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第十届全国大学生数学竞赛第十届全国大学生数学竞赛（非数学类）预赛试题及（非数学类）预赛试题及 一、填空题（本题满分 24 分, 共 4 小题, 每小题 6 分) （1）设(0,1),则 lim (1) n nn =. （2）若曲线( )yy x由 +cos +sin1 y xtt etyt 确定，则此曲线在0t 对应点处的切线方程为 （3） 2 2 3/2 ln(1) (1) xx dx x = （4） 3 2 0 1coscos2cos3 lim x xxx x =. f t ( )0t (1)0f二 (本题满分 8 分) 二 (本题满分 8 分) 设函数在时一阶连续可导，且，求函数f x y 22 ()， 使得曲线积分 2222 L y(2 f (x y ) dx xf (x y )dy 与路径无关，其中L为任一不与直 yx线相交的分段光滑闭曲线. f x( )0,11)3(f x三 (本题满分 14 分) 三 (本题满分 14 分) 设 在区间 上连续，且 .证明： 11 00 14 1 )3 f (x)dxdx (f x . 四 (本题满分 12 分)四 (本题满分 12 分)计算三重积分 22 x y()dV （V） （V），其中是由 222 x y (z2) 4， 222 x y (z1) 9，0z 所围成的空心立体. 五 (本题满分 14 分) 五 (本题满分 14 分) 设( , )f x y在区域D内可微，且 2 2 ff M xy ， 11 ( ,)A x y， 22 (,)B xy是D内两点，线段AB包含在D内。证明： 1122 |( ,)(,)|f x yf xyM AB，其 AB|AB中表示线段的长度. )0(f x 六(本题满分 14 分) 六(本题满分 14 分) 证明：对于连续函数，有 11 00 lnf (x)dx ln f (x)dx. 七 (本题满分 14 分) 七 (本题满分 14 分) 已知 k a， k b是正项数列，且 1 0, kk bb ，为 一常数.证明：若级数 1 k k a 收敛，则级数 1
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