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摘要 几类生态学反应扩散模型的定性分析 研究生；陈文彦导师：王明新 东南大学 利用偏微分方程研究生物种群动力学，已成为非线性偏微分方程研究领域中的一个 重要研究方向本文重点研究几类描述生物种群动力学的反应扩散方程组的定性性质： 初边值问题解的大时间性质( 解的持久性、耗散性、非负常数解的稳定性) ；齐次d i r i c h l e t 边值问题的正解的存在性及唯一性；齐次n e u m a n n 边值问题的模式生成( t u r i n g 模式， 或者称做“扩散导致的平衡态模式”，以及由变系数产生的模式) 第一章是前言部分，简单介绍本文相关工作的背景与发展概况 第二章，首先讨论具有b e d d i n g t o n 和d e a n g e l i s 响应函数及齐次n e u m a n n 边界条 件捕食模型的初边值问题解的耗散性、持久性，非负常数解的稳定性，非常数正平衡解 的存在性其次研究具有h o l l i n g i i 型响应函数和修正的l e s l i e - g o w e r 项的捕食模型的 齐次d i r i c h l e t 边值问题的正解的存在性以及一维情形下正解的唯一性 第三章，讨论捕食共栖模型的齐次n e u m a n n 边值问题非常数正解的不存在性、存 在性、分支以及解的渐近行为 第四章，研究竞争共栖模型的齐次d i r i c h l e t 边值问题、齐次n e u m a n n 边值问题， 以及带有交错扩散项的齐次n e u m a n n 边值问题研究了齐次d i r i c h l e t 问题正解的存在 性，齐次n e u m a n n 问题的非常数正解的不存在性、存在性，以及由交错扩散导致的非 常数正解的存在性 第五章，研究非均匀环境下的h o l l i n g - t a n n e r 捕食模型的齐次n e u m a n n 边值问题 讨论了非均匀系数。( 。) 退化的情况下正解的存在性、不存在性以及相应的摄动模式 关键词：生态学模型，反应扩散，正平衡解，存在性，唯一性，稳定性，分支 a b s t r a c t q u a l i t a t i v ep r o p e r t i e so fs o m e r e a c t i o n d i f f u s i o ns y s t e m s c o m i n gf r o mb i o l o g i c a lp o p u l a t i o nd y n a m i c s s t u d e n t ：c h e n 、：v e n y a n t u t o r ：p r o f e s s o rw a n gm i n g x i n s o u t h e a s tu n i v e r s i t y t h ed y n a m i c so fb i o l o g i c a lm o d e l sh a v er e c e i v e di n t e n s i v es t u d y a n di th a sb e e na ni m p o r t a n ta s p e c ti nt h ef i e l do fn o n - l i n e a rp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s q u a l i t a t i v ep r o p e r t i e s o fs o m er e a c t i o n d i f f u s i o ns y s t e m sc o m i n gf r o mb i o l o g i c a lp o p u l a t i o nd y n a m i c s8 x es t u d i e di n t h i sp a p e r ：( a ) t h el a r g et i m eb e h a v i o ro fs o l u t i o n so fi n i t i a l b o u n d a r yv a l u ep r o b l e mf d i s s i p a t t o n ，p e r s i s t e n c ea n dt h es t a b i g t yo fn o n - n e g a t i v ec o n s t a n ts t e a d ys t a t e s ) ；( b ) t h ee x i s t e n c e a n d u n i q u e n e s so fp o s i t i v es o l u t i o no ft h eb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mw i t hh o m o g e n e o u sd i r i c h l e t b o u n d a r yc o n d i t i o n ；( c ) 2 r i n gp a t t e r no rd i f f u s i o n - d r i v e ni n s t a b i l i t yt ot h eb o u n d a r yv a l u e p r o b l e mw i t hh o m o g e n e o u sn e u m a n nb o u n d a r yc o n d i t i o n ；( d ) t h ei n f l u e n c eo fh e t e r o g e n e o u s s p a t i a le n v i r o n m e n t so nap o p u l a t i o nm o d e l i nc h a p t e r1 ，t h eb a c k g r o u n da n d h i s t o r ya b o u tt h er e l a t e dw o r ka r ei n t r o d u c e d i n c h a p t e r2 ，t h eq u a l i t a t i v ep r o p e r t i e so fs o l u t i o n st oap r e d a t o r p r e ys y s t e mw i t h b e d d i n g t o n 。d e a n g e l i sf u n c t i o n a lr e s p o n s ea n dd i f f u s i o nw i t ht h eh o m o g e n e o u sn e u m a n nb o u n d a r yc o n d i t i o ni sf i r s t l ys t u d i e d ，a n db yu s i n gt o p o l o g i c a ld e g r e e ，t h ee x i s t e n c eo fn o n 。c o n s t a n t p o s i t i v es t e a d y s t a t e so ft h ep r o b l e mi sg i v e n ，t h e nap r e y - p r e d a t o rm o d e lw i t hd i f f u s i o na n d m o d i f i e dl e s l i e g o w e ra n d h o l l i n g - t y p ei is c h e m e sw i t ht h eh o m o g e n e o u sd i r i c h l e tb o u n d a r y c o n d i t i o ni sd i s c u s s e d s o m er e s u l t so ft h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o nt ot h ep r o b l e n la r e o b t a i n e d ，a n de x a c tr e s u l t so nr e g i o n si np a r a m e t e rs p a c ew h i c hh a v eau n i q u e p o s i t i v es o l u t i o n a r ea l s od e s c r i b e d c h a p t e r3d e a lw i t ht h en o n - c o n s t a n tp o s i t i v es t e a d y - s t a t e so fap r e d a t o r p r e y m u t u a l i s t m o d e lw i t hh o m o g e n e o u sn e u m a n n b o u n d a r yc o n d i t i o n t h en o n e x i s t e n c e ，t h eg l o b a le x i s - f e n c ea n db i f u r c a t i o no fn o n - c o n s t a n tp o s i t i v es t e a d y s t a t e sa r es t u d i e d ，a n dt h ea s y m p t o t i c b e h a v i o ro fs u c hs o l u t i o n si sa l s od i s c u s s e d c h a p t e r4i s f o rt h ep o s i t i v es t e a d y s t a t e so fac o m p e t i t o r - c o m p e t i t o r - m u t u a l i s tm o d e l w i t hd i f f u s i o nt h es u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h ee x i s t e n c eo f p o s i t i v es t e a d y s t a t e su n d e rh o m o - g e n e o u sd i r i c h l c tb o u n d a r yc o n d i t i o ni s e s t a b l i s h e d t h e nt h ee x i s t e n c ea n dn o n - e x i s t e n c eo f n o n c o n s t a n tp o s i t i v es o l u t i o n st ot h i sm o d e lw i t hh o m o g e n e o u sn e u m a n n b o u n d a r y c o n d i t i o n a n dt h em o d e lw i t hc r o s s d i f f u s i o na n dh o m o g e n e o u sn e u m a n n b o u n d a r yc o n d i t i o na r ea l s o i n v e s t i g a t e d c h a p t e r5 c o n c e r nw i t ht h es p e c i a lb e h a v i o ro fp o s i t i v es t e a d ys t a t e so ft h ed i f f u s i v e h o l l i n g t a n n e rp r e y p r e d a t o rm o d e li nh e t e r o g e n e o u se n v i r o n m e n t ss u b j e c tt ot h eh o m o g e n e o h sn e u m a n nb o u n d a r yc o n d i t i o nt h e f o l l o w i n gr e s u l t sa r ee s t a b l i s h e d ：( a ) t h ee x i s t e n c e a n dn o n - e x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o n s ；( b ) c o n s t r u c t i o no ft h ep o s i t i v es o l u t i o n sw i t hc e r t a i n p r e s c r i b e ds p a t i a lp a t t e r n sw h e ns p a t i a le n v i r o n m e n t sa n dg r o w t hr a t e sa r ed e s i g n e ds u i t a b l y k e yw o r d s ：b i o l o g i c a lp o p u l a t i o nd y n a m i c s ，r e a c t i o n d i f f u s i o ns y s t e m ，p o s i t i v es t e a d y s t a t e s ，e x i s t e n c e ，u n i q u e n e s s ，s t a b i l i t y , b i f u r c a t i o n 东南大学学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发 表或撰写过的研究成果，也不包含为获得东南大学或其它教育机构的学位或证书而使 用过的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的 说明并表示了谢意 研究生签名 面文彦 日期 删f 口6 东南大学学位论文使用授权声明 东南大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆有权保留本人所送交学位论文的 复印件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文本人电子文档的内 容和纸质论文的内容相一致除在保密期内的保密论文外，允许论文被查阅和借阅，可 以公布( 包括刊登) 论文的全部或部分内容论文的公布( 包括刊登) 授权东南大学研 究生院办理 研究生签名商场导师签名 日期：删t o - 6 第一章前言 利用偏微分方程研究生物种群动力学，已成为非线性偏微分方程研究领域中的一个 重要研究方向本文重点研究几类描述生物种群动力学的反应扩散方程组的定性性质： 初边值问题解的大时间性质( 解的持久性、耗散性、非负常数解的稳定性) ；齐次d i r i c h l e t 边值问题的正解的存在性及唯_ 性；齐次n e u m a n n 边值问题的模式生成( t u r i n g 模式， 或者称做“扩散导致的平衡态模式”，以及由变系数产生的模式) 1 1相关生物数学微分方程建模的发展过程 为了更好地理解本文中出现的生物数学微分方程模型，我们简要介绍与本文所讨论 的模型有密切关系的生物数学微分方程建模的发展过程， 先考虑一个物种以假设物种a 有固定的食物( 生活) 来源，不受其它物种的影响， 且认为分布密度均匀，即每一点的分布密度都相同，记u 是a 的分布密度，则a 的增 长模型是 蔫= 一i 一姜) 、通常写成警= u ( n 一妇) ， ( 11 1 ) 其中n ( 1 一v t k ) 是增长率，与u 有关，f 是整个系统的承受能力，即整个系统只能承受 ( 供养) 个a 或者说当物种a 的密度“ 时物种自动减少模型( 11 1 ) 称为l o g i s “c 模型 下面考虑两个物种之间的捕食关系用u 表示食物的分布密度，。表示猎物的分布 密度假设食物“有固定的生活来源，猎物u 只有u 这一种食物古典的l o t k a v o l t e l r 。 捕食模型是 象豢刮= u ( 一a - b u 叫- c v ：) ( 112 ) 这里，s 表示猎物的死亡率，c “称为响应函数，表示单个猎物在单位时间内( 比如说一 天j 捕捉到的食物的个数t n 是转化率，即猎物得到食物后繁殖后代的能力因此。 可以看成猎物的出生率方程( 1 1 2 ) 说明如果没有食物，那么猎物将灭绝，即当_ 。 2东南大学博士学位论文 i d v = u ( e 一， + m c u ) 面2 。l 。一j ”+ ”。“j - 砑c u v 石2 旦v + p u ，或者卫1 + p ( u v ) 2 = 旦v 2 + p u 2 再葡石2 或耆一2 ，荔d “y 焉c v ， l 塞= ”( 罴) 。 莨d v 一未 扭， l 面= ”( 品) 1 叫 3 响应函数依赖于食物与猎物的密度比“加的捕食模型 窿d “誓f 霸c v ， f 害= ”( a 一阮一考) ， 1 知( 一蘸) 。 q 1 6 箜二里煎直3 生物学微分方程建模的文献除了上面介绍的，还可以参见 1 1 ，1 5 ，4 5 ，1 0 2 如果认 为物种的分布密度不是均匀的，就要在上面( 1 1 3 ) ，( 114 ) ，( 1 1 5 ) 或( 1 1 6 ) 中的两个方 程左边分别加上一d l a u ，一d 2 ”这里，d l ，d 2 分别表示“， 的扩散系数 这种扩散只是由于物种本身的生活习性导致的迁移，实际上还有两种重要的扩散： 自扩散和交错扩散自扩散可以写成o ( u ) u 的形式对于单个物种来讲总的扩散( 一 般扩散和自扩散) 可以写成( d l + a ( u ) ) u ，有时简记为d l a u 对于两个物种来讲，我们 就可以考虑交错扩散的作用 捕食模型( u ，u 分别表示食物和猎物的分布密度) f 象= d i v m - ( ) v “+ ( ) v ”) + m ，咄 i 警= d i v 卜蛔( u 孔+ 畅( u 川v ”) + 出，咄 其中 自扩散系数k u ( “、u ) ，女2 2 ( u ，u ) 0 ， 交错扩散系数1 2 ( ，v ) 0 ，一k 2 i ( u ， ) 0 ， 自扩散表示由物种本身的密度变化引起的扩散交错扩散表示由对方的密度变化引起 的扩散 j u = 一 u ( t ， ) v u + 是1 2 ( u ，u ) v 和 厶= 一( 一七2 l ( “，v ) v u 十七2 2 ( “，u ) v u ) 可以分别看成u 和”沿。方向的扩散流量 k i 2 ( u ，”) 三0 表示食物“逃避猎物，向着 猎物密度小的方向迁移- k 2 i ( u ，”) so 表示猎物追赶食物，向着食物密度大的方向迁 移典型的反应函数可以是( 1 1 3 ) ，( 1 1 4 ) 或者( 1 1 5 ) 中的任何一种或者其它形式 竞争模型( “，”表示两种相互竞争的物种的分布密度) f 警= d i v m - ( u ，”) v u + ( u ，加”) 十m ，吡 l 裳= d i v u ，加场( 邺) v 卅出川， 其中自扩散系数k l l ( u ，口) ，2 2 ( u ，u ) 0 ，交错扩散系数k 1 2 ( u ，”) ，k 2 i ( u ，口) 0 ， 凡= 一 k l l 沁，v ) v u 十k 1 2 ( u ， ) v u ) 4东南大学博士学位论文 和 山= 一f 2 l ( ，v ) v u + k 2 2 ( u ，v ) v v ) 可以分别看成u 和”沿z 方向的扩散流量 k 1 2 ，2 120 表示u 和口互相躲避，向着对 方密度小的方向迁移典型的反应函数是 ，( “， ) = u ( a l b l u c l u ) ，9 ( “，u ) = u ( a 2 一b 2 u c 2 u ) 有关自扩散和交错扩散的生物学意义的更详细论述，可以参见 7 1 ，7 4 1 2 相关研究工作的发展概况 解的持久性、耗散性以及非负常数解的稳定性，是常微分方程研究生物数学的重要 内容对于偏微分方程来讲，不能期望像常微分方程那样得到比较完整的结果研究带 有齐次n e u m u n n 边界条件的反应扩散方程组的初边值问题的非负常数解的稳定性的早 期工作开始于7 0 年代末、8 0 年代初【9 ，2 2 ，2 3 ，6 9 ，8 0 ，8 6 ，9 0 之后，每年都有许多相关 论文发表其主要工具是不变区域方法，l y a p u n o v 泛涵结合l a s a l l e 不变原理比较 原理( 上、下解方法) ，先验估计结合能量方法近期的相关工作可以参见【2 9 ，7 9 另外， 讨论非负常数解的稳定性，也是研究t a r i n g 模式的前提和基础 反应扩散方程组的初边值问题解的大时间性质，与它的平衡解( 态) 问题有密切关 系该平衡解问题就是对应的椭圆型方程组的边值问题椭圆型方程组正解的存在性， 有时也称为共存问题 研究椭圆型方程组的齐次d i r i c h l e t 边值问题的正解的存在性的主要方法是上、 下解方法，锥上的拓扑度理论以及分支理论详细论述上、下解方法的文献可以参见 8 0 ，9 0 ，1 0 7 有关锥上的拓扑度理论的较早期文献有 2 ，1 7 之后，文献 1 ，6 ，2 0 ，2 1 ，2 8 ， 3 4 ，4 2 ，6 0 ，8 7 ，8 8 ，9 3 ，1 0 3 ，1 0 4 等都对该理论作了改进和推广，并给出了一些具体应用例 子 利用锥上的拓扑度理论和分支方法研究椭圆型方程组齐次d i r i c h l e t 边值问题正解 的存在性，主要困难是先验估计和线性化问题的特征值的分析这方面近期的主要工作 可以参见 3 2 ，3 3 ，8 2 j - 椭圆型方程组的齐次d i r i c h l e t 边值问题正解的唯一性也是一个重要而又困难的工 堑二雯煎互5 作对于一维区域上具有某种特殊结构的捕食方程组，j l 6 p e z g 6 m e z 和r p a r d o 6 2 首次给出了一个唯一性结果。之后，文献( 1 2 】又对这种方法作了改进并将其系统化文 献 6 3 通过研究线性方程组的特征值，给出了唯一性的较一般结论( 空间变量仍是一维 的) g u i 和l o u 在文献 4 3 】中研究了高维区域n 上竞争模型的边值问题 r a u = u ( 。一u 一6 u ) ， i，、 一”= ”【。一c “一”j ， 【= 。= o ， o q z n ， o a n 正解的存在性、唯一性和多鼹性d u 和l o u 3 2 ，p e n g 和w a n g 8 2 】利用分支理论和隐 函数定理分别研究了高维区域f 2 上捕食模型的边值问题 f 一u = u ( a - - l , c - - 而b y 五) ，z e n ， 1 山= ”( a 一”+ 志) ，z 呱 【u = u = o ， 。a q 和 f 一龇2 一u 2 一m u ， q ， 一”= 6 v - v 2 + 7 2 竺+ u 2 ，q ， 【u = 锄= o ，z a q ， 给出了正解的存在性、分支结构、稳定性和唯一性 模式生成( p a t t e r nf o r m a t i o n ) 问题，是现代科学和技术中的一个有重要理论意义和 实际应用背景的研究课题它描述了自然界中几种物质相互作用时，物质的结构变化 ( 生态学问题，化学反应，基因生成等) 1 9 5 2 年t u r i n g 发现当两个扩散系数之比很大时 ( 或者说一个系数很大，另一个系数很小时) ，常数平衡态的稳定性会发生改变 9 2 ：由稳 定【对常微分方程组两言) 变为不稳定( 对相应的反应扩散方程组而言) 人们就把这种现 象称为 l r i n g 不稳定性，并把由这种不稳定性导致的模式( p a t t e r n ) 称为，工h r i n g 模式或 者叫做”扩散导致的模式”这个理论引起t , k l j 极大的关注对众多实际问题，通过 实验发现t u r i n g 模式已成为物理学、化学、生物学( 生态学、分子生物学、生物医学) 等领域部分科学家的重要工作 5 ，1 6 ，1 9 ，3 6 ，7 5 ，8 3 ，9 l 】应用数学家希望通过数学模型从 理论上发现t u r i n g 模式例如著名的基因生成g i e r e r - m e i n h a r d 模型 4 l ，5 1 ，9 9 ，l 叭 ，三 6 壅直盔堂竖主兰焦迨塞一 分子化学反应g r a y - s c o t t 模型( 4 4 ，m o ，趋化现象扩散模型1 6 1 ，9 7 】，以及众多的生态学模 型5 4 ，6 4 ，6 5 ，7 7 ，7 8 ，7 9 ，9 4 ，9 6 】，都有i u r i n g 模式 现在，我们用数学语言解释，i _ i l r i n g 模式( 扩散导致的平衡态模式) 考虑一个实际问 题，如果认为密度分布是均匀的，它就对应于一个常微分方程组( 仅以两种物质为例) 象= m ，吐面d v = 小，n ( 1 21 ) 假设它有唯一的正平衡态，即代数方程组 ，( u ， ) = 0 ，9 ( u ，口) = 0 有唯一的正解( 面，o ) ，并且( 西，i ) 对于问题( 1 2 1 ) 而言是全局渐近稳定的我们再考虑 分布密度不均匀的情况，即相应的带有齐次n e u m a n n 边界条件的反应扩散方程组 害岫u = m ，毗。咄t o 裳_ d 2 ”刊叩) 堂：宴：0 ， d d p z a n ，t 0 其中v 是p n 上的单位外法向量这里的齐次n e u m a n n 边界条件表示环境是封闭的， 物种在边界上没有流量，所讨论的物种既不能从里面跑出去，也不能从外面跑进来显 然( o ，o ) 也是问题( 1 2 2 ) 的唯一正常数解扩散导致平衡态模式是说，在d l ，d 2 的某个 范围内，问题( 1 , 2 2 ) 有非常数的正平衡解 | i u r i n g 模式更深一层的问题是：如果一般扩散不能导致非常数正平衡解，那么交错 扩散是否可以导致非常数正平衡解呢? 这样的问题就称为由交错扩散导致的n r i n g 模 式 n r i n g 模式已经成为椭圆型方程组( 生态学模型、化学反应动力学模型等) 齐次n e u m a n n 边值问题的重要研究内容关于竞争结构模型，已有较多的研究工作仅列举文 献( 2 4 ，5 2 ，5 9 ，6 4 ，6 5 ，6 6 ，6 7 ，9 8 ，t 0 5 这里，我们重点介绍l o u ，m a r t i n e z ，n i 和y o t s u t a n i 关于交错扩散引起的竞争模型的l i u r i n g 模式的工作在文献 6 5 ，6 6 中，l o u 和n i 系 统研究了强耦合竞争模型的齐次n e u m a n n 边值问题 f 一【( d 1 + o l l u l 十口1 2 札2 ) 1 = 札i ( a l b l u l 一c 1 “2 ) ，z n ， 一a ( d 2 + a 2 1 珏l + n 2 2 t 2 ) “2 】= “2 ( 0 2 6 2 “l c 2 u 2 ) ， z n ， ( 1 2 3 ) 【磐= 警i o ， ze 弧 第一章前言 其中d 。，d ：，n 2 2 ，蛐，。2 。 0 ，分别是一般扩散、自扩散和交错扩散系数他们利用先 验估计、拓扑度理论和分支方法，给出了非常数正解的存在性和非存在性，以及当部分 扩散系数趋于无穷时解的渐近性质讨论了自扩散和交错扩散对非常数正解的存在性 的影响l o u ，n i 和y o t s u t a n i 在文献 6 7 】中详细研究了问题( 1 2 3 ) 的一个极限方程组 ( 一个偏微分方程和一个积分方程耦合) ，讨论了该极限方程组正解的存在性和不存在性 以及相关的定性性质在文献 6 4 中，l o u ，m a r t i n e z 和n i 研究了带有交错扩散的3 x3 竞争模型 】= u l ( a l o i l u i c 1 27 。2 c 1 3 “3 ) ，zen ： c 2 1 “1 一c 2 2 u 2 一c 2 3 u 3 ) ， z q ， c 3 1 “l c 3 2 u 2 6 3 3 u 3 ) ， z n = 0 ，o a n 深入讨论了交错扩散系数7 1 2 对正解的存在性的影响 相对于竞争结构模型，捕食结构模型的t u r i n g 模式研究的较晚，结果也较少主 要原因在于捕食结构模型的性质没有竞争结构模型的性质好，后者的解具有一种”序” 结构，而前者的解则没有这种结构这一重要差别单从上、下解理论就可以看出来我 们仅以两个分量( u ，”) 为例来说明分别用豇，型和i ，型表示“和 的上、下解，竞争结 构模型是拟减系统，( ，型) 和( 鱼o ) 是相互独立的；捕食结构模型是混拟系统，口，塑，i 和v 这四个分量不独立，任何一个都与其它三个有关系另外，对于古典的二次形式的 l o t k a - v o l t e r r a 捕食模型 容易证明，一般扩散、自扩散和交错扩散都不能导致t u r i n g 模式从这个例子也可以看 出捕食结构模型与竞争结构模型在形成t a r i n g 模式方面有着很大的差别 捕食结构模型的t u r i n g 模式的相关工作可以参见 8 ，1 3 ，1 4 ，3 8 ，5 3 ，5 4 ，7 0 ，7 2 ，7 7 、 7 8 ，7 9 ，9 4 ，9 5 ，9 6 ，1 0 0 ，1 0 1 ，i 0 6 这里，我们简单介绍 i 4 ，5 3 ，5 4 ，7 8 ，7 9 ，9 5 的工作 k a n 。0 i l 和m i m u r a 在文献【5 3 ，5 4 中利用奇异摄动方法研究了3 3 捕食方程组的一维 7 m 一 一 生v 地 i 幻挑一8 他“ 一一 + = = 聊一沁h 垆萨丝跏 = l 2 3 i一， 呐喝也c 喜l 百，-_j、1j_iii、 口b一 0 u 0 0 + 一 s r 一 ( ( u u = = 比一班如一出 ，j，、l 8东南大学博士学位论文 齐次n e u m a n n 边值问题 f d l u l z z = u 1 ( 。1 一；= 1b l j u j ) ，0 嚣 l ， j - d 2 “, 2 x z2 “2 ( 。2 一j 3 = t b 2 j “j ) ， o 。 1 ， f 124 1 i - d 3 u 3 x x2 “3 ( 6 3 l u l + b 3 2 u 2 一n 3 ) ，o 。 1 ， i “：( o ) = u ：( 1 ) = 0 ，i = 1 ，2 ，3 ， 其中，。，都是正常数他们采用构造性方法，研究了非常数正解的存在性和稳定 性但是，这种方法只适用于处理一维问题之后，w a n g 【9 5 】利用先验估计和拓扑度 理论讨论了( 12 4 ) 的强耦合形式 f 一晴l l ( u ) “1 z + k 1 2 ( u ) u 2 。 4 - k 1 3 ( u ) “3 z k = “l ( 。1 一；：lb t j u j ) ， j 一 k 2 1 ( “1 z + 2 2 ( u ) u 2 。+ k 2 3 ( “) “3 。 。2 “2 ( 口2 一j 3 = 16 巧u ) ，o o + 反并且在此条件下，正平衡态是 唯一的： ( 。删糟心卸删瓣，证字 他们证明了d ；( i 。，d 2 ，奶) 对常微分方程组( 1 2 8 ) 而言是全局渐近稳定的考虑相应的 反应扩散方程组 d u l o t 0 u 2 o t o u 3 乩 d 1 d d l a u l 。 t t l ( d 2 a u 22i t 2 l d 3 a u 3 = u 3l a ”2o u s o ua 一。u 。2 + u 塑。_ 。_ 3 ) ，x ef z , t 。， 一。+ 塾兰等l 1 ， 。n ， n u ， 一( z 十一， ztj 0 ，) ， 。土啦：、 、 ( m 9 ) r 咱一尝1 ，。 t o ， 。 札1 + u 2， 作者证明了对于任意的扩散系数d l ，d 2 ，如，正常数解d 对于反应扩散方程组( 1 2 9 ) 而言 还是全局渐近稳定的，当然就没有非常数的正平衡解这说明对此捕食模型，一般扩散 不能导致t n r i n g 模式再考虑有交错扩散的方程组 d “1 挑 毋札2 o t 8 1 上3 巩 d 豇 d p d l u l + 器) 讪( m 罴) 蛐一u 。- - 0 ：+ 怒) ， 蛐一u st - - t 1 3 一等警) ， 丝：丝：n a p8 ” z n t 0 霉n ，t 0 z f 2 ，t 0 z a n t 0 他们证明了在和的适当范围内，该强耦合问题存在非常数的正平衡解，即交错扩散 可以导致m a r i n g 模式 1 0东南大学博士学位论文 研究模式的另一种途径是考虑模型中的系数作为空间变量z 的函数，当某个系数 在区域的一部分上很小时，是否会有模式产生? 通常把这种模式称为非均匀环境模式 d u 和l if 3 1 】利用摄动方法，借助于文献【3 0 ，7 6 的结果，首次研究了单个方程的非均匀 环境模式之后，d u 2 5 ，2 6 ，2 7 ，d a n c e r 和d u 1 s ，d u 和h s u 2 9 】成功地研究了一类竞 争模型和两类捕食模型的非均匀环境模式证明了只要适当调整系数，就可以构造出预 先期望的模式另外，d u 和w a n g 3 5 】还讨论了文献 2 9 中得到的正解关于参数的渐 近性质 1 3 本文的主要工作 第二章讨论两个二种群的捕食模型，一个是具有b e d d i n g t o n 和d e a n g e l i s 响应函数 及齐次n e u m a n n 边界条件的捕食模型的初边值问题 鬻_ d l u 叫刊一熹 塞呐”( 焘一e ) ， o uo v 面2 瓦2 u ， z n t 0 o q ，t 0 、 ( 1 3 1 ) z a n t 0 u ( z ，0 ) = u o ( x ) 0 ，0 ， ( z ，0 ) = v o ( x ) 0 ，乒0 ，。f 2 另一个是具有h o l l i n g i i 型响应函数和修正的l e s l i e - g o w e r 项的捕食模型的齐次d i r i c h l e t 边值问题 f 一“= n “1 - - ? 2 一i + - m u ) ，z n ， 山一1 一羔) ， 。叫 ( 1 32 ) lu = = o 、z d n 研究了问题( 13 1 ) 的解的耗散性、持久性，非负常数怨的稳定性，非常数正平衡解的存 在性，以及问题( 1 3 2 ) 的正解的存在性与唯一性对问题( 1 3 1 ) ，我们得出以下结论： 定理22l x 十l b 3 题( 1 31 ) 的任意解( “， ) 有 i i m s u p m 肾x u ( ，t ) s1 ，1 m s u p i 。：f ”( ，t ) m a x o ，( 1 一女一k a ) ( m k ) t - + o ot-+oon 因此，对任意的 0 ，矩形f o ，1 + e ) o ，m a x o ，( 1 一k 一口) ( m ) ) + ) 是问题( 1 3 1 ) 在皿j 中的吸引区域 第一章前言 定理222 如果b m a k ，则问题( 1 3 1 ) 具有持久性 定理2 23 如果女( 1 + 8 ) 一1 且bsm ，则在“。0 的条件下，问题( 1 ，3 ，1 ) 的解在 q 上一致有 l i y z z ( u ( ，t ) ， ( ，) ) = ( 1 ，0 ) 因此( 1 ，0 ) 在瓞；中全局渐近稳定， 记0 = p o 2 1 肛2 p 3 1 一，令( i = m i n 1 ，肛l d 2 一( 1 一k ) ) 则存在正常数d 1 = d 1 ( ( ) ， 使得当d l d l 时，问题( 1 3 1 ) 没有非常数正平衡解 定理2 21 1 如果存在q l ，使得o & ( 地，d q - f 1 ) 记 旷窿羔i 薹 如果是奇数，则存在正常数d ，当d 2 d 时，问题( 1 。3 1 ) 有非常数正平衡解 对于问题( 1 32 ) ，记0 1 a 2 是算子一在q 上带有齐次d i r i c h l e t 边界条 件的特征值我们知道当 l 1 时，边值问题 有唯一正解，记为九 定理2 3 7 假定 a u = u b u 2 ，z n ；珏= 0 ，z a q 1 i ，a l ( a a f j 5 6 ) d 2 ，使得当d 3 d 3 时，问题( 1 3 4 ) 没有非常数正解 定理3 4 1 假定a e 2 + ( 1 + l o ) ( o + ) 如果存在k 1 ，使得o k = 笔l m ( m ) 是 奇数则存在d 1 ，d 2 0 和d = d ( d l ，d 2 ) 0 ，使得对所有如d ，问题( 1 3 4 ) 至少有一 个非常数正解 用品记一在n 上带有齐次n e u m a n n 边界条件的正特征值，即昂= p l ，卢2 ，) 对d 3 0 ，引入记号 ( d 3 ) = 肛 0 ：h ( d