（计算数学专业论文）与moorepenrose逆相关的加权svd、条件数以及扰动界.pdf

复旦大学硕士毕业论文 摘要 众所周知，相对条件数衡量着矩阵的逆以及线性系统的最小二乘解对扰动的敏感性， 因此在数值计算一个矩阵的逆以及线性系统的最小二乘解的时候，条件数显得非常重要。 在文章的开始，先介绍矩阵的加权m o o r e - p e n r o s e 逆和加权条件数的定义，接着给出了加权 的广义奇异值分解和其在t i k h o n o v 正则化中的应用，然后讨论了有关奇异矩阵( 包含一般 矩阵和结构化的矩阵) 、奇异线性系统a x = b 的加权条件数以及与秩亏损有关的距离。设 线性系统a $ = b 的加权最小二乘解即m i n x 怕。一b l l m 的解x ，在实际计算中，由于存在误 差，我们得到的只是m i f f ( a + e ) y 一( 6 + f ) l i m 的解y 为确定我们计算得到的y 是否符合 实际要求，对ir y 一。的误差界的计算显得尤其重要。文章的最后给出了线性系统a z = b 在假设条件r a n k ( a + e ) = r a n k ( a ) 的下误差解。 关键词：条件数；加权的m o o r e - p e n r o s e 逆；加权的最小二乘问题；扰动分析 复旦大学硕士毕业论文 2 a b s t r a c t i ti sw e l lk n o w nt h a tt h en o r m w i s er e l a t i v ec o n d i t i o nn u m b e r sm e a s u r et h e s e n s i t i v i t yo fm a t r i x i n v e r s i o na n dt h es o l u t i o no fn o n s i n g u l a rl i n e a rs y s t e m s a tf i r s t ，w eg i v et h ed e f i n i t i o no fm o o r e p e n r o s ei n v e r s ea n dw e i g h t e dc o n d i t i o nn u m b e r t h e n ，w ed i s c u s st h ew e i g h t e ds i n g u l a rv a l u e d e c o m p o s i t i o nm e t h o d sa n di t sa p p l i c a t i o ni nt i k h o n o vr e g u l a x i z a t i o n i na d d i t i o n ，w ec o n s i d e r t h ew e i g h t e dc o n d i t i o nn u m b e rf o r m u l a so fa r e c t a n g u l a rm a t r i x a n d g i v ee x p l i c i te x p r e s s i o n sf o rt h e w e i g h t e dc o n d i t i o nn u m b e r s o ft h es i n g u l a rl i n e a rs y s t e m sa x = ba n dn e a r n e s st or 础d e f i c i e n c y a sw ek n o w ，t h ec o m p u t e dw e i g h t e dl e a s ts q u a r e ss o l u t i o nxo fm j n 。j j 以z 一划m ，i nt h ep r e s e n c e o ft h er o u n d o f fe r r o r ，s a t i s f i e st h ep e r t u r b e de q u a t i o nm i 珊i i ( a + e ) y 一( b + f ) l l m f i n a l l y ，a n u p p e rb o u n d o fj i 一z j | i sd e r i v e df o rt h ec a , s ew h e r et h ew e i g h t e dm a t r i xa n dv e c t o rn o r m sa n d t h ea s s u m p t i o nr a n k ( a + e ) ：r a n k ( a ) a r eu s e d k e y w o r d s ：c o n d i t i o nn u m b e r ；w e i g h t e dm o o r e - p e n r o s ei n v e r s e ；w e i g h t e dl i n e a rl e a s ts q u a r e s p r o b l e m ；p e r t u r b a t i o n 第一章背景知识 1 1 加权m o o r e p e n r o s e 逆 首先，我们来介绍一下在文章中用到的一些记号：g 4 表示m 维向量空间，c ”“表 示m n 复数矩阵空间；对一个a e ”。“的短阵a ，a h 代表矩阵a 的共轭转置矩阵， r a n k ( a ) 代表矩阵a 的秩，r ( a ) 代表矩阵a 的值域，n ( a ) 代表矩阵a 的零空间， i a i l f 代表矩阵a 的f m b e n i u s 范数；c ，”表示矩阵集c ? “= a c m “l r a n k ( a ) = r ) ；i 代表单位矩阵；范数”l i 代表范数 1 1 2 ；a o ) ，f c ”，ge 嘭”，则 a 矗= n 一1 g 日( f 日m a n _ 1 g 日) 一1 f 日m 性质1 1 3 ( 1 )( a + b ) 齐= a 书+ b 社，a ，b c “。” ( 2 )( a b ) 孝= b 带a 榉，a c ”“，b c “。p ( 3 )( a # ) 孝= a ，a c “ ( 4 )( a 孝) - 1 = ( a - 1 ) 孝，a 四“ 下面将引入加权范数的定义。首先我们在e “和c “定义加权内积为 ( g ，) m = y h m x ，z ，y c ” 由此定义加权向量范数 i i x l i m = ( z ，z ) 珏= i i x l l ：，。c ”( 13 ) 1 1 分l i _ = ( 誊，) 斋= i i n y l l 2 ，y c ”( 1 4 ) 当( z ，g ) m = 0 时，称x 和y 是m 正交的，即m i l z 和m y 正交。这时易证加权勾股定理 成立： lj z + i i 盈= i i z i i + l | | f ，z ，y c “ 下面定义加权矩阵范数，它们是属于加权向量范数的算子范数。 | | a i i m = 州m i a x = 1 | | 4 z l f m ， a c m 。“，z c “，( 1 _ 5 ) f j b l i m = l i 训m i m a x = l j f b 可1 1 _ v ，b e 8 。m ，z c m -( 1 _ 6 ) 当a ，b c ”“且a h m b = i ，我们称a 和b 是m 一正交的 不难证明 i i a i i m j v = r i m a n 一 1 1 2 ，ae c “ ( 17 ) i l s l l _ m = i i n b m 一钏2 ，b c ”。”( 1 ，8 ) 墨旦盔堂亟生些造塞 6 上面的范数都是关于2 一范数的，如果用上f r o b e n i u s 范数，我们可仿照上面的形式给出下 面的定义 j a i l 鼢= h m a n 一1 1 f ，a c ”。n( 1 9 ) r l s l l 鼢= i i n b m 一沁，b c ”。( 11 0 ) 关于加权范数的性质，有下列结论： 性质1 1 4 ( 1 )1 i a x l l a f l i a i i m i t x l i n ，a c “。”，。c “ ( 2 ) i i b y i , ，l i b i m l i v l i m ，b c ”。“，y c ” ( 3 )l i a b i i m msl i a i i m n i i b i i m ，a c ”，b c “” ( 4 )j i a b i i m n j i a i i m , i i b ir n n ，a g “”，b c “ ( 5 )i i a b i m ns i a i i m m i i b i i m n ，a 沪。”，b g “。” ( 6 )f i a i i m n = l i a # i i , m ，a c “ ( 7 )l i a i i = i | a a 社j i m m = l | a 社a l l _ ，a a ”“” 当a 为列或行满秩时，有下列结论： 性质1 1 5 当a 列满秩时，有a 矗= ( a x t m a ) a h m ；当a 行满秩时，有a 荔= 一1 a 日( a n 一1 a 日) 很多实际的科学应用问题f 2 】最后可归结为解一个加权线性最小二乘问题 m i n i l a x 一圳 】l f 一般来讲，当a 奇异时，加权的线性最小二乘问题有无穷多个解，在这种情况下，我们考 虑它的极小n 一范数m 一最小二乘解【1 4 】，下面的定理将表明x + = a 荔b 。 下面将讨论在加权范数意义下，加权广义逆与线性方程组的加权解的关系。 众所周知，非奇异线性方程组 a x = b ，a 谨” 复旦大学硕士毕业论文 有唯一解z = a b 。当a 为长方阵时，相容线性方程组 a x = b ，a c ”，b r ( a )( 1 1 1 ) 有无数个解。不相容线性方程组 a x = b ，a c “”，b 隹r ( a )( 1 1 2 ) 无解，但它有最小二乘解。下面的一些定理将给出加权广义逆与最小二乘解之间的关系。 定理1 1 1 【1 5 设a c ”“，b 咒( a ) ，n 是r t 阶h e r m i t e 正定阵，则x = x b 是相容线 性方程组以1 1 ) 的极小范数解的充要条件是x 满足 ( 1 ) a x a = a ；( 4 n ) ( n x a ) 日= x a( 1 1 3 ) 此定理中满足( 1 1 3 ) 的x 称为极小n - 范数解广义逆，记作x = 4 ( 1 , 4 n ) 。 定理1 1 2 【15 设a c “，b c ”，m 是m 阶h e r m i t e 正定阵，a 1 1 。= x b 是不 相容方程组r j 1 2 ) 的 扛最小二乘解的充要条件是x 满足 ( 1 ) a x a = a ；( 3 m ) ( m a x ) = m a x( 1 1 4 ) 此定理中满足( 1 1 4 ) 的x 称为极小n 范数解广义逆，记作x = 且【1 , 3 m ) 。 定理1 1 3 1 5 】设a c ”“，b c “，m 和分别为m 阶和n 阶h e r m i t e 正定阵，则 x = x b 是不相容方程组“剀的极小n - 范数m - 最小二乘解的充要条件是x = a 荔。 此定理中的x 就是上文提到的加权m o o r e p e n r o s e 逆，又称作极小n 范数m 一最小 二乘解广义逆。 【2 】中指出，可以通过一个简单的变换，把加权最s j 、- _ 乘和加权极小范数问题化为通常 的最小二乘和极小范数问题处理 设a c ”，b c ”，z c ”，m 和n 分别为i l l 阶和1 1 阶h e r m i t e 正定阵，令 a = m a n 一，圣= 卫，6 = m ；b( 11 5 1 容易看出 i l a z 一6 l | m = i i m a z m 6 i i = i l a 童一引i( 1 1 6 ) l i x l l = 蚓i( 11 7 ) 7 复旦大学硕士毕业论文 于是加权最小二乘问题可以转化为通常的最f j 、c 乘问题 u 錾n f l a x 一6 i l ”2n 譬n l l a 士一b l l 因此，存在a 的最小二乘解的广义逆贾，使戈6 是最小二乘解，贾满足 a 。譬a = a ，( a 2 ) 日= a 贾 今设 x ；n 一爻m 则i l z = 圣= 戈5 = n x b ，从而 岔：戈5 z ：x b 类似地 f 11 8 1 f 1 1 9 ) f 12 0 1 f 12 1 1 a x a = a a x a = a ( a 戈) 日= a 贾 ( m a x ) 日= m a x 这说明等价地存在a 的m 一最t j 、c 乘解广义逆x ，使x b 是m 最小二乘解，x 满足 a x a = a ，( m a x ) 日= m a x 这与处理加权最小二乘问题的定理1 1 2 一致，用同样的方法可导出定理1 1 1 和定理1 1 3 在此不再赘述。 1 2 加权条件数的定义 众所周知，相对条件数衡量着矩阵的逆以及线性系统的最小二乘解对扰动的敏感性， 因此在数值计算一个矩阵的逆以及线性系统的最小二乘解的时候，条件数显得非常重要。 下面我们将讨论奇异矩阵的加权条件数，作为文章【4 ，5 】中经典定义的推广，我们在此定义 奇异矩阵的加权的条件数为 舭) _ 鲰s u p 些错萨， (122)iiei m n5 i i a t l m n ”。”。“ 8 复旦大学硕士毕业论文 并且定义线性系统a z = b 的条件数为( 从上文的定理11 3 ，我们将得到a 荔b 是线性系 统a x = b 的极小n 一范数m 一最小二乘解) 一蝴) = i i ms ，u p 必避糕 (1。)ietilm n ! s i i a i t m u “o ”o 。 i i f i i m5e i l b i l m r ( e “) r ( a ”) 更一般地，定义带矩阵c ( g c “) 权和向量g ( g c ”) 权的加权条件数分别为 和 c 雠d g ( 加鲰i k 。世畿篇逝(124)ieii im ns | | g | | m 1 。2 “ r ( e 8 ) r ( a ”) c 。n d g 9 ( a ，6 ) = 洲l i m + s u p i e | | 埘! e i l g l l f m m 茎f i t g l i m r ( e ) r ( a ) r ( e 厅) r ( a “) 出型趔 生业 ( 1 2 5 ) s h a + 圳 ” 在本章的最后，我们给出本文会用到的两个引理。 引理1 2 1 1 4 假设0 p 伊“，p 2 = p = p 孝；则 p l i = 1( 1 ，2 6 ) 引理1 2 2 【1 3 j 假设b = a + e c ”并且，+ a 荔e 可逆，如果r ( e ) r ( a ) 且 r ( e 汀) r ( a 日) ，晁l l b 志= ( ，+ a 盏e ) _ 1 a 矗= a 荔v ( ，+ e a 矗) 一1( 1 2 7 ) 其中最后一个引理贯穿全文，后面有关条件数的章节都是建立在该引理上的，而且定 义式( 1 2 4 ) 和( l 2 5 ) 中的r ( e ) r ( a ) 和r ( e 丑) 垦r ( a h ) 条件也来源于引理。 9 第二章加权奇异值分解及其应用 2 1 加权奇异值分解 下面是一个有关加权s v d 的重要结论，它是由v a nl o a n 6 得出的： 定理2 1 1 假设a c “且r a n k ( a ) = r ，m 和n 分别为m 和n 阶的h e r m i t i a n 正 定矩阵，则存在矩阵u c ”。”，v c “满足关系式u 且m u = i 和y 盯一1 y = ， 并且使得 a = u ( 言：) y 日， c 。， 和a 的加权m o o r e p e n r o s e 逆a 矗可表示成 a 矗= 一1 y ( 1 ：) u 日m ， c z z ， 其中d = d i a g ( # l ，灿2 ，一，胁) ，p 1 p 2 肼 0 以及解是a # a 的非零特征值。 地被称为a 的加权奇异值，并且有 m 2 川a 圳_ m 2 赤 ( 2 3 ) 成立 则有 u = ( u l ，u 。) c ”。”，v = ( v l ， 。) c ”。” a = ：1 m m ，a 玉= n 一1 2 l “f 1 仇u ，m 从( 2 1 ) 式，我们可得出 a a 社u = a 一1 a 甘m u = u ( 乞2 ：) ， c 。a ， 也就是说加权奇异值胁是a a # 相应的特征值九的平方根，所以a 的加权奇异值是唯一 的。 复旦大学硕士毕业论文 从定理2 1 | 1 ，我们可以很容易地得到 a n v i = t z ；啦， i a n - 1 i i m = m ，i = 1 ，r 】 和 珏汀a = p ；口，l l u m a i l 一，= ：p 。，i = 1 ，r 从几何上讲，a 的奇异值分解给出了一组m 一正交标准基向量和一组一正交标准 基向量即分别为矩阵u 和v 的列向量于是在这两组基下，矩阵a 可化为对角的。 下列的( m ，n ) 奇异值的扰动引理在后面的扰动分析中是很有用的 引理2 1 1 【1 4 】假设a ，e c m ”，m ( a ) 和m ( a + e ) 分别代表矩阵a 和a + e 的加 权奇异值，则有 脚( a ) 一i j e l l m _ 茎t a ( a + e ) 纯( a ) + l i e i i n( 2 5 ) 从引理2 1 1 ，我们可以看到在有扰动的情况下，加权奇异值是好条件的：若a 有扰 动e ，则加权范数l i e | l m n 是所有加权奇异值的绝对扰动的上界。 下面我们将给出一个很有用的广义的加权的奇异值分解定理 定理2 1 2 假设a c ”“和工伊“，其中m2 礼p ，则矩阵a 和三广义的加权 奇异值分解的形式如下： a = v ( 言：) x - 1 , l = v c q ，。，x 一1 c 。， 其中矩阵u 和y 满足u h m u = j ，v 日p v = i ，此处矩阵m 是n 阶的h e r m i t i a n 正 定阵，尸是p 阶的h e r m i t i a n 正定阵；x c “是非奇异的；和q 是对角阵： = d i a g ( c r l ，唧) 沪x n 2 q = d i a g ( # l ，脚) 。另外，矩阵和留的对角元素非负 且有大小关系如下 0 盯l o 茎1 ，1 p l 脚 0 ， 而且他们已被标准化即满足 盯；+ p i = l ，i = 1 ，p 矩阵组似，纠的广义的加权奇异值定义为二者之比即 y i = 吼胁，i = 1 ，p 显然他们以递增的j 顺序出现 复旦大学硕士毕业论文 在定理2 1 2 中，易看出 x 盯a 口m a x = ( 警 x 口上量p 三x = ( 学：) c z ， x h ( a h m a + l 口p l ) x = ，( a 片m a + l 日p l ) 一1 = x x 日( 2 8 ) 证明令a = m a n ，三= p l n 一假设 a = 驴( 言；) 驴1 ，三= 矿c q ，。，驴1 是矩阵组( a ，三) 的广义奇异值分解( g s v d ) ，其中疗f f d = ，和矿日矿= ，则有 蚓蜘( 言弘撕1 ， 和 三= ( p 一 矿) ( q ，o ) ( 一l v - ) 一1 如果令 u ：m 一 d ，y = p 一 矿，x = n 一 趸 从广义奇异值分解定理，很容易得出我们的结论。 在下一节，我们给出一个关于加权g s v d 的应用。 2 2 加权的t i k h o n o v 正则化 对于线性系统 j x bf 2 9 ) ( 包括相容和不相容的情况) ，其中j c ”“，b c ”，已有很多种求解的办法但是当j 是坏条件或秩亏损的矩阵时，很多求解( 2 9 ) 的方法就会出现很大的误差，甚至结果完全不 符合实际的情况一种比较好的解决方案是利用加权的t i k h o n o v 正则化方法来解决，即将 其化为加权的t i k h o n o v 问题： 叫l ( 弘篡二6 c ，) 1 2 复旦大学硕士毕业论文 其中q = ( 苫三) ，l 伊”扫n ，行满秩，( ：) 是好条件矩阵，芦。是正则化参 数，c c “一般假设为0 假设( 2 1 0 ) 的解记为x l ( ) = 堙b ，下文我们将给出x l ( p ) 和堙的扰动关系式，并 且下文将证明当肛斗0 且c = 0 时，问题( 2 1 0 ) 的解趋近于问题 为 1 啦ni i l ( x c ) l l p s t - 石 l i 札i m i z i n g | | j 击一6 i w( 2 1 1 ) 为使我们的叙述简单，假设m 扎p 首先将矩阵组( jl ) 的加权c s v d 形式改写 j = u ( 兰) x 一1 ，三= y c 。厶，x l 其中x c “”，u c ”，y c p ”，且有u 日m u = 厶，v 日p y = 厶，= d i a g ( a l c p “p ，。l - 0 设r a n k ( j ) = r ，则有盯l 执咖h 一川，则有= ( 言 定义y = ( x _ 1 ) 日，将y 、x 、u ( 2 1 2 ) ，唧) o r 0 ，c y r + l = = = 0 ，令e l = 分别写成分块形式如下 y = ( k ，m ，蚝) ，g “_ 一川，m c “，蚝c “。( p 一) x = ( x o ，x 1 ，如) ，x o c “。( n p ) ，x 1 c “，x 2 c ”“( p 一 u = ( u o ，u 1 ，如) ，u o c 。似- p ) ，巩c ”，巩c “。( p 一) 由加权g s v d 的性质得 x ? y j = 6 日i n u 2m u q = 6 k 4 i m 其中i ，j ，k ，q = 0 ，1 ，2 ，而如为k r o n e c k e r 等式，即 ： 1 江j 0 i j 、，” 一 0 复旦大学硕士毕业论文 于是 j = ( 砜，巩 且 胳巩 l 厅p l = h 华+ k 垆 = 铲+ 巩。铲 学刊。s ( 弗，南) 则加权的t i k h o n o v 问题1 2 1 0 ) 在c = o 时有唯一解钆( 卢) = 硭6 ，其中彤= ( x o u g + x 1 e f 卵) m ，而问题俾j 纠也有唯一解轧= 珐6 ，其中珐= ( x o u o h + x 1 i 1 畔) m ， 并且当弘- 0 时z l ( p ) - g l ，堙- 。聪。 证明令c = 0 ，y = x _ 1 z ，则加杈的t i k h o n o v 问题( 2 1 0 ) 可化为问题 叫l j x - - ；6 ) 】l 。侧u v ( o 一) 可埘j 口 = 1 噶n “( m 5 u p ；y ) ( 。“一9 三) 。一( a ：6 ) 2 哑n f f t ( m 5 u 尸；y ) ( 。“一置) v 一( a 岔6 ) ， = 衅可一( 矿孙 ： 洋+ ( u 6 ) 邛嘲心口( 矿6 ) = r 尹 其中k = ( u m y 日p ；) 为酉矩阵，z = ( 厶置) g c n “列满秩。 1 4 、i 铲甲垆 ， e 呻 乙 ， l j 巩 6m 玎 矿 、，r p o 复旦大学硕士毕业论文 于是 因此 于是 z c c 弘，= ，r ，= c a _ ，- r t ，a 毛，( 。n 一9 尹。，一，) ( 享) 扩。 、 令”= ( 差) ，其中”g ”p ，耽，蜘驴一，则问题c z u ，可化为问题 彗n l l ( 羹) 1 j s t ，m t n i m 拓i 礼，j 1 ( 厶一9 。，一，) ( 圣y 2 ) 一( 矿6 ) ”= 卜t 吣，) + ( 竺) = 卜r 。归) z z = ，r ”= c a 。，c ，a 毛，( j i 1 。) ( u ? 6 ) 娟叫7 掣) ( 并) m = ( x o 昭+ x l i 1 衅) m b = j i b 当肛- 0 时显然有i 1 - 芋，于是谨斗口，x l ( p ) _ 乩。 现在我们来求问题( 2 1 0 ) 的加权的法方程，问题 z 錾ni i ( “l j 。( x 二乞，) “口= m 2 n | | ( g j l ) 。一( p ：。) l j 。 哮n | il “_ c ) 抄2 叫八j b 抄 有唯一篇 。= ( # j l l + q ( p ：。) = t ( 二) 日q ( 二) ，一1 ( 二) 日q ( 灿：。) 1 5 复旦大学硕士毕业论文1 6 其中用到了性质1 1 5 ，即 ( ：) 日q ( ：) z = ( ：) 4 q ( p l b 。) 因此问题( 2 1 0 ) 的加权的法方程为 fm ( j 日，p l h ) i p ) ( ( p ( 童) ) _ 0 o r ( ，l 盯) f r l l = o( 2 ，3 ) r 2 其中 ( ：) = ( m 肛：p ) ( ( 三) 一( ：) ) = 、矿m p ( 。b l 。- 一j 贯五) 。，) 式( 21 4 ) 可写成 ( 旷1 。- 2 p - 1 ) + ( ( 三)ii r ：) + 【l j 。= il c j 由( 2 ，1 3 ) 、( 2 。1 4 ) 可得 消去7 2 得 其中 p 剖刚a s ( ：) = ( p 。三日b p l 。) ，m - 1 j 、 s 2 l j h 肛t 日p 三j 为求矩阵s 的逆矩阵，引入引理： 引理。2 矩阵a 有分块形式a = ( 2 ： 则a 可逆，且a 一1 的相应分块形式a l = 岛2 b 2 1 ( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) f 2 1 7 1 ，若a 1 1 和a 2 2 一a 2 l a 甜a 1 2 均可逆 主：) 满足 ( a z z a 2 l a l l a l 2 ) 一1 ，b 1 2 = 一a i l a l 2 8 2 2 - b 2 2 a 2 1 a 五? ，b 1 l = a 0 ( j a 1 2 8 2 1 ) 、l l 2 2 1 2 如如卢忸 复旦大学硕士毕业论文1 7 利用引理2 2 1 易验证 = ( 州7 m z 麓一。) 由式( 2 。1 7 ) 可得 r l = ( i 一，硝) m b ( 2 1 8 ) 当c = 0 时，我们有下面相应的扰动结论： 定理2 , 2 2 。令f = 了一j ，吭，未为s ，r i ，。在j 作扰动f 后得到的矩阵和向量，即 雪= ( 以，和岬勘，拈i 舻以吼j ，自圳( 6 。动 ( 圣。：；二2 。p ，) = 一兮一1 ( 一f 0 日：) ( 石五，) 圣l ( p ) 一z l ( 肛) = 一j 孝f z 工( 肛) + ( j 日m ，+ 肛2 l h p l ) 1 f 日( ，一t ，堙) m b 并且 j 量一j t = 一j 芒f j 蔓+ l j h m j + 萨l h p u 一1 f hl i j j 芒1 m 证明由s 、雪的关系式可得 ( 21 9 ) ( 2 2 0 ) ( 2 2 1 ) s 一雪= 一( 一三日吾) 由雪一1 一s 一1 = 兮一1 ( s 一雪) s 一1 立即可以得到( 2 a 9 ) 式。 注意到( 2 1 9 ) 式中的x 部分，利用式( 2 1 8 ) 易得( 2 2 0 ) 式 由钆( p ) = j # b ，乱( 肛) = 茁6 ，得乱( p ) 一z l 似) = ( 菪一疗) 6 ，代入( 2 ，2 0 ) 式得 0 j t j 耄、b = 一j 童f j 琶b + 0 j hm j + 毋l h p 硷一1 f h0 i j j 慧1 m b 两边消去b ，即得( 2 2 1 ) 式 第三章加权条件数的性质 加权条件数一般可分为奇异矩阵的加权条件数和奇异线性系统的加权条件数。当然， 按采用的范数不同，加权条件数又可分为2 一范数的加权条件数和f r o b e n i u s 范数的加权条 件数若按矩阵是否结构化来分，则可分为有关一般矩阵的加权条件数和有关结构化矩阵 的加权条件数。 3 1一般奇异矩阵的加权条件数 本节主要是研究矩阵的加权条件数，即( 1 2 4 ) 式定义的c o n d v ( a ) 。 定理3 1 1 r j 副j 定义的条件数c o n d g ( a ) 满足 c o n d g ( a ) = i i g i i m i l a 蔷v i i _ m 证明 由引理1 2 2 ，利用条件i i e i i m n e l l g i i m r ( a 圩) ，并且忽略0 ( e 2 ) 及其以上的项，我们得到 ( 31 ) r ( e ) n ( a ) ，r ( e 8 ) ( a + e ) 矗一且玉= 一a 荔v e a + m _ 令e = e i i g i i m 豆，则有| | 豆| | m 1 由于 ( 3 2 ) a 荔豆a 荔i i n m i i a + i i n m i i 豆i i m | | a 矗i l 。| | a 蔷i l 知m ，( 3 3 ) 故只要我们证明 s u p i l a m - t - _ 。 n m + i i m = l i a 荔i 斋m ( 3 4 ) r ( 言) 冗( ) r ( 亩”) r ( a h ) 则结论成立。 由定理z j _ ，令a = 矿d 。0 y 日，则4 荔= 一1 yd - 1 ：1 u 日m ，并且 m u 、一 y 、u h m 和v h 一i 1 都是酉矩阵用岛代表单位矩阵的寨j 列向量，且 令e = u e ，e ，y 日，则有 豆i i m n = i i m u e ，e ，y 日n 一 1 1 2 = l i e ，e # | | 2 ：1( 35 ) 1 8 、7 星呈盔堂亟主生些鲨塞 1 9 和 a 荔豆a 荔v l l w ”= i l 一1 y d - 1 0 。 唧e ，d - 1 ： = n 叫刊即尹 钏卜卜 壶2 i i a + u h m i i n m u 丑m 1 1 2 从a 和豆的关系式容易验证r ( 豆) r ( a ) 和r ( 豆打) r ( a 日) ，结论得证。 在定理3 1 1 中令g = a ，可得到 推论3 1 1 1 2 】“2 到式定义的条件数c o n d 阻j 满足 c o n d ( a ) = l i a i i m n i a 荔m 在定理3 1 1 和推论3 1 1 中，若令m = i c ”，n = i c “，则有推论 推论3 1 2 条件数 满足 c o n d c ( a 1 = l i m + 0 + 推论3 1 3 【1 2 】条件数 满足 l。訾蒜等ie121 圳g i l 2 1 一” r ( e “) r ( a ”) c o n d g ( a ) = 怜l f 。i i a + 1 1 2 c 。札d ( a ) 2 。1 + i m 。+ ls ! u p i e l l 2 。l l a i h 旦生! 专铲l茎 ”“ r ( e ”) r ( a “) c o n d ( a ) = f i a i i 。i i a + 1 1 2 复旦大学硕士毕业论文 以上结论都是在2 一范数下得到的，若采用f r o b e n i u s 范数则有如下结论： 定理3 1 2 条件数 c 确a ) _ 忙嘏刮世警 慨s ， a t e 岸) r ( a h ) 满足 删c 俨磷警 证明类似定理3 1 1 的证明，我们必须证明 ( 37 ) s u p| i a 荔豆a 玉l i 鼢= i i a 7 【| 刍m ( 3 8 ) 热f s1 冗( 自r ( a ) r ( 宜”) r ( a 5 ) 其中豆满足关系式e = g | | g | | 鼢豆 下面的不等式给出了式( 3 8 ) 中的”茎” a 南豆a 嘉l l = i 且蔷豆a 荔m 一 l l f = 1 a 蔷m 一 m e n 一a 蔷m 一 | f f l j a 矗0 m 1 | 亩i i 嚣- i i a ? w l i v m l l a 玉l i 备m 其中我们用到了不等式l i b c l l f ij b i g 忙和fr b c i l f l i g l l r l l c i l 2 令豆= u e ，e ，y 窟，有 r l 豆 l i 鼢= 1( 3 9 ) 和 a 刍e a s t i i 鼢= l l a 嘉| l 奄m 易得r ( 豆) r ( a ) 和r ( 豆h ) r ( a 日) ，则结论得证。 同样地，从定理3 1 2 可得到以下一些推论： ( 3 1 0 ) 复旦大学硕士毕业论文 推论3 1 4 1 2 j 条件数 c。nd，ca，=；l+im。+lieii嚣。s；up圳l嚣“1生j；：i妒 r ( e ”) 丑( a 拉) 满足 一州铲嘴警 从定理3 1 2 和推论3 1 4 ，有 推论3 1 5 条件数 嘲舻鲰忙j | 竺。i i c l i f 訾蒜i i 竽 l i 驯f ! 。| | r ( e ) r ( a ) r ( e “) a ( a 8 ) 满足 推论3 1 6 1 2 条件数 d f a ( a ) = 铲 c。礼df(a)=。l。im。+l|牙ii，s，up；iiatlf“望二铲l | 硎fs r ( e ) r ( a ) r ( e 8 ) r ( a “) 满足 c 嘶c 俨铲 值得注意的是：从定理3 1 1 和定理3 1 2 可以得到 c o n d 鼻( a ) i | gjj 鼎j i a 蔷l l 3 2一般奇异线性系统的加权条件数 本节我们讨论加权范数下的一般奇异线性系统的加权条件数。 复旦大学硕士毕业论文 c 。n d q 。( a ，6 ) = i i g l i m l i a 荔l j m + 旦垒i 蜡 ( 3 1 1 ) 证明假设i i e i i _ se | | g | | m ，l i i i i m g 吲”，r ( e ) cr ( a ) 且r ( e ) r ( a ”) ，并令z = a 矗b ，。+ h = ( a + e ) 矗( 6 + ，) ，贝有 h = a 盏( ，一e x ) + d 扛2 ) ( 3 1 2 ) 不等式 i l a 荔( ，一e z ) i i n l | a 荔i i n m ( i i i i i m + f i e i i - - n i i 。i i n ) s l l a 矗i i v m ( i i g l i m + i i g | | m - v i i z i i ) ， 得出式( 3 儿) 中的” 假设y = u e ，从定理2 1 1 ，可得到i m = 1 和 i a + n y i n = ”胪y d - 1 汁f 钏旷一。 = i l 1 ： 唧= 去= ”a 五i l - m 再令，= s y l l g l l m 以及e = 一y x n | l g | | m 川。怯，则有 i i e i i m = 訾i i y x h n 怕= 轷川删m ：絮豁i t ( m u ) 即h n 1 1 。 一 俐1 ”4 2 = 哿i l e , x n n 钏。 ：絮警i i n l i l yz ”e l l u l i m 。v , 2 面z f | 2 2 其中用到了等式i i u ”盯怯= j i ”日i l 。= 1 1 札1 1 2 1 1 v l l 2 ( u ，v 都是向量) 。 复旦大学硕士毕业论文 从式子y = u e ，r ( a ) ，易得r ( e ) r ( a ) 。而从 儿一訾yl 1 ：u h m b y h , 可得到r ( e 日) r ( a ) 注意到等式 f i a 矗z c ( f e x ) i n = e i i a 荔i i n m ( if g l i m + i i c i l m i l x l l n ) ，( 31 3 ) 结论得证 在定理3 2 1 中令g = a ，g = b ，则有 推论3 2 1 1 2 对奇异线性系统a x = b ，式“2 剀z _ 3 l 的条件数满足 c 。n d ( a ，6 ) = i i a i i m i i a 玉i i m + 堡垒船， 在定理3 2 1 和推论3 2 1 ，如果令m = j c “。m ，= i 伊一，则有 推论3 2 2 对奇异线性系统a z = b ，条件数 啪一w ) _ i i e i l 2 詈；1 1 c 1 1 2 坠等丛 is 1 。” 1 1 ，1 f 21e m l 2 r ( e ) r ( a ) ，r ( e ”) r ( a ”) 满足 一扫( 舭h t l a + i 2 + 帮紫 推论3 2 3 1 2 】对奇异线性系统a x = b ，条件数 满足 c o n d ( a ，6 ) _ l i r a + s u p 1 1 f 1 1 2 兰e i l i k j i f l l 2 e l l b l l 2 r ( e ) s ( a ) a ( e ”) c 昱( 胪) 业墨生2 ：! ! 塑二垒：! ! ! e l l a + b i b c 。n d ( a ，6 ) = i i a i i z i i a + i i 。+ 且令丢；斟警 复旦大学硕士毕业论文 定理3 2 2 对奇异线性系统a x = b ，条件数 c o n d g f 9 ( a ，6 ) = 凛 s u p l l e i i se | | g i i 激 州m e 9 ”m r ( e ) r ( a ) r ( e ”) r ( a “) 世型迪世 篮业( 3 1 4 ) e l l a + 圳 满足 c 确h l g 驯州揣烨， ( 3 1 5 ) 证明证明过程类似于定理3 2 1 的证明，在此不再赘述。 在定理3 2 2 中令g = a ，g = b ，则可得到 推论3 2 4 1 2 l 对奇异线性系统a x = b ，条件数 c 嘶c 悱归噔品麟世笋 i i f l i m ! s 6 | | ” r ( f ”) r ( a ”) 满足 僦州郇) _ | 川翰h + 峰揣笋 从定理3 2 2 和推论3 2 4 ，可得到 推论3 2 5 对奇异线性系统a x = 6 ，条件数 满足 cdn簖9(a，a)=。li+r。a+|s。upieiif。iigll，1。：!_!：_!12i!铲 |se i i g | | f 。“”。 r ( e 8 ) r ( a ”) c 。n d g 9 ( a 6 ) = 1 l g l l f l j a + + 且爷爿鼯 复旦大学硕士毕业论文 推论3 2 6 “1 2 】对奇异线性系统a x = b ，条件数 一州绯船忙品川i ，坠篑趔 lj 蚓i f ! e 惮怯 叫p 1 。1 1 2 i l ，21 d 2 r ( e ) 互冠( ) 满足 c 。礼d ( a ，6 ) = i i a | i f i i a + 忆+ 旦帚著袅挚 从定理3 2 2 ，可得到 删尹( 舭川i g j 1 + 訾 3 3结构化矩阵的加权条件数 自本节开始