（基础数学专业论文）具有常数收获率的捕食与被捕食系统的定性分析.pdf

哈尔滨邗t 人学开学硕i 学位沦文 具有常数收获率的捕食与被捕食系统的定性分析 捅要 通过对具有收获率的捕食与被捕食系统的定性分析，可以预测种群的发 展变化趋势，及人们的捕获行为对种群的影响，并判断付出多大的捕获努力 量，既可维持生态系统的平衡，又能使收获量达到最大来满足人类的需要。 故对具有收获率的捕食与被捕食系统的研究，将对可更新资源进行合理的开 发与利用问题起指导作用，直接关系到资源的可持续发展问题，其意义尤为 重要。 目前对于同时具有常数收获率的捕食与被捕食系统的研究甚少，故本文 是在已有结果基础上，对同时具有常数收获率的捕食系统平衡点的性态作了 进一步研究。首先讨论了食饵种群在线性密度制约下的一类h o l l i n g i i 、i l l 类功能性反应模型。利用定性分析的方法，借助等倾线函数的性质，绘制出 等倾线图象，得到了模型在具有常数收获率的条件下，平衡点的存在条件、 解的有界性、闭轨的不存在条件以及平衡点的定性问题。对同时具有常数收 获率的一般性功能反应模型，利用上述定性分析的方法，给出了正平衡点的 一稳定性、解的有界性、闭轨不存在的条件。 、 对于同时具有常数收获率的k o l m o g o r o v 模型。以一类k o l m o g o r o v 模 型出发，借助定性分析方法及等倾线对应方程的根与系数的关系，绘制出等 倾线图象的变化趋势，判断出平衡点的存在，从而给出平衡点的存在条件； 用b e n d i x s o n 环域定理证明了闭轨的不存在性：再借助线性变换将模型转化 为标准型，利用焦点量的计算结果给出了极限环存在条件。对于一般性的 k o l m o g o r o v 模型，给出了平衡点的存在条件，确定了平衡点的稳定性，讨 论了闭轨的不存在性。 关键词捕食与被捕食系统；常数收获率；定性分析 哈尔演王f f 丁人学理学硕l ：学位论文 t h eq u a l i t a t i v e a n a l y s i so fp r e d a t o r - p r e y s y s t e mw i t hc o n s t a n th a r v e s t i n gr a t e a b s t r a c t w i t hs t u d y i n gt h ep r e d a t o r - p r e ys y s t e mw i t hh a r v e s t i n gr a t eb yq u a l i t a t i v e a n a l y s i s ，i tp r e d i c t st h ed e v e l o p m e n ta n dc h a n g eo fp o p u l a t i o na n dt oa n a l y z et h e c a p t u r eb e h a v i o r se f f e c to nt h ep o p u l a t i o n w ec a nd e c i d eh o wm u c hc a p t u r e q u a n t i t yi st om a i n t a i nt h eb a l a n c eo fe c o l o g i c a ls y s t e ma n dt os a t i s f yt h en e e d ， w h e nc a p t u r eq u a n t i t yr e a c h e st h et o p f r o mt h e s ef a c t s ，i ti s v e r yi m p o r t a n tt h a t t h es y s t e mw i t hh a r v e s t i n gr a t er e l a t e st ot h ep r o b l e mo fr e s o u r c ec o n t i n u a b l e d e v e l o p m e n t ，b e c a u s ei tg u i d e st or e n e wt h er e s o u r c e st oc a r r yo nr e a s o n a b l eo f e x p l o i t a t i o na n du t i l i t y a tp r e s e n t ，t ot h er e s e a r c ho fp r e d a t o r p r e ys y s t e mw i t hc o n s t a n th a r v e s t i n g r a t es i m u l t a n e i t ys t u d yl i t t l e ，o nt h eb a s i so fw o r kw h i c hh a sb e e nd o n e ，t h e r e f o r e t h i sp a p e rm a k e sf u r t h e rs t u d yo nt h ee q u i l i b r i u mp o i n to fp r e d a t o r - p r e ys y s t e m w i t hc o n s t a n th a r v e s t i n gr a t e f i r s t l y , i td i s c u s s e sac l a s so fp r e d a t o r - p r e ys y s t e m w i t hh o l l i n gi i 、i i if u n c t i o n a lr e s p o n s ei nl i n e a rd e n s er e s t r i c tp r e ys y s t e m w i t hu s i n gg e n e r a lq u a l i t a t i v ea n a l y s i sm e t h o d s ，a n di nv i r t u eo ft h ef u n c t i o n p r o p e r t yo f t h ei s o c l i n i cl i n e ，i tp r o t r a c t st h ei m a g eo ft h ei s o c l i n i cl i n e ，a n dg e t s t h ec o n d i t i o n so fe x i s t e n c eo fe q u i l i b r i u mp o i n ta n dt h eb o u n d a r yp r o p e r t yo ft h e s o l u t i o n ，a n dt h ec o n d i t i o n so fi n e x i s t e n c eo ft h ec l o s ec u r v ea n dt h eq u a l i t a t i v e o ft h ee q u i l i b r i u mp o i n ti nt h ec o n d i t i o n so fp r e y p r e d a t o rs y s t e mw i t hc o n s t a n t h a r v e s t i n g r a t e t ot h eg e n e r a lf u n c t i o n a l r e s p o n s e m o d e lw i t hc o n s t a n t h a r v e s t i n gr a t es i m u l t a n e i t y ，i tg e t st h es t a b i l i t yo ft h ee q u i l i b r i u mp o i n ta n dt h e b o u n d a r yp r o p e r t yo ft h es o l u t i o na n dt h ec o n d i t i o n so fi n e x i s t e n c eo fc l o s e c u r v ew i t hu t i l i z i n gq u a l i t a t i v ea n a l y s i sm e t h o d s c o n c e r n i n gk o l m o g o r o vm o d e lo fc o n s t a n th a r v e s t i n gr a t es i m u l t a n e i t y , t h i sp a p e rs t i l ls e t so u tac l a s so fk o l m o g o r o vm o d e l ，i nv i r t u eo fq u a l i t a t i v e a n a l y s i sm e t h o d sa n dt h er e l a t i o no ft h er o o ta n dc o e f f i c i e n to ft h ec o r r e s p o n d i n g e q u a t i o no ft h ei s o c l i n i cl i n e ，p o r t r a c t st h et r e n do ft h ei s o c l i n i cl i n e ，j u d g et h e - i i - 哈尔滨理丁人学理学硕l j 学位沦文 e x i s t e n c eo ft h ee q u ili b r i u mp o i n t ，a c c o r d i n g l yt og e t st h ec o n d i t i o n so fe x i s t e n c e o ft h ee q u i l i b r i u mp o i n t ；u t i l i z e st h eb e n d i x s o na n n u l u sf i e l dt h e o r yt oj u d g et h e i n e x i s t e n c eo ft h ec l o s ec u r v e ；t r a n s f o r m sm o d e lt os t a n d a r dt y p em o d e lw i t h u t i l i z i n gl i n e a ri n v e r t i o n ，u t i l i z e st h ef o c u sq u a n t i t yt oj u d g et h ee x i s t e n c eo f l i m i tc y c l e s t ot h eg e n e r a lk o l m o g o r o vm o d e l ，i tg e t st h ec o n d i t i o n so f e x i s t e n c eo ft h ee q u i l i b r i u mp o i n t ，c o n f i r m st h es t a b i l i t yo ft h ee q u i l i b r i u m p o i n t ， d i s c u s s e st h ei n e x i s t e n c eo ft h ec l o s ec u r v e k e y w o r d sp r e d a t o r - p r e ys y s t e m ；c o n s t a n th a r v e s t i n gr a t e ；q u a l i t a t i v e a n a l y s i s - i i i - 哈尔滨理工大学硕士学位论文原创性声明 本人郑重声明：此处所提交的硕士学位论文具有常数收获率的捕食与 被捕食系统的定性分析，是本人在导师指导下，在哈尔滨理工大学攻读硕 士学位期间独立进行研究工作所取得的成果。据本人所知，论文中除已注明 部分外不包含他人已发表或撰写过的研究成果。对本文研究工作做出贡献的 个人和集体，均已在文中以明确方式注明。本声明的法律结果将完全由本人 承担。 作者签名：歹穆娟 日期：删年孑月7 日 哈尔滨理工大学硕士学位论文使用授权书 具有常数收获率的捕食与被捕食系统的定性分析系本人在哈尔滨理 工大学攻读硕士学位期间在导师指导下完成的硕士学位论文。本论文的研究 成果归哈尔滨理工大学所有，本论文的研究内容不得以其它单位的名义发 表。本人完全了解哈尔滨理工大学关于保存、使用学位论文的规定，同意学 校保留并向有关部门提交论文和电子版本，允许论文被查阅和借阅。本人授 权哈尔滨理工大学可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文，可以公布 论文的全部或部分内容。 本学位论文属于 保密口在 年解密后适用授权书。 不保密叼 ( 请在以上相应方框内打) 作者签名：乡蚴 日期：如z 年习月1 日 导师签名： 罄柏日期：础岁月7 日 哈尔滨邢丁大学开学硕f ：学位论文 1 1 综述 第1 章绪论 种群生态学是生态学中的一个重要分支，也是与人们的生产生活最密不可 分的学科之一。人与其他生物共同生活在这个地球上，为了满足人类自身生存 与发展的需要，人类就要对各种生物资源进行合理的开发与科学的管理。人们 对种群生态学的研究，一方面是要对种群的发展变化有定量的分析与预测，另 一方面也是最为重要的就是通过建立具有收获率的种群模型，对模型进行定性 分析，判断出付出多大的捕获努力量，既可维持生态系统的平衡，又能使收获 量达到最大，来满足人类的需要。故对具有收获率的捕食模型的研究，对生物 资源进行合理的开发与利用问题起到了指导作用，并直接关系到资源的可持续 发展问题，在经济学和生物学领域都具有重大的意义。 1 1 1 国外发展 7 0 年代末，生态学家发现捕食者种群的生活资源的增长速度并不完全依 赖现有资源的多少，在某些情况下，资源有一个恒定的增长率，因此研究具有 收获率的模型就势在必得。1 9 7 9 年，f b r a u e r 和a c s o u d a k 研究了具有收获 率的捕食系统的稳定区域和迂移现象【。对于系统平衡点的稳定性进行了研 究，得到了在不同条件下，系统的稳定性区域也随之变化的结论。不久之后， 他们又对这类问题的稳定性区域进行了深入的研究，发现具有常数收获率的捕 食系统其稳定区域更切合实际，实用价值性更强。同年，k d w i l l a m m o w s k i 和f g o b b e r m 研究用构造l y a p u n o v 函数法来讨论分支问题。 8 0 年代，对于捕食与被捕食系统的研究得到了长足的发展。学者们首先研 究了该类系统的平衡点的稳定性、极限环的存在性等共性问题。1 9 8 1 年，f b r a u e r 和a c s o u d a c k 用定性分析的方法，研究了常收获率和存放率条件下 某些捕食系统的共同性质，得到了极限环的存在性及平衡点稳定性的结论。这 些系统包括了当时生物数学方面主要研究的模型，l o g i s t i c 模型、l o t k a - v o l t e r r a 模型和h o l l i n g 功能性反应模型等【3 】。他们利用了p o i n c a r e 变换讨论了 模型无穷远点的性态，从而对粗细焦点进行了分析，得到这些模型的共同性 质，在常收获率和存放率条件下，系统存在极限环，而极限环的个数与系统的 哈尔滨f i 丁人掌用掌硕i ：掌位论文 拓扑结构有关1 4 1 。 1 9 8 2 年，针对捕食与被捕食系统中两种群在非线性条件下的特殊模型进 行分析【5 1 ，得到了不同的模型由于常数收获率的存在使得在平衡点周围产生了 扰动，继而稳定性遭到了破坏，极限环可由原来的一个变成多个，且稳定性也 有所不同。1 9 8 8 年，j h a i n z l 在此基础上得出了在给定的几个参数下模型稳定 性和h o p f 分支存在性。 1 1 2 国内发展 在国内，学者们对此类问题的研究起步较晚，但也取得了许多优秀的成 果。1 9 8 6 年，陈兰荪和梁肇军研究了食饵种群具有常数收获率的v o l t e r r a 系统， 利用定性分析的方法，对模型进行p o i n c a r e 变换讨论了模型尢穷远点的性态， 由此判断平衡点的类型，再由二次系统和h o p f 分支定理，判断极限环的存在 性，得到了模型正平衡点全局渐近稳定和极限环存在与否的若干条件 6 1 。1 9 8 9 年，戴国仁将模型一般化，讨论了食饵种群具有常数收获率的k o l m o g o r o v 系 统，用定性方法给出了系统出现各种拓扑结构的充分条件，特别是细致地分析 了系统两个鞍点分界线的相对位置，给出了存在分界线环以及两个单侧极限环 的充分条件【8 1 。 陈兰荪编著的数学生态学模型与研究方法 9 1 ，马知恩的种群生态学 的数学建模与研究【1 0 】，这两部专著极大丰富了种群生态学的研究，特别是为 具有收获率的捕食系统的研究提供了强大的理论基础。 进入9 0 年代以后，由于具有收获率模型对现实生产生活的指导意义，故 人们将这一模型推广到更切合实际的情况，将i 、i i 、i i i 类功能性反应与收获 率结合起来。邱卫根和李传荣在1 中对两种群均具有密度制约情况下的i i 类功 能反应系统，做了详尽的分析，通过对鞍点分界线相互位置的仔细对比，得到 了比较完备的定性理论，特别是第一次在生态系统的讨论中得到了三个极限环 的存在性。戴国仁和徐长醒在【1 2 1 中通过对鞍点分界线的变化分析，得到了至少 存在四个单侧极限环的结论。对于捕食种群具有常数收获率条件下的i 类功能 性反应模型得到了类似的结论。 刘宣亮主要通过对细焦点的研究，证明出捕食种群具有常数收获率和第1 i 类功能性反应的捕食系统至少存在两个极限环【1 3 1 ，并给出了闭轨线和奇异闭轨 线不存在的条件。朴仲铉和薛春艳分析了非密度制约条件下食饵种群具有收获 ( 存放) 率的i i 类功能性反应模型【1 4 】，通过对有限远点和无穷远点的分析，得 哈尔演胛。i i 人学胛学硕l j 学化论文 到当该系统具有收获率( 存放) 时，系统若存在正平衡点，则它是全局不稳定 的。刘宣亮和戴国仁对一类食饵种群具有常数收获率和具有i i i 类功能性反应的 捕食系统，作了比较完整的定性分析，讨论了分界线的相对位置和分界线环的 存在性和稳定性，得到了极限环存在性和唯一性的条件【1 5 】。沈伯骞和司成斌对 捕食种群具有常数收获率并具有i i i 类功能性反应的捕食系统进行了研究，文章 通过对无穷远点进行粗细焦点的分析，得到了系统在第一象限内有町能的拓扑 结构，并证明了在第一象限内至少存在两个极限环的结论【1 6 】。许多学者对该类 问题也进行了讨论【1 7 】【1 8 】。 李建华利用定性分析的方法，研究了两种群同时具有常数收获率的简单 v o i t e r r a 系统的极限环的存在性及唯一性问题，并得出系统最多存在一个极限 环的结论【1 9 1 。司成斌则进一步讨论了同时带有收获率或存放率的v o l t e r r a 模型 可能存在三个极限环，从而得到了更为详尽的v o l t e r r a 模型。李传荣和杨弧玮 分别对食饵种群具有收获率及捕食者种群具有投放率的k o l m o g o r o v 模型做了 较为细致的研究，并首次利用l y a p u n o v 的方法讨论h o p f 现象，同时对此做出 合理的生态解释1 2 0 。陈兰荪在著作 9 1 中讨论了最一般化的两种群捕食模型 k o l m o g o r o v 系统具有常数收获率的情况，根据k o l m o g o r o v 定理，通过对模型 平衡点类型的分析，以及对捕食等倾线和被捕食等倾线的位置判断，得到了正 平衡点局部渐近稳定，或者正平衡点不稳定时，必存在渐近稳定的极限环的结 论，并给出了可能的稳定区域【9 】。这种方法给我们研究其他类型的系统，提供 了很好的借鉴。 随着对两种群模型的进一步研究，陈兰荪讨论了几类l o t k a v o l t e r r a 三种 群模型，并提出刀维v o l t e r r a 捕食被捕食系统的平衡点，若局部渐近稳定，则 必全局稳定的猜想。至今为止，学者们对门7 的情况均已得到验证1 9 。k n m u r t y 研究了最为简单的链式结构的l o t k a v o l t e r r a 三维食物链系统。发现当模 型系数矩阵的行列式为零时，确定该系统的平衡点是相当困难的，因此必须用 一种新的方法来找平衡点。文章通过扰动法和l a p l a c e 变换法来分析模型的近 似解，使得到的解更为精确，而且对于较大的平衡点偏差也是有效的，并通过 构造适当的l y a p u n o v 函数来判断系统的稳定性。 h i f r e e d m a n 和p a u l w a l t m a n 研究了三种群模型相互作用的一般性 k o l m o g o r o v 捕食模型，分析了各个平衡点存在条件及其性态，用动力系统语 言重新定义了系统的持续生存性。且在模型中任意的- f 衡点周围都不存在极限 环的条件下，给出了系统持续生存的充分条件，并应用该定理解决了一类模型 的持续生存问题，包括两个被捕食者一个捕食者，两个捕食者一个被捕食者的 哈尔演f i 丁人学胛学硕i ：学位论文 模型，并证明系统缈极限集内不存在稳定平衡点和解是有界的结论。 c h u a n g h s i u n gc h i u 和s z e b ih s u 考虑了食饵种群满足l o g s t i c 增长率， 而捕食者种群具有第二类功能性反应的三维食物链系统。主要研究了第三层捕 食者灭绝的平衡点的全局稳定性问题。通过构造l y a p u n o v 函数，给出第三层 捕食者灭绝的条件，并讨论了第三层捕食者具有第三类h o l l i n g 功能性反应模 型的全局稳定性问题【2 2 1 。对于这类模型的退化平衡点，平面的h o p f 分支以及 鞍结点分支问题，学者们也进行了研究，发现通过模拟可看到在参数范围内模 型会出现混沌现象1 2 3 】【2 4 】【”1 。 1 1 3 存在及解决的问题 国内外学者对于具有收获率的捕食系统的定性分析绝大多数仍集中于具有 常数收获率的两种群系统，且目前仍没有得到确切的理论。尤其是对于两种群 同时具有常数收获率的模型，即使4 i 考虑密度制约的问题，对于模型平衡点的 稳定性问题、极限环的存在问题也无法判定。例如最为简单的v o l t e r r a 模型， 一旦加上常数收获率之后，它的解的性质就要复杂多了，原来是是全局稳定的 数学模型就会变为不是全局稳定的，甚至可能变为不稳定系统。对于最一般的 k o l m o g o r o v 模型，虽然有时存放率不会影响系统的生态平衡，但收获率则不 一样，即使是仅食饵种群具有常数收获率的模型，也不能够确定平衡点的稳定 性。对于食饵种群及捕食者种群同时具有常数收获率的模型，极限环的存在性 及唯一性问题至今仍没有得到证明。所以为了更详尽的了解生态模型的实际意 义，就必须将同时具有常收获( 投放率) 的模型研究透彻。 本文根据以有的文献，对于二维系统考虑将已有模型特殊化，寻找并建立 适合新模型的方法，并使其涌盖已有模型，适用范围更广。最后，将特殊模型 一般化，总结共性，得出结论。本文仍将进一步研究具有常数收获率的捕食与 被捕食模型的定性和稳定性问题。 1 2 主要研究内容 本课题主要研究具有常数收获率的捕食与被捕食系统，分以下两个部分： 1 具有常收获率的h o l l i n g 功能性反应的捕食模型 在研究捕食一食饵两种物种相互作用时，食饵所受的密度制约及同时具有常 数收获率对模型有着至关重要的影响。本文将就被捕食者种群受到线性密度制 哈尔演砰t 人学_ 珂f 学硕l ：学位论文 约情况下且同时具有常数收获率的h o l l i n g 功能性反应的捕食模型加以研究 特殊模型h o l l i n gi i 型 戈：锻一黑一e x ：一z x = 锻一l 一一， 1 + w x 夕= 一+ 而d r y 一以 其中x ，y 表示两种群的密度；口，b ，c ，d ，e 都是正常数，分别具有一定的生态意 义；z ，厶 0 表示两种群具有的常数收获率；_ 坠表示捕食者种群的 i + w x h o l l i n gi i 型功能性反应函数。 特殊模型h o l l i n gi l l 型 j ：似一萼一e x z z 工= 似一七一。一，。 l + w 1 2 夕：一缈+ 粤一 y 一缈+ 百嘉一z 其中x ，y 表示两种群的密度；口，b ，c ，d ，e 都是正常数，分别具有一定的生态意 义；z ， o 表示两种群具有的常数收获率；i b i x 2 表示捕食者种群的 h o l l i n gi i i 型功能性反应函数。 一般性模型 p 5 醒( z ) 一y o ( x ) 一f 【夕= y 【_ g ( x ) + c 矽( z ) 卜g 其中x ，j ，表示两种群的密度；g ( x ) 表示食饵种群的相对增长率；g ( x ) 表示捕食 者种群的死亡率；f ，g 表示食饵、捕食者种群具有的常数收获率；g ) 表示 捕食种群的功能性反应函数。 本文将从具体模型出发来寻找解决此模型平衡点的性态、是否存在极限环 哈尔滨理工人学理学硕i j 学位沦文 及函数图象走向的新方法，使其适用于一般模型。这里就h o l l i n g i i 、i i i 功能 性反应函数分别加以研究。 2 具有常数收获率的k o l m o g o r o v 捕食模型 特殊的k o l m o g o r o v 捕食模型 i 戈= x ( a o + 口l x - a 2 x 2 - 9 1 3 y a 4 y 2 ) 一i 【j c ，= j ，( 一b o + 6 l x ) 一 其中z ，y 表示两种群的密度：口。表示食饵种群的内禀增长率；a i x - - a ：x 2 表示密 度制约响；一a 3 y a 4 y 2 表示捕食率；b 。表示捕食者种群的死亡率；b l x 表示捕 食者的取食率；a o o ，口2 o ，口3 0 ，a 4 0 ，b o o ，b i 0 ，口i 不定号；z ，厶 0 表 示两种群具有的常数收获率。 一般性的k o l m o g o r o v 捕食模型 i j = x f 似力一f l 夕= y g ( x ，y ) 一g 其中x ，y 表示两种群的密度；f ，g 表示两种群具有的常数收获率。 本文将就食饵种群在线性密度制约下的一类特殊模型进行分析，总结推广 已有文献对特殊模型进行定性、稳定性分析的方法。如判断解的有界性；用 d u l a c 函数判断闭轨的存在性；用根与系数的关系判断函数图象的走向等，从 而得到交点的各种可能性，进而判断正平衡点的定性、稳定性。这样可以节省 在分析模犁轨线走向、判断模型性态等问题上的时间。最后，本文将在一般性 的k o l m o g o r o v 捕食模型上研究模型的各种性态，进而由特殊模型性态推广为 一般模型性态。 哈尔滨理丁人学理学硕f j 学位沦文 第2 章预备知识 2 1 常微分方程定性基本概念及定理 2 1 1 常微分方程定性基本概念 定义2 1 t 2 6 】对于二维自治系统 i 戈= p ( x ，y ) 【j i ，= q ( x ，y ) ( 2 一1 ) 若点o o ，y o ) 使p ( x o ，y o ) = o ，q ( x o ，y o ) = o ，则称( x 0 , y 。) 为系统( 2 - 1 ) 的平衡点， 或者称为奇点。 定义2 2 t 2 6 】对常系数齐次线性系统 它的向量形式是 文= a x ( 2 2 ) 其中x = 羔 ，彳是矩阵( 三：乏) 。 如果用l d 分别表示矩阵彳的迹t r a 和矩阵a 的行列式，并且设 a = t 2 4 d ，则对于系统( 2 2 ) 的平衡点0 ( 0 ，0 ) 。 当d 0 时，称0 ( 0 ，0 ) 为初等奇点；当d 三0 时，称o ( o ，0 ) 为高次奇点。 初等奇点分类如下： 当d o ， 0 ，t 0 ) 时，平衡点为稳定 ( 不稳定) 结点： 当d 0 ， 0 ，t = 0 时，平衡点为中心。 定义2 3 t 2 7 】设( x 0 , y 。) 是系统( 2 一1 ) l 筝j 平衡点，作平移变换： 孝= x x 0 ，r = y y o 如捣 q 口 + + 五一啦 = = l 2 x x ，【 哈尔滨理t 大学理学硕i ：学位论文 得到( 孝，r ) 的微分系统 警硇。掌+ a 1 2 q + ( 肌孝2 + 2 p n 卅p ：n ) 鲁电。孝- i - a 2 2 r + ( g j l 孝2 + 2 q 1 2 孝7 - i - q 2 2 7 2 + - ) 变换后的系统以( 0 , 0 ) 为平衡点。舍去方程中的非线性项，得到一个常系数线性 系统 称它为系统( 2 一1 ) 在平衡点( x 0y 。) 处的线性近似系统。 定义2 4 2 6 1 若非线性系统的焦点是其对应线性系统的中心点，则此焦点称 为该非线性系统的细焦点，也称为临界焦点。若此焦点也是对应线性系统的焦 点，则称为粗焦点。 定义2 5 【2 6 】二维系统( 2 1 ) 满足初条件f = 0 时x = x o 的解 x 三仍( x o ) 兰q j ( t ，x o ) 妒( f ，p ) 是时间t ( t r 1 ) 与初值p ( z o r 2 ) 的函数，取值在r 2 内，我们把过点 妒的解仍o o ) 称为系统( 2 一1 ) 的流，或称为系统( 2 1 ) 的轨线。 定义2 6 2 6 1 若存在序列乙j 悯( o 。) ，使得( 妒) 一i ，则称i 为自治 系统( 2 一1 ) 过x o 点的轨线仍( p ) 的c o ( a ) 极限点，称仍( p ) 的所有国( 口) 极限点的 集合为仍( 戈o ) 的缈 ) 极限集，记为q ( p ) ( 彳( p ) ) 。 定义2 7 t 2 8 l 设r 是系统( 2 1 ) 的闭轨线，若有痧0 ，使系统( 2 - 1 ) 在r 的两侧 邻域s ( r ，万) 内一切轨线均以i 为其q 或a 极限集，则称i 为系统( 2 一1 ) 的一个极 限环。显然极限环是一条孤立的闭轨线。 定义2 8 2 叼设( x o ) 是系统( 2 1 ) 的平衡点，如果对( ，) 的任一邻域 ，p蜘 杈g = | 1 心m 州 ，m r 中其 哪嗍 + + 声j 、芦j 、 l 2 口 订 = = 芦j、矽 r(【 哈尔滨理下大学理学硕l j 学位论文 u ，存在( ，y 。) 的一个属于u 的邻域u 。，使系统( 2 1 ) 的每一条轨线 ( x ( f ) ，少( f ) ) ，若有( x ( 0 ) ，y ( 0 ) ) u l ，则对一切t o ，有 ( f ) ，y ( f ) ) u ，就称平衡 点( x 。，y o ) 是稳定的；否则就称为不稳定的。如果系统( 2 1 ) 的平衡点( x 。，y 。) 是 稳定的，并且有 哪l i m ( x ( t ) = h ”l y ( f ) 蜘 就称平衡点( x o ，y 。) 是系统( 2 一1 ) 的渐近稳定点。 定义2 9 刚如果系统( 2 - 1 ) 的平衡点( ，y 。) 是渐近稳定的，且邻域u 是全 空间，则称平衡点( x o ，y 。) 是系统( 2 1 ) 的全局渐近稳定点。 定义2 1 0 仲1 系统( 2 - 1 ) 中使戈= p ( x ，y ) = 0 的曲线，称为系统的水平等倾 线；使夕= q ( x ，y ) = o 的曲线，称为系统的垂直等倾线。 2 1 2 常微分方程定性定理 引理2 i v 6 】( b e n d i x s o n 判断) 如果在某连通区域d 丝塑 苏 砂 不变号，且在d 的任何子区域中不恒为零，则系统( 2 1 ) 在d 内无闭轨。 引理2 2 2 q ( d u l a c 判断) 如果函数b ( x ，y ) 0 连续，且有连续偏导数，使 得在单连通区域d 内 o ( b p ) o ( b q ) 苏 砂 不变号，则系统( 2 1 ) 在d 内无闭轨，称函数b ( x ，y ) 为d u l a c 函数。 引理2 3 t 2 6 】考虑系统 f x = 尸( x ，y ，五) i y = q ( x ，y ，五) 其中p ，q 是( x ，y ，彳) 的解析函数。设参数旯= 0 ，上述系统以( 0 ，0 ) 为中心型 稳定( 不稳定) 焦点：参数旯 0 时，上述系统以( 0 ，0 ) 为不稳定( 稳定) 焦点。则对充分小的五 0 ，上述系统在点( 0 ，0 ) 附近至少有一个稳定( 不 哈尔滨理工人学理学硕 = 学位论文 稳定) 的极限环。 引理2 4 t 2 8 】设有系统 j 克= a x + 砂+ x ( x ，y ) l 夕= c x + 砂+ y ( x ，y ) 其中x 与】，在o ( o ，0 ) 点邻域内解析，o ( o ，0 ) 为其对应线性系统的中心点，若在 o ( o ，0 ) 点邻域内存在此系统的一个连续的首次积分，则o ( o ，0 ) 必为中心点。 2 2 常微分方程稳定性基本概念及定理 2 2 1 常微分方程稳定性基本概念 定义2 1 1 1 2 8 1 设函数v ( x ) 在尺”中原点的某邻域u 中有定义，v ( x ) 在u 中 连续可微，且满足v ( o ) = 0 。若除原点外对所有的x u 均有y ( x ) 0 ( 矿( 石) 0 ： ( 2 ) 矿= 丢y ( x ( 嘞o ，当x 时，其中x ( f ) 是系统( 2 - 5 ) 的轨线； ( 3 ) 若函数y 还满足仄0 ，当x 时。 若函数y 满足条件( 1 ) 与( 2 ) 就称为x o 的l y a p u n o v 函数；若函数y 满足条件( 1 ) 、 ( 2 ) 和( 3 ) ，就称为严格的l y a p u n o v 函数。 2 2 2 常微分方程稳定性定理 引理2 5 ( l y a p u n o v 稳定性定理) x o w ，x o 是系统( 2 - 5 ) 的平衡点。如果 u 是的邻域，ucw ，有函数v ：u r ，在u 上连续，在u - x o 上町微， 满足 ( 1 ) v ( x o ) = 0 ；y ( x ) 0 当x x o ； ( 2 ) 矿= 丢矿( x ( 嘞o ，当x ，其中x ( f ) 是系统( 2 5 ) 的轨线，则而是稳 定的。 ( 3 ) 若函数y 还满足p - 口 第1 i 类功能性反应函数为 她) = 羔 第1 i i 类功能性反应函数为 = 也 她鹏苫 哈尔滨f f i 丁人学师学硕f j 学位沦文 如? = 矗 定义2 2 2 0 1k o l m o g o r o v 模型 l 量= x f ( x ，y ) 【夕= y g ( x ，y ) 其中f ( x ，y ) ，g ( x ，y ) 均具有连续的一阶偏导数。 2 4 本章小结 本章介绍了一些常微分方程定性、稳定性的基本定义及定理，为以下几章 所研究的模型做了很好的理论铺垫。但由于常微分方程所涉及的定理、定义较 多，这里就不在一一赘述。另外，本章还介绍了二维生态种群模型和高维生态 种群模型的一些基本概念，这使得在研究特殊模型的性质时有了一个具体的类 比。 哈尔滨理丁大学f f i 学硕 ：学位论文 第3 章具有常数收获率的功能性反应模型 3 1 引言 人们对于具有收获率的捕食与被捕食系统l o t k a v o l t e r r a 模型的应用研究 中发现了明显的不合理之处，单位时间内每个捕食者所能吃掉的食饵数量除了 与食饵有关外还应与捕食者的捕食能力息息相关，因此人们把模型的研究类型 扩充到功能性反应模型。 在已有文献中，国外学者e d g o n w a y 和j a s m o l l e r 等分别对具有功能 性反应的捕食与被捕食模型，应用定性与稳定性的方法，对模型的平衡点性 态，局部与全局稳定性进行了讨论。国内学者陈兰荪、戴国仁、徐长醒、刘宣 亮、沈伯骞和司成斌等对于模型具有常数收获率情况，进行了比较拿面地研 究。然而，对于食饵种群及捕食者种群同时具有常数收获率的模型，仍没有得 到详尽的理论。尤其是对于两种群同时具有常数收获率的模型，即使不考虑密 度制约的问题，对于模型平衡点的稳定性问题也无法判定。举最为简单的 v o l t e r r a 模型，一旦加上常数收获率之后，它的解的性质就要复杂多了，原来 是全局稳定的数学模型就会变为不是全局稳定的，甚至变为不稳定系统。因此 为了更好更详尽的了解生态模型的实际意义，就必须将同时具有常收获率的模 型研究透彻。 故本章中，将对同时具有常数收获率的h o l l i n g i i 、i i i 类功能性反应模型 和同时具有常数收获率的一般性功能性反应模型进行定性分析。讨论模型平衡 点的稳定性及极限环的存在性，解的有界性等等。 3 2h o l l i n gi i 类功能反应模型的定性分析 3 2 1 模型的建立 已有文献】对食饵种群在线性密度下具有常数收获率的模型给予讨论，得 出了比较完备的定性结论，尤其第一次在生态系统中讨论了三个极限环的存在 性，本节在文【1 1 】基础上考虑食饵种群具有密度制约项，且两种种群同时具有常 数收获率的h o l l i n gi i 类功能反应的捕食模型，形为 哈尔滨理t 人学理学硕i j 学位论文 i j c = a x - 黑一蹦z z il + 眦 一 ( 3 1 ) 【= - - c y + 羔一厶 其中x ，y 表示两种群的密度；口，b ，c ，d ，e 都是正常数，分别具有一定的生态意 义；z ， 0 表示两种群具有的常数收获率；j 竺表示捕食者种群的 l + w x h o l l i n gi i 型功能性反应函数。这里对z ，六 0 作详细讨论。 下面作变换 令面= _ l d t ， f = b y ( 仍记f 为t ，歹为y ) i + w x 则模型变为 p x k 删州一叫胪一2 - y 一石 ( 3 - 2 ) l 夕= v - c + ( a 一伽) 叫一l b o + 坝) 、。 下面分别讨论模型( 3 2 ) 的食饵等倾线及捕食者等倾线的状态。已知食饵等 倾线为 y = 鲲( 功= 留w w 2 + ( 仃w p ) x + ( 口一i w ) 一丛 对其求导得 一2 e w x 3 + ( a w p ) 石2 + z y = = _ o 则由根与系数的关系知，夕= 0 有两负根一正根，且y 。在此正根为负定。结合 食饵等倾线方程，知食饵等倾线在x 0 区域内只有一个最大点m ( 2 ，歹) ，i 即为多= 0 时解得的唯一正根。 再令 y = 叫煅2 + ( d r w p ) x + ( 口一 w ) 一旦= 0 解得 而：a - 、f a 2 - 4 e l 嘞= a + 4 f a 2 - 4 e fz pz p 哈尔滨理丁大学开学硕卜学位论文 显然a 。( x 。0 ) ，a 2 ( x ：，0 ) 这两点并不是系统的平衡点，根据以上所描述食饵 等倾线函数的性质，给出食饵等倾线在第一象限的图象，如下图3 1 所示。 0 a l 图3 - 1模型( 3 - 2 ) 的食饵等倾线轨线 f i g u r e3 1 t h ep a t ho f t h ep r e ys p e c i e si nm o d e l ( 3 - 2 ) 已知捕食者等倾线为 y 刮加而f 2 b w 。= x + 兰- - d c w 令 f ：l ，万：上堡f = ， d = _ 二i 一一 d c wd c w 1 x + 一 则捕食者等倾线化简为y = 万。显然捕食者等倾线是关于x = f 为渐近线 x f 的双曲线。这里若要满足食饵等倾线与捕食者等倾线相交，则必要求 万 0 。z 0 ，且此时捕食者等倾线对万和f 是单凋增加的。由此町绘制出捕食 者等倾线在第一象限的图象，如下图3 2 所示。 哈尔演理下人学理学硕f ：学位论文 l y = 伊2 ( x ) ) x=f 图3 - 2 模型( 3 - 2 ) 的捕食者等倾线轨线 f i g u r e3 - 2 t h ep a t ho f t h ep r e d a t o rs p e c i e si nm o d e l ( 3 - 2 ) 下面记q = ( x ，y ) i x o ，y o ) 为模型的可行域，以下将在可行域内讨论平 衡点的定性稳定性，进一步整理模犁( 3 2 ) 为 j = x 【( 口一z w ) + ( a w p