（计算数学专业论文）hamiltonjacobi方程与对流扩散方程的新算法.pdf

博士学位论文 摘要 本文研究h a m i l t 0 i “a c o b i 方程和对流扩散方程的一些新的数值解法，建立这些 方法的稳定性和收敛性，并通过大量的数值实验对所提出的算法进行检验 在第2 章基于单调数值通量和导数的分片线性重构，我们构造了一种差分格 式一m u s c l 格式求解发展型的h a m i l t o n - j a c 0 b i 方程，并且证明了在一维情形下 m u s c l 格式具有t v b ( t 0 t a lv a r i a t i o m lb o u n d e d ) 稳定性我们还进行了大量的数值 实验，结果表明m u s c l 格式具有二阶精度，而且产生的数值解没有出现伪振荡， 在类似于角点的间断处有很好的分辨率 第3 章，我们提出了一种求解任意维数的静态h a m i n o n - j a c o b i 方程的松弛型 l a ) 【f r e “c l l s 扫描方法( r l x f s m ) ，该方法足l ) 【f s m 格式的一种推广并包含l 时s m 格式作为其特殊情形我们在r l x f s m 格式中，采用s o r 迭代取代l x f s m 格式中的 g a u s s s e i d e l 迭代，当松弛因子o = 1 时即为原来的b 【f s m 格式我们证明r l x f s m 格式拥有著名的快速扫描算法【8 3 】的一些重要基本性质。如非增性和单调性以及 保序性同时i u ) 【f s m 格式继承了l x f s m 格式的最大优点，可以处理凸和非凸的 h 绷i l t o n i a n ，不管它们是否可微我们的大量数值实验表明当u 略大于l 时r l x f s m 格式的迭代次数显著减少 第4 章我们提出了一种l d g ( l o c a ld i s c o n t i n u o u sg a l e r k i n ) 和c f e m ( c o n f 0 嘞i l l g f “t ee l e m e n tm e t l l o d ) 相结合的方法求解对流扩散方程，我们称之为l d g c f e m 耦 合方法其基本思想尾将整个求解区域分为两个不重叠的子区域，利用l d g 和 c f e m 算法的优点，在解变化较快的区域采用l d g 方法，在解较光滑的区域采用 c f e m 方法l d g c f e m 耦合方法继承了l d g 方法有较好的稳定性的特点，同时 也拥有c f e m 方法计算量较小的优点我们在拟一致网格上建立了该方法的稳定 性和收敛性的理论，并导出了在相应d g 范数下的收敛率为tp ( ( 1 2 + 1 2 ) 胪) ， 其中 为网格尺寸，七为多项式的次数我们的数值结果验证了本文理论结果的 最优性尽管在本章我们只针对l d g 这种特殊情形分析了d g 与c f e m 耦合方法 的稳定性和收敛性，但是本章所用的分析方法可以用于分析所有包含在a m o l d e t a l 1 0 6 】一致分析框架下其它的d g 与c f e m 相耦合的方法 第5 章我们进一步研究第4 章提出的l d g c f e m 耦合方法在s h i s h “n 网格上求 解一维对流扩散型奇异摄动问题的稳定性和一致收敛性对于线性元情形，我们提 出了一个比较简单的方法证明一致收敛性即我们不需要采用解的分解技巧，这 足一般方法在层自适应网格上证明一致收敛性所必需的基于t o b i s l 【a 在文献 9 l 】 中介绍的插值算子，我们首次证明了l d g c f e m 耦合方法高阶元的一致收敛性 对七l 元在相应d g 范数下的一致收敛率为0 ( “l i l 蔚) ，其中为s h i s h l ( i n 网 i l h 锄i l t o n - j a c o b i 方程与对流扩散方程的数值解法 格的自由度数值算例验证了理论结果的正确性 第6 章我们进一步研究第4 章提出的l d g c f e m 耦合方法在s h i s h k i n 网格上求 解二维对流扩散型奇异摄动问题的稳定性和一致收敛性由于t 0 b i s l ( a 的插值算子 不易推广到二维情形，所以本章只能证明双线性元的一致收敛性，我们得到了在 相应d g 范数下的一致收敛率为p ( ql n ) 我们的数值结果验证了理论结果的正 确性，还表明该方法在驴范数下有最优的一致收敛性，即在l 2 范数下的收敛率为 p ( _ 2 ) 关键词：h 锄i l t - j a c o b i 方程；对流扩散方程；l a x f r i e “c l l s 通量；间断有限元； s h i s h k i n 网格；一致收敛性 博士学位论文 a b s t r a c t i nt h i st h e s i s ，w ep 代s e n ts o m en e wm e m o d sf o rn 哪研c a l l ys o l v 血gh 锄i l t - j a c o b i 唧斌i o n sa n dc o n v 鳅i o n “胁s i o ne q 岫t i o n s w c 劬c s t i g a t ct h e 渤b i l i t i e s 跹dc o n v c 唱e i l c c p r o p e f t i e s 锄dn m n e r i c a lp e 墒m l a n c e s o ft h e s em e t h o d s 1 nc h a p t e r2 ，b 髂e do nt h em o t o n e n u m e r i c a l 觚x 锄dp i e c e w i l i m a rr c c o n s t m c t ：i o n m e m o df 0 rd e r i v a t i v e ，w ec o n s t m c ta 矗n i l ed i 胞r e n c es c h e m e _ m u s c ls c h e m ef i t i m ed e p e n - d th 锄i l t o n - j a c o b ie q u a t i o n s i ti sp r 0 v e d 也a tt h em u s c ls c h e m ep o s s e s s c st h ep p e r t y o f i r v b ( t 0 t a lv a r i a t i o n a lb o 衄d e d ) s t a b i l i 移i n0 n ed i m e n s i o n a lc a s e w ba l s od oe x t e l l s i v e 腿一 m e r i c a le x p e r i m e n t s t h er e s u l t ss h o wt t l a t “i sas e c o n do r d e rs c h e m e 觚df _ r e e 丘l o ms p 嘶o u s o s c i l l a t i o n s i na d d i t i o n ，i tl l a s9 0 0 dr e s o l u t i o na tt h ec o m * l i i 【ed i s c o n 陆u i 啦 i l lc h a p t 盯3 ，w ep r e s e n tar c l a x a t i o nl a x f d e 蹦c l l s 洲e 印i n gm e t h o d ( 灶艘s m ) f o r s t a t i ch a m i l t o n - j a c o b ie q l l a i o n sw i t ha r b i 饿ys p a t i a id i m c n s i o n s t h em e t h o dg e n e r a l i z e st h e l x f s ms c h e m e 龃di 1 1 c l u d e st h el x f s ms c h e m e 舔as p e c i a lc 硒c i nt h er l x f s ms c h e m ew e u s cs o rr e l a x a t i o ni t e 豫t i o ni i l s t c a do fg a u s s - s e i d e l i t e r 嘶o ni nl x f s m w h e nt h er e l a x a t i o n 鼬t o r u = l ，t h er l x f s ms c h e i n e 川u c e st 0t h el x f s ms c h e m e 1 ti sp r 0 v e d t l l a t t h er l x f s m s c h e m ee n j o y ss o m en i c ep m p e n i e so f t h ew e l l - k n o w nf a s ts w e e p i n gm e 也o d 8 3 】，s u c h 硒t h e n o n - i 1 1 c r e a s i n g ，m o n o t o n i c i t ya n do r ( 1 e rp r e s e r v i n gp r o p e r t i e s 1 na d d i t i o n ，i ti n h e r i t st h em a i n a d v 锄t a g eo ft h el x f s ms c h 锄e 锄dc a nd e a lw i m b o t hc o n v e ) 【觚dn o n c o n v e xh 撇i l t o n i a 璐， n om a t t e fd i f 】衙e n t i a b l e0 rn o tt h e ya r e t h ep f e s e n t e de x t e n s i v cn u m e f i c a lr e s u l t ss h o wt h a tt i l e 仙m b e ro fi t e r a t i 伽si sr e d u c e d e 、，i d e n yw h 饥u i ss l i g h t l yl a l 苫e rt l l a no n e i nc h a p t e r4 ，b yi n c o o p e r a t i n gm el o c a ld i s c o n t i 删o u sg a l e r k i n ( l d g ) m e t h o d 觚dt h e c o n f o m i n g 血沁e l 锄e n tm e m o d ( c f e m ) w ed e v e l o pa s o - c a l l e dl d g c f e mc o u p l e dm e t h o d ， f o rs o l v i n gc o i e c t i o n d i 凰s i o np r o b l e l i l s t h eb a s i ci d e ao ft h el d g c f e mc o u p l e dm e 【h o d i st 0s p l i tt h ed o m a i ni n l ot w od 两o i n ts l l b d o m a i n s t a k i n gi l l t oa c c o u tt h ca d v a n t a g e so ft h e l d g 龃dc f e mm e m o d s ，w ea d o p tt h el d gi nt h es u b d o m a j nw h e r et h es o l u t i o nv a r i 铭r a p i d l y w h i l et l l ec f e mi nu l eo t l l e rs u b d o m a i nd u et oi t sl o w e rc o m p u t a t i o n a 重c o s t t h el d g c f e m c o u p l e dm e t h o dr c s e e st h eg o o ds t a b i l i 够p 泖哪o ft h el d gm e t l l o d m e a i l w h i l e ，i th a s t l l el o w e rc o m p u 枷0 nc o s ta d v a n 魄eo ft l l ec f e m 1 1 1 es 劬i l n ya n da 砸o r ie 肿re s t i i i l a t e a 陀e s t a b 】i s h e do nt t l eq u a s i 硼i f l o n nm e s h t h ec o n v e 玛e i l c er a t eo ft h el d g c f e mc o u p l e d m e t h o di sp r o v e di ob e0 ( ( e 1 2 + 九1 2 ) 奄) i n 锄a s s o c i a t e dd g n o m ，w h e r eei st l l ed i f 】融s i o n c o e m c j e n t ，hi st h em e s hs i z ea n d 怒i st h ed e g r e eo f p o l y n o m i 越t b er e p o r t e dn u m e r i c a lr e s u l t s v e r i f y 也es h a r p n e s so fo u ft h e o r e c t i c a lr e s u l t s a i t h o u 曲i nt h ep r e s e n tw o r k ，w eh a v eo n l y 锄a l y z e dt h el d g c a s ei nt h ed g c f e mc o u p l e d 印p m a c h ，o u rm e t h o dc a nb eg e n e r a l i z e dt o a l lo t h e rd gm e t h o d sb e l o n gt 0t h eu n i 矽厅锄e w o r ko f a m o l de ta l 【1 0 6 】 i v h a m i i t o n - j a c o k 方程与对流扩散方程的数值解法 i nc h 印t e r5 ，w e 缸胁e ri n y e s t i g a t em e ：s t a b i l 姆锄dt h eu n i f o mc 册v e 唱e n c eo ft h e l d g c f e mc o u p l c dm e t h o dp i d p o s e di i lc h a p e r4f o ro n ed i m e 璐i o n a ls i i 强l l a r l yp e m 曲c d p r o b l 锄w i t hc o n v e c t i o n - d i m j s i o nt y p e s h i s h k i i lm e s h i nm e c a s eo f l i 北甜e l e m e n t ，w eg i v e as i m p l ew a yt 0p r o v et h eu n i f o m lc o 玳，e i g e n c e s p e c m c a l l y ，w en e e dn o tt ou t h es o l u t i o n d e c o m p o s i t i o nt e c h i l i q u e ，w h i c hi sg e n e r a l l yn e c e s s a 眄i i l 也ep r o o f o f 也eu n i f o mc o m ，e 略e n c e 0 nl a y e r - a d a p t c dm e s h e s i i l s t e a d ，b y 也eu s eo ft h ei n t e 叩o l a t i o no p e 豫t o ri n 仃0 d u c e db yt o b i s k ai n 【9l 】，w ef i r s tp r o v et h e 硼j f 0 脚c o n v e 唱e n c eo ft h eu ) g c f e mc o u p l e dm e t h o df o r h i g h e ro r d e re i e m e n t c a s e w bs h o wt h a tm eu n i f o mc o n v e 唱铋c er a t ei sp ( 一七h 磨) i n 觚 嬲s o c i a 砌d g - n o 咖，w h c f e 七li st h ed e 盼o fp o l y n o m i a l ，i st h ed e 妒so f 船e d o m o fl h es h i s h l ( i nm e s ho f 也es o l u t i 傩d o n l a i n o l l rn u 峙r i c a lr e s u l t s 铷f ei na c c o r d a n c ew i t ht h e l l l e o r 枷c “陀s u l t s i nc h a p t e r6 ，w e 鼬曲e ra n a l y z c 也es t a b i l i t ya n dt h eu n i f o m lc o n v e 玛锄c eo ft h e u ) g c f e mc o u p l e dm e t h o dp r o p o s e di l lc h a p e r4f o rt 、】l ，od i n l e n s i o 彻ls i n g u i 砌yp e m 曲e d p r o b l e mw i lc o n v e c t i o n d i 缅j s i o nt y p eo ns h i s h k i nm e s h d u et 0t h ed i 伍c u n yo ft h eg e n e r - a l i z a t i 彻o ft h ei n t e r p o i a t i o no p e r a t o ro f1 0 b i s k at 0t w o 击m e n s i o n a lp f o b l e m s w ef o c u so u r 撒e n t i o nt ot h eu n i f o 曲c o n v e 喀e n c ef 0 rt h eb i l i n e a re l e m 髓t w bs h o wt h a tt h eu n j f o n i ic o n v e r - g e n c em t e i sp ( 一1h i ) i n 锄a s s 0 c i a t e dd g n o n n n u m e r i c a ir e s u l t ss u p p o r tt h et h e o r e c t i a l f e s u l t m o r e o v t h e ys e e mt oi n d i c a t e 孤o p t i n m lu n i f o 肌c o n v e 喀e n c e 蛐d e r t h e 三2n o m i n o 也e rw o r d s i t i sl 妇l yd l a t t h e 眦i f 0 珊c o n v 唱e n c em t ei so ( 一2 ) l l n d c rt h el 2n 咖 k e yw o r d s ：h a m i l t o n - j a c o b ie q u a t i o n ；c o n v e c t i o n m 瓶s i o ne 删i o n ；l 觚- f r i e d r i c h sn u x ： d i s c o “n u o u sg a l e r k i nm 础o d ；s h i s h l 【i nm e s h ；u n i f o mc o n v 弼e n c e v 博士学位论文 第l 章绪论 本文主要研究两类偏微分方程；h 锄i l t o n - j a c o b i 方程和对流扩散方程的一些新 的数值解法 1 1 h a m i l t o n j a c o b i 方程的研究背景与现状 1 1 1h a m i l t o n o a c o b i 方程及其解的性质 h 锄i h o n - j a c o b i 方程( 以下简称h - j 方程) 是一类重要的非线性双曲型偏微分方 程。它具有如下形式： 口也+ 日( z ，d 咖) = 0 ， g qcr 竹， ( 1 1 ) 其中d 为关于空间变量z 的梯度：d 咖= ( 札，也。，啦，。) ，日为定义在q 辩上 的至少l i p s c t l i t z 连续的函数( 通常是非线性的) ，称为h a m i i t o n 函数口= 1 或乜= 0 ， 当q = 1 时( 1 1 ) 为发展型h j 方程，当q = 0 时( 1 1 ) 为静态h - j 方程 h j 方程在最优控制【l 】、几何光学 2 ，3 】，晶体生长【4 ，5 】和化学反应 6 ，7 】等领 域有着非常广泛的应用，吸引了许多学者的关注和研究近年来借助于水平集方 法【8 ，9 】又开拓了h - j 方程许多新的应用领域，如计算流体力学【l o ，l l 】、网格生成 和网格加密【1 2 ，1 3 】以及计算机视觉【1 4 】等可见，对h j 方程的研究方兴未艾，具 有重要的现实意义 一般情形下，h - j 方程解的性质非常复杂一方面，不管初值和h a n l i n o n 函数 多么光滑，( 1 1 ) 解的导数也可能在某一时刻出现间断，即全局c 1 连续解不存在； 而另一方面，广义解存在但不唯一 当口= l 时，令x = ( z ，t ) ，侈= q ( o ，o 。) ；当口= o 时，令x = z ，d = q 下面 给出粘性解的定义，它是由c r a n d a l l 和l i o n s 【1 5 】于1 9 8 3 年提出的 定义1 1 1 c ( p ) 是方程( 1 1 ) 的粘性解，如果对任意的妒c 1 ( p ) 有下面两个 条件成立： ( 1 ) 若p 是妒一妒的局部极大值点，则 a 晚( ) + 日( x o ，d 妒( 诋) ) 冬o ( 1 2 ) ( 2 ) 若蜀d 足砂一妒的局部极小值点，则 q 办( 凰) + ( 甄，d 砂( ) ) o ( 1 3 ) 一1 一 h a m i l t o n - j a c o b i 方程与对流扩散方程的新算法 如果是方程( 1 1 ) 的一个古典解( 即c 1 ) ，则它足粘性解；如果是方程( 1 1 ) 的粘 性解，则在西任意可微的点都有q 也( 。) 十h ( ，d 西( ) ) = o 粘性解有如下的性质： 引理1 1 1 【1 5 1 设咖和伽分别足q 上的两个一致l i p s c h 沱连续函数。和妒分别是 以粕和伽为初值的发展型h j 方程( 1 1 ) 的粘性解对任意的时间亡 0 ，进化算 子5 ：加h 砂( ，) 有下列性质： 1 i l ( s ( t ) 加一s ( t ) ) + i i o o l l ( 如一妒o ) 十i i o o ； 2 i i s 0 ) 如一s ( t ) 伽l l si i 一妒o i 。o ； 3 如果l 是如的l i p s c h i t z 常数，则它也是的l i p s c h i t z 常数； 4 i n f q 粕t 日( o ) + s ( ) 加s u p q 如 这里”i i 表示l 范数性质2 、3 和4 均可由性质l 推出，这些性质蕴含着s 是 单调算子如果初值足线性的，即如( z ) = a + z p ，则发展型h - j 方程( 1 1 ) 的精确 解为( z ，) = 如( z ) 一t 日 ) 粘性解的提出解决了h j 方程解的存在、唯一性问题，且具有重要的物理意 义在对h j 方程的数值解法的研究中，我们都足考虑其收敛于粘性解的情况 1 1 2h a m i l t 佣j a c o b i 方程的数值解法 1 1 2 1 一维单调差分格式 h - j 方程与双曲守恒律方程有着非常紧密的联系特别足，在一维情形下二者 是等价的由一维发展型h - j 方程： j 仇+ 日( 九) = o ，z r ， o ， 【( z ，o ) = ( z ) ， ( 1 4 ) 令钍= 也，并对方程( 1 4 ) 两边关于z 求导，则可推出与之等价的双曲守恒律方程： 誓+ 删z 背蜒r ，伦o ， ( 1 5 ) 【心( z ，o ) = z 幻( z ) = 妒；( z ) 。 鉴于此，我们可以借助求解双曲守恒律的数值方法来构造h - j 方程的数值格式我 们先简单回顾一下双曲守恒律的有限差分方法为表述简洁，假设网格足一致的， 记网格大小为z ，咖表示砂( 。) = d z ? ) 的数值近似众所周知，双睦守恒 一2 一 博上学位沦文 律( 1 5 ) 的正确离散关键在于获取当前位置的“迎风方向”，也就足说在f 面二看中 取其一s 卧划嘞业掣州 o ， 脚川嘲塾掣州 o ， 日( 酬嘞日( ) 日，( 小o 类似于双曲守恒律，我们同样引入一个数值h 锄i l t o n i 孤将以上两种情况统一起 来令 日( 酬一疗( 每竽，与) ， 则h - j 方程的数值近似格式为 ( 蛳+ 疗( 与笋，) _ 0 ( 1 6 ) 这里数值h 锄i l t o n i 觚宜( ，) 也要求满足l i p s c h i t z 连续性、相容性和单调性，即 l i p s c h i t z 连续性：h ( ，) 关于两个变量l i p s c h 娩连续； 相容性：疗( 钆，让) = 日( u ) ； 单调性：岔( t ，j ) ( 关于第一个变量递增，第二个变量递减) 形如( 1 6 ) 的数值格式，称为单调数值格式。 一3 一 h a m i l t o n j a c o b i 方程与对流扩散方程的新算法 引理1 1 2 【1 6 l 设栌茹为h j 方程( 1 4 ) 的单调数值格式产生的解，为( 1 4 ) 的粘性 解，则 l i 妒一九i i sc 瓜 注1 1 1 定理1 1 2 表明单调数值格式产生的数值解收敛于粘性解，且收敛阶为l 2 尽管理论上单调格式的收敛阶为l 2 ，但数值实验表明单调格式为一阶精度格式低 半阶的误差估计对于包含结卜阶导数问断) 的粘性解来说并不是很严重的事情 事实上，对于许多情形，可以证明这个半阶的误差估计是最优令人遗憾的是，对 于光滑解，单调格式的精度也不高于一阶我们所希望的是，对于光滑解或者在非 光滑解的光滑区域，数值格式能达到高阶精度单调格式却做不到这一点 在双曲守恒律的数值解法中研究过的单调数值通量都可以作为数值h a m i l t o - n i a n ，如 g u d o n o v 型通量： 膏g m 一，乱+ ) = 缸届粤让+ ) 日( 让) ( 1 7 ) 其中，( 口，6 ) = 【i n j n ( n ，6 ) ，m a x ( 口，6 ) 】，e 氘函数的定义如下： e x t ： 口鲤a 行蜓6 蚝m 【燃i f 6sn l a x - 蹦e d r i c h s 通量： 疗f ( 缸一，钆+ ) = 日( 竺二) 一罢( 缸+ 一牡一) ， ( 1 8 ) 或 1 疗二f ( u 一，乱十) = 丢牡7 ( 让一) + 日( 牡+ ) 一a ( u + 一让一) 】， 其中q = 婴蟹。1 日7 ( u ) l ，a 和b 分别为牡的全局上、下界 a t 且 局部l a x 。f r i e d r i c h s 通量： 俨f ( 乱一= 日( 字) 一妒可) ， ( 1 9 ) 其中a m a x 1 日7 ( u ) i 1 j ( “一，t + ) 。 。 r o e 型通量： 1 日( 札一) i f 日7 ( 札) o ，t l ，( t 一，t + ) ； 疗r f ( u 一，让+ ) = 日( 乱+ ) i f 日7 ( 乱) so ，t j ( 牡一，让+ ) ； ( 1 1 0 ) l 疗n f ( 札一，t 正+ ) o t l l e r 一4 一 博士学位论文 1 1 2 2 二维结构网格上的单调差分格式 二维发展型h - j 方程的形式为： a + 曰( 如，丸) = o ( 1 1 1 ) 在前面一小节中，根据一维h j 方程与双曲守恒律的等价关系，我们构造了一维h j 方程的单调差分格式，本小节将一维单调差分格式推广到二维情形在一维单调 差分格式( 1 6 ) 的基础上，我们直接从形式上写出二维h - j 方程( 1 1 1 ) 的单调差分格 式 ( a j ) t + 日 ，j j 一i l j 魂+ 1 j 一l ，j 成j 一九j 一1 j j + l 一i j 、 o $ ! ， 矽 ) = o ，( 1 1 2 ) 其中z 和秒表示网格大小，破j 为咖( 戤，协，亡) = ( i z ，歹! ，) 的数值近似， 疗一，牡+ ；移一，钐+ ) 为数值h 撇i l t o n i 柚并要求满足下列条件； l i p s c l l i 饶连续性：疗关于四个变量都是l i p s c h i 包连续的； 单调性；疗( t ，i ；t ，上) ； 相容性；詹( 乱，乱；u ，秒) = 日( 乱，移) 数值h a m i l t o n i 跚在h - j 方程的数值格式的构造中扮演着十分重要的角色，不同 的数值h a 血l t o n i 锄对应着不同的数值格式在上一小节中，我们已经提到过一维 双曲守恒律的数值通量可直接用作数值h 嘲i l t o n i 觚其实二维情形也是类似的，只 不过二维双曲守恒律的数值通量作数值h 锄i l t o n i 锄时有些细节的地方需要注意 除此之外，还有专门为一类特殊h j 方程设计的数值h 锄i l t o n i 锄下面将常用的一 些数值h 锄i l t o n i 觚一一列出 g u d o n o vh a m n t o n i a n f l 7 】： 疗g ( 牡一，钍+ ，u 一，矿) _ 乜寇，呕艘矿) 日( 刚) ( 1 1 3 ) 值得注意的足，( 1 1 3 ) 定义的g u d o n o v h a m i l t o l l i a n 不足对称的，交换两个e x t 函 数的顺序得到的结果是不同的 1 7 】，即， m i nm a x日( 舐钞) m a xm i n 日( 乜，u ) t j ( 一，珏+ ) “j ( i ，一，f + ) 、 。 铒( t ，一， + ) t ( t 一，“+ ) 、 尽管如此，两种顺序的e ) 【t 函数的g u d o n o vh 啪i l t o n i a l l 都足有效的单调h a m i l t 0 n i a n ，都可以使用 一5 一 l a x - f r i e d r i c h sh a m i l t o n i a n f l 6 ，1 8 l ： 其中 舻f ( 让一，让+ ；口一，移+ ) = 日( 乱一+ 让+ 秒一+ t ，+ 2 7 2 一主( 让+ 一孔一) 一知( 矿一t ，_ ) ， ( 1 1 4 ) a = 。凇日1 日1 ( 牡，u ) l 4 扯 口 、。 c 茎u 至d 吨2 晋 u 、d g 重 主d i 飓( 乱，口) i ( 1 1 5 ) 这里鼠( 让，钉) 是日关于第i 个变量的偏导数，或足日关予第t 个变量的l i p s c h 池常 数，a ，b ，d 和d 是u 和移合适的全局界限易证，对a sb 和c 口d ， 疗工f 是单调的 另一种略微不同的l 觚- f r i e “c h sh 锄i l t l o n i a n 【1 9 j 为 疗工f ( 一，缸+ ； 一，秽+ ) = 主( 日( u 一，口一) + 日( 钍+ ，口一) + 日( 让一，2 ，+ ) + 日。+ ，t ，+ ) ) 主q z ( 也+ 一乱一) 一三 + 一u 一) ， ( 1 1 6 ) 其中a 和的选取方式如同( 1 1 5 ) 对a 牡b 和c 钞d ，这个数 值h a m i l t 锄i a n 也是单调的 局部工，a x 。蹦e d r i c h sh a m i l t o n i a l l 【1 8 】： 其中 岔l l f ( 札一，让+ ；t ，一，t ，+ ) = 睨( 乱一，矿卜牡瓣+ ) c 口d “一+ 乱+ u 一+ 仃+ 2 7 2) 一三( 钍一，钍+ ) ( u + 一札一) 一去0 1 y ( 钐一，口+ ) ( 钉+ 一影一) ， i 凰( 牡，可) i ， q p ( 钞一，钌十) = ( 1 1 7 ) a 辫l 皿( t ，u ) i ( 1 1 8 ) t i ，【t ，一，+ ) 在文献【1 8 】中，o s h e r 和s h u 证明了局部l a x 尉e 幽c h s h a l n i l t o n i 粕疗工l f 对a u b 和c t i d 足单调的局部l a x 一剐e d c h sh a m i l t o n i 锄力工l f 比( 全 局) l a x - 蹦e 赫c h sh a f i l i l t o n j 柚疗l f 的耗散小 另一个看起来更局部的l a x 蹦e 删c h sh a m i l i o n i a n 是 疗比f ( 乱一，矿；移一，影+ ) = 6 一 _ u 一+ 札+ 移一+ u + 2 7 2 一，乱+ ；t ，一， + ) ( “+ 一t 正一) 一，t l + ；”一，钞+ ) ( 勘+ 一”一) ， 沁 m 咖 l 一2 1 2 博士学位论文 其中 q ( 也一，牡+ ) - 让黑+ ) i 研( 乱，u ) l ， 让j ( t 一，t 十) t ，( u 一，t ，+ ) ( 一，移+ ) _ 口糕+ ) l 施，钉) i 口i “一u t ) 锄，( 一， + ) 这个数值h a m i l t o n i 锄与式( 1 1 7 ) 定义的局部l a x 坦r i e “c h sh 锄i l t o n i 锄疗工l f 相 比，更容易计算且耗散更小令人遗憾的是，文【1 8 】已证明该数值h 锄i l l o n i a n 不 是单调的 熵固定的r 0 e 型h 锨l i l t o n i a n 【1 8 j ： 1 日( 矿，乞i ) c 猫el ； 帆一矿，= 三 馨慧黔搿二写薯 i 曰儿f ( t 一，矿；秽一，钉+ ) c a s e 4 这里c 弱el 是指日1 ，口) 和吼( t ，移) 在区域乱，( 钍一，矿) 和t 7 ，( 一，御+ ) 内均不 改变符号；c 撇2 是指巩( 让，口) 在区域a t b 和秽j ( 口一， + ) 内不改变符 号，且不属于c a s el ；c a s e3 是指毋( 让，u ) 在区域缸( u 一，矿) 和c 移d 内 不改变符号，且不属于c 够el ；c a s e 4 是指不属于前面三种情形其中矿和移+ 由 迎风方向来确定 矿：! 乱一， 订碍( 刚) 0 矿： 仃一， i f 吼( 刚) o ； i - 牡+ ， i f 而h ( 饥，移) o ； 【移+ ， i f 妇乞( ，口) o ； 熵固定的r o e 型数值h 锄i l t o n i 雒很容易编程实现，而且数值粘性几乎和g o d u l l o v h 蹦i l t o n i 趴汰复杂，不易实现) 一样小，因此很受欢迎 o s h e 卜s e t h i a nh a m i l t o n i a n 【9 j ：如果日( 乱，u ) = ，( 乱2 ，移2 ) 且，关于每个变量单调，那 么我们可以使用如下的数值h 锄i l t o n i 锄； 其中 霞2 ： 哥2 ： 官d s ( 也一，乱+ ；移一，口+ ) = ，( 冠2 ，哥2 ) ，( 1 2 0 ) ( m i n ( u 一，o ) ) 2 + ( m a x ( 乱+ ，o ) ) 2 ，i f ，( 1 ，) ( n l i n ( 札+ ，0 ) ) 2 + ( n l a x ( 钆一，0 ) ) 2 ，i f ，( t ，) ( n l i n ( 舻一，o ) ) 2 + ( m a x ( 口+ ，o ) ) 2 ，i f 厂( ，土) ( 玎l i n ( + ，0 ) ) 2 + ( m a x ( u 一，0 ) ) 2 ，i f 厂( ，t ) 一7 一 ，-、【，、【 h a m i l t o n j a c o b i 方程与对流扩散方程的新算法 这个单调数值h a m i l t o n i a n 足纯迎风型的，它的最大优点是容易计算且计算成本 低可以应用o s h e r - s e t l l i a nh a m i l t o n i 她的一个典型的方程就是e i k 伽a l 方程： ，。一 也+ 、镌+ 孵= o ， ， 水平集方法中经常需要求解这个方程 1 1 2 3 二维非结构网格上的单调格式 以上介绍的单调数值格式只适用于结构网格上的问题，为适应复杂区域的 计算，a b g r a l l 【2 0 】和k o s s i 嘶s 等人【2 l 】以及李祥贵等人【2 2 】提出了一些非结构 网格上的单调格式非结构网格上的单调格式的形式和式( 1 1 2 ) 相同，关键在 于定义非结构网格上的数值h a m i l t o n i 觚下面介绍a b g r a l l 2 0 】给出的非结构网格 上的l a ) 【- f r i e 捌c h sh a m i l t o n i a n ，它是o s h e r 和s h u 1 8 】提出的结构网格上的l a x - f r i e d r i c h sh 锄i l t o n i 觚的推广其它的非结构网格上的数值h 锄i l t o n i a i l 可参考文献 【2 0 _ 2 4 】 我们先引入一些记号假设方程( 1 1 1 ) 的求解区域为q ，它有一个由一系列三 角形组成的剖分五，总共有+ 1 个结点，每个结点以它们的下标命名，0 i 假设以节点 为顶点的三角形有缸+ 1 个，巩。它们以逆时针方向排序，如 图1 1 所示令画+ l 2 表示射线功+ 1 2 一噩n 丑+ l 上的单位向量，巩是三角形乃中 以i 为顶占的内角 令如表示方程( 1 1 1 ) 的粘性解在结点l 处的数值近似，( v ) f 表示v 在磊的 结点t 处的数值近似。则非结构网格上的l a x f r i c d r i c h sh a “l t o n i a n 为； 咖h 删d = 日仁巷删z ) n 2 ， 一罢静聊( 学) 嘶2 ，一罢吾( 学) 嘶2 ， 一8 一 博上学位论文 其中 一n ( 鲁) ( 訾) ， a = m 觚 忍1 日l ( 札，u ) l ， 珊为1 日2 ( 缸，钞) | 、g t dc u 0 均l i p s c h i t z 连续，r 是q 的一个子集解静态h _ j 方程的数值 方法主要有两类第一类数值方法是先将静态问题转变为合适的发展型问题，然 后求解在结构和非结构网格上求解发展型h - j 方程有很多发展成熟的高阶数值 格式，如【1 8 ，2 0 ，2 4 ，2 6 ，2 7 ，7 4 ，8 0 】；详见s h u 【1 9 关于求解发展型h j 方程的高阶数值 方法的综述o s h e r 7 5 】利用水平集( 姚l s c t ) 思想提供了静态h j 方程和发展 型h - j 方程之问的一种自然的联系当哈密尔顿日是一阶奇次的，在合适的初始 条件下，发展型h - j 方程 如( z ，t ) + 日( z ，v 砂( z ，) ) = 0 的粘性解妒在芒时刻的零水平集足满足( z ) = 的z 的集合，即 z i 矽( z ，) = 0 = z l 痧( z ) = ，这里咖( z ) 足方程( 1