经典数学建模方法--随机建模算法.pdf

储层随机建模储层随机建模 Stochastic Reservoir Modeling 随机模拟原理随机模拟原理 随机建模方法随机建模方法 第三讲第三讲 储层系统的复杂性储层系统的复杂性 资料的不完备性资料的不完备性 确定的确定的 不确定而需预测的不确定而需预测的 储层建模储层建模 建 模 途 径 建 模 途 径 确定性建模确定性建模 随机建模随机建模 以已知的信息以已知的信息 为基础，以随机函为基础，以随机函 数为理论，应用随数为理论，应用随 机模拟方法机模拟方法 ，产，产 生可选的、等可能生可选的、等可能 的储层模型。的储层模型。 储层随机建模储层随机建模 评价评价由于资料限制和储层由于资料限制和储层 复杂性而导致的复杂性而导致的井间储层井间储层 预测的不确定性预测的不确定性，以满足，以满足 油田开发决策在油田开发决策在一定风险一定风险 范围的正确性范围的正确性。 一一 簇簇 随随 机机 模模 拟拟 实实 现现 储层预测的不确定性评价储层预测的不确定性评价 （50%概率） （70%概率） （95%概率） 将一簇模拟实现用于三维将一簇模拟实现用于三维 储量计算，则可得出一簇储储量计算，则可得出一簇储 量结果。它不是一个确定的量结果。它不是一个确定的 储量值，而是一个储量分布。储量值，而是一个储量分布。 储量不确定性评价储量不确定性评价 含油饱和度模型含油饱和度模型 （平面切片平面切片）三个实现三个实现 通过快速数模（如流线法，通过快速数模（如流线法， Stremline），对随机模拟实），对随机模拟实 现进行排序（依据动态参数，现进行排序（依据动态参数， 如连通性）如连通性） 油藏数值模拟油藏数值模拟 P N 分别选择悲观、中性、乐观的随机模拟实现，分别选择悲观、中性、乐观的随机模拟实现， 通过粗化通过粗化(Upscaling)之后进入模拟器进行油藏之后进入模拟器进行油藏 数值模拟，以了解或预测不同风险条件下的开数值模拟，以了解或预测不同风险条件下的开 发状况。发状况。 随机建模与克里金插值的差别：随机建模与克里金插值的差别： 克里金插值为局部估计方法，力图对待估克里金插值为局部估计方法，力图对待估 点的未知值作出最优的、无偏的估计，而不专点的未知值作出最优的、无偏的估计，而不专 门考虑所有估计值的空间相关性，而门考虑所有估计值的空间相关性，而模拟方法模拟方法 首先考虑的是模拟值的全局空间相关性，其次首先考虑的是模拟值的全局空间相关性，其次 才是局部估计值的精确程度。才是局部估计值的精确程度。 克里金插值法给出观测值间的克里金插值法给出观测值间的光滑光滑估值，估值， 对真实观测数据的离散性进行了平滑处理，从对真实观测数据的离散性进行了平滑处理，从 而忽略了井间的细微变化；而条件随机模拟结而忽略了井间的细微变化；而条件随机模拟结 果在果在在光滑趋势上加上在光滑趋势上加上系统的“随机噪音”，系统的“随机噪音”， 这一“随机噪音”正是井间的细微变化，虽然这一“随机噪音”正是井间的细微变化，虽然 对于每一个局部的点，模拟值并不完全是真实对于每一个局部的点，模拟值并不完全是真实 的，估计方差甚至比插值法更大，但的，估计方差甚至比插值法更大，但模拟曲线模拟曲线 能更好地表现真实曲线的波动情况。能更好地表现真实曲线的波动情况。 克里金插值法克里金插值法(包括其它任何插值方法包括其它任何插值方法) 只产生一个储层模型，因而不能了解和只产生一个储层模型，因而不能了解和 评价模型中的不确定性，而评价模型中的不确定性，而随机模拟则随机模拟则 产生许多可选的模型，各种模型之间的产生许多可选的模型，各种模型之间的 差别正是空间不确定性的反映。差别正是空间不确定性的反映。 （克里金作为部分随机建模方法的基础（克里金作为部分随机建模方法的基础) 随机模拟随机模拟以随机函数理论为基础。以随机函数理论为基础。 随机函数随机函数由区域化变量的由区域化变量的分布函数分布函数 和协方差函数来表征。和协方差函数来表征。 第一节第一节 随机模拟原理随机模拟原理 储层随机建模储层随机建模 建立分布函数建立分布函数(概率分布模型概率分布模型) 随机模拟随机模拟 概率分布概率分布 zxZobzxF)(Pr),( 先验分布先验分布 未抽样位置x处，储层属性Z的先验概率分布模型。 累计概率分布模型(cdf) 概率分布模型的建立概率分布模型的建立 （随机建模）（随机建模） )()(Pr )(,nzxZobnzxF 后验分布后验分布 未抽样位置x处，储层属性Z的后验概率分布模型。 先验信息+数据 后验信息 条件累计概率分布模型(ccdf) )()(Pr )(,nkxZobnkxF 对于类型变量，则有： )()(,)(Pr )(,;, 112121 nzxZzxZobnzzzxxxF kkkk )()(,)(Pr )(,;, 112121 nlxZlxZobnzzzxxxF kkkk 连续变量条件累计概率分布函数：连续变量条件累计概率分布函数： 类型变量条件累计概率分布函数：类型变量条件累计概率分布函数： 参数化建模参数化建模 非参数化建模非参数化建模 假定模型类别（如高斯模型）， 仅推断模型参数 （如均值函数和协方差函数） 直接推断模型 P P Mean St.Dev. 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 ABC 相 P 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 ABC 相 P 代表变量代表变量Z(x)Z(x)空间分布的空间分布的L L个可能的实现。个可能的实现。 每个实现亦称为随机图象。每个实现亦称为随机图象。 随机模拟是一个抽样过程，抽取等可能的、来随机模拟是一个抽样过程，抽取等可能的、来 自随机模型的各个部分的联合实现。自随机模型的各个部分的联合实现。 , 1,)( )( LlDxxZ l 随机模拟随机模拟 （改变种子数，得到多个模拟实现） 条件模拟与非条件模拟条件模拟与非条件模拟 若用观测点的数据对模拟过程进行条若用观测点的数据对模拟过程进行条 件限制，使得观测点的模拟值忠实于实测件限制，使得观测点的模拟值忠实于实测 值（井数据、地震数据、试井数据等），值（井数据、地震数据、试井数据等）， 就称为就称为条件模拟条件模拟； 否则为否则为非条件模拟。非条件模拟。 随机模拟算法 序贯模拟序贯模拟(Sequential(Sequential simulation)simulation) 误差模拟误差模拟 (Error simulation) 概率场模拟概率场模拟 (P(P- -fieldfield simulation)simulation) 模拟退火模拟退火(simulated(simulated annealing)annealing) 序贯模拟序贯模拟(sequential(sequential simulation)simulation) （1 1）随机地选择一个待模拟的网格节点；随机地选择一个待模拟的网格节点； （2 2）估计该节点的估计该节点的 累积条件分布函数累积条件分布函数(ccdf)(ccdf)； （3 3）随机地从随机地从ccdfccdf中提取一个中提取一个 分位数作为该节点的模拟值；分位数作为该节点的模拟值； （4 4）将该新模拟值加到条件数据组中；将该新模拟值加到条件数据组中； （5 5）重复重复1 1- -4 4步步，直到所有节点都被模拟到为止直到所有节点都被模拟到为止， 从而得到一个模拟实现从而得到一个模拟实现z z(l) (l)(u) (u) 误差模拟误差模拟 （1 1）应用原始数据进行克里应用原始数据进行克里 金 插 值 估 计金 插 值 估 计 ， 得 到 估 计 值得 到 估 计 值 Z Z* *(u)(u)； （2 2）进行非条件模拟进行非条件模拟，得到得到 一个模拟实现一个模拟实现Z Z( (1 1) )(u(u） （3 3）提取在模拟实现提取在模拟实现Z Z( (1 1) )(u)(u) 中观察点处的非条件模拟值中观察点处的非条件模拟值， 对其进行克里金插值估计对其进行克里金插值估计，得得 到新的估计值到新的估计值Z Z*( *(1 1) )(u) (u)。 （4 4）比较非条件模拟与新的比较非条件模拟与新的 估 计 值估 计 值 ， 得 出 模 拟 残 差得 出 模 拟 残 差 Z Z( (1 1) )(u)(u)- -Z Z*( *(1 1) )(u) (u)，其中其中，观察观察 点的残差赋为点的残差赋为0 0。 （5 5）将模拟残差与原始的克将模拟残差与原始的克 里金估计值相加里金估计值相加，即得到一个即得到一个 忠实于井点观察值的条件模拟忠实于井点观察值的条件模拟 实现实现Z Zc c( (1 1) )(u)(u)。 (Error simulation) 概率场模拟概率场模拟 (P(P- -fieldfield simulation)simulation) （1）应用）应用n个原始数据，求取各待模拟点的个原始数据，求取各待模拟点的ccdf。 LlDxxP l , 1;),( )( （3）利用每一个）利用每一个P场实现，从场实现，从ccdf中抽取可能的实现。中抽取可能的实现。 )()(;)( )(1*)( nxPxFxZ ll （2）通过非条件模拟，得到）通过非条件模拟，得到P场实现。场实现。 )(;nzxF 模拟退火模拟退火(simulated(simulated annealing)annealing) 模拟退火模拟退火类似金属冷类似金属冷 却和退火却和退火。高温状态高温状态 下分子分布紊乱而无下分子分布紊乱而无 序序，但但随着温度缓慢随着温度缓慢 地降低地降低，分子有序排分子有序排 列形成晶体列形成晶体。 模拟退火的基本思路模拟退火的基本思路 是对于一个初始的图是对于一个初始的图 象象，连续地进行扰动连续地进行扰动， 直到它与一些预先定直到它与一些预先定 义的包含在目标函数义的包含在目标函数 内的特征相吻合内的特征相吻合 目标函数目标函数 表达了模拟实现空间特性与希望得到的空间特性 之间的差别。 空间特性：空间特性： 直方图、变差函数、井-震相关关系、 岩相形态、含量、垂向层序等。 h h hh O 2 2 )( )()(* )(* h -模拟实现的变差函数 )(h -预先定义的变差函数 O-两者之差，即能量。 O = （模拟的平均长度-60） + （模拟的平均厚度-10） 扰动的接受与拒绝扰动的接受与拒绝 接受扰动的概率分布由Boltzman概率分布给出： t OO oldnew e taccepP )( 1 oldnew oldnew OO OO t 类似退火中的温度。温度越高，接受一次不理想 的扰动的概率越大。控制温度（指定退火计划），使 扰动理想，而且模拟实现得到收敛。 直接用于随机建模直接用于随机建模 用于模拟实现的后处理用于模拟实现的后处理 第三节第三节 随机建模方法随机建模方法 算 法 及 模 型 随 机 模 型 模 拟 方 法 序 贯 模 拟误 差 模 拟 概 率 场 模 拟 优 化 算 法 (模 拟 退 火 及 迭 代 算 法 ) 模 型 性 质 基 于 目 标 的 随 机 模 型 标 点 过 程 (布 尔 模 型 ) 标 点 过 程 模 拟 (用 退 火 或 迭 代 算 法 ) 离 散 高 斯 域 序 贯 高 斯 LU 模 拟 转 带 模 拟 概 率 场 高 斯 模 拟 (优 化 算 法 可 用 作 后 处 理 ) 连 续 截 断 高 斯 域 截 断 高 斯 模 拟 截 断 高 斯 模 拟 截 断 高 斯 模 拟 (优 化 算 法 可 用 作 后 处 理 ) 离 散 指 示 模 拟 序 贯 指 示 模 拟 概 率 场 指 示 模 拟 (优 化 算 法 可 用 作 后 处 理 ) 离 散 /连 续 分 形 随 机 域分 形 模 拟 (优 化 算 法 可 用 作 后 处 理 ) 连 续 马 尔 可 夫 随 机 域 马 尔 可 夫 模 拟 ( 应 用 迭 代 算 法 ) 离 散 /连 续 基 于 象 元 的 随 机 模 型 二 点 直 方 图 (很 少 单 独 使 用 , 主 用 作 退 火 后 处 理 ) 离 散 基于目标的方法与 建立目标模型（离 散变量模型）的方 法有差别，很多人 混淆了这种差别 基于目标的随机建模方法基于目标的随机建模方法 基于象元的随机建模方法基于象元的随机建模方法 (object-based) (pixel-based) pixel : Picture element， 象元、象素 高斯模拟高斯模拟 （连续）（连续） 截断高斯模拟截断高斯模拟 （离散）（离散） 指示模拟指示模拟 （连续（连续/离散）离散） 分形模拟分形模拟 （连续）（连续） 多点地质统计模拟多点地质统计模拟 （离散）（离散） 布尔模拟布尔模拟 标点过程标点过程 （示性点过程）（示性点过程） 二点统计学二点统计学 多点统计学多点统计学 一、二点统计学随机建模方法一、二点统计学随机建模方法 高斯模拟高斯模拟 （连续）（连续） 截断高斯模拟截断高斯模拟 （离散）（离散） 指示模拟指示模拟 （连续（连续/离散）离散） 分形模拟分形模拟 （连续）（连续） 1.1.高斯模拟高斯模拟 Gaussian Simulation -连续变量模拟连续变量模拟 高斯随机域是高斯随机域是最经典的最经典的随机函数模型。随机函数模型。最最 大特征是随机变量符合高斯分布大特征是随机变量符合高斯分布(正态分布正态分布)。 在实际应用中，若参数在实际应用中，若参数 分布不符合正态分布，分布不符合正态分布， 则通过则通过正态得分变换正态得分变换将将 其变为正态分布，模拟其变为正态分布，模拟 后再进行后再进行反变换反变换。 通过通过克里金方法，克里金方法，求取某网格的随机变量的求取某网格的随机变量的 均值和估计方差，均值和估计方差，并转换为并转换为ccdf。 P P （cdf） （ccdf） Mean St.Dev. 累计条件概率分布函数（累计条件概率分布函数（ccdf）的求取：）的求取： （简单克里金、普通克里金、 具有趋势的 克里金、 同位协同克里金) （综合地震信息) 从从条件概率分布函数（条件概率分布函数（ccdf）中随机地提中随机地提 取取分位数分位数便可得到模拟实现便可得到模拟实现。 序贯高斯模拟序贯高斯模拟 Sequential Gaussian Simulation (SGS) 概率场高斯模拟概率场高斯模拟 P-field Gaussian Simulation 随机模拟：随机模拟： 高斯模拟是应用很广泛的连续性变量随高斯模拟是应用很广泛的连续性变量随 机模拟方法。它适用于机模拟方法。它适用于各向异性不强各向异性不强的条件的条件 下连续变量的随机模拟。下连续变量的随机模拟。 相控条件下应用广泛。相控条件下应用广泛。 建模基本输入：建模基本输入： 条件数据 数据均值与偏差 变差函数参数（如变程） （若为相控建模，还需分相输入上述参数） 2.2.截断高斯模拟截断高斯模拟 Truncated Gaussian Simulation (TGS) -离散变量的模拟 截断高斯随机域属于截断高斯随机域属于 离散随机模型，其基离散随机模型，其基 本本模拟思路是模拟思路是通过一通过一 系列门槛值截断规则系列门槛值截断规则 网格中的三维连续变网格中的三维连续变 量而建立离散物体的量而建立离散物体的 三维分布三维分布 。 （1）相序规律与截断值的确定）相序规律与截断值的确定 如三角洲如三角洲(平原、前缘和前三角洲平原、前缘和前三角洲)、 滨面相滨面相(上滨、中滨、下滨上滨、中滨、下滨) 空间D，有n种排序的相，F1, F2, ,Fn 是一个定义在空间D上的平稳高斯随机函数， DxxY)(设 均值为0，方差为1，相关函数(h) 定义定义 iii txytDxF )( 1 相当于定义了n种指示函数： 0 1 )(xI i F ii txyt )( 1 当 其他 )0(/)(1)0(/)()(ChChCh 截断值截断值ti的确定：的确定： 保证不同相在研究区域内应占据的比例Pi (i=1,2,n) 分两种情况： A. 沉积相空间分布具有平稳性， Pi不随位置变化而变化， ti也不随位置变化而变化 B. 沉积相空间分布具有非平稳性， Pi随位置变化而变化， ti也随位置变化而变化。 ti变为ti (x) 比例曲线比例曲线 层模型的归一化处理 三维趋势（3D比例模型） 相比例趋势（3D趋势 = 横向趋势 + 垂向趋势 ） + = （2）应用误差模拟方法，获取条件化高斯场）应用误差模拟方法，获取条件化高斯场 F F. .得到忠实于井点观察值得到忠实于井点观察值 的条件模拟实现的条件模拟实现 )()()()( * xYxYxYxY ssCCS )( * xYC A.A.井位观测数据的条件化井位观测数据的条件化; ; B.B.井位条件化数据的克里金井位条件化数据的克里金 插值插值 C.C.非条件高斯场的建立非条件高斯场的建立 D.D.观察点处非条件模拟值的观察点处非条件模拟值的 克里金插值克里金插值 E.E.得出模拟残差，得出模拟残差， 观察点的残差赋为观察点的残差赋为0 0 ),()( 1jj iij ttxY )(xY S )( * xY S )(xY S )( * xY S - (该图仅为误差模拟示意图。 就截断高斯模拟而言， 图中井位处数值应为N（0，1） （3）条件化高斯模拟实现的截断处理）条件化高斯模拟实现的截断处理 滨面相的截断高斯模拟滨面相的截断高斯模拟 0 1 )(xI i F iCSi txYt )( 1 当 其它 等价于 i Fx iCSi txYt )( 1 重要基础：重要基础： 指示变换、指示变换、 指示克里金指示克里金 3.3.指示模拟指示模拟 -离散变量和连续变量模拟离散变量和连续变量模拟 Indicator Simulation A (100) B (010) A (100) C (001) 常用方法：序贯指示模拟常用方法：序贯指示模拟 Sequential Indicator Simulation (SIS) 在类型变量的模拟过程中在类型变量的模拟过程中，对于三维空间的每对于三维空间的每 一网格一网格(象元象元)，首先通过首先通过指示克里金指示克里金估计各类型估计各类型 的条件概率的条件概率，并归一化并归一化，使所有类型变量的条件使所有类型变量的条件 概率之和为概率之和为1。 A (100) B (010) A (100) C (001) 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 ABC 相 P 求取求取CCDF 根据指示克里金求出根据指示克里金求出 的某网格的各类型变量的的某网格的各类型变量的 条件概率，结合其它信息，条件概率，结合其它信息， 确定该处的确定该处的累计条件概率累计条件概率 分布函数（分布函数（CCDF） 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 ABC 相 P 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 ABC 相 P ccdf 地震信息 （非参数建模） 指示克里金指示模拟指示克里金指示模拟 协同指示克里金协同指示模拟协同指示克里金协同指示模拟 同位协同指示克里金同位协同指示模拟同位协同指示克里金同位协同指示模拟 随机提取一个随机提取一个0至至1之间的随机数之间的随机数，该随机数在该随机数在 条件概率分布函数条件概率分布函数（ccdf）中所对应的变量即为中所对应的变量即为 该象元的相类型该象元的相类型。 这一过程在其它各个象元进行运行这一过程在其它各个象元进行运行，便可得到便可得到 研究区内相分布的一个研究区内相分布的一个随机实现随机实现。 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 ABC 相 P A (100) B (010) A (100) C (001) A ccdf 随机模拟随机模拟 指示模拟可用于模拟指示模拟可用于模拟复杂各向异性的地质现象复杂各向异性的地质现象。 由于各个类型变量均对应于一个指示变差函数，由于各个类型变量均对应于一个指示变差函数， 也就是说，对于具有不同连续性分布的类型变量也就是说，对于具有不同连续性分布的类型变量 (相相)，可给定（指定或通过数据推断）不同的指示，可给定（指定或通过数据推断）不同的指示 变差函数，从而可建立各向异性的模拟图象。变差函数，从而可建立各向异性的模拟图象。 指示模拟可用于多向分布的沉积相建模（如三角洲指示模拟可用于多向分布的沉积相建模（如三角洲 分流河道与河口坝复合体），也可用于断层和裂缝分流河道与河口坝复合体），也可用于断层和裂缝 的随机建模的随机建模 。 4.4.分形随机模拟分形随机模拟 分形分形(fractal)，或分形几何，或分形几何(fractal geometry)，是是Mandelbrot（1977）提出的）提出的 用于描述自然界许多复杂和不规则形态的数用于描述自然界许多复杂和不规则形态的数 学方法。学方法。 Hewett(1986)首次将分形理论应用于储首次将分形理论应用于储 层研究。层研究。 -连续变量的模拟连续变量的模拟 B.B.Mandelbrot, “Fractals:Form,Chance and Dimension” Freeman, San Francisco,1977 分形理论分形理论认为，任何一个无限复杂的认为，任何一个无限复杂的 的形态或结构，如云彩的变幻、山脉的起的形态或结构，如云彩的变幻、山脉的起 伏、海岸线的曲折等等，在其内部存在某伏、海岸线的曲折等等，在其内部存在某 种种自相似性自相似性，即，即局部与整体相似局部与整体相似， 或者或者 说整体与任何一个局部说整体与任何一个局部 虽然都是无限复杂的，虽然都是无限复杂的， 但又都是相似的。但又都是相似的。 分形分布与分形分布与欧几里德空间欧几里德空间物体充满整物体充满整 个空间的情况不同，它并不充满整个空间。个空间的情况不同，它并不充满整个空间。 在在d维欧几里得空间内，大小为维欧几里得空间内，大小为rL的物的物 体充满规模为体充满规模为L的空间的数量可表达为：的空间的数量可表达为： r = 1/2 线条：线条： d = 1, N = 2 正方形：正方形：d = 2, N = 4 立方体：立方体：d = 3, N = 8 N = r -d 分形分布并不充满整个空分形分布并不充满整个空 间，其特征可用物体间，其特征可用物体数量数量 与与形态规模形态规模的关系来描述：的关系来描述： N = r -D 用边长为原边长一半（用边长为原边长一半（r=1/2） 的小三角形去充填大三角形，的小三角形去充填大三角形， 但只充填大三角形但只充填大三角形3/4的面积。的面积。 这一过程以更小的规模重复进这一过程以更小的规模重复进 行，即为右图。行，即为右图。 谢尔宾斯基地毯（Sierpinski gasket） D为分形维数为分形维数 r = 1/2 ， N = 3 r = 1/4 ， N = 9 r = 1/8 ， N = 27 r = 1/16 ，N = 81 r = 1/32 ，N = 243 D = -ln3/ln(1/2) = ln3/ln2 = 1.585 D n n ) 2 1 (3 分形维数表征了分形形态的间断特征。在分形维数表征了分形形态的间断特征。在分形分形 几何几何应用中，通常用间断指数应用中，通常用间断指数 （intermittent exponent）（或称赫斯特指数）（或称赫斯特指数H ，Hurst exponent） 来表征其分形特征。来表征其分形特征。 间断指数（间断指数（H）为）为欧几里德维数欧几里德维数（d）与）与分形维分形维 数数（D）之差，即：）之差，即： H = d - D H = 2 - 1.585 = 0.415 许多复杂图形不具有严格的自相似性，许多复杂图形不具有严格的自相似性， 而可能具有统计自相似性。而可能具有统计自相似性。 分数维的概率定义：分数维的概率定义： 在刻度为L的分数维图形中，任意一点落入刻度为 的一 小部分空间的概率，等于尺度为 的那部分空间占总空间 的比例。 H L l lob)()(Pr 随机分数维变差函数定义： H H lVxZlxZEl 22 )()()(2 l l 统计自相似性：统计自相似性： 任何规模上变量的变化与任何其它规模任何规模上变量的变化与任何其它规模 上变量的变化相似上变量的变化相似，亦即任一规模上变量的方，亦即任一规模上变量的方 差与其它规模上变量的方差成正比，其比率取差与其它规模上变量的方差成正比，其比率取 决于分形维数决于分形维数(或间断指数或间断指数)。 任意尺度rL上的变异性与尺度 之间的关系: )()( 2 lrrl H l H H lVl 2 VH为一个常数（近似为方差）， 为滞后距， H为间断指数（赫斯特指数） 布朗运动布朗运动 分数布朗运动分数布朗运动 分数布朗运动分数布朗运动 12H 2 2H=1 2H 1 l )(l l (4) 间断指数可用多种方法来求取，如间断指数可用多种方法来求取，如 R/S分析分析、谱分析谱分析、变差函数变差函数、盒子计盒子计 数法数法等。等。 盒子记数法盒子记数法 D = -lnN/ln(1/r) (含裂缝的网格数量） (边长等分数目） H = d - D 基于分形变差函数（基于分形变差函数（fBm或或fGn）的克）的克 里金方法称为里金方法称为分形克里金分形克里金。它与一般的克。它与一般的克 里金方法的差别是应用分形变差函数来求里金方法的差别是应用分形变差函数来求 取克里金权值，据此进行井间插值。取克里金权值，据此进行井间插值。 由于分形分布的特征，即在不同规模的自相由于分形分布的特征，即在不同规模的自相 似性，使得可以应用少量数据即可预测整个目标似性，使得可以应用少量数据即可预测整个目标 区的变量分布；同时，该方法在预测井间细节方区的变量分布；同时，该方法在预测井间细节方 面亦有其独到的优势。面亦有其独到的优势。 分形克里金分形克里金 n i i j n i iji njxxxx 1 0 1 1 , 1 分形模拟一般采用误差模拟算法，其模拟分形模拟一般采用误差模拟算法，其模拟 实现为实现为光滑估值光滑估值加上加上随机“噪音”随机“噪音”。根据误差。根据误差 模拟的原理，整个模拟过程由两大部分组成，模拟的原理，整个模拟过程由两大部分组成， 一是插值一是插值（可以是分形克里金插值，也可以是其它（可以是分形克里金插值，也可以是其它 插值方法）插值方法），二是非条件模拟。二是非条件模拟。 随机“噪音”部分可以通过非条件模拟和随机“噪音”部分可以通过非条件模拟和 插值的比较来获得。由于非条件模拟可以得到插值的比较来获得。由于非条件模拟可以得到 多个实现，而它们与插值分布之间又是相互独多个实现，而它们与插值分布之间又是相互独 立的，因此，可以获得多个条件模拟的实现。立的，因此，可以获得多个条件模拟的实现。 分形模拟分形模拟 裂缝网络的分形预测裂缝网络的分形预测 实际裂缝网络实际裂缝网络 预测裂缝网络预测裂缝网络 分形几何应用的注意事项分形几何应用的注意事项 分形随机域最引人注目的特征是其分形随机域最引人注目的特征是其 自相似性，这也是它最大的优点。在确自相似性，这也是它最大的优点。在确 定随机变量符合分形特征后，定随机变量符合分形特征后，便可根据便可根据 自相似性原理应用少量数据预测整个目自相似性原理应用少量数据预测整个目 标区的变量分布。标区的变量分布。 然而，在分形模拟的应用中，一定然而，在分形模拟的应用中，一定 要注意如下几点：要注意如下几点： (1)检验待模拟变量是否具有分形特征检验待模拟变量是否具有分形特征。 值得注意的是，由于地质情况的复杂性，值得注意的是，由于地质情况的复杂性， 不同规模的地质特征受控于不同的地质控不同规模的地质特征受控于不同的地质控 制因素制因素(如如砂体规模的渗透率受控于沉积相砂体规模的渗透率受控于沉积相 和成岩相的空间展布，而层理规模的渗透和成岩相的空间展布，而层理规模的渗透 率受到层理性质及局部成岩作用的强烈影率受到层理性质及局部成岩作用的强烈影 响响)。因此，在应用分形理论研究地质变量。因此，在应用分形理论研究地质变量 的分布之前，一定要检验它是否符合分形的分布之前，一定要检验它是否符合分形 特征。特征。 （2）选择合适的计算间断指数（赫斯特选择合适的计算间断指数（赫斯特 指数）的方法。指数）的方法。为了提高分形模拟或预测的为了提高分形模拟或预测的 精度，首先应该求准间断指数。用于求取间精度，首先应该求准间断指数。用于求取间 断指数的方法很多，如断指数的方法很多，如R/S分析、谱分析、分析、谱分析、 变差函数、盒子计数法等，其中一些方法在变差函数、盒子计数法等，其中一些方法在 样品数量减少时变得不稳健。因此，样品数量减少时变得不稳健。因此，应根据应根据 实际地质情况及变量类型，选择一种最稳健实际地质情况及变量类型，选择一种最稳健 的、能提供最可靠间断指数的方法的、能提供最可靠间断指数的方法。另外，。另外， 还应注意季节纹层对计算间断指数的影响。还应注意季节纹层对计算间断指数的影响。 （3）检验垂向与平面上的分形特征的差检验垂向与平面上的分形特征的差 别。别。在很多分形模拟的应用中，由于横向数在很多分形模拟的应用中，由于横向数 据点比较稀少，很难求取平面上的分形维数据点比较稀少，很难求取平面上的分形维数 （实际上，在最小井距之内，变差函数无点（实际上，在最小井距之内，变差函数无点 对存在，类似于纯块金效应）对存在，类似于纯块金效应），因此往往，因此往往 “借用”垂向分形维数代替平面分形维数。“借用”垂向分形维数代替平面分形维数。 在进行分形模拟前，应检验平面分形维数是在进行分形模拟前，应检验平面分形维数是 二、基于目标二、基于目标(object-based)的随机建模的随机建模 布尔模拟布尔模拟 Boolean Simulation 示性点过程（标点过程）示性点过程（标点过程）Marked Point Processes -类型变量的模拟类型变量的模拟 点过程：点过程： 一个空间区域内的离散点的随机集合。 二项式点过程：二项式点过程： n个相互独立的、均匀分布的 在同一个紧致集中的点构成的 点过程。 最简单的点过程：最简单的点过程： 一个随机点的均匀分布 点过程、示性点过程、纤维过程 随机几何学随机几何学 （模式） 泊松泊松(Poisson)点过程点过程 （1）点数的泊松分布点数的泊松分布。在一个有限的波雷尔集中， 点的数目是具有泊松分布的随机变量。 （2）独立的分散性。 在k个互不相交的波雷尔集中， 点的数目构成了k个独立的随机 变量。 平稳的泊松点过程：均值为一个常数； 广义的泊松点过程：均值为一个变量 (x)。 吉布斯吉布斯（ Gibbs)点过程点过程 （1）点数的吉布斯分布。 （2）点在空间上的分布可以 相互关联或排斥。 示性点过程示性点过程 对于一个点过程，在其上的每一个点赋予一个特征时， 就称为示性点过程。 一个随机序列 )( ;nn xmx 森林中松树的位置及树干直径 (Stoyan and others,1987) 森林中云杉和白桦的位置 (Stoyan and others,1987) 布尔模型布尔模型(Boolean model)： 可看成示性点过程的简单情形。 种子点过程为泊松过程 种子的位置相互独立，均匀分布于研究区域中。 一般的示性点过程：一般的示性点过程： 复杂的示性点过程。 种子点过程多由吉布斯点过程产生。 种子的位置具有相互关联和排斥性。 模拟示意图模拟示意图 基本思路：基本思路：根据点过程的概率定律产生物体中心点的空间根据点过程的概率定律产生物体中心点的空间 分布，然后将物体性质（即分布，然后将物体性质（即marks，如物体几何形状、大，如物体几何形状、大 小、方向等小、方向等)标注于各点之上。标注于各点之上。 从地质统计学角度来讲，标点过程模拟即是要模拟物从地质统计学角度来讲，标点过程模拟即是要模拟物 体体点点(points)及其性质及其性质(marks)在三维空间的联合分布。在三维空间的联合分布。 目标点密度目标点密度在空间上可以是均匀的，也在空间上可以是均匀的，也 可以根据地质规律赋予一定的分布趋势。在可以根据地质规律赋予一定的分布趋势。在 实际应用中，目标点位置可以通过以下规则实际应用中，目标点位置可以通过以下规则 来确定：来确定： (1)密度函数密度函数（即各相的体积比例及其分布（即各相的体积比例及其分布 趋势）趋势） (2)关联关联(如井间相连通如井间相连通) 和排斥原则和排斥原则(如同相如同相 物体或不同相物体物体或不同相物体 之间不接触的最小之间不接触的最小 距离距离)。 物体性质物体性质(marks)：物体几何学特征。：物体几何学特征。 形状形状：矩形、椭球体、锥形、自定义；：矩形、椭球体、锥形、自定义； 几何学参数几何学参数：长、宽、高等；：长、宽、高等； 方向、顶底位置方向、顶底位置 示性纤维过程示性纤维过程 产生物体中心轴线的空间分布产生物体中心轴线的空间分布 将物体形态（沿轴线的宽、厚将物体形态（沿轴线的宽、厚 特征）标注于各纤维之上。特征）标注于各纤维之上。 产生物体中心轴线的产生物体中心轴线的 空间分布空间分布 应用随机过程与图论相结合的方法 纤维类型：相类型 纤维条数：相数量（各类纤维条数表示各相数量） 纤维方向：相的主流线 纤维长度：相的延伸长度 纤维弯曲：主流线变化 纤维定义：纤维定义： 将物体（相）形态（沿轴线的宽、厚特征）将物体（相）形态（沿轴线的宽、厚特征） 标注于各纤维之上。标注于各纤维之上。 各相形态：形态单元、长（有限、无限）、 宽、厚、宽/厚比 各相体积含量：约束各相数量与规模 各相成因关系：排斥、毗邻、切割等 单相复合体成因关系：并列、切割 利用优化算法利用优化算法(如如模拟退模拟退 火火)可以使模拟实现忠实可以使模拟实现忠实 于于井信息、地震信息以井信息、地震信息以 及其它指定的条件信息。及其它指定的条件信息。 波阻抗、振幅波阻抗、振幅 冲积体系的河道和决口扇冲积体系的河道和决口扇(背景相为泛滥平原背景相为泛滥平原) 三角洲分流河道和河口坝三角洲分流河道和河口坝(背景相为河道间和湖相泥岩背景相为河道间和湖相泥岩) 浊积扇中的浊积水道浊积扇中的浊积水道(背景相为深水泥岩背景相为深水泥岩) 滨浅海障壁砂坝、潮汐水道等滨浅海障壁砂坝、潮汐水道等(背景相为泻湖或浅海泥岩背景相为泻湖或浅海泥岩) 砂体中的砂体中的非渗透泥岩夹层非渗透泥岩夹层、 非渗透胶结带非渗透胶结带 断层断层 裂缝裂缝 事件现象模型事件现象模型 传统的基于变差函数的地质统计学的不足：传统的基于变差函数的地质统计学的不足： 1. 多点统计学的提出及基本概念多点统计学的提出及基本概念 三、多点统计学随机建模三、多点统计学随机建模 Multiple-Point Statistics -类型变量的模拟类型变量的模拟 基于同样样本数据的三个模型基于同样样本数据的三个模型 Variograms EW 样本数据样本数据 0.4 0.8 1.2 10 20 30 40 0 0.4 0.8 1.2 10 20 30 40 0 3 1 2 Variograms NS 1 2 3 只能保持两点统计一致性，不能同时反映多于 两个点间的空间相关性或连续性 模拟实现的结果往往较为分散，不能显示出目 标的几何形状(如弯曲形状)，不能再现具有特征形 状具有相似数值的丛聚。 因此,不能对实际的相空间分布给出一个较为理想 的模拟与解释。 基于目标的方法 不足不足: : 对每类具有不同几何形状的目标要有自己特定的一 套参数，不能通用。复杂形态的参数化较为困难. 对于一个目标体内的多个数据较难拟合,有时不能拟 合(算法不收敛)。 算法要求大量机时。 能再现目标的特定几何形状 从两点到从两点到多点地质统计学多点地质统计学 u4 u? u2 u3 u1 Training image Retrieve training replicates of dn 应用训练图像而不是变差函数来表征空间多点的应用训练图像而不是变差函数来表征空间多点的 相关性相关性 算法具有基于目标和基于象元两种算法的优点，算法具有基于目标和基于象元两种算法的优点， 使模拟出来的储层模型不仅可以反映先验地质概使模拟出来的储层模型不仅可以反映先验地质概 念念(目标几何形态目标几何形态)，而且可很容易地忠实条件数，而且可很容易地忠实条件数 据据(井井/地震数据地震数据) 4 1 d|yellow;p n u 4 3 d|blue;p n u 2. 多点统计方法的新术语及含义多点统计方法的新术语及含义 (1) 数据事件与数据样板(data event and data template) 数据事件: 一个以待模拟点u为中心的,大小为n的“数据事件” dn由 以下两部分组成: 由n个向量h, =1,2,n确定的几何形态(数据构形) n个向量终点处的n个数据值 u +h = u =1,2,n 考虑一种属性S,可取K个状态 Sk, k=1,2,K (S可以是类型变量,也可以是由K-1个门槛值离散成K组的连续变量) u h1 u1 u2 u3 h2 h3 K个状态的任一种 Sk 数据样板n: n个数据的几何构形. 数据样板n中心处u的值为未知值