（应用数学专业论文）基于分形插值函数的分形插值曲面的变差与计盒维数.pdf

学位论文版权使用授权书 i i i ii iii ii f l l li ! iiiif y 18 9 4 , , 。| l lm6ml u l u 6 r n ! , 2 i i i n 。 江苏大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆、中国学术期刊( 光盘版) 电子杂志社有权保留本人所送交学位论文的复印件和电子文档，可以采用影印、 缩印或其他复制手段保存论文。本人电子文档的内容和纸质论文的内容相一致， 允许论文被查阅和借阅，同时授权中国科学技术信息研究所将本论文编入中国 学位论文全文数据库并向社会提供查询，授权中国学术期刊( 光盘版) 电子杂 志社将本论文编入中国优秀博硕士学位论文全文数据库并向社会提供查询。 论文的公布( 包括刊登) 授权江苏大学研究生处办理。 本学位论文属于不保密口。 学位论文作者签名：凿辛色丽 弦1 1 年6 月f f 日 指导教师签名： lf 年 月i 日 基于分形插值函数的分形插值曲面 的变差与计盒维数 t h ev a r i a t i o na n db o x - c o u n t i n gd i m e n s i o no ff r a c t a l i n t e r p o l a t i o ns u r f a c eb a s e d o nf r a c t a li n t e r p o l a t i o nf u n c t i o n 江苏大学 2 0 11 年3 月 分形插值是分形几何理论及其应用研究中的一个重要内容它在 图形与图像处理、地理地质学科以及计算机动画仿真等许多领域都有 重要的应用一般通过构造三维空间中的二元迭代函数系，使其不变 集为过给定插值结点的某二元连续函数的图像，即分形插值曲面为 保证分形插值曲面的连续性，通常要求矩形区域四条边界上的插值结 点共面或各个小区域上所有压缩因子相等，这些条件要求过于严格， 从而限制了分形插值曲面的理论研究与实际应用但通过一元分形插 值函数生成分形插值曲面的构造方法，解除了这些限制性条件，使得 分形插值更具灵活性，更有利于实际应用 。 本文首先在绪论中简单回顾了分形插值理论的产生与发展，并概 括了本课题的研究现状和本文研究的主要内容，其次主要讨论了分 形的基本理论与基础知识，包括几种常见的维数，迭代函数系和分形 插值理论，然后给出了连续函数的中心变差的概念，研究了连续函数 中心变差的性质，并讨论了中心变差与变差、中心变差与计盒维数之 间的关系，最后介绍了正方形区域上基于分形插值函数的分形插值曲 面的构造方法，研究了这类分形插值曲面所对应的二元连续函数中心 变差的性质，并根据连续函数中心变差与函数图像计盒维数之间的关 系得到了这类分形插值曲面的计盒维数 关键词：二元连续函数，迭代函数系，中心变差，分形插值函数，计 盒维数，分形插值曲面 基于分形插值函数的分形插值曲面的变差与计盒维数 江苏大学硕士华位论文 a bs t r a c t f r a c t a li n t e r p o l a t i o ni sa ni m p o r t a n tp a r to ft h ef r a c t a lg e o m e t r ya n d i t sa p p i i c a t i o nr e s e a r c h i th a si m p o r t a n ta p p l i c a t i o ni nm a n yf i e l d s ，s u c ha s a n a l y s i so nf i g u r ea n di m a g ep r o c e s s i n g ，m a t e r i c a ls u b j e c t ，g e o g r a p h y a n dg e o l o g i c a ls u b j e c t ，c o m p u t e rs i m u l a t i o na n ds oo n f r a c t a li n t e r p o l a t i o ns u r f a c e sa r eu s u a l l yc o n s r u c t e da sg r a p h so fc o n t i n u o u sf u n c t i o n sw i t h t h eh e l po fb i v a r i a t ei t e r a t e df u n c t i o ns y s t e m s t h ei n t e r p o l a t i o np o i n t sa r e c o n s t r a i n e dt ob ec o p l a n a ra tf o u rb o u n d a r i e so ft h er e c t a n g u l a rd o m a i no r a l lc o nt r a c t i o nf a c t o r ss h o u l db ee q u a l ，a s s u r i n gt h ec o n t i n u i t yo ft h ef r a c t a l i n t e r p o l a t i o ns u r f a c e s t h ec o n d i t i o n so f t h e i rc o n s t r u c t i o n sa r ev e r ys t r i c t ， s ot h e i rt h e o r e t i c a lr e s e a r c ha n d p r a c t i c a la p p l i c a t i o s a r er e s t r i c t e d h o w e v e r , c o n s t r u c t i n gt h ef r a c t a li n t e r p o l a t i o ns u r f a c eu s i n gu n i v a r i a t e f r a c t a l i n t e r p o l a t i o n f u n c t i o n sc a nr e m o v et h e s er e s t r i c t i o n sa n dm a k e f r a c t a l i n t e r p o l a t i o n m o r ef l e x i b l ea n dm o r eb e n e f i c i a lt o p r a c t i c a l a p p l i c a t i o s i nt h i s a r t i c l e ，f i r s t l y , w eb r i e f l yr e v i e w t h en a i s s a n c ea n dt h e d e v e l o p m e n to ff r a c t a li n t e r p o l a t i o nt h e o r ya n dt h ec u r r e n ts i t u a t i o no ft h i s p r o j e c t f u r t h e r m o r e t h em a j o rc o n t e n to ft h e p r o j e c ti s s u m m a r i z e d s e c o n d l yw em a in l ys t u d y t h ef u n d a m e n t a lt h e o r yo ff r a c t a lg e o m e t r y i n c l u d i n gd e f i n i t i o n so fd i m e n s i o n ，i t e r a t e df u n c t i o ns y s t e m ( i f s ) a n dt h e t h e o r y o ff r a c t a l i n t e r p o l a t i o n t h e n w eg i v et h e c o n c e p t o fc e n t r a l v a r i a t i o n ，s t u d yt h e i rp r o p e r t i e so ft h ec o n t i n u o u sf u n c t i o na n d d i s c u s st h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e nv a r i a t i o na n dc e n t r a lv a r i a t i o na n db o x c o u n t i n g d i m e n s i o no ft h eb i v a r i a t ec o n t i n u o u sf u n c t i o n f i n a l l y , w ei n t r u d u c et h e c o n s t r u c t i o no ft h ef r a c t a li n t e r p o l a t i o ns u r f a c ed e r i v e df r o mt h ef r a c t a l i n t e r p o l a t i o nf u n c t i o no n as q u a r ef i e l d a n da l s ow e s t u d ys o m ep r o p e r t i e s o fc e n t r a lv a r i a t i o no ft h eb i v a r i a t ec o n t i n u o u sf u n c t i o nc o r r e s p o n d i n gt o i v 第一章绪论1 1 1 分形插值理论的产生与发展”1 1 2 本课题研究现状及本文研究的主要内容2 第二章分形基本理论与基础知识4 2 1 分形维数4 2 1 1分形维数的定义”4 2 1 2 计盒维数4 2 1 3 函数图像的维数5 2 2 迭代函数系6 2 2 1迭代函数系的基本概念6 2 。2 2自相似集和自仿射集8 2 3 分形插值理论9 2 3 1分形插值曲线9 2 3 2自仿射分形插值函数的计盒维数1 2 2 3 - 3 矩形域上的分形插值曲面1 3 第三章连续函数的中心变差与计盒维数1 6 3 1 一元连续函数的变差与中心变差1 6 3 2 分形插值曲线的计盒维数1 7 3 2 1一元分形插值函数中心变差的性质”1 7 3 2 2 分形插值曲线的计盒维数”1 9 3 3 二元连续函数的变差与中心变差及其性质”1 9 3 4 二元连续函数图像的计盒维数公式2 0 第四章基于仿射分形插值函数的分形插值曲面的变差与计盒维数2 1 4 1 基于仿射分形插值函数的分形插值曲面的构造”2 1 4 2 分形插值曲面的中心变差与计盒维数2 2 v 基于分形插值函数的分形插值曲面的变差与计盒维数 第五章基于二次分形插值函数的分形插值曲面的变差与计盒维数 5 1 弓i 言 一5 2 基于二次分形插值函数的分形插值曲面的构造 5 3 分形插值曲面的中心变差与计盒维数” 结束语 参考文献 在校期间发表论文 v l 1 1 分形插值理论的产生与发展 分形插值是拟合实验数据的一种新的有效的方法，它可以反映出曲线和曲 面上的粗糙性质自e u c l i d 几何学创立以来，人们就试图把人间的一些美妙几何 体，如圆、椭圆、双曲线和椭球等写成了数学语言随着基本初等函数如幂函数、 指数函数、对数函数和三角函数等的陆续出现，传统数学对几何体的描述仿佛变 得妙不可言但对大量存在的离散数据，这些玲珑乖巧的基本初等函数又变得无 可奈何，这就产生了插值这个几百年来说不尽道不完的课题尽管有n e w t o n 插值、 l a g r a n g e 插值、s t e r i n g 插值等方法面世，但都难以解决几何体的低阶全局光滑 问题，直到2 0 世纪6 0 年代样条插值函数的提出与应用，一个用低次多项式解决 全局光滑性的问题才算有一个圆满的解决可见几百年来，数学家对插值问题是 朝着愈来愈光滑的方向发展但事物总是又会朝着它的反方向发展：分形几何的 出现，人们先是设法用数学语言去描述大自然的宠儿一分形，但如同e u c l i d 几何 一样，尽管迭代函数系等数学语言可描述出分形几何的基本图形，如k o c h 曲线、 c a n t o r 三分集、s i e r p i n s k i 三角形等等一它们仿如e u c l i d 几何中的圆、椭圆、双 曲线一样，但对无穷无尽的大自然几何体，如闪电的痕迹、雪花的形状、山脉、 云彩、洞穴中悬挂的钟乳石、森林的轮廓、海岸线等等，这些分形现象的特点是 局部与整体具有自相似的性质，或是近似的，用传统的e u c l i d 几何进行描述与恢 复重现比较困难【1 3 】是人们想到了插值的方法拟合这些不规则的自然景观，但这次 可不是插值愈光滑愈好，而恰恰是它的反面，因为它插值的对象是分形，故这是 一种分形插值 分形几何实际上是大自然几何，分形插值函数当然可以去描绘大自然中那些美 不胜收的场景，如险峻的华山、妩媚的鲜花、甚至鬼斧神工的云南石林等等不 仅如此，分形插值函数也为拟合经验数据提供了一个新的途径虽然它不足以最 小二乘去拟合( 射流，火箭) 喷嘴处的时间温度曲线，也如同传统几何一样难以 分析由仪器读出来的脑电压，但它却能用于拟合下面的经验数据，即h a u s d o r f f 度 量空间中的数据，原因是分形插值函数的图形被看成是紧的 理论和方法 目前，对分形插值曲面的研究也取得很多理论成果，但是由于多元问题所特 有的复杂性，其研究进展的取得要比曲线的情形困难通过迭代函数系统构造分 形插值曲面( f i s ) 的方法是p r m a s s o p u s t n ( 1 9 9 0 ) 在数学分析和应用杂志 的题为“f r a c t a ls u r f a c e s ”的文章中首先引进的p r m a s s o p u s t n “1 2 1 考虑了在 三角形区域上引入二元迭代函数系来构造分形曲面问题他在三角形区域边界插 值节点共面的情况下，构造出了分形插值曲面g e r o n i m o 和h a r d i n n 硼研究了多边 形( 包括三角形) 区域上任意插值节点的自仿射分形插值曲面随后谢和平、孙 洪泉、l d a l l a 等人对矩形区域上的分形插值曲面的建立做了一定的工作对于 矩形区域上的插值节点，谢和平、孙洪泉等人n 钔给出了f i s 的数学模型，并且对于 插值节点等距的情况给出了维数公式d a l l a n 司考察了矩形区域边界插值节点共线 证明了i f s 的不变集是一连续的插值函数王宏勇等人对于分形曲面也进 江苏大学硕士学型论文 行了其它方式的构造，并研究了此类曲面的维毁及其性质边界插值节点共线的 条件保汪了分形插值曲面的连续性，但这一条件过于严格，明显限制了分形插值 瞳面的逦用冯志刚n 刚讨论了一般边界条件下的分形插值曲面连续性问题，给出 了判断条件对于等距插值节点，r o b e rm a l y s z n 7 1 利用镜面反射构造了有相同压 缩因孑的i f s ，给出了构造f i s 新的方法，这种方法不要求插值节点在边界上共线， 但仍能保证分形插值曲面的连续性在此基础上，徐惠、冯志刚“踟对r o b e rm a l y s z 的方法给出了进一步推广，并研究了这类分形插值曲面的变差与计盒维数江镅、 冯志刚1 9 1 对多参量分形插值曲面进行了相关探究 变差n 6 一踟和维数m 2 2 1 是量化曲线和曲面粗糙性质的重要参数d u b u c 、t r i c o t 及o u i n i o u 砼5 。矧等介绍并研究了连续函数的变差问题利用变差的性质可以计算连 续函数的图的计盒维数，文志英砼4 3 给出了连续函数图像的计盒维数的计算公式王 磊、冯志刚啪1 由连续函数万一变差的性质入手讨论了分形插值函数6 一变差的性质， 并估计它的阶，用它来重新证明了分形插值曲线盒维数定理由此得到了分形插 值曲线盒维数定理另一种新的证明方法，这样就提出了计算和证明分形插值函数 图像维数的一种新的思路 本文借助连续函数万一变差的性质来研究连续函数万一中心变差的性质，并以 此探讨基于分形插值函数的分形插值曲面的计盒维数第三章给出了连续函数中 心变差的概念，并讨论了中心变差与变差以及中心变差与计盒维数的关系第四 章中借鉴文献 3 0 1 构造分形插值曲面的方法，利用仿射分形插值函数导出分形插值 曲面，研究了仿射分形插值函数中心变差的一些性质，并对二元分形插值函数的 中心变差进行了估计，最后利用连续函数的中心变差与其图象计盒维数之间的关 系得到了这类分形插值曲面的计盒维数第五章中，借助二次分形插值函数构造 分形插值曲面，讨论了生成的分形插值曲面的连续性问题，并研究了这类分形插 值曲面的中心变差与计盒维数 3 基于分形插值函数的分形插值曲面的变差与计盒维数 第二章分形基本理论与基础知识 2 1分形维数 2 1 1 分形维数的定义 维数是几何对象的一个主要特征量，它是几何对象中一点的位置所需要 立坐标数目，而在对分形的研究中，分形维数瞳卜2 4 1 是分形的基本理论，同时也 糙轮廓设计、评定中十分重要的参数 在分形几何学理论中，分形维数( 简称：分维) 可用来标志一个分形集的复 杂过程，它不是通常欧氏维数的简单扩充，而是赋予了许多崭新的内涵分维的 重要性在于它们能够用数据定义，并且能通过实验手段近似地计算，它已突破一 般拓扑集的整数维的界限，引进了分数维每个分形集都对应一个以某种方式定 义的分形维数，这个维数一般是分数，但也有整数维的分形集( 例如：p e a n o 曲线 的维数为2 ) 分形维数之所以有多种定义，是因为还没有找到对任何集合都适用 的定义针对不同的研究对象，对应测定维数的方式也不同 不同方式定义的分形维数已成为分形几何的主要研究工具，这些维数都有一 定的应用场合，有的理论性强一些，有的应用强一些常见的分形维数有：h a u s d o r f f 维数、计盒维数、填充维数、自相似维数、关联维数以及功率谱维数等其中， h a u s d o r f f 维数、计盒维数在任何集合上都可以定义，它们在分形理论与应用中起 着极其重要的作用本文主要研究的计盒维数 2 1 2 计盒维数 计盒维数( b o x - c o u n t i n gd i m e n s i o n ) 或称盒维数( b o xd i m e n s i o n ) 是应用 最广泛的维数之一，它的普遍应用主要是由于这种维数的计算及经验估计相对容 埸一些这一维数的研究可以追溯到二十世纪三十年代，并且对它还有许多其它 的称呼：m i n k o w s k id i m e n s i o n 、k o l m o g o r o v 熵、熵维数、容度维数、度量维数、 对数维数和信息维数等等 定义2 1 1 陇1 设f 是尺“上任意非空有界子集，n 占伊) 是直径最大为万，可 江苏大学硕士学位论文 以覆盖f 的集合的最少个数，则f 的下、上计盒维数分别定义为： d i m 丹而l i m 掣1 0 笋， ( 2 1 1 ) j _ 0 2 d d i m 口f ：l i ml o g n , s ( f ) ( 2 1 2 ) 5 。o l 0 9 6 如果这两个值相等，则称这个公共值为f 的计盒维数或盒维数，记为： d i m n f = l 籼i m 等乎 ( 2 ) 通常人们所说的分形维数就是指计盒维数从定义可知，对于一系列码尺万， 只要确定出相应的盒子数占伊) ，就可以通过公式( 2 1 1 ) 一( 2 1 3 ) 计算出集合f 的上、下计盒维数和计盒维数然而，如何来确定上面定义中的盒子数艿妒) ，这 仍然是一个难以解决的问题为此，人们给出了下面的等价定义 等价定义蚴尺“上任意非空有界子集f 的下、上计盒维数以及计盒维数分别 由公式( 2 1 1 ) 一( 2 1 3 ) 给出，其中占但) 是下列五个数中的任意一个： ( 1 ) 覆盖f 的直径为万的集合的最少个数； ( 2 ) 覆盖f 的半径为万的闭球的最少个数； ( 3 ) 覆盖，的边长为万立方体的最少个数； ( 4 ) 中心在f 上半径为万的不交球的最多个数； ( 5 ) 与f 相交的万一网立方体个数( 万一网立方体是形如 【，z 1 万，( ，z l + 1 ) 万) 【万，( m 2 + 1 ) j ) 【珑。万，( m 。+ 1 ) 万) 的立方体， 这里 ，l l ，m 2 ，m n 是整数) 2 1 3 函数图像的维数 降d 时具有理论和实际应用的许多令人感兴趣的分形是以函数图像形式出现 的确实，当许多现象被绘制成时间的函数时，就显示了分形的特性相应的例 子包括大气压强、容器中液体的水平高度、股票市场的价格等，至少当记录的数 据跨越较长的时问间隔时便是如此 定义2 1 2 已知连续函数厂：【口，b 卜争尺，则平面尺2 上的子集 g ，印而( 厂) = ( x ，厂( x ) ) l 口x 6 j ( 2 1 4 ) 气 基于分形插值函数的分形插值曲面的变差与计盒维数 称为函数厂的图像 g r a p h ( f 1 是尺2 上的一条连续曲线，它是一个闭集不少函数图像上下波动比 较剧烈，呈现出分形的特征，其中最著名的例子是w e i e r s t r a s s 函数： 形( x ) = 扩2 ps i n ( a “x ) ， ( 2 1 5 ) 其中1 1 现引入记号尺，【五，x 2 】 表示，在区间【五，x 2 】上的振幅，即 r 【_ ，屯】_ 叩，i 厂( x ) 一厂( x 。) i ( 2 1 6 ) x 声i ，屹j 引理2 1 1 设厂：【o ，1 】专尺连续，又设o 8 1 ，m 是大于或等于万- 1 的最小 整数，用虬表示万坐标网正方形与g ，? 印乃( 厂) 相交的正方形个数，则有 万一髟 f j ，( f + 1 ) 万 虬 0 ，有 i 厂( x 。) 一厂( x 。) l c l x - - x 1 2 。5 ，1 s 2 ， ( 2 1 8 ) 则有 d i m 且g r a p h ( f ) s ( 2 1 9 ) 推论2 1 1 设厂：【o ，l 】专尺连续，满足l i p s c h i t z 条件，则有 d i m 口g r a p h ( f ) = 1 ( 2 1 1 0 ) 2 2 迭代函数系 2 2 1 迭代函数系的基本概念 6 在分形几何领域里，迭代函数系统方法最先由j e h u t c h i n s o n 在 3 3 中引进， 江苏大学硕士学位论文 被m f b a r n s l e y 和s d e m k o 3 推广，是一个相对的比较容易的生成分形图象的方法 1 分形空间 设( x ，d ) 是完备距离空间，用冗( x ) 表示由x 的非空紧子集的全体组成的空 问令点x h 似) ，定义： d ( x ，b ) = m i n d ( x ，y ) ：y b ) ， b 日 ) ( 2 2 1 ) 为点x 到集合b 的距离由于集b 氕( x ) 是非空紧集，可以证明实数集 d ( x ，y ) ：y b 包含一个最小值，也就是说，一定存在一个y b ，使 d ( x ，y ) = d ( 石，b ) ，令a ，b 咒( x ) ，定义： d ( a ，b ) = m a x d ( x ，b ) ：x ea )( 2 2 2 ) 为集合a e h ( x ) 到集合b h ( x ) 的距离定义： h ( a ，b ) = d ( 彳，b ) v d ( b ，a ) ( 2 2 3 ) 为7 - ( x ) 中两点a 与b 之间的h a u s d o r f f 距离符号v 表示两个实数中取较大 由此，我们称( 咒( x ) ，办( d ) ) 为分形空间可以证明分形空间具有完备性 2 压缩映射 不动点：设厂：彳_ x 是距离空间上的一个变换，如果( 0 ) = o ，则称_ e x 为厂的不动点( f i x e dp o i n t ) 压缩映射：设厂是距离空间上的一个自身映射，即厂：x 专x ，如果存在一常 数s ，0 s 1 ， 如果口= 1 i ， 月，、一 ， f ( x ) - f ( y ) i cx - y “ ( 2 2 5 ) 函数，就是常数； 厂被称为l i p s c h i t z 函数； 7 一个双曲的i f s 的唯一的吸引子彳是满足下面条件的唯一的集合： 1 i m w ( ) = 彳 对于任何集合e o ，吸引子表示毛在w 的连续作用下得到彳，a 也是唯一的 n ( x ) 中对不变的集合，也即w ( a ) = 彳因此从这个意义上我们称彳是i f s 的不变集一般来说，i f s 的吸引子是分形 2 2 2 自相似集和自仿射集 ( 1 ) 自相似集 给定映射族s 。，s 2 ，s k ：r 4 专r “，满足下式 i s i ( x ) - s i ( y ) i = ql x - y l ， ( 戈，y 尺“) ， ( 2 2 6 ) 其中0 q 1 ( c f 称为s i 的压缩比) 于是每个s , er “的子集变换成几何相似 样的相似变换族之下的不变集f 称为( 严格) 自相似集，它是一些与总 较小的相似部分的并 2 2 1 对于映射族& ，s ：，s 。：尺”j r “，q 为s i 的压缩比若s 满足开 即存在非空有界开集y 使得对于不交的并，有蓦ms ，0 i ) y ，且对于此映 江苏大学硕士学位论文 射族的不变集f ，它满足f = u s 妒) ，则d i m h 俨) = d i m b 旷) = s ，其中s 由 簟= l 给出证明见参考文献，2 z i = l ( 2 ) 自仿射集 自仿射集组成一类重要的集类，它包括自相似集作为它的特殊情形 在r2 上的仿射变换( a f f i n et r a n s f o r m a t i o n ) 是形如s ( x ) = a x + b 的变换， 其中口和b 是常数，a 是压缩因子，d 是平移因子 在r 2 上的变换缈：尺2j j r 2 形式为：c o ( x , ，x 2 ) = ( 眠+ + p ，+ 如+ 厂) ，被 称为二维仿射变换其中口，b ，c ，d ，e 和厂是实数，通常也写为如下形式： 缈c x ，= 缈( 乏 = ( ：三 ( 乏 + ( ；) = a x + ， ( 2 2 7 ， 其中a 是2 2 矩阵，t 是列向量确定相对于原点的线性变换有：比例变换，旋转 变换，反射变换以及位错变换 一般地，仿射变换缈：r “一r “是具有下面形式的映射： s ( x ) = 丁( x ) + 6 ， ( 2 2 8 ) 其中丁是r “上的线性变换( 可以表示成一个r x 疗矩阵) ，而b 是r “中的一个向 量于足仿射变换是平移、旋转、伸缩，可能还有反射的组合特别地，s 把球映 射成椭球，把正方形映射成平行四边形等与相似映射不一样，仿射映射在不同 方向上有不同的伸缩比 如果s ，s ：，s 。是r 。上的仿射压缩映射，则由定理 2 3 1 保证的s ：的唯一的紧不变集f 称为自仿射集c a n t o r 三分集、s i e r p i n s k i 挚片和k o c h 曲线都是由仿射变换构成的迭代函数系的吸引子 2 3 分形插值理论 2 3 1 分形插值曲线 分形插值函数首先由b a r n s i e y n 给出，它为数据拟合提供了一个新的途径， 具有很强的灵活性，只要适当的调整它的参数值，所生成的曲线的维数就可以是 9 基于分形插值函数的分形插值曲面的变差与计盒维数 介于1 到2 之间的任意值为此分形插值曲线不仅可以用来拟和光滑的曲 i l 更是在不光滑曲线的拟合中显示出其独特的优越性在选取不同的尺度 f ，我们还可以对于插值误差进行控制3 1 分形插值与传统的函数插值既 点也有不同点：相同点在于都需要根据一组给定的插值点( 采样点) 通过 觇则构造插值函数；不同点在于传统方法在整个区间内构造出一个函数或 段函数，而分形插值在整个区间内构造出一个i f s ，即从函数空间内的任一 利用i f s 进行迭代，其吸引子为通过这组插值点的函数点图，该图由i f s 通常的一个解析函数来确定 一般地，下述仿射变换可以作为分形插值需要构造的i f s ： 给定闭区间，= 【口，b 】，令a = x o x a = 6 是，的一个分划， n 2 令，y l ，y 是任意的一组实数，k = i xr 记= 【毛巾毛】，i = 1 , 2 ，n 令厶是，- + i i 的一个压缩同胚映射，满足： 厶( x o ) = x t 一。，厶( h ) = 薯， ( 2 3 1 ) 并且对某个0 1 ，有： l 厶( u 1 ) 一厶( “：) i t j u 。一甜：l ， v l l l ，比：， ( 2 3 2 ) 令e 是k r 的连续函数，满足条件： z ( ，y o ) = y j 一。，只( x n ，y ) = 咒， ( 2 3 3 ) 并且对某个0 纽1 ，有： l f ( “，m ) 一f ( “，屹) i 吼i h 一屹i ，v u el ，v l ，v 2 尺，( 2 3 4 ) 定义映射q ：k 专k q 姒之鼢吼2 ，肌 亿3 5 ， f j l 0 k ：哆，i = 1 ，2 ，n ) ( 2 3 6 ) 构成一个迭代函数系 定理2 3 1 存在，上的连续函数厂，使得厂的函数图像 g = 卿办( 厂) = ( x ，厂( x ) ) 睢，) 1 0 江苏大学硕士学位论文 是迭代函数系 k ：哆，i = l 2 , ，n ) 的不变集，即g = u q ( g ) ，并且 i = 1 厂( ) = y i ，i = 1 , 2 ，一，n 我们称这样的，是对应于 k ：q ，汪1 ，2 ，n 的分形插值函数( f r a c t a l i n t e r p o l a t i o nf u n c t i o n ，简称f i f ) 厂的函数图像是一条分形插值曲线 用日( k ) 表示由k 表示的非空子集组成的集合，其中k = l x r 定理2 3 2 厂是对应于迭代函数系 k ：q ，f = 1 ，2 ，n ) 的分形插值函数， g = g r a p h ( f ) ，则对于任意的么h ( k ) ，有： 舰办( 缈“( 彳) ，g ) = o ， 从而分形插值函数是唯一的 特别当厶( x ) 和丘( x ，y ) 都是线性函数时，( 2 2 7 ) 可以写成如下的形式： q ( ；) = ( ：三 ( ； + ( 羔) ，i = 1 , 2 ，n ( 2 3 7 ) 这时候有厶( x ) = q x + p f ，f ( x , y ) = q x + d ，y + z ，由条件( 2 2 2 ) 和( 2 2 4 ) 可知： o i a ，i 1 且 ( 一，只) i ，i = 0 ，1 ，2 ，n ) 不共线， ( 2 3 1 0 ) 那么对应的自仿射分形插值函数图像的计盒维数s 由下式确定： s=+l。g兰1 l o gl o g n ； c 2 3 1 1 ) i = l s=+；( 2 3 否则s = 1 又若进一步假定v i ，d ，= d 并且满足条件( 2 3 1 0 ) ，则有 s = 2 + l o gd l o g n ( 2 3 1 2 ) 从( 2 3 1 2 ) 看出，当d 从l 逐渐递增到1 时，其对应的分形插值函数的计盒 这一类分形插值函数，它们的计 完全由纵向尺度因子决定 别是0 ，0 2 ，0 5 ，0 7 时的分形插值 图2 3 1s = 0 的分形插值曲线图2 3 2s = 0 2 的分形插值曲线 图2 3 3s = 0 5 的分形插值曲线 图2 3 4s = 0 7 的分形插值曲线 2 3 3 矩形域上的分形插值曲面 不失一般性，设平面区域d = ，j = x ，少) ：口x 6 ，c y d ) ， 把它分割成 边长为a x 和卸的小区间：g = x o 五 x u = b ，c = y l y m = d ，在d 上给定一组插值结点： x i ，乃，乞，) ：i = 0 ，l 1 一，n ；j = o l ，1 一，m ) ， ( 2 3 1 3 ) 构造插值函数厂：d 专r 满足： 厂( 薯，乃) = 刁，i = o ，1 ，；_ = o ，l ，m ( 2 3 1 4 ) 令空间s = d x r ，在s 上定义任意两点的距离为： d ( ( q ，6 1 ，c 1 ) ，a ：，5 2 ，巳) ) = m a x i q - - a 2 ，i6 l 一也i ，i q - - c 2 i ) ， 1 3 e ，又必须是压缩的： f ，( ，y o ，z o o ) - ：z i _ l 一， f ，( ，m ) = z j - l ， f ( h ，儿，知o ) = 乞1 ， f q b n ，y m ，z n m ) ：z t r f ( q ，2 j i ，q ) 一f ，( 0 2 ，b 2 ，c ：) l qc l - - c 2 i ，o q 1 ( 2 3 1 6 ) 特别地，谢和平n 钔，d a l l a n 司等研究了矩形域上分形插值曲面的迭代函数系， 通过计算，由( 2 3 1 5 ) 得到如下一组分形插值曲面的迭代公式 令 ( 2 3 1 7 ) f i j 0 x , y ，z ) - ：s i 。j z + b l 。j x + d u y + c 。x y + k , 。j ( 2 3 1 8 ) 其中o 墨，j o ，f ，称f o ，占( t ) d t 为函数在，上的万一变差，记为吩，占( ，) ，简记为称f o ；，j ( t ) d t 为函数在【口，6 】上 的万一中心变差，记为占( ，) ，简记为艿 函数厂的总变差定义为：_ 2 s 则u p f ( t ) 一1 9 ( f ) 由( 3 1 1 ) x - ，显然有： 1 ，v 厂，占( ，) ，e ，占( ，) _ ，占( ，) 则由文献 2 4 变差的初等 性质得到中。心变筹的初等件质 1 6 江苏大学硕士学位论文 定理3 1 1 ( 1 ) 对所有的连续函数厂( ，) 及任意万 0 ，下列陈述等价： ( i ) j = o ； ( i i ) 对任意f j ，g ；艿( ，) 2 0 ； ( i i i ) 厂( ，) 在，上为常数； ( 2 ) 对任意的常数c l ，c 2 ，+ 包；占= i c l i 吆艿； ( 3 ) ；占一吆；占 睢魄j ；j + ；艿 连续函数图像的维数与覆盖它的最少盒子数有关，这是维数的定义里的文 献 2 4 给出了变差与其函数图像的计盒维数，这里根据变差与中心变差的关系， 可得如下计算公式： 定理3 1 2 设连续函数厂：，jr ，r ( r ，) 为，在，上的图像，则 d i m 巾( 圳= l i m ( 2 一警 ， 酬叭炉l 洲i m i 缸( 2 一警 这罩的万一中心变差就相当于维数定义里的最少盒子数；俨) 3 2 分形插值曲线的计盒维数 3 2 1 一元分形插值函数中心变差的性质 分形插值函数是连续函数，因此连续函数变差的性质它都满足，此外，它还 有自己特殊的性质 考虑下面的线性分形插值函数： 设i = 【o ，1 】，i 上的一组剖分为：o = x o 葺 h = 1 定义连续函数 l i ：i 专，厶( x ) = g l ，x + e i ：e ：i x r _ 尺，f ( x ，y ) = t y + a ( x ) ，其中易( z ) p ( ， 次多项式) ，且满足厶( x o ) = 墨书厶( h ) = 而；鼻( 而，肋) = 只一，f ( h ，肌) =