（通信与信息系统专业论文）sccpm系统性能分析.pdf

摘要 串行级联连续相位调制技术( s c c p m ) 是串行级联信道编码( s c c c ) 和连续相 位调制( c p m ) 的有机结合，其即保留了串行级联边码的高信道增益，又保留了连 续相位调制信号恒定包络和高信道利用率的优点。并且在译码时，采用了迭代译 码的译码方式，使得系统的误码性能十分优秀，接近于香农限。同时，由于其具 有众多的可调参数，使得如何选取这些参数成为一个重要问题。 本文从c p m 调制的定义和分解入手，提出了使用隐马尔科夫模型对c p m 调 制解调过程进行建模，分析。给出了s c c p m 系统所需的b c j r 算法在该模型下 的分析和推导过程。对s c c p m 系统进行了结构分析，并使用m a t l a b 仿真软件对 s c c p m 系统的误码性能进行了仿真。分析了s c c p m 系统各个参数之间的相互关 系。 关键字：串行级联编码连续相位调制串行级联连续相位调制迭代译码 性能分析 a b s t r a c t s m f l l yc o n c a t e n a t o dc o n t i n u o u sp h a s em o d u l a d o n ( s c c p m ) i st h ec o m b i n m i o no f s e r i a l l yc o n c a t e n a t e dc h a n n d d e s ( s c c c ) a n d n t i n u o mp h a s em o d u l a t i o n ( c p m ) nk e e p s 也eh i g hc o d e sg a i no fs c c c ，t h ec 0 n s t a n ta m p l i t u d ea n dn a l t o w e rm a i nl o b e o f 也es p e c t r u m u s i n gi t e r a t i v ed c c o d m g t 1 1 e ) , e f f o r m a n e eo fs c c p ma l m o s ta c l l i e v e 也es h a n n o nl i m 吨a t 也es a m et 洫e b e c a m eo ft h es c c p mh a sm 盟yp 跏e t e r s ， h o wt oc h o s et h e s ep a r a m c t e r si sav e r yi m p o r t a n tp r o b l e m t h i st h e s i sf i r s t 劬r o d u c e s 吐l ed e f i n i t i o na n dd e c o m p o f i f i o no fc p m a n dm e n u s i n ga h i d d 锄m a r k o vm o d d s ( h m m ) t od e s c r i b e 缸da n a l v s et h em o d u l 撕o n d e m o d u l a t i o n o fm ec p ms i 弘f l sw i t c h 仃a n s m i ti nm ea d d i t i v ew l l i t eg a u s s i a nn o i s e ( a g n ) c h a n n c l a n du s et h ea l g o f i t h mo fh m mt 0d c r i v a t i n gm eb c j rf l g o f i t h m a n f l y s c t l l ec 0 n f i g u m t i o no f 也es c c p ms y s t e m e v a l u a t et h e 耐b m 锄c eo ft h es c c p m s y s t e m ，a n a l y s e 也er e l a t i o n s l l i p sb c t w e 饥& c s ep a r a m e t c r sa n dt l l ep c r f o r r n 撇 k e y w o r d ：s c c cc p ms c c p mi t w a f i v e d c c o d h gp c r f o r m 撇a n a l y s i s 西安电子科技大学 学位论文独创性( 或创新性) 声明 秉承学校严谨的学分和优良的科学道德，本人声明所呈交的论文是我个人在 导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标 注和致谢中所罗列的内容以外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成 果；也不包含为获得西安电子科技大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的 材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中做了明确的说 明并表示了谢意。 申请学位论文与资料若有不实之处，本人承担一切的法律责任。 本人签名：阜辑 日期龇 西安电子科技大学 关于论文使用授权的说明 本人完全了解西安电子科技大学有关保留和使用学位论文的规定，即：研究生 在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属西安电子科技大学。学校有权保留 送交论文的复印件，允许查阅和借阅论文；学校可以公布论文的全部或部分内容， 可以允许采用影印、缩印或其它复制手段保存论文。同时本人保证，毕业后结合 学位论文研究课题再攥写的文章一律署名单位为西安电子科技大学。 ( 保密的论文在解密后遵守此规定) 本学位论文 本人签名： 导师签名： 静难 年解密后适用本授权书。 日期逊：立，! ! 日期k 窒g 。；。l ， 第一章绪论 第一章绪论 本章主要介绍了论文的研究背景和以及s c c p m 的发展过程，以及研究成果。 主要包括信道编译码的发展，编码调制的发展以及二者的结合产生s c c p m 。以 及论文的主要研究方向和研究目的。 1 1 背景 1 1 1 级联结构的信道编码 一个实际的数据通信系统框图一般可以表示如下， 图1 1 典型数据传输系统框图 香农在其发表于1 9 4 8 年的那篇著名的论文【1 2 】中证明，只要信息传输速率低 于信道容量，就可以通过对信息适当的进行编码，从而在不牺牲信息传输速率的 情况下，将信道噪声引入的差错降低到任意小的程度。这正是信道编码器的目的， 使得信号可以对抗信道中噪声引入的差错。 由于离散的信息符号并不适合在物理信道上传输，因此调制器的目的是为不 同的信道选择适合在其上传输的信息符号。 香农为通信系统的设计指明了方向，然而如何实现，即如何寻找一种好的信 道编码就一直是通信研究的重点。f o m e y 第一次中提出了级联编码的概念，这种 级联编码对于a w g n 信道而言是种有效增加功率利用效率的编码方式。这种 级联编码使用多个编码器对信息比特进行串行编码。信息比特首先通过一个外编 码器进行一次编码，接着通过交织器交织后送入内编码器进行再次编码。在接收 2 一 s c c p m 系统性能分析 端进行译码时，由于总的译码复杂度随着交织深度成指数级的增长，使得采用最 优的译码方式，即达到译码错误概率最小的方式难以实际实现。因此，实际中是 使用了一个次优的译码方法，内译码器计算出内信息比特的后验概率，然后进行 解交织，并送到外译码器进行最终的译码。 图1 2 级联编码结构框图 在1 9 6 0 年代末期至1 9 7 0 年代早期，有诸多种计算后验概率( a p p ) 的算法 被提出，而其中最为著名的是以四位作者名字缩写命名的b c j r 算法【5 1 。该算法 假设分组编码或者卷积编码可以用一个有限状态机( f s m ) 来描述，因此，其具 有网格结构。然而由于其复杂度和其状态个数呈线性关系，在其被提出后很长一 段时间内，都被认为无法用于实际系统的实现。 一直到了1 9 9 3 年，b c r r o u 在其论文【_ 刀中提出了使用迭代的m a p 准则的算法 对带交织的并行级联卷积码( p c c c ) 结构进行译码，该种编译码方式被称之为 t u r b o 码。其表现出非常接近香农限的性能。从而开辟了一个编码领域的新研究 方向。t u r b o 码和f o m c y 提出的级联编码的的最大不同之处在于其译码方式。 t u r b o 码采用了迭代译码，两个软输入软输出( s i s o ) 的后验概率( a p p ) 计算 器计算出用于相互反馈的外信息，其是基于b c j r 算法实现的。其系统框图如图 1 ：3 所示。 图1 3p c c c 结构框图 其后，b c n e d c t t o 等人于1 9 9 8 年研究了带交织器的串行级联卷积码( s c c c ) 的结构和性能，并提出了一种该码的迭代译码算法【8 1 。在对比了s c c c 和p c c c ( t u r b o 码) 的误码性能后，他们发现，在误码率低于1 0 _ 2 级别时，s c c c 显示 出比p c c c 更好的性能。s c c c 结构框图如图1 4 所示。 第一章绪论 图1 4s c c c 结构框图 1 1 2 编码调制和级联信道编码的联合 在通信中，我们除了想要更快，更可靠的传输信息外，还需要有效的利用信 道等有限的通信资源。因此我们衡量一个通信系统通常使用信息传输速率和信道 带宽两个重要参数。然而，在二迸制编码系统下，在获得编码增益的条件下，如 果为了保持编码后的数据传输速率和非编码时的数据传输速率相同，就需要展宽 系统带宽为非编码时的1 r 倍，r 为编码速率。也就是说，我们所获得的编码增 益是以更大的信道带宽为代价的。这对于如移动通信，地面微波和一些卫星信道 这样的带宽受限信道而言，无法通过增加信道带宽而获得编码增益。 但是，如果我们综合考虑编码和调制技术，我们无需带宽展宽，就可以获得 明显的编码增益。我们通过将二进制编码器和m 进制信号星座图相结合，使得编 码增益不用通过增加编码速率也就是不用增加信道带宽来获得，编码引入的冗余 比特不再通过额外的符号发送，而是通过扩展相对于非编码系统的信号星座图的 大小来获得，称之为信号集拓展。这种将编码技术和调制技术相结合的方法称之 为编码调制。 而上述的s c c c 系统的一个重要的特点就是可以方便，有效的和传统的编码 调制结合起来，只需要将s c c c 系统中的内编码器替换为传统编码调制的编码器。 这样，我们就可以在带限信道中也获得接近香农限的误码性能，同时还保留有高 的频带利用率。 传统的编码调制有网格编码调制( t c m ) ，差分相位调制以及连续相位调制 ( c p m ) 等。而连续相位调制技术由于其一些重要的特性而在实际应用中受到越 来越多的关注。首先，连续相位调制所得到的波形是恒定包络的，其信息是包含 于载波相位之中。通过将连续相位调制分解为一个连续相位编码器和一个无记忆 调制器【3 1 ，我们可以方便的使用网格编码结构来实现连续相位调制。其次由于其 信号相位是连续的，使得其相对于其他相位调制方式而言，具有更高的频带利用 3 一 4 一 s c c p m 系统性能分析 率。上述特点使得连续相位调制技术可以采用非线性功率放大器进行功率放大， 从而大大降低系统的实现成本。因此在无线通信中有广阔的应用前景。 鉴于串行级联编码技术( s c c c ) 和连续相位调制技术( c p m ) 的上述优点， 将连续相位编码器用作串行级联的内编码器，从而将二者结合而得到的串行级联 编码连续相位调制系统( s c c p m ) 将在获得接近香农限的误码性能的同时，保留 连续相位调制技术的高频带利用率和恒定包络等优良特性。并且其系统实现复杂 度也在可接受范围内。 1 2 研究方向 由于s c c p m 系统的可调参数众多，例如：外编码器所采用的结构，c p m 调 制的进制数m ，其调制指数h = 舯，频率响应脉冲持续时间l t ，译码时内外译码 器的迭代次数等，都将对s c c p m 系统的误码性能和频率利用率产生影响。如何 为不同的应用环境寻找一组合适的系统参数成为一个重要的具有研究价值的问 题。 同时，如何降低解调和译码的复杂度，是系统实际实现时需要重点考虑的问 题，其决定该系统是否具有实用价值以及是否可实现。 本文通过对s c c p m 系统进行理论分析和性能仿真，试图找出不同的参数选 择对s c c p m 系统的误码性能的影响，并对不同应用要求下，参数的选择给出指 导意见。 介绍了一种简化c p m 的匹配滤波器接受的方法，该方法大大降低了实际系 统的实现复杂度，同时对系统性能几乎没有损失。 1 3 论文结构 第一章，简要介绍了s c c p m 系统的发展过程，首先介绍了级联信道编码的 发展以及t u r b o 码的出现。接着介绍了编码调制技术及其优点，从而通过将两者 结合引出了s c c p m 系统。 第二章，分析、介绍了c p m 调制及其分解，并提出使用隐马尔科夫模型 ( h m m ) 对c p m 调制解调进行统一建模，从而使用隐马尔科夫模型分析中的概 念及算法对c p m 调制解调和维特比译码算法以及b c j r 译码算法进行分析。 第三章，分析了s c c p m 系统的整体结构，后续的系统性能仿真就是基于该 系统结构的。介绍、分析了一种c p m 匹配滤波器的简化方法，该方法使得c p m 信号的解调复杂度大大降低，并且对系统的性能基本没有影响。 第四章，分析c p m 信号的最小欧氏距离和各参数间的关系。给出参数调整 第一章绪论 的方向。使用第三章所给出的s c c p m 系统结构，对其不同参数条件下的误码性 能进行了仿真分析。 第五章，对前四章内容进行总结，分析仿真结果，以及本文在仿真时没有进 一步进行研究的部分，指出有待继续研究的方向。 第二章c p m 数学模型分析 第二章c p m 数学模型分析 在本章中，我们首先给出了c p m 调制的定义，其恒定包络和相位连续的特 点都可以从其信号表达式和相位表达式中看出。其次介绍分析了c p m 调制的一 种分解方法。通过这种分解我们可以更加清楚的知道为什么说c p m 调制实质上 是一种编码调制技术。接着，我们提出了一个使用隐马尔科夫模型对整个c p m 信号的调制解调过程进行分析和建模的方法。通常我们是使用马尔科夫模型对 c p m 调制进行分析，但是，如果我们将c p m 的调制解调视为一个整体，并且将 其信号传输所经过的a w g n 信道包含进去，我们就可以使用隐马尔科夫模型 ( h m m ) 对其进行建模，分析。这样做的好处是，我们可以利用隐马尔科夫模型 中的概念和分析方法来分析c p m 的调制解调过程，并且将用于c p m 信号译码的 维特比算法和b c j r 算法解释的更佳直观明了，便于理解和分析。 2 1c p m 调制的定义 一个连续相位调制( c p m ) 信号，其表达式一般可以表示为1 】： m 川= 挎c o s ( 2 哟毗卅) ( 2 - 1 ) 其中， t p ( t , a ) = 2 万办q g ( r i t ) d f ；一o o t o o ( 2 - 2 ) 为携带信息的载波相位，口= 盟la o 倪l 是一个互不相关的无限长序列， 当该c p m 调制为m 进制时，其取值范围为： 口，= 1 ，3 ，( m 一1 ) ；i = o ，1 ，2 ，( 2 3 ) 其取各个不同值得概率均为1 m 。( 此处假设m 为偶数。) 为载波初始相位， 此处不是一般性，可以定义其为= 0 。e 为单个符号能量，t 是单个符号持续 时间，f o 是载波频率。从式2 - 1 可以看出，其信号幅度不随时间t 变化，s ( t ，口) 是一个恒定包络信号。从式2 - 2 可以看出，其相位是时间的连续函数，即c p m 信 号的相位是连续无跳变的。 在式2 - 2 中，h 代表调制指数，h 可以取任意正数，但在实际应用中，我们通 常限定h 表示为如下形式： 7 一 s c c p m 系统性能分析 h=kp(2-4) 其中k 和p 为互素的整数。 g ( f ) 是频率响应脉冲，它的积分g ( f ) 定义为相位响应脉冲。 g ( f ) = ig ( r ) d r ；一 f 0 0 ( 2 - 5 ) 因此，c p m 信号相位可以表示为： 缈( f ，a ) = 2 7 c h a , q ( t - i t ) - - o o i 时，脉冲g ( t ) 给c p m 信号引入了额外的附加记忆性。 2 2c p m 调制的分解 通过r i m o l d i 的论文( 彬，我们可以知道，任意的一个连续相位调制( c p m ) 都可以分解为一个连续相位编码器( c p e ) 和一个无记忆调制器( m m ) 的组合。 这样，我们就可以更好的理解为什么c p m 可以看作一个编码调制。 r乙 一r o f 三 f o f r ， 2 2 q ，(、 = 第二章c p m 数学模型分析 图2 1c p m 分解框图 为了实现上述的分解，作者引入了倾斜相位的概念，倾斜相位定义为： g ( t ，口) = 驴o ，口) + ：c ( 1 1 2 ) t l t ( 2 1 1 ) 并且定义更改后的输入符号序列为： = ( + 似- 1 ) ) 2( 2 1 2 ) 设于= 丁+ n t ，将式2 1 1 和2 1 2 带入式2 6 得： 一一l-i y + ，z 丁) = 2 万研m o d 尸 + 4 砌虬一q ( r + i t ) + w ( r ) m o d 2 z i = 0 i = 0 ，0 i ) 都通过连续相位编码器编码引入， 而后续只需要一个无记忆调制器进行简单的编码码字c 。和信号波形s ( f ) 的映射 即可。c p e 编码器的状态由 圪，玑一工+ l ，虬一+ 2 ，巩一1 决定，共有p m 厶- 1 个状 态。其输出的编码个数为p m l 个。经过m m 调制器映射后的信号波形也为 p m l 个o 2 3c p m 调制解调的隐马尔科夫模型建立和分析 由于c p m 调制本身就可以使用有限状态机描述，并且可以将其状态转移过 程画出一个网格图，因此，对c p m 调制的分析可以使用马尔科夫模型。这也是 对网格结构分析的通常方法。本节，提出将c p m 调制解调过程视为一个整体， 并通过隐马尔科夫模型( h m m ) 对其建模，分析。从而可以将隐马尔科夫模型分析 中的算法应用到c p m 调制解调分析中，而且可以使用隐马尔科夫模型更为简洁 明了的分析用于c p m 调制译码的维特比算法和b c j r 算法。 2 3 1 隐马尔科夫模型 马尔可夫过程可用于描述一个有限状态的随机过程，而h m m 则是对马尔可 夫的扩展，其描述的是一个双重随机过程，一个有限状态集合中的各个状态间的 pdom 吩 枇瑚 = 屹 第二章c p m 数学模型分析 相互转移是一个随机过程，不能被直接观察到，其随机性通过状态转移概率矩阵 描述。在各个状态转移的过程中，会释放出一个可被观察到的观察符号，这个符 号属于一个有限符号集合( 或者是无限的) 。这个可被观察到的符号的输出是一个 随机过程，其随机性由输出概率描述。一般而言，我们通常是需要通过这个可观 察符号，判断不可被观察到的状态转移。 这样一个h m 可以用一个五元组( s ，v ，a ，b ，万) 加以表示【4 】，其中： s 是一组状态的集合。s = l ，2 ，3 ，) v 是一组输出符号的集合。y = “，v 2 ，吃，) a 为状态转移概率矩阵。a = a 】，n 行n 列， 嘞= p r q 。= lq ；一l = 母，l i , j n ( 2 1 7 ) 表示在t - l 时刻处于状态q t l = f 的条件下，在t 时刻转移到状态吼= j 的概 率。 b 为输出符号的概率分布。b = p ，( 后) ， b j ( k ) = p r v kl 吼= ) ，l k m ，1 j n ( 2 1 8 ) 或者， b , j ( k ) = p r v k1q t l = f ；q ，= ) ，1 k m ，1 j n ( 2 - 1 9 ) 其中，式2 1 8 表示输出符号是从状态处输出的，即在状态j 时输出符号屹的 概率。式2 1 9 表示输出符号是在状态转移过程中进行输出的，即从状态i 转 移到状态j 的过程中输出符号唯的概率。 万为初始状态概率分布。万= 乃 ， 磊= p r q l = f ) ，1 i n ( 2 2 0 ) 表示时刻l 时选择某个状态的概率。 2 3 2c p m 调制解调的隐马尔科夫模型 针对c p m 分解后的这种编码器和调制器的组合，一般的，我们可以用状态 图( 马尔可夫链) 来表示。但是，如果我们将信号传输经过的a w g n 信道以及 匹配滤波器m f 包含进来考虑。这样，可以进一步将c p m 电w g n + m f 用一个隐 马尔可夫模型来表示，并且进行分析。 作为一个h m m ，需要具有两重随机性，对c p m + a w g n + m f 而言，第一层 随机性是由输入信息序列的随机性引入的，由于输入的信息序列是随机的，导致 1 2 _ 一 s c c p m 系统性能分析 c p e 编码器的状态转移也是随机的。第二层随机性是由于信号经由a w g n 信道 传输后，受到信道中的加性高斯白噪声的干扰而引入的，它表现为对接收端而言， 接收到的信号是一个随机信号。 首先，针对其第一层随机性进行分析，对于c p e 编码器而言，其实质上就是 一个卷积编码器，输入为一个信息符号u n ，输出为一个符号向量 c 乙= 圪，- l + iu n - l + 2 ， 虬书虬】。他具有= p m 卜1 个状态。各个状态之 间是否可达，可以通过状态转移矩阵来描述。 以二进制c p m 调制为例，输入符号导致状态发生转移，对应于虬= - - 0 ，虬= 1 的状态转移矩阵分别为： 乃= 三? ，乃= ? 三 c 2 2 ， 其中勺= 1 表示当输入乩= o 或= 1 时，从状态i 可以转移到状态j 。岛= 0 表示，输入为玩= o 或玑= 1 时，状态i 是不可能转移到状态j 的。 由于输入符号是随机的，由概率p r u = “硌，( f = 0 , i ，m 一1 ) 描述，c p e 编码器的状态的转移概率， p o ，i ，= 1 , 2 ，k ) 由输入符号的概率决定。状态转 移概率可以用矩阵形式表示为： r 肌叫 彳= 10 t0 2 ：一0 七l ( 2 - 2 2 ) i ：i l 见lp t 2 p 船j 它可以由状态转移矩阵乃，乙，和输入符号概率 p r u = “f ) ，( f = o ，1 ，m 一1 ) 求得。一般关系可用下式表示： m a = 毋霉 ( 2 2 3 ) _ 一 i = i 其中，吼= p r u = u ( i 一1 ) 。 对于二进制c p m 信号而言，其转移概率矩阵为， a ：陋劬l ( 2 - 2 4 ) l 吼吼j 给c p e 编码器输入一个信息符号阢，就可得到一个输出编码向量 e = k ，以出。，玑一m ，玑q ，玑】，将编码向量e 输入m m 调制器，映射得 到一个码元波形s o ) ，n t t ( 聆+ 1 ) t 。信号s ( t ) 经过信道传输后，在接收端 得到的受到噪声干扰后的信号y ( f ) = s ( t ) + ，z ( f ) ，n t t ( ，z + 1 ) t 。其中，z ( f ) 是均值为0 ，方差为n 2 的加性高斯白噪声过程。 第二章c p m 数学模型分析 1 3 对于第二层随机性，也就是输出观察符号的随机性，由输出符号概率描述。 c p m 调制的输出信号波形“( f ) ，f = l ，2 ，册，其中n = p m ，但是经过 a w g n信道传输后， 在接收端收到的信号波形 y ( t ) = j ( f ) + 聆( f ) ，n t t + 1 ) t ，是一个随机过程。y ( f ) 通过匹配滤波器后， 在仁( n + 1 ) t 时刻对输出采样，得到一个输出向量以= 【一， ，n 为匹 配滤波器个数。其中的元素一可以表示为： 或= + 嘭 ( 2 - 2 5 ) 设第j 个匹配滤波器的冲激响应为h j ( f ) ，可以得到： - ( 2 2 6 ) _ 符号表示做内积运算。是一个服从高斯分布的连续随机变量， 端发送信号为墨( f ) 的条件下，彰的均值为： e 【巧i 墨o ) = e s ：】+ e q 】 = + 0 = 方差为： ( 2 - 2 7 ) 在假设发送 ( 2 2 8 ) v a r y 7i 墨( f ) 】= e ( + 州) 一】2 ) = e ( 联) 2 】 ( 2 2 9 ) = n o 2 由上所知，随机向量儿= 以，露，】的概率密度可以用下式表示： 讹陬嘞= 高斋e x p 一虹一】( 2 珈， 其中，k 为协方差矩阵， = 研( 一一s j ：) ( 或一) 】 ( 2 3 1 ) m 一为均值向量，m 开= s ? ，s 开i l ，s ，】。 如果向量儿= 一，一，】中的各个元素之间互不相关，则其概率密度函数可 以改写为： 1 4 - 一 s c c p m 系统性能分析 讹陬嘞= 珥n 壁铲= e x p 【一一) 2 n o 对于接收端而言，发送端输入c p m 的信息符号是未知的，也就不知道c p e 编码 器的状态是如何转移的，唯一可知的是接收到的信号或者称之为观察符号少( f ) 。 或者也可认为是通过匹配滤波器后的输出值采样所得观察向量 以= 以，9o o o ，, 】。 状态转移概率矩阵=r三pll主p12：pl,a， ii 状态转移概率矩阵 = l2 - 擘：一0 i ， i ：i 、- p n 、p n 2 p n n 此处，需要特别注意输出符号的概率分布计算。前面描述的隐马尔科夫模型 中，输出符号认为是有限多个，因此可以用离散概率分布来描述其随机性。但在 c p m 信号分析中，我们发现此时的输出符号为一个连续的随机向量，因此，我们 需要用概率密度函数来描述其随机特性。所以此处，6 ：f ，( j ，。) 不再是概率分布，而 是概率密度函数，。并且该符号是在状态转移过程中输出的。此时的巍，( y 。) 的计 算如下式： 232 2 、 厅 - 一 第二章c p m 数学模型分析 其中， ( 儿) = p r 饥lq t l = f ，q t = 办 r = 厶( 以f o ) ) ( 2 - 3 3 ) m = l ，l i ，j p m n = p m 0 ，l i ，j _ p m 卜1 ( 2 - 3 4 ) 厶( 以i s m ( f ) ) 由式2 - 3 0 或式2 - 3 2 给出。 式2 3 3 中，c | ：称为混合形式系数，其含义为从状态i 转移到状态j 的过程中，输 出信号( f ) 的概率。注意，此处的s m ( f ) 并不是输出观察符号。又因为，c p e 编 码器输出码字c 埘和m m 调制器输出信号j 册( f ) 是一一对应的。所以： = p r 溉( f ) i 吼- l = ，q t = 办( 2 - 3 6 ) = p r gf q t l = f ，吼= j ) 以图2 3 为例： 两u = o c ：0 0 双叶1 ) 图2 3 m = 4 , h = 1 3 ，l = i ，c p e 编码器部分状态转移图 如图所示，此c p e 编码器网格图中含有3 个状态，4 条边，每一条边对应一 个输入符号u n 和一个输出符号c n 。状态的转移概率由输入符号的概决定。此处 注意，两个状态i ，j 之间是否可达，有状态转移矩阵t 描述，乙= 1 则i ，j 可达， t ，= 0 则i ，j 不可达。在确定i ，j 两个状态可达的条件下，在t = n t 时刻从状态i 转移，在仁( n + 1 ) t 时刻到达状态j 这个过程发生的概率由输入符号u n 的概率 p r u n = u i ) 决定。如图，在状态i 和j 之间可能有多条边。而每条边对应着不同 的输出符号，因此输出符号c n 的概率p r c n = c jlq “= f ，q t = ) 由概率 p r u n = u i l 和这两个状态间的边的个数决定。此处假设输入符号是等概的。以 状态i = o ，i = 0 为例，则： 习 0 伫 蹦 = = 稍 且 1 6 - 一 s c c p m 系统性能分析 p r 白= o o | 吼一一= 。，吼= 。) = 丽石p r 而 u n 丽= 0 = 1 2 p r 锄= 。3iq , - t = o , q , = 0 ) = 丽石p r 而 u n 丽= 3 = 1 2 p r c n = 1 1lq t l = o ，吼= 0 = 0 p r c n = 2 2iq t l = o ，吼= o ) = 0 满足，40 = 1 2 + 1 2 + 0 + 0 = 1 ，其他c p m 信号可以以此类推。 2 4 维特比( v i t e r b i ) 算法及b c j r 算法分析 维特比m t e 而i ) 算法和b c j r 算法都是用于对网格结构的编码器进行译码的 算法，然而二者遵循的译码准则是不同的。维特比算法是基于最大似然准则( m l ) 进行译码的，其使得译码后的序列的差错概率最小。而b c j r 算法【5 】是基于最大 后验准则( m a p ) 进行译码的，其使得译码后的符号( 或b i t ) 的差错概率最小。 c p m 调制可以分解为c p e 编码和m m 调制，接收端首先通过匹配滤波器进 行解调，然后可以通过维特比译码或者b c j r 算法进行译码。下面，我们通过隐 马尔科夫模型对维特比算法和b c j r 算法进行分析，首先我们需要给出一些定义 和算法以便后续讨论中使用。 2 4 1 向前算法和向后算法 设用h m m 描述的c p m + a w g n + 的系统为a ( s ，v ，a ，b ，万) 模型，考虑接 收端收到一个接收序列：y j ，y 2 ，儿。我们需要计算接收到该序列的概率 p r 乃，奶，以l 彳) 。一个最直接的想法就是通过穷举所有可能的状态转移序列 从而计算观察序列y j ，y 2 ，以的概率，然而由于这么做的计算量过于庞大，而 使得其没有实际应用意义。此时，我们考虑几种有效的计算方法。 一向前算法： 首先，我们需要定义一个向前变量吼( f ) 。 吼( f ) = p r y j ，y 2 ，只，q t = fi 旯 ( 2 3 8 ) 其含义为，在给定模型见的条件下，在时刻t 时，位于状态i ，且接收到的部分观 察序列为乃，儿，只的条件概率。 易得， 第二章c p m 数学模型分析 ( ) = 乃( y j ) ，1 f ( 2 - 3 9 ) i = l 由图2 4 我们可以得到： a t + i ( ) = a t ( i ) a u 6 ：c ( 以+ j ) l f ( ，l 一1 ) ，i j n ( 2 - 4 0 ) t + l 呸( f )+ 。( 歹) 图2 4 向前算法示意图 由此，我们可以总结向前变量的迭代计算方法： 1 初始化计算a l ( ) = r f i a i j b u ( y j ) ，1 sisn i - - i 2 迭代计算a t + l ( ) = e a t ( i ) a u b v ( y t + j ) 1 f ( ，z 一1 ) ，i j n i = l 3 终止计算p r y ，儿，以ia ) = ( f ) i = l 二向后算法 此处，特别提出，如果仅仅为了计算概率p r j ，j ，y 2 ，以l 旯) ，只需要向前 算法就可以了。向后算法的作用将在后面给出。当然，向后算法也可以用于计算 概- g p r y l ，儿，以i 兄 。 定义向后变量为： f l t ( i ) = p r y , + j 只+ 2 ，以iq ，= f ，旯) ( 2 - 4 1 ) 其含义为，在给定模型兄，且时刻t 时位于状态i 的条件下，部分接收观察序列 为只+ j ，只+ 2 ，此的条件概率。 1 7 s c c p m 系统性能分析 如果假设在时刻t = n t 时，c p e 的状态总是回归到固定的状态i 。可以得到， 尾( f ) = 1 ( 1 f 加( 2 - 4 2 ) 如果c p e 在时刻t = n t 时的最终状态不确定，则 孱( f ) = 1 n ( 1 f m ( 2 - 4 3 ) 由图2 5 可以得到： 屈( f ) = a o b v ( y , + j ) 屈+ l ( ) 1 f ( 2 - 4 4 ) t + l 层( f ) 层+ ，u ) 图2 5 向后算法示意图 我们可得向后算法的迭代计算方法： 1 初始化计算尾( f ) = 1 ( 1 f ) 或尾( f ) = 1 n ( 1 f ) ， 2 迭代计算屈( f ) = 口 ，( j ，州) f i t + l ( ) l i 0 ，因此，该矩阵也是一个厄米特正定矩阵，在实空间是 人= p d p 。 ( 3 i s ) 州一”廿e f 3 - 1 9 ) d 为特征值矩阵， 似0 、 d = l ；l ( 3 2 0 ) l0 九j“ 由于这n 个信号 s o i ( f ) ，f = 1 ，2 ，n ) 相互线性对立，且矩阵a 是厄米特正定的， 可知，n 个特征值 五，f = 1 ，2 ，m 各不相同，且都为非负的实数。由式3 1 8 可知，矩阵a 和矩阵d 相似。又由于矩阵p 是酉矩阵，即p = p 日，因此矩阵 人和矩阵d 是合同的。 人= p 卯爿 ( 3 2 1 ) 对于同一空间的不同基下的度量矩阵是不同的，设 馈( f ) ，z = l ，2 ，) 为该 空间的另一组基，在其下的度量矩阵设为b 。且它和 s o ，( f ) ，f = l ，2 ，n ) 的过渡 矩阵为c ，可知矩阵b 与矩阵a 之间的关系可以表示为： l、， ? ： s c c p m 系统性能分析 b = c a c( 3 2 2 ) 由式3 - 2 1 和式3 - 2 2 可知，特征值矩阵d 可视为另一组基下的度量矩阵。特征向 量矩阵p 就是两个基的过渡矩阵。设这组基为 仍( f ) ，i = l ，2 ， ，可得： 觇( f ) ，仍( 矿) ，q , a t ) ) = s o l ( f ) ，s 0 2 ， r ( f ) p ( 3 - 2 3 ) 仍( f ) = ) 嘞 ( 3 - 2 4 ) 且d 为对角矩阵，易知这组基是相互正交的。即这组基为一组正交基。 r 仍c 力纺o ，+ 出= 置，：三乡 c 3 - 2 5 ， 由式3 - 2 5 可知，特征值丑即为基信号仍( f ) 在持续时间内的信号能量。如果对这 组基信号进行能量归一化处理，即令： “( f ) = 百1 纪( f ) ( 3 - 2 6 ) 、以 使得： 胁愀胁= 协舅 p 2 7 ， 从而得到该信号空间的标准正交基 识( f ) ，i = 1 ，2 ，) 。 上述过程就是信号空间基的标准正交化： 计算原始基信号 s o ，( f ) ，i = l ，2 ，n 的互相关矩阵a 。 对a 进行特征值分解得到a = p d p 。 使用过渡矩阵p ，由式3 - 2 3 求得新的基信号集 仍o ) ，i = 1 ，2 ，n 。 由式3 - 2 6 进行归一化计算，得到标准正交基 识( f ) ，i = 1 ，2 ， 。 在接收端，如果匹配滤波器的冲激响应匹配于该组标准正交基，则式3 1 5 应 改写为： k 儿g 。i m ：) ( 彰一m 】 = ( n o 2 ) i i 7 1 r 红( f ) 乃p ) d ? ( 3 - 2 8 ) l0 ，i 【n o 2 ，i = 歹 即匹配滤波器输出的向量儿的各个元素间互不相关，使得y 月的条件概率密度可 以由这n 个元素的条件概率密度的乘积表示。因此，式3 1 4 可以写为： 第三章s c c p m 系统分析 厶( 只i & o ) ) = 兀厶( l 置( f ) ) = 垂一 仔2 缈 e x p 卜( 一) 2 眠】 仞n o ) 肌 这样就大大简化了计算，不再需要计算协方差矩阵k 的逆。但是如果c p m 调制 的参数m 和l 较大时，匹配滤波器的个数n = m l 也将很大，计算仍然复杂。 我们需要进一步减少匹配滤波器的个数。注意，此时的匹配滤波器不再是匹配于 c p m 调制信号，而是匹配于标准正交基信号 谚( f ) ，f = 1 ，2 ，奶。 减少滤波器的个数，相当于使用较少的维数来描述一个信号点。例如我们使 用k 个滤波器来进行信号接收解调( k n ) ，就相当于只用了这个n 维信号空间 中的k 个维度来表示该信号点，或者说是将这个n 维的信号点投影到一个k 维 的超平面上。形象的解释就是用一个二维坐标表示一个三维空间中的点，即将一 个三维空间中的点投影到一个二维平面上。这样必将引起信号的失真，但是如果 我们能够从n 个基信号中挑选一组k 个特别的基信号来近似表示原信号s ( f ) 。 一 玉 t ( f ) = 黾哆0 ) ，i = 1 ，2 ，n ( 3 - 3 0 ) 净1 此处， 劫= n ( f ) 谚( f ) d t ( 3 - 3 1 ) 因此可以得到整个信号集 ( f ) ，f = 1 ，2 ，册的残余误差能量为： ；= 艺r t ( f ) 一莉 2 d t ( 3 - 3 2 ) i = 1 由e c k a r t - y o u n g 定理f l o l ，我们可以得知，如前述的信号正交方法所得的标准正交 基信号 秭( f ) ，z = 1 ，2 ，奶中，取出k 个特定的基信号来近似表示信号s ( f ) 时。 在使得残余误差能量最小的标准下，这种正交化方法是最佳的。这k 个基信号即 n 个正交基信号 仍( f ) ，_ f = l ，2 ，册中信号能量五最大的k 个。此时，最小的 误差能量为： ( 3 3 3 ) 此处的( n k ) 个以的数值为较小的( n k ) 。关于剩余误差能量的严格推导请参 以 珊 = ， i s c c p m 系统性能分析 看论文【l o 】。 因此，减少匹配滤波器个数，且正交化的步骤总结如下： 计算原始基信号 f o ) ，f = 1 ，2 ，) 的互相关矩阵a 。 对人进行特征值分解得到a = 聊叫。 挑选出d 中最大的k 个特征值在矩阵p 中对应的k 个特征向量，组成一个 新的过渡矩阵尸。 使用过渡矩阵p ，由式3 2 3 求得新的基信号集 仍( f ) ，f = 1 ，2 ，k ) 。 由式3 2 6 进行归一化计算，得到标准正交基 谚( f ) ，f = 1 ，2 ，k 。 使用上述匹配滤波器的简化方法，可以大大降低儿的条件概率密度的计算复 杂度，而且使用简化后的匹配滤波器对s c c p m 系统的误码性能不会有明显的影 响。 第四章s c c p m 性能仿真分析 第四章s c c p m 性能仿真分析 3 l 在第三章所述系统的基础上，u p # l - 编码器使用卷积编码器，对应4 进制c p m 调制和8 进制c p m 调制，分别采用1 2 和1 3 编码速率进行外编码，交织器采用 符号交织。交织深度等于一帧长度n = 1 0 2 4 。所用的信息符号随机产生，仿真采 用优选码字序列，即从随机产生的符号中选取使得外部卷积编码器和连续相位编 码器的终止状态