（基础数学专业论文）特征标三元组的本原性和χ幂零群.pdf

摘要 i s a a c s 在他创立的特征标稳定子极限理论中，引入了特征标三元组的诱 导子和限制子的概念，证明了两个关键性的结果，一个是关于特征标三元 组的拟本原性与本原性的关系问题，另一个是关于特征标三元组与其限制 子二者的诱导子之间彼此相互确定的问题 本文的主要目的是推广并加强i s a a c s 的上述两个结果详言之，在第一 个问题方面，我们首先证明了本原的特征标三元组均为拟本原的，这是本 文的第一个主要结果： 定理2 2 设( g ，n ，0 ) 为本原的特征标三元组，则( g ，n ，0 ) 也为拟本原的 特征标三元组 其次，我们引入了x 幂零群的概念，由此推广了i s a a c s 的相应定理： 定理2 4 设( g ，10 ) 为一个拟本原的特征标三元组，如果j 1 v 为0 一幂零 群，则( g ，n 0 ) 为本原的特征标三元组 接着我们引入了c 幂零群的概念，证明了c 一幂零群的商群也为c 幂零 群，此即本文的第三个主要结果： 定理2 6 设g 为c 一幂零群，nqg ，则g n 亦为c 一幂零群 最后，在第二个问题方面，即研究特征标三元组的限制子和诱导子的 相互确定关系，我们考察了i s a a c s 相应结果的逆命题，证明了下述结论， 这也是本文第四个主要结果： 定理2 1 2 设( g ，n ，0 ) 为一个特征标三元组，( s ，d ，7 ) 为其一个限制子， 且( y ，l ，r ) 为( s ，d ，7 ) 的一个诱导子如果l 日n ，则( g ，n ，0 ) 存在一个诱导 子( 日，m ，妒) 使得( u 三，r ) 为其一个限制子 关键词：诱导子；限制子；廿幂零群；c 一幂零群 p r i m i t i v e n e s so fc h a r a c t e rt r i p l e s a n dx - n i l p o t e n tg r o u p f e n gh a i h u i d i r e c t e db yj i np i n g a b s t r a c t i s a a c sf o n n dt h et h e o r e mo fc h a r a c t e rs t a b i l i z e rl i m i t s i nw h i c hh ei n t r o d u c e d t h ec o n c e p t so fi n d u c t o ra n dr e s t r i c t o r w i t ht h et w oc o n c e p t s ，h ep r o v e dt w om a i n r e s u l t s o n ei st h er e l a t i o nb e t w e e nt h ep r i m i t i v ec h a r a c t e rt r i p l e sa n dq u a s i p r i m i t i v e c h a r a c t e rt r i p l e s t h eo t h e ri sc e r t a i n t yr e l a t i o n so ft h ei n d u c t o r sb e t w e e nc h a r a c t e r t r i p l e sa n d i t sr e s t i c t o r s t h ep u r p o s eo ft h i st h e s i si st og e n e r a l i z et h ea b o v et w or e s u l t s a b o u tt h ef i r s t p r o b l e m ，w ep r o v ee v e r yp r i m i t i v ec h a r a c t e rt r i p l ei saq u a s i p r i m i t i v ec h a r a c t e rt r i p l e t h ef o l l o w i n gi st h ef i r s tm a i nr e s u l t ： t h e o r e m2 2l e t ( g ，n ，0 ) b eap r i m i t i v ec h a r a c t e rt r i p l et h e ni ti saq u a s i p r i m i t i v ec h a r a c t e rt r i p l e a f t e ri n t r o d u c i n gt h ec o n c e p to fx n i l p o t e n tg r o u p ，w eg e n e r a l i z ear e s u l to f i s a a c s s ： t h e o r e m2 4 l e t ( g ，n ，0 ) b eaq u a s i p r i m i t i v ec h a r a c t e rt r i p l e i fni sa 0 - n i l p o t e n tg r o u p ，t h e n ( g ，n ，0 ) i sap r i m i t i v ec h a r a c t e rt r i p l e ， w ei n t r d u c ean e wc o n c e p to fc - n i l p o t e n tg r o u p ，a n dd i s c u s st h en a t u r eo fc n i l p o t e n tg r o u pw ep r o v eq u o t i e n tg r o u p sa l s oh a v et h en a t u r e t h i si st h et h i r d r e s u l t ： t h e o r e m2 6l e tgb eac n i l p o t e n tg r o u p nqg t h e na ni sac n i l p o t e n t g r o u p a b o u tt h es e c o n dp r o b l e m ，w ed i s c u s st h ec o n v e r s eo fi s a a c s sr e s u l t ，a n dp r o v e t h ef o l l o w i n gr e s u l t ： t h e o r e m2 1 2l e t ( g ，n ，0 ) b eac h a r a c t e rt r i p l e ，a n d ( s ，d ，_ ) b ei t sar e s t r i c - t o r i f ( s ，d ，7 ) i sap r i m i t i v ec h a r a c t e rt r i p l e ，t h e n ( g ，n ，0 ) i sap r i m i t i v ec h a r a c t e r t r i p l e k r y w o r d s ：i n d u c t o r ；r e s t r i c t o r ；x n i l p o t e n tg r o u p ；c n i l p o t e n tg r o u p 引言 引言 设g 为有限群，为g 的一个正规子群，并且0ei r r ( n ) 为的一个复不可 约特征标如果目为g 一不变的，即对任意g g 和n n ，均有o ( g n g 。) = 口( n ) ，则 称( g ，n ，0 ) 为一个特征标三元组再设( 且，m ，妒) 也是一个特征标三元组，满足条件 g = 日且m = n n h 如果0 = 妒，则称( 日，m ，妒) 为( g ，n ，0 ) 的一个诱导子； 而当妒= 0 f 时，则称( 日，m ，d 为( g ，n ，0 ) 的一个限制子如下图所示： ( m 目) 一g f1 ( m ，l p ) 日 特征标三元组是特征标理论中最为基本的研究对象之一，目前已经取得了大量深 刻的成果其中值得注意的是，d a d e 5 和i s a a c s 【2 创立了特征标的稳定子极限理 论，其核心技术正是上述特征标三元组及其诱导子和限制子等概念为了叙述本文所 研究的问题和内容，我们先介绍i s a a c s 所引入的拟本原的特征标三元组之定义设 ( g ，n ，0 ) 为一个特征标三元组。如果对每个k 日g 且k 兰 v ，均有为齐次特征 标，则称该特征标三元组为拟本原的，进而，如果( 日，m ，妒) 为( g ，目) 的一个诱导 子，并且( 打，m ，妒) 为拟本原的特征标三元组，则称( 只，m ，妒) 为( g ，n ，0 ) 的一个拟 本原的诱导子如果一个特征标三元组没有非平凡的诱导子，则称该特征标三元组为 本原的 在i s a a c s 的特征标稳定子极限理论中，涉及到特征标三元组技术的是两个关键性 的结果：其一是探讨拟本原和本原的关系问题，即一个拟本原的特征标三元组( g ，n ，0 ) 何时也是本原的特征标三元组，i s a a c s 给出的条件是| v 为幂零群；其二是研究特征 标三元组( g ，n ，0 ) 与其限制子( s ，d ，7 ) 二者的诱导子之间的相互确定或对应关系， s a a c s 在此证明了g ，n ，0 ) 的每个诱导子( 日，m ，曲均可唯一确定( s ，d ，7 ) 的一个 诱导子( kl ， - ) ，使得其恰为( 日，m ，妒) 的限制子 本文的主要目的是推广并加强i s a a c s 上述两个结果在拟本原和本原的关系问题 上，我们首先证明了每个本原的特征标三元组均为拟本原的，这是本文的第一个主要 结果： 定理2 2 设( g ，n ，0 ) 为本原的特征标三元组，则( g ，n ，0 ) 也为拟本原的特征标 三元组 其次，为了考察上述定理的逆命题并推广i s a a c s 的结果，我们引入了x 一幂零群 的概念使用滚术语我们证明了本文的第二个主要结果，显然推广了上述l s a a c s 的相 应定理： 定理2 4 设( g ，n ，0 ) 为一个拟本原的特征标三元组，如果为0 幂零群，则 ( g ，n ，8 ) 为本原的特征标三元组 2 童堑童三重望塑奎星竺垫堑量童壁 值得注意的是，我们在此引入了一类由特征标定义的群类，对此作进一步的研究 是有益的我们证明了该群类对商群封闭，但是否对子群封闭尚未得以确认此即本 文的第三个主要结果： 定理2 6 设g 为c 一幂零群，nqg ，则g n 亦为c 一幂零群 在特征标三元组的限制子和诱导子相互确定问题上，我们研究了i s a a c s 相应结果 的逆命题，即考察了上述特征标三元组( g ，n ，口) 的限制子( s ，d ，7 ) 的一个诱导子何 时可作为( g ，n ，p ) 的一个诱导子的限制子具体地讲，我们证明了下述结论，这也是 本文的第四个主要结果： 定理2 1 2 设( g ，n ，口) 为一个特征标三元组， ( s ，d ，7 ) 为其一个限制子，且 ( k ，7 _ ) 为( | s ，d ，7 ) 的一个诱导子如果l q ，则( g ，n ，口) 存在一个诱导子( h ，m ，妒) 使得( v 三，r ) 为其一个限制子 如无特殊说明，本文所讨论的群均为有限群，所采用的符号和术语均可参考 1 预备知识 预备知识 为了读者阅读方便，我们先介绍一些与本文有关的概念和所要引用的已知结果 下述两个定义可见文献 1 l 。 定义l _ 1 设g 为一个有限群，为g 的一个正规子群，0 i r r ( n ) 为的一 个不可约复特征标定义0 9 ：n 。c + 为o g ( n ) = o ( n g _ 1 ) 如果0 为g 一不变的，即 对任意g g ，n n 总有o g ( n ) = 口( n ) 成立，则称( g ，n ，0 ) 为一个特征标三元组 定义1 2 设g 为群，x i r r ( g ) ，我们称( g ，x ) 为一个特征标对如果对任意两 个特征标对( g ，) ，( ，目) ，满足 nsg ， 0 ，】o ， 则称特征标对( n ，0 ) 在( g ，x ) 的下方，并记为( n ，0 ) s ( g ，x ) 我们引入正规特征标对的概念 定义1 3 称特征标对( n ，0 ) 正规于( g ，x ) ，是指 n q g ， 0 ，x n 0 并记为( n ，口) q ( g ，) ( ) 下面的两个定义可见文献 2 】 定义1 4 称特征标三元组( h ，m ，妒) 为拟本原的，如果对任意w m 且w q h 均有妒是齐次的， 定义1 5 设( g ，n ，0 ) 和( h ，m ，妒) 均为特征标三元组，如果日 且妒“= 0 ，则称( h ，m ，妒) 为( g ，肌日) 的一个诱导子 为了完成主要定理的证明，我们还需要一些必要的引理和结果， 关的参考文献 g n n h = m 证明可以阅读相 引理1 6 ( f r a t t i n i 论断) 设群g 作用在集合q 上，并且g 包含一个子群，它 在n 上的作用是传递的，则 g = g 。n ，v a n 其中g 。表示在g 中的稳定子群 证明见文献 3 定理1 9 3 引理1 7 设hsg ，nqg ，则有群同构 h n n 兰h | h n n 特别地，当h = g 时，有群同构 g n 竺i i i h n n 证明见文献 4 】的第二章定理3 引理1 8 ( c l i f f o r d 定理) 设g 为群，n 司g ，xe i r r ( g ) ，0 是x 的一个不可约分 t f r e t0 = 0 1 ，0 2 ，或是0 的互不相同的g 一共轭，则x = e 岛，其中e = 阢，卅 i = 1 证明见文献 1 中t h e o r e m6 2 引理1 _ 9 ( c l i f f o r d 对应) 设hqg ，0 i r r ( h ) ，t = i c ( o ) 令= f 砂 i r r ( t ) i 【妒，0 o ) ，鲳 = ) ( i r r ( g ) l x ，0 o ) 贝u ( a ) 若妒，则护不可约； ( b ) 映射妒r _ 妒6 为到留的双射； ( e ) 若移6 = x ，则砂是x 丁在中唯一的不可约分量； ( d ) 若妒g = ) ( ，且妒，则【妒h ，0 j = x h ，刎 证明见文献f 1 t h e o r e m6 1 1 引理1 1 0 设a ，b ，c g ，且a c ，则 a ( b n 们：盎n c 证明见文献 3 第一章第一节习题1 5 引理1 1 1 设nqg ， ( a ) 若x 为g 的一个复特征标，且n k e r ( x ) ，则x 在g 关于的陪集上取 常值，且如下定义的函数元为g 的特征标：更( 9 ) = x ( 9 ) ，v g g ( b ) 若更为c n 的一个复特征标，则如下定义的函数) ( 为g 的特征标：x ( g ) = 鼋( 9 ) ，v geg ， ( c ) 由( a ) 和( b ) 可知，x i r r ( g ) 当且仅当岩i r r ( a n ) ， 证明见文献的l e m m a 22 2 引理1 1 2 ( p r o b e n i u sr e c i p r o c i t y ) 设g 为群，日为g 的一个子群再设0 和 妒分别为g 和日上的类函数，则 ( 妒，0 h j = 妒g ，0 j 5 证明见 1 】中l e m m a52 引理1 1 3 设h 曼g 为子群，0 i r r ( h ) 则k e r ( 0 g ) = n ( k e r 0 ) z x g g 证明见文献的l e m m a51 1 引理1 1 4 ( m a c k e y ) 设日，ksg 为子群，t 是g 关于且k 的双陪集分解代 表元集合，g = u h t k 则对任意妒i r r ( h ) ，有( 妒g ) = ( 1 p 。) e t ，e 下 证明见文献【1 的p r o b l e m5 6 ， 引理1 1 5 设n 司g ，0 i r r ( n ) 且为g 一不变的k g 且满足j v k ：g 令肘= n k 设妒i r r ( m ) 且为k 一不变的若妒= 0 ，则有诱导双射f ) g i r r ( 妒) i r r ( a 1 0 ) 证明见文献【3 3 的c o r o l l a r y4 3 引理1 1 6 设h k g ，妒为日的一个复特征标，则( 妒k ) g = g , a 证明见 1 】的p r o b l e m51 引理1 _ 1 7 设h ：k g ，且h k = g ，妒为h 的一个复特征标，则( 妒g ) ： ( 妒h n ) 证明见【1 】的p r o b l e m5 2 引理1 1 8 设日，ksg ，砂i r r ( h ) 若( 砂g ) i r r ( ) ，则有h k ：g 证明见f 1 1 的p r o b l e m5 7 6 特征标三元组的本原性和x 一幂零群 二主要结果及其证明 i s a a c s 在文献【2 】中给出了特征标三元组的诱导子概念，进而定义了拟本原特征 标三元组但是一个拟本原的特征标三元组是否没有真的诱导子呢? 为了描述特征标 三元组的诱导子的极小性，我们首先引入本原特征标三元组的概念 定义2 1 设( g ，n ，目) 为特征标三元组，如果( g ，n ，0 ) 没有真的诱导子，则称 ( g ，n ，目) 为本原的特征标三元组 下面我们将探讨特征标三元组的本原性和拟本原性之间的关系 定理2 2 设( g ，n ，口) 为本原的特征标三元组，则( g ，n ，日) 也为拟本原的特征标 三元组 证明用反证法如果( g ，n ，0 ) 不是拟本原的，则存在wsn 使得w q g 且0 w 非齐次设妒是目w 的一个不可约分量，则惯性群t = 坛( 妒) g 任取x i r r ( c 0 ) ， 则l p 为x w 的不可约分量因为wqg ，根据c l i f f o r d 定理( 即引理1 8 ) ，g 可共轭 作用在x w 的不可约分量集合上又x w = e o w ，对某个正整数e ，故也可共轭作 用在该集合上根据f r a t t i n i 论断( 即引理1 6 ) ，我们有g = ? 1 令m = nnt ，则 由c l i f f o r d 对应( 即引理1 9 ) 可知，存在i r r ( m 妒) 使得= 口此时是丁一不 变的，但t g ，故( t ，m ，) 为( g ，口) 的一个真诱导子，矛盾于( g ，n ，口) 的本原 性所以( g ，n ，为拟本原的特征标三元组 证毕 对于上述命题的逆命题，一般情况下是不成立的为了考察一个拟本原的特征标 三元组何时为本原特征标三元组，我们引入下述概念 定义2 3 设g 为群，x 为g 的一个复特征标称g 为x 幂零群，是指对g 的每 个真子群日，记为h g ，及日的每个复特征标，y ，如果满足俨= x ，则有h g g 定义2 37 设g 为群，x 为g 的一个复特征标称g 为x 一幂零群，是指对g 的每个极大子群m ，及m 的每个复特征标妒，如果满足妒g = x ，则有mq g 这两个定义是等价的，下面给出证明 证明设g 按定义2 3 是x 幂零群， 且满足矽g = x ，于是由定义知m 6 g 而g 按定义2 3 是x 一幂零群 m 为g 的极大子群，砂为m 的复特征标 由 的极大性知m = m g ，故mqg ，从 反之，设g 按定义2 3 7 是x 幂零群，且h g ，y 是的复特征标且满足 7 g = x ，则存在g 的极大子群m ，使得h 茎m ，令1 】 j = ，y m ，则有妒g = x ，于是 mqg ，从而m = m g g 又h 墨m ，故有h g m g 故g 按定义2 3 是x 一 幂零群 主要结果及其证明 因为幂零群的每个极大于群均正规，所以当g 为幂零群时，对每个y i r r ( g ) ， 均有g 为x 幂零群下面会看到我们引入的x - 幂零群是比通常幂零群更广的一个 群类，故下述结论为f 2 1 中推论2 4 的一个推广 定理2 4 设( g ，口) 为一个拟本原的特征标三元组，如果为目一幂零群，则 ( g ，n ，0 ) 为本原的特征标三元组 证明用反证法，假设拟本原的特征标三元组( g ，n ，0 ) 本身不是本原的，则存在 ( g ，n ，0 ) 的一个真诱导子( 日，m ，妒) 选取的一个极大子群使得m ，令 f = 妒“，则i r r ( k ) 且f = 0 由于是0 一幂零群，故kqn 再令三= m 为 m 在中的正规闭包，则ls 耳 n 显然h 正规化，因此l 司g 若令v = 三日， 则矿是g 的一个真子群此时，不难验证y = g 且l = n f 3v 设q = 泸，则由 引理1 1 6 可知= ( 沪) “= 妒“= 0 不可约，又l q n ，所以如( 叩) = l ，从而q 不是 v _ 不变的，即巩不是齐次的但这与( g ，0 ) 的拟本原性相矛盾，所以( g ，n ，0 ) 必为本原的特征标三元组证毕， 在x 一幂零群的基础上，我们引入c 一幂零群的定义 定义2 5 设g 为群，若对每个x i r r ( c ) 为复不可约特征标，g 均为) ( 一幂零 群，则称g 为c 一幂零群，或称为特征标幂零群 下面对c - 幂零群的性质做一些探讨 定理2 6 设g 为c 一幂零群，nqg ，则g n 为c - 幂零群 i l i b , 目令舀= g n 任取复不可约特征标更i r r ( a ) ，且詹为0 的极大子群， 虿i r r ( 疗) 满足萨= 更，其中茸= h n 由引理1 i i 有口g ：) ( ，且h 为g 的极大 子群，由g 为c 一幂零群得h = h g 司g 从而驯qg n ，即岔司0 ，故0 为露 幂零群由是的任意性知孕为c 一幂零群证毕 定理2 7 设g 为群，n 司g ，更为c n 的一个复特征标若g n 为露幂零 群，则g 为x 一幂零群，其中x 由更提升得到 证明令0 = c n 设h 为g 的极大子群，0 i r r ( h ) ，且萨= x 由引理1 1 3 知k e r x k e r 目，故nsk e r 墨i c e r 0sh 由引理11 1 有t t g “，且萨：露，其 中岔= h ，矿i r r ( 岔) 由a 为瑟幂零群知，膏= 岔。司0 ，也即夏声 a ，故 h g g 再由h 的极大性知h = h gqg 由定义2 3 知g 为x 一幂零群 证毕 设x 1 ，x 2 ，x 。为群g 的全部不可约特征标，记为诸k e r 地，i = 1 ，2 ，n 在集合包含关系下的极小元集合下面的定理给了c 一幂零群一个刻画 定理2 8 设g 为群，则g 为c 一幂零群当且仅当对每个x i r r ( g ) ，只要 k e r x ，则有g k e r x 为c 一幂零群 8 特征标三元组的本原性和x 一幂零群 证明辛由定理2 6 可知结论显然 # 任取妒i r r ( g ) ，则存在g 的一个不可约持征标x ，使得k e r ) ( 且 k e r xsk e r 砂在定理27 中令n = k e r x ，则g 为妒一幂零群从而g 为c 一幂零 群证毕 比较幂零群与c 一幂零群的定义，我们很容易看出所有幂零群均为c 一幂零群下 面利用群的c 一幂零性给出幂零群的一个刻画 定理2 9 设g 为有限群，则g 为幂零群当且仅当对g 的每个复特征标移，均有 g 为审一幂零群 证明设g 为幂零群，则由定义2 3 7 可知对g 的每个复特征标砂均有g 为妒一 幂零群 反之，对于g 的每个极大子群m 及m 的每个复特征标妒，根据特征标的诱导理 论，妒g 必为g 的复特征标由条件g 为妒g 幂零群，再根据定义2 , 3 可知mq g 从而g 为幂零群证毕 若在上述定理中对任意) ( i r r ( g ) ，g 均为x 一幂零群，也即g 为c 幂零群，但 未必是幂零群 例g = s a ，i r r ( g ) = ( a 1 ，a 2 ，x ，其中a ，a 2 为线性特征标，) ( 为2 次不可约特 征标显然g 为九一幂零群，i = l ，2 下证g 也是) ( 一幂零群因为x 为m 一特征 标，从而可由某个线性特征标a 诱导，其中a i r r ( h ) ，h 茎g 设x = a g ，则由次 数公式可得2 = x ( 1 ) = i g ：h i ，从而h = a a 而a 3qg ，故h g = a 3 g ，故g 是 c - 幂零群由此可知c 一幂零群确实是比幂零群更广泛的一个群类 定理2 1 0 设g 为c 一幂零群，中( g ) 为g 的f r a t t i n i 子群若存在x i r r ( g ) ， 使得x 可以从中( g ) 的某个子群的特征标来诱导，则g 为幂零群 证明设x = 0 g ，其中0 i r r ( h ) ，h 圣( g ) 由f r a t t i n i 子群的定义可知，对g 的每个极大子群m 均有hsm ，再由g 为) ( 一幂零群可知极大子群m 司g ，从而g 为幂零群证毕 作为特征标三元组诱导子概念的对偶，d a d e 在f 5 1 中引入了限制子的概念 定义2 1 l 设( 日，m ，妒) 为一个特征标三元组，s h 满足s m = h ，令d = s n m 如果妒d = ，y 为不可约的，则称( s ，d ，7 ) 为( 日，m ，妒) 的一个限制子 使用该术语，i s a a e s 证明了一个特征标三元组的每个诱导子均唯一确定其每个 限制子的一个诱导子( 见【2 】中引理3 3 ) ，本文接下来的定理则研究了其逆问题 定理2 1 2 设( g ，口) 为一个特征标三元组，( s ，d ，y ) 为其一个限制子，且 ( v 工，r ) 为( s ，d ，7 ) 的一个诱导子如果l 司，则( g ，n ，0 ) 存在一个诱导子( 日，m ，妒) 使得( e l ，r ) 为其一个限制子， 主要结果及其证明 证明由条件g = n s 和s = d v 可知g = n s = n d v = v ，再由条件 lqn 及lqv 可以推出l 司g ( d ，7 ) ) 7 一尬 任取x i r r ( g 1 0 ) ，则) ( v = e 0 ，对某个正整数e 因( s ，d ，7 ) 为( g ，n ，0 ) 的限制 子，故x d = e = e 7 ，从而地= e t r ，由此表明d 可传递置换) ( l 的不可约分量集 合根据f r a t t n i 论断( 即引理1 6 ) ，我们有g = d i c ( + r ) 令h = j g ( t ) ，则v h 再 令m = h n n ，则由c l i 疗0 i d 对应( 即引理1 9 ) 可知存在 p r r ( m ) ，使得妒“= 0 且 妒是h 一不变的所以( h ，m ，妒) 即为( g ，n ，0 ) 的一个诱导子，又m v = ( n h ) v = y n h = h ，而肘n v = n n h n v = n n v = n n s n v = d n v = l 再根据 引理1 1 7 有( 咿l ) 。= ( 妒) d = 0 d = ，y ，表明妒l 不可约，只有妒l = r ，亦即( kl ，r ) 为( 日，m ，妒) 的一个限制子证毕 判别一个特征标三元组是否为本原的，也可以通过它的诱导子的本原性来判别 定理2 1 3 设( g ，n ，0 ) 为一个特征标三元组，( s d ，y ) 为( g ，口) 的限制子 如果( s ，d ，7 ) 为本原特征标三元组，则( g ，n ，0 ) 也为本原特征标三元组 证明由文献【2 】的引理可知，结论显然证毕 9 、 p 1 0 堂堡堑三垄丝堕奎星些童圣量量堂 三结论 文章首先给出了本原特征标三元组的概念，在此基础上结合i s a a ( ：s 的拟本原特征 标三元组概念，讨论了他们之间的内在关系，主要得到了两个基本结果：定理2 2 和 定理2 4 给定一个特征标三元组( g ，n ，目) 以及它的一个限制子( s ，d ，7 ) ，我们期望 在( g ，n ，0 ) 的诱导子集合与( s ，d ，7 ) 的诱导子集合之问建立一个一一对应 i s a a c s 在【2 】中证明了对于( g ，n ，9 ) 的每个诱导子( 口，m ，妒) ，均有( s ，d ，1 ) 的一个诱导子 ( kl ，r ) 与之对应而本文在假设lqn 的条件下，证明了这两个集合之间确实是 一一对应的但是否还有其它更好的条件也可以使得这个结果成立，还有待进一步研 究另外，我们从特征标的角度引入了一类群，即所谓的c 一幂零群，并就其何时也为 幂零群的问题作了一些探讨，得到了定理2 9 和定理2 1 0 但一个重要而基本的问题 尚未得以解决，即一个c - 幂零群是否为可解群所有这些问题都有基本的重要性，我 们只能留待日后再作研究 1 1 四参考文献 【1ji s a a c simc 1 l a r a c t e rt h e o r yo ff i n i t eg r o u p sf m la c a d e m i cp r e ，1 9 7 6 【2 i s a a c si c h a ta c t e rs t a b i l i z e rl i m i t sr e l a t i v et oan o r m a ln i l p o t e n ts u b g r o u p j ，1 a l g e b r a ，1 9 8 4 ，1 0 2 ：3 6 7