，为以后有 关流体饱和多孔介质的波动理论的研究奠定了基础。b i o t 理论的实质 是将连续介质力学应用予流体饱和多孔介质这一两相材料体系，并分 别考虑了流体和固体骨架的应力应变关系及其运动。根据b i o t 理论， 流体饱和多孔介质在动荷载扰动下，会产生三种波：两种压缩波( 第 一压缩波p 。波和第二压缩波p 波) 和一种剪切波，每一种波都涉及 到固相和液相的耦合运动。第一压缩波和剪切波与单相弹性介质的压 缩波和剪切波类似，能量耗散小，波幅几乎没有衰减，在离扰动源很 远的地方仍能观测到，与之相反，第二压缩波固相与液相异相运动， 为耗散型波，波幅衰减快，只有在扰动源附近或不均匀界面散射时的 界面附近才能观测到。p l o n a ( 1 9 8 0 ) 通过试验验证了第二压缩波的 存在，从而证明了b i o t 动力理论的科学与合理性。 继b i o t 之后，国内外许多学者从不同角度对该问题进行过研究 ( 详见赵成刚，1 9 9 8 ) ，一些学者还采用基于热力学公理的混台物理 论来研究流体饱和多孔介质中的波( h s i e h 稷y e 臀，1 9 7 3 ；b 明e n ，1 9 7 8 ； p r e y o s t ，1 9 8 0 等) ，给出了与b i o t 理论一致的的动力方程( m e i 和 f o c a ，1 9 8 l ；李亮和赵成刚，2 0 0 3 ) ，实际上所有的这些研究都在一 定程度上证实了b i o t 理论的正确性，并促进了它的应用。目前b i o t 理论已被广泛的应用于分析流体饱和多孔介质中波的传播、透射与反 射以及动力分析等问题。本章将b i o t 流体饱和多孔介质的动力理论 以及波函数展开方法做简要的介绍。 北京交通大学硕士学位论文 2 1 流体饱和多孔介质中弹性波的基本方程及其解 2 1 1 流体饱和多孔介质的应力应变关系 考虑一流体饱和多孔介质( 由固体和流体组成) 系统，其体积以 单位体积的立方体代表。将应力张量分成两部分：一部分是作用在该 立方体每一面的固体骨架部分的应力张量 巨至 另一部分是该立方体每一面上的流体部分的应力张量 ( 2 一1 ) 沪z ， 其中：口一一印。刀为流体饱和多孔奔质的孔隙率：p 为作用于单位体 ( 2 3 ) 惭m陬盼 o o o o o o 拼 o o o o o 埘o o o o o 埘o o o 口o 曰0 o 0 p 口0 o 0 p a 0 o o o 胪m m 尬m m m 研k d b 耻k 北京交通大学硕十学位论文 式中k ，嘞，r 。，k 和z 。为固体骨架应力；r 。，r ，。，y f ， r 。和r 。为固体骨架应变，s 为孔隙流体的体应变；一，m 尸p 和曰均 为流体饱和多孔介质的弹性常数( 尸= 卅2 忉。 2 1 2 波动方程 为建立流体饱和多孔介质的动力方程，b i o t 理论假定： ( 1 ) 土骨架是理想弹性多孔连续介质，土颗粒可压缩； ( 2 ) 孔隙水可压缩，在土中流动服从广义d a r c y ( 达西) 定律： ( 3 ) 土体具有统计各向同性且均匀，其孔隙相互连通： ( 4 ) 孔隙尺寸远小于波长： ( 5 ) 不计温度等因素影响。 根据上述假定及应力应变关系，流体饱和多孔介质的动力平衡方程 可以表示为： v 2 口+ 啪+ k + 外( 所t 害z 害m 等一警) e z 咄， v 妇+ 叫。( 见z 軎+ 勉害) - 6 ( 詈一詈) c z a n ， 式中n ，；p 。和p 。为动力质量系数，且 p l l = ( 1 一疗) 风+ p 4 ( 2 5 a ) p 镜。n p f + p 4 ( 2 5 b ) 北京交通大学硕士学位论文 n 2 = 一岛 ( 2 5 c ) 盯和扩分别为固体骨架和孔隙流体的位移向量；e 和s 分别为固体骨架 和孔隙流体的体积应变，e = d f v ，一枷；以和p ，分别为固体 骨架和孔隙流体的质量密度；成为描述流固两相耦合的附加质量密 度；厶为与渗流有关的系数，6 一卵，1 2 肚( 口为流体的绝对粘度，疗为 孔隙率，五为渗透系数) 。 2 1 3 波动方程的解 因为介质具有统计各向同性，压缩波和剪切波是不耦合的，他们 遵循独立的传播方程。由矢量分析理论可知，斯托克斯( s t o k e s ) 一 亥姆霍兹( h e l m h 0 1 t z ) 矢量分解定理为：任何一个足够平滑的矢量 场可以分解为无旋场和无散场两部分。由此固体骨架和孔隙流体的位 移矢量可以分解为 盯= g r a d 谚+ c u r l 妒 ( 2 6 8 ) 扩= g r a d 巾+ c u r l v ( 2 6 b ) 式中妒和妒分鄹为固体骨架部分的标量势函数和矢量势函数；垂和v 分别为流体部分的标量势函数和矢量势函数。 将式( 2 6 ) 代入式( 2 4 ) ，整理得到 ( 2 7 ) 娜 m 似 静 a一打a一打 曲 加一护知一舻 加 勉 + + 螂珈万 阳 纯 - i 呻 坤 凹 胛 + + ，誓 胛 卯 北京交通大学硕士学位论文 i 胛知咖鲁恤睾音静川) l 。呲睾慨睾曲知一哪 ( 2 _ 8 ) 妒。k ，y ，z k 。“，中。m k ，z k 一“ ( 2 9 a ) f ，兰妒b ，y ，z k 一“，譬一孽k _ y ，z k 一甜 ( 2 9 b ) 占v 十埘切孙+ 4 c v ；o( 2 1 0 ) 式中：占- j 璃一口2 ，c - n 一+ p 2 ，一2 n 2 口，d i 1 p 丝一p 矗 ( v 2 十磋j 蚺= o ( 户l ，2 ) ( 2 一1 1 ) k 4 杀泸1 ，2 ) ( 2 _ 1 2 为p 波波数，且 北京交通大学硕士学位论文 为p 波波速。 z 焉 ( 2 1 3 ) 从式( 2 一1 1 ) 中可以明显地看出，在流体饱和多孔介质中存在两 种p 波。固体骨架部分的p 波势函数可以写为 庐一九+ 屯 ( 2 一1 4 ) 为确定流体部分p 波的势函数，把( 2 9 a ) 代入到式( 2 7 ) ，还可以 得到如下关系 m = 西1 + m 2 ；m 卉+ ，7 九 ( 2 一1 5 ) 其中 旷丝笔掣( 户l r 2 )( 2 _ 1 6 )灯f = ；一( 7 = 1 z ， ( z l nj n 2 r p 胡。 、 把式( 2 9 b ) 代入式( 2 8 ) 中，并消去掣，可以得到固体骨架的s 波方程 其中： 2 + 瑶渺- o t 。旦( 户1 ，2 ) 9 吃 l3 ( 2 1 7 ) ( 2 一1 8 ) 北京交通大学硕士学位论文 为s 波波数，且 k = ( 2 1 9 ) 为s 波波速。同理，把式( 2 9 b ) 代入式( 2 8 ) 中可以得到流体 部分s 波的势函数： 其中 一御 啦：一盟 p 2 2 ( 2 2 0 ) ( 2 2 1 ) 2 2 流体饱和多孔介质中势函数、位移和应力关系 前面给出了流体饱和多孔介质的固体骨架和流体部分位移的势函 数表达以及应力应变关系，本节将在此基础上，针对平面应变问题， 进一步推导出位移和应力分别在直角坐标系和圆柱坐标系下的势函 数表达式。 2 2 1 直角坐标 由式( 2 6 ) 可以得到在直 14 北京交通人学硕士学位论文 ”妻阱 圹薯+ ( 警) 以，套一( 詈) 驴套+ ( 詈) ( 2 2 2 a ) 已知位移，就可以通过位移与各应变分量的几何关系得到各应变 分量的势函数表示，进面由应力应变关系，可以求得各应力分量的势 函数表示 啊2 水帼阶哮h 割 k 。渺喁州割一叫剖 妒洲针睁割 d 罗( q r 扣2 ， 钉 。 2 2 2 圆柱坐标 ( 2 2 4 b ) ( 2 2 4 c ) ( 2 2 5 ) 按照直角坐标与圆柱坐标系的变换关系，便可得到在圆柱坐标下 北京交通大学硕士学位论文 套+ 持) 驴孔刳一 坼。砉+ 手( 署) 2 孔鲁) 一( 詈) ”渺啦1 剀叫喜( 渤 嘞。套卜q 扣+ 孚( 誓+ 鲁】一埘砖( 等) 】 口。荟月扣锄 ( 2 2 9 ) 本篇以后的各章中都将用到以上的应力、位移与势函数的关系， 为了节省篇幅，我们在这里做统一的说明，在以后的各章中将不再赘 述。 “吖 嚏簟 b a 一押 上， 吖 ：i 嘶石 土产 堕枷1 一r ，研0 垃 ：譬角 北京交通大学硕士学位论文 2 3b i o t 理论的有效性 b i o t 理论是以连续介质力学理论为基础，假定材料是线弹性的。 然而，由于多孔材料的固体颗粒和孔隙之间是不连续的，所以连续介 质力学的宏观规律往往是不适用的。例如，当入射波长小到可以“感 觉到”孔隙的存在时，就会在孔隙表面形成散射，这样，b i o t 理论就 不适用了。孔隙流体服从广义阮r c y 定律是b i o t 理论的又一个假定， 如果入射波频率高于某一频率正时，流体在孔隙中的相对运动不属于 p o i s 叫i l l e 型流动。b i o t ( 1 9 5 6 ) 指出这一凝率与流体的运动粘滞系 数和孔隙的大小有关 曼 ( 2 3 0 ) 五。孑 。” 式中d 为孔隙直径；r 为孔隙流体的动粘滞度。当孔隙流体是水时f 1 3 1 0 一督s ，当庐1 0 一铀时，f = 1 0 4 h z ；当士2 l o 姗时，f = 2 5 h z 。 2 垂圆柱坐标及圆柱坐标系下波函数的展开 2 4 1 圆柱坐标 对圆柱坐标信，叩，z ) 而言，笛卡儿坐标( 五只z ) 与( 孝，叩，z ) 的变 换关系和度量因子如下： 变换关系 工+ 炒p + ” ( 2 3 1 a ) 北京交通大学硕士学位论文 度量因予 x 皇e 宇c o s 叩) ，= e 亭s i n 叩 z=z g 薛一g 口”一e ；吕口= l ( 2 3 2 ) 如设 - l n ，h 口，则可以得到我们所熟悉的变换关系和度量因子 上= ，c o s 口 ) _ ，s i n 口 z-z g ”= 1 ，g 册一，g ；1 在匮柱坐标系中，对各种不同的矢量微分算子有如下方程 ( 2 3 3 ) ( 2 3 4 ) v ，- + 詈珈+ 誓 c 。娟， v f 。掣+ 冬+ 拿 ( 2 _ 3 6 ) r a r，a 口把 、一 一糟一掣h 誓一钟+ 烈掣一针：， r la 口 赴 i l 七静i 。ri a r a 口i 。 v 2 ， 导p 争+ 嘉+ 軎 c z s s ， 2 4 2 圆柱坐标系下波函数的展开 本篇以后讨论的均是在圆柱坐标系下的平面应变问题，由此式( 2 9 ) 转化为 ( r ，日k 一“ ， 西；垂( r ，学k 一“ ( 2 3 9 ) j 京交通失学疆七擎链浚文 妒省1 ；c ，( ，睁一科 ， 掣燃v ( r ，8 k 一研 ( 2 4 0 ) 下蘸爨致波熬波貔方程 2 + 磕娩* o ( 2 4 1 ) 为镄，薄弱拄璧辕篆下渡瑟数瓣装嚣终鼓麓燮熬穷绍。 把戏( 2 3 8 ) 代入( 2 4 1 ) 中，得到 吾軎( ，爿幸奈+ 一。 e z 吨， 用分离变量法，取魂( ，- r ( r ) o 妒) ，则式( 2 4 2 ) 分蕊为 ，2 露8 十斌+ 驻0 2 一v 2 豫= 6 ( 2 4 3 ) 0 ”+ y 2 9 ，o( 2 4 4 ) 其牵v 为分离常数。漱予兔是单值涵数，医照8 妒) 应该是酸2 一海爨麓 的周期函数，这就决定了v 只能为镣数，即v 一一。此时方程( 2 4 3 ) 翡逶瓣霹努黎表暴兔繁一褰第二类妞夔数j 。 j ，窝k 魄力，蕺 第一和镲二类h a n k e l 函数h 啦，1 和h 乎佧。，) 的组合，即 显9 ) * 蠢# ，。瓯f ) + 魄转醛r ) ( 2 4 5 ) 或 显9 ，五嚣蕊。j r ) + 藏榉p k ，) ( 2 4 6 ) 式中 。以，五和瓯为任意恒量。具体选择那组解，即选择那一 北京交通大学硕士学位论文 种类型的b e s s e l 函数取决于问题的物理性质。方程( 2 4 4 ) 的通解 为 o ( 口) 兰c ic o s 甩p + d ks i n n 口 ( 2 4 7 ) 式中c 和以为任意恒量。因此势函数 的解可以表示为如下函数的叠 加 ，( ，p ) 。薹b n ，n ( t n j r ) + 口n k ( 1 t j r ) l c 二a b 月口+ j 。i s i i i n 口) ( 2 4 8 ) 或 “咖) = 扣爿r ) + 酗 2 ) 心r ) l c 拶小叫) ( 2 删) 在上面的推导中略去了时间项e 。“，在本篇以后的论述中均略去此项。 由上可见，稳态波的势函数解答可以由以分离变量法得到的函数 j 。啦，) 和呶，) 或哪o ，l r ) 和一盹，) 以及c 口和s i n 口的组台构 成，这种方法构成了波函数展开法的基磕。 2 5g r a f 加法公式 本节将本文中多次用到的g r a f 公式的基本形式作一简要的介绍， 具体的推导过程可参阅相关的参考文献。 如图2 2 所示，图中各量的关系为 z 一c o s z - 石c o s 妒 ( 2 5 0 ) s i n z 一面s i n 妒 ( 2 5 1 ) j 索交懑大学疆学挝谂文 当矿一o 时妒一0 ，从而我们有 。f 妨倚茹 。：娶”留y m 妒) ；盖茹 e z s z ， 式( 2 5 2 ) 称为g r a f 加法公式( w a t s o n ，1 9 6 2 ) 。当g 取j 。o ) 时 藿2 2 秘_ 薯f 翱法公式在建域主熬交换 此式恒成立；当g ( 耐敬月p 时则在缈t z 时成立，即适用与图( 2 2 ) 所示的以? 为半径的灏内壤。 式( 2 5 2 ) 可畿接应用于蕊2 2 所示域始内两个圆校坐标系 ( ，1 ，岛) 和( ，口) 之间的变换，q 为以。为圆心h 为半径的区域，令 石- t ，妒- 耳一嚷， z - 矗， 描， z - 8 ( 2 5 3 ) 由图2 2 中的嫩标关系，式( 2 5 0 ) ( 2 5 1 ) 恒满足，将式( 2 5 3 ) 入( 2 5 2 ) 有 2l 北京交通大学硕十学位论文 篇卜妒c r ) = c z 叫， 当c 。扛) 取i ，。时此式恒成立；当c 。 ) 取日? 缸) 时在q 域内成立。 式( 2 5 4 ) 可以进一步写为 巳c q ， ：篡 斗矿薹等州r ) 齄黑孓：乏：冀妊= c z s s ， 特别地，当e 为h j l 0 ) 时 鲋篇卜r 聚叫蟋黑孓勰! ：缸 c z 娟， 式中当门= 0 时= l ；当月l 时e = 2 。 2 6 小结 本章把b i o t 流体饱和多孔介质的动力理论以及求解本文散射问 题所用的数学处理方法做了必要的介绍，包括流体饱和多孔介质波动 方程的建立、方程的基本解、理论的有效性等。同时讨论了圆柱坐标 系下波函数展开方法的理论要点，并且还对在推导过程中多次用到的 g r a f 加法公式做了说明。为后面的研究奠定了理论基础。 北京交通大学硕士学位论文 第三章饱和土沉积谷场地对平面瑞雷波散射 在局部场地条件对地震地面运动影响的分析中，对沉积谷的研究 是一个较为引人注目的课题，但是由于波动问题的复杂性，关于沉积 盆地对波散射问题的解析解非常有限，且大多数针对s h 波，而对于p 波和s v 波入射问题只有近几年才给出一些解析解，李伟华( 2 0 0 3 ) 利用f o u r i e r b e s s e l 级数展开法给出了圆弧形沉积谷场地对平面p 波及卯波散射问题自嗵似级数解答，本章将给出瑞雷波入射的解。 3 1 波场模型 模型如图3 1 所示，为一镶嵌在半空间的圆弧形沉积河谷，采 用的直角坐标系( x ，y ) ，( _ ，) ，。) 和柱坐标系( ，q ) 以及地形的尺寸参数 均示于图中。圆弧界面的半宽度和深度分别为a 和矗，圆心在n 点， 半径为a l ，圆心到半空间表丽的距离为反河谷沉积层为流体饱和多 孔介质。半空间介质为单相弹性介质。单相弹性介质的材料参数由 l a m e 常数a ，口以及质量密度p 确定。对于平面应变闯题，在平面内 单相弹性介质中存在p 波和s v 波两种波，设入射波为瑞雷波： d j 箝：。 沉积层 o 半空间介质 v 图3 一l场地模型 23 北京交适人学硕士学位论文 妒8 ( z ，y ) = 4e x p ( 石一心y ) 一j 功f 】 妒8 ( 工，y ) = 曰；e x p 【( f 七z 工一，) ，) 一i f 】 ( 3 一1 ) 其波长为如= 2 州t 。，七r ，叫为瑞雷波数，f 表示虚数单位，f 为时间 坐标。 这里，- j 虿j i ，一j 虿i i ，在下面的分析中将时间因子略去， 上式简化为 矿o ，y ) 一4 唧成一一y ) 】 缈8 ( y ) = 尽e x p ( 腩一一y ) ( 3 2 ) 由坐标之间的关系 y ：嚣d ，群：兰种刚矧极坐标下的表斌 矿“，岛) t 4e x p ( 呶s 缸q 一c 晦嘎一匕 ) 妒。以，嚷) ；羼e 帮扣矾s 妯q 一s b 一唯1 1 ) ( 3 3 ) 由于瑞雷波是表面波，其自身已经满足应力边界自由条件，在半 空间不会有反射波产生。直角坐标系下，以波势函数表达的应力求解 公式如下： 协) 2 a v 2 庐+ 2 f 2 塑 i 缸妙 24 ( 3 4 ) 盟叻堕如 塑西堕西 北京交通大学硕士学位论文 将自由场的瑞雷波表达式代入上式，由边界条件 阱 0 可以得到如下的关系式： 忙鬻 ( 3 5 ) ( 3 6 ) k ，厚一嘟 ( s 卅 此外，由单相介质中r a y l e i g h 方程： 阻4 痒露 ( 3 8 ) 其中c r 、t 、c 。分别表示r a y l e i g h 波及其s 波、p 波的波速。由一 般情形下与泊松比，有关，此处设场地为泊松体，即r o 2 5 ，由 以上r a y l e i 曲方程可得： = 3 2 边界条件 。一o 9 1 9 4 c ； ( 3 9 ) 问题的边界条件为半空间和沉积层表面的自由边界条件以及沉 积层与半空间交界面的连续条件。半空间为单相弹性介质，其表面的 自由边界条件为零应力边界条件： t 京交通大学硕士学位论文 当) ，= o 时，= 嗉一o ( 3 一l o a ) 沉积层为流体饱和多孔介质，假定表面透水，则沉积层表面的边界条 件为： 当y o 时略= 一矿，o ( 3 一l o b ) 上标s ，v 分别表示半空间和沉积层。 设半空间的弹性土层和沉积层交界面完全连接，列交界面连续条 件可表示为( d e r e s i e w i c z ，1 9 6 3 和h a j r a ，1 9 8 2 ) ： ( 1 ) 沉积层的流体饱和多孔介质的固体骨架部分的法向位移与半空 间的单相弹性介质的法向位移连续，即： 当一口。时，“：= “； ( 3 1 l a ) ( 2 ) 沉积层的流体饱和多孔介质的固体骨架部分的切向位移与半空 闯的单相弹性介质的切向位移连续，即： 当一吒时，：- “； ( 3 一l l b ) ( 3 ) 沉积层的流体饱和多孔介质的固体骨架部分的法向应力和流体 部分的应力之和与半空间的单相弹性介质的法向应力连续，即： 当一口l 时，+ ，；， ( 3 一h c ) ( 4 ) 沉积层的流体饱和多孔介质的固体骨架部分的切向应力与半空 间的单相弹性介质的切向应力连续，即： 当一口l 时，喝- 喝 ( 3 一1 1 d ) 北京交通大学硕士学位论文 另外，还需要补充一个界面透水条件； 当界面不透水时流体饱和多孔介质中流体的法向相对位移为零，即： 当；口。时，；一畔= o 当界面透水时，流体饱和多孔介质中流体部分的应力为零，即： 当一吒时，d ”一0 。 3 3 场地中的波场分析 3 3 1 自由场波函数的级数展开 r a y l e i g h 波的性质与s v 波在大于临界角入射的情况下产生反射 p 波相似，是沿y = 0 表面传播的纵向面波，其在半空间中其幅值随y 轴坐标的增加呈指数级衰减而趋于零，因此可以按照文献。“中那样展 开成如下的级数形式： 矿瓴，6 i ) = 蔓：) 如s n q + s m 鸣) 篇 妒g ，q ) 2 弘蚧艮由码+ 风o d s 鹏) 3 1 2 式中，。( 七。) ，j 。职。 ) 为第一类b e s s c l 函数。 对于给定的( 如 = 口。) 有 北京交遁大学硕十学位论文 锄咄= 掣 爿q 一= 了三：兰去了以；，一。，其中 = 姑 4 一( ) ；专善妒4 ( - ，詈) 。s ( 警”) 。刀。， ) 专h 罟竹) d 。，。一d 0 - 掣 。m 一了：茇黔n 。，。一- ，其中， b 。h ) l 0 4 。币瓦石 ( ) 薯 ( ) 昌 3 3 2 半空间内散射波场 o = 0 一) 当存在沉积谷时，会因沉积谷的存在在 半空闯内产生散射波。这里我们采用一个半径 为口：，圆心在d 2 点的圆弧来模拟半空间表面。 ( 右图为引入大圆弧假定后的波场模型) 引入大圆弧假定后，半空间内散射波场 、tj、，t， 尼 库 耐一莉一 ，弋t 幽 、l，、lii， 耐一耐一 卜0 r 月 妒 缈 m 善m 善 ，一，一 一 t i j 刈i i 上 北京交通大学硕士学位论文 有：由于沉积交界面存在产生的p 波霞。( _ ，q ) 和s v 波妒，。( _ ，岛) 和由于 大圆弧近似假定而产生的散射p 波识：“，q ) 和s v 波哦：“，q ) 。它们的 f o u r i e r b e s s e l 级数形式如下： 丸1 ( ，l ，以) - 罗日。m ( t ，。1 x 4 ：& c o s n 日1 + b ! s i n n 曲) 岛