（基础数学专业论文）紧致系统的几乎周期性、混沌性与拓扑遍历性.pdf

摘要 内容摘要：由紧致度量空间上的连续自映射诱导的系统简称为动力系统或紧致系 统，而混沌的研究是动力系统中不可忽视的分支，现在混沌的研究已成为各个领 域科学家们关注的主要研究项目之一。本文研究了一般紧致空间、符号空间及 b a n a c h 空间上的混沌性，得出如下重要结论： 1 在一般紧致空间上，讨论按序列分布混沌、分布混沌和r u e l l e - t a k e n s 混沌 之间的关系，证明出这三种混沌之间是不等价的。 2 在符号空间上探讨一类极小子转移的混沌性与拓扑遍历性，利用构造性的方 法构造了一类特殊的极小子转移，由此得出在符号空间上的一类极小子转移 是拓扑遍历的、拓扑双重遍历的和熊混沌的。 3 探讨b a n a c h 空间上的混沌性，利用拓扑共轭的方法将符号空间上的结果推 广到b a n a c h 空间上，证明出b a n a c h 空间上的连续可微映射是熊混沌的和 k a t o 混沌的。 关键词：按序列分布混沌；分布混沌；r u e l l e - t a k e n s 混沌；熊混沌；k a t o 混沌； 几乎周期点；拓扑传递性；敏感性；拓扑遍历；拓扑双重遍历；拓扑共 轭；子转移 a b s t r a c t c o n t e n t ：t h es y s t e mi n d u c e db yt h ec o n t i n u o u ss e l f - m a po ft h ec o m p a c tm e t r i cs p a c e i sc a l l e dt h ed y n a m i cs y s t e mo rt h ec o m p a c ts y s t e m ，a n dr e s e a r c ho fc h a o sb e c o m e t h eb r a n c ht h a tc a n ti g n o r ei nt h ef i e l do fd y n a m i c a ls y s t e m n o wc h a o sh a sb e e no n e o ft h em a i nr e s e a r c hs u b j e c t sc o n c e r n e db ys c i e n t i s t si na l lf i e l d s i nt h i sp a p e rw e m a i n l yd i s c u s st h ec h a o t i cp r o p e r t i e so nt h eg e n e r a lc o m p a c ts p a c e 、s y m b o l i cs p a c e a n db a n a c hs p a c e ，t h e nr e a c hs o m e i m p o r t a n tr e s u l t sa sf o l l o w s ： 1 i nt h ec o m p a c ts y s t e m ，d i s t r i b u t i o n a lc h a o si nas e q u e n c e 、d i s t r i b u t i o n a lc h a o s a n dr u e l l e - t a k e n sc h a o sa r en o n - e q u i v a l e n tt oe a c ho t h e r 2 b yc o n s t r u c t i n gam i n i m a ls u b s h i f t ，w ep r o v et h a tt h e r ee x i s t sam i n i m a ls e t 人c s u c ht h a t a 1a i s t o p o l o g i c a l l ye r g o d i c ，t o p o l o g i c a l l yd o u b l ye r g o d i c a n dx i o n g c h a o t i c 3 w ed i s c u s st h ep r o p e r t yo fc h a o sf o rb a n a c hs p a c e ，i ti so b t a i n e dt h a tt h e r ee x i s t s a c o m p a c ts u b s e t 人ca ( j 9s u c ht h a t 卅ai sx i o n g - c h a o t i ca n dk a t oc h a o t i c k e yw o r d s ：d i s t r i b u t i o n a lc h a o si nas e q u e n c e ；d i s t r i b u t i o n a lc h a o s ；r u e l l e t a k e n s c h a o s ；x i o n gc h a o s ；k a t oc h a o s ；a l m o s tp e r i o d i cp o i n t ；t o p o l o g i c a lt r a n s i t i v i t y ； s e n s i t i v i t y ；t o p o l o g i c a l l ye r g o d i c ；t o p o l o g i c a l l yd o u b l ye r g o d i c ；t o p o l o g i c a l l y c o n j u g a t e ；s u b s h i f t 学位论文独创性声明 本人承诺：所呈交的学位论文是本人在导师指导下所取得的研究成果。论文 中除特别加以标注和致谢的地方外，不包含他人和其他机构已经撰写或发表过的 研究成果，其他同志的研究成果对本人的启示和所提供的帮助，均已在论文中做 了明确的声明并表示谢意。 学位论文作者签名：j 盈勇筐l 学位论文版权的使用授权书 本学位论文作者完全了解辽宁师范大学有关保留、使用学位论文的规定，及 学校有权保留并向国家有关部门或机构送交复印件或磁盘，允许论文被查阅和借 阅。本文授权辽宁师范大学，可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库 并进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文，并且 本人电子文档的内容和纸质论文的内容相一致。 保密的学位论文在解密后使用本授权书。 学位论文作者签名：盔里砬 指导教师签名： 签名日期： 0 7 年石月 日 紧致系统的几乎周期性、混沌性与拓扑遍历性 引言 动力系统这一术语是大数学家b i r k h o f f 在1 9 2 7 年以“动力系统 为名发表 他的专著时第一次提出的。它不仅是非线性科学的研究对象，而且也是研究非线 性“复杂性”的有力工具。而混沌是非线性系统中存在的一种普遍现象，它是自 然界广泛存在的一种不规则运动，是一种由确定的非线性动力系统生成的复杂行 为。混沌行为可以追溯到1 9 世纪法国数学家彭加勒，他在研究保守系统天体学 时发现一个确定的动力方程的某些解具有不可预见性。这实际是所讲的“混沌现 象。现在人们普遍认为真正的混沌是从1 9 6 3 年美国气象学家l o r e n 对大气湍流 模拟开始的。他在计算求解的过程中，发现当方程参数取适当的数值时，解是非 周期的且具有随机性。即由确定性方程可得出随机性的结果，这就是著名的“蝴 蝶效应。 自1 9 7 5 年，李天岩和j a y o r k e 在“周期3 意味着混沌 n 1 一文中首次在 学术论文中引进c h a o s 这个词，给出了严格的数学定义以来，混沌就引起了广 泛的兴趣。为了更好地观察复杂动力系统并揭示混沌的性质，不同的人们从不同 的角度阐述了混沌，因此他们给出了不同的混沌定义，例如，l i - y o r k e 混沌， 按序列分布混沌，分布混沌( 也称s c h w e i z e r - s m i t a l 混沌) ，r u e l l e - t a k e n s 混 沌瞳1 ( 简称r t 混沌) ，d e v a n e y 混沌，熊混沌，k a t o 混沌等。许多科学家们做 了大量的工作来揭示他们之间的关系口1 。 符号动力系统是由有限符号空间上转移自映射所生成的迭代系统，是非常特 殊的一类动力系统。它具有广泛的应用，包括在混沌学、计算机科学乃至编码学 等学科和分支中的应用，也包括在一般动力系统理论研究中的应用。在动力系统 研究中，符号动力系统既是一个重要研究对象，又同时是一个强有力的研究工具， 它可以说是介于特殊系统和一般系统之间的一个窗口和试验区。显然，关于无穷 维动力系统混沌的研究比起有限维来说要复杂和困难得多。最近几年，人们尝试 寻找研究偏微分方程( p d e s ) 混沌行为的方法，并得到了一些令人鼓舞的结果。 2 0 0 1 年，b o y a r s k y 等人h 1 研究了h a u s d o r f f 拓扑空间上离散动力系统的返回扩 张不动点和不规则集。最近，我们建立了几个完备度量空间上离散动力系统的混 沌判定定理。在相关的文献中，许多动力系统模型的研究是在b a n a c h 空间上进 行的。例如，由常微分方程( o d e s ) 和偏微分方程( p d e s ) 离散化产生的系统是 紧致系统的几乎周期性、混沌性与拓扑遍历性 在b a n a c h 空间上进行研究的，其空间是有限维或者是无限维。因此研究一般 b a n a c h 空间上映射导出的离散动力系统之混沌是十分有意义的，其中映射在某 些区域上连续可微。 文中第一章介绍一些关于动力系统、符号空间的基本概念，并介绍了几种常 见的混沌。第二章以及第三章给出一般紧致空间的三种混沌之间的不等价关系， 并讨论了符号空间及b a n a c h 空间上的混沌性。 第一章基本概念 1 1 动力系统简介 设x 为非空集合，厂：x x 为从x 到自身的连续映射，对任f qx o x ， 令而= f ( x o ) ，x 2 = f ( x 。) ，= ( 吒一。) ，。我们把这一过程称作映射的迭 代。这里我们涉及的是度量空间上生成动力系统的连续映射的迭代。 定义1 1 1 设x 为紧致度量空间，f ：x 专x 连续。令f o = i d ，即x 上的恒 等映射。f f ，厂2 = f 。f ，一般地，对刀2 ，令f “= f ”1o f ，其中符号。表示 映射的复合，那么厂诱导x 上的一个离散拓扑半动力系统，简称作动力系统或 紧致系统，记为( ，厂) 。 以下我们总假设厂为度量空间( x ，d ) 上的连续映射。 定义1 1 2设( x ，) 为紧致系统，y 为x 的紧子集，若y 是厂的不变集，即 厂( y ) cy ，则卅，：y 专y 诱导紧系统( 】，f iy ) ，称作( x ，厂) 或厂的子系统。 子系统在动力系统的研究中，占有重要地位，那是因为对给定的紧系统 ( x ，厂) ，要想知道它的某种动力性态，常常归结为对某个子系统的研究。 定义1 1 3 设( x ，) 为紧致系统，对于任意的x x ，我们称集合 k ( 力，f ”( x ) ，) 为x 在厂作用下生成的轨道，记作o r b ( x ，f ) 或o r b ( x ) 。 显然，对任意的x x ，由于易见f ( o r b ( x ) ) o r b ( x ) ，故f ( o r b ( x ) ) co r b ( x ) ， 紧致系统的几乎周期性、混沌性与拓扑遍历性 于是卅丽丽：丽专丽为厂的一个子系统。 我们知道，只有那些具有某种回复性质的点的轨道才是重要的。下面介绍几 个和回复性有关的概念。 定义1 1 4 设( x ，厂) 为紧致系统，工x ，称y x 为z 的国一极限点，如果存 在正整数的子序列饥) ，使当珞一o o ，f “ - - hy 。工的所有c o 一极限点的集合叫 做x 的缈一极限集，记作c o ( x ，f ) 。集合uc o ( x ，f ) 称作厂的彩一极限集。 定义1 1 5 设( x ，厂) 为紧致系统，对任意的x x ，如果存在整数对刀 0 ，使 得厂“( = x ，则把x 叫做厂的周期点，并把使厂”( 功= 工成立的最小正整数n 叫 做它的周期。周期为1 的周期点叫做不动点。厂的全体周期点的集合，记作p ( f ) 。 厂的全体不动点的集合，记作f ( 门。 定义1 1 6z + 的子集，是相对稠密的充要条件是3 n 使得v f n 满足 f ，i + 1 ，i + n ) nf 矽。点石x 称为厂的一致回归点，如果回归次数 n ( x ，u x ) = 伽z + ：f ”( 工) u x ) 对于石的每一个开邻域吼是相对稠密的。f 的全 体一致回归点的集合记为r ( f ) 。 定义1 1 7 称x 是几乎周期的，如果对任意的s 0 ，存在整数n 0 ，使得对 任何g 0 ，存在整数，g 0 ，使得对x 的 任何非空开子集u ，存在点x ，y u 和一正整数，l ，使得d ( 厂”( d ，f ”( y ) ) s ，其 中s 称为的敏感常数。 定义1 1 1 1 称映射厂是可达的，如果对于任意的占 0 和任意x 的非空开子集 u ，v ，存在点x u ，y v 和整数刀满足d ( f 4 ( 功，f “( 少) ) o 使对任何以l ， d i a m h - ( b 】) 膨，这里d i a m 表直径， b = b l 吃】：b i = 0 或l ，1 f 以 。 定义1 1 1 3 设( x ，厂) ，( 】，g ) 都是动力系统，g 都是满射。如果存在同胚 h ：x 斗y 使得对任何z x ， ( ( x ) ) = g ( j l l ( x ) ) ，则称厂与g 拓扑共扼，称h 为 从f 至：l j g 的拓扑共轭。 拓扑共轭的系统有着完全相同的动力性态，因此在研究一个未知系统的动力 性态时常常设法把该系统与已知的系统建立拓扑共扼关系。 1 2 符号动力系统 符号动力系统在混沌动力系统领域中占有极其重要的地位，这是因为它作为 一个简单的数学模型却包含着几乎所有典型的复杂动力性态，并因此成为动力系 统复杂性研究的重要工具。事实上，人们在研究一个映射的复杂性时总是设法使 该映射与符号空间上的移位映射建立拓扑共轭或拓扑半共轭关系。因此常常被人 们用作刻画非平凡简单系统的工具。 设k l = o ，1 ) ，= 缸= x i x 2 x i k l ，i = 1 , 2 ) 。定义p ：zx 寸r 如下： 对v x ，y ，如果x = 而而，y = y l y 2 ，则 f0 若x = y ， 以训) = 仨觏枷其中七= m i n 伽 l l x 胡) 不难验证p 是上的度量。( ，p ) 为紧致度量空间，称作具有二个符号的单边符号 空间。 令仃：专定义为： v x = x l x 2 ，a ( x l x 2 ) = x 2 x 3 ， 不难验证仃是上的连续映射，称为单边符号空间上的转移自映射，故( ，p ) 紧致系统的几乎周期性、混沌性与拓扑遍历性 是一个紧致系统。若zc 为闭集ro - ( x ) cx ，则称盯ir ：x x 为盯的子转 移。对墨上的任一符号段曰= b l 屯，用 曰】= 扛= 而而z l x , = b i ，1 5f 以) 表 示b 上的柱形。 称彳为一k 。一词，如果它是k 。中符号的有限排列。若a = a 。a 朋，其中 a ，k l ，l i m ，则称彳的长度为m ，记作h = m 。若a = 口l a 。，b = 岛吃 都是墨一词，令a b = a a r a b l 吃，贝l ja b 也是墨一词。对于k l 一词彳，b ，称彳出 现在口中，记作彳 0 ， 则称d 是映射的一个l i y o r k e 混沌集，如果存在映射厂的一个不可数的 l i y o r k e 混沌集，则称映射是l i y o r k e 混沌的，简称混池的。 s c h w e i z e r 和s m i t a l 于1 9 9 4 年在 5 中给出了如下分布混沌的概念，故分 布混沌也称为s s 混沌。 定义1 3 2 设( x ，d ) 是紧致度量空间，称连续映射f ：x x 是分布混沌的， 如果存在不可数集dcx ，使得对v x ，j ，d ，z 少，有 ( 1 ) j s 0 ， 使得( s ) = l i m 。i 。n f ! 一岁 z f 。纠p ( 厂( x ) ，f ( y ) ) ) = 0 n ；i,_ ：- 紧致系统的几乎周期性混沌性与拓扑遍历性 ( 2 ) x c 于v t o ，础) “等去善 ( 厂协厂) _ 1 ， n + ，i ，；1 其中新o 。) 表示 o ，f ) 上的特征函数，即当s 【o ，f ) ，新o ，) o ) = 1 ，否则面o ，) o ) = 0 。 则称d 为厂的分布混沌集，满足条件( 1 ) 和( 2 ) 的两点x , y 称为分布混沌点对。 定义1 3 3 设( x ，d ) 是紧致度量空间， p ，) 为严格递增正整数无穷序列，称连 续映射f ：x 专x 是按序列分布混沌的，如果存在不可数集dcx ，使得对 比，y d ，x y ，有 ( 1 ) 了占 o ， 使得( 占，p t ) ) = 1 i 册f 寺荟饥。，( d ( 以( 功，f ( y ) ) ) = o ； 月_ ：一一” ( 2 ) x , j 于v t 0 ，砖o ， p ，) ) = l i m s u p l 芝 面。朋( d ( 以( x ) ， ( y ) ) ) = 1 ， ，一， ，= f 则称d 为厂按序列 p ，) 的分布混沌集，满足条件( 1 ) 和( 2 ) 的两点x ，y 称为按序列 分布混沌点对。 由定义可知，分布混沌及按序列分布混沌是在l i - y o r k e 混沌基础上增加了 对轨道靠近或分开的频度的限制。分布混沌的映射是按自然序列分布混沌的，且 按某序列分布混沌的映射一定是l i - y o r k e 混沌的。 定义1 3 4 称厂在不变集x 上是w i g g i n s 一混沌，如果满足： 1 ) f 在x 上是拓扑传递的； 2 ) 在x 上是初值敏感依赖的。 定义1 3 5 称厂在不变集x 上是r u l l e - t a k e n s 混沌的，如果满足： ( 1 ) 厂在x 上是拓扑传递的； ( 2 ) 厂在x 上对初值敏感依赖。 定义1 3 6 设( x ，厂) 为紧致系统，f ：x 专x 是连续映射，yr - x ， p ，) 是给 定的正整数递增序列，如果对任意连续映射g ：y 专x ，存在序列( q ，) c p ，) 使 得! i m f 吼( x ) = g ( x ) ，v x 】，则称】，是厂相对于序列 p ，) 而言的一个熊混沌集， 紧致系统的几乎周期性、混沌性与拓扑遍历性 称厂为在】，上关于序列 p ；) 熊混沌的。 定义1 - 3 7 如果映射厂既是敏感的又是可达的，则称厂是k a t o 混沌的。 第二章紧致系统的混沌性分析 2 1 一般紧致空间上的混沌 引理2 1 1 函数f ：x x 是拓扑传递的当且仅当存在x x 满足 o r b ( x ) = x 。 证明见 6 。 设( x ，d 。) ，( 】，d ：) 是紧致度量空间，( x ，d 。，厂) ，( 】，d ：，g ) 是两个紧致系统，定 义映射h ：x xy 专x y 如下： h ( x ，j ，) = ( 厂( x ) ，g ( j ，) ) ，v ( x ，y ) x y ， 在x 】，定义距离p 为： 烈( x l ，y 1 ) ，( x 2 ，y 2 ) 】= m a x d l ( 而，x 2 ) ，d 2 ( y l ，y 2 ) ) ， 其中( x 1y ，) x xy ，江1 , 2 。则不难证明( x y ，p ，j 1 1 ) 是紧致系统。 引理2 1 2 符号空间的转移映射存在按序列分布混沌但不是分布混沌的极小 子转移。 证明见 7 。 引理2 1 3 存在一个极小集tc 满足仃i t 是分布混沌的。 证明见 8 。 引理2 1 4 令a 是x 的开覆盖，则存在万 0 满足x 的任意直径小于万的子集 必包含在a 的某些元素中。 这是我们所熟知的l e b e s g u e 引理，证明省略。 引理2 1 5x 为无限集合，f ：x 专x 是极小映射，如果是厂唯一不变的可 能测度，那么( b ) ) = o 对于任意的x x 。 证明 设x x 。首先我们声称 x ) ，。1 ( x ) ，厂。2 ( 石) ，是两两不交的。假设这个声 紧致系统的几乎周期性、混沌性与拓扑遍历性 称是错误的，则对于某个朋和行，m 刀0 有厂- 肼( 功n 厂1 ( 功。取 y f 。肼( x ) n f 叫( 工) ，则厂”( 石) = f ”“( “( y ) ) = f “( y ) = x ，即x 是一个周期点， 这与x 的极小性是矛盾的。 其次，由于是的一不变的概率测度，并且x 是紧的，可知x 上的单点 集是闭的。因此，我们有 x ) b ( x ) 和( x ) ) = ( 厂。1 ( x ) ) ) = = g ( f 1 ( x ) ) ) 。 根据的可数可加性，我们得出( x ) ) = 0 。 口 引理2 1 6 令yc g o 的无限极小集，是仃ly 唯一不变的可能测度，则当 万专0 0 时，实数序列 ，b 2 吃d 对于所有包 o ，1 ) 1 f 刀一致趋近于o 。 证明对于任意的s 0 和任意的x y ，根据引理2 1 5 ，存在x 的一个开邻域圪 使得( 圪) 0 ，当d i a m a 万时，了圪 v , l x 】，) 满足彳c 圪。此外，根据 【b j 吃】的定义，可知3 n 0 使得当刀n 时，对于岛 o ，1 ) ，l f ，l ，当刀一o o 时，d i a m b i 玩】 0 使得当门n 时，x 一定包含在某一邻域圪中。因此( 【6 l 吃】) = 4 b ，玩】ny ) 0 ，因为h 是连续的， 所以存在6 o 使得v y x ，如果d ( x ，y ) 艿，则d ( j i l ( x ) ，j i l ( y ) ) 0 使得v q 0 ，存在整数，q ，q + n 满足d ( f 7 ( x ) ，x ) 0 及j 下整数序列伽，) ，使 当n 专o o 时， 紧致系统的几乎周期性、混沌性与拓扑遍历性 即 这证明 f ( g ，而，f ) = 1 。 ( 2 1 ) 通过类似的讨论，容易得出对于某一个t 0 ， f ( g ，而，x 2 ，t ) = 0 。 ( 2 2 ) 因此，由( 2 1 ) ，( 2 2 ) 和一，屯的任意性，可知d 是g 的分布混沌集。口 定理2 1 1 在紧致系统( x ，) 中，按序列分布混沌、分布混沌和r u e l l e t a k e n s 混沌彼此是不等价的。 证明 令j = 【0 ，i 】，定义f z xi 专z x l ， f ( a ，x ) = 扣( 口) ，g m ( z ”，其中 a = a l a 2 a 月，对任意x i k g q x 。t 1 一z 如果a l = 0 ， 如果a l = 1 不难验证( ，p ，f ) 是一紧致系统。根据的定义， 可知 厂“( 口，x ) = p ”( 口) ，g ( x ) ) ，其中g = g 。g 。g 川，口= a l a 2 a 。令 拜 以( 口) = q ，即丸是扣。口：口。) 中1 的个数，因此 i = i f x g a l ( x ) 21 卜x l 如果以 ) 是偶数， 如果以( 口) 是奇数 通过引理2 1 2 ，可知存在仃的一个极小子转移( 彳，仃i ) 是按序列分布混沌。 令彳 三) c ，那么彳 三) 是不可数的。下面我们证明 1 ) 彳 三) 是厂的一个按序列分布混沌集； 2 ) 彳 圭) 不是的分布混沌集； 专 汀 卜 专 j 一 d zy 哩 屯 m 而 盯 知 0 悖 靠 上 上 紧致系统的几乎周期性、混沌性与拓扑遍历性 3 ) f 不是拓扑传递的。 证明1 ) 令c 口，圭，c 6 ，三，彳 三) ，贝l j p ( ”。，三1 ) ，厂”( 6 ，三) ) = p ( ( 仃“( 口) ，g “( 三) ) ，( 仃“( 6 ) ，g “( 三) ) ) = m a x d ( 盯”( 口) 仃”( 6 ) ) ，i 三一爿) = d ( 盯“( 口) ，仃”( 6 ) ) ， 因为口，6 是盯的按序列分布混沌点对，因此( 口专) ，( 6 三) 是厂的按序列分布混沌 点对。因为彳 三) 是不可数的，那么厂在，上是按序列分布混沌的。 2 ) 根据引理2 1 2 易得证。 3 ) 对任意的( 口，功zxi ，令( 6 ，y ) z xi 满足x y ，y 1 一z ，则 p ( f ”( 口，x ) ，( 6 ，j ，) ) = m a x d ( o - ”( 口) ，6 ) ，g ( x ) 一y i ) i g ( x ) - y j ， 我们知道i g - ( x ) - y l 是一+ l x - y f 或1 1 - x - y i 的常数( f x y t i 茸ll x y i 不等 于o ) 。因此( 6 ，g ) 仨o r b ( a , x ) e xi 。由引理2 1 1 知道，ft 盔y _ , xl 上不是拓扑 传递的，因此厂在，上不是r u e l l e - - t a k e n s 混沌的。 由以上可知按序列分布混沌不等价于分布混沌和r u e l1 e t a k e n s 混沌。 现在证明分布混沌不等价于r u e l l e - - t a k e n s 混沌。通过引理2 1 8 和按照 以上的构造方法，我们知道彳 圭) 是厂的不可数分布混沌集，因此是分布混 沌的但不是拓扑传递的。 定理证明完毕。 口 2 2 极小子转鹈的混沛性分析 紧致系统的几乎周期性、混沌性与拓扑遍历性 引理2 2 1 设( x ，门为紧致系统，则连续映射厂：x 专x 是极小的充分必要条 件是对比工， 厂”( x ) l n i v 在x 中稠密，即 厂“( 工) | 疗) = x 。 证明见 1 1 。 引理2 2 2 设( x ，厂) 为紧致系统，则下列条件等价： ( 1 ) x 彳( 厂) ； ( 2 ) x e o ( x ，f ) 且缈( z ，f ) 是极小集。 证明见 1 2 和 1 3 。 引理2 2 3 设( x ，) 为紧致系统，则厂是拓扑双重遍历的充要条件是对于正整 数集的任一上密度为l 的子集s ，在x 上存在一个相对于s 混沌的c 一稠密c 型 熊混沌子集。 证明见 1 4 o 引理2 2 4 设( ，p ) 是具有二个符号的单边符号空间，仃是上的转移自映射， 则存在一个极小集人c 满足叫a 是拓扑弱混合的。 证明见 8 。 定理2 2 1 设( ，p ) 是具有二个符号的单边符号空间，是上的转移自映射， 则存在一个极小集人c 满足： ( 1 ) 0 1 a 是拓扑遍历的； ( 2 ) 盯i 是拓扑双重遍历的； ( 3 ) 仃i 是熊混沌的。 为了证明定理，我们首先证明如下两个命题，其次给出极小子转移的构造， 最后证明主要定理。 命题2 2 1设( x ，厂) 为紧致系统，若厂是拓扑传递的且彳( 厂) = x ，则厂是拓扑 遍历的。 证明设u ，y 是两个非空开集，因为厂是拓扑传递的，于是3 n 0 ，使得 f 一一( u ) nv 矽。由承万= x 知3 x a ( f ) nf 一”( u ) nv ，即有x v 满足 一1 1 紧致系统的几乎周期性、混沌性与拓扑遍历性 厂“( x ) u 。又由于”的连续性知，存在x 的邻域dcv 使得厂“( d ) cu 。由于 x a ( f ) ，故弘使得 而昙撑p肌z)ridno1，2，nl-i1b-boo圭，ll 即是拓扑遍历的。口 引理2 2 5 设x 是厂的一致回归点，则v m ，n n ，( 厂“( 石) ，f ”( 力) 是f 的一致 回归点。 证明 不失一般性，假设m 刀。对于( ”( ，”( 石) ) 的任意开集uxv ，存在 厂”( 工) 的开邻域形使得f 卜”( 形) cv 。由于x 是一致回归点，因此“( x ) 是一致 回归的，也就是，回归次数( f ”( 工) ，w ) 是相对稠密的。易知 n ( f ”( x ) ，形) cn ( f ”( 工) ，形) ， 因此， n ( f ”( x ) ，形) = n ( f ”( 石) ，形) n n ( f ”( x ) ，y ) c ( ( 厂”( 石) ，f ”( x ) ) ，u y ) ， 根据定义，( 厂”( 石) ，厂”( x ) ) 是厂f 的一致回归点。 口 命题2 2 2 设( x ，厂) 是一拓扑弱混合极小系统，则厂是拓扑双重遍历的。 证明 对于工x ，首先根据引理2 2 5 ， ( 厂”( 力，f ”( x ) ) i 所，l ) c 7 a ( fx 厂) 。 其次，由于x 是一传递点， ( ”( x ) ，f ”( z ) ) i 聊，甩) 在x x 上是稠密的，因此 我们有 x x = ( “( z ) ，f ”( x ) ) f 聊，z ) c a ( f x 厂) ， 也就是说a ( f xf ) = x xx ，即厂f 是传递的，因此通过命题2 2 1 ，该命题成 立。口 下面我们在符号空间上构造一个极小子系统满足命题2 2 1 的条件： 紧致系统的几乎周期性、混沌性与拓扑遍历性 设a = a l a 2 a n 是在s = 0 ，l 上的符号段。定义彳的逆为a = a la 2 a 。，其 中对于f = 1 , 2 ，n ， i = o 蓑器 任取符号段a 。，设彳2 是4 和a 。的排列，即4 = a 。a 。( 或4 4 ) 。归纳地定 义符号段么2 ，a 3 。使得a n 是有限集矽州= ，l 以一l l ， 4 ，4 ) ，l i n 一1 ) 的所 有符号段的排列。 设a = a l a 2 ，通过 1 5 3 的证明我们知a 彳( 盯) ，则a 彩( 口，仃) c o ( a ，仃) 是 一极小集。 在上选择一个不可数子集e 使得对任何不同点x = 而， y = y t y 2 e ，存在无穷多r l 使x n = 儿且存在无穷多m 使x m y 。这样的子 集是存在的，见文献 1 6 3 。 令映射够：e 一为： v x = x i x 2 e ，妒( x ) = b l b 2 ，其中v i = 1 , 2 ， e = 瞥萎器 由于对每一个固定的i ，无论b ，( 1 - ，f ) 怎么选择，都有e b 2 e 彳j + l 一 1 ，使得 d ( 厂( 石) ，厂( y ) ) a d ( x ，y ) ， v x , y b r ( z ) ， 式中，毋( z ) = x x ：d ( x ，z ) ，- ) 是以z 为中心的闭球，常数五称为厂在b ，( z ) 上 的一个扩张系数。进一步，如果z 是厂( b r ( z ) ) 的内点，则称z 为厂在b ，( z ) 上的正 则扩张不动点。 ( 2 ) 假设z x 是厂的一个正则扩张不动点。设u 是z 的满足下述条件的最 大开邻域：对每一点x u ( x z ) ，存在正整数k l ，使得f ( x ) 仨u 并且对每一 紧致系统的几乎周期性、混沌性与拓扑遍历性 点z u ( x z ) ，f 1 ( 工) 在u 内有唯一定义且当刀一o o 时，一4 ( 曲专z 。u 称为 厂在点z 的局部不稳定集，并记为吆( z ) 。 ( 3 ) 假设z x 是厂的一个正则扩张不动点。如果x ( z ) o z ) ，且存 在甩1 ，使得f ”( 曲= z ，则称x x 是关于z 的一个同宿点。 引理3 1 1 设( ，p ) 是一具有二个符号的单边符号空间，o r 是上的移位映射。 则存在一个极小集t ；c o ( a ，仃) c 满足： ( 1 ) tc 彳p ) ； ( 2 ) 仃i t 是拓扑弱混合的，其中口a ( c r ) ； ( 3 ) 1 7 t 是w i g g i n s 混沌的。 证明见 8 。 引理3 1 2 设( x ，| 1 i | ) 是b a n a c h 空间，映射厂：x - x + - - 枞z x ，假设： ( 1 ) f 在z 的某邻域内连续f r e c h 6 t 可微，d f ( z ) 是可逆线性映射，且满足 j i n f ( z ) t 。 1 ； ( 2 ) 厂存在关于z 的同宿轨道r ，在r 上任一点x 的某邻域内连续可微， d f ( x ) 是可逆线性映射，而且满足i | 巧( x ) 圹 0 ，则对z 的每一个邻域u ，存在正 整数，l 和一个c a n t o r 集人2cu ，使得厂”：人2 专人2 与符号动力系统仃：专 拓扑共轭。 证明见 1 8 。 引理3 1 3 设x 是一带有度量d 的紧度量空间，f ：x 专x 是一连续映射， 是一大于零的整数，则f 是分布混沌当且仅当厂是分布混沌。 证明见 1 9 。 引理3 1 4 设厂：x _ x 是一连续映射，其中x 是一至少包含两个点的局部可 分的紧致度量空间，则是拓扑弱混合的当且仅当存在x 的一个c 一稠密c 型熊 紧致系统的几乎周期性、混沌性与拓扑遍历性 混沌子集。 证明见 2 0 。 引理3 1 5 与可分空间拓扑共轭的空间是可分空间。 证明设x 是一可分空间，则存在一个可数集dc xr d = x 。设( 】，g ) 与( x ，厂) 拓扑共轭，其中f ：x - - - hx ，g ：y 专】，是连续映射，则存在同胚h ：x - - hy 使得 对任何x x ，j l ( 厂( x ) ) = g ( j l ( x ) ) 。要证l r 是可分的，只要证h ( d ) = y 。显然 h ( d ) cy 是成立的，下只须证明h ( d ) 3y ，即只须证对v y y ，对v s 0 ， 砂l v ( y ，占) 使y l ( d ) 即可。因为h ：x 专】，连续，则对任何的s 0 ，v y y ， h x = d 使h ( x ) = y ，且j 万 0 使得当v ( x ，艿) 时，有y l = h ( x 1 ) v ( y ，占) 。 又因为d = x ，则对于v ( x ，万) ，孤l v ( x ，万) 且而d 有y l = h ( x 1 ) j i l ( d ) 。g i l a ， h ( d ) 3y ，因此h ( d ) = y 。从而得出】，也是一可分空间。 口 3 2 主要定理的证明 定理3 2 1 设( x ，1 1 | ) 是b a n a c h 空间，映射：xj x 有一不动点z x ，假设 ( 1 ) f 在z 的某邻域内连续f r e c h 6 t 可微，o f ( z ) 是可逆线性映射，且满足 l i d f ( z ) l l o l ； ( 2 ) f 存在关于z 的同宿轨道r ，在r 上任一点x 的某邻域内连续可微， d f ( x ) 是可逆线性映射，而且满足0 巧( x ) 旷 0 ，则对z 的每一个邻域u ，存在一 个c a n t o r 集人c 彳( ) 满足： 1 ) 卅a 是熊混沌的； 2 ) 卅a 是k a t o 混沌的。 证明 由于厂”i ：与盯是拓扑共轭，可以推出存在人。，”l a 。与万i t 拓扑共轭。 又因为盯l t 是拓扑弱混合的，从而”i 。是拓扑弱混合的。根据引理2 1 7 、引理 紧致系统的几乎周期性、混沌性与拓扑遍历性 3 1 4 和引理3 1 5 可知，存在dc a l 满足d 是厂”la i 的一不可数熊混沌集，故 ”i 。是熊混沌的，且a 。t 2 7 a ( f ”) ，即证明了卅 。有不可数几乎周期点混沌集。 由于厂”l a ：与仃是拓扑共轭，可以推出存在人，厂”i a - 与o - i t 拓扑共轭。又 因为盯i t 是w i g g i n s 混沌的，从而厂”l 。是w i g g i n s 混沌的，即厂”i 。是敏感的和 传递的，故卅a 。是敏感的。 因为盯i t 是拓扑弱混合的，则存在cc 丁满足c 是盯l r 的一不可数熊混沌集。 设e ：c _ t 是一个常数映射，即对于任意的y c ，e ( j ，) = y o 。由熊混沌集的 定义知，存在一递增的正整数序列仞， c 使得对砂c ，l ，i m 口所( ) ，) = y 。因 为厂“la 。和盯i t 是拓扑共轭的，所以存在一一到上映射h ：人。一t 使得 ho f 4 la 。= 仃l t 。h 。根据引理2 1 7 ，对砂cc t c 么( 仃) ，存在x 彳( 厂) 使得 ( x ) = y 。我们记人为所有满足该条件的z 点的集合，且人c 人i ，则h ：人专c 是 一一到上映射，且人是不可数集。 对v x l ，x 2 a ，砂l ，y 2 c ，使得h ( x f ) = y f ，i = 1 , 2 ，则 l j i r a 。仃n ( y i ) 2 蜘盯所( y 2 ) 2 y o i e i m - - t o o 仃n ( 五( 而) ) = ! i - i - + m a o 盯n ( ( x 2 ) ) 2 y o ，l_卜i 因此 ! i mj j l ( ( ”) 所( ) ) = ! i m 五( ( ”) 所( 而) ) = y o i e 1 - - i 0 0 i - - o o ! i m f 蚋( x 1 ) = ! i m f 嘞( x 2 ) 。 i - - 0 0 i - - o o 因此，对于任意的占 0 和任意人的非空开集u ，y ，存在点x u ，y v 和整数n 满 足d ( “( 功，f ”( y ) ) s ，故卅a 是可达的。从而根据定义1 3 7 ，可知f 是k a t o 混沌的。 综上所述，3 aca ( f ) ，使得厂| 。是熊混沌的和k a t o 混沌的。定理得证。口 紧致系统的几乎周期性，混沌性与拓扑遍历性 参考文献 1 t y l i ，j a y o r k e p e r i o d3i n p li e sc h a o s j a m