（运筹学与控制论专业论文）一类双曲系统守恒律的整体光滑解.pdf

摘要 本文讨论了一类在应用上十分重要的拟线性双曲系统初边值问题及柯西问题整 体光滑解的存在性全文分两部分： 第部分考虑了带松弛项粘弹性模型的初边值问题： 初始条件为 边界条件为 ：二焉+ 掣：。，一。， u ( 0 ，z ) = t 上o ( 。) ，o ( o ，。) = o ( 。) ，。兰0 ， u ( t ，0 ) = 豇，t 20 ， ( 0 1 1 ) ( 0 1 2 ) ( 0 1 3 ) 其中6 0 ，0 肛 0 ，0 。， 初始条件为 ( o ，z ) = “o ( z ) ，o ( o ，。) = 盯o ( 。) ，茹0 ， 边界条件为 u ( t ，0 ) = 面，z 0 ， ( 1 1 4 ) ( 1 1 5 ) ( 1 _ 1 6 ) 其中6 0 ，0 p 1 ，豇r 都是常数在假设初值的c o 模小，而不必要求其g 1 模小的条件下，我们证明其整体光滑解的存在性利用方程( 1 1 4 ) 的特殊性，我 们能构造一些适当的函数变换( 见( 2 3 2 0 ) ，( 2 3 3 s ) ) 并应用一阶拟线性双曲系统的 “极大值原理”，在古典解存在的区域内，得到解的a - 模估计 2 相对论欧拉方程组的柯西问题 考虑一维相对论欧拉方程组的柯西问题 萋 初始值为 p ( o ，g ) = p o ( x ) ，u ( o ，z ) = “o ( z ) ，( 1 1 8 ) 其中c 是充分大的正常数( 光速) ，p 是关于p 的一个给定的函数( 1 1 7 ) 用来描 述m i n k o w s k i 时空中理想气体的运动当c - 。时，( 1 1 7 ) 趋于等熵气体的欧拉 方程 m + ( 删庐0 ( 1 1 9 ) 【( p t ) t + ( p + p u 2 ) 。= 0 对于非相对论欧拉方程( 1 1 9 ) 已有大量的研究，见参考文献【3 ，5 ，2 0 ，2 5 ，2 7 】但对于 相对论欧拉方程组( 1 1 7 ) 的数学研究直到最近几年才开始第一个结果由s m o i l e r 2 潜器 ， ；蓄孰硕士学：j 沦文 逮要簧秒螂i i i 、圳b i 一二= ，_ 一一! _ t ! ! = ! ! ! ，! _ ! _ ，! ! ，! ， 和t e m p l e 给出，见参考文献 2 3 】假设p = a 2 p ，其中。是一个小于c 的正常数， 且初始值p o ( $ ) 和u o ( x ) 满足 t v 1 n p 0 。， 初始条件为 u ( 0 ，。) = “o ( z ) ，盯( 0 ，。) = 盯o ( z ) ， 。20 ， 边界条件为 u ( t ，0 ) = 日，t 0 ， ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) 其中j 0 ，0 肛 1 ，豇r 都是常数，( u ) 满足第二节中的条件( h i ) 系统( 2 1 1 ) 用来描述带松弛项的粘弹性固体运动，松弛模型来源于许多物理领 域，如气体动力学，弹性力学，多相流，相变等因此，研究松弛模型的柯西问题 和初边值问题无论在理论上还是应用上都十分重要关于这方面的研究也有大量 的工作，见参考文献f 1 ，2 ，8 ，1 7 ，1 8 ，2 1 ，2 5 ，2 8 ，2 9 ，3 1 ，3 2 对于间断初值，如最简单的黎曼初值 c u c 。，z ，a c 。，z ，= ：j f 7 “一：i ： g r e e n b e r g 和h s i a o 【8 8 发现，即使一充分小，为了求解以上黎曼问题，必须引入激 波和接触间断他们还发现，相应的黎曼问题没有整体光滑解此后，许多学者开 始研究相应熵弱解的存在性，参考文献【1 8 ，2 l ，2 8 ，2 9 ，3 1 】 然而，对于光滑初值，即使相应的g 1 模足够小一般来说，拟线性双曲系统 的柯西问题( 或初边值问题) 的古典解也仅仅在有限时间内存在，在一定的时间 将会出现奇性( 参考文献 9 ，1 2 ，1 5 ，1 6 】) 因此，寻找拟线性双曲系统整体古典解存 在的条件是十分有趣的对于带耗散项的拟线性双曲系统，n i s h i d a 在文【2 0 】证明 4 、疋 川 沧 苷丁 r 士 q 硕 m鹫 i h 博 j j 士学位淹疋 、1 、s le r s 川i ：、 了相应柯西问题整体光滑解的存在性以后，h s i a o 和“将n i s h i d a 的结果推广 到一般的带耗散项一阶拟线性双曲系统，并获得同样的结果，参考文献【1 0 对于 带松弛项一阶拟线性双曲系统的柯西问题，如粘弹性模型( 2 1 1 ) ，以及带松弛项的 p 系统，z h u 和y a n g 已经证明了整体古典解的存在性，并指出松弛项和耗散项起 着同样的作用，也就是说，它能保证小解的光滑性，参考文献 3 2 ，2 5 】 在这一章中，我们考虑带松弛项粘弹性模型的初边值问题( 2 1 1 ) 一( 2 1 3 ) 用一 些适当的函数变换( 见( 2 3 2 0 ) ，( 2 3 3 8 ) ) 和一阶拟线性双曲系统的“极大值原理”， 在古典解存在的区域内，我们得到解的a 1 模估计值得指出的是，在我们的分析 中，仅须假设初值的g o 模小，而不必要求其g ，模 2 2 问题和结果 ：二举三， 其中v o ( x ) = a o ( x ) 一，( u o ( ) ) ( 2 2 2 ) 的特征方程是 。扣， 故( 2 2 2 ) 的两个特征值为 5 ( 2 2 1 ) ( 2 2 2 ) ( 2 2 3 ) ( 2 24 ) ( 2 2 5 ) 硕士学位论文 、1 、l i ：t 3 j n 、 设a - 对应的特征向量为( 兰) ，则 枷驯兰) = 。 防( 二) 阢( ) = 0 ， ( r “，r v ) r， 1 1 一，协) 解得偏微分方程( 2 2 6 ) 的通解为 0 = 寺r 。一，7 ( u ) h = 0 ， ( 2 26 ) r = 垂04 - f ( u ) 一，( 面) ) ， 其中垂是任意连续可微函数故可取 r = ，( “) 一，( 面) + u 一( p 1 ) ，( 面) 类似，可求a ：对应的黎曼不变量 s = 一( p 一1 ) ，( 面) 引入黎曼不变量 。r：=。f(一u)。p-一f(，fi，)，+。v，一(卢一”，(吐) 由( 2 2 7 ) 有 r t 一8 t 啦2 而- ( 2 2 7 ) ( 22 8 ) p + ，( “) k = h 型等巡= 一字rod “ i 8 ( 2 2 9 ) ( 2 2 1 0 ) ( 2 2 1 1 ) 从( 2 2 7 ) ( 2 - 2 一t o ) ，初边值问题( 2 2 ，2 ) ，( 2 2 3 ) 和( 2 2 4 ) 等价于如下初边值问题： j 州一半r 一知 1 s 一宰r 一知， 2 2 1 2 相应的初值为 ”( o ，z ) = = ”o ( z ) ，s ( o ，$ ) = 8 0 ( z ) ，。0 ， f 2 2 1 3 ) 边界条件为 ( r s ) ( t ，0 ) = 0 ，t 0 ， r 2 2 1 4 ) 其中 fr 0 ( z ) = ，( u 。( z ) ) 一，( 面) + ( 。) 一( p 一1 ) ，( 面) ， 1s 。( z ) = ”。( ) 一( p 1 ) ，( 豇) ( 2 2 1 5 ) 在这一章中，我们作如下假设： ( 日1 ) 在“= 面的邻域( 豇) 内，( u ) c 2 ( r ) 且 s ，( 岖a ，。铬 0 使得，在区域 i i ( q ) = ( t ，z ) i o s t t l ，z 【0 ，o o ) ) 内初边值问题( 2 2 1 2 ) ，( 2 2 1 3 ) 和( 2 2 1 4 ) 存在唯一光滑解r = r ( t ，。) ，s = s ( t ，z ) ，其 中t l 仅依赖于初值的c 1 模为了延拓局部解到整体解，我们需要得到r ，s ，r x 和 的先验估计以下两个引理给出我们所需的估计 引理3 1 若条件( 风) ，( 耽) 成立，那么初边值问题( 2 2 1 2 ) ，( 2 2 1 3 ) 和( 2 2 1 4 ) 的古典解在其存在区域i i ( t ) = ( t ，z ) i o s t 冬t ，z 【0 ，o 。) ) 内成立如下估计： g ) i m ，圳半m 证明：我们作变换 e ：等笔如 其中g 三都是正常数，n 是t 兰i h 在i i ( t ) 的上界( 由局部存在性， 以得到的) 由( 2 3 2 ) 有 r t = 矗+ 尝g e t ，r 。= 如+ 譬口， n 2 矗+ i g 8 ，h 2 如+ i 口， 咄呐+ 字铷，喝咄+ 字争一5 = 3 t + 五一i 【，甘，一8 。= 5 。十i i z 将( 2 3 2 ) ，( 2 3 3 ) 和( 2 3 4 ) 代入方程组( 2 2 1 2 ) ，我们立即可得 f + ，( 吡+ ( 酣叫( “) ) 譬= 一字h 缸 卜+ 学= 字r 一缸 8 ” 砧 可 q 砷 0 0 是 0 0 0 2 2 ： 2 2 2 ( ( v ( ( ( 硕士学位沦文 、1 、il r sf l i e s i s 以及 f ( o ，z ) = r ( o ，z ) 一m 一譬扛+ a ) 0 ， i ( o ，。) = - s ( o ，z ) 一与坐m i - “t , 譬扛+ g ) 0 ， f ( t ，l ) = r ( t ，l ) 一m n 一譬g e 0 ， ( 2 3 6 ) 吾( t ，工) = 一s ( t ，l ) 一与_ 上m 一1 _ 7 p _ a 一韭云譬盟g e o ， f c t ，o ) + j ( t ，0 l = 一j m 一岛e e 0 现在我们由极大值原理从( 2 3 5 ) 和( 2 3 6 ) 证明( 参考文献f 2 6 ，3 2 ) f ( t ，茁) 0 ，百0 ，。) 00 1 1 ( t ，z ) 0 ，z ) l o s t t ，o 。墨l ) ( 2 3 7 ) 否则，设f = s u p 矧f ( t ，。) 0 ，i ( t ，。) 0 ，协f 0 ，引) ，那么0 f st + 。我们 从f ( t ，z ) ，i ( t ，。) 的连续性知，存在( ti ) ( 其中o s 孟 0 ，( 0 ， ( 2 3 剐 或者 弧。) = 。，嘏。) = 一：m 一- - 兰c e t 一守m 一铲( 蚪c e t ) r ( t ，z ) m ，s ( ，z ) 一! ；上m “ f r = r + m + 譬( 。+ g e ) ， 卜= - m + - n ( z + c e t ) ， r ( ) 一m ，s ( 蛔) 字m 僻i f ( u ) - - 出f ( 豇) l 扣， 卜山- 1 ) m ) l 冬字m 1 0 ( 2 3 1 f i ) 丽弋2 3 1 6 h ( 2 3 1 6 ) 3 显然下证( 2 3 1 6 ) 2 因为，( u ) c 2 ( r ) ，由微分中值定理，存在u 与面之间的一点 ，使得 ，( t 上) 一，( 面) = ，( ) ( “一面) 即 “一豇= 等铲 仁s 忉 由( 2 2 7 ) ，( 2 3 1 ) 及条件c h l ) ，我们有 卜耶；肚芦1 。m 证毕 引理3 1 和推论3 2 给出了初边值问题( 2 2 2 ) ，( 2 2 3 ) 和( 2 2 4 ) ( 或( 2 2 1 2 ) ( 2 2 1 3 ) 和( 2 2 1 4 ) ) 的解的c o 模估计 接下来我们估计和8 。的界我们有 引理3 3 若条件( h i ) ，( h 2 ) 满足，那么初边值问题( 2 2 1 2 ) ，( 2 2 1 3 ) 和( 2 2 1 4 ) 的光滑解( r ，s ) ( t ，z ) 在区域i i ( t ) 内满足如下估计： k 圳l i m b ( z ) 1 1 g 。+ 掣( 卅i 石1m ) ， 以及 一岩吼班a l l 咏吡。+ 掣 证明；作变换 m c t ，z ) = e 和”( t ，。) 则 u ( t ，z ) = m ( t ，z ) e 一弘 毗( t ，。) = m t ( t ，z ) e 一缸一；m ( t ，咖一私 将( 2 3 2 1 ) 和( 2 3 2 2 ) 代入方程组( 2 2 2 ) 得 fu t + ( m ) + e 一 t m ( t ，。) ) 。= o ， 【m t + 宁e ( e 一 ( ) + f c u ) ) = o ( 23 1 8 ) ( 2 3 1 9 ) ( 2 32 0 ) ( 2 3 2 1 ) ( 2 3 2 2 ) ( 2 3 2 3 ) 硕士学位论文 1 s i r s 川i i s ! ! ! ! ! ! ! ，! ! ! 鼍，。! 。竺! ! ? ! ! ! “_ _ - _ h u h 忡_ _ _ h _ _ _ _ _ _ - - _ _ _ _ _ _ - q _ _ _ _ _ _ - _ - _ _ _ - _ _ _ 一 对( 2 3 - 2 3 ) 的第二个方程关于。微分，我们得到 ( m t i t , x 肌+ 字e 喈邮+ m m 扎 结合( 2 3 2 3 ) 的第一个方程，我们立即得到 ( 州牡m 一宰e t o ， 亦即 ( m 挪圳一字挣“) 。+ 学护u _ o ( 2 3 2 4 ) ( 2 3 2 4 ) 关于t 从0 到t 积分，我们有 心班字毋吨加毗矿字u 。( 小旦孝坐肛讹帅( 2 3 , 2 5 ) 从( 2 3 1 6 ) ，( 2 3 2 0 ) 和( 2 3 2 5 ) ，我们有 旧锄) 一字毋饥z ) l h ( 吣) l + 字( 圳+ 与磐o 扩z ) i d a - 纵圳+ 字( 吲+ 去+ 学p 7 ( 十m ) d r - l i v e ( 。) 1 1 卅字( 吲+ p l 。m ) + 半( 蚓+ 去印( 挣一，) = l i v e ( z ) 1 1 g 。+ 字( 卅i 品1m ) 拶 这样 忆刮剑牝川伊+ 字( h + 石im ) 汐+ 字铲刮 0 ， ，o ) = o ( t ，o ) e 一钟+ 譬d e t 从( 2 3 a s ) ，( 2 2 1 2 ) 和( 2 2 1 4 ) o ( t ，o ) = r ，( t ，o ) f 协) + ； 这意味着 我们有 m = - ( r t + 字r + # s ) ( t 。) + ；m = 一( 时字r + ；s ) ( t 。) + 詈m = 弘 ( 2 s 邯) 下面我们用反证法证明 口( t ，0 ) 0 6 ( t ，z ) 0 ，( t ，。) 【o ，卅【0 ，目 ( 2 3 4 7 ) 1 6 假设( 2 3 4 7 ) 不成立设i = s u p t l o c t ，。) o ，地【o ，引) ，那么0 i t + o o t 我们从百( t ，。) 的连续性知，存在( i ，司( 其中0 一i k 扛+ d e ) e 肛， ( t ，。) 0 ，t 】【o ，纠( 2 3 4 9 ) 在( 2 3 4 9 ) 中让叶+ ，我们有 o ( t ，。) o ，( t ，z ) 【0 ，t 】【o ，o o ) ( 2 3 5 0 ) 结合( 2 3 1 6 ) ，( 2 3 2 9 ) ，( 2 3 3 5 ) 和( 2 3 3 8 ) ，我们得到 吣啦南( m ) 一伽) 一詈m ) 利用假设( h x ) 和( 2 2 1 7 ) 并注意到( 2 3 1 6 ) 可得 叫啦) 一黹m 一警m 一岩， ( 2 3 s ，) 以及 谢( m h 一；m ) 警( 一半m ) 一百1 - # ，s 朋， 且 一鼬“h 一剐 字+ 揣刊旷剐) 一史二产( ，( u ) 一，( 豇) 一；m ) 一学( 一半m ) 曼竖云磐 ( 2 3 5 3 j 面i 巧一 瞄6 。， 1 7 舅二历面西1 i i 石f 毯i j 瓦弋2 3 5 2 ) 和( 2 3 5 3 ) ，我们得到 。州，( u 池一( 字+ 鬻( 伽h ( 旷詈m ) ) 。 一鼬沪他，一吾m ) 字+ 锱( m hc 矿詈m ) ) 一等e + 磐 一等一十与譬 ( 2 3 5 4 ) 现在从( 2 3 5 4 ) 我们可以找到o ( t ，。) 的上界 设= 。2 ( t ；f ，”) 是通过点( t ，功= ( e ，”) 的第二特征曲线，即， 警= ，( u ( 吲巩啪，吲沪” 情形1 如果( t o ，o ) ( t ，z ) $ z 2 ( t ；o ，o ) ，t o ) ，那么沿着第二特征线z 2 ( t ；t o ，x 0 ) 积分( 2 3 5 4 ) ，我们有 “晰m 蛔( 等r ) ) ，蜒z 如噼唧( 等r ) 打 从咖 e ( t o , ：g o ，蛐( 一等t 。) 酬+ 喾唧( 一害t 。) 卜p ( 等t 。) 一， e x p ( 一等t 。) 坼。，+ 喾， ( 2 3 5 5 ) 其中( 0 ，i o ) 是x 2 ( t ；t o ，2 7 0 ) 和t = 0 的唯一交点 从( 2 3 3 8 ) 和( 2 3 5 5 ) ，我们得到 ) ( 训s ( z e h ) ( o 两) 一# ( 舶( ) _ ，( 面) _ 詈砷+ 喾 ( 2 3 5 6 ) 利用( 2 2 1 6 ) ，( 2 2 1 7 ) ，( 2 3 1 6 ) ，( 2 3 2 9 ) ，( 2 3 3 5 ) 和( 2 3 5 6 ) ，我们得到 邮咿o ) i a i i r 6 ( 茹) i i c 。+ 毪 ( 2 3 5 7 ) 1 8 硕士学位论文 m a s ，1 e r s1 i i e s i s 情形2 如果( t o ，$ o ) ( t ，$ ) f o $ 。2 ( t ；o ，o ) ，t o ，那么沿着第二特征曲线 $ 2 ( t ；t o ，。o ) 积分( 2 3 5 4 ) ，我们有 。( 咐，唧( 等r ) ) ，虮。与学唧( 等r ) 打 从而 训e x p ( 一害一菇) ) ( ) + 喾唧( _ 等t 。) e x p ( 等t 。) 一( 等而) 纠) e x p ( 一等吲) + 笋， ( 2 s s s ) 其中( 晶，0 ) 是= 2 ( t ；t o ，。o ) 和z = 0 的唯一交点 从( 2 3 3 8 ) ，( 2 3 4 6 ) 和( 2 3 5 8 ) ，我们有 ( 痧m 。，训s ( z e h ) ( 枷) + 弘+ 乒 利用( 2 2 1 6 ) ，( 2 2 1 7 ) ，( 2 3 1 6 ) ，( 2 3 2 9 ) ，( 2 3 3 5 ) 和( 2 3 5 8 ) ，我们得到 嘣砌掣 ( 2 3 舶) 由( t o ，z o ) 的任意性，( 2 3 5 1 ) ，( 2 3 5 7 ) 和( 2 3 5 9 ) 蕴涵着( 2 3 1 9 ) 成立这便证明了 引理3 3 从引理3 1 和3 3 ，定理2 1 得证 1 9 第三章 相对论欧拉方程组 柯西问题整体光滑解的存在性 3 1 引言 在这一章，我们考虑一维相对论欧拉方程组的柯西问题 懂 初值条件为 p ( 0 ，口) = p o ( x ) ，u ( o ，。) = “o ( $ ) ，( 3 1 2 ) 其中c 是充分大的正常数( 光速) ，p 是给定的关于p 的函数并满足第二节中列出的 条件( a ) 当c o o 时，( 3 1 1 ) 趋于等熵气体的欧拉方程 ip t + ( 胛1 ) 。= 0 ， ( 3 1 3 ) i ( p “) t + ( p + p t 2 ) $ = 0 对于非相对论欧拉方程( 3 l 3 ) 已有大量的研究，参考文献【3 ，5 ，2 0 ，2 5 ，2 7 但对 于欧拉方程组( 3 1 1 ) 的数学研究直到最近几年才开始第一个结果由s m o l l e r 和 t e m p l e 给出，参考文献【2 3 】假设p = a 2 p ，其中a 是一个小于c 的正常数，且初始 值1 9 0 ( 3 7 , ) 和u o ( x ) 满足 z 矿i n p o o ，p ，( 力 o ，p ”( 力 o ，且p ，( o ) = o ，付。筹需打= a ( a 是一个有限正常数或+ ) ； 2 1 4 5 6 7 2 2 2 2 p p 0 0 硕士学位论文 n l a s t e r st i i e s i s 一百了一 而百匿i i 石i i 砸石砸r 存在正常叛硫和不依赖于c 的正常数 媚使得m o m & x 1 ，p ( 锚) ) ， 其中助翟由后面的注2 3 确定 注2 1 当p = 0 时，由( 3 2 1 ) 和假设( a 1 ) 知，系统( 3 1 1 ) 是非严格双曲的 注2 2 存在许多函数满足假设( a o 例如，对于多方气体： p ( p ) = k 2 矿，k 0 ，7 1 ， 我们能推断 r 磊曲= 鲁1 礼 ，o r + 尸( r ) ，y 一 注2 3 利用假设( a s ) ，( 3 2 6 ) ，( 3 2 7 ) 和( 3 2 8 ) ，我们有 。f 。o p o ( 。) 舄蜒广j of + p ( t ) o ) 棚j 研 丁+ p ( 下) c 2 d r m o a ( 3 2 1 0 ) 因此假设( a 1 ) 和( 3 2 1 0 ) 表明存在不依赖于c 的正常数m u 使得 0s p o ( x ) m ；，p ( p o ( z ) ) c 2 ，l “o ( g ) l c ( 3 2 1 1 ) 在以上假设下，我们得到下面主要定理： 定理2 , 4 假设( a 0 ，( a 2 ) 和( a 3 ) 成立，那么柯西问题( 3 2 4 ) 和( 3 2 。5 ) ( 或( 3 1 1 ) 和( 3 1 2 ) ) 在区域t 0 上存在唯一整体光滑解 3 3 主要结果的证明 为了得到定理2 4 的证明，我们需要引入文【3 3 】中的结果： 引理3 1 设p ( r 3 ) ，p ( r ，s ) g 1 ( d ) 且对于( r ，。) d ，脚0 ，风0 ，脚+ 出0 ，融+ 风20 进一步，假设初始值( r 0 ( z ) ，3 0 ( z ) ) c 1 ( r ) 且存在正常数 尬( i = 1 ，2 ，3 ，4 ，5 ) 使得 0 o c x ) ，8 0 ( $ ) ) t 【r 8 ) i 乱sr m 2 ，蜗ss 矗 cd ， 2 2 硕士学位论文 m a s t e r st j e s i s 和 0 r 6 ( z ) j 慨，0 s 6 ( z ) sm 5 那么柯西问题 in + p ( r i 。) = 0 ， l 8 t + p ( r ，s ) 8 z = 0 ， i 【( r ( o ，。) ，s ( o ，。) ) = ( r o ( z ) ，s o ( z ) ) 存在唯一整体光滑解 ， 由引理3 1 ，为了获得在区域t 0 上整体光滑解的存在性，只需证明 a l = 20 ，a 2 埘0 ，a 1 ：+ a 1 叫0 ，a 2 ；4 - a 2 叫0 ( 3 3 1 ) 征所亏愿的区域内成立 通过简单的计算，我们能从( 3 2 1 ) ，( 3 2 2 ) 和( 3 2 3 ) 得到 枞1 1 一号笋a a 2 1 - 一骂c 吐 丽2 f 1 了帝瓦2 再了瓦面万 a u 一，力勇巧a c 2 a t 上一1 + 、 芎研c 2 o a l 一p ”( p ) ( 警一1 ) o a 2 p ”( p ) ( 譬一1 ) 一o p5 砺丽f 专诵一o p 一弼丽而南诵， a u0 “c 2 一u 2 瓦2 丽2 可， o - p ：一p + p ； ( ：p ；_ ) c 2 ， 一op p + p ( p ) c 2 瓦。一1 而瓦21 万i 而， 于是，我们有 札2 币c 2 - - 1 1 2 川( - 一半+ 嵩( c 2 ) ) ，( 3 s 2 ) 也2 雨- - i i 一2 ，( 一掣一端( p + p ，( p ) c 2 ) ) ，( 3 s 3 ) 2 可丽c 2 - - u 2 ( - 一半一崭( p + p ，( 州c 2 ) ) ，( 3 。4 ) 赢c2-u2(a2to- 一掣+ 搿( 一卅圳c 2 ) ) 币v 川。，1 。丁+ 丽妒川。， 从( 3 3 2 ) 一( 3 3 5 ) 得到 也u 2 不南( 1 一半) ， k 蛾”2 可街( 1 一掣) _ 如果下面( i ) ，( i f ) ，( i i i ) 成立： ( i i )“( t ，o ) i c ； p ( p ( t ，z ) ) c 2 ( 3 3 5 ) ( 3 3 6 ) ( 3 3 7 ) 那么( 3 3 2 ) ，( 3 3 5 ) ，( 3 3 6 ) 和( 3 3 7 ) 意味着( 3 3 1 ) 成立：下面我们将证明( i ) ，( i i ) 和( i i i ) 成立 ( i ) 的证明 事实上，从( 3 2 4 ) ，我们得到 ( 一z ) t + a 2 z a l = 0 即 ( w z ) t + a 2 ( w z ) 。= ( a i a 2 ) z 。 利用( 3 2 1 ) 和( 3 , 3 8 ) ，我们有 ( ”一z ) t + a ：( ”一。) 。= 一兰! ；翌毫帮缸 ( 3 3 8 ) ( 3 3 9 ) 硕士学位沦文 m a s ll r sl jj 。s i 仄( 3 2 2 ) - 干1 1 ( 3 2 1 3 ) ，我f j 禧到 = z z 9 需打 c s ， 设 p = f ( w z ) ， 其中f 是由( 3 3 1 0 ) 确定的反函数那么f ( 0 ) = 0 且 2 、7 f 两( 1 一u 2 c 2 )2 胡气币石= 两( 1 一u 2 胪) 1 一t 2 p ( p ) c 41 一t 2 p ( f ( 一名) ) c 4 令 p = w z 那么我们能改写( 3 3 1 2 ) 成为 2 v p 丽( 1 一i i 2 c 2 )2 胡可可可( 1 一l i 2 c 2 ) 1 一u 2 p ( p ) c 4 1 一u 2 p ( f p ) ) c 4 设 一咩罂陈铲砒咄 l u ，i ，l fj j ，p 那么由f ( 0 ) = 0 和假设( a 1 ) 有 们，“卜哞罂粽泸一o ， 和 ! 丝匦f ! 二! 盟 1 一u 2 p 7 ( f ( p ) ) c 4 ：塑坠蜴 0 6 。 ( 3 3 1 1 ) ( 3 3 1 2 ) ( 3 3 1 3 ) ( 3 3 1 4 ) ( 3 3 1 5 ) ( 3 3 1 6 ) ( 33 1 7 ) 其中日l 介于0 和日之间 从( 3 3 9 ) ，( 3 3 1 3 ) ，( 3 3 1 4 ) 和( 3 3 1 7 ) ，我们有 i $ - - z ) t + a z ( ”一z ) 。= 皇里等铲( w - - z ) ( 3 3 1 8 ) 设。 。= z ：( t ，p ) 是通过点( 0 ，f i , ) 的a 2 一特征线，即 j 生兰i 铲= a 。( p ( t ，。- ：。，卢) ) ，u o ，。- 。( t ，卢) ) ) ， l $ 沁( o ，卢) = p 2 5 盈；豁硕士学位i 文 埒潺黟m a s t r ”h s = = = ，_ ? ，一。! “_ 一 沿着a 2 一特征线积分( 3 3 1 8 ) ，我们有 1 n ( ”一z ) ( t ，。) 一1 n w o - z o ) ( 卢) = o 望里些生立生j ! ! i ! 兰盟( s ，。- 。( s ，p ) ) d s ，( 3 3 1 9 ) 这意味着 ( w z ) o ，z ) = ( w 。( 卢) 一加( p ) ) e x p ( 上。皇堡塑生! ! _ 掣z 。( s ，。x 。( s ，卢) ) 如) ( 3 3 2 0 ) 从( 3 2 2 ) ，( 3 2 3 ) ，( 3 2 8 ) 和( 3 3 2 0 ) ，我们有 p ( t ，z ) 0 这便证明了( i ) 式 现在我们转向证明( i i ) 式成立首先，我们给出如下引理 引理3 2 假设条件( a 1 ，( a 2 ) 和( a 3 ) 满足，那么以下估计在柯西问题( 3 2 4 ) ，( 3 2 5 ) 古典解存在的区域h ( t ) = ( t ，x l o t t ，z r ) 内成立： l ( t ，z ) i s m o ，lz ( t ，z ) i 曼m o 证明：作变换 仁搿三2 + c o l e ，t ? ( 3 3 2 1 ) ( 3 32 2 ) 其中国，工是后面确定的正常数，是，h 在i i ( t ) 上的上界( 由局部存在性 可以得到) 由( 3 2 4 ) 和( 3 , 2 5 ) ，我们推断出面和i 满足如下初边值问题： ( 332 3 ) 面( o ，。) = ( o ，。) 一m o z n t ( 。2 + c o l ) 0 ， i ( 。，z ) = z ( 。，。) _ 一舻+ 岛l ) n ( 3 删) w ( t ，士工) = t ，0 ，4 - l ) 一m o n 一百n c b e 。 0 ， 乏( t ，士三) = z ( t ，士l ) 一m o n 一譬函e 。 0 2 6 划 她茹呲 概 ! 董： 硕士学位；：文 j s ie g si j 【1 1 3 。竺= ! ! ! ，! ! ! ! ? ! ! ! ! ，。，“! ! “一。一4 。! ! 。，。1 。? 。“”。，“。，“。，? 。一 现在我们利用极大值原理( 参考文献 2 6 ，3 2 】) 从( 3 3 2 3 ) ，( 3 3 2 4 ) 式证明下式成立 i f ( t ，。) 0 ，虿o ，z ) 0 ，0 ，z ) ( t ，z ) l o t _ t ，一工：垫l ) ( 3 3 2 5 ) 否则，设i = s u p t l 面( t ，z ) 0 ，i ( t ，z ) 0 ，地 _ l ，驯) 那么0 f t + o 。不 失一般性，从冒犯z ) ，牙( t ，$ ) 的连续性，我们知道，存在( i ，_ ) ( 一l 虿 0 o ，茁) ( 0 ，t ) x ( - l ，l ) ，( 3 3 2 7 ) 那么利用( 3 3 2 3 ) ，( 3 3 2 6 ) 和( 3 3 2 7 ) ，我们得到矛盾这便证明了( 3 3 2 5 ) 等式( 3 3 2 2 ) 和不等式( 3 3 2 5 ) 表明 l 叫( t ，。) m o + 五n i ( 。2 + c o l e 。) ， 1 娟 + 长p + 触t ) 10 n ( 咿也n 矗2 8 在( 3 3 2 8 ) 式中让l _ + o 。，我们有 ( t ，x ) m o ，z ( t ，x ) m o 类似地，作变换 i 一 = 面+ + 5 ( x 2 + c o l e 。) 【一z = 牙+ m o + 告( 。2 + c o l e 。) ， 我们能得到 ( t ，z ) 兰一，z ( t ，z ) 一m o 这完成了引理3 2 的证明 ( i i ) 的证明 事实上，从( 3 2 2 ) ，( 3 2 3 ) 和引理3 2 ，我们有 硕士二二莹沦文 j 1r i j 、i i 、l 、 即 唧( 一学) 害 e x p ( 学) 这意味着 l u ( t ，z ) i c 最后，我们给出( i i i ) 的证明 从( 3 2 2 ) ，( 3 2 3 ) 和( 3 3 2 1 ) ，我们能得到 冀瀑打蛐 j or + p ( t ) c 2 一” 这意味着 z 9 磊蜒0 9 丽, v 丽( g 邮 a ( 3 3 2 9 ) 由注2 3 ，我们从( 3 3 2 9 ) 式推出 p ( t ，z ) 埘 从( 3 3 3 0 ) 及假设似1 ) 和( a 3 ) ，我们有 p ( t ，。) ) p 7 ( 硝) c 2 这证明了( i i i ) ，从而定理2 4 得证 ( 3 3 3 0 ) 硕士毕7 i 滏文 、1u l f i j j | i f o ：、 ! ! 一一 参考文献 f 1 】g q c h e n ，c d l e v e r m o r ea n dt p l i u ，h y p e r b o l i cc o n s e r v a t i o nl a w sw i t hs t i f f r e l a x a t i o nt e r m sa n de n t r o p y ，c o m m p u r ea p p l m a t h ，4 7 ( 1 9 9 4 ) ，1 - 4 5 【2 】g q c h e na n dt p l i u ，z e r or e l a x a t i o na n dd i s s i p a t i o nl i m i t sf o rh y p e r b o l i cc o n - s e r v a t i o nl a w s ，c o m m p u r ea p p l m a t h ，4 6 ( 1 9 9 3 ) ，7 5 5 7 8 1 3 】g q c h e n ，j g l i m m ，g l o b a ls o l u t i o n st o t h ec o m p r e s s i b l ee u l e re q u a t i o n sw i t h g e o m e t r i c a ls t r u c t u r e ，c o n i m m a t h p h y s ，1 8 0 ( 1 9 9 6 ) ，1 5 3 1 9 3 【4 】j c h e n ，c o n s e r v a t i o nl a w sf o rt h e r e l a t i v i s t i cp - s y s t e m s ，c o m m p a r t i a ld i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s ，2 0 ( 1 9 9 5 ) ，1 6 0 5 - 1 6 4 6 【5 】5x x d i n g ，g q c h e n ，p z l u o ，c o n v e r g e n c eo ft h ef r a c t i o n a ls t e pl a x f r i e d r i c h s s c h e m ea n dg o d u n o vs c h e m ef o rt h ei s e n t r o p i cs y s t e mo fg a sd y n a m i c s ，c o m m m a t h p h y s ，1 2 1 ( 1 9 8 9 ) ，6 3 - 8 4 【6 a d o u g l i s ，e x i s t e n c et h e o r e m sf o rh y p e r b o l i cs y s t e m s ，c o m m p u r ea p p l m a t h ， 5 ( 1 9 5 2 ) ，1 1 9 1 5 4 【7 】j g l i m m ，s o l u t i o n si n t h el a r g ef o rn o n h n e a rh y p e r b o l i cs y s t e m so fe q u a t i o n s ， c o m m p u r ea p p l m a t h ，1 8 ( 1 9 6 5 ) ，6 9 7 7 1 5 【8 j m g r e e n b e r ga n dl h s i a o ，t h er i e m a n np r o b l e mf o rs y s t e m “t + = 0 ，a n d ( 口一f ( n ) h + ( 口一p ，( u ) ) = 0 ，a r c h r a t i o n a lm e c h a n a l ，8 2 ( 1 9 8 3 ) ，8 7 - 1 0 8 9 d h o f f , g l o b a l s m o o t hs o l u t i o n st oq u a s i l i n e a rh y p e r b o l i cs y s t e m si nd i a g o n a lf o r m ， j m a t h a n a l a p p l ，8 6 ( 1 9 8 2 ) ，2 2 1 - 2 3 8 1 0 】l h s i a o ，t t l i ，g l o b a ls m o o t hs o l u t i o no fc a n c h yp r o b l e m sf o rac l a s so fq u a s i l i n e a ra n dh y p e r b o l i cs y s t e m s ，c h i n a n n m a t h ，4 b ( 1 9 8 3 ) ，1 0 9 - 1 1 5 【1 1 c h h s u ，s s l i n ，t m a k i n o ，o nt h er e l a t i v i s t i c e u l e re q u a t i o n ，m e t h o d sa n d a p p l a n a l ，8 ( 2 0 0 1 ) ，1 5 9 2 0 8 【1 2 】p d l a x ，d e v e l o p m e n to fs i n g u l a r i t i e so fs o l u t i o n so fn o n l i n e a rh y e r b o l i cp a r t i a l d i f f e