（基础数学专业论文）一类自相似测度的密度估计.pdf

d i s s e r t a t i o nf o r m a s t e rd e g r e e ，2 0 1 0 c o l l e g ec o d e ：1 0 2 6 9 r e g i s t e rn u m b e r ：5 1 0 7 0 6 0 1 0 4 7 e a s tc h i n an o r m a lu n i v e r s i t y e s t i m a t e so ft h ed e n s i t i e sf o rak i n do f 1 ，1 s e l t _ 8 1 m l l a rm e a s u r e d e p a r t m e n t - m a t h e m a t i c s m a j o r ： s u b j e c t ： p u r em a t h e m a t i c s f r a c t a lg e o m e t r y s u p e r v i s o r ：p r o f w e n x i al i n a m e ：h a i q u nz h a n g m a r ，2 0 1 0 s h a n g h a i 华东师范大学学位论文原创性声明 郑重声啊：本人呈交的学位论文一类自相似测度的密度估计，是在华东师范 大学攻读颐陋博士( 请勾选) 学位期间，在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究 成果。除艾中已经注明引用的内容外，本论文不包含其他个人已经发表或撰写过的研究 下完成 作者签名： 日期：刀埠6 月e i 华东师范大学学位论文著作权使用声明 测度的密度估计系本人在华东师范大学攻读学位期间在导师指导 ( 请勾选) 学位论文，本论文的研究成果归华东师范大学所有。本人 同意华东师范大学根据相关规定保留和使用此学位论文，并向主管部门和相关机构如国 家图书馆、中信所和“知网 送交学位论文的印刷版和电子版；允许学位论文进入华东 师范大学图书馆及数据库被查阅、借阅；同意学校将学位论文加入全国博士、硕士学位 论文共建单位数据库进行检索，将学位论文的标题和摘要汇编出版，采用影印、缩印或 者其它方式合理复制学位论文。 本学位论文属于( 请勾选) ( ) 1 经华东师范大学相关部门审查核定的“内部 或“涉密学位论文幸， 于 适用上述授权。 丐支 本人签0 7f 己衫劢十 论文( 需附获批的华东师范大学研究生申请学位论文“涉密”审批表方为有效) ，未经上 述部i j 审定的学位论文均为公开学位论文。此声明栏不填写的，默认为公开学位论文，均适用 上述授权) 。 张海群硕士学位论文答辩委员会成员名单 姓名职称单位备注 粱参务权年如峰l 乏久吝 主席 rl 务畛疡颥吻、坳眨爪艿 钔洌捌、。印渤 - 。，口 r f 一 摘要 s a l l i 在1 9 8 5 年首先证明了对任何自相似集在其上的几乎处处每一点的上下密 度等于一个常数，丰德军等人研究了三分c a n t o r 集在其上每一点的上密度和下密 度，并分别给出了它们的等式，另求出了三分c a n t o r 集几乎处处每一点的密度的精确 值，李文侠和姚嫒嫒求出了非对称c a n t o r 集在其上每一点的密度值本文主要给出了 由s o ( z ) = 詈，s 1 ( x ) = 考+ 亏2 ，岛( z ) = 考+ 三个相似压缩映射所生成的自相似集在 其上每一点的密度的估计，在此基础上还可以考虑多个的情形 关键词：c a n t o r 集、密度、自相似测度、自相似集、压缩映射 i n19 8 5 ，s a l l ip r o v e dt h a tt h eu p p e ra n dl o w e rd e n s i t i e so fa l m o s te v e r yp o i n to fa n y s e l f - s i m i l a rs e t se q u a lc o n s t a n t s f e n gh u aa n dw e ns t u d i e dt h eu p p e ra n dl o w e rd e n s i t i e so fa n y p o i n to ft h ec l a s s i cm i d d l e - t h i r dc a n t o rs e t , a n dg a v et h e mt h ee q u a l i t i e s ，a n dc a l c u l a t e dt h ee x a c t v a l u e so ft h ed e n s i t i e sf o ra l m o s ta l lp o i n t s w e n x i al ia n dy u a n y u a ny a os t u d i e dt h ed e n s i t i e so f a n yp o i n tf o rn o n - s y m m e t r i cc a n t o rs e t i nt h i sp a p e r w eg i v et h ee s t i m a t e so ft h ed e n s i t i e sf o r 锄y 弦砬。f m es d r - s ；础盯s e t g 铋啪t e s b y s o ( x ) = 孝, s i ( 功= 詈+ 詈，s 2 ( x ) = 孝+ 詈 k e yw o r d s ：c a n t o rs e t ；d e n s i t y ；, s e l f - s i m i l a rm e a s u r e ；s e l f - s i m i l a rs e t ；c o n t r a c t i o n m a p p i n g s 引言 分形”一词译于英文f r a c t a l ，系分形几何的创始人曼德尔布罗特( b b m a n d e l b r o t ) 于1 9 7 5 年由拉丁语f r a n g e r e - - 词创造而成，词本身具有”破碎”、”不规则”等含 义。m a n d e l b r o t 研究中最精彩的部分是1 9 8 0 年他发现的并以他的名字命名的集合， 他发现整个宇宙以一种出人意料的方式构成自相似的结构1 9 6 7 年m a n d e l b r o t 在 “s c i e n c e 杂志上发表了一篇英国海岸线有多长? 统计自相似与分数维数的论 文他在这篇论文中对海岸线作了独特的分析“f r a c t a l ”一词也首次出现在科学 界随后他在1 9 7 5 年发表了专著 分形：形状，机遇与维数，第一次系统地阐述了分 形几何的思想、内容、意义和方法这个专著的发表标志分形几何作为一个独立的 学科正式诞生后来f e d e r e r ，f a l c o n e r 和m a t t i l a 等人的研究工作，将几何测度论引 进了分形理论中，研究分形集的理论和方法有了巨大的发展，大大推进了分形分析， 分形理论因此也得到极大的丰富近期，随着人们对非线性科学的重视和计算机技术 的快速发展，分形几何无论是在数学基础还是在应用方面都得到了快速的发展 许多分形是由一些与整体以某种相似的部分组成的，比如三分康托集是与它自 身相似的两部分的并，而y o nk o c h 曲线则是由四个与之相似的部分组成的这些自 相似性不仅是这类分形的性质，实际上也可以用来作为它们的定义，这经常是一种十 分有用的处理方法 维数是几何对象的一个重要特征量，它是几何对象中一个点的位置所需要的 独立的坐标数目在欧氏空间中人们习惯把空间看成三维的，平面或球面看成二 维的，而把直线或曲线看成一维的，也可以稍加推广认为点是零维的，还可以引入 高维空间分形理论认为维数也可以是分数，从而1 9 1 9 年数学家从测度的角度引入 了维数概念将维数从整数扩展到分数，从而突破了一般拓扑集维数为整数的界 限1 9 8 1 年，h u t c h i s o n 把用“相似的丰富递归步骤产生自相似集的方法一般化， 并给出开集条件的定义，满足开集条件的自相似分形的h u 雒s d o r f f 维数，b o x i n g 维 数，p a c k i n g 维数均与自相似维数相等b a n s l e y 和d e m k o 于1 9 8 5 年引入可产生和 分类分形集的统一方式：迭代函数系统( i t e r a t e df u n c t i o n ss y s t e m ) ( 下文中简记 为i f s ) 许多经典的分形可以利用i f s 产生，如三分c a n t o r 集，s i e r p i n s k i 垫片等 对于一个一般的自相似分形( 不必满足开集条件) ，它的h a u s d o r i f 维数，计盒维数， 填充维数均相等而主要用于数学理论研究的是h a l m d o r f f 维数与p a c k i n g 维数 设 & ) 銎l 是r n 的闭子集d 上一族压缩映射，即 i & ( z ) 一s ：( 可) l c d x y i ，0 色 1 ，z ，y d 则存在唯一的非空紧急集e 满足e = u 銎1s i ( e ) ，称e 为压缩族 s ，i t i * 1 的不变集 或吸引子若& 是相似压缩映射，则称e 为自相似集；若& 是仿射压缩映射，则 称e 为自仿集设 s l ，) 是xc 俨上与概率 p 1 ，加) 相关联的迭代函数系 则存在唯一的波雷尔概率测度p ( 满足p ( x ) = 1 ) ，对任意波雷尔集a 满足 p ( a ) = p i # ( f i - 1 ( a ) ) i = 1 测度p 称为自相似测度 密度定理是分形几何中的一个非常重要的概念其中l e b e s g u e 密度定理是当中 的一个简单结果，我们可以把它扩展到h a u s d o r f f 测度与p a c k i n g 测度的情形 文献【1 2 】首先证明了对任何自相似集在其上的每一点密度几乎处处等于一个常 数，文献【3 】研究了三分c a n t o r 集在其上每一点的上密度和下密度，分别给出了它们的 一个等式，并且求出了它们在几乎处处下的精确值，文献 9 】研究了非对称c a n t o r 集 在其上每一点的密度本文主要是对文献【3 】进行了推广，即推广成由a o ( z ) = 詈， s 1 ( z ) = 考+ ，岛( z ) = 詈+ 三个相似压缩映射所对应的自相似测度在由& ( z ) = 詈， s 1 ( 2 ) = 詈+ ；，s 2 ( x ) = 考+ 组成的迭代函数系所生成的自相似集中的点的密度的 一个估计，得到以下两个结果： ( 1 ) 对任何z e ，s = l l 。o 9 9 5 a 有 e ：( p ，z ) 5 - s ； ( 2 ) 对任何z e ，s = 幽l 0 9 5 有 e ”( p ，z ) l i 七m s u pm a x 环面币丽研, 3 2 - s 其中p 是由文( z ) ：考，昆( z ) ：考+ ，s 3 ( z ) ：考+ 所对应的自相似测度，e 是 由毋，岛，岛所生成的吸引子，e 榔( p ，z ) ，e ：( p ，z ) 分别用来表示p 在z 点的s 维上密 度和s 维下密度 v 中文摘要 英文摘要 引言 目录 l u i u 第一章基础知识介绍1 1 1h a u s d o r f f 维数和自相似集1 1 2 自相似测度与密度的定义及已有结果3 第二章一类自相似测度的密度估计7 2 1 主要结果及其证明7 参考文献1 6 致谢1 7 华东师范大学硕士论文 一类自相似测度的密度估计 第一章基础知识介绍 1 1h a u s d o r f f 维数和自相似集 测度和维数是分形几何中最基本的概念在已经提出的多种维数的定义中，主要 用于数学理论研究的是h a u s d o r f f 维数与p a c k i n g 维数 令舯为n 维空间，e 为r n 中任一非空子集，e 的直径定义为： d i a m ( e ) = s u p i x y i ：z e ，y e ) 对于r n 中的可列子集族 阢 ，如果o 1 阢e ，则称 c r y 为e 的 一个6 覆盖 定义1 1 1 设e 为r n 中任一非空子集，s 0 对任何6 0 ，定义： 霹( e ) = i i l f d i a m ( u i ) 。： 阢) 为e 的一个6 覆盖) i - - - - 1 作为6 的函数，月苫是单调非减的，从而当6 _ 0 时，它的极限存在记 h 。( e ) 2 i 。m uh ；( e ) 称日8 ( e ) 为集合e 的s 维h a u s d o r f f 测度 定义1 1 2 设e 为r n 中任一非空子集，定义e 的h a u s d o r i f 维数d i m he 为： d i m he = i n f s ：h 5 ( e ) = o ) = s u p s ：h 8 ( e ) = + 。) 定义1 1 3 设鼠：x 叶x ，x 是r n 中的非空闭子集，i = 1 m 满足 鼠( z ) 一& ( 暑) l q l z y l ，0 色 1 ，z ，曼，x 则称 & 】罂l 为一族压缩影射，或者称为一个迭代函数系( i f s ) 若上式等号成立则 称 s 】罂1 是相似的 1 华东师范大学硕士论文一类自相似测度的密度估计 定义1 1 4 设 s l 】是xc 舻中的迭代函数系，那么存在唯一的非空紧子 集ecx ，满足 m e = u & ( e ) i = 1 把e 称为i f s s 1 ) 的吸引子或不变集，如果 则e g q 做自相似集 岛( z ) 一岛( ) i = q i z y i ，0 c 1 ，z ，y x 定义1 1 5 如果存在一个非空有界开集ucx ，使得 m u 鼠( u ) c u i = 1 - au t l - l & ( 【厂) 是不交并，则称i f s s l ) ) 满足开集条件，显然对于三分c a n t o r 集 容易验证o s c 成立 定理1 1 1 【1 设是_ e - - 族相似变换 【最) ) 的吸引子，这里& 有相似比n ，如果 满足开集条件，则d i m h e = s ，r o h 8 ( e ) o o ，其中8 是下式的唯一正数解 引理i i 1 设e 是由s l ( z ) = 考，& ( z ) = 考+ ，鼠( z ) = 詈+ 生成的自相似集，则 d i m h e = s = 踩 证明：因为鼠满足开集条件只要取u = ( 0 ，1 ) 即可，所以 d i m h e = s ，s 满足薹1 碍= l ，即( ) s + ( ) 8 + ( ) 8 = 1 ，所以s = 罐 在以下问题的讨论中，我们都假定s = 薯 2 l = s 1 r m 汹 华东师范大学硕士论文 一类自相似测度的密度估计 1 2自相似测度与密度的定义及已有结果 定义1 2 6 设函( z ) = 詈，& ( z ) = 詈+ ；，兜( z ) = 詈+ 芎4 ，则由f 4 】可知存在唯一 的b o r e l 概率测度肛对所有b o r e l 集f 有 p ( f ) = 吾1 郎f 1 ( 剐+ 丢p ( s 1 ( f ) ) + 昙p ( s 1 ( 剐 测度肛称为自相似测度 上述弘有如下性质详见 6 】 其中e 黾由s l ，鼠生成的自相似集，且e = z l z = 墨l 擎，q = o ，2 ，4 ) ( 1 ) p 的支撑是e ，u ：ls i ( e ) = e ( 2 ) h 8 ( e ) = 1 ( 3 ) p = h 8 i e ，h 8 l e 表示集中在e 上的h a u s d o r i f 测度即对所有acr ， h 8 i e ( a ) = 日8 ( a n e ) 定义1 2 7 设0 8 0 0 ，ac 册，a 舻称 e 弋舢) = l i m s u p r - - 。o 型筹趔l z 7 。，” e m ) _ l i 卿型群剑 分别为集a 在点n 上的8 维上密度和8 维下密度若 e 柏( a ，a ) = e ：( a ，n ) ， 则称它们的共同值为集a 在点上的s 维密度记为0 8 ( a ，口) ，其中b ( 口，r ) 是以口为圆 心r 为半径的闭球 定理1 2 2 【5 】设ac 舻且日8 ( a ) o o 则 ( 1 ) 2 叶e ”( a ，z ) 1 对于日8 几乎所有z a 成立 3 华东师范大学硕士论文 一类自相似测度的密度估计 ( 2 ) 如果a 是h 5 可测的，则0 ( a ，z ) = 0 对于日8 几乎所有z 舻a 成立 证明：首先验证( 1 ) 式左边不等式成立，根据已知可知： z a ：e 8 ( a ，z ) 2 - a ) = u 芒1b k ，其中 b k = x6a ：h m nb ( 叩) ) ( 南) 一0 r o 我们可用集合e 1 ，e 2 来覆盖b k 使得0 d ( 邑) 1 ，仇n 最历且有 d ( e d 8 h 8 ( 鼠) 十e i 对每个i 取鼢b kn 毋且让r i = d ( 易) 然而取n 墨ca nb ( x i ，r i ) 和 h 8 ( b k ) t h 8 ( 风n 最) t h 。( a n b ( x i ，n ) ) 孵= t f d ( e d 。t ( n 8 ( b k ) + e ) 让一0 可得h 5 ( b k ) t h 8 ( 玩) 根据h 8 ( 仇) t ) ，可以验证日。( b ) = o 让e 0 和6 0 我们可以找到一个开集u 使得bcu 和 日8 ( a a u ) h 8 ( b ) + e 对任意z b 存在任意小的数r 使得0 h 8 ( a nu ) lh 8 ( anb i ) t t d ( s d 。t g ；( b n u i b i ) = 哪( b ) 最后的等式是根据哪( b u i 最) = 0 和螂的次可数可加性得来的让e o 和6 0 且 1 可得日8 ( b ) = 0 4 华东师范大学硕士论文 一类自相似测度的密度估计 为了证明( 2 ) 我们只要证明对任何t o ，集 b = z r n a ：e + 3 ( a ，z ) t ) 的日s 测度为零即可让e o 因为( h 8 i s ) ( b ) = 0 我们可以找到一个开集u 使得 bcu 和日3 ( a nu ) 0 使得球b ( z ，r 扛) ) cu 和 日8 ( anb ( z ，r ( z ) ) ) ( 2 r ( z ) ) 8 所以这里存在x l ，x 2 b 使得球b i = b ( x i ，r ( 甄) ) 是互不相交的且球5 鼠覆盖 b ，因此 睨( b ) d ( 5 鼠) 5 = t 5 3 t d ( b i ) 8 5 5 h 8 ( anb i ) 5 s h 8 ( a nu ) 5 s e 让一0 我们可得戳= 0 因此 日3 ( b ) = 0 定理得证 定义1 2 8 设0 s ，ac 舻，n r n 称 e 弋) - l t 哿p 镶铲r + u、厶， e 泓= n m 咖i n f 嗡铲 分别为测度弘在点a 上的s 维上密度和s 维下密度若 e 柏( p ，a ) = e ：( p ，口) ， 则称它们的共同值为测度p 在点a 上的s 维密度记为e 8 ( p ，口) 对于经典的三分c a n t o r 集f e n g ，w e n ，和h u a 得出以下重要结果( 详见【3 定理1 1 】) 定理1 2 3 【3 】设p 够是如( z ) = 考，毋l ( z ) = 考+ ；所对应的自相似测度，够是经典的三 分c a n t o r 集则 5 华东师范大学硕士论文一类自相似测度的密度估计 ( i ) 对任意z 够，s = 器， e ：( p 够，z ) = ( 4 6 丁( z ) ) 一。； ( i i ) ) 对任意z 够，s = 躐， 一。， ，l 2 叫 当z 是一个有限1 拘3 - a d i cd e c i m a l 时； 矿弋功2t ( 掣) - 。；他磊 ” ( i i i ) 对p 够几乎处处z 够，s = 器， e ：( p 管，z ) = 4 8 ，o 柚( ，l 够，z ) = 2 4 8 6 华东师范大学硕士论文 一类自相似测度的密度估计 第二章一类自相似测度的密度估计 2 1主要结果及其证明 定理2 1 4 ( 1 ) 对任何z e ，s = 鬻有 e ：( p ，z ) 5 - 8 ； ( 2 ) 对任何z e ，s = 罐有 e 弋舭) 1 罂晋一而蕊酽击瓣, 3 - 2 - 8 r ，= i 三二三圣圣三圣鍪 引理2 1 2 设p 是s 1 ( z ) = 詈，岛( z ) = 詈+ ；，岛( z ) = 詈+ 所对应的自相似测 证明：ac ( 一1 ，2 ) 所以s 1 ( a ) c ( 寻，；) ，s 2 ( a ) c ( ，) ，s 3 ( a ) c ( i ，g ) ， 我们可以得出p ( s l ( a ) ) = p ( a ) + p ( 筇1 ( a ) ) + p ( 筇1 ( s 1 ( a ) ) = p ( a ) ， 华东师范大学硕士论文一类自相似测度的密度估计 引理2 1 3 对任意的o t 1 ，有u o ，t 】e 证明：( 1 ) 根据p 的定义显然有弘 o ， 】= ，从而当 t 1 时，有 p 【0 ，】p 【0 ，5 1j = i 1 i 1 c s ， ( 2 ) 如果o t ，取忌n 使得5 一七一1 t 5 一七可得f o ，5 七胡c ( - x ，2 ) ， 注意到s i l o ，5 七纠= 【0 ，司由引理2 1 2 , - 7 知u o ，t 】= 3 - k p o ，5 七t 】，r 5 七te ，因此 u o ，胡= 3 - k 川o ，5 七纠3 - k - 1 ( 5 七t ) 8 = 去t 。 引理2 1 4 对任意的o t 1 ，有p 【0 ，胡t 8 证明：因为p = h 3 i e 所以对所有a 有p ( a ) = h 8 ( e i - ia ) ， 而h 8 ( enu ) l u l 8 对任何ucr 都b - 茈- 袁f c f ， 所以p 【0 ，t 】= h 。( e n 【0 ，】) j 【o ，t 1 8 = t 8 引理2 1 5 对任何r 【0 ，1 】，p 【0 ，r 】2 - r 8 证明：( 1 ) 如果 r ；则根据p 的定义可知p 【o ，7 】= ，从而 掣击观一 pf 善1 8 ( 2 ) 如果r l ，令t = r 一则t 【0 ， 】，根据引理2 1 3 - 7 得 掣= 锣i t4 筹茜； r s + 言1 5 一f + 鲁1 s 7 下面讨论函数，( t ) = 吾茜，t ( o ， 1 八归噬出警掣 令( ) = o ，则t = ( i 5 厂- ( o ，扎 当0 t 时，( ) e0 ，即f ( 0 单调递增， 当( 百5j 2 一 ( 3 ) 如果；r ，则根据p 的定义有 丛盟：三2 熹2 ：9 4 - 8 ：2 一 p r s 一( ) 3 。 华东师范大学硕士论文 一类自相似测度的密度估计 所以 所以 p 陋一n z + r l = p 【o ，亏1 】= 吾1 ， 竺铲= 丢( 2 r ) 一5 = ( 1 。r ) 一8 _ ( 4 - 1 0 x ) 一8 5 一s 2 ) 如果；一z r 一x , z 拿r = ；一z + t , 贝i j t 【0 ，扎根据引理2 1 5 有 错= 端2榀2s ， ( 2 r ) 3 2 8 ( 亏一z + ) 8 一( ；一z + ) 8 考虑函数厶( t ) = 虿( - l - 一2 - 计s t t s f ，根据初等数学的一些知识可证得 三 厶( t ) 厶( o ) 2 而5 ( 4 - 1 0 x ) 叫 5 一， 辎梦8 3 ) 如果一z r 一z ，令r = 一z + t ，则t 【0 ， 】，从而 掣2 r )= 南2 r ) f 8 1 0 x ) 5 一( 8 (8 一( 一 - 3 。 。 4 ) 如果 一z 7 1 一z ，令7 - = 一z + t ，则t 【0 ， 】，根据引理2 1 5 有 类似与2 ) 的讨论可得 得 所以引理得证 p 陋一nz + r 】 ( 2 r ) 8 寿； 坐之掣 5 ( 2 r ) 8 一。 。 定理2 1 4 ( 1 ) 的证明：给定z e 和o r ，存在 i 七) 七l ， 如) 知1c 1 ，2 ，3 使 z = 。f ms 。o & 2o o & k ( 【o ，1 】) ， 露_ 取k n 使得p r z + r 】) 最。o 岛。o o 最。( 【0 ，1 1 ) 但扛一r ，z + r 】 鼠。& 。o 。最七一。( 【0 ，1 】) 且有0 5 _ 8 ， r _ 0i1 5 1 e 即证 e ：( p ，z ) 5 一 引理2 1 7 对任意z 【o ， 】和任何满足m a x z ， 一z ) sr 1 一z 的r 有 皆m a x 硒环b , 3 - 2 - s , 币瓣1 ) 证明：( 1 ) 如果m a x x ， 一z ) sr ；一z ，则p 陋一r ，z + ，】= p 【0 ， 1 = 因此 p 陋一r ，z + 川 ( 2 0 8 ( 2 ) 如果；一z ，一z ，令r = ；一z + t ，则t 【0 ，哥根据引理2 1 4 可知 皆= 揣尚， ( 2 r ) 8 2 8 ( ；一z + ) 8 2 3 ( ；一z + ) 。 设厶( t ) = 尚，则函数在【0 ， 】在单调递增，p , 丽i i 而 2 掣r ) = 寿2 s 等杀2 8 赫2 s ( 8 ( ；一z + ) 8 一( ；一z + ) 8 一( i z + ) 8 捣= 丽2 面 3 岔5 ， 一；一 三膏 因此 掣 3 口8 ( 3 ) 如果一z r 一z ，令r = 一z + ，则t 【o ，廿因此 掣2 r ) = 南2 r ) 9 2 一 ( 8 ( 8 一。 ( 4 ) 如果一zsr 1 一z ，令r = 4 一z + t , 9 l t j t 【o ， 1 ，类似于( 2 ) 可知 从而引理得证 定理2 1 4 ( 2 ) 的证明： 给出z e 和0 r 取后n 使得p r ，x + r 】包含& 。o 瓯：o o & 。( 【o ，1 】) 但不包含& 。o & 。o o & 。一。( 【o ，1 】) 从而( & 。o & 。o & 。一，) _ 1 ( 【o ，l 】) 包含& - ( 【o ，1 】) 但不包含【0 ，1 1 因此可以推出 ( 鼠。o & ：o o & 。一。) - 1 ( i x nz + r 1 ) c ( 一1 ，2 ) 令! = ( 鼠lo 瓯2o o & k 一，) 一1 ( z ) 和7 - 7 = 5 k - * r 则有暑= t 七一1 ) 和0 ，7 o ，y + r 7 百3 ，y 一，；推出7 7 i 一可所以 坐离幽5 南 3 2 吖叫币环鲁研2 叫 则 从而 ( 3 ) 如果y 【 ，】u 【，1 则根据自相似集e 的对称性可知 设 丝堕二! ! ：型! ! j ：丝! ! 二望二! ! ：! 二型! ! ( 2 r 个( 2 7 垆 2 。【m a x y ，1 一可” 妒( 秒) = m a x 郦品而南, 3 2 - s , 郦蕊瓦1 研) 由于! ，= t k ( x ) ， 其中 所以 p p r ，z + r 】 ( 2 r ) 3 得出 坐卫掣妒( 1 一) ( 2 r 垆 一 “ 坐磐丑砂(1一秒)，2 ( r ，) s 。二驯 m a x 可忑丽砸苦丽, 3 2 - s , 可蕊可j 而) e 弋舭) l i 七m s u pm a x 而面承南惭 3 2 吖) 1 5 3 5 l 一 一 一 z z z 一 一 一 0 2 5 4 5 2 4 一 一 z z z 5 5 5 il_j、-【 = 、， zr 参考文献 【1 】k e n n e t hf a l c o n e r ，1 9 9 0 ，f r a c t a lg e o m e t r y ：m a t h e m a t i c a lf o u n d a t i o n sa n d a p p l i c a t i o n s ，j o h nw i l e ya n ds o n s 【2 】2 k e n n e t hf a l c o n e r ，1 9 9 2 ，t h ed i m e n s i o no fs e l f - a f f i n ef r a c t a l si i ，m a t h p r o c c a m b p h i l s o c 1 1 1 ，1 6 9 - 1 7 9 f 3 】d e - j u nf e n gs uh u aa n dz h i y i n gw e n ，2 0 0 0 ，t h ep o i n t w i s ed e n s i t i e so f t h ec a n t o rm e a s u r e ，j o u r n a lo fm a t h e m a t i c a la n a l y s i sa n da p p l i c a t i o n s2 5 0 ，6 9 2 - 7 0 5 【4 】l a r so l s e n ，2 0 0 8 ，d e n s i t yt h e o r e m sf o rh a u s d o r f fa n dp a c k i n gm e a s u r e so f s e l f - s i m i l a rs e t s ，a e q u a t i o n e sm a t h 7 5 ( 2 0 0 8 ) 2 0 8 - 2 2 5 【5 】5 p e r t t im a t t i l a ，1 9 9 5 ，g e o m e t r yo fs e t sa n dm e a s u r e si ne u c l i d e a ns p a c e s ， c a m b r i d g eu n i v e r s i t yp r e s s 【6 】k f a l c o n e r ，1 9 9 7 ，t e c h n i q u e si nf r a c t a lg e o m e t r y , ，w i l e y ，n e wy o r k 【7 】j o h ne h u t c h i n s o n ，1 9 81 ，f r a c t a l sa n