（基础数学专业论文）自相似集的分离条件.pdf

硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 摘要 本文主要研究r d 上的具有重叠结构的函数迭代系统( i f s ) 的分离条件，例如有 限型，弱分离等。并对此领域的主要成果进行了系统地梳理，其中也不乏问题和猜 想。 关键词：自相似集；开集条件；有限型；广义有限型；弱分离；p c 涤件 i a b s t r a c t t h et h e 8 i sm a i n l ys t u d i e si t e r a t e df u n c t i o ns y s t e m s ( i f s s ) o f c o n t r a c t i v es i m l l _ i t u d e sw i t ho v e r i 印si ns e p a r a t i o nc o n d i t i o n ，f o ri n s t a n c e ：f i n i t et y p e c o n d i t i o na n d w e a ks e p a r a t i o np r o p e r t ya n ds oo n w ea l s og i v es y s t e m i cc o m b sa b o u tm a l n r e s u l t si nt h i sf i e l d ，i n c l u d i n gp r o b l e m sa n dc o n j e c t u r e s k e vw o r d s ：s e l f - s i m i l a rs e t ；o p e n s e tc o n d i t i o n ；f i n i t et y p ec o n d i t i o n ，g e n e r a l i z e d f i n i t et y p ec o n d i t i o n ；w e a ks e p a r a t i o np r o p e r t y ；p c fc o n d i t i o n i i 博士学位论文 d o c t o r a ld i s s e r i 蜘o n 华中师范大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立进行研究工作 所取得的研究成果。除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或 集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体，均已在 文中以明确方式标明。本声明的法律结果由本人承担。 作者签名：丧国王尚 日期p c i 年，月2j 日 i 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借 阅。本人授权华中师范大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进 行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。同意华中 师范大学可以用不同方式在不同媒体上发表、传播学位论文的全部或部分内容。 作者签名：壶国三 日期：p 。爷j 月叁日 导师签名： 僻l f 易 日期：叫年f 月啤日 本人已经认真阅读“c a l i s 高校学位论文全文数据库发布章程，同意将本人的 学位论文提交“c a l i s 高校学位论文全文数据库中全文发布，并可按“章程”中的 规定享受相关权益。圃童诠塞握童后进卮；垒生；旦二生；旦三生筮鱼! 作者签名：丧国瑞 日期：伽坼r 月3 1 日 j 导师签名：倚乞k 日期：渺1 年厂月2 ，仁日 ： 硕士学位论丈 m a s t e r st h e s i s 第一节引言 在酞d 上定义 & 墨。如下 & ( z ) = p i 冠z + 玩，i = 1 ，( 1 1 ) 其中，0 p i 0 。其中，q 表示 最 磐l 的自相 似维数； 似，恒等映射记不是集合= s 7 1o 岛：毫，j f + ，i 毋的聚点。其中，在则中 相似映射集合上定义范数吲i = s u pl 夕( z ) i ； 俐存在正整数f 使得对于吸引子k 的每一块k ( 主+ ) ，不妨设托的直径为，存 在至多f 块满足主差曲差霉巧直径大于e ；d ( k ，妫) e 有关定理3 2 的证明及其具体讨论请参看 6 】， 1 0 】： 1 1 】， 1 3 】，【l s ，【1 9 】： 虽然 对于o s c 的研究很多，但关于开集p 的讨论却相对很少，接下来给出两个关于开 集d 的结论。 定理3 3 & ) 丝1 关于开球b ( x ，r ) 漱o s c 等价于 sr m z ( 3 1 ) 其中，m 正= m i n i ，j e e ；i 匀 箜掣j 耽= m 。盈e 掣) 证明：直接将b ( x ，r ) 代入定义3 1 中即可得到结果。 口 b a n d t ，n g u y e n 和r a o 在【7 】中引入中心开集( c e n t r a lo p e ns e t ) k = 【z ：d ( x ，k ) d ( x ，日) )( 3 2 ) 其中日= u i j e ，i j 簟1 j 5 j ( k ) 并得出以下结论： 定理3 4 假如f & ) 墨l ；蔼足o s c ，那么f5 ：f ) 墨i 关于开集k 满足d s c 。若 & ) 磐l 不 满足d s g ，那么k 为空集。 4 第四节有限型( f i n i t et y p ec o n d i t i o n ) 与b r 一有限 型 关于具有重叠结构的自相似集的研究中，最早由r 凸。和e n 在 2 1 】中引入有 限型，随后n g a i 和w a n g 在【2 】中从另外角度引入并讨论有限型。类似的工作还 有b a n d t 在f 7 1 中，但相比较而言n g a i 和w a n g 的结果更为广泛，尤其是关于满足有 限型的自相似集的维数计算问题给予了彻底回答。 首先我们介绍n g a i 和w a n g 的有限型。 定义：对于忌= 0 ，1 ，2 ，3 ， 仳= i = ( i l j 一i n ) e + ：p i p 七 尥，那么存在i 朋七，使得i 冬歹 心) 存在正整数三伟尼无关夕，使得对于所有满足i a d k , 歹朋七+ 1 且主! 参我 们有捌一l i i l 。 给定一列网指标集 m 七 芒o ，对于每个克n ， 定义为关于m 七的顶点集( u e 7 统c e ss e t ) ： = ( ，o ) ；= ( s ，k ) ：i m 七) ( k 1 ) ( 5 3 ) ( j ，o ) 称为根点( r o o tv e r t e x ) ，并用v 表示，v = u 。 注意：v = ( s ，七) 氓我们定义& = s 且p 、，= p l 。而v = ( s ，七) = ( 曷，k ) r i j ， 这是有可能的。 给定1 s ) 墨。的非空有界不变开集q 。v ，v 7 ( 有可能v = 一) ，如果s ( q ) n & ，( q ) d ，则称v 与v 7 关于q 是邻居( 扎e i g 6 0 r s ) 。而q ( v ) = 【v 的所有邻居】定义 为v 的邻域( n e i g h b o r h o o d ) 。 接下来在v 上定义关于q 的等价关系。 定义5 2 两顶点t ，t ，忱，称为等价的( t ，一) ，如果对于7 = o 嚣1 ：r d _ r d ，满足以下条件： 7 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s ( 1 ) s i i ，；o q ( ) ) = 7 - o & ；u q ( ) j 俐若牡q ( 口) ，o q ( ) 使得= 7 o 瓯，且对于任意正整数2 1 ，若有i 。满 足( & os i ，七+ 2 ) + 2 当且仅 - 3 满足( o 鼠，七+ 2 ) ，+ l 。 【v 】定义为v 关于q 的等价类。 接下来我们在y 上定义两个无限有向图9 和9 r 。 9 中的顶点和有向边分别定义如下：取v v k ，u + 1 ，若存在i m 七，j m 七+ 1 ，l e 。，使得v = ( ，七) ，u = ( 岛，七+ 1 ) ，j = ( i ，1 ) 。那么我们连一条从v 至t j u 的 有向边l ，记为v lu ，并称v 为u 在9 中的一个父母( p a r e n t ) ；u 为v 在乡中的一个后 代( o f f s p r i n g ) 。定义为以上所有的有向边集，进而够= ( y ，) 。 进一步，在9 的基础上定义它的简化图靠( r e d u c e dg r a p h ) 。 首先，去掉依字典顺序最小边之外的其他边。具体地，对于给定的u + l ， 所有m a t h c a l v k 中满足v 。- - - ! 。u ，( s = l ，m ) ，假定z l 2 2 2 m ( 依字典顺 序) 。那么仅保留2 ，而去掉其他剩余边。下一步，去掉所有没有后代的顶点以及连 到它的边。最终得到有向图9 兄= ( ，靠) 。 定义5 3 如果存在非空有界不变开集q 关于某一列网指标集 朋七】芒。使 得f y 一：t ，y 】为有限集，则称i f s 或吸引子是广义有限型， ( g e n e r a l i z e df i n i t et y p ec o n d i t i o n ，简记为g f t cj 。而q 定义为吸引子k 的一 个基础集( 6 n s i cs e t ) 。 接下来引入广义有限型中的的枢纽性命题。 命题5 4 简化图鲰中两顶点口恢，比，他们的后代分别为u 1 ，u r n ，和 嵋，叫假定【切= 【卅， q ( 口) = 田，口l ，t h ) ；q ( 衫) = 【，吐，t 厶) 且。= ro & ，0 j n ，其中下= o 靠1 。 那么以下结论成立。 以j0 i ，j 扎，根据“一”的定义，若i l ，1 i 2 使得： 耽_ 乱t l ， 吩_ 电t l ，； _ 乱o ，哆一赴t l ， 那么t 正= t d 当且仅当o = t t ，；牡，伽为邻居当且仅 - 5o ，t t ，为邻居。即t ，的邻域元素 的后代与邻域对应元素的后代同构 俐 【】：1 i m 】= 】：1 i z ，且m = z 即可，t ，后代的等价类是 相同的。 8 ： 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 上述命题的证明比较容易，参看f 1 】。 下面来介绍广义有限型的维数及其计算。 定理5 5 若r d _ e i f s s ，篓l 的吸引子k 是广义有限型，k 是关联矩阵 ( a s s o c i a t e dw e i g h t e di n c i d e n c em a t r i x ) a a 的谱半径。 那么： d i m s ( k ) = d i m h ( k ) = 理 其中口是使得k = 1 的唯一实数，且0 0 ，那么( & o & ，七+ z ) u 州”( 2 ) 成立。再根据有限型的定义知 鼠 墨l 是广 义有限型。口 实际上有限型也有有向图，并且和广义有限型的有向图构造一样。而有限型和广义 有限型区别仅在于网指标集上。 例5 7 【s 冬l 是才日似压缩的，f s ，且 研( z ) = 三z ，& ) = 一主z + 五1 ，昆( z ) = 三z + 互1 ，& 。) = 互1 z + 主 取不变集q = ( o ，1 ) ，和m = a 1 = ( 1 ) ，( 2 ) ，( 3 ) ，( 4 ) ，则 = ( s l ；1 ) ，( 岛；1 ) ，( 岛；1 ) ，( & ；1 ) ) 1 0 定义五= t i r 删】，v 1 中的四点分别定义为t ，1 ，忱，。易知协一d o ，啦一t i r 。，还 有l , j 1 一t 1 2 互定义为 q 】在鸟r 中生成两个互型和两个正型的后代。我们用以下符号 来表示： 五一2 五十2 磊 0 1 在9 中生成四个后代，它们的字分别是( 1 1 ) ，( 1 2 ) ，( 1 3 ) ，( 1 4 ) 且都包含在人2 里，且他 们的型分别是正：磊，五，五。忱生成( 2 1 ) ，( 2 2 ) ，( 2 3 ) ，( 2 4 ) ，它们同样也包含在人2 里。 然而 s 1 2 = 岛4 ，s 1 4 = & 2 因为按字典顺序( 2 ) ( 4 ) ，则在构造的过程中我们保留( 1 2 ) 去掉( 2 4 ) ；保留( 2 2 ) - - t - 掉( 1 4 ) 。因此我们得到 互一五+ 2 正 通过以上说明可以看到 最 叁l 是有限型，当然也是广义有限型。 实际上我们也可以通过图表去观察型的生成问题。 注：此倒不满足开集条件，因为& 2 = 4 但是它满足有限型于广义有限型，因 为s 1 2 = 鼢。 1 1 第六节 弱分离条件( w e a ks e p a r a t i o np r o p e r t y ) 自相似集的弱分离条件最早是由l a u 和n g a i 在 9 】中引入的，而z e r n e r 在 4 】中给予了详尽的讨论。我们首先引入弱分离条件的定义。 r d 中 f s & 篓l ，其中s ( z ) = p i 兄( z ) + 玩对于k 0 和0 b 1 ，定义 l 6 = o = 0 1 ，j n ) + ：岛b 办。h 一，) a = 【岛：j n b ( 6 1 ) ( 6 2 ) 定义6 1 对于删中压缩的相似i f s s 墨1 ，如果存在z o 则；l n 使得任 给主。和以6 ( o b 1 ) 为半径的闭球b ，满足 社 so & ( z o ) b ：s a ) f( 63 ) 那z 一一叭u i ，江n l 满足弱分离条件( w e a ks e p a r a t i o n 印e r 坷简称彬s 驯。 件。 在 4 d o z e r n e r 给出了s 尸的几条等价条件，我们选取以下比较实用的一个条 定理6 2 如果吸引子k 不在一个超平面( h y p e r p l a n e ) 内，那么w s p 等价于恒等 映射是= 野1o 岛：t 歹。，i 田的孤立点。其中在r d 中相似映射集合上定义 范数i i 夕l i = s u pl t 9 ( z ) 1 i = 1 1 目前满足w s p 的自相似集的维数计算问题仍没有统一的结果。但仍然有一 些w s p 维数的结果，例如：满足w s p 但不满足o s c 的自相似集的h a u s d o r f f 维 数严格小于它的自相似维数等。 定理6 3 如果自相似集k 满y , _ w s pe l h a u s d o r f f 维数为空间维数d ，则k 包含 内点，且币= k 。 由此，基于上述定理我们猜想： 猜想6 4 对于一般的自相似集k ，如果其h a u s d o r y f 维数为空间维数，那 么k 是否包含内点? 1 2 第七节p c f 条件 对于i = i l i 2 e o o , 位移算子盯定义为仃( i ) = i 2 i a i f s 鼠) 些l 的吸引子为k ，定义 c k = u( s ( k ) n 岛( k ) ) ( 7 1 ) c = 7 - - 1 ( c k )( 7 2 ) 定义7 1 若p = u ：l 矿( c ) 是有限集，则称，f s s ) 墨l 满足条件p c 厂条 件( p o s tc r i t i c a l l y i n i t e ) 。 命题7 2 如果i f s 最) 些l 满足p c f 条件，那么c ，c 有限且存在正整数，z ，使 得对于任给主c ， 盯( 司以z 为周期。 证明：假如c 无限，则c 无限，进而p 无限，矛盾，则c 有限。另外，易知c 有 限，对于任给i = i l i 2 c ，u ：1o - n ( i ) 有限，则存在正整数7 和f 使得仃以z 7 为周 期。由于4 c 有限，f 分别取所有n 7 的最大值，2 7 的最小公倍数时，任给i c ，仃( i ) 以 为周期。 口 满足p c ，的自相似集如 & ( z ) = 互1 z ，( z ) = ；z + ； ； & ( z ) = ；z ，岛( z ) = z + ； ；s i e r p i n s k i g a s k e t 等。 p c ，方面的研究具体请参阅 3 】j 1 2 】o 1 3 第八节o s c ，f t c ，g f t c ，w s p ，p c f 之间的关系 以上三至七节我们已详细讨论了自相似集的众多分离条件，在这一节中我们 将讨论它们之间的关系，并且提出此领域仍然未解决的问题，并附以作者的想法。 为了简便，在这一节中众多条件我们采用它们的简写符号，例o s c 表示开集 条件。 定理8 1 0 s c g f t c w 7 s p ；f r c g f t c 证明：( 1 ) o s c g f t c ； q 取开集条件的开集：m k = 七：七0 对于每一个v ，其中 = ( & ，1 ) ：1 i ) ，由开集条件知q ( v ) = v 取丁= io ，1 ，则丁os v = i ， 由此推出v 一( i ，0 ) = v ，d 0 t 。由命题5 4 知v 一= 【v r t 】，c f t c 条件满足。 ( 2 ) g f t c w s p ； 我们仅陈述一下大致的证明思路，具体请参阅 1 】，【5 】，实际上【l 】，【5 】的证明思想 类似。 将满足w s p 条件归结为：存在z o r d 使得5 = s a b ：z o s ( q ) 为有 限集。再将s 中元素s 都压到同一阶( 关于 m 七 或者 a 七 ) ，得到比如说中的某一 顶点v 的邻域，而由g f 赆可知9 r 中任一顶点v 的邻域是有限的，从而证明了以上结 论。 ( 3 ) f t c g f t c 9 命题5 6 口 命题8 2 如果，f s s ) 墨1 关于非空有界不变开集q 满足d s c ，并且 p 1 ，仇，) 】- 可指数公度，那么 & ) 些l 关于q 是f 彤 证明：( p 1 ，p 2 ，p ) 可指数公度，那么 p 一七功：j a k ，惫o ) 是有限集。 最) 丝l 满 - z o s c ，! i l uj 5 1 i ，( j 札) 互不相交。对于q ( v ) ( v 坛) ，仅包含) 中的唯一点v 对 于j a k ，j 人七，p - k p j = p - k 伤，等价于存在7 - ( 。) = f l k - k m x + b ，m 为d d 正 交矩阵；6 r d ，使得5 1 i ，= 丁oj 5 1 j 。因此q ( v ) 有有限个等价类。所以： ，t q z l j i ：l 关 于q 是f t c 。口 命题8 3 如果吸引子k 不在一个超平面内，那么k 满足o s c 等价于满足w s p _ e i j ( 主，歹e 。) 证明：由定理3 2 ( 4 ) 及定理6 2 很容易得出结论。 口 在定理7 1 中我们已经说明c f t c 属于w s p ，而对于一般的w s p 却不一定有c f t c ， 我们给出以下反例： 最= p l q z ，i = 1 ，2 ，其巾0 p 1 ，冗l ，飓为不可公度正交 14 矩阵( i n c o m m e n s u r a b l er o t a t i o n s ) 。此，f s 的吸引子为o ：取z o = 0 ，由定义6 1 知它 满足w s 尸。而任取一列网指标集 m 七 芒。和任一开不变集q ，总有一列邻域使得邻 域中元素的个数趋于无穷。因此此i f s 不满足w s p 。 而对于以下问题是否成立我们仍不知道( 见 1 】) 。 问题8 4 如果吸引子不在一个超平面内，w s p 是否等价与g f t c 尹 猜想8 5 如果4 s ( k ) n 印( k ) ， 。o ，其中o i j n ，那么 & ) 丝1 满 足d s c 穸 上述猜想是口鲫；出和r o d 在 8 】中提出的，并且在这篇文章中证明了一种特殊的 情况：如果自相似集k 是孵平面上的连通集( c o n n e c t e ds e t ) ，那么上述猜想成立。 但对于更高维空问上仍然不知是否成立，而这方面文献仅此而已，但在【8 】中他 们猜想在更高维空间不成立。 以下猜想是上述猜想的特殊情况。 猜想8 6 对于p c ，的自相似集k 是否i 禹& o s c ? 对于此猜想我们有以下结论。 命题8 7 p c ，的自相似集k 若不在j 个超平面内，那么以下条件等价： ( 1 ) k 满疋o s c ； ( 2 ) k 是g f t c ； ( 3 ) k 满足w s p 。 证明：k ；足z p c f ，那么对于i ，j e 。且i j ，一定有最岛若存在i j 而s = 岛，那么 1 j jj 11 jj 1 11 j 都为& 和舀不动点的字，这与p c ，矛盾。 再由命题8 3 知：在以上条件下k 满足o s c 等价于k 满足w s p 。而由c f t cc w s p 知( 1 ) ，( 3 ) ，( 4 ) 等价。 口 1 5 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 实际上类似问题还有p c ，b r - 有限型? 我们在这里不再讨论此问题，具体请参 看 1 4 】，还有 1 5 q 口t g 有涉及。 有关p c f o s c ? 的工作并不多，l a u 和d e n 9 在【3 】证明了如下较好的结果， 命题8 8 对于p c ，的自相似集k ，如果满足 优坛) 墨l 可公度，那么k 满 足d 。s c 。 矩阵集 a 磐l 可公度( c d m m e 扎s 仳r d 6 z e ) 意为：存在矩阵a 使得a i = a “，其 中啦n 。 上述命题的大致证明思路是利用反证法否定定理3 2 ( 4 ) ，其证明方法还是比较 初等的，具体请参看【3 】。 s 鉴l 的矩阵可公度蕴含这【风) 墨，可指数公度，再由命题8 2 知如下结论： 命题8 9 对于p c ，的自相似集k ，如果满足_ 【成坛 墨1 可公度，那么k 是f t c 。 关于猜想8 6 t i p 使是对于以下如此特殊的条件我们仍不知其是否成立： 曲，岛 是p c f ，s l ( g ) n ( k ) = n ，且7 r - 1a ) = 1 2 2 2 ，2 1 1 1 ) ，那 么 岛，岛) 是否满足o s c ? 例子：s l ( x ) = ；z ，岛 ) = i x + j 1a 满足以上条件，9 r 满2 ：o s c 。 在文章的最后我们提出此研究领域的其它一些问题： ( 1 ) 论文中的f t c 已经被d a s 和n g a i 在论文 2 0 】中应用g r a p h d i r e c t e d 上了， 那么g f t c 暑h b r 一有限型是否可以延伸至- i j g r a p h d i r e c t e d 上来? ( 2 )f t c 与b r 一有限型更深层次的关系? ( 3 )如果吸引子分别满足f t g ，8 r 一有限型，g f t c ，w s p ，是否有 何q ( kn ) = 0 ( i 歹) ? ( 4 )如果吸引子满足定理3 2 ( 5 ) 晨否意味着7 r q ( z ) ( z k ) 是关于某一 个m n 一致有界的? ( 5 ) n g u y e n 在 1 5 】中介绍了网分形( n e tf r a c t a l s ) 是满2 = p c f 条件的，那么网 分形是否满足d s c 呢? 1 6 参考文献 s m n g a i ，k 一s l a u ，ag e n e r a l i z e df i n i t et y p ec o n d i t i o nf o ri t e r a t e df u n c t i o n s y s t e m s ，a d v a n c e si nm a t h e m a t i c s2 0 8 ( 2 0 0 7 ) 6 4 7 6 7 1 2 】s - m n g a i ，y w a n g ，h a u s d o r f fd i m e n s i o no fs e l f - s i m i l a rs e t sw i t ho v e r l a p s ，j l o n d o nm a t h s o c ( 2 ) 6 3 ( 3 ) ( 2 0 0 1 ) 6 5 5 6 7 2 【3 】q r d e n g ，k 一s l a u ，o p e ns e tc o n d i t i o na n dp o s t c r i t i c a l l yf i n i t es e l f - s i m i l a r s e t s ，n o n l i n e a r i t y2 1 ( 2 0 0 8 ) 1 2 2 7 1 2 3 2 【4 】m p w z e r n e r ，w e a ks e p a r a t i o np r o p e r t i e sf o rs e l f - s i m i l a rs e t s ，p r o c a m e r m a t h s o c 1 2 4 ( 1 9 9 6 ) 3 5 2 9 3 5 3 9 【5 】n n g u y e n ，i t e r a t c df u n c t i o ns y s t e m so ff i n i t et y p ea n dt h cw e a ks e p a r a t i o n p r o p e r t y , p r o c a m e r m a t h s o c 1 3 0 ( 2 ) ( 2 0 0 2 ) 4 8 3 4 8 7 6 c b a n d t ，s g r a f , s e l f - s i m i l a rs e t sv i i ac h a r a c t e r i z a t i o no fs e l f - s i m i l a rf r a c t m s w i t hp o s i t i v eh a u s d o rm e a s u r e p r o c a m e r m a t h s o c 1 1 4 ( 1 9 9 2 ) ，9 9 5 1 0 0 1 【7 】7 c b a n d t ，h u n g n va n dr a oh u i ，o nt h eo p e ns e tc o n d i t i o nf o rs e l f - s i m i l a r f r a c t a l sp r o c a m m a t h s o c 1 3 4 ( 2 0 0 5 ) 1 3 6 9 1 3 7 4 【8 】c b a n d t ，r a oh u i ，t o p o l o g ya n ds e p a r a t i o no fs e l f - s i m i l a r f r a c t m si nt h e p l a n e ，n o n l i n e a r i t y2 0 ( 2 0 0 7 ) 1 4 6 3 1 4 7 4 【9 】k 一s l a u ，s - m n g a i ，m u l t i f r a c t a lm e a s u r e sa n d aw e a ks e p a r a t i o nc o n d i t i o n ， a d v m a t h 1 4 1 ( 1 9 9 9 ) 4 5 9 6 【1 0 a s c h i e f ，s e p a r a t i o np r o p e r t i e sf o rs e l f - s i m i l a rs e t s p r o c a m e r m a t h s o c 1 2 2 ( 1 9 9 4 ) ，1 1 1 1 1 5 【1 1 】j e h u t c h i n s o n ，f r a c t a l sa n ds e l f - s i m i l a r i t y , i n d i a n au n i v m a t h j 3 0 ( 1 9 8 1 ) 7 1 3 7 4 7 1 2 】j k i g a m ia n a l y s i s o n f r a c t a l s ( c a m b r i d g e ： c a m b r i d g eu n i v e r s i t y p r e s s ) ( 2 0 0 1 ) 1 3 1p a p m o r a n ，a d d i t i v ef u n c t i o n so fi n t e r v a l sa n dh a u s d o r m e a s u r e p r o c c a m b r i d g ep h i l o s s o c 4 2 ，( 1 9 4 6 ) 1 5 2 3 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 【1 4 】h u n g n v ，m a t h i a sm e s i n g ，q u a s i h a r m o n i cf u n c t i o n so nf i n i t ew y p ef r a c t a l s w o r k s h o p ”f r a c t a la n a l y s i s ”2 0 0 5 0 9 1 5 1 5 】n g u y e n 的博士学位论文，( 2 0 0 7 ) 1 6 】c b a n d t ，m a t h i a sm e s i n g ，s e l f - a f f i n ef r a c t a l so ff i n i t et y p e 【1 7 】q 一r d e n g ，k 一s l a u ，a n ds - m n g a i ，o nt h ef i n i t et y p ec o n d i t i o n ，p r e p r i n t ， h o n gk o n g ( 2 0 0 5 ) 1 8 】k j f a l c o n e r ，f r a c t a lg e o m e t r y ，( 1 9 9 0 ) 【1 9 】x 一g h e ，k 一s l a u ，h r a o ，s e l f - a f f i n es e t sa n dg r a p h - d i r e c t e ds y s t e m s ，c o n s t r a p p r o x 1 9 ( 3 ) ( 2 0 0 3 ) 3 7 3 3 9 7 2 0 m d a s ，s - m n g a i ，g r a p h d i r e c t e di t e r a t e df u n c t i o ns y s t e m sw i t ho v e r l a p s ， i n d i a n au n i v m a t h j 5 3 ( 2 0 0 4 ) 【2 1 h r a o ，z 一y w e n ，ac l a s so fs e l f - s i m i l a rf r a c t a l sw i t ho v e r l a ps t r u c