（课程与教学论专业论文）文化视野下数学竞赛的思考与研究.pdf

华南师范大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论 文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文 的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确的方式标明。 本人完全意识到此声明的法律结果由本人承担。 论文作者签名： 7 诵饭 日期：细譬年f 月7 e l 学位论文使用授权声明 言：磐黧篡嚣日期：冲厂月f 目日期：仲厂月列日 文化视野下的数学竞赛的思考。弼f 究 摘要 数学竞赛是数学教育的一种特殊形式针对大众数学知识的匮乏、数 学文化观念薄弱，数学竞赛形式和对象的局限性以及数学竞赛呈现的泛 大众化的情形，本文提出将数学竞赛作为数学大众化的一种方式，让更 p 多的人参与其中，了解数学，喜欢数学本文名为“文化视野下数学竞 赛的思考与研究”，重点探讨的就是如何使数学竞赛中更多地渗透数学 应用、数学精神、数学美、数学趣味等 本文在认知心理学、数学教育的基础上以及对文献的研究上，首先 从数学的重要性入手，阐述了数学对自然科学、社会科学、人文科学及 其对人的发展的重要性；进而分析了数学发展的现状以及数学竞赛发展 现状，从而对数学竞赛有个全面的了解进一步从理论上分析数学是一种 文化，数学文化的特征、内涵，以及在文化的层面上分析数学竞赛的文 化本性、基本特征、文化内涵在此基础上本文又从文化的角度来分析数 学竞赛，重新构建了数学竞赛的广泛定义，根据数学竞赛的不同的功能， 手段，目的等将数学竞赛分为四类：智力型数学竞赛、应用型数学竞赛、 趣味型数学竞赛、精神型数学竞赛，并根据其不同的内涵和特征进行分 析、设计案例 本文创新点是从理论上分析数学的文化内涵和基本特征、数学竞赛 的文化内涵和基本特征，从文化视野对数学竞赛定义的重构以及对应用 型数学竞赛、趣味型数学竞赛在文化层面上的推广，另外在数学竞赛中 加入精神型数学竞赛 本文希望达到的效果是从文化的角度来看待数学竞赛，使其内容、 形式、功能等都达到更高的层面，把握“普及性”与“数学上的普遍的 高标准”之间、“大众数学”与“2 0 最好的学生在数学上的发展”之间 的平衡，使数学竞赛在数学普及化、大众化中发挥其更大的作用 第3 页共9 6 页 文化视野下的数学竞赛的思考与研究 a b s t r a c t m a t h e m a t i c s c o m p e t i t i o n isas p e c i a lf o r mo fm a t h e m a t i c s e d u c a t i o n n o w ，p o p u l a c em a t h e m a t i c sk n o w l e d g eisd e f i c i er l ta n d p o p u l a c e m a t h e m a t i c sl c l l l t u r e i d e ais w e a k m a t h e m a t i c s ， 一 c o m p e titio n f o r ma n dt h eo b je c tislim ite d ，a n dm a t h e m a tic s c o m p e t i t i o np r e s e n t se x u d e s t h e p o p u l a r i t y i r lv i e wo f s u c ha s i t u a t i o n ，t h isp a p e rp r o p o s e s w es h o u l dt a k em a t h e m a t i c s c o m p e t i t i o na sones p e c i a lw a yo fm a t h e m a t i c sp o p u l a r i t y ，a n dm a k e m o f ep e o p l et a k ep a r tir l ，a n du n d e r s r a n d m a t h e m a ti c s ，a n d1i k e m a t h e m a tics t hisa r tic 1en a m e d a sm a t h e m a tic sc o m p e titio n p o n d e ra n ds t u d yf r o mc u lr u r a lp e r s p e c t i v e ，w h i c he m p h a s i z e so n h o wt 0m a k em a t h e m a tic sf i1le dw ithm a t h e m a s tic sa p p lic a tio i l ，a n d m a t h e m a t i c s s p i r i t ，a n d m a t h e m a t i c s b e a u t y ，a n d m a t h e m a t i c s i n t e r e s te t c o nth eh a siso fth ec o g n itio np s y c h olo g ya n d m a t h e m a tic s e d u c a tio r lf o u n d a tio n a sw e lla sth e1ite r a turei e s e a r c h ，t h is p a p e r m a k e sar e s e a r c h o nm a t h e m a t ic s c o m p e t i t i o n ，w h i c h a n a ly sizesm a t h e m a tics c u lt u r a l e s s e n tia lit y ，a n dh a sic c h a r a c t e ra n dc u lr u r a lc o n n o t a t i o nf r o mc u lr u r a lp e r s p e c t i v e i t f o r mt h enewd e f ir l i t i o no fm a t h e m a t i c sc o m p e t i t i o r ，a n dc 1 a s s i f y m a t h e m a tic s c o m p e t itio ng s4 s p e cie s ，n a m e ly ：in t e l le c t m a t h e m a t i c sc o m p e t i t i o i l ，a p p li c a t i o n m a t h e m a t ic s c o m p e t i t i o n ，i n t e r e s t s m a t h e m a t i c s c o m p e t i t i o n ，s p i r i t m a t h e m a t i c sc o m p e t i t i o n t h e r eafes o m ei n n o v a t i o nir lt h isa r t i c l e f i r s t ，i ta n a l y s iz e s c u l r u r a lc o n n o t a t i o na n dt h eb a s i cc h a r a c t e r is t i co fm a t h e m a t i c s a n dm a th e m a tic sc o m p e titio nt h e o r e tic a l1y s e c o n d ，r e d e f i t i e s m a t h e m a t i c s c o m p e t i t i o r l f r o mc u l r u r a l p e r s p e c t i v e t h i r d ， p o p u l a r iz esa p p lic a t i o nm a t h e m a t i c s c o m p e t i t i o na n di n t e r e s ts m a t h e m a t ic sc o m p e t i t i o ni nc u l t u r a ls t r a t i f i c a t i o np l a r l e f o r t h ， 第4 页共9 6 贝 文化视野下的数学竞赛的思考j 研究 p r o p o s e ss p i r i tm a t h e m a t i c sc o m p e t i t i o n t h e p u r p o s eo ft h isa r t ic l e ist 0 r e g a r d m a t h e m a t i c s c o m p e titi o nf r o m c ult u r a lp e r s p e c tiv e ，e n a b le sit sc o n t e n t ，a n d t h ef o r m a n dt h ef u n c t i o na n ds oo na l lt 0a c h i e v eah i g h e r1 e v e l a b a l a n c eb e t w e e nt h e p o p u l a r iz a t i o n a n dt h em a t h e m a t i c s u n i v e r s a lh i g hs t a n d a r d b e t w e e n p o p u l a rm a t h e m a t i c s a n d 2 0 b e s ts t u d e n t si nm a t h e m a t i c sd e v e l o p m e n t w il1e n a b l e m a t h e m a t i c s c o m p e t i t i o nt 0e x e r tm o r ee f f e c ti nt h em a t h e m a t i c s u n i v e r s a li z a t i o ra n dp o p u l a r i t y 第5 页共9 6 畎 文化视野下的数学竞赛的思考与研究 第1 章问题的提出、方法与意义 1 1 问题的提出 一、数学的重要性 据说在公元前4 世纪古希腊的雅典，著名的“柏拉图学园”大门口， 挂着一块醒目的牌子，其上写着：“不懂几何者不得入内”我国当代数 学家齐民友先生，在21 世纪的前夜，写过一篇文章，文中称：“21 世纪 的门口也挂着一块牌子，其上写着：不懂计算机者不得入内”而计算机 专家王选则说：“计算机= 数学的心脏+ 机械的外壳”。玛3 数学的发展证明，从古至今，数学都具有非常重要的地位钱学森 先生曾说过：“在中国科学院与中国社会科学院之外，应当成立中国数学 院数学如同哲学一样它既不属于自然科学，也不属于社会科学”随着 信息时代的科技的发展，人们已深刻地认识到数学作为一门重要的学科 不仅是重要的潜在资源，深入到从自然科学到社会科学的各个领域，而 且数学已深入到人类的生活的每一个角落著名的数学家a k a p l a n 说： “由于最近2 0 年的进步，社会科学的许多领域已经发展到不懂数学的人 望尘莫及的阶段”a k a p la n 更指出，一个国家的科学进步可以用它消 耗的数学来度量 ( 1 ) 数学重要性体现在应用的广泛性 数学是一门应用性的科学，来源于现实，扎根于现实，应用于现实 前苏联著名教育家加里宁说：“数学在你将来的一切工作中都能给你很大 的帮助”著名数学家华罗庚就精彩地论述到，“从宇宙之大，粒子之微， 地球之变，生物之谜，同用之繁，艺术之美，化工之巧，火箭之速无不 与数学有关”数学史家m 克莱因提到“数学是人类最高超的智力成就， 也是人类心灵最独特的创作，音乐能激发或抚慰情怀，绘画使人赏心悦 目，诗歌能动人心弦，哲学使人获得智慧，科学可改善物质生活，但数 学能给予以上一切”这样来诠释数学一点都不为过 数学是打丌科学大门的钥匙1 7 世纪工业革命时代，佛朗西斯培根 在提出“知识就是力量”的同时又提出“数学是打开科学大门的钥匙 第6 页共9 6 贝 义化视野下的数学竞赛的思考o j 研究 轻视数学必将造成对一切知识的损害，因为轻视数学的人不可能掌握其 他科学和理解万物”诺贝尔物理奖的第一位获得者伦琴在回答科学家 需要什么修养时，他的回答是：“第一是数学，第二是数学，第三是数学” 心1 爱因斯坦的成功也同他少年：时代研究欧氏几何不无关系p a 格列菲 p 斯强调“数学一一从伙伴到伙伴”、“数学没有高于或低于某些学科，却 在他们里面或环绕他们他们正成长为一完美和相互影响的伙伴”f 是 数学的渗透性及伙伴角色，数学的应用边界消失了，它不再只是物理学 和工程的语言，现在数学已经成为生命科学、经济学以及社会科学的必 不可少的工具同时也产生了不少新的数学分支学科，如数学生物学、数 学地质学、数学心理学和数学语言学等等下面笔者只举几个数学在社会 科学中、生活、艺术中的应用的简单的例子 据研究，语言学中一个人的语言在使用某些词语的频率有稳定性； 但每个人的频率是不同的因此，可以用某些语词在语言中出现的频率来 刻画某个人的语言特点，从而可以根据某些语词出现的频率判定一篇文 章或一本书的作者这就是近些年来才形成的一门新的学问一一“语言统 计学”复旦大学的李贤平教授就曾对红楼梦中的4 7 个虚词为比较 样本词进行统计；计算它们的平均频率、标准差和变异系数等等，对红 楼梦的前8 0 回和后4 0 回分别进行统计，发现前8 0 回和后4 0 回有交叉 得出的结论是：全书由曹雪芹撰写，中间由他人插入第6 一l6 回风月宝 鉴和第6 3 - 6 6 回情节，从统计结果看，宝黛故事由一人所写，贾府衰 败由另一人所写这些新的见解在红学界引起不小的轰动心随着计算 机的出现，数学又渗透到了形态学、句法学、词汇学、语言学、文字学、 语义学等等，既推动了语言学的发展，又促进了数学自身的发展另外， 文学作品中隐含数学问题，比如俄罗斯大文学家托尔斯泰就曾经利用数 学知识写过一篇小说一个人需要很多土地吗? 其中涉及到等面积的 最小周界或等周界的最大面积问题 数学来源于生活，应用于生活数学。如今随处可见“数字化地球”、 “随机变化”、“线性规划”、“指数爆炸”、“直线上升”、“股市走势图”、 “价格分析表”、“事业坐标”、“人生轨迹”等等这些数学生活用语比 第7 页共9 6 页 义化视野下的数学竞赛的思考与研究 如大千世界中几乎处处都有黄金比盟2 ( 约为o 6 18 ) 的芳踪”：黑 板的长宽比约为0 6 18 ；月球的平均密度和地球的平均密度约为0 6 18 ； 最适宜的气温( 2 2 5 0 左右j 和人体正常的体温( 3 6 5 0 左右) 的比约为 0 618 ；人体结构中，人的肚脐眼约在人体垂直高度的黄盒分割点；人的 膝盖骨是大腿和小腿的黄金分割点；人的肘关节是手臂的黄金分割点； 人的咽喉是头顶和肚脐眼的黄金分割点等等；著名的科学家、画家达 芬奇自称他的作品选择比例时经常用到黄金比，难怪人们在蒙娜丽莎 前流连忘返；黄金分割比跟我们熟悉的斐波那契数列：l ，1 ，2 ，3 ，5 ， 8 ，13 ，又有密切的关系19 5 3 年j 基弗证明了这个数列前后两数 之比1 1 l 勺极限是黄金分割比竺兰而斐波那契数列又有其本身的内在美， 比如植物学家研究自然界中花朵的花瓣数大多数3 ，5 ，8 ，13 ，2 1 ，3 4 等；有人甚至耐心的数过一朵重瓣芍药花，发现它有2 3 3 瓣，还有人数 过“米切尔马斯花”，它刚好l5 7 瓣，15 7 虽不是斐波那契数，但发现其 中13 瓣与其余14 4 瓣明显不同，而13 与14 4 恰好又是斐波那契数心纠 这么个简单的黄金分割比与生活中那么多事物有着美妙绝伦的密切的联 系，足以体现数学的与众不同，体现数学的应用价值 数学与音乐从古至今都是有非常密切的联系毕达哥拉斯就是音乐 理论的鼻祖，他阐明了单弦的乐音与弦长的关系，把音乐解释为宇宙的 普遍和谐，阐明了产生每一种谐音的各种线的长度都成正整数比；欧几 里得也写过音乐方面的著作，研究过谐音的配合，制定过音阶；笛卡尔 有一部著作叫音乐概论；丌普勒从音乐与行星运动之间寻找对应关系； 莱布尼兹首先从心理学分析音乐，确与数学有联系，他认为音乐是一种 无意识的数学运算；丹尼尔对弦乐器的研究中得到一个二阶常微分方程； 此后数学家们对音乐于数学的研究更深入，薛定谔从音乐与数学的关系 中得到了电子波动方程警+ 窘+ 警+ 宰( e - v ) 缈_ o ，圆满地解野了 微观粒子的运动难怪有人说：“数学是理性的音乐，音乐是理性的数 学”另外，数学在历史、绘画、诗歌、建筑、新闻、考古、天文、地理、 第8 。页共9 6 页 义化视野下的数学竞赛的思考与研究 军事等等都有广泛的应用 ( 2 ) 数学的重要性还体现在对人的发展的促进作用 数学的用途十分广泛，其广泛程度超过任何一门自然科学门类，实 用主义降低了数学的作用，或者它只注意到数学在科学技术中的作用， 而未注意其人文作用然而，数学容易被忽略的还有另一种用途：数学 文化价值对人的发展的作用“数学除了锻炼敏锐的理解力、发现真理以 外，它还有另一个训练全面考虑科学系统的头脑的丌发功能”所谓数学 文化价值主要是指数学对人们的观念、精神以及思维方式的养成起着十 分重要的影响，尽管这种影响是潜移默化式的，但又是实实在在存在的 数学的严密性、抽象性、逻辑性、客观性影响着人们的世界观数 学具有一般方法论的性质和特征，是物质世界质和量的统一，是内容和 形式的统一的最有效的表现方式从逻辑上说，数学是最讲究普遍联系 的；数学的高度抽象性决定了它更广泛地存在于众多事物的结果中；从 客观性来看，任何发展下来的数学都是来源于实践，又回到实践中去检 验其真理性；这与辩证唯物主义的检验真理的唯一标准是一致的；另外， 数学在其发展进程中的某些阶段表现出的纯理性特点又是机械唯物主义 所无法理解的比如，在几何中，公理体系本身的讨论导致了新几何学的 发现：多少带有理性色彩的尺规限定，导致了许多新的数学发现；在代 数中，方程根的有限表示形式的探讨，导致了新的代数学分支的发现 代数促进几何发展，几何推动代数的发展，以及同样的现象在其他数学 分支之间的存在，都证明黑格尔所说而为列宁所赞成的“自己运动”的 意义实际上，没有广泛而深入的学习并不会形成正确的世界观，仅 仅弄懂一些数学定理和公式还不够，还需要有宏观、微观的思索，需要 有对历史和方法的分析所以，在一般情况下数学的学习为树立正确的世 界观提供了一些积极的影响因子，提供了更大的正确的可能性 数学是科学的语言庞加莱曾说过：“没有数学这门语言，事物间大 多数密切的类似关系将永远不会被我们发现；我们也无从发现世界内部 的和谐，而这种和谐正是唯一真正的客观现实这种和谐是唯一的客 观现实，是我们所能达到的唯一真理，当我讲世界力物之和谐是所有美 丽之源时，我是指我们应该付出多大代价去推动这个缓慢的、困难的过 第9 员共9 6 员 文化视野下的数学竞赛的思考与研究 程，以使得我们一点点地、越来越好地理解这个和谐”1 我们知道， 语言的读写能力是非常重要的一个文盲是没有读写能力的，或者只会写 自己的名字，他很难在社会上找到重要的工作现在数学的读写能力，也 就是量的读写能力正在提到我们的眼前数学是科学的语言数学符号 p 是极具抽象的符号，随着社会的数学化程度同益提高，数学语言已成为 人类社会交流和储存信息的重要手段享有“近代自然科学之父”尊称的 伽利略认为，展现在我们眼前的宇宙像一本用数学语言写成的大书，如 不掌握数学的符号语言，就像在黑暗的迷宫罩游荡，什么也认识不清 现代社会的许多信息使用量的方式提供的，因而作为一个现代人，用量 的方式去思维，去推理和判断成为一种基本能力19 9 9 年美国出版了一 本教材名叫应用与理解数学在此书的第三页列出了一张就业表，其 中包含两种能力：英语与数学( 表中只摘录了其中一部分) 3 表1 技术水平 语言水平数学水平 4写报告、总结、熟练使用初等数学，熟悉 摘要、参加辩论公理化几何 5读科技杂志、经懂微积分与统计，能处理 济报告、法律文经济问题 件、写社论、评 论文 6比5 更高级 使用高等微积分，近世代 数和统计 表2 职业要求 职业语言水数学水 亚亚 生物化学 66 心理学家 65 律师 64 经济分析师 45 文化视野下的数学竞赛的思考j 研究 会计 55 公司董事 45 计算机推销员 4 4 税务代理人 64 私人经纪人 55 培根曾说过，哲理使人深刻，读诗使人聪慧，演算使人精密， 然而，并非每个人都要读哲学，并非每个人都要写诗歌，但是，每个人 必须读数学，数学不仅实用，它亦使人更精密、更深刻、更聪慧只有懂 得数学的人才能在信息时代的今天游刃有余数学不仅是一门的科学， 而且是一门艺术，一种思维方法，它能给人以智慧而在“知识爆炸” 的今天，对于我们每个人来说，智慧比知识更为宝贵我们都需要学会“数 学地”思考问题，学会用数学方法和数学技术来解决问题具体地说就是 用以下基本数学观点来看问题： 数量观点一一只有把握事物的数量变化，才能做到“心中有数”： 函数观点一一事物之间的关联性，常常可以用量与量之间的函数关 系来表达； 概率统计观点一一用抽样调查和数据分析的方法来处理随机现象； 空间观点一一从事物的形体上认识事物； 图和网络观点一一把事物之间的复杂关系，约化为一个图或者网络， 进行数学处理； 统筹观点一一统一规划，全面考察事物的各个方面，考察它与周围 事物之间的联系，找出解决问题的最佳方案； 程序化观点一一一事当前，先进行可行性研究，合理安排工作的步 骤和实施顺序，如要用计算机来处理，则更要事先编出操作程序； 逻辑观点一一说话要有根据，下结论要有充分理由，办事要有条 件1 另外，只有深入的体会数学的文化内涵，数学的理性精神对每个学 习数学的人都起着不可估量的作用数学是理性的艺术，数学充满理性 精神数学精神涉及很多方面，包括：自我激励、自我完善的精神，求 实探索、致力发现的精神，唯物辩证、创新进取的精神，无私奉献、团 第l1 。页共9 6 页 文化视野下的数学竞赛的思考j 研究 结协作的精神等等m 克莱因指出：“在最广泛的意义上说，数学是一 种精神，一种理性的精神，正是这种精神，使得人类思维的运用到最完 美的程度，办是这种精神，试图决定性的影响人类的物质、道德和社会 生活，试图回答有关人类自身存在提出的问题，努力去理解和控制自然， 尽量去探求和确立已经获得知识的最深刻的和最完美的内涵”著名数学 家张恭庆说，“数学是一种文化，它既是诸多门类学科的基础与工具，又 是一种思想方法，其概念的抽象性和推理的严密性，有益于人的思维训 练”数学的理性精神表现在严密的逻辑证明；严谨、简明的数学语言； 把握事物本质，揭示规律性一个人具备理性精神，待人时，就能心平 气和，沉着冷静，以理服人；说话时，就能条理分明，简明扼要；看问 题时，就能抓住本质，发现规律；办事时，就可以从全局考虑，按其轻 重缓急安排操作程序数学精神不仅对于数学本身的生存、进化和发展 具有科学性价值，而且集中体现了人类的理性精神，因此它对于人类的 文明进步具有非常重要的社会性价值数学文化引出了理性精神，而在 理性精神的指导下，使得人类文明蓬勃发展学习数学，形象地感知到 数学精神，有意识地培养自己良好的数学意识，形成正确的数学观，达 到对人的素质发展的培养 二、国内外数学教育存在的一些问题 之前比较大篇幅来阐述数学的重要性，然而对于大多数公众来说， 对数学，特别是对现代数学及其思想方法以及数学文化，并没有足够的 了解，甚至很少了解表现如下： ( 1 ) 大众数学知识的匮乏 国际教育体系中，大众数学知识的匮乏以美国为例，7 0 年代末， 美国国家研究委员会正式提出，美国的扫盲任务已转变为扫数学盲从 1 9 8 6 年起，美国每年要举行一次名为“了解数学月”的活动，通过宣传、 散发资料、举办展览、智力竞赛、报告会和专题演讲会等，吸引了广大 的学生、教师、家长、社会各界人士以及业界人士的关注和参与，极大 提高了数学的普及程度 19 8 9 年，美国国家研究委员会发表人人关心数学教育的未来一 书，书中重点强调：“我们正处于国家由于数学知识而变得在经济上和种 第1 2 页共9 6 页 文化视野下的数学竞赛的思考与研究 族上都被分裂的危险之中”并解释道：“除了经济以外，对数学无知 的社会和政治后果给美国民主政治的生存提出了惊恐的信号因为数学 掌握着我们的基于信息的社会的领导能力的关键，具有数学读写能力的 人与不具有这种能力的人之间的差距越来越大，从种族和经济的范围上， 其程度是惊人的一致我们冒着变成一个分裂的国家的危险，其中数学知 识支持着多产的、技术强大的精英阶层，而受赡养、半文盲的成年人、 却发现他们远远不具备经济和政治的能力这必须纠正过来，否则没有数 学基本能力的人和文盲将迫使美国崩溃 虽然我国的现状虽然有些改观，已经认识到数学大众化的重要性， 表现出一种向大众数学演化的渐变态势，但是现行的数学教育体系与大 众数学还是相距甚远 ( 2 ) 数学文化观念的缺乏 数学具有双重功能：一种是科技的功能，一种是文化的功能从古 到今数学一直是人类文明主要的文化力量，在古希腊，数学是哲学的一 部分，在我国古代，数学也包容在“六艺”( 礼、乐、射、御、书、数) 之中然而审视现代的数学仅仅将数学当作一种工具，重视知识的传播 而忽视数学文化，简单地将数学归纳为解题技术，题型研究 ( 3 ) 数学教育文化观念的忽视 虽然历来认为“数学是思维的体操”，数学教育比较重视科学主义， 而忽视了数学教育的文化价值，缺乏社会理想和人文关怀，在学习过程 中理论性太强，且没有实用性，比较偏重逻辑性，强调结构严谨性，过 分重视理论性、系统性，展示数学思想、数学美感不足且应用性不强， 从而使数学给人以呆板、孤立、冷漠、缺乏人情味的印象，以致于学生 觉得学数学如吃鸡肋，“嚼之无味，弃之可惜” 三、国内外数学竞赛的存在的一些问题 目前国内的数学竞赛，存在了一些问题： ( 1 ) 目前竞赛对象的局限性 目前数学竞赛只限于学生，虽然偶而会在某些地方看到数学趣味竞 答，比如意林杂志每次都会出几个数谜题竞答：比如在少儿节目中 会出现一些简单的数学问题，但是这些都是“星星之火，不足以燎原” 第1 3 页共9 6 页 文化卒见野下的数学竞赛的思考j 研究 ( 2 ) 数学竞赛形式的局限性 目前主要的是试卷考试的形式虽然有些数学竞赛是以电视抢答形 式、有些数学竞赛以丌卷考试邮寄答案形式、有些数学竞赛以自由竞赛 的形式，但是这不是主流形式，闭卷考试是目前数学竞赛的主流形式 ( 3 ) 对目前的数学竞赛的认识的分歧 1 9 9 2 年召丌的第7 届国际数学教育大会上，专门设了一场对数学竞 赛的辩论，一些人持否定的态度，理由是：数学竞赛只是面对少数天才学 生，会忽视大多数学生；过早的专业兴趣会妨碍全面发展；竞赛试题脱 离实际，多为怪题等赞成者则认为：竞赛会提高学生学习数学的兴趣， 激发荣誉感；可以形成一种气氛带动全体青少年：会引起社会对数学和 数学教育的关心和支持，有利于发现和培养人才 ( 4 ) 由于竞赛的功利性，导致了竞赛培训逐渐脱离竞赛选手选拔 的轨道，凸显出泛大众化的特征特别是中小学的数学竞赛，虽然不少知 名数学家和数学教育工作者发出了谨防数学竞赛走偏的呼声，但是数学 竞赛的成绩与中学升学之间的微妙关系使得数学竞赛内涵的扩大化趋势 难以阻挡凡是各学校、团体主办的各种杯赛针对性极强的课外数学培训 统统披上了数学竞赛的外衣，脱离课本、强调技巧成了数学竞赛的代名 词 四、本文的目的 因为数学竞赛是一种智力竞赛而不只单纯的知识竞赛，数学竞赛是 数学文化中的一种，从这种意义上看数学竞赛是一种文化竞赛，为什么 不能像其他文化竞赛那样达到娱乐性、广泛性、大众性? 对数学竞赛的 不同见解的讨论后统一的看法是：竞赛本身不会产生什么问题，关键是 如何组织竞赛，如何能使较多的人参与其中得到提高针对前面对数学重 要性的阐诉，以及对国内外数学教育及数学竞赛存在的一些问题，本论 文的目的是希望通过研究数学文化视野下的数学竞赛，对数学竞赛的某 些做法提出意见和建议，进行具体的分类和改革，如何才能将数学数学 普及及将数学竞赛大众化? 以期对数学的普及能起一定的作用，使更多 的人贴近数学、了解数学、理解数学和喜欢数学1 第1 4 页共9 6 页 文化视野下的数学竞赛的思考与研究 1 2 研究的意义 一、国外对数学文化的研究和理解 据说，两千多年前，柏拉图就曾做过一次题为“善的概念”的讲演， 切实地探讨过“数学与文化”的问题他认为，数学与伦理学中的“善” 在理想化方面是相同的，用笔画出来的点、线、面都是一种抽象，因而 也是一种理想柏拉图之后的两千多年，即19 3 9 年12 月，英国数学家、 哲学家怀特海( l a w h it e ) 在美国哈佛大学作了一次讲演，题为“数学 与善 ，重申了柏拉图的思想，认为只有人类的智力才能“从实例中抽象 出某一类型东西来人类这个特性的最明显的表现就是数学概念和善的 理想”怀特海的数学文化论力图把数学回归到文化层面著名数学家柯 朗( c o u r a n t ，18 8 8 - l9 7 2 ) 在其名著数学是什么( 19 4 1 ) 第一版的序 言中就已指出“数学的教学，逐渐流于无意义的单纯演算习题的训练， 固然，这可以发展形式演算的能力，但却无助于对数学的真正理解，无 助于提高思考的能力数学的研究，有过度专门化和过度抽象化的倾向， 忽视了应用以及与其他领域之间的联系这种状况必然激起强烈的 反感 l9 5 3 年，莫里斯克莱因( m o r r isk 1ir e ，19 0 8 19 9 2 ) 出版了 他的西方文化中的数学( m a t h e m a tic si nw e s t e r nc u l t u r e ) 力图营 造数学的人文色彩与柯朗的密切交往，使m 克莱因对数学有了更深 的理解他感受到“在人类文明中，数学如果脱离了其丰富的文化基础， 就会简化成一系列的技巧，它的形象也就被完全歪曲了由于外行人很 少使用数学技巧及其知识，因此他们对这些通常显得枯燥无味的东西很 反感这样一来的结果是，对于数学这样一门基础性的、富有生命力的、 崇高的学科，就连一些受过良好教育的人也持无视甚至轻蔑的态度的 确，对数学的无知已经成了一种社会风尚”因此，在西方文化中的数 学的前言中，m 克莱因首先阐明了他的写作目的：本书的目的是为了 阐明这样一个观点：在西方文明中，数学一直是一种主要的文化力量几 乎每个人都知道，数学在工程设计中具有极其重要的实用价值但是却 很少有人懂得数学在科学推理中的重要性，以及它在重要的物理科学理 论中所起的核心作用至于数学决定了大部分哲学思想的内容和研究方 法，摧毁和构建了诸多宗教教义，为政治学说和经济理论提供了依据， 第1 5 页共9 6 页 文化视野下的数学竞赛的思考j t i ) f 究 塑造了众多流派的绘画、音乐、建筑和文学风格，创立了逻辑学，而且 为我们必须回答的人和宇宙的基本问题提供了最好的答案，这些就更加 鲜为人知了作为理性精神的化身，数学已经渗透到以前由权威、习惯、 风俗所统治的领域，而且取代它们成为思想和行动的指南最为重要的 是，作为一种宝贵的、无可比拟的人类成就，数学在使人赏心悦目和提 供审美价值方面，至少可与其他任何一种文化门类媲美西方文化中的 数学是克莱因的早期著作，后来他出版的一系列的著作都产生了重要 的影响，其中古今数学思想、数学：确定性的丧失已经为国人所 熟知他的另外两部著作也着重论述数学与文化的关系，它们是：数学： 一种文化探索( m a t h e m a tics ，ac u ltu r a la p p r o a c h ，19 6 2 ) ，数学与 对知识的探索( m a t h e m a tic sa n dt h es e a r c hf o rk n o w le d g e ，19 8 5 ) 二、国内对数学文化的研究和理解 目前国内对数学文化与数学教育、数学文化与数学思维、数学文化 与数学课程亦有多人研究，比如图内最早研究数学文化的是孙小礼教授， 她与邓东皋教授合编的数学与文化( 19 9 0 ) 汇集了一些数学名家的有 关论述，第一章“导论：数学与文化一一是与非的观念”，正是译自克莱 因的书，此书从自然辩证法的角度对数学文化进行了论述；张楚庭教授 的数学文化从数学与美学、数学与人的发展、数学与哲学、数学与 文化艺术、数学与经济等来阐述数学文化；张顺燕教授的数学的源与 流从数学问题、数学发展来论述数学文化的内涵；张维忠教授的数 学文化与数学课程一文化视野中的数学与数学课程的重建从数学文 化的角度来阐述数学课程；郑毓信教授的数学文化学建立数学文化 学系统理论，即从数学的文化观念、数学文化史的研究和数学文化价值 三方面来构建理论框架等等，这类观点都是从一定的角度来说明数学文 化的特点及其重要性 三、本论文的研究意义 ( 一) 数学大众化的必要性 郑毓信教授曾说过：“数学：看不见的文化”一般群众常常由于数 学的高深莫测而对此采取敬而远之的态度，如何使数学大众化、全民性 成为当今数学教育的一个热门课题“大众数学是第五届数学教育大 第1 6 页共9 6 页 文化视野下的数学竞赛的思考与研究 会正式提出，是数学教育要从升学为主的教育转向提高素质为主的教育 的必需的数学从三方面来看，首先从生活的角度来看，“大众数学”就 是大众生活中的数学人们在同常生活中自觉不自觉地都在运用数学，这 种客观存在表明，人们通过这方面的研究可以发展成为一门独立于数学 家的数学之外的学问一一生活中的数学，它是动态的、发展的，有着自 己的客观规律；其次从数学的角度看，“大众数学 即数学大众化显然， 数学发展到今天，纯数学已经不可能为普遍群众所理解，但是数学和数 学家总是在尝试着以某种方式向社会渗透我们可以从更为积极的态度 出发，把一些未来公民所必须的现代数学思想方法尽快大众化，以便不 久的将来，我们的中学生学习它、掌握它；再则从教育的角度出发，“大 众数学 是义务教育的基本精神在数学教育中的反映，“大众数学”旨在 建立一种在学生现实生活背景中可以发展起来的、适应未来发展需要的 新数学课程表现在评价上，“大众数学”将促进入们形成这样的信念： 让每一个人都可以学习数学，而且能学好数学：表现在教学上，与“大 众数学”相应的教学策略是问题解决和数学建模 ( 二) 竞赛数学的大众化的意义 从第一节的论述我们了解了数学的重要性以及数学存在的问题以及 竞赛数学存在的问题，竞赛数学作为数学的一种特定的范畴，我们扩大 竞赛数学的功能，适当的调整竞赛数学的形式，竞赛数学将为数学大众 化、全民化、普及性起到一定的作用对于数学竞赛已有不少的数学教 育工作者对数学竞赛的解题进行研究、论述数学竞赛与数学教育的关系， 阐述对数学竞赛的认识，以及数学竞赛的实践及分析其存在的问题，但 是极少有文章从数学文化的角度来论述数学竞赛刘培杰教授主编的数 学奥林匹克与数学文化其实是问题研究的文章，从另个角度来阐述奥 林匹克中的数学，而奥林匹克数学竞赛只是数学竞赛的一小部分本文 研究的目的是在数学文化的视角下对广义的数学竞赛进行研究：从文化 的角度来论述数学竞赛，通过对数学、竞赛数学的文化性的分析，对竞 赛数学的形式进行论述，以期对竞赛数学目前的尴尬局面有所帮助，以 及能从教育学、心理学、社会学方面论述数学竞赛，对数学的大众化提 一些建议，以期对数学的大众化的进程有所裨益 第1 7 页共9 6 页 文化视野下的数学竞赛的思考- j _ i j r 究 1 3 研究的方法 数学文化作为一个明确的研究对象，以逐步走进数学课掌数学竞赛 是数学教育中的一种特殊方式，也应将数学文化作为其教学和内容中不 可或缺的内容从营造数学文化的氛围的“可视性”出发，以数学教育理 论、社会建构主义及人本主义学习理论为指导，结合竞赛数学的具体的 内容，采取以数学应用为链，数学知识为渠，以数学家为鉴，以数学史 为辅，以数学故事为趣，以数学精神为力，扩大学生的文化感知面，通 过竞赛数学知识、竞赛数学趣味、竞赛数学精神来启发学生学习竞赛的 内在动力数学竞赛研究有其理论的意义和实践的意义，在研究方法上本 文尽量遵循创新性原则、可行性原则、有意义原则，从教育学、心理学、 社会学、文化学的角度，采取文献研究法查阅一手资料、比较分析文献， 对数学文化、数学竞赛的文化性的内涵、基本特征等进行基础的理论研 究，从而构建数学竞赛文化的广泛定义，使数学竞赛的目的更为广泛； 而后从广义定义出发，列举典型例子及设计教学案例，以期对竞赛数学 的教学有所帮助，使数学竞赛更加具有文化性、趣味性、系统性、应用 性等，使数学竞赛在文化的视野下对数学的大众化起更好的作用 第1 8 页共9 6 页 文化视野下的数学竞赛的思考与研究 第2 章数学文化的基本理论和一些思考 2 1 数学何以成为一种文化 美国数学家m 克莱因( m o r r n sk 1in e ) 曾说：“数学一直是形成现 代文化的主要力量，同时又是这种文化及其重要的因素”数学是科学， 更是一种文化上世纪中叶以来，随着科学的一体化、系统化和全球性的 文化热，数学文化越来越受到人们的关注，那么为什么说数学是一种文 化? 数学在何种意义上称之为文化? 数学作为文化应具备什么特征昵? 本文从现代文化学的角度，采用克鲁伯( a l k r o e b e r ) 和克拉柯洪 ( c k l u k h o h n ) 对现代文化的定义的划分来分析数学何以成为文化 18 71 年泰勒在原始文化中给出了文化的经典定义：“所谓文化 或文明，就其广泛的民族学意义来说，乃是知识、信仰、艺术、道德、 法律、习俗和任何人作为一名社会成员而获得的能力和习惯在内的复杂 整体”到现在为止，由社会学、人类学、精神学及其它学科学者对文 化所下的定义文化定义已有16 0 多种一般来说，文化有广义和狭义之分 广义的文化，是与自然相对的概念，它是指通过人的活动对自然状态的变 革而创造的成果，即一切非自然的、有人类所创造的事物或对象；狭义的 文化，则是指社会意识形态或观念形态，即人们的精神生活领域张楚庭 教授从广义的文化角度来分析数学，他认为，由于数学对象并非物质世界 的真实存在，而是人类抽象思维的产物，不仅数学的概念是抽象的、思辨 的，而且数学的方法也是抽象的、思辨的因此，在文化的广义上来说数学 是一种文化又由于研究数学的人逐渐形成了一个“数学共同体”，郑 毓信教授按照社会建构主义的哲学观，阐述了数学是一种文化进一步地， 蔺云教授从美国著名的人类文化学者l w h i t e 对文化划分的四个方面： 即意识形态的、社会的：情感的、技术的来阐述数学是一种文化 克鲁伯( a l k r o e b e r ) 和克拉柯洪( c k l u k h o h n ) 在文化一关于 概念和定义的评论中分析了这l6 0 多种由社会学、人类学、精神学及 其它学科学者对文化所下的定义他们认为，这些定义可以归纳为六大 类：1 、描述性文化包括社区中所有的社会习惯、个人对其生活的社会 第1 9 页共9 6 页 文化视野下的数学竞赛的思考j 研究 习惯的反应，以及由此而决定的人类活动；2 、历史性这一类定义强调 文化的特性之一，即文化的继承性、传统性；3 、规范性这类定义强调 文化是一种有特色的生活方式，或是具有能动的规范观念及其影响；4 、 心理性强调人的调适、学习及选择的过程，这种定义视文化为满足欲望、 解决问题、适应环境和人际关系的制度；5 、结构性强调每一文化系统 的性质，及不同文化现象之问具有的组织与相互关系；6 、遗传性注重 的问题是文化的来源，文化存在和发展的原因 对于克鲁伯( a l k r o e b e r ) 和克拉柯洪( c k l u k h o h n ) 的归纳，我们 可以这样理解，文化有六种属性：1 、社会习惯性；2 、历史性；3 、规范 性；4 、应用性；5 、结构性；6 、遗传性 既然对文化的界定有多种多样，那么对数学作为一种文化的诠释也 应仁者见仁、智者见智，我们可以根据以上文化的六种属性来分析数学是 否能够称之为文化分析如下： 首先，数学活动具有社会习惯性数学是人类最基本的活动之一，从 古至今，数学活动从来都是一种有意或无意的社会习惯的活动数学起源 于计数的需要和自然数的发明，由于生产和生活的需要，人们研究和发展 数学，中国九章算术是“从人的需要中产生的；是从丈量土地和测量 容积，从计算时间和创造器皿中产生的心3 此时数学的活动是一种显性 的、目的性很强的个人对其生活的社会习惯和适应的反应再从现代生活 来看，数学处处存在，无论是日常生活，还是在学习和运用物理学、天 文学、化学、生物学等自然科学或社会科学和人文科学，都有意无意地 运用到了数学知识因此具备社会习惯性的数学活动是一种文化 其次，数学知识的历史性数学作为一门有组织的、独立的和理性的 学科，不管发展到何种程度，都离不开历史的沉淀和积累的过程，即数 学具有社会历史性任何时期的数学成果，都非某一时期的偶然产物，都 是从前段时期的成果的基础上发展起来的例如，函数的概念的发展完善 历经几代人函数来源于代数学中不定方程的研究，罗马时代丢番图对不 定方程已有相当研究，所以函数的概念至少在那时已有萌芽自哥白尼的 天文学革命以后，运动成了文艺复兴时期科学家共同感兴趣的问题，函 数概念也因此有了力学来源莱布尼兹在16 7 3 年提出了函数