（基础数学专业论文）向量sturmliouville微分方程的特征值重数问题.pdf

摘要 本文在l 2 o ，1 】空间中研究了= 维向量s t u r m - l i o u v i l l e 微分方程的特征值重数 问题首先，证明了边条件矩阵为对角阵时，方程只有有限个二重特征值的充分条 件，这推广了邵申亮，谢中村以及杨传富等人的结论；进步，在一定的假设条件， 得到了边条件矩阵为对角阵时，两个二维向量微分方程的特征值集合只有有限个公 共元素的充分条件，并且，对于n 维的向量微分方程仍有类似的结论成立；对假设 条件做一定的改进，得到了一般分离边条件下，两个向量微分方程的二重特征值集 合的交集为有限集的充分条件；最后。在上述几个结论的基础上。运甩杨传富给出 的方法，在边条件更为复杂的情况下估计出特征值指标的个下界绚，使得对方程 的所有下标大子t l o 的特征值都是简单的 关键词：向量s t u r m - l i o u v i l l e 微分方程，特征值重数，边条件，特征值指标 1 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w es t u d yt h em u l t i p l i c i t i e so f v e c t o r i a ls m n n - l i o u v i l l ed i i f e r e n t i a l e q u a t i o n s f i r s t ，w ef i n das u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o rw h i c had i f f e r e n t i a le q u a t i o no ft h e d i m e n s i o nn = 2c a l lo n l yp o s s e s sf i n i t e l ym a n ye i g e n v a l u e sw h i c hh a v et h em u l t i p l i c i t y 2 ，w h e nt h ec o e f f i c i e n t so f t h eb o u n d a x yc o n d i t i o n sa r ed i a g o n a lm a t r i x s c o m p a r i n g w i t ht h er e s u l t so fc h a o - l i a n gs h e n ，c h u n g - t s u ns h i e l , a n dc h 啪- f uy a n g ，o u r r e s u l t sa l eg e n e r a l i z a t i o n 陪f i n das u 伍c i e n tc o n d i t i o no nt w od i f f e r e n t i a le q u a t i o n s o f t h ed i m e n s i o nn = 2w h i c hp o s s e s sf h l i t d ym a n ye i g e n v a l u e si nc o d l 瑚n t h i sr e s u l t i sa l s or i g b 七f o rt h ed i m e n s i o n ，l 2 f i n a l l yw ef i n dab o u n d a r y 加d e p e n d i n g o i lq ( z ) ，s u c ht h a tt h ee i g e n v a l u e so ft h ee q u a t i o nw i t hi n d e xe x c e e d i n g 啊a x ea l l s i m p l e k e yw o r d s ：v e c t o r i a ls t u r m - l i o u v i n ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n ，m u l t i p l i c i t i e so f e i g e n v a l u e ，b o u n d a r yc o n d i t i o n ，i n d e xo fe i g e n v a l u e 2 1 0 0 1 3 3 0 ；f 声明 本学位论文是我在导师的指导下取得的研究成果，尽我所知，在本 学位论文中，除了加以标注和致谢的部分外，不包含其他人已经发表或 公布过的研究成果，也不包含我为获得任何教育机构的学位或学历而使 用过的材料。与我一同工作的同事对本学位论文做出的贡献均已在论文 中作了明确的说明。 研究生签名： 强缉 妒6 年占月“日 学位论文使用授权声明 南京理工大学有权保存本学位论文的电子和纸质文档，可以借阅或 上网公布本学位论文的全部或部分内容，可以向有关部门或机构送交并 授权其保存、借阅或上网公布本学位论文的全部或部分内容。对于保密 论文，按保密的有关规定和程序处理。 研究生签名：蕴鱼獐b 诏年月珀日 硕士论文向量s t u r m - l i o u v i u e 微分方程的特征值重数 1 引言 h i l b e r t 空间的微分算子理论在量子力学，半导体理论及理论计算中都有它的应 用无论从数学角度还是从物理角度上研究向量微分算子的谱特征都是非常重要的 1 1 s t u r m - l i o u v i l l e 问题的发展史 s t u r m - l i o u v i u e 问题( 简称孓l 问题) 起源于十九世纪初叶j f o u r i e r 对热传 导问题的数学处理十九世纪三十年代，o s t u r m 和j l i o u v i l l e 把f o u r i e r 的方法 进行了般性的讨论，他们所得的结果，后来成为解决一大类数理方程定解问题的 理论基础本世纪初，h w e y i 4 0 将问题拓广到无界区间，开创了奇异型s - l 理论 的研究 二次世界大战之后，许多知名学者，诸如e c t i t c h m a r s h ，k k o d a i r a ，p h a r t m a n 等人均投入到s - l 理论的研究当中，并在奇异孓l 向题的谱，谱的反问 题，以及算子迹方面，完成了大量开拓性的工作f 9 】这些工作成果，大大丰富了并 拓展了s _ l 问题的内蕴，并使之形成为个系统的理论领域 上世纪六十年代以后，以w n e v e r i t t 为首的欧美学者及苏联学者。进一步 开拓了高阶奇异微分算子得亏指数研究，并取得了许多的重大成果f 1 1 】亏指数的 研究，是一种更加基本的构造性研究。它的深入使l 理论的面日为之一新在这 一时期，孓l 理论系统，巳基本上脱离了微分方程的理论模式而纳入到h i l b e r t 无界 线性算子的理论框架用算子的方法和语言来表述孓l 理论，不仅扩大了问题的认 识视野，而且使问题的研究更加深入 随着研究的不断深入，上世纪八十年代，反谱问题得到了长足的进步在此之 前，我们研究反谱问题，主要是通过特征值的有关信息来还原方程的势函数但是， 只知道特征值的信息并不足以保证势函数的唯性1 9 8 8 ，j o y c er m c l a u g h l i n 利 用特征函数零点的信息来考虑d i r i c h l e t 边条件下的反谱问题并证明了除了差一 个常数外，势函数被唯一确定1 9 9 7 年，杨学峰进步证明了对一般的分离边条件 仍有类似的结论成立，并利用特征函数的零点信息具体的构造出了势函数 1 硕士论文 向量s t u r m - l i o u v i n e 微分方程的特征值重数 在反谱问题迅速发展的同时，对向量微分方程的研究也拉开了序幕j w e i d - m a n n ( 1 9 s t ) 在其专著【2 5 】中引进了舻向量函数空间上的对称微分算式，并在【2 5 】 中阐述了向量微分算子的基本理论1 9 9 7 年，台湾人陈怀化合邵申亮在【1 8 】中将反 谱理论中极其重要的a m b a r z u m y a n 定理推广到了关于d i r i c h l e t 边条件的向量微 分方程的情形进步，2 0 0 1 年目长怀化【1 6 1 给出了般的分离型边条件下向量微分 方程的a m b a r z u m y a n 定理与此同时，1 9 9 9 年邵申亮与谢中村在【2 】中对d i r i c h l e t 边条件下的向量微分方程的特征值重数进行了研究特别对于二维的d i r i c h l e t 边 条件的向量微分方程给出了其特征值除有限个外都为单重的充分条件2 0 0 5 年，杨 传富在其博士论文将上述问题的边条件作了一下改进。得到了类似的结论 本文在h f l b e r t 空间l 2 o ，1 】中研究了= 维向量s t u r m - l i o u v i l l e 微分方程 - y ”+ q ( x ) y = a yz 【0 ，1 j ，( 1 1 1 ) 赋予边条件 a 1 y ( o ) + a 2 y ，( o ) = 0( 1 1 2 a ) b i y ( 1 ) + b 2 y ( 1 ) = 0( 1 1 2 b ) 其中y ( 功是2 维的向量值函数，q ( z ) 是1 0 ，l 】上2 2 的实对称矩阵值函数，a ，鼠，0 = 1 ，2 ) 都是2x2 的实值对角矩阵，且a ，b l ，0 = 1 ，2 ) 不同时为零因此。边条件等 价于 ( 等1 ( 警 ( 1 1 3 a ) ( 1 1 3 b ) 其中啦，屈 0 ，卅，i = 1 ，2 以岛为例，我们将边条件分为两种情况来考虑t i ) s i n , 1 l = s i n 口2 = 0 或s i n a l s i n a 2 0 f i ) s i n a l s i n 勉= 0 且甜q + s i n 2 勉0 在3 1 中，将证明在某些假设条件下，方程( 1 1 1 ) 一( 1 1 3 ) 仅有有限个二重特 征值，通过对特征值重数问题的研究，获得了这些结果对两个向量微分方程的应用 3 2 研究了有关特征值问题的估计，估计出特征值指标的一个下界n 口，使得对方 2 = = 以 以 、 2 2 o 。喝 o丑 。汛 + + 0 y y 勉 忍 。 。哪 m 一。 螂。 ， 硕士论文 向量$ t u r m - l i o u v i l l e 微分方程的特征值重数 程( 1 i 1 ) 一( 1 1 3 ) 的所有下标大于加的特征值都是简单的运用这些结果，获得了 两个向量微分方程具有有限个共同特征值的充分条件，并给出了实例 1 2 本文的主要结论 我们已经熟知，设g ( z ) 是1 0 ，1 】区问上的个实值函数，那么关于势函数g ( 善) 的s - l 微分方程 一y ”+ q ( z ) f = a 玑v ( o ) = v ( 1 ) = 0$ 【0 ，1 1 ， 的特征值都是实值单重的。并且第k 个特征函数在( 0 ，1 ) 开区间上有且仅有k 一1 个零点但是对于二维向量型的更一般边条件下的孓l 微分方程，它的特征值的重 数以及特征函数的性质就变得非常复杂了1 9 9 9 年，中国台湾人邵申亮和谢中村最 先考虑了d i r i c h l e t 边条件下的向量型孓l 微分方程的特征值重数的问题2 0 0 5 年， 杨传富在其博士论文中将上述问题中的边条件作了推广，将边条件系数推广到了对 角矩阵，且对角线上元素相等本文的创新之处在于将边条件作了进一步的改进， 证明了当边条件系数取为任意的对角矩阵时仍有类似的结论成立，并且给出了两个 向量势方程的谱集合仅有有限个共同元素的充分条件和一些相关的估计 本文主要研究的是方程( 1 1 1 ) 一( 1 1 3 ) 的特征值重数问题 一y ”+ q ( x ) y = a yf o ，1 】， 赋予边条件 ( i m 二) 即，+ ( 警击二) 悱。 ( 警三) 即，+ ( 面? 三) 卅。 这驯习= ( 裟，警) 池删棚黼c ，脚 上的两个实连续函数及r 1 ( 功为c 1 【0 ，1 】上的函数 在3 1 及3 2 中，运用矩阵微分方程理论及一些重要不等式，获得如下结果 硕士论文 向量s t t t r m - l i o u v i l l e 微分方程的特征值重数 对例臌，= ( - - n q l ( x ，搿) ，且 z 1 喇出o 则除了有限个特征瞧外，方程( 1 1 1 ) ( 1 1 3 ) 的特征值是简单的 以盯( 五) 表示势函数为口( 功的s - l 微分方程的谱集合 蝴蝴删功= ( 裟，碧) ，且 r l ( x ) d x o ，n ( o ) = r 1 ( 1 ) = 0 ， 则除了有限个特征值外，方程( 1 1 1 ) 一( 1 1 3 ) 的特征值是简单的 进一步，当a l = 啦，尻= 岛时，给出了两个向量势方程的谱集合仅有有限个 共同元素的充分条件 设p ( z ) 与q ( x ) 都是【0 ，l 】上2 2 的实对称矩阵值函数，且p 与q ( z ) 都可 ? 喇讹即? 眠啪甲巩= ( n 仡乙) 一肛 ( q 1 啦：，) ，其中鼽与毋都是实值连续函数，若 f o ( z ) 如1 劬( 如，“，j = 1 ，2 ) 则a ( t p ) 与一( ) 仅有有限个共同元素 并且对于上述两种情形分别给出了特征指标的下界估计峋，使得当n 时， 方程的特征值都是单重的 椭淞= ( 豢劣) 矬吼及啦删呲的两 个实连续函数，r l ( 。) 为c 1 i o ，l 】上的函数，且 厶( 习出o 塑兰i 达 宦量! 唑! 塑唑丝坌立墨笪壁堡堕重墼 若k 为( 1 1 1 ) 一( 1 1 3 ) 的特征值，且满足， k a 2 ，当s i n 8 l = 血勉= 0 时， k h 1 ，当咖a l m n a 2 0 时， 则k 为单重的 端酬舢舻( 尝- - 啦? i ( x ) 融吼及啦删的两 个实连续函数，r l ( z ) 为俨【0 ，1 】上的函数，且 ，j r l ( x ) d 。0 ，r l ( o ) = n ( 1 ) = 0 ， 若k 为( 1 1 1 ) 一( 1 1 3 ) 的特征值，且满足， k a 榀， 则k 为单重的 注，a 1 ，h 2 与a 柚将在后面具体给出 在3 2 节中，还将具体给出有关特征值的估计方法及其计算方法 2 基本知识 2 1 h i l b e r t 空间中的算子理论有关知识 这里将给出一些主要的定义和结论 定义2 1 1 1 1 5 1 称定义在h i l b e r t 空间h 的稠子空间d ( 刃上的线性算子t 为 稠定算子 注t 稠定算子不一定有界 定义2 1 2 【1 5 1 1 砑1 设r 为稠定算子，令 d ( t 4 ) = ( 。h 1 3 z 甄s t ( t y ，功= ( y ，力，v y 口( t ) ) t * x = z ，比口( r ) 5 硬士论文向量s t u r m - l i o u v i l l e 微分方程的特征值重敦 称r 为r 的共轭算子 定义2 1 3 1 1 5 2 9 j 稠定算子t 称为对称的，若 t c r ，即d ( 刃c 口( r ) 且r l 口= t 定义2 1 4 1 1 目嘲称稠定算子t 自伴，若丁对称，且t = t c v ( q = 力( p ) ) 定义2 1 5 1 1 5 2 9 t 设r 为空间日上的闭稠定算子，v 入c ，我们进行如下分类， ( 1 ) 若p j t ) 一1 不存在，这等价于方程( 灯一t ) z = 0 有非平凡解，这时a 称 为丁的特征值r 的所有特征值集合称为t 的点谱，记为- a t ) ( 2 ) 若( a ，一研- 1 存在，且v c ( a x 一刃1 ) h ，但d ( ( a j 一刃- 1 ) = h ，所有 这样的 的集合称为t 的连续谱，记为口o c t ) ( 3 ) 若( a ，一? ) 一1 存在，且万而汀= 虿了巧h ，所有这样的a 的集合称为t 的剩余谱，记为冉( 即 令盯( 即= 唧( t ) u ( 即u “( 卵，称为a 的谱集合，简称为a 的谱 ( 4 ) 若( a j 一- 1 存在，且d ( ( 一- 1 ) = h ，则称 为t 的正则点。所有 这样的a 的集合称为r 的预解集，记为p ( 于是由上述定义。可有盯( 刁u “习= c 设a 为r 的特征值，则( a ，一卵x = 0 的非平凡解$ 称为t 的特征函数易 见，所有t 的对应于特征值 的特征函数加上0 元素构成一个线性子空间，它的 维数称为特征值a 的重貌 定理2 1 1 1 1 b 1 2 9 若t 为对称算子。则a 的特征值必为实数，且对应于不同特 征值的特征函数正交 定理2 。1 2 1 1 5 】例若t 为自伴算子，则“( 刁= 0 推论2 1 3 【1 5 1 若r 为自伴算子，则矿( 冗 2 2 = 阶常微分算子的有关知识 对于【o ，l 】区间上的孓l 问题 一圹+ g ( 。h = ( 2 2 1 ) 6 硕士论文 向量s t t m n - l i o u v i l l e 微分方程的特征值重致 赋予边条件 咖口+ 矿( o ) 亩n 口= 0 ( 2 2 2 ) v ( 1 ) c o s 卢+ ! ( 1 ) s i n , a = 0 定理2 2 i 1 s - l 问题( 2 2 1 ) ( 2 2 2 ) 是自伴的，且它的所有特征值都为实数，不 同特征值对应的特征函数相互正交 令妒( 甄a ) ，妒0 ，a ) 为方程( 2 2 1 ) 的两个解，满足初始条件 旭a ) = s i n a ，( o ，a ) 2 嘲口， 3 ) 妒( 1 ，= 目5 n 芦，( 1 ，= o o s , 8 。 由微分方程的解对参数的依赖性质知。对【o ，1 】上的每个固定的。而盲，妒( 茹，a ) 和妒( z ，a ) 都是a 的整函规又根据l i 叫砌e 公式知，它们的w r o n s k i 行列式缈( 仍妒) 与z 无关，因而可以令 u ( a ) 兰w 7 ( 妒，妒) = l i p 0 ，a ) ( z ，a ) 一妒( $ ，a ) l p ，( 。，a ) ， 显然，( 为是关于 的整函数 定理2 2 2 f 1 】知是问题( 2 2 1 ) 一( 2 2 2 ) 的特征值的充要条件为，( a o ) = 0 注，定理2 2 2 把求( 2 2 1 ) - ( 2 2 2 ) 的特征值问题化为求个整函数的零点问 题- 由定理2 2 1 知，任何虚部不为零的a 都不是特征值，因此u ( a ) 不恒等于零 根据熟知的整函数零点的性质，我们可以得到t 问题( 2 2 1 ) - ( 2 2 2 ) 的特征值都是 孤立的。且没有有限的聚点 定理2 2 3 1 1 u ( a ) 有且仅有可数个实的单重零点； a l 沁 ) = ；矿( 昂，) u 一( ? k ) 同理得到关于势函数岱( 甸，i = ( i ，2 ) 的两个一维s - l 微分方程 设 训= ( a 毋龄即，= ( ：；：) 小庐增， 令 州划c 肌驴( 絮篇篙篆燃2 ：) ， 则关于势函数厶j ( 妨与耳j ( 。) 微分方程具有相同的特征值，并且它们的特征值 序列由一( ) 与口( 死) 的元素构成此时，r l ( 功= 慨( 功一毋( 司) s i n o c = 0 s o ，其 中s i n o s o 0 运用假设条件知詹r l ( x ) d z 0 由定理3 1 4 知关于势函 数厶o ( 茹) 微分方程仅有有限个二重特征值，即矿( 毛) n a ( ) ，( i ，j = 1 ，2 ) 为有 限集，因此圹( 7 p ) na ( 砀) = u 乞：。p ( ) n 盯( ) 】亦为有限集r l 注，这个定理说明了对于两个可同时对角化的势函数。如果它们的特征值几乎 处处相等。则势函数分别同时对角化以后，其对角线上至少各存在个函数，使得 它们的积分对应相等 推论3 1 7 设p 0 ) 与q ( 功分别为【o ，1 】上n n 和m m 的实对称矩阵值函数， 且p 0 ) 与0 ( 。) 都可同时对角化，即j 巩，s t w p ( $ ) 仉= 击叼p l ( $ ) ，n ( z ) ， ) ) 叼q ( 。) ；d i a g ( q 1 ( x ) ，啦( ) ，( z ) ) ，其中a 与毋都是实值连续函数，且 z 1 a ( z ) 出z 1 岛( 功血， i = l ，2 ，n ，j = 1 ，2 ，仇，则盯( 2 ) 与( 砀) 仅有有限个共同元素 进步，对一般分离边条件下的二维向量s t m m - l i o u v i e 微分方程 一y ”+ q ( x ) y = a y。【0 ，1 】，( 1 1 1 ) 硕士论文向量s t u r m - l i o u v i l l e 微分方程的特征值重数 冀，即a 巩，观尊酉阵，使得忱p ，- l w p p ，巩= ( n 见：，) ，w q c $ ，醍= ( 吼孑啦：，) ，w a 巩，磁最巩，a = ，z ，都为对角阵并满足 f o i ( g ) d x j ：1 ( 拙小_ l ，2 ) 1 小z 1 如( 2 ) 刚嘲舢醣使得比吨扎州巩= ( n 品) 瑚= 1 7 硬士论文 向量s t u r m - l i o u v i l l e 微分方程的特征值重数 ( 口1 纯乙) ，w a 以，w 晟阮，。= ，。，都为对角阵并满足 1 。p , ( x ) d x # f o l q , ( z ) 血，( i - - - - - 1 , 2 ) 则晚( ， p ) n 口( ) ，( 耳- ) n 晚( ) 都为有限集 【证明】l 因为观( 乃，) n 盯( 砀) = p ( 乃，) n 仃( 2 k ) 】n p ( 写。) u 盯( ) 】，通过简单 注t 在文1 4 3 中，已经得到了如下结论对于一般分离边条件下的向量型孓l 微分方程，若方程有无穷多个c z 型特征函数，则这个$ l 问题为气可同时对角化 的利用这个结论，我们可以将上述几个定理中的条件进一步改进，这里就不一一 。尸，i 一+ ( 8 0 一。! ：2 ) y = a y y ( o ) = 0 。q ， 一y ”+ ( 。：产一：) y = a ， 【y ( o ) = y ( 1 ) = 0 砖( 甸d z 一毋 ) d z = 1 5 矿 所以，( 耳) - f f 盯( 砀) 仅有有限个共同元素事实上，直接计算得一( 昂) = ( 舻+ 8 ) 一i n = 1 ，2 ) ，矿( 砀) = ( 舻- 7 ) 矿l n = 1 ，2 ) ，矿( 2 1 p ) n 口( ) = 9 7 r 2 ，5 7 萨) 3 2 有关特征值问题的估计 对矿( 砀) 中的元素作如下排列，a 1 沁k ，计重数在定 理3 1 4 中，我们看到了满足条件的势函数q ( 动仅有有限个二重的特征值换句话 1 8 y 硕士论文 向量s t u r m - l i o u v u l e 微分方程的特征值重数 说，也就是刍，均 0 ，5 t 特征值集合口( ) 除去前如项以后都为简单的因此， 本节的目的就是对向量型微分方程给出估计，l 。的一种方法，并且给出了具体的实 例这里我们将采用f 2 】，f 4 2 】中的方法进行估计因为与文f 4 2 l 相比较，边条件发生 了变化，变得跟为广泛，所以计算也将更为复杂，以下我们将分类进行讨论 ，、，、 首先给出几个重要的引理设q ( 动= fn 7 叶l ? l ，a p ) o ；l ，2 ) - r l 【。) 仡( 印 为【0 ，1 】区间上的两个实连续函数及r l ( 霉) 为g 1 f o ，1 】上的函数 为2 x 2 矩阵记a 的最大模范数为f i a i | = s 印( i i ，1 若a ，b 是两个2x2 矩阵。则有 i i a b i l l l a l ll l b i i( 3 2 1 ) ， 矩阵微分方程( 3 1 1 ) 一( 3 1 2 ) 的解y ( z ，a ) 可表示为如下的积分方程 m = c o s 厄( 警1 二) 一s i n 屈( 一o1 乙) 堋， ( 3 2 2 ) 其中 g c z ，砷= ( ：茗g m n 2 ( 。x , x a ) ) = ：去z 。时n 、，饫c 善一，。c ，y c ，a ，d ，c s z s ， 由式( 3 2 1 ) ，( 3 2 2 ) 及( 3 2 3 ) 得 i i y ( 川( c l + 隽) + 云r 怜( ) 1 1 1 y ( z , a ) i i 曲 ( 3 2 4 ) 其中c l = m a x ( is i n a l l ，i 血啦i ) ，c 2 = m a x ( 1 c 0 8 口1 i ，ic o s a 2 1 ) 根据g r o n w a u 不等 式，因为( c 1 + 丧) 非负，我们得到 ij y 扣，a ) 0 ( c 1 + 袅) 唧 去j 孑i i ( u ) l l d ! ， ( 3 2 5 ) ( c l + 袅) e x p ( 去i i q ( u ) l l 曲 ， 、 毗 锄 m 眈 ，i一 = 卜 设 卯， 硕士论文 向量s t u r m - l i o u v u l e 微分方程的特征值重数 由式( 3 2 3 ) ，( 3 2 5 ) ，对于0 z 1 ，亿j = 1 ，2 ) ，有 1 9 珏( z ，) i ) i 0 g ( z ，a ) 0 s 击詹i i q ( y ) i i i w ( x ，x ) l ld y ( 3 2 6 ) 去( c t + 苏) 唧 丽2j 0 1i i q ( y ) i id y f 0 1i i q ( y ) i id y 由式( 3 2 2 ) ，( 2 2 6 ) 得 妣y ( 毛1 ) = 【8 竺竺? 。0 8 2 ( 堡) + 塑2 宁垃咖2 ( 佤)( 3 2 7 ) 一鲍畴产s i n ( 2 、k ) 】+ 柚 这里 ( z ，a ) = s i n a z 。譬赡) 一c o s n - 警! 】9 2 2 ( 茁，a ) + 陋啦淄( 屈( 3 2 8 ) 一o n ! 垫e 产】m l + 9 1 1 ( 。，a ) 9 2 2 ( z ，a ) 一9 1 2 ( x ，夕2 1 ( 喾，a ) 】 分部积分得下列不等式 擐 i r 炯d x ) l 嚣嚣 ( 3 2 9 ) 去+ 嚣i