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摘要 在带有完美匹配层的有界区域中，由于改进的复h e l m h o l t z 方程的特征函数一般不具有正交性，故数值步进求解复方程时 存在着局部基下坐标计算的困难。本文通过推导出此复偏微分 方程的共轭特征函数所满足的方程，论证了方程的特征函数与 共轭特征函数正交的性质。同时，给出局部基下坐标计算的简 便公式，它可使步进计算保持高效率。数值模拟结果表明所提 方法切实可行有效。 关键词：h e l m h o l t z 方程完美匹配层共轭特征函数 坐标计算 a b s t r a c t o nt h eb o u n d e dr e g i o nw i t ht h ep e r f e c t l ym a t c h e dl a y e r ，s i n c et h e r ei sn o o r t h o g o n a lp r o p e a yo f t h ee i g e n f u n c t i o n sf o rt h ei m p r o v e da n dc o m p l e xh e l m h o l t z e q u a t i o n ( i c h e ) i ti sd i m c u l tt oc o m p u t et h ec o o r d i n a t e su n d e rt h el o c a lb a s e s w h e nt h ee q u a t i o ni ss o l v e db ys o m en u m e f i c a lm a r c h i n gm e t h o d s ，i nt h i sp a p e r , t h ee q u a t i o no ft h ec o n j u g a t ee i g e n f u n c t i o n sf o ri c h ei sd e d u c e d a n di ti sp r o v e n t h a tt h e r ei st h eo n h o g o n a lp r o p e r t yb e t w e e nt h ee i g e n f u n c t i o n sa n dt h ec o n j u g a t e f u n c t i o n s i nt h em e a n t i m e as i m p l ea n dc o n v e n i e n tf o r i l l u l ai sg i v et oc a l c u l a t et h e c 0 0 r d i n a t e su n d e rt h el o c a lb a s e s t l l i sm a ye n s u r et h eh i g h e re f f i c i e n c yb yu s eo f t h em a r c h i n gm e t h o d s ，s i m u l a t i o nn u m e r i c a lr e s u l t ss h o wt h a tt h et r e a t m e n ti s m o r ef e a s i b l ea n de f f i c i e n t k e y w o r d ： h e l m h o l t ze q u a t i o n ；p e r f e c t l ym a t c h e dl a y e r ；c o n j u g a t ee i g e n f u n c t i o n ；c o o r d i n a t e c a l c u l a t i o n i i 瓯江大学顿士学位论文一类带p m l 声波导中的共轭特征函数构造及其应用 第一章引言 在水下声波的研究中，通常需要在一个长度比波长还要大许多的区域中求波 场的分布。它们常常需要求解变系数h e l m h o l t z 方程在某个区域中的解。若波 源是单一频率的时间调和的，则波场的决定方程是以下h e l m h o l t z 方程： “+ 甜露+ r 2 ( x ，z ) “= 0 ，0 z l 时，可由分离变量的方法得到方程的精确解，故本文主要考虑 0 x l 这部分方程的求解问题。 1 1 深度有限 当定解区域简单地用一有界的矩形区域近似替代时，显然当茁是常数时， h e l m h o l t z 方程有精确平面波解和球面波解：然而在实际问题中，r 一般不是常 数，既与水平距离x ，又与深度z 有关，故无法给出该方程的解析解。 在有界区域上求解h e l m h o l t z 方程有许多直接的数值方法，如有限差分和有 限元等【l 2 j ，但因为方程定解区域的水平距离与波长相比非常的大，而且波场的 内部振荡也很大，每一个波长范围内部需要用很密的格点( 或基函数) 来表示 波场，对于这个水平距离比波场还要大得多的区域来说，若用有限差分或者有 限元方法来处理时，产生的线性系统将非常庞大，同时这些线性系统是非对称 的、不定的，这样就使方程的求解很困难。 考虑到海洋声波导问题的特点，一方面，在波主传播方向上求解区域的长度， 要比纵向( 垂直于传播方向) 大的多( 都远比波长大) ，另一方面，虽然波导介 质沿着主传播方向有变化，但是变化比较缓慢。基于这两个特性，已发展了很 l 参新江大学硕士学位论文一英带p m l 声渡导中的共轭特征函数构造及其应用 多步进计算方法。 ( 1 ) 藕合模方法( c o u p l e dm o d em e t h o d 2 1 3 4 7 s 1 ，简称c m p ) 对于波传播问题的h e l m h o l t z 方程，藕合模方法是一种好的近似求解方法。 在没有太多传播模的条件下，它利用局部特征向量展开使解能被较小数量的系 数表示。一个流行的办法是用分片独立波导来近似全局变化波导。相邻部分的 界面条件和波导的上下边界条件可给出未知系数( 针对局部特征向量展开时) 方程的藕合线性系统。不同于有限差分和有限元方法，在藕合模方法中，水平 方向的步长不受波长的限制。在水平方向变化比较缓慢的情况下，步长可以大 大地大于波长。但是当界面或边界弯曲的时候，藕合模方法用“阶梯状”的折 线段来近似代替弯曲的界面或边界，这样在每个小区域内是连续的，而不同区 域之间是不连续的。这样的近似会带来较大的误差并且小步长又变得必不可少。 ( 2 ) 单侧方法( o n e - w a ym e t h o d 6 9 12 2 1 ) 单侧方法依赖于近似单侧方程，此类方程作为初值问题能用步进方法有效 求解。在水平变化比较缓慢的时候，这些方程是包含平方根算子的单侧 h e l m h o l t z 方程的进一步近似，而且对波域的o u t g o i n g 部分给出了有用的近似 方法。它们可以看作是以下理想单向方程的近似， - - - - - 一 = f r 2 ( _ x ，z ) + a ：甜， ( 1 2 ) 若将变量x 视作时间变量，则抛物方程( 1 2 ) 可以用步进方法当作初值问 题来解。当区域的介质是水平方向无关的，即r 与x 无关的话，方程( 1 2 ) 的 解正是满足无穷远处辐射条件的h e l m h o l t z 方程的解。 但是，单侧h e l m h o l t z 方程本身只是原始h e l m h o l t z 方程的近似，在大范 围的波导问题中，存在着不可消除的误差d 2 1 。 ( 3 ) 基于精确单侧重构方法( e x a c t0 n e - w a yr e f o r m u l a t i o n s 。“州) 与藕合模方法相比，基于精确单侧重构方法提供了更多的优点。理论上它能 给出h e l m h o l t z 方程的精确解( 包括向后散射波) ，近似只是在算子方程( 比如 2 浙江大掌硕士学位论文一类带p 皿声波导中的共轭特征函敦构造及其应用 q ) 数值解时才引入。这种方法建立在散射算子或d i r i c h l e t t on e u m a n n 映 射”。“，5 - ”4 。的基础上，它将原方程的边值问题转化为一个算子的初值问题，( 将 水平方向的华标变蕈看作是时间变量) ，假设”是满足在z = 0 和z = 1 处的边界条 件及x = 上处辐射条件的h e l m h o l t z 方程的任意解，d i n 算子q ( x ) 将“映射成它 的导数“，即“，= q ( x ) u ，则有 掣： a ：+ r z ( 毛：) 卜q ： m 它们的求解计算时间与水平方向的总距离三呈线性关系。而且计算时所需的 内存较小( 因为它与总距离上无关) 。相反地，藉合模方法当总距离增大时，内 存的需求也随之增大。 上述方法都能有效地解决有界区域上的波传播问题，然而，在实际中，深度 往往是巨大的( 与主传播方向的距离三相比) ，即看作无限大，那么这些方法就 不能简单地应用，否则深度方向的离散点数变得很大，远远超过了计算机的能 力。 1 2 深度无限 对于z 方向上的无限深度问题，以往的方法是简单地设立假边界条件将无 界的求解区域有界化，如设这些边界条件为第一、第二或第三类边界条件。这 种做法只是将原方程粗糙地近似化，所以无论是对此近似问题进行精确求解还 是离散方程后进行数值计算，解的逼近效果都很差。产生误差的主要原因在于 这样的假边界条件实际上并不符合无界区域中声波传播的特性。在这种情况下， 必须引入适当的吸收边界层条件把计算空间截断，并且应保证在截断边界处只 有向外传播的波而没有向内传播的反射波。吸收边界的效果直接关系到数值计 算的正确性和精确性，是影响计算品质的决定因素。 1 9 9 4 年，j p b e r e n g e r 首先提出了高效的二维完美匹配层( p m l ) 吸收边 界条件的概念“”。后来，又在理论上证明了该方法可以完全吸收来自各个方向、 移浙扛大学硕士学位论文一类带p h 儿声波导中的共轭特征函数构造及其应用 各种频率的声波，而不发生任何反射。它被认为是目前最好的吸收边界层条件， 广泛应用于水下声波、光纤通讯中的传播计算。 1 9 9 7 年f r a n c i sc o l l i n o 针对上述添加的p m l ，在数学上相当于对坐标做 了一个复的伸展变换i = 工+ i 【。口( f ) 如，把h e l m h o l t z 方程转换为一个新的复方 程，我们称之为改进的复h e l m h o l t z 方程。 在用步进算法求解改进的复h e l m h o l t z 方程时，首先需求出此方程的特征 问题，即将特征问题离散，得到一复矩阵；其次用r a y l e i g h 迭代方法，或多重 r a y l e i g h 迭代算法，利用其具有局部收敛和快速收敛的特点，可较有效地求出 复矩阵的特征值和特征向量。这在上下无界的平板光波导区域中的求解及多层 无界区域弯曲界面的声波导方程的求解中已得到验证。1 “。这些具体的方法不仅 可以近似求出h e l m h o l t z 方程在无界波导中的特征分布，而且大大改善数值求 解的精确度，且具有易于数值计算的优点，如保持三对角矩阵运算，极大地减 少了存储空间和计算量。 在实施进一步的传播步进计算时，当传播域或求解范围有界时( 没有加入 p m l ) ，h e l m h o l t z 方程的特征函数具有良好的加权正交的性质，因此人们可以采 用m a r c h i n g 方法快速求解h e l m h o l t z 方程，并已取得了很好的数值解“。”。； 然而，当考虑传播区域或求解范围无界时，即加入p m l 时，此时对应的复偏微 分方程的特征函数一般不具有正交性，这给步迸算法中局部基下的坐标转换计 算带来了困难，严重影响影响了步进算法的实现效率。 本文通过推导出上述复偏微分方程的共轭特征问题，论证了特征函数系与共 轭特征函数系具有正交之性质，数值模拟结果进一步显示具体实施的可行、有 效性。实现了局部基下的坐标转换的快速计算，使步进算法仍保持高效率。 以下第二章先介绍声波导有关的二维h e l m h o l t z 方程及引入完美匹配层后 对应的方程；第三章介绍引入完美匹配层后共轭特征问题的导出及其加权正交 之性质；第四章介绍推广到一般情形的共轭特征问题及正交性质的验证；第五 章结论及应用前景。 4 鱼塑坚查兰堡主兰垒堡奎 二耋萱! ! 些苎垫曼生塑苎! 堕堑璺墼塑丝墨茎皇星 第二章基本方程 考虑如下二维h e l m h o l t z 方程： p 昙( 三罢) + 户i 0 ( 一li o u ) + k 2 ( 础) “：0 ( 2 1 ， 麟p 戗睨p 比 其中一o o x 4 - 0 0 ，0 z 4 - 0 0 ，u 表示f o u r i e r 变换后的声压，z 是深度变量，x 表示水平方向的变量，r ( x ，z ) 为波数，定义为r ( x ，z ) = a ) c ( x ，z ) ，c ( x ，z ) 为波速， 密度p 是部分常量，我们有当0 z g 时，p = 届，当g z d 时，p = p 2 。 假定波导在x 三区域中是与x 无关的，即 f r ( x ，z ) = k o ( z ) ，当x 厶 这样，方程( 2 1 ) 可简化为： ；k + “盘+ 茁2 ( x ，z ) u = 0 ( 2 ，2 ) 其中0 工l 0 z 懈 上端和底端的边界条件为：引。= o ，i ：。= 0 连接条件为： 1 i m u ( x ，z ) = l i m u ( x ，z ) 蜘去掣= ! 菇去掣 3 在x = 三处的边界条件( 散射条件) 是： 虬：f 厄i 丽，其中，：j 。 当x = 0 时，取“= i 0 ( z ) ，其中u 。是一个关于z 的给定的函数。假设解是存在且 唯一的。 因为方程( 2 2 ) 的结构是定义在一个开放型空间之下，也就是说在做数值 够浙江大学硕士学位论文 一类带p m l 声波导中的共轭特征函数构造及其应用 计算时所需要的空间区域是没有边界的。对于传播模，我们认为包层中的场离 开芯层分界俑后迅速衰减。在利用有限差分算法求解光波导中的传播问题时， 可以在离开芯层分界面一定距离以后将波导场截断，即近似认为声场仅存在于 一个宽度为有限大小的矩形区域内。在此矩形的外边界上场量已衰减至零，也 就是说在此矩面上给定第一类边界条件，从而将求解区域限制在有限区域内。 这种方法简明扼要，但有一个致命的缺点，就是如果外边界宽度取得太小，则 导致所求得的解有明显的误差，如果外边界的宽度取得很大，虽然可以保证提 高计算精度，但求解区域中离散密度增大，从而加剧了计算的复杂性。 对于开放式结构，一个行之有效的办法是采用吸收边界条件，使传输到截断 处的波被边界吸收而不发生反射，从而起到模拟无限空间的目的。也就是将求 解区域局限于有限区域。由b e r e n g e r 提出的完美匹配层( p e r f e c tm a t c h e d l a y e r ，简写为p m l ) 。”作为边界吸收条件现已被广泛接受并采用，被认为是目 前最理想的吸收边界条件。c h e w 和w e e d o n 首先据此提出了坐标转换的观点“3 。 如果我们在z = d 处截断，并且假设有边界条件“f ，。= 0 。根据推导可知， 若选取适当的条件，可使声波导在z = d 处的反射足够小。这样，在计算边界的 周围，有完美匹配层作为吸收介质。波由区域内通过边界传播到完美匹配层时， 基本不会发生反射。波在完美匹配层中传播时，也不会发生反射，并且按传播 距离呈指数规律衰减。当波传播到完美匹配层的外边界时，波场近似为零，也 不会发生反射。” 在具体的数学计算中，完美匹配层可以看作是变量z 通过衰减系数盯化) 的一 个到复坐标系上的伸展变换，即：= z + fc a ( t ) d t ，其中矿( z ) 是一个正的连续 函数，满足ra ( r ) d r 足够大，且 盯( z ) = 子( c ，z ) = c 鲁，h z k d 0 0 z h 6 浙江大学硕士学位论文一类带p h 几声竣导中的共轭特征函数构造及其应用 其中f = 寺三等，则方程( 2 2 ) 被截断为以下在复空间内的偏徽务方程： “斟+ “口+ 砰“= 0 ，0 z g ； “n + 口+ , 4 u = 0 ， g z 日； ( 2 4 ) “。+ _ 妥昙( i 妥尝) + 砭2 ：0 ，h z d ； “+ 丽瓦丽瓦) + 砭牡，钉如； 界面条件为： u ( x ，z ) 1 ： 伊p 1 ：0 u ( 以x , z ) ， 边界条件为：ui = o ，“l ：d = 0 7 昌 ，一 型一 m 灯 m m m p 琶巍旺大学硬士学位论文一类管p m l 声波导中的共辘特征函囊掏逢及其应用 第三章带p m l 声波导的特征问题研究 3 。1 数学理论 考虑波在p e k e r i s 声波导“8 1 ”中传播，即从如下的h e l m h o l t z 方程出发 “+ 甜卫+ 盯m = 0 ，0 z 每； l i m 一1 丝：l i r a 上塑： ：g p ia zz - + c p 2a z ： “i z = o = 0 ，1 i m “( z ) = 0 ( 3 1 ) 引进完美匹配层，即作复伸展坐标变换：j = 2 + f f 盯( r ) 出， 这里当 0 z h 时，盯( r ) = 0 ；且盯( 日) = o ，盯( h ) = 0 。则问题( 3 1 ) 近似转化为 下面一个波在有界区域上的传播的复偏微分方程： 甜+ “芷+ 砰“= 0 ，0 z g ； “盯+ “露+ “= 0 ， g 2 日； + 五丽1夏a i 丽1 西0 u ) + “= o ， 片z d ； ( 3 ，2 ) + 再五西夏再i 西西) + “2 0 月。 d ； ( 3 ，2 在局部坐标变换中，需快速计算任给一个函数在问题( 3 2 ) 的特征函数组成 的基下的坐标，问题( 3 2 ) 的特征问题如下形式； c 罨一瑟 n蛾件 塑瑟 m 三n 产 墨 ： 叱 浙江大学硕士学位论文 一类带p m l 声波导中的共轭特征函数构造及其应用 九+ 砰= 兄矽，0 ( z g ； 屯+ 妒= 五妒，g 2 h ； 雨1 盯( z ) 出d ( ，l + i 1 盯( z ) d 出o ，) + = 旯妒， h z 。； ( 3 3 ) l i m 一1 塑：l i m 一1 塑： ：砧日出：村岛如7 矿( 0 ) = 0 ，矿( d ) = 0 不幸的是( 3 3 ) 的解函数 ，( z ) ) ，( ，= 1 , 2 ，3 ，) 不具有正交性，这给求坐标( 或展 开系数) 带来困难：由于 力( z ) ) 与其共轭特征函数集 仍( z ) 是正交的，即当k ， 时，有r 高纰m ( z ) 比_ o ，所以瓠础) = 善吼碱，则有， 吣，=糕d 舡吐z ，棚 关于方程( 3 3 ) ，( z ) = c s i n ( 、：丁i z ) ，0 z g ：石2 + c 2 e f 厢。，g z d 其中：j = z + k w ( t ) d t ， c i c i ( 俨争厨【s i n ( 厢g ) - f 印c o s ( 厢僦 c ：c ：( a ) 二孚e 一，厨g 屑j g ) + f ( 旦) ( 丛) 啪s ( 届j ，g ) 】， 2 p i，2 9 鱼塑垩查兰堡主i 丝丝苎 二鲞萱塑些! 里童! 堕苎堡堑堡里茎塑望墨! ! 皇垦 令( d ) = 0 ，则得到关于特征值五的非线性方程： i ( 鱼) c o s ( 门g ) + 儿s i n ( y t g ) n i 7 , ( 0 2 ) c o s ( y , g ) 一7 zs i n ( y , g ) 岛 此处i ：再， ：詹j ，儿= 庸i + 特取c = 1 ，得 a 其中 。 c 2 l = e x p ( 2 i 如- ( 西一回) ， ( 3 4 ) f s i n ( y , z ) ，0 z s g ； 妒2 。1 ap t 。 + c “2 e ，2 j ，g z d a ( 五) = 1 - t 托g r i s i n ( “g ) 一i ( 旦王) ( 益) c o l e - t r 2 g c o s ( g ) 】， ) 2 2l s 印卜i 噜唼孵 邑( 舻j 1e 1 硒【s i n ( 朐+ i ( 鲁) ( 尝) 酬 g ) 】 3 2 共轭特征方程的导出 设是一算子：三= 等兰而s t z 砻螂2 幻剐z l ( 珏p l zj j “ 芝心，= ，譬爱；d 由于 f 高舭心= f ) 去妒。呼兰告警膏舭 = r 高州詈毫c 苦詹纰+ 哮妒p ，韶d , 1 d 船e 肌2 舭 = f 呼) 皂去警比+ 承了c p ，d 而1 石d e 皿+ f ，而1 妒。r 2 雄 = ( 里$ ) ( 上) s a g 。f l d o ，云d ( + ( 詈) ( 去参l 鲁 一跣西d e 甍( + f 9 雨1 ”2 舭 l o 心k i l r 浙江大学硕士学位论文 一类带p m l 声波导中的共轭特征函数构造及其应用 = 北，去警l 。一一绯，。去老k + 十f 去”2 纰 一f 去c 鳄出一皓c 笼出 _ _ 【古( cl i o 一一胁云d 万1 芝( 抄翻 一去( 争l 暑一髟，夏d 石1 去( 也】+ f 而1 伊x 2 纰 =一上认go)(go)+去妒(g+o)似g+o)+f旦dz止pspl d zp 善d z 呼) ) 庞 p 2 。 s + f 去”2 纰 = j 9 矿芝( 击，芝c 詈) ) 出+ r 面1 ：，, k 2 纰 = 皓姒d ( 万1 芝( 协幽逊皓妒坳出 其中l 的共轭算子为m ： 影伊节芝亡乏。红 且要求妒( g o ) ：妒( g + o ) ，土妒x g o ) ：1 妒，( g + o ) d o 、 此时满足r 吉妒，埘。出= r 吉。m 伊出，即妒是关于矿的共轭特征函数。在本文 中，假定p ( z ) 是分段常数函数( 以z = g 为分段点) ，这样，妒应满足如下常微分 方程： 妒。+ 砰妒= 五妒， 0 z g ： j d 熏1 三d _ 1 刚+ 窆一n 。， 妒( g o ) 2 妒( g + o ) ， 。l i m l 岛塑瑟二磐万1 西0 u ； z 。p ld z：_ 口p ，d z 蟠浙江大学硕士学位论文一类带p m l 声波导中的共轭特征函数构造及其应用 对方程( 3 5 ) ： 当o z g 时，妒( z ) = 0 s i n ( 厢z ) 当g z d 时，方程! i 一旦五毒一妒) + 芷z 2 d z1 i c r ( z ) d z 1 i a ( z ) 妒= 见妒可写成 +、+ “ 丽1-【d_丽1一d1 i c r ( z ) d z1i a ( z ) d z ( 瓦1i l o - ( z ) 训= ( a 一石；) 百1i l c r ( z ) 妒 +、+ 、 2 。+ 令妒= 雨1 丽+ 仍则有 志1 旦d _ z 【志1 驾d z 邓一魄 + f 盯( z )+ f 口( z ) 。、。 作变换：i = z + i f c r ( t ) d t ，则上述方程可化为 窘川一正渺 则可得此方程的解为： g = c je x p ( i 一五z ) + c 2e x p ( 一i 一旯z ) ， ， 一厂一一厂i 一 即： 妒( z ) = r e , e x p ( i 而：) + 岛e x p ( 一i 乏f i 研 1 + i c r ( z ) 】， 又由界面处( z = g ) 的连接条件，可以求出： 己= c 1 ( 加厨【s i n ( 厢g ) 。铬( 抄o s ( 西r g ) 】， c ：= 己( 五) = = ce f 压粕【s i l l ( 0 寻j g ) + f ( 鱼) 出) c o s ( 再巧g ) 】， 2 n，2 将g ，c 2 的表达式代入已知条件妒( d ) = 0 ，同样可得关于旯的非线性方程( 3 4 ) 。 特取6 = 1 ，得妒( z ) = 【 s c i n 。( 。r 。1 z ：) + , 。：。一。；】【1 + f 盯( ：) 】，兰 z ：5 g 。； 其中几：厢，y ：= 属可 浙江大学硬士学位论文一类带p m l 声波导中的共轭特征函数构造及其应用 3 3 特征函数与共轭特征函数p 的正交性 设吃2 乃力， 材纪2 五，仍， 其中( 五乃，f a 则纪与或关于权土p 正交，即r ，力出= 。这是因为 又掘 ” d 2 = k l 毛慨州2 ， 力，丑+ 仍出= ，r 吉，力，仍出； l 华l 口d z = l9 m 9 出，奄a i ，毫 牵j 舻t 出= t 。l 专。母i 9 l d z ， 即 ( 一乃) f 丢，力。纪出= 。， 3 4 正交性数值验证 考虑以下特征问题的特征值和特征函数： 屯+ 砰庐= 五妒，0 z g ； 屯+ = 兄庐， g 2 日； 从而r 三力纪沈：o 由p 志芝c 志警均叫，h 。； 。， i i m 土堂：l i m 上堂 ：一+ g nd z ：- g + 岛出 旧( 0 ) = 0 ，矿( d ) = 0 我们把上述方程在z 方向进行离散，其中当0 z g 时进行”l 阶划分 1 3 ，一p一p 户岛p量 = = 出 出 蛳 暖 矿， 一矿，一p 严七p与 苗珐江大学硬士学拉论文 一类带p 池声波导中的共辘特征函数构造及其应用 g z h 时进行w 2 阶划分，h z d 时进行”3 阶划分，则 ：生 n l + 05 ：= 蕊h - g ，也= 旦嘉竺a z ，为深度z 方向的第，个离散点a f1 ，0 z h 若设p ( z ) 2 ! ，h z d 【1 十i c r ( z ) 则方程( 互6 ) 可写成： p a z 办为o i z 膏= 却其中r = ：嚣 i k ，u z u 整理后得： 耐窘州艄疹警“矿叫 我们可利用一阶和二阶差分公式： - 7 1 。，a 钙竽和窘卜华 来推导差分方程。对于界面条件： 1 i m 妒( z ) = l i m 妒( z ) ! 哆去警= 1 一 1 ：d 船# - 我们利用延拓方法来进行离散，在z = g 处。由于与该点相邻的两离散点分 别为z 。= g 一鲁和+ - = g + 等- 两点与点乙一= g 的距离都相等，为此，定 义z ：= g 一等，z n l + l = g + 堕2 。这相当于z ：，与z ：。分别为z 。，与在离散方向 上的延拓，且对应的特征函数分别为吼。，。 由界面条件( 3 7 ) 得： 1 4 浙江大学硕士学位论文一类带p m l 声波导中的弗轭特征函数构造及其应用 妒州卅一妒刖一妒。一丸l p 2 h 2p l h l 丸+ l纯l + l + 丸l 一 22 由上述两式可得： - = 勉纽p l 筹p 粤2 2 必 n + 舻丛嗡学p 2n 惕+心 这样，若令妒= 氟，矿：，丸，丸。，丸i + n 2 ，丸。，丸。】7 ，则可把原特征 问题( 3 6 ) 化为向量形式，即： 彳= 埘 其中4 是如下在复数空间上的维数为n = n l + n 2 + n 3 的三对角矩阵 4 = 置c l a 2b 2 a 一i 且矩阵a 的各元素满足： 1 ) 当= 1 时， a j = o ； b j2 砰一舌； q = 订1 ； 2 ) 当1 j n l 时， 浙江大学硬士学位论文一类带p m i , 声波导中的共轭特征函数构造及其应用 1 一，2 万； b j2 砰一寺； ，、一1 一耳 色= 砰一毒( 燕+ 1 ) ； q 2 虿2 ，丽p , h i ； 4 ) 当- ，= n l + 1 时， p 2 h 2 n h l + p 2 一土，型 5 ) 当n l + 1 ，n l + 甩2 时 q = 1 ； 6 ) n n l + n 2 j n l + n 2 + n 3 时， 1 6 眈土砰 m 广 = 4 当 2 一磅 ， 一 。一嘭 = i i 4 哆 l 浙江大学硕士学位论文 一类带p m l 声波导中的共轭特征函数构造及其应用 铲簪一掣产； 驴一半； q = 等+ 鼍； 7 ) 当_ ，= n l + n 2 + n 3 时， 铲警一掣掣； 驴乒半； c j = 0 ： 肌考虑当茁为分段常黼吼取r = 毫：鼍焉， t q = 1 6 , 砭= 0 7 x 1 6 , p l = 1 , 岛“7 肛l ，h - 1 8 ，。观。，e = 5 0 , 0 - ( 加e ，斋产而z - h 可得特征值分布如图3 1 ： 1 7 浙江大学颈士学位论文一类带p 池声波导中的共轭特征函数构造及其应用 2 0 0 1 8 0 ， 1 6 0 1 4 0 j 1 2 0 譬1 0 0 l 6 0 4 0 ? ，r1 。o n 。 2 0 。 。 n 。 一i - o 2 - 5 0 0 i - o 一i 葺砬广j 表广乏；f _ = 右石1 r 了；手。一。美_ o j j o 。 r e ( l ) ( 1 ) 取 图3 1特征值( 传播模，泄漏模和辐射模) 分布示意图。 = 1 8 6 1 8 2 0 8 3 1 3 0 - i 0 0 0 0 5 1 8 2 1 0 2 3 2 2 5 8 如= 5 6 8 0 7 9 1 8 5 4 8 6 + i1 0 2 0 4 3 3 0 4 4 4 3 ， 用复合梯形求积公式，得到： 哆翮4 2 翮q l d z o 。2 ，s s 枷o o o ，z s 4 4 ( 2 ) 取 = 1 8 6 1 8 2 0 8 3 1 3 0 - i o 0 0 0 5 1 8 2 1 0 2 3 2 2 5 8 ， 是= 1 2 6 4 2 6 6 6 6 2 6 0 + i2 8 0 3 7 1 7 8 51 6 4 ， 用复合梯形求积公式，得到： 砖赢，南出一一o o o s 瑚叭n 唧z o o s 1 8 8 9 多江大学硬士学位论文一类带p 。声波导中的托轭特征函数构造及其应用 第四章推广 4 1 基本理论 讨论一般波在两层介质无界区域中的传播问题 “盯+ “z ：+ 眉子( z ) “= 0 ，0 z g ； l i m 一1 塑一l i r a 1 o u ： ：w p l3 z ：矿岛a z “k 5 o i 枭熙“( z ) 2 0 同样，先将( 4 1 ) 近似转化为在有界区域上的求解问题 ( 4 1 ) “+ 口+ 茁? ( z ) “= 0 ，0 z g ； ( 4 2 ) 志鲁c 志咖胪。， 。 界面条件为 l i m ( x ，z ) = 1 i m u ( x ，z ) 1 1 o u ( x ，z ) 1 1 o u ( x ，z ) ! 罂百t 21 罂瓦t 边界条件简单地设置为：ui 。= o ，ui ：；。= 0 。 ( 4 2 ) 式对应的特征问题为如下形式： 1 9 堑苎! 墨! 鱼圭兰堕娑文一类带p m l 声波导中的共轭特征函数构造及其应用 屯+ 砰( z ) = a 矿，0 z g ； 屯十( z ) 矿= 名矿， g z ； i 了1 i 石五dl i i l 雨瓦d j + 。) = 兄矽， 日sz 历 ( 4 3 ) i i m 土塑：l i m 三箜： z 一日d z ：卅+ 岛比7 【矿( 0 ) = 0 ， 妒( d ) = 0 类似于第三章的推导过程，可以得到( 4 3 ) 的共轭特征问题 蕊d 1 舌d ? 1 伊：釜2 三一g 。， 妒( g 一。) 。妒( g + o ) ， 。1 i m o - 土p l 业d z2 磐瓦1 一d c p d z ； z o 且同理可以证明特征函数族 破( z ) 与其共轭特征函数族泐 也加权正交。 4 2 正交性验证 由于问题( 4 4 ) 一般没有解析解表达式，故用数值方法解之。 我们把方程( 4 ，4 ) 在z 方向进行离散，其中当0 三s g 时进行州阶划分， g z h 时进行n 2 阶划分，h z d 时进行n 3 阶划分，则氟：l ， n l + 0 5 h 2 丽h - g ，吃= 旦翥竺。z ，为深度z 方向的第，个离散点。 f1，0zsh 若设p ( ：) = ! h z d 【1 + f 盯( = ) 7 则方程( 4 4 ) 可写成： 霾 浙江大学硕士学位论文一类带p h 也声被导中的共轭特征函数构造及其应用 妒d 瓦dc 雨1 湖例伊其榭= 黪；ig o z g 。 整理后得： p ( z ) z 型；芋+ 3 p o ) p ( z ) 型里+ p ，( z ) z + p ( z ) p 一( z ) + 盯2 ( z ) 妒：五妒 拓。dz 我们可利用一阶和二阶差分公式： 警b 气竽和参1 * 尘等丝 来推导差分方程。对于界面条件由第三章同理可得，则可把共轭特征方程 ( 4 4 ) 写成以下矩阵形式： a 妒= a 妒 其中a 是如下在复数空间上的维数为n = n l 4 - n 2 - 1 - n 3 的三对角矩阵： a = 置c ， a 2b 2 c ， a 一lb 一i a 且矩阵a 的各元素满足 1 ) 当j = 1 时， 2 ) 当1 j 珂l 时， 2 1 2 一砰 一 、，亿、 ； 皿 一砰 l l = = 4 日 q 5 浙江大学硕士学位论文一类带p i d l 声波导中的共轭特征函数构造及其应用 1 爿，2 订； b ，2 r 2 ( z 户寺； ，弋一1 、一焉j 3 ) 当，= n l 时， a j2 百1 ； c j2 袁 p l h l p l 啊+ p 2 h 2 4 ) 当= n l + 1 时， 一，；虿2 而p i 2 h 2 万； q 崭( z j ，一者c 者圳； c j = 万2 ； 5 ) 当n l + l j n l + n 2 时 爿，= 万1 ； e = r 2 ( z 沪虿2 ； q = 百1 ； 6 ) 当削- i - n 2 i n 1 4 - n 2 - i - n 3 时 热 啻浙江大学硕士学位论文一类带p m i , 声波导中的共轭特征函数构造及其应用 爿：丝 。 向? 3 p ( z ，) p ( z 2 h ， b j = p ( z j ) 2 + p 批j ) + 吨) 一孚； c ，= 筝+ 鼍产； 7 ) 当j = n l + n 2 + n 3 时， 4 = 等一之产； b j = p 1 ) 2 + p 峨矿乜) + k 2 ( z j ) 一簪； c j = o ： 例2 ：取茁2 ( z ) = 露( z ) 1 + o 0 5 e - 2 0 “2s i n 2 z ) 】，其中 ( 加卜 【k 2 ， o z g g 二 - j 上曾给予的关心和帮助，祝他们事业有 成，前程似锦。 我也要感谢父母及家人多年来对我始终如一地支持和鼓励，让我没有后 顾之忧，顺利完成学业。 再次感谢所有关心、支持和帮助我的朋友们。 苞浙江大学硕士学位论文 一类带p m l 声波导中的共轭特征函数构造及其应用 参考文献 1 董光昌，陈仲慈，汤国桢数学物理方程第一版杭州：浙江大学出版 社1 9 8 9 年5 月 【2 f b j e s s e n ，w a k u p e r m a n ，m b p o r t e r ，h s c h m i d ，c o m p u t a t i o n a lo c e a na c o u s t i c s ， a m e r i c a ni n s t i t u t eo f p h y s i t s ，1 9 9 4 3 l a b r a n h a m s s o n ，h 一o k r e i s s n u m e r i c a ls o l u t i o no f t h ec o u p l e dm o d ee q u a t i o n s i nd u c ta c o u s t i c s j c o m p u t p h y s 1 9 9 4 ，1 1 1 ：1 1 4 4 】c a b o y l e s c o u p l e dm o d es o l u t i o n f o rac y l i n d r i c a l l ys y m m e t r i co c e a n i c w a v e g u i d ew i t har a n g ea n dd e p t hd e p e n d e n tr e f r a c t i v ei n d e xa n dat i m ev a r y i n g r o u g hs e as u r f a c e e a c o u s t s o c a m 1 9 8 3 ，7 3 ：8 0 0 8 0 5 【5 1 r e v a n s ac o u p l e dm o d es o l u t i o nf o ra c o u s t i cp r o p a g a t i o ni naw a v e g u i d e 、 ，i m s t e p w i s ev a r i a t i o n so f a p e n e t r a b l e b o t t o m j a e o u s t s o c a m 1 9 8 3 7 4 ：1 8 8 1 9 5 【6 e d t a p p e r t t h ep a r a b o l i ca p p r o x i m a t i o nm e t h o di nw a v ep r o p a g a t i o na n d u n d e r w a t e ra c o u s t i c s ，j s p a p a d a k i s ( s p r i n g e r - v e r l a g ，1 9 7 7 ) 【7 a d p i e r c e e x t e n s i o no ft h em e t h o do fn o r m a lm o d e st os o u n dp r o p a g a t i o ni na n a l m o s ts t r a t i f i e dm e d i u m e a c o u s t s o c a m 1 9 6 5 ，3 7 ：1 9 2 7 【8 s r r u t h e r f o r d ，k e h a w k e r c o n s i s t e n tc o u p l e dm o d et h e o r yo fs o u n df o rac l a s s o f n o n - s e p a r a b l ep r o b l e m s e a c o u s t s o c a m 1 9 8 1 ，7 0 ：5 5 4 5 6 4 9 m d c o l l i n s a p p l i c a t i o n sa n dt i m ed o m a i ns o l u t i o n so fh i g h e r - o r d e rp a r a b o l i c e q u a t i o n si nu n d e r w a t e ra c o u s t i c s j j a e o n s ts o c a m ，1 9 8 9 ，8 6 ( 4 ) ：1 0 9 7 1 1 0 2 1 0 r e v a n s t h e f l a t t e n e ds u r f a c e p a r a b o l i ce q u a t i o n j a c o u s ts o c a m 1 9 9 8 ，1 0 4 ：2 1 6 9 2 1 7 3 【l1 l uyyl a r g er a n g es t e pm e t h o df o rh e l m h o l t zw a v e g u i d e ，m a t h e m a t i c a la n d n u m e