（基础数学专业论文）关于几类完全正则半环的研究.pdf

西北大学学位论文知识产权声明书 本人完全了解学校保护知识产权的规定，即：研究生在校攻读学位期间论文工作 知识产权单位属于西北大学。学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印 件或电子版本人允许论文被查阅或借阅。学校可将本论文的全部或部分内容编入有 关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文 同时，本人保证，毕业后结合学位论文研究课题再撰写的文章一律注明作者单位为西 北大学。保密论文待解密后适用本声明 学位论文作者签名 匆巫新 f 日期。z z , o b 匀e 易月弓f i 指导教师签名 趁毳王 年月日 西北大学学位论文独创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，本论文不包含其他人已经 发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得西北大学或其它教育机构的学位或证书而 使用过的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确 的说明并表示谢意。 学位论文作者签名 毛亚荔 f 日期t 妒锌l ，月e l 1 关于几类完全正则半环的研究 摘要 本文主要研究了完全正则半环类的两个重要子类o n b g 和r e g 一一它们分别 是由加法半群为正规纯整群和矩形群的半环构成的半环类，讨论了这两类半环的的基 本性质和结构同时，讨论了一类m - 完全正则半环的坚固构架结构 本文分为四部分第一部分，介绍了半环的概念及相关理论，并回顾了本文中将会 涉及到的完全正则半群中的一些概念和结论第二部分，讨论了一类重要的完全正则 + 半环类r e g 一一加法矩形群半环类，刻划了这类半环的性质，并给出了其次直积分 解第三部分，研究了加法半群是正规纯整群的半环，通过对完全正则半群上的几个重 上 要同余关系在半环上的推广，对o n b g 中的半环进行了不同角度的次直积或m m c e v 积的分解第四部分，讨论了一类m 完全正则半环的坚固构架结构 关键词；完全正则半环；正规纯整群；次直积；坚固构架 0 ns o m ec l a s s e so fc o m p l e t e l yr e g u l a r s e m i r i n g s a b s t r a c t i nt h i st h e 8 i 8 ，w ed e v o t et os t u d yt w oi m p o r t a n tc l a s s e s o f8 。“”9 8 ，”n 1 。n t h ea d 揣i v er e d u c t so fs e m i r i n g sa r en o r m a lo r t h o g r o u p so rr e c t a n g u l a 。g r o u p 8 w e d i l i b e r a t et h ef u n d 锄e n t a lp r o p e r t i e sa n ds t r u c t u r eo fs e m i r i n g s i nt h em c l a 8 s e 8 a 乞 t h e8 a m et i m e ，w ei n v e s t i g a t et h es t u r d yf r a m e so fm c o m p l e t e l y 。g u l 甜”“1 “9 8 t h i st h e s i sc o n s 斌so ff o u rc h a p t e r s t h ef i r s tc h a p t e ri n c l u d e st h eb ”i c ”t 8 t i o “ a n dd e f t n i t o n s w ei n t r o d u c es o m ec o n c e p t sa n dt h e o r i e s r d “t e dt os e n n 。m 9 8 ，a n d r e c a l lt h en o t a t i o i l 8a n dr e s u l t so fc o m p l e t e l yr e g u l a rs e m i g r o u p sw h i c hw i l lb e u s e d i nt h ef o l l 0 w i n g i nc h a p t e rt w o ，w ec o n s i d e ras e m i r i n gc l a s si nw h i c ht h 。a d d i t i v e r e d u c t 80 f8 e m i r i n g 昌解er e c t a n g u l a rg r o u p w ec h a r a c t e r i z et h ep r o p e 。t l e 8a n d o b t n t h ed e c o m p o s i t i o no fs u b d i r e c tp r o d u c t so m e m b e r si nt h i sc l a s s i n 。h a p 协t h r e e , ” i n v 鹄t i 卫a t et h e8 e m i r i n g sw h o s ea d d i t i v er e d u c t sa r en o r m a lo r t h o g o u p 8 w ee x t e n d af e wo fc o n 卧u e n c e si nc o m p l e t e l yr e g u l a rs e m i g r o u p st os e m i r i n g s f r o md i f i e 。e n t w a y s ，w eg i v et h ed e c o m p o s i t i o n so fs u b d i r e c tp r o d u c t sa n d m a l c e ”p r o d u c t 8o ft h e 8 e s e m i r i n 率b ym a k i n gu s i n g o ft h ee x t e n d e dc o n g r u e n c e s - i nc h a p t 。f o u r , ”。1 t l g a t 8 t h es t u r d vf r a m e so fm c o m p l e t e l yr e g u l a rs e m i r i n g s k e y w o r d s ：c o m p l e t e l yr e g u l a rs e m i r i n g ；n 。r m a l 。r t h o g r o u p 8 ；s u b d i 。”t p 。d u 。t s t u r d yf l a m e 2 第一章绪论 1 1 引言 半群代数理论是一门重要的代数学分支它在许多领域，如计算机、信息安全、 自动化控制等方面都有重要的应用价值【1 1 】经过一个多世纪的发展，现如今，半群代 数理论已发展得较为成熟，并在一些领域取得了大量的相关理论与成果特别是对正 则半群的研究，成果颇丰近几十年来，正则半群的特殊情形如逆半群、纯整半群、 完全正则半群的研究，在半群代数理论研究中占有十分重要的地位1 9 7 6 年，j m h o w i e 所著的a ni n t r o d u c t i o nt os e m i g r o u pt h e o r y 一书介绍了正则半群的 基本理论和成果，对半群理论的研究起到了巨大的推动作用 半环理论的研究始于十九世纪未，但发展较为迅速早在1 8 9 4 年，d e d e k i n d 在 代数数论的原著中就提到了半环的概念后来，m a c a u l a y , k r u l l 和n o e t b e r 等人在研 究环的理想时，也涉及到了半环同时，h i l b e r t ，h u n t i n g t o n 和w e a v e r 等人为了研 究自然数和非负有理数的公理化问题，也先后对半环的概念和性质作了讨论，这其中 值得一提的是v a n d i v e r 在1 9 3 4 年的工作，他对半环首次作了较为系统的研究 1 9 9 1 年，g o l a n 在其著作t h et h e o r yo fs e m i r i n g sw i t ha p p l i c a t i o n sa n dt h e o r e t i c a l c o m p u t e rs c i e n c e 【中系统地阐述了半环的理论如今，半环理论十分丰富，已应 用到自动机语言、组合学、函数分析、图论等许多领域，并且有不少关于半环理论和 应用方面的著作 半环可以看作是用分配律联系着的同一非空集合上的两个半群，这样，半群代数 理论中的一些研究方法和结论就有助于我们来研究半环近些年来，许多代数学者从 半环的半群角度出发对半环进行了研究在半环理论中，半环的结构一直是一个主要 的研究内容，而半环的同余、同态、理想是研究半环结构的主要工具 对一般半环来说，它的加法半群和乘法半群并不是完全对等的，只有乘法对加法 3 的分配律而没有加法对乘法的分配律，但是这两个半群之问又是相互影响的因此从半 环的加法半群出发和从半环的乘法半群入手成为研究半环结构和性质的一个思路本 文第二章研究了加法半群是矩形群的半环，讨论了它的一些性质和次直积分解第三 章研究了加法半群是正规纯整群的半环，充分利用完全正则半群上的同余关系，并将 其过渡到半环上成为半环同余，从而可以从不同角度对这类半环进行次直积或m a l e e v 积的分解文 1 4 中给出了。( 2 , 2 ) 璎代数的坚固构架结构”的理论，从而给出了一个 很好的研究半环结构的方法。因为半环也是( 2 , 2 ) 型代数，所以可以刻划不同类型的 半环的坚固构架结构在本文的第四章我们给出了一类特殊半环m 完全正则半环的 坚固构架结构 1 2 预备知识 本文未交代的有关半群的概念请参阅文献 1 和阱 本文的主要工作是将完全正则半群上的一些性质推广到了半环上所以，首先我 们给出完全正则半群上的一些常用的概念和结论 设s 是一非空集合，“+ ”是定义在s 上的二元运算，如果对任意的x ，y ，：s ， 有( x + y ) + z = z + ( y + z ) ，则称( s ，+ ) 为半群 定义1 2 1 设( s + ) 为半群对a s ，若存在o s ，使得a = a + z + a 和 a + z = z + a ，则称s 为完全正则半群单的完全正则半群称为完全单半群 设s 为完全正则半群由文 2 知一我们可以从两个角度出发，对完全正则半群 的子簇进行刻划若s 的幂等元集合e ( s ) 是s 的子半群，则s 称为纯整群特别 地，若e ( s ) 是正则带( 正规带，矩形带，左零半群) ，则s 称为正则纯整群( 正规纯 整群，矩形群，左群) 矩形群( 左群) 是群和矩形带( 左零半群) 的直积另一方面， 若g r e e n 一7 - i 关系是s 上的河余，则s 称为群带若h 是s 上的正规带同余，则s 称为正规群带若s 是纯整群又是正规群带，则s 称为正规纯整群带事实上，由文 2 】定理i v 2 7 我们知道：正规纯整群与正规纯整群带是等价的 4 定义1 2 2 半群s 的非空子集a 是左( 右) 酉的是指，对任意的a ，b s ，。，a + b a ( a ，b + a a ) 净bea 若当a 是s 的幂等元集合e ( s ) ，且既是左酉 又是右酉的，则s 称为e 酉的 事实上，很容易得到结论：若完全正则半群s 是e 一酉的，则在自然偏序“9 下，所有比幂等元大的元还是幂等元另外，我们所熟悉的半群中，如带、群、矩形群 都是e 一酉的由文 1 知t 若s 上的同余p 是幂等纯同余，则s 是e 一酉的当且 仅当s p 是e 一酉的 命题1 2 3 若s ；【y ；，妒。，口l 是完全单半群的坚固半格，且对任意的n ，卢 y ，& 是d 酉的，则s 是e 一酉的 引理1 2 4 1 2 1 若s 是完全正则半群，则j 是s 上最小的半格同余，最大的幂等 元同余类集合为完全单半群的同余，唯一的同余类集合为完全单半群的半格同余 引理1 2 5 n 若s 是完全正则半群，则j = 口 c l i f f o r d 半群s 是一类特殊的完全正则半群，是完全正则逆半群，即s 的幂等元 集合e ( s ) 是s 的中心。即va s ，e e ( s ) ，e4 - a = 4 - e 完全正则半群s 是 c l i f f o r d 半群的充要条件是d = 氕 对p c o n ( s ) ，若p i e ( z ) = 居( s ) ，则p 称为幂等纯同余相应地，若p i e ( s ) = e ，忙表示恒等关系) ，则p 称为幂等分离同余设s 是正则半群，若p 是幂等分离 同余，则pn7 - i = e 这个结论常常用于对半群进行次点积分解，因为有下列引理t 引理1 2 6 【2 设 舳) 。 是半群s 上的一族同余，且n a e a 几= 那么s 是半 群剐m ，a a 的次直积 由此可知，从同余入手是分析讨论半群及半环结构的一个重要手段下面给出有 关半环的基本知识 定义1 2 7 半环( s ，+ ，) 是指在非空集合s 上装有两个二元运算“+ ”和“”， 且满足条件t 5 ( 1 ) ( s ，+ ) 和( s ) 都是半群； ( 2 ) ( vn ，b ，c s ) 扣+ 0 ) c = o c + b c 和c ( + b ) = c o + c 6 如果v 为任一给定的半群类，我们用v ( v ) 表示加( 乘) 法半群属于v 的半环 的全体在本文中，c r 表示完全正则半群类，s l 表示半格类，c 表示c l i f f o r d 半 群类，r b 表示矩形带类，l z 表示左零半群类，l g 表示左群类，c s 表示完全单 半群类，n b g 表示正规群带类，r o b g 表示正则纯整群类，o n b g 表示正规纯 整群类例如，蛳和6 n e g 分别表示加法半群是半格的半环类和加法半群是正规 纯整群的半环类 定义1 2 8 设s 是半环若s 的加法导出半群( s ，+ ) 为完全正则半群，则s 称为完全正则半环完全正则半环类记为e r 设s 是半环，由于s 的加法导出半群和乘法导出半群上都有各自的g r e e n 一关 系，从而我们用去( 西) 表示s 的加( 乘) 法导出半群上的g r e e nd 关系对于其他的 g r e e n 关系，具有类似的记法 定义1 2 9 设p 是半环s 上的一个等价关系，若p 分别为s 的加法导出半群 ( s ，+ ) 和乘法导出半群( s ，) 上的同余，则p 称为半环s 上的同余 定义1 2 1 0 设s 是半环，p 是s 上的同余，若s p 是w 半环，则p 称为s 上 的w 一同余 定义1 2 1 1 设v 和w 是某个半环类i 的两个子类，如果s i ，p c o n ( s ) ，那么v 和w 的m a l c e v 积是由满足以下条件的半环s 组成： ( 1 ) s 上存在一个w 一同余； ( 2 ) 每一个p 一类都在v 中 ( 3 ) 每一个p 一类都是s 的子半环 我们总是把v 和w 的m a l e e v 积记为v 。w 定义1 2 1 2 设a ， ( a i i ，是一族半环若满足以下条件： 6 ( 1 ) a n 州a 。； ( 2 ) 对v i ，死( a ) = a 。其中几是从a 到a 。的投影映射 则a 称为半环a 。，i i 的次直积 7 第二章加法矩形群半环 本章给出了加法矩形群半环的定义、若干刻划和一些较好的性质，并给出了它的 次直积分解 2 1 基本概念 定义2 1 1 半环s 称为加法矩形群半环，是指它的加法导出半群( s ，+ ) 是矩形 + 群我们用r e g 表示加法矩形群半环类 设s 为半环，o s 若。+ a = o ，则称a 为s 的加法幂等元；若a a = ，则称 。为s 的乘法幂等元若半环s 中的所有元既是加法幂等元又是乘法幂等元，则称s 是幂等元半环这里指出，如不做特别说明，下文中的e ( s ) 均指半环s 的加法幂等 元集合 引理2 1 2 【4 】设( s ，+ ，) 是半环若加法导出半群( s ，+ ) 是加法群的并，则 ( s ，+ ) 是所有最大加法群的并，且任意两个加法群的乘积必完全包含在第三个加法 群中 若s 是纯整群，则可定义s 上的二元关系y 如下： ( va ，b s ) a yb 争a = a o + b + a o ，b 一6 0 + o + 6 0 引理2 1 3 【。】若s o ，则y 是s 上最小的c l i f f o r d 半群同余，且为幂等纯的 并满足口= h y 我们知道矩形群的幂等元集合e ( s ) 是矩形带所以矩形带是特殊的纯整群， 并且不难证明二元关系y 是其上的最小的群同余下面的我们给出了矗e g 中半环的 等价刻划，并且证明了矩形群上的同余y 为加法矩形群半环上的半环同余 8 2 2 主要结论 引理2 2 1 设s 6 r ，则对任意的。，b s ，有 证明因s 的加法导出半群( s ，+ ) 是完全正则半群，由文 2 】知，它的每一州一 类是一子群，即( s ，+ ) 是加法群的并又nha 0 ，由引理2 1 2 可知，曲ha o b ，又 a o b = ( a o + a 0 ) b = a o b + a o b ，即a o b 是加法导出半群( s ，+ ) 上的幂等元在群f k 中，由群的幂等元的唯一性，可知a o b = ( a b ) o 类似地可以证明，口6 0 = ( a b ) o ，所以 a o b = a b o = f a b ) o 定理2 2 2 若s c r ，则下列命题等价t 上 ( 1 ) s r e g ； ( 2 ) e ( s ) r b ； ( 3 ) s 满足，a o + b o + a o = a o ； - i - ( 4 ) s o c s ； ( 5 ) y 是s 上最小的g 一同余 证明( 4 ) 辛( 3 ) = ( 2 ) 辛( 1 ) 显然成立这里仅给出( 1 ) 号( 5 ) 和( 5 ) 号( 4 ) 的 证明 首先，( 1 ) = ( 5 ) 由上文所述已知y 是s 的加法导出半群( s ，+ ) 上最小的群同 余，从而只需证明y 是s 的乘法导出半群( s ) 上的同余对任意的a ，b ，c s ，设 a yb ，有： ( 扩+ b + 扩) c a o c + b c + a o c ( ) o + ( k ) + ( c ) o 同理可得；b c = ( 6 c ) o + ( a c ) + ( 6 c ) o ，故a c yb c 类似地，可以证明y 曲从而可知y 是s 上最小的6 同余 9 其次，( 5 ) 号( 4 ) 对任意的e e ( s ) ，若存在，e ( s ) ，使e ，则e = e + f = ，+ e 又由y 是s 上最小的d 同余，故y 是幂等纯同余，且所有的加法幂等元在同 一y 一类中从而有e y f 铮e = e + ，+ e 和f = ，+ e + f = ( ，+ e ) + ，= e + ，= e ， 故知e 是本原幂等元由e 的任意性可知s 是完全单半群，s y 是群，显然是b 酉 的，又因y 是幂等纯的，由文1 1 引理i i 5 7 可知，s 是e - 酉的，再由文 1 】命题 i i 5 6 可得到s 是纯整的 引理2 2 3 设s 玉g ，则茜是s 上的半环同余 证明由文 2 知，卉是s 的加法导出半群( s + ) 上的同余，所以只需证明_ ) 专 是s 的乘法导出半群( 只) 上的同余设。杰b 因矩形群的每一似类是一子群， 则。和b 在s 的同一加法子群中，据引理2 12 知，o c 花k ，c n 五c 6 ，即壳是s 的 乘法导出半群( s ，) 上的同余所以知卉是s 上的半环同余 定理2 2 4 设( s ，+ ，) 是半环，则下列命题等价： 上 ( 1 ) s r , e g ； j-j4-4- ( 2 ) s 是g 和r b 中半环的直积，即s g r b ； ( 3 ) s 是艺，a 和屯中半环的次直积 证明( 1 ) 寺( 2 ) 因s 的加法导出半群( s ，+ ) 是矩形群，由文 2 知，hy = 口= u ( 泛关系) ，且y 是加法导出半群( s ，+ ) 上的幂等纯同余再由文【2 】命题 i i 3 3 知，壳i - 1y ：毛故半环s 是s 壳和s y 的直积这里的( s 卉，+ ，) 矗b ， ( s y ，+ ，- ) g ( 2 ) = ( 1 ) 在s 加法导出半群的( s ，+ ) 上，据矩形群的定义，可直接得到 ( 2 ) 甘( 3 ) 容易证观若s 焘b ，则( s ) 是带，且圭，j 老分别是z 和矗z 一同 余，即矗e b ：zv 屯故( 2 ) 和( 3 ) 等价 命题2 2 5 设s i h g ，对任意的o ，6 s ，则下列命题成立t ( 1 ) ( n + b ) o = n o + 6 0 ； ( 2 ) ( a b ) o = o , 0 6 0 证明( 1 ) 因s 的加法导出半群( s ，+ ) 是矩形群，所以对任意的n ，6 s ，存在 】0 风，风，使得a ，a o h a ，b ，b o l i b 又咒是s 上的同余，所以a 十b ，a o + b o l 舢而a o + b o + a o + b o = a o + b o 即a o + b o 是加法导出半群( s ，+ ) 上的幂等 元在群甄：5 中，由群的幂等元的唯一性，可知( a + b ) o = a 0 + b o +j ( 2 ) 对任意的，b s ，由引理2 2 1 知，a 0 垆ha o bha b ，则a o b o 州a b 又因 a d b o = ( a o + a o ) 6 0 = o o b o + a o b o ，故a o b o 是加法导出半群( s ，+ ) 上的幂等元，在群 h o b 中，由群的幂等元的唯一性，可知( 口6 ) o = a o b o 第三章加法正规纯整群半环 本章的主要研究对象是加法正规纯整群半环，给出了这一类半环的一些较好的性 质和结构，并从几个不同的角度对其作了次直积分解 3 1 基本概念 定义3 1 1 设s 是纯整群，若e ( s ) 是正规带，则称s 为正规纯整群所有的正 规纯整群构成的类记为o n b g ，那么由前所述，6 n b g 表示所有的加法半群为正规 纯整群的半环类 定义3 12 设s 是群带，若s 上的g r e e n - “关系是正规带同余，则称s 是正规 群带所有的正规群带构成的类记为n b g 那么由前所述，责b g 表示所有的加法 半群为正规群带的半环类 文【2 中对c r 和o n b g 中的半群进行了非常完美的刻划，在以后的论证分析 中多次用到其定理表述如下： 定理3 1 3 【设s 是半群，则下列命题等价。 ( 1 ) s 是完全正则半群，即s c r ； ( 2 ) 每一个似类是s 的卟子群； ( 3 ) s 是( 无交) 群并； ( 4 ) 对任意的a s ，a a s a 2 ； ( 5 ) s 是完全单半群的半格 定理3 14 恻若s c r ，则下列命题等价： ( 1 ) s 是正规纯整群，即s o n b g ； ( 2 ) s 是正规o r t h o c r y p t o g r o u p ； ( 3 ) s 是矩形群的强半格； ( 3 ) s 是矩形群的强半格； 1 2 ( 4 ) s 是左正规带，c l i f f o r d 半群和右正规带的次直积； ( 5 ) s 满足等式： a x y o a = a y o z 口 我们知道，正规群带是完全单半群的强半格正规纯整群带就是矩形群的强半格， 因此要想弄清6 n b g 的性质和结构，应充分利用第二章中矗。g 的结构和性质定理 3 26 n b g 中半环的性质 设s 6 n b g ，首先，我们把半环s 的加法导出半群( s ，+ ) 上的g r e 。n 爿 g r e e n - 口关系推广到半环上 引理3 2 1 若s 古r ，则去是s 上的肛同余 证明因s 的加法导出半群( s ，+ ) 是完全正则半群，所以彦：杏由文 2 知， 了是完全正则半群上半格同余，所以只需证明去是s 的乘法导出半群( s ，) 上的同 余对任意的。，b ，c s ，设。去6 ，丽茹：圭。竞，即 亦即 所以 + oc0 冗b + ( 3z s ) acz 冗b + ( jz s ) n c c 。c 冗b c 故。c 杰。竞b c ，即。茜b c 类似的可以证明；去c 6 ，所以知去是s 上的吉乒同余 显然，去是6 n b g 中半环上的吉厶同余 引理3 2 2 设s 6 n b g ，则砬是s 上的i 寺b 同余 证明由文f 2 知，卉是s 的加法导出半群( s + ) 上的同余，从而只需证明 杰是乘法导出半群( s ，) 上的同余对任意的6 ，c s ，设口五6 ，即一：b o ，则有 1 3 a o c6 0 c ，由引理2 2 1 有：( 口c ) 。：( 6 。) 。即。卉k 类似地可以证明卉c 6 从而 可知矗是s 上的半环同余又由文 1 2 知，卉是正规纯整群上的正规带同余，所以 杰是s 上的曲b 一同余 我们知道t 正规带是特殊的正规纯整群，即n b o n b g ，那么n b c6 n b g ，所以卉是葑b 中半环上的茹b 一同余 命题3 2 3 设s o n b g ，对任意的a ，b s ，则下列命题成立t ( 1 ) ( a + 6 ) o + ( b + o ) o + ( a + 6 ) o = ( a + 6 ) o ； ( 2 ) ( a + b ) o = n o + 扩； ( 3 ) ( 曲) 。= a o b o 证明( 1 ) 由文【2 】知，s 的加法导出半群( s ，+ ) 是矩形群s 。的强半格 对任意的a ，b s ，则存在n ，夙使得o s o ，be ，a + b ，b + a + 口，即 + 去( b + n ) 限制在e ( s ) 上，则有( n + b ) 。古( 6 + 。) 。，而每一去类是矩形带，所 以( a + b ) 。+ ( b + 口) 。+ 似+ 6 ) o = ( a + b ) o ( 2 ) 因s 的加法导出半群( s ，+ ) 是正规纯整群，所以对任意的a ，b s ，存在 凰，风，使得口，n 。凰，b ，b o 风又前是s 上的同余，所以n + b ，口o + b o 凰仙而o o + b o + a o + b o = a o + b o ，即o o + b o 是加法导出半群( s ，+ ) 上的幂等 元在群风：b 中，由群的幂等元的唯一性，可知( a + 6 ) o = a o + b o ( 3 ) 对任意的d ，b s ，由引理2 2 1 知，o 。b o 杰n o b 素a b ，则o o b o 壳n b 又因 a o b o = ( a o + a 0 ) 6 0 = a o b o + a o b o ，故n 0 6 0 是加法导出半群( s ，+ ) 上的幂等元，在群 既6 中，由群的幂等元的唯一性，可知( 口6 ) o = 扩垆 命题3 2 4 设s 是半环，则下列命题等价： ( 1 ) s 是一族子半环 & ( 口y ) 的并，其中& r e g ； ( 2 ) s 是一族子半环 ) ( o y ) 的无交并，其中& r e g ； + ( 3 ) s r e g os g ； ( 4 ) s 6 n b g ，且每一个去类是s 的子半环 】4 证明( 3 ) 号( 2 ) 和( 2 ) 辛( 1 ) 显然成立 + ( 4 ) 垮( 3 ) 假设( 4 ) 成立，即s o n b g ，亦即s 的加法导出半群( s ，+ ) 是一 上上 个正规纯整群由前面知，d 是s 上的同余，又每一个口一类是s 的子半环，所以 4牟o 1 j 每一个d 一类是r e g 中的半环，s l y 是s l 中的半环，也就是说s a e c 。s 4 , - ( 1 ) = ( 4 ) 设半环s 是r e g 中一族子半环 ) ( a y ) 的并，则s 一定是 q-4- o n b g 中的半环又由s o r e g ，则s a 一定包含于s 的某个西一类，从而知s 的 + 每一个7 ) - 类是s 的子半环 命题3 2 ，5 设s o n b g ，则下列命题等价： ( 1 ) s 是其极大子环的无交并； ( 2 ) s 是其子环的无交并； ( 3 ) ( s ，+ ) 的极大子群是交换的，汜( s ) ，) 是带 我们知道，正规纯整群是特殊的纯整群下面的命题给出6 中半环的一个性质 命题3 2 6 设s 5 ，则s 矗e g 当且仅当s l y 矗 证明充分性对任意的e ，e ( s ) ，则弘， e ( s y ) 因s l y g t ，所以 弘= m = ，其中m 是彤y 在加法半群上的恒等元，从而以+ ”+ 弘 = 址+ ，+ 。= 弘= y e ，即0 + ，+ e ) ye ，亦即 e = e o + ( e + ，+ e ) + e 0 = ( e o + e ) + ，+ ( e + e o ) = e + ，+ 8 由e , f 的任意性知，e ( s ) 是矩形带，故知s r e g 必要性可以直接得到 3 3 古l n b g 中半环的次直积分解 本节中，我们将对6 n b g 中的半环进行次直积分解 1 5 首先，在第二章的介绍中，我们已经知道二元关系y 是纯整群上的最小c l i f f o r d 一 半群同余，并且证明了3 ，是加法矩形群半环上的8 一半环同余，我们将证明y 是 十+ o n b g 中半环上的最小的c l i f f o r d - 半环同余，即c - 同余 引理3 3 l 设s 古n b g ，则y 是半环s 上的最小6 同余，即s y 是加法半 群为c l i f f o r d 半群的半环 证明 由s 的加导出法半群( s ，+ ) 是正规纯整群知，y 是加法导出半群( s ，+ ) 上最小的c 一同余，从而只需证明3 ，是乘法导出半群( s ，) 上的河余对任意的 a ，b ，c s ，设a yb ，则 ( 0 + b - i - a 0 ) c 0 c + b c + n o c ( n c ) o + ( b c ) + ( a c ) o 同理可得tb e = ( 6 c ) o + ( a c ) - i - ( 6 c ) o ，故知a c yb e 类似地可以证明c nyc 6 ，从而可知y 是s 上最小的古一同余 推论3 3 2 设s 6 ，则y 是半环s 上的最小古同余，即s y 是加法半群为 c l i f f o r d 半群的半 由前面的介绍知，去是古r 中半环的半环同余，下面我们从另外一个角度证明 - i -+ 口是o n b g 中半环的半环同余 命题3 3 3 设s 6 n b g ，则去是s 上的吉厶同余 证明因s 的加法导出半群( s ，+ ) 是正规纯整群，由文f 2 命题i i 5 6 可知， 壳y ：去，又由前面知，y 是s 上的半环同余，所以知去是s 上的半环同余又s 的加法导出半群是正规纯整群，故知去是s 上的吉乒同余 下面我们引入完全正则半群上的几个重要同余，以用来对o t n b g 中的半环进行 次直积分解 1 6 设( s ，+ ) 是正规纯整群，由文【2 知，可以在s 上定义二元关系a 和”如下 ( v a ，b s ) aab 铸a = a 0 + b ，b = b o - f a a ”b 甘a = b + a o ，b = a + b o 那么，a ( a + ) 是s 上最小的右( 左) 正规纯整群同余，即剐a ( s a + ) o r n b g ( o l n b g ) ，且a = y n c ( ”= y n 冗) ，其中y 是s 上最大的幂等纯同余可以看 出， ，a + y d ，且a na + = y n c n 冗= y n7 - = + 上面介绍的a 和”是正规纯整群上的，下面我们将证明这些同余可以成为o n b g 中半环上的半环同余 上 引理3 3 4 设s o n b g ，则下列命题成立。 ( 1 ) a 是s 上最小的o r n b g 一同余； 上 ( 1 ) a 是s 上最小的o l n b g - 同余 证明( 1 ) 由半环s 的加法导出半群( s ，+ ) 是正规纯整群知，a 是加法导出半 群( s ，+ ) 上最小的o r n b g 一同余，从而只需证明a 是乘法导出半群( s ，) 上的同 余对任意的a ，b ，c s ，设aab ，则 ( 扩+ 6 1 c a o c + b c ( 。c ) o + 6 c 同理可得：b c = ( 6 c ) o + a c ，故知a cab c 类似地可以证明c a 西，从而可知a 是s 上最小的0 r n b g 一同余 ( 2 ) 的证明类似于( 1 ) 有了以上的准备，我们就可以得到o n b g 中半环的次直积分解 定理3 3 5 设s o n b g ，则下列命题成立t ( 1 ) s 是n b 和c 中半环的次直积； ( 2 ) s 是n b ，古和f i n b 中半环的次直积； 1 7 ( 3 ) s 是o r n b g 和o l n b g 中半环的次直积 证明( 1 ) 由前面的介绍知，卉是0 4 - n b g 中半环的葑b 一同余，即( 剐花，十，) 曲b ，又由前面的证明知，y 是s 上最小的古一同余，即( s y ，+ ) 古因为y 是幂等纯同余，则有砬ny e ，从而s 是s h 和s y 中半环的次直积，即s 是 n b 和c 中半环的次直积 ( 2 ) 由文【8 知，责b ：l n bv f i n b ，所以s 是f i n b ，l n b 和古中半环的 次直积 + ( 3 ) 由上文知，a n ”= y n c n 冗= y n 咒= ，而( s a ，+ ，) o r n b g ， ( s a + ，+ ，) o l n b g ，所以s 是o r n b g 和o l n b g 中半环的次直积 命题3 3 6 设s o n b g ，则下列命题成立一 ( 1 ) c 是s 上的r n b - 同余； + ( 2 ) 佗是s 上的l n b - 同余 命题3 3 6 的证明比较容易，用到了c ，宠分别是正规纯整群o n b g 上的r n b 一 同余和l n b ，同余此命题可以进一步说明定理3 3 5 中的结论( 2 ) 因为圭，竞分别 是s 上的矗n b 同余和l n b 同余，又乏n 杰n y ：袁n y ：，就可以知道s 是 酬圭函b ，s l y 古和s 竞l n b 中半环的次直积 下面的两个命题是文 1 4 的引理3 4 和定理3 5 的推论 命题3 3 7 设s 6 n b g ，则s 是半环& 赢g 的坚固构架b ，即s ： b ， ；瓯x 。，口】当且仅当s 的加法导出半群( s ，+ ) 是矩形群的坚固半格 命题3 3 8 设s 6 n b g ，则s 是矗e g 与茧中半环的次直积当且仅当s 的 加法导出半群( s ，+ ) 是矩形群与半格的次毫积 引理3 3 9 1 2 设s c r ，v c ( c s ) 下面命题等价。 ( 1 ) s 是v 中半群的强半格； ( 2 ) s s v v 】8 由命题3 3 7 ，命题3 3 8 及文 2 定理i v 3 6 可以得到下面结论： 命题3 3 1 0 设s 0 n b g 则下列命题等价； ( 1 ) s 是碗e g 中半环的坚固构架，即s = 【b ，s ；& ，x 。，a 】； +士+ ( 2 ) s 是r e g 与s 中半环的次直积，即ses e v r e g ， 命题3 3 1 1 设s e r ，vec ( c s ) ，则下列命题等价t 上 ( 1 1s 是v 中半环的坚固构架； +q - ( 2 ) s 是v 和s 中半环的次直积，即s s v v 命题3 3 1 1 是将引理3 3 9 的半群上的性质过渡到了半环上另一方面，命题3 3 1 1 又是对命题3 3 1 0 的一个延拓，或者说命题3 3 1 0 是命题3 3 1 1 的特殊情形 设s = y ；& ，x 。，口 eo n b g 由文【2 】知，可以在s 上定义二元关系p 如下： ( va ，b s ) npb 铮a o + b o = b o + o o 在文 2 】中我们知道p 是s 上的矩形带同余，且p n 口= 7 - 上面介绍的二元关系p 是o n b g 中半群上的同余关系，下面引理中我们将证明 它可以过渡成为6 n b g 中半环上的半环同余从而我们可以从另一角度对6 n b g 中的半环进行次直积分解 引理3 3 1 3 设s 古n b g 若s ： b ，s ；咒，x 印 ，则p 是s 上的矗b 一同 余 证明由半环s 的加法导出半群( 只+ ) 是正规纯整群知，p 是加法导出半群 ( s ，+ ) 上的矩形带同余，从而只需证明p 是乘法导出半群( s ，- ) 上的同余对任意 的a ，b ，c s ，设apb ，即 口0 + b o = b o + a o ，由分配率，有 a o c + b o c = b o c + a o c 】9 再由引理2 2 1 ，有 ( o c ) o + ( 6 c ) o = ( 6 c ) o + ( 口c ) o 即g cpb c 类似地可以证明：c t cp6 c ，从而可知p 是s 上的r w - b 一同余 定理3 3 1 4 设s 6 n b g 若s = b ，；& ，x 。，口】，则s 是矗b ，考和古中 半环的次直积 证明我们知道，p 是半环s 上的矗b 一同余，y 是半环s 上的最小古一同 余，去是半环s 上的吉乒同余，且pn 去：袁，劂pn 去ny ：壳ny ：e 。而 ( s i p ，+ ，) 矗b ，( 酬去，+ ，) 吉f ，( s y ，+ ，) 古，所以s 是矗b ，茧和古中半 环的次直积 下面我们给出c r 中半环的一类同余先介绍以下的记号设s 是任一半群，任 给o s ，记 i 矿( 口) = = 。s ，茁o = 髫) 我们称( 口) 中的元素为。的弱逆元 若s 是b 逆b 半群，则可以在s 上定义二元关系盯如下； n 口b 静w ( s ) n w ( 6 ) 由文f 3 0 知，口是s 上最小的群同余 命题3 3 1 5 设s 古r ，则盯是s 上的8 一同余 证明由半环s 的加法导出半群( s ，+ ) 是完全正则半群，由上面的介绍可知， 口是加法导出半群( s ，+ ) 上的同余，从而只需证明盯是乘法导出半群( 只) 上的同 余对任意的。，b ，c s ，设口口b ，则w ( o ) n ( 6 ) 也即 ( | s ) z = + o + 茁 g = o + b + z 2 0 所以 x c = z c + a c + z c z c = z c + b c + x c 故知a cob c 类似地可以证明。寸。6 ，这就说明了盯是6 r 中半环的6 同余 2 l 第四章m - 完全正则半环的坚固构架结构 在这一章中，我们将给出m 一完全正则半环的一些性质，等价刻画以及它的坚固构 架结构 4 1m 一完全正剜半环的定义 我们知道，完全正则半群是群并半群，它的等价刻画是完全单半群的半格纯整 的完全单半群是矩形群我们用o r 和e s 分别表示半环s 的乘法导出半群( s ，) 是完全正则半群和完全单半群的半环 现在我们讨论两类重要半环e r 和e s 的m a l c e v 积 引理4 1 1 设s 是半环若西是s 的加法导出半群( s ，+ ) 上的同余，则下列 命题等价t ( 1 ) s 是一族子半环 & ) ( o y ) 的并，其中s 。c s ； ( 2 ) s 是一族子半环 & ) ( a y ) 的无交并，其中咒e s ； ( 3 ) s e so 叠 ( 4 ) s e r ，且s 的每一个西类是子半环 证明( 3