（基础数学专业论文）周期离散系统的混沌.pdf

山东大学硕士学位论文 周期离散系统的混沌 于盼盼 ( 山东大学数学学院，济南，山东2 5 0 1 0 0 ) ( 指导教师：史玉明教授) 中文摘要 混沌科学是一门交叉学科，它作为非线性科学研究的中心内容之一，已经 渗透到数学、物理学、化学、生物学、生理学、心理学、电子学、信息科学、 社会科学等各个学科，并且在力学工程、化学工程、生物工程、医学工程、电 子工程、信息工程等各个领域都有广泛的应用 混沌的研究已经有很长的历史1 9 0 3 年，法国数学家和物理学家h p o i n c a r 6 在研究三体问题时发现了混沌，成为世界上最先了解混沌存在可能 性的第一位学者1 9 5 4 年，苏联数学家a n k o l m o g o r o v 在探索概率起源过 程中发现了h a m i l t o n 函数中微小变化时条件周期的保持1 9 6 3 年，他的学 生v i a r n o l d 对此做了严格的数学证明差不多同时，瑞士数学家j m o r s e r 对此给出了一个改进的证明以这三位数学家名字的首位字母命名的k a m 定理是一个多世纪以来人们用微扰方法处理不可积系统所取得的最成功的结 果，具有极为重要的理论价值1 9 6 3 年，美国气象学家l o r e n z 在研究大气时 发现了确定性的非周期流：一个确定系统在某些条件可出现非周期的无规则 行为，即轨道对初始条件的敏感依赖性，也就是有趣的“蝴蝶效应”而这也 被认为是混沌的本质l o r e n z 发表的论文确定性非周期流f 1 】以及后来 陆续发表的三篇文章成为混沌研究的重大突破1 9 7 5 年，美籍华裔数学家李 天岩和美国数学家j y o r k e 在研究一维连续映射导出的离散动力系统时，得 到了一个著名的结果：“周期3 蕴含混沌”，并且首次将混沌的概念引入科学 界| 2 此后“混沌”作为一个新的科学名词正式出现在科学文献中随着对 不同问题研究的需要，出现了几个不同的混沌定义目前，常用的混沌定义有 三种：l i y o r k e 意义下混沌【2 】，d e v a n e y 意义下混沌 3 和w i g g i n s 意义下 山东大学硕士学位论文 混沌【4 - 对于自治离散系统混沌判定的研究，目前已经有很多丰富的结果对由连 续区间映射导出的一维离散系统，有著名的“周期3 蕴含混沌”f 2 】；非2 次 幂周期、紊乱和正的拓扑熵蕴含d e v a n e y 和l i y o r k e 意义下混沌【5 】对于高 维离散系统，有f r m a r o t t o 在r 佗空间上建克的返回扩张不动点定理【6 ， 史玉明和陈关荣对m a r o t t o 结果的改进和条件的减弱【7 ，以及林伟和陈关荣 建立的异宿扩张不动点定理 8 对于无穷维离散系统而言，有史玉明，陈关 荣和郁培等在一般的b a n a c h 空间和完备度量空间上建立的返回扩张不动点 理论和耦合扩张理论 7 ，9 1 4 】，以及李宗成，史玉明，张超在完备度量空间上 建立的连接扩张不动点异宿环定理f 15 】 在现实世界中，很多数学模型是时变系统，但为了研究方便，往往将其用 自治系统代替时变离散系统与自治离散系统本质的不同在于它是有一族映 射导出，它的动力学行为比自治系统的要复杂得多例如，有限维线性自治离 散系统不可能是混沌的，但有限维线性时变离散系统可能在l i - y o r k e 意义下 混沌【1 6 ，例2 1 ，例2 2 因而，对时变离散系统混沌的研究难度也更大目 前，有关时变离散系统混沌的研究很少据我们所知，与此问题研究相关的只 有文献【1 6 ，1 7 】，其中文献 1 7 】研究了度量空间中有相同定义域的映射族在迭 代和逐次两种方式导出的系统的混沌情况，得出迭代方式导出的系统混沌不 能蕴含逐次方式导出的系统混沌，反之亦然；文献【1 6 将自治离散系统混沌 的概念推广到时变离散系统，给出了有限维线性时变离散系统在l i y o r k e 意 义下混沌的判定定理和一般时变离散系统在强l i y o r k e 意义下混沌的判定定 理据我们所知，对于周期离散系统一一类特殊的时变离散系统，目前有关它 的混沌研究结果很少文献 1 8 】举例说明了两个混沌映射的复合不一定是混 沌的事实上，这两个混沌映射导出的是一个2 周期离散系统本文在文献 【1 6 工作的基础上，研究周期离散系统的混沌判定及其微扰问题 本文分为两章，第一章给出了一些基本结论，为第二章建立周期离散系统 的混沌判定和研究微扰问题做一些必要的准备工作主要内容如下： 第一章主要讨论周期离散系统与其诱导出的自治离散系统混沌动力学行 山东大学硕士学位论文 为之间的关系，得到了自治离散系统是d e v a n e y ( w i g g i n s ) 和( 强) l p y o r k e 意义下混沌分别蕴含原周期离散系统是d e v a n e y ( w i g g i n s ) 和( 强) l p y o r k e 意义下混沌；在某些条件下，周期离散系统是d e v a n e y ( w i g g i n s ) 和( 强) l i y o r k e 意义下混沌蕴含其诱导的自治离散系统是d e v a n e y ( w i g g i n s ) 和( 强) l i 。y o r k e 意义下混沌最后，我们证明了有限维线性周期离散系统不可能在 l i - y o r k e 意义下混沌 第二章主要考虑周期离散系统的混沌判定及其微扰问题在自治离散系 统耦合扩张理论的基础上，利用文献【1 6 】的相关结果和第一章的结论得到了 具有耦合扩张性的周期离散系统在l p y o r k e 意义下混沌，和在d e v a n e y 和强 l g y o r k e 意义下混沌的两个判定定理另外，我们还讨论了欧氏空间中混沌的 周期离散系统经过周期微扰后的混沌动力学行为的不变性 关键词：周期离散系统；混沌；混沌判定；耦合扩张；微扰 山东大学硕士学位论文 c h a o si n p e r i o d i cd i s c r e t es y s t e m s p a n p a ny u ( s c h o o lo fm a t h e m a t i c s ，s h a n d o n gu n i v e r s i t y , j i n a n ，s h a n d o n g2 5 0 1 0 0 ，p r c h i n a ) ( s u p e r v i s o r ：p r o f r s s o ry u m i n gs h i ) a b s t r a c t c h a o ss c i e n c ei sac r 0 8 8s u b j e c t a so n eo ft h ef o c u s e so fn o n l i n e a rs c i e n c e ， i th a si n t e r s e c t e dw i t hm a t h e m a t i c s ，p h y s i c s ，c h e m i s t r y , b i o l o g y , p h y s i o l o g y , p s y - c h o l o g y , e l e c t r o n i c s ，i n f o r m a t i o ns c i e n c e ，s o c i a ls c i e n c ea n dm a n yo t h e rf i e l d s i th a s b e e na p p l i e de x t e n s i v e l yt om e c h a n i c a le n g i n e e r i n g ，c h e m i c a le n g i n e e r i n g ，b i o l o g i c a l e n g i n e e r i n g ，m e d i c a le n g i n e e r i n g ，e l e c t r o n i ce n g i n e e r i n g ，i n f o r m a t i o ne n 西n e e r i n g ， e t c c h a o sh a sb e e ns t u d i e df o ral o n gt i m e i n1 9 0 3 ，f r e n c hm a t h e m a t i c i a n a n dp h y s i c i a nh p o i n c a r f o u n dc h a o sw h e nh ew a ss t u d y i n gt h r e e - b o d yp r o b - l e m m a y b eh ei st h ef i r s ts c h o l a rt ok n o wt h ee x i s t e n c eo fc h a o si nt h ew o r l d i n 1 9 5 4 ，s o v i e tm a t h e m a t i c i a na n k o l m o g o r o vf o u n dt h a tc o n d i t i o n a lp e r i o dk e p t u n c h a n g e dw h e nah a m i l t o n i a nf u n c t i o nh a sas m a l lc h a n g e i n1 9 6 3 ，h i ss t u d e n tv i a r n o l dg a v ear i g o r o u sm a t h e m a t i c a lp r o o fo fh i sr e s u l t a n da ta l m o s tt h es a m e t i m e ，s w i s sm a t h e m a t i c i a nj m o r s e rp r o p o s e da ni m p r o v e dp r o o f t h ek a mt h e - o r y , w h i c hw a sn a m e db yt h ef i r s tl e t t e r so fn a m e so ft h e s et h r e em a t h e m a t i c i a n s ， h a sb e c o m et h em o s ts u c c e s s f u lr e s u l ti nt h er e s e a r c ho fu n i n t e g r a b l es y s t e m sf o r m o r et h a no n ec e n t u r y i n1 9 6 3 ，a m e r i c a nm e t e o r o l o g i s tl o r e n zf o u n dn o n p e r i o d i c f l u i d ：ad e t e r m i n i s t i cs y s t e mm i g h th a v en o n p e r i o d i cd i s o r d e r e db e h a v i o r ，i e ，t h e r e s u l th a ss e n s i t i v ed e p e n d e n c eo ni n i t i a lc o n d i t i o n s ，w h i c hi sj u s tt h ei n t e r e s t i n g b u t t e r f l ye f f e c t i ti su s u a l l yc o n s i d e r e da st h ee s s e n c eo f c h a o s l o r e n z sp a p e rd e t e r m i n i s t i cn o n p e r i o d i cf l o wf 1 】a n dh i so t h e rt h r e ep a p e r sp u b l i s h e dl a t e rb e c a m e a ni m p o r t a n tb r e a k t h r o u g hi nt h er e s e a r c ho fc h a o s i n1 9 7 5 ，t l ia n dj y o r k e s t u d i e dd i s c r e t ed y n a m i c a ls y s t e m si n d u c e db yo n e d i m e n s i o n a lc o n t i n u o u sm a p s i v 山东大学硕士学位论文 a n do b t a i n e daf a m o u sr e s u l t ：p e r i o d ，i m p l i e sc h a o s t h e yf i r s t l yi n t r o d u c e dt h e c o n c e p to fc h a o st os c i e n c e 2 】h e n c e f o r t h ，a san e ws c i e n t i f i ct e r m ，c h a o sa p p e a r s f o r m a l l yi ns c i e n t i f i cr e f e r e n c e s a c c o r d i n gt od i f f e r e n tr e q u i r e m e n t si nt h er e s e a r c h o fd i f f e r e n tp r o b l e m s ，t h e r ea p p e a rs e v e r a ld i f f e r e n td e f i n i t i o n so fc h a o s a tp r e s e n t ， t h ef o l l o w i n gt h r e ed e f i n i t i o n so fc h a o sa r eo f t e nu s e d ：c h a o si nt h es e n s eo fl i - y o r k e 【2 1 ；c h a o si nt h es e n s eo fd e v a n e y 【3 】a n dc h a o si nt h es e n s eo fw i g g i n s 【4 】 c r i t e r i a o fc h a o si na u t o n o m o u sd i s c r e t es y s t e m sh a v eb e e ne x t e n s i v e l ys t u d - l e df o rm a n yy e a r sw i t hm a n ys i g n i f i c a n tr e s u l t su pt i l ln o w f o ro n e - d i m e n s i o n a l a u t o n o m o u sd i s c r e t es y s t e m si n d u c e db yi n t e r v a lm a p s ，t h ef a m o u sr e s u l t s ：p e r o d 3i m p l i e sc h a o s 【2 】；n o np o w e ro f2p e r i o d ，t u r b u l e n c ea n dt o p o l o g i c a le n t r o p ya l l i m p l yc h a o si nt h eg e n 辩o fd e v a n e ya n dl i y o r k ef 5 j f o rh i g h e r - d i m e n s i o n a la u - t o n o m o u sd i s c r e t es y s t e m s ，f r m a r o t t oe s t a b l i s h e dac r i t e r i o no fc h a o sw h i c hh a v e s n a p - b a c kr e p e l l e r so nr n 【6 j ；y s h ia n dg c h e ng a v ei t si m p r o v e m e n tv e r s i o na n d w e a k e n e di t sc o n d i t i o n s 【7 】；w l i na n dg c h e ne s t a b l i s h e dh e t e r o c l i n i c a lr e p e l l e r s t h e o r e mi s f o ri n f i n i t e - d i m e n s i o n a la u t o n o m o u sd i s c r e t es y s t e m s ，s h ie ta 1 p r o - p o s e ds n a p - b a c kr e p e l l e r st h e o r ya n dc o u p l e d e x p a n d i n gt h e o r yi ng e n e r a lb a n a c h s p a c e sa n dc o m p l e t em e t r i cs p a c e s ( 7 ，9 - 1 4 ，a n dl ie ta 1 e s t a b l i s h e dh e t e r o c l i n i c c y c l e sc o n n e c t i n gr e p e l l e r st h e o r e m ( 1 5 1 i nt h er e a lw o r l d ，m a n ym a t h e m a t i c a lm o d e l sa r ed e s c r i b e db yt i m e - v a r y i n g d i s c r e t es y s t e m s b u tt h e ya r es i m p l i f i e df i t sa u t o n o m o u sd i s c r e t es y s t e m sf o rc o n - v e n i e n c e t h ee s s e n t i a ld i f f e r e n c eb e t w e e nat i m e - v a r y i n gd i s c r e t es y s t e ma n da a u t o n o m o u sd i s c r e t es y s t e mi st h a tt h ef o r m e ri si n d u c e db yaf a m i l yo fm a p s d y n a m i c a lb e h a v i o r so ft i m e - v a r y i n gd i s c r e t es y s t e m sa r em u c hm o r ec o m p l i c a t e d t h a nt h o s eo fa u t o n o m o u sd i s c r e t es y s t e m s f o re x a m p l e ，af i n i t e - d i m e n s i o n a ll i n - e a ra u t o n o m o u sd i s c r e t es y s t e mc a nn o tb ec h a o t i c ，b u taf i n i t e - d i m e n s i o n a ll i n e a r t i m e v a r y i n gd i s c r e t es y s t e mm a yb ec h a o t i ci nt h es e n s eo fl i - y o r k e 【1 6 ，e x a m p l e s 2 1 ，a n d2 2 j h e n c e ，i ti sm o r ed i f f i c u l tt os t u d yc h a o si nt i m e - v a r y i n gd i s c r e t e s y s t e m st h a nt h a ti na u t o n o m o u sd i s c r e t es y s t e m s t h u s ，t h e r ea r eaf e wr e s u l t s a b o u tc h a o si nt i m e - v a r y i n gd i s c r e t es y s t e m s t ot h eb e s to fo u rk n o w l e d g e ，o n l y r e f e r e n c e s 【1 6 ，1 7 】d i s c u s s e ds o m ec h a o t i cp r o b l e m si nt i m e v a r y i n gd i s c r e t es y s t e m s ， w h e r e 17 】s t u d i e dc h a o so ft i m e - v a r y i n gd i s c r e t es y s t e m si n d u c e db yas e q u e n c eo f m a p si nam e t r i cs p a c eu n d e ri t e r a t i v ew a ya n ds u c c e s s i v ew a y , r e s p e c t i v e l y , a n d v 山东大学硕士学位论文 o b t a i n e dt h a tc h a o si nt h ei t e r a t i v ew a yd o e sn o ti m p l yc h a o si nt h es u c c e s s i v ew a y , a n dv i c ev e r s a ；a n d 【1 6 g e n e r a l i z e dt h ec o n c e p to fc h a o si na u t o n o m o u sd i s c r e t e s y s t e m st ot i m e - v a r y i n gd i s c r e t es y s t e m sa n de s t a b l i s h e dc r i t e r i ao fc h a o si nt h e s e n s eo fl i y o r k ef o rf i n i t e - d i n m n s i o n a ll i n e a rt i m e - v a r y i n gd i s c r e t es y s t e m sa n da c r i t e r i o no fc h a o si nt h es t r o n gs e n s eo fl i - y o r k ef o rg e n e r a lt i m e - v a r y i n gd i s c r e t e s y s t e m s i nt h ec u r r e n tl i t e r a t u r e ，t h e r ea r ef e wr e s u l t sa b o u tc h a o si np e r i o d i c d i s c r e t es y s t e m s ，w h i c hi sas p e c i a lk i n do ft i m e - v a r y i n gd i s c r e t es y s t e m s r e f e r e n c e 【1 8 】g a v ea ne x a m p l et oi l l u s t r a t et h a tt h ec o m p o s i t i o no ft w oc h a o t i cm a p sm a yn o t b ec h a o t i c i nf a c t t h et w oc h a o t i cm a p si n d u c ea2 一p e r i o d i cd i s c r e t es y s t e m b a s e d o nt h ew o r ko ff1 6 ，w ee s t a b l i s ht w oc r i t e r i ao fc h a o sa n ds t u d ys m a l lp e r t u r b a t i o n p r o b l e m so fp e r i o d i cd i s c r e t es y s t e m s t h i sp a p e rc o n s i s t so ft w oc h a p t e r s i nc h a p t e r1 w eo b t a i ns o m eb a s i cc o n c l u s i o n s ，w h i c ha r en e c e s s a r yp r e p a r a t i o n sf o re s t a b l i s h i n gc r i t e r i ao fc h a o sa n ds t u d y i n g s m a l lp e r t u r b a t i o np r o b l e m so fp e r i o d i cd i s c r e t es y s t e m si nc h a p t e r2 t h en m i n c o n t e n t sa r ei n t r o d u c e da sf o l l o w s ： i nc h a p t e r1 ，w em a i n l yd i s c u s st h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nd y n a m i cb e h a v i o r s o fp e r i o d i cd i s c r e t es y s t e ma n di t si n d u c e da u t o n o m o u sd i s c r e t es y s t e m w eo b t a i n t h a tc h a o si nt h es e n s eo fd e v a n e y ( w i g g i n s ) a n di nt h e ( s t r o n g ) s e n s eo fl i y o r k e i naa u t o n o m o u sd i s c r e t es y s t e mi m p l yc h a o si nt h es e n s eo fd e v a n e y ( w i g g i n s ) a n d i nt h e ( s t r o n g ) s e n s eo fl i y o r k ei ni t so r i g i n a lp e r i o d i cd i s c r e t es y s t e m ，r e s p e c t i v e l y ； a n du n d e rc e r t a i nc o n d i t i o n s ，c h a o si nt h es e n s eo fd e v a n e y ( w i g g i n s ) a n di nt h e ( s t r o n g ) s e n s eo fl i y o r k ei nap e r i o d i cd i s c r e t es y s t e mi m p l yc h a o si nt h es e n s eo f d e v a n e y ( w i g g i n s ) a n di nt h e ( s t r o n g ) s e n s eo fl i y o r k ei ni t si n d u c e da u t o n o m o u s d i s c r e t es y s t e m ，r e s p e c t i v e l y i np a r t i c u l a r ，w es h o wt h a tf i n i t e - d i m e n s i o n a ll i n e a r p e r i o d i cd i s c r e t es y s t e m sc a nn o tb ec h a o t i ci nt h es e n s eo fl i y o r k e i nc h a p t e r2 ，w es t u d yc r i t e r i ao fc h a o sa n ds m a l lp e r t u r b a t i o np r o b l e m so f p e r i o d i cd i s c r e t es y s t e m s b a s e do nt h ec o u p l e d e x p a n s i o nt h e o r yo fa u t o n o m o u s d i s c r e t es y s t e m s ，r e l e v a n tr e s u l t si n 【1 6 】a n dc o n c l u s i o n so b t a i n e di nc h a p t e r1 ，w e e s t a b l i s ht w oc r i t e r i ao fc h a o si nt h es e n s eo fl i y o r k e ，o ri nt h es e n s eo fd e v a n e ya n d s t r o n gs e n s eo fl i y o r k ef o rp e r i o d i cd i s c r e t es y s t e m si n d u c e db yc o u p l e d - e x p a n d i n g m a p s f u r t h e r ，w es t u d yi n v a r i a n c eo fs o m ec h a o t i cb e h a v i o r so fc h a o t i cp e r i o d i c d i s c r e t es y s t e m sp e r t u r b e db yp e r i o d i cf a m i l i e so fm a p si ne u c l i d e a ns p a c e s v i 山东大学硕士学位论文 k e y w o r d s ：p e r i o d i cd i s c r e t es y s t e m ；c h a o s ；c r i t e r i o no fc h a o s ；c o u p l e d e x p a n s i o n ；s m a l lp e r t u r b a t i o n v i i z r c r ， o9 厂n ( z ) d f ( x ) 恻l i n t d 8 d 研( z ) b ，( z ) d i a g a l ，a 2 ，n n a 一1 a “ r ”“ c ”( x ，y ) 符号说明 整数集 实数集 复数集 佗维欧氏空间 ，与g 的复合 ，在点x 处的n 次迭代 映射f 在点x 处的j a c o b i 矩阵 x 的范数 集合d 的内部 区域d 的边界 以z 为网心以r 为半径的开球 以z 为圆心以r 为半径的闭球 主对角线上元素为a l ，a 2 ，a 。的对角矩阵 矩阵a 的逆 矩阵a 的佗次方 n n 实矩阵之集合 x 到y 的r 次连续可微映射之集合 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不 包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本文的研 究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本声明 的法律责任由本人承担。 论文作者签名：立堕睑 日期： 丝垒z 垒! 绶 关于学位论文使用授权的声明 本人完全了解山东大学有关保留、使用学位论文的规定，同意学 校保留或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论 文被查阅和借阅；本人授权山东大学可以将本学位论文的全部或部分 内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他复制手段 保存论文和汇编本学位论文。 ( 保密论文在解密后应遵守此规定) 论文作者签名：亟上雌导师签名：糊日 期：三竺叫 山东大学硕士学位论文 第一章周期离散系统 本章主要研究周期离散系统与它诱导出的自治离散系统混沌动力学行为 之间的关系证明了自治离散系统是d e v a n e y ( w i g g i n s ) 和( 强) l i y o r k e 意义 下混沌分别蕴含原周期离散系统是d e v a n e y ( w i g g i n s ) 和( 强) l i y o r k e 意义 下混沌；在某些条件下，周期离散系统是d e v a n e y ( w i g g i n s ) 和( 强) l i - y o r k e 意义下混沌蕴含其诱导的自治离散系统是d e v a n e y ( w i g g i n s ) 和( 强) l i - y o r k e 意义下混沌最后，证明了有限维线性周期离散系统不可能在l i y o r k e 意义 下混沌 1 1 引言 史玉明和陈关荣在文献【1 6 】中给出了时变离散系统的一些基本概念，包 括时变离散系统三种混沌的定义：d e v a n e y 意义下混沌，w i g g i n s 意义下混 沌，l i y o r k e 意义下混沌和强l i y o r k e 意义下混沌；一致等度拓扑共轭和关 于转移矩阵耦合扩张详细讨论了时变离散系统的混沌情况，得到了有限维线 性时变离散系统在l i - y o r k e 意义下混沌的判定定理，并且建立了具有耦合扩 张性质的时变离散系统在强l i y o r k e 意义下混沌的判定定理 本章在文献【1 6 】的工作基础上，研究周期离散系统 与它诱导出的自治离散系统 x 。+ 1 = 厶( z n ) ，礼0 ， z 。+ 1 = g ( x 。) ，n 0 ， 混沌动力学行为之间的关系，其中厶：d 。_ 风+ 1 是映射，d 。是度量空 间( x ，d ) 的一个子集，佗0 ；并且存在正整数k ，对任意的扎0 ，历冲k = d n ，厶+ k = 厶；g ：= l k 一1o of 0 本章为第二章的研究做必要的准备，本章分为三节 第二节引用文献 1 6 】中有关时变离散系统的基本概念，并引入本文要讨 论的周期离散系统 第三节主要讨论了周期离散系统与其诱导的自治离散系统混沌动力学性 质之间的关系，得到了自治离散系统是d e v a n e y ( w i g g i n s ) 和( 强) l i y o r k e 意 1 山东大学硕士学位论文 义下混沌分别蕴含周期离散系统是d e v a n e y ( w i g g i n s ) 和( 强) l i - y o r k e 意义 下混沌；在某些条件下，周期离散系统是d e v a n e y ( w i g g i n s ) 和( 强) l i y o r k e 意义下混沌蕴含其诱导的自治离散系统是d e v a n e y ( w i g g i n s ) 和( 强) l i y o r k e 意义下混沌特别地，我们证明了有限维线性周期离散系统不可能在l i - y o r k e 意义下混沌 1 2 准备工作 本节主要介绍文献f 1 6 1 中给出的有关时变离散系统几个基本概念，并引 入本篇论文主要讨论的系统一周期离散系统，为以后的工作做准备 考虑时变离散系统 z 。+ l = 厶( z n ) ，n 0( 1 2 1 ) 其中厶：三k 一三k + 1 是映射，d 。是度量空间( x ，d ) 的一个子集，咒0 设x 0 d o 称 z 。】黯。是系统( 1 2 1 ) 的从点z o 出发的正向轨道，记为 o + ( z o ) ，点x o 称为o + ( z o ) 的起始点若系统( 1 2 1 ) 对亿 0 ，使得z n + = z 。，佗0 ，则称z o 为系统( 1 2 1 ) 的k 一周期点进一步，若既z o ，1 i k 一1 ，则称k 为点 x o 的最小正周期特别地，当k = 1 ，即对所有的竹20 ，厶( x o ) = x o 时，称 z o 为系统( 1 2 1 ) 的不动点 定义1 2 2 设a 为d o 的一个非空子集称系统( 1 2 1 ) 在a 上是拓 扑传递的，如果对a 中的任意两个非空相对开子集和，存在正整数佗， 使得n 仍，其中阢+ 1 = ( 阢) ，0 i n 一1 注1 2 1 假设对任意礼0 ，( 厶0 厶一10 o f o ) ( a ) = a 若系统( 1 2 1 ) 在a 中有一条稠密轨道，即存在x o a ，使得o + ( z o ) = a ，则系统( 1 2 1 ) 在 a 上是拓扑传递 定义1 2 3 设a 为d o 的一个非空子集如果存在6 0 ，使得对每一点 x o a 和z o 的任意邻域存在1 1 0 anu 和正整数n ，满足d ( x 。，) 6 ， 其中 z d i o 和_ 【玑 篷。分别是系统( 1 2 1 ) 从x 0 和y o 出发的正向轨道，则称 2 山东大学硕士学位论文 系统( 1 2 1 ) 在a 中对初始条件具有敏感依赖性，而j 称为系统( 1 2 1 ) 舌- 0 , t t 感常数 定义1 2 4 设k 是d 。的非空子集，n 0 若i n ( ) ck + l ，佗0 ， 则称( k ) 黯。为系统( 1 2 1 ) 的不变集族 设n 甚o d n d 且y 是n 篷o d 。的一个非空子集称集合y 是系统( 1 2 1 ) 的全不变集，若 ( y ) ckn 0 ；即系统( 1 2 1 ) 从v 中任意点出发的正向轨 道总是包含在y 中，也就是对任意的z u ( i n o i n 一1 0 o f 0 ) ( z ) kn 0 定义1 2 5 ( d e v a n e y 意义下混沌) 设y 为d o 的一个非空子集称系 统( 1 2 1 ) 在y 上是在d e v a n e y 意义下混沌，如果它满足下述条件： ( i ) 系统( 1 2 1 ) 的周期点在y 中稠密； ( i i ) 系统( 1 2 1 ) 在y 上是拓扑传递的； ( i i i ) 系统( 1 2 1 ) 在y 中对初始条件具有敏感依赖性 定义1 2 6 ( w i g g i n s 意义下混沌) 设y 为d o 的一个非空子集称系 统( 1 2 1 ) 在y 上是在w i g g i n s 意义下混沌，如果它满足定义1 2 5 中的条件 ( i i ) 和( i i i ) 定义1 2 7 设s 为d o 的一个非空子集且s 至少含有两个不同的点 如果对s 中任意两个不同的点x 0 和珈，从x 0 和y 0 出发的轨道 x ， o ；o o 和 ( 犰) 篷。满足t ( i ) l i m i n f n - - 0 0 d ( z n ，鲰) = 0 ； ( i i ) l i m s u p 佗。d ( x 。，y n ) 0 ； 则称s 为系统( 1 2 1 ) 的不规则集 进一步，若存在6 0 ，使得上述条件( i ) 和下面的条件成立： ( i i ) l i ms u p 。d ( z 。，铷) 6 则称s 为系统( 1 2 1 ) 的6 一不规则集 定义1 2 8 ( l i y o r k e 和强l i y o r k e 意义下混沌) 若系统( 1 2 1 ) 有 一个不可数的不规则集，则称系统( 1 2 1 ) 是在l i - y o r k e 意义下混沌；若系统 3 山东大学硕士学位论文 ( 1 2 1 ) 有一个不可数的6 一不规则集s ，且从s 中任意点出发的轨道均有界， 则称系统( 1 2 1 ) 是在强l i y o r