第53届IMO试题解答.pdf

2 0 1 2年第 9期 1 9 第 5 3届I MO 试 题 解 答 中图分类 号 ： G 4 2 4 7 9 文 献标 识码 ： A 文章编号 ：1 0 0 5 6 4 1 6 ( 2 0 1 2 ) 0 9 0 0 1 90 4 1 设 ，为 A B C顶 点 l 所对旁 切圆 的 圆心 该 旁切 圆与 边 B C切于点 ， 与直 线 A B、 A C分别切于点 K、 ， 直线 与 B J交于 点 F， 直线 K i ll与 交 于点 G 设 5是 直线 A F与 B C的交点 ， 是直 线 A G与 B C的交 点 证明： M是线段 S T的中点 【 注】 A B C的顶点 4所对的旁切圆是 指与边 B C相切 ， 并且与边 A B、 A C的延长线 相切 的圆 2 设整数 n 3 ， 正实数 0 ， 。 3 ， ， 满 足 n 2 n n ：1 证 明 ： ( 1十口 2 ) ( 1+0 3 ) ( 1 +0 ) 3 “ 欺诈 猜数游戏 ” 在 两个玩 家 甲和乙 之间进行 ， 游戏依赖 于两个 甲和 乙都知道 的 正整数 k 、 n 游戏 开 始 时 ， 甲先 选定 两 个 整 数 、 N ( 1 ) 甲如实告诉 乙 的值 ， 但对 守 口如瓶 乙现在试图通过如下方式 的提 问来 获得关于 的信息 ： 每次提问 ， 乙任选一个 由 若干正整数组成的集合 S( 可以重复使用之 前提问中使用过 的集 合) ， 问 甲“ 是否属于 ” 乙可以提任 意数量 的问题 在 乙每次提 问之后 ， 甲必须对乙的提 问立刻 回答“ 是” 或 “ 否”， 甲可 以说谎话 ， 并且说谎 的次数 没有 限制 ， 唯一 的限制是甲在任意连续 k+1次 回 答中至少有一次 回答是真话 在乙问完所有想 问的问题之后 ， 乙必须 指出一个至多包含 n个正整数 的集合 X， 若 属于 ， 则乙获胜 ； 否则 甲获胜 证明 ： ( 1 ) 若 n 12 ， 则 乙可保证获胜 ； ( 2 ) 对所 有充分 大 的整数 ， 存 在整 数 n 1 9 9 ， 使得 乙无法保证获胜 4 求所有的函数厂 ： z z， 使得对所有满 足 0+b+ c= 0的整数 a 、 b 、 c ， 都有 f ( 口 )+ ( b )+ 厂 ( c ) = 2 f ( 口 ) I厂 ( b )+ Z 厂 ( b ) c )+ 2 f ( c ) n ) 5 在 A B C中， 已知 B C A=9 0 。 ， D是 过顶点 C的高 的垂足 设 是线段 C D内部 的一点 ， 是线段 A 上一点 ， 使得 B K= B C， 是线段 B X上一点 ， 使 得 A L=A C 设 是 A L与 B K的交点 证明： MK=ML 6 求所有 的正整数 ， 使得存 在非负整 数 l ， a 2 ， ， a ， 满足 1 1 1 1 2 n + 一 + + 一 + ： 1。 参 考 答 案 1 如 图 1 ， 设 C A B = ， A B C： ， BC A= 1 由于 ， 是 C A B的角平分线 ， 于是 ， J A K ： = 二 因为 A K J= A L J= 9 0 。 ， 所 以， 点 K、 在以 为直径的圆 上 又 B J是 K B M 的角平分线 ， 因此 ， 万方数据 中 等 数 学 MB J：9 0。一 而 K B M是等腰三角形 ， 于是 ， BMK ： 同 理， M C J = 9 0 。 一 手， C M L = 手 故 删= MB J 一 B MF = MB J一 C ML = ( 9 0 。 一 譬 ) 一 手 = 詈 = L A J 所以， 点 F在圆 上 同理 ， 点 G也在圆 上 由于 为圆 的直径 ， 于是 ， AF J= A G J=9 0。 因为直线 A 与 B C关于 A B C的外角 平分线 B F对称 ， 又 A F上 曰 F， K M 上 F， 所 以， 线段 S M 与 A K关于 F对称 故 S M=A K 同理 ， T M= A L 因为 A K= A L ， 所以， S M=T M 2 由平均不等式 ， 对 k= 2 ， 3 ， ， n ， 有 ( 1 +C t k ) = ( + + ) l + 一 + ( ) 故( 1 +a 2 ) ( 1+ 口 3 ) ( 1+口 ) 1 2 3 ( 4 ( n “ ( ) n = r t “ 当 口 ( =2 ， 3 ， ， 凡 ) 时 ， 上式等 号成立 ， 这与 C t 2 a 3 口 =1 矛盾 因此， ( 1+ 0 2 ) ( 1 + 口 3 ) ( 1 + 口 ) r t “ 3 ( 1 ) 将问题改述为 ： 甲选定一个有 限集 和其 中一个元 素 ，将 告诉乙 ， 但乙不知道 乙每次任选 一 个 的子集 s ，问甲“ 是否 S ” 甲回答 “ 是” 或“ 否” ，甲至多连续说 k次谎话如果 在有限次提问后 ，乙可指定 7 1 的一个 n元子 集 ， 使得 E T ， 则 乙获胜 只需说 明： 当 I T I 2 时，乙总可确定某 个 Y T ， 使得 Y ， 这样 乙总可以将 的 范围缩小到 2 个数 中 乙采取如下策略不妨将 其 中 2 +1 个元素记为 0 ， 1 ， ， 2 一1 ， 2 乙先反复 问“ 是否 E 2 ， 若 甲连续 k+1次回答 “ 否” ， 则可确定 2 如果 甲有一次 回答 “ 是” ，从这次 回答之后 ，乙依次对 1 ， 2， ，k ， 问 ： “ 是否 E t Z1 0 f 2 ， 且 t 的二进 制表示中 2 的系数为 0 ， 不论甲对这 k个问题 的回答如何 ， 恰存 在一个 Y E 0， 1 ， ， 2 一1 ， 使得若 =Y ， 则这 k个回答皆为谎言 ， 连 同之前 的一次回 答 ，甲便连续撒谎 k+1 次 ，故 y #x ( 2 ) 下面证 明： 对任意 的 l 2 ，如果 =： ( 2一 ) “一1 ， 则 乙无法保证获胜 特别地 ， 取定一个 满足 1 9 9 1 9 9 ， 即得所要结论 事实上 ， 甲选取 T= l ， 2 ， ， n+1 f ，以 及任选 E 对 甲的一组 回答 ，记 mi 为假 设 = 时 ， 甲的回答中包含最后一个回答 的 连续说谎次数的最大值 甲的策略如下 ： 每次在两种 回答中选择 + 使；碍咖= m i较小的那个答案 接下来说明甲按此方式 回答 ， 任何时候 总； “， 从而， 每个 m 后 特别地 ， m |i ，即甲至多说谎 k次 ， 并 且乙在假设 =i 时 ，甲的回答仍是合法 的， 即乙在任意有限次提问后无法确定任何一个 i T是否不等于 从而 ， 乙不能保证获胜 再证 明： 西 “ 一 开始 ， 每个 m = 0， 故 =n+1 ” 假设若干次回答后 ( b 2 ， 证明 + ： ， 即完成本题证明 先通过若干次添加 2 6的操作 ， 依次添加 4后+4， 4 +6， ， 4 +l 2 注意到， 4 七+ 2 剩下的六个奇数 4 后+ 3 ， 4 + 5 ， ， 4 +1 3 模 3余 0、 l 、 2各两个 ， 将其 中两个模 3余 0 的数记为 。 、 ， 余下四个数取模 3余 1和模 3 余 2的各一个， 组成两对， 记为 ： 、 ： 和 3 、 3此时， 对i = 1 ， 2 ， 3 ， 将b ： ( “ + ) 替换为 、 ， 这里只需注意到 b 是偶数 ， 又 可以通过 立刻补 回 b ， 最后得到 ， 故结论成立 ( 熊斌提供 ) 万方数据 第53届IMO试题解答第5