（基础数学专业论文）一些非线性发展方程的精确解.pdf

一些非线性发展方程的精确解 基础数学专业 研究生曹瑞指导教师张健教授 本文主要运用现有的孤立子理论和方法，如齐次平衡法，推广的t a n h 函数方 法，j a e o b i 椭圆函数方法以及f 一展开方法，改进的f 一展开方法等，研究一些具有重 要物理背景的非线性发展方程，在已有工作的基础上，寻找它们新的孤立子解及 其精确解 首先我们运用修正的j a c o b i 椭圆函数方法讨论了藕合的非线性k l e i n - g o r d o n 方程 也t 一十m 1 毋= ( a l l i 咖1 2 + n 1 2 l 妒1 2 ) ， 讥。一妒+ m 2 妒= ( n 2 1 i 1 2 + a 2 2 i 妒1 2 ) 妒， 其中m 1 ，m 2 ，a l l ，a 1 2 是实数，( z ，t ) ，妒( z ，t ) 是复值函数并且得到了一系列新的周 期解，在极限情况下这些解退化为孤立波解并进一步利用改进的f 一展开方法来构 造上述藕合非线性k l e i n - g o r d o n 方程更为一般的精确解，得到了更为丰富的结果 接着我们运用f 一展开方法讨论了两类具有重要物理背景的藕合方程，构造了 它们新的精确解其中包括： 第i 页，共6 0 页 中文摘要 1 ，( 1 + 1 ) 一维藕合的k l e i n g o r d o n z a k h a r o v ( k g z ) 方程 u t t 一让2 z + 礼= - - n l l , ， n t 一c 2 扎。一( m 2 ) 。 这里( t ，z ) rxr 方程组描述了等离子区域中朗谬尔波与离子声波的相互作用 等物理现象，函数“为实矢量值函数，表示由电子产生的电力场中最大时刻标度的 分量，函数他为实标量值，表示离子在任意位置的速度与它在平衡位置的速度之 差 2 ，藕合k l e i n - g o r d o n - s c h r & i i n g e r 方程 i 砒+ ；妒+ 肿庐= o ， 也一庐+ p 2 妒一p l 砂1 2 = 0 ， 这里( ，z ) r r 3 方程组是描述数量核子与中性的数量介子相互作用的古典 模型这里妒代表一个复标量值的核子场，代表一个实标量值的介子场实常 数弘描述介子的质量，p 是耦合常数 借助二于= m a t h e m a t i c a 的绘图功能，我们给出了藕合的k l e i n g o r d o n z a k h a r o v ( k - g z ) 方程的精确解的数值仿真 然后我们利用一个新的扰动方程作为形式解构造了第一类变系数k d v 方程 u + ，0 ) t 。+ g ) 让。= 0 ， 的精确解运用齐次平衡法构造了一类反应扩散方程的精确解 u 一a l t 黝+ b ( u 3 + c u 2 + d u ) = 0 ， c r l 9 7 9 1 6 3 c o m第i i 页洪6 0 页毕业论文 中文摘要 其中 0 ，b 0 ，d 吣 o ) ， 其中1 和k 分别称为扩散系数和反应系数 f 4 ) h i l x l e y 方程的一般形式为 啦一u x 。= u 2 ( 1 一u ) ( 5 ) c h a 艉e _ i n 胁e 方程的一般形式为 u t 一地。= c e u ( 1 一曲 f 6 ) f i t z h u g h - n a g u m o 方程的一般形式为 t h u 埘= 钍( “一o ) ( 1 一u ) f 7 ) 修正的b b m 方程，其一般形式为 毗+ “z + q “2 u 。+ 卢u 甜= 0 c r l 9 7 9 1 6 3 ，c o r n第2 页，共6 0 页毕业论文 第一章绪论 f 8 ) 组合k d v - m k d v 方程，其一般形式为 饥+ ( o t 正+ 卢乱2 ) t k + 7 u 珊= 0 ( 9 1 非线性k l e i n g o r d o n 方程的普遍形式为 地f 一露t k 。+ y 7 ( 乱) = 0 ， 其中c 0 为常数，矿( 叻为系统的势能，y ( u ) 是矿( “) 对“的导数，它是u 的非线性函 数 ( 1 0 ) 耦合的非线性k l e i n g o r d o n j ：f $ _ 呈组，其一般形式为 札一+ m 1 = ( a l l i 妒1 2 + a 1 2 妒1 2 ) 妒， 妒“一妒+ m 2 咖= ( n 2 1 i 1 2 + a 2 2 i 妒1 2 ) 妒， 其中m 1 ，m 2 ，a 1 1 ，a 1 2 是实数，妒( 茁，t ) ，妒( 丑) 是复值函数 ( 1 1 ) 描写等离 子】体的高频运动或非线性光波的z a k h a r o v 方程，其一般形式为 阮一c ；s u x 。= ( ”2 ) 。 细f + o 叱z 一6 u u 一0 ， 其中“是离子的数密度偏差， 为电场强度的慢变振幅，c 。为电子一离子热运动速 度，o 0 ，口 0 ，6 可正可负 ( 1 2 ) 非线性s c h r s d i n g e r 方程，又称为立方s c h r s d i n g e r 方程，它是描写非线性波的 调制方程，其一般形式为 i u + o t u x x + 卢l t 正1 2 = 0 ，( i = 、一1 ) ， 其中q ，卢分别为频散系数和l a n d a u 系数 ( 1 3 ) 耦合k 1 e i n - g o r d o n z a k h a r o v 方程组 地t 一缸+ t 正= 一 m ， 毗一c 2 n 。= ( 2 ) 是近十年来引起关注的一个重要的非线性波动模型方程组描述了等离子区域 中朗谬尔波与离子声波的相互作用等物理现象，函数钍为实矢量值函数，表示由 电子产生的电力场中最大时刻标度的分量，函数n 为实标量值，表示离子在任 意位置的速度与它在平衡位置的速度之差 ( 1 4 ) 耦合k l e i n g o r d o n s c h r s d i n g e r g 罐，其一般形式为 i 妒t + 妄母+ p 母= 0 ， c r l 9 7 9 1 6 3 c o y n第3 页，共6 0 页毕业论文 第一章绪论 也t 一咖+ 芦2 咖一p l 妒1 2 = 0 ， 方程组描述数量核子与中性的数量介子相互作用的古典模型这里，砂代 表一个复标量值的核子场，妒代表一个实标量值的介子场实常数描述介子的 质量，p 是耦合常数 1 2 非线性发展方程求解的研究现状 非线性发展方程( 1 1 1 ) 的求解，特别是给出这些方程的精确解是古老的而 且在理论和应用上又非常重要的研究课题可是由于线性方程的叠加原理不再 满足，所以对( 1 。1 一1 ) 解的研究的难度相应增加多年来，许多数学家和物理学家 已经做了大量很有价值的工作，研究解和求解方法也在不断地得到发展和完 善人们在非线性发展方程精确解方面做了大量的工作有关方程( 1 1 1 ) 的解 的研究主要是从一下三个方面进行的：一方面，在难以求出精确解的情况下，依 据基础数学的知识对解的适定性( 存在性，稳定性或唯一性) 分析研究；另一方 面，借助于计算数学的理论和计算机，对解进行数值模拟和分析；第三方面，应 用某些数学技巧或假设，构造适当的变换以简化方程并求出方程的某些精确 解本文将侧重于第三个方面的研究 一般来说，求出方程( 1 1 1 ) 的所有解是不可能的，这是由于在求解的过 程中附有一些约束条件因此，我们所说的求解是求方程( 1 1 、1 ) 满足一定的 初f 边) 值条件或约束条件的特解而孤立波解和相似解是最具代表性的特解能 否求出非线性发展方程的解，在很大程度上取决于是否有切实可行的求解方 法，所以求解和求解方法的发展构成了精确解研究中的一个有机整体 ( 1 ) 孤立子概念的产生 孤立子理论中蕴藏着构造非线性发展方程精确解的一系列有效方法下 面简要叙述一下孤立子理论产生和发展的历史 早在1 8 3 4 年，苏格兰工程师j o h ns c o t tr u s s e l l 偶然观察到了一种奇妙的 水波1 8 4 4 年，他在英国促进协会第1 4 届会议报告这份材料上发表”论波 c r l 9 7 9 1 6 3 c o r n第4 页共6 0 页毕业论支 第一章绪论 动文，对此现象做了生动描述：”我正在观察一条船的运动，这条船被两匹马 拉着，沿着狭窄的河道迅速前进着突然，船停了下来，河道内被船体带动的水 团并不停止，它们积聚在船头周围激烈得扰动着，然后水浪呈现出一个滚圆而 平静，轮廓分明的巨大孤立波峰，它以巨大的速度向前滚动着，急速地离开了船 头，在行进中它的形状和速度并没有明显的改变我骑在马上紧跟着观察，它以 每小时约八九英里的速度滚滚向前，并保持长约三十英尺，高约一至一英尺半 的原始形状渐渐地它的高度下降了，当我跟踪一至二英里之后，它终于消失在 逶迤的河道之中”这就是r u s s e l l 观察到的奇特现象之后，他又在实验室的水 槽中做了大量的实验研究这一现象他认为这种孤立波是流体运动的一个稳定 解，并称它为”孤立波”可惜的是r u s s e l l 当时未能成功的证明并使物理学家信 服他的论断之后有关孤立波的问题在当时的许多物理学家中引起了广泛的争 议 直到六十年后的1 8 9 5 年，荷兰著名数学家k o r t e w e g 和他的学生d ev r i e s 研究 浅水波的运动，在长波近似和小振幅的假设下，建立了单向运动的浅水波运动 方程 雨0 7 ：弓3 1 二1 鬲0 ( i 1 印2 + 和2 + 三象) ，( 1 - 2 - 1 ) 瓦2 互1 j 瓦i 矿+ j 口q + i 瓦i ) ， 这里叼为波峰高度，f 为水深，9 为重力加速度，o ，a 均为物理常数他们对孤立波 现象作了较为完整的分析，并从方程( 1 2 1 ) 求出了与r u s s e l l 描述一致的，即具 有形状不变的脉冲状的孤立波解，从而在理论上证实了孤立波的存在然而他 们的工作并没有引起人们的重视，原因是许多人认为，这种行波不过是偏微分 方程的特殊解，用特殊的初值条件得到它，在初值问题的研究中是微不足道的； 另外认为由于方程( 1 2 1 ) 是非线性偏微分方程，解的叠加原理不满足，碰撞后 两个孤立波的形状很可能会破坏殆尽故这种波”不稳定”，因而研究它没有什 么物理意义于是，关于孤立波的研究停滞不前 另外一个问题是，象r u s s e l l 描述的这种孤立波是否在流体力学以外的其 它物理领域中出现呢? 一直到t 5 0 年代，著名物理学家f e r m i ，p a s l a 和u i a m 的工 作1 4 1 他们将6 4 个质点用非线性弹簧连接成一条非线性振动弦初始时这些谐 振子的所有能量都集中在一个质点上，即其他6 3 个质点的初始能量为零按照 c r l 9 7 9 1 6 3 c o m第5 页洪6 0 页 毕业论文 第一章绪论 经典的理论，只要非线性效应存在，就会有能量均分，各态历经等现象出现，即 任何微弱的非线性相互作用，可导致系统的非平衡态向平衡态过渡可实际 上，经过相当长时间以后，几乎全部能量又回到了原来的初始分布这就是著名 的f p u 问题当时，由于只在频率空间来考虑，未能发现孤立波解，所以该问题 未能得到正确的解释后来，人们把晶体看成具有质量的弹簧拉成的链条，并 近似模拟这种情况，t o d a 研究了这种模式的非线性振动，果然得到了孤立波 解，使f p u 问题得到了正确的解答，从而进一步激起了人们对孤立波研究的兴 趣 随后，1 9 6 2 年p e r r i n g 和s k i ，r m e 研究基本粒子模型时，对s i n e g o r d o n 方程做 了数值解，结果表明：这个方程产生的孤立波也不散开，即使碰撞后两个孤立波 仍保持原有的形状和速度 1 9 6 5 年，美国著名物理学家，美国科学院院i k r u s k a l 和物理学家z a b u s k y 用 数值模拟方法详细考察和分析了等离子体中孤立波的非线性相互作用过程，得 到了比较完整和丰富的结果，并迸一步证实了这类孤立波相互作用后不改变波 形的论断由于这种孤立波具有类似于粒子碰撞后不变的性质，他们命名这种 孤立波为”孤立子” k r u s k a l 和z a b u s k y 的这项研究工作，是孤立子理论发展史中的一个重要里 程碑，他们引入”孤立子”概念，确切地揭示这种孤立波的本质，已被普遍接受 近四十年来，孤立子理论的研究工作更加蓬勃发展，在世界范围内掀起了研究 的热潮除了在流体物理，固体物理，基本粒子物理，等离子体物理等领域中， 对孤立子的研究不断深入外，在凝聚态物理，超导物理，激光物理，生物物理等 领域中，也相继发现了孤立子的存在目前，较为完整的数学和物理的孤立子理 论已逐步形成国内外在这方面己出版很多专著f l ，1 0 - 1 3 ，1 5 ，1 6 孤立子理 论的产生和发展是与近代物理密切相关的这一理论即包括了有关的数学理 论，也包括了物理理论，数学的严密性和物理学的的启发性和实用性两者相互 结合，相互依存，相互渗透，相互促进，使其显示出强大的生命力，这也正是现代 自然科学发展的重要特点之一 现代自然科学发展的另一个特点是：理论与实验的结合这一特点在孤立 子的研究中，也得到充分体现孤立子研究成为许多物理实验室的重要课题随 c r l 9 7 9 1 6 3 c o m第6 页，共6 0 页 毕业论文 第一章绪论 后，人们在实验室观察到了孤立波现象r u s s e l l 发现孤立子个半世纪之后，本 世纪7 0 年代初，物理学家i k e z i ，t a y l o r 和b a k e r 等终于在水箱实验中人为产生并 亲眼重见r u s s e u 浅水波，即k 曲型孤立波的传播 在激光打靶中，人常 观察到了由于坍塌出现的涡旋型孤立波的传播以及激 光光束在非线性介质中自聚焦产生的孤立子利用孤立子理论，已经成功解释 了激光打靶中产生的密度坑以及红外线的外移等问题美国新泽西州荷尔姆代 贝尔电话实验室的lf m o l l e n a n e r ，r h s t o l e n 和j g o r d o n 等人，在石英蕊光纤 材料中观察到了光脉冲型孤立子的传播由于孤立子在传播中具有不损失波 形，不改变速度，保真度高，保密性好等优点，可以使用孤立波来改进信号传输 系统，提高其传输率在实验室中研究孤立波，并将其研究成果进一步应用于技 术，进一步推动了孤立子理论研究的发展，并使其具有更为坚实的基础 ( 2 ) 非线性发展方程的精确求解 求非线性发展方程的精确解是一个极具挑战性的问题这些精确解的得到 能够帮助物理学家和工程技术人员更为精确的研究波的传播规律和检验数值 解的精确度多年来，许多数学家和物理学家已经做了大量的工作，但是由于非 线性发展方程的极度复杂性使得大量重要方程无法求出精确解即使能够求 出，也需要运用很多的技巧，至今尚无统一的方法因此，具有重要物理意义的 新解还有待于进一步构造和发现值得庆幸的是，经过多年不断的努力，数学家 和物理学家发现在孤立子理论中有一系列构造精确解的有效方法，如反散射方 法，d a 小o x 变换，b i i e m u n d 变换，h i r o t a g 旨法，分离变量法，广义的双曲函数法， 变系数均衡作用法，p a i n l e v e 分析，l i e 群方法等等各种求解方法的出现不仅使 过去难咀求解的方程得到解决，而且具有重要物理意义的新解不断的被发现， 出现了一个层出不穷的势头 1 9 6 7 年g a r d n e r ，g r e e n ，k r u s k a l 和m i u r a 1 7 f 简记为g g k m ) 发现了k d v 方 程的反散射方法，利用量子力学中的s c h r & i i n g e r 方程特征值问题r 正散 射问题1 及其反阊题( 反散射问题) 之间的关系，经过求解g e t a z l d - l e v i t a a - m a r c k e n k o 线性积分方程给出k d v 方程初值问题的解随后，l a x 1 8 推广 c r l 9 7 9 1 6 3 c 0 1 3 l 1第7 页，共6 0 页毕业论文 第一章绪论 并提高了g g k m 的上述方法，使之能够用于求解其它的非线性发展 方程，逐步形成了一种系统的求解方法；1 9 7 2 年，z a k h a r o v 和s h a b a t 1 9 本 质的推广了这一方法，求出了高阶k d v 方程，立方s c h r s d i n g e r 方程的精确 解；a b l o w i t z ，k a u p ，n e w e l l 和s e g t l r f l l 则更加一般化了这一方法，李翊神教 授，田畴教授，屠规彰教授等1 2 0 - 2 2 1 为发展这方法做了很好的工作 与此同时，古老的数学方法一b h c l d u n d 变换获得新生并发 展f 2 4 1 ，由b t i c k l u n d 变换引出的非线性叠加原理将非线性方程的求解问题归 结为纯代数运算，可有己知解，叠代得到新解1 2 ，2 3 】 1 9 7 1 年，h i r o t a f 2 5 l 引入了双线性方法( 也称h i r o t a 方法) ，是构造非线性发展 方程n 一孤立子解及其b i c k l u n d 变换的一种重要而直接的方法f 2 ，2 6 - 2 9 1 9 7 5 年，w a h l q u i s t 和e s t a b r o o k 3 0 提出了非线性方程的延拓结构概念，以 外微分方法为工具，给出了求i s t 方程的一个更系统的方法f 3 1 ，3 2 j 1 9 7 8 年，张鸿庆教授 3 3 】提出了微分方程求解代数化思想，后被命名 为”a c = b d ”法，目的是用代数方法给出微分方程求解较为统一的算法，由 此一大批力学中的方程( 组) 得到求解 3 4 - 3 6 1 9 9 1 年，李翊神教授基于对称约束提出一种非线性发展方程的直接的变量 分离方法f 3 7 1 随后，楼森岳教授等 3 8 ，3 9 l 提出另一种更有效的直接分离变量法 求出了许多f 2 + 1 】维非线性发展方程的精确解 1 9 9 4 年，王明亮教授，李志斌教授【4 0 】基于非齐次项与高阶导数项平衡的原 则，将非线性发展方程齐次化，代数化，提出了齐次平衡法又称拟解法，成功地 求解了一大批非线性方程【4 1 ，6 7 】 随后，范思贵教授等 4 2 ，4 3 7 对齐次平衡法进行了推广，给出寻找非线性发 展方程的多孤子解，相似约化，b i i c k l u n d 变换等的直接方法求出了一大批新的 具有重要物理背景的孤立子解 1 9 9 8 年，乔志军教授等| 4 4 ，4 5 1 从l a x 阵，r 矩阵及”非线性理论出发，利用 分离变量方法及代数几何工具，提出了构造代数几何或有限带势解的途径 除了上述比较系统的有效求解方法外，还有其它多种方法，如相似解方 法【4 6 ，4 7 ，4 9 ，5 3 1 ，p a i n l e v e 截尾n 开法 5 0 ，5 1 ，双曲正切函数法 5 2 1 ，c l a r k s o n - c x l 9 7 9 1 6 3 c o r n第8 页 址6 0 页毕业论文 第一章绪论 k r u s k a l 约化方法( 简称c k 直接y y 法) 1 5 3 ，j a c o b i 椭圆函数展开方法f 5 6 ，5 7 ) ，f - 展 开方法【5 8 及其它积分或变换方法等 5 4 ，5 5 】 总之，如前所述，非线性发展方程求解方法各种各样目前，尚无一本专著 能够论述精确解的所有方法，因此，孤立子的研究不断推动着非线性发展方程 求解方法与技巧的发展，新的求解方法不断出现 ( 3 ) 孤立于的研究趋势 数学机械化是近2 0 年发展起来的新兴的数学，计算机及人工智能的交叉 学科，是数学学科的前沿和焦点，由于精确描述物理现象的非线性理论是科学 发展的必然趋势，其中将不可避免地经常涉及到人力难以胜任的十分复杂且 精确的代数与微分等非数值运算，所以借助于计算机的大容量，高速度的特 点，用精确的符号计算，机械化来实现数学功能十分必要，其中关键是建立适 合于所考虑问题的构造性的代数算法近年来，随着计算机的发展和符号运算 如m a t h e m a t i c a 或m a p l e 的出现，直接构造非线性方程的解越来越受到重视，使 复杂，冗长的代数运算可在计算机上完成，并可发现新的解由于孤立子理论中 蕴藏的一些求解方法和技巧都是构造性和代数化的，这些运算和推理往往十 分复杂，有的人力难以完成，如经典l i e 群方法 5 9 ，6 0 】，利用代数方法求解非线 性方程 6 6 1 等，这些都适合于应用计算机代数进行研究，计算机代数的开发和利 用，将对孤立子理论的深入研究起很大的推动作用 数学机械化思想是由我国著名数学家吴文俊院士大力提倡的，并取得了举 世公认的成就，创建了多元多项式方程组求解的吴消元法，初等几何机械化证 明及微分代数几何基础【6 1 6 3 】，为近代非线性科学的研究提供了强有力的工 具，连续被列为我国八五和九五国家攀登计划项目著名数学家程民德院士认 为：”数学机械化思想德明确提出，意义十分重大，是从战略德高度为数学的发 展提出了构想” 目前，吴文俊院士的数学机械化思想已渗透应用于诸领域吴方法和计算 机代数已在微分方程特别是孤立子理论的研究中得到广泛的应用，在孤立子研 究中，如构造精确解，p a i n l e v e 检验，孤子族的生成及其l a x 表示，可积系统的约 c r l 9 7 9 1 6 3 c o r n第9 页洪6 0 页 毕业论文 第一章绪论 化和分解，寻找对称群等经常涉及到十分复杂的符号计算和推理，但这些符号 计算具有重复性，固定的套路和规律，有些计算繁冗人力难以完成，正是计算机 代数用武之地 石赫研究员利用机器证明中的吴消元法，求解了著名的y a n g - b a x t e r 方 程 6 9 众所周知，y a n g - m i l l s ) 5 - 程 7 1 是具有1 2 个未知量和方程的二阶非线性偏 微分方程组，是十分复杂但非常重要的规范场方程，近年来，受到众多数学家和 物理学家的关注f 7 2 ，7 3 1 9 9 7 年，石赫研究员利用张鸿庆教授处理m a x w e l l 方程 的思想f 3 3 1 l 巧妙引入一种线性变换，并借助于吴方法，将y a n g - m i l l s 方程约化为 三个简单的二阶线性偏微分方程 7 0 1 朱思铭教授 7 4 1 根据a r s 猜测，把吴方法和符号计算应用于孤立子中偏微 分方程p a i n l e v e 性质的奇点分析，在机器上证明了一大批偏微分方程是p 一型的 近年来，张鸿庆教授在微分方程求解问题代数化，机械化及吴方法在微分 方程应用方面做了一系列重要工作 3 4 - a 6 ，7 5 】，求解了力学和物理中一大批方 程，互l l m a x w e l l 方程，l a m p 方程，高阶k d v 方程等1 9 9 6 年，首次将吴方法用于微 分方程对称群计算，自动推理，判断和构造h a m i l t o n 结构等6 4 ，6 5 近年来，李志斌教授在利用吴方法和计算机代数，寻找和构造非线性发展 方程行波解方面做了很好的工作 6 6 - 6 8 1 李志斌教授基于大多数孤波解都可表 示成双曲正切函数的有限级数，引入了一种直接而有效的t a n h 方法6 6 ，6 7 1 ，从 丽将微分方程求解问题转化为代数方程求解，沟通了吴方法与微分方程的联 系成功地求解了一大批非线性发展方程及其新解 1 ，3 本文的主要工作 本文主要运用现有的孤立子理论和方法，如齐次平衡法，推广的t a n h 函数 方法j a c o b i 椭圆函数方法以及f 展开方法等，研究些具有重要物理背景的 非线性发展方程，在已有工作的基础上，寻找它们新的孤立子解及其精确解 主要研究内容： 1 利用修正的j a c o b i 椭圆函数方法以及改进的f 。展开方法分别构造非线 性k l e i n - g o r d o n 方程的精确解 c r l 9 7 9 1 6 3 c o r n 第1 0 页，共6 0 页毕业论文 第一章绪论 2 利用f 一展开方法构造( 1 + 1 ) 一维耦合的k l e i n - g o r d o n z a k h a r o v ( k - g - z ) 方程的精确解 3 利用f 一展开方法构造耦合k l e i n g o r d o n s c h r 6 d i n g e r 方程的精确解 4 利用一个新的变换构造了第一类变系数k d v 方程的精确解，其中包括曾 经得到过的类椭圆正弦波解，类椭圆余弦波解，同时还得到了新的精确解 5 利用修正的j a c o b i 椭圆函数方法构造了( 3 + 1 ) 一维耦合非线性k l e i n g o r d o n 方程的精确解 6 利用齐次平衡方法求得了一类反应扩散方程的精确解 7 利用j a c o b i 椭圆函数方法构造了c o m b i n e dk d v - m k d v 方程和m o d i f i e d b b m 方程的新精确解 c r l 9 7 9 1 6 3 c o r n第1 1 页洪6 0 页毕业论文 第二章一类非线性k l e i n g o r d o n 型方程的精确解 本章节中，将详细讨论修正的j a c o b i 椭圆函数法，f _ 展开方法以及改进的f - 展开方法在一类非线性k l e i n g o r d o n 型方程中的应用 2 1 耦合非线i 生k l e i n - g o r d o n 方程的精确解 本文中考虑耦合的非线性k l e i n - g o r d o n 方程 也t 一庐+ m 1 庐一( a , l f 曲1 2 + a 1 2 1 妒1 2 ) 庐，( 2 - 1 1 ) 饥t 一妒+ m 2 砂= ( 8 2 lj 庐f 2 + 0 2 2j 妒j 2 ) 妒，( 2 - 1 2 ) 其中m ，m 。，a 。- ，a 1 2 是实数，( z ，t ) ，妒( 。，) 是复值函数在文【7 6 中，研究了上述 方程组的柯西问题具基态的驻波的存在性，解爆破和整体存在的最佳条件 及驻波的不稳定性下面将基于刘提出的j a c o b i 椭圆函数展开方法，利用修正 的j a c o b i 椭圆函数展开方法，求得了方程组( 2 - 1 1 ) ( 2 - 1 2 ) 新的周期解，在一定条 件下，这些解退化成孤立波解补充了前面已有的研究成果下面首先介绍一下 修正的j a c o b i 椭圆函数法 修正的j a c o b i 椭圆函数法 考虑非线性发展方程： p ( u ，让，让z ，u t t ，u 目，) = 0 ， 其中p 是关于变元u ，u t ，u t 。，。，的多项式 寻求它的行波解为： t 0 ，t ) = u 篮) ，= k ( x d ) ， 其中七，c 分别为波数和波速 ( 2 - 1 3 ) ( 2 - 1 4 ) 将( 2 - 1 4 ) 代入( 2 _ 1 3 ) 式得到一个非线性常微分方程 p ( u ，u ”，础，) 一0 ( 2 - 1 5 ) 第1 2 页，共6 0 页 第二章一类非线性k l e i n - g o r d o n 型方程的精确解 假设行波约化后的非线性常微分方程( 2 1 5 ) 有如下形式的j a c o b i 椭圆函数 解 n u 任) = n 。+ 了_ s r 矿一1 ( q s 皤+ 6 c 蜷) ， ( 2 - 1 6 ) j = l 其中n 可由平衡( 2 一l 一5 ) 式中的最高阶导数项和非线性项的阶数得到 把( 2 1 6 ) 式代f t ( 2 - 1 5 ) 式，利用椭圆函数之间的平方和导数关系，合并同幂 次项并取系数为零，得到一个关于a o ，a 5 ，b j ( j = 1 ，2 ，) 和k ，c 的代数方程 组然后求解此方程组，可以给出方程的j a c o b i 椭圆函数解当模m 一1 时，所求 解退化成相应的孤立波解 解的得到 考虑到毋，妒是复值函数，我们引入如下的行波变换 ( z ，) = u ( f ) e ( m z + o l t ) 妒( z ，t ) = u ( f ) e ( 2 蚪州】， 其中f = k x + t ，七，u ，h ，也，岫是待定常数 将( 2 1 7 ) ，( 2 - 1 8 ) 代入( 2 1 1 ) ，( 2 1 2 ) 得到关于u ， 的常微分方程组 ( u 2 一七2 ) + ( 七 一u + m 1 ) 让一a l l o t 3 一a 1 2 v 2 “= 0 ( u 2 一k 2 ) 口”+ ( 琏一c 谴+ m 2 ) 口一a 2 1 t ，让2 一a 2 2 y 3 0 ， 这里= 掣，= 垒群：4 f c j 。= t w l u = k l k ，忱u = 如七 ( 2 1 7 ) ( 2 - 1 8 ) ( 2 - 1 9 ) ( 2 一l l o ) 由齐次平衡原则，为使得( 2 1 9 ) ，( 2 1 1 0 ) 中的非线性项和最高阶导数项相平 衡，可设常微分方程( 2 1 9 ) ，( 2 1 1 0 ) 有如下形式解 “( ) = n 0 + a l s 蜓+ 6 1 m 已钉( ) = c o + c 1 5 n + d l c r 4 c r l 9 7 9 1 6 3 c o i i第1 3 页，共页 ( 2 - i 一1 1 ) 毕业论文 第二章一类非线性k l e i n - g o r d o n _ 方程的精确解 这里a o ，a l ，b i ，c o ，c 1 ，d l 是待定常数a l ，b l 不同时为0 ，c 1 ，d l 不同时为0 我们知 道j a c o b i 椭圆函数之间有如下关系 丢s 礼= m f d 蜓，丢c n =瑟5 礼2 “f d ，菘c n 2 2 = 1 一s n 2 ，d n 2 = 1 其中m ( o 仇 0 ，p ( u 2 一c 2 七2 ) 0 将( 2 2 2 8 ) ，( 2 - 2 2 9 ) ，( 2 - 2 3 0 ) 分别代x ( 2 2 1 6 ) ，( 2 - 2 1 7 ) ，并且利用( 2 2 - 8 ) ，( 2 - 2 - 1 2 ) ，我们得到方程组( 2 2 一1 ) ，( 2 - 2 2 ) 三种形式的行波解 。( z ，t ) ：士一迮坚型攀生兰! 塑f ( ) ，( 2 - 2 3 1 ) t , 1 ( z ，t ) = 2 p ( k 2 一u 2 ) f 2 ( ) ，( 2 - 2 3 2 ) 这里 = 妇+ w t ，叩 = o z + 防，q c r l 9 7 9 1 6 3 c o r n第2 6 页，共6 0 页 毕业论文 堑三主二耋! ! 丝生竺堡! ! 竺! 翌! ! 型查堡竺堕堕堑 士七笪坚兰掣并且o ，p 有相同的符号 钍黼) ：崩。鱼匹萼蟹三至雯嘲( 2 - 2 3 3 ) 礼2 ( t f ) = 一1 + q ( 七2 一u 2 ) + 告( k 2 一扩) + 2 p ( k 2 一w 2 ) f 2 心) ，( 2 2 3 4 ) 这里：妇+ u ，叩：口z + f l ，并亘硒= 七 我们选择常微分方程( 2 _ 2 1 8 ) 中尸】q 和r 的值使得方程( 2 2 1 8 ) 相应的 解f 偿) 是j a c o b i 椭圆函数将p q ，r 的值和相应的j a c o b i 椭圆函数f ( ) 代入 行波解的一般表达式( 2 2 - 3 1 ) 一( 2 - 2 3 4 ) ，我们得到方程组( 2 - 2 1 ) ，( 2 _ 2 - 2 ) 的周期 解接下来我们以解( 2 - 2 - 3 1 ) ，( 2 - 2 3 2 ) 为例来说明： 如果p = m 2 ，q = 一( 1 + m 2 ) ，r = 1 ，坚二m 2 1 ) ，那么f ( ) = s 礼 毗：士i m l 一迎兰盟掣兰兰堕。n ，( 2 - 2 - 3 5 ) n 1 1 = 2 m 2 ( 七2 0 3 2 ) s n 2 ， ( 2 2 3 6 ) 这里f ：七z + u t ，町：n z + 肛，。：士u 迈兰萼等鲨二翌，卢一 士丘堑竖竺掣墨筹粤竺二型和口，卢有相同的符号 如果尸：一m 2 ，q = 2 m 2 1 ，r = 1 - m 2 ，( 0 m 2 1 ) ，那么f ( f ) = c ，因 而 毗：士l 刊一近生掣辈丝塑畎，( 2 - 2 - 3 7 ) n 1 2 = 一2 m 2 ( k 2 0 d 2 ) c n 2 f ， ( 2 2 - 3 8 ) 这里：七z + u t ，叩：。+ 卢t ，。一土u 型鱼! 三二! 璺毛翌；2 1 1 ：二生旦，卢= 士南竺兰生名翟；! ! ! ! ：二丝和o ，卢有相同的符号 如果p ：一1 ，q = 2 一m 2 ，r = m 2 1 ，( o m 2 1 ) ，那么f ( ) = d 鹰，因 而 札】3 ：士e 卸、，( w 2 _ k 2 ) 了( 2 0 9 2 _ 2 一c 2 k 2 ) 蛾，( 2 - 2 - 3 9 ) l ，3 = 一2 ( 2 一u 2 ) d n 2 ， j ? 一2 4 0 ) 这里f ：妇+ u t ，q ：n z + 风a ：土u 迹型掣碧竖二唑，卢= 士七堑 竺! ；兰署掣和o ，卢有相同的符号 第2 7 页，共6 0 页 毕业论文 第二章一类非线性k l e i n - g o r d o n 型方程的精确解 在极限情况下我们知道当m 一1 时，那么s n 一t a n h ，c 一s e e m 并 且d 一s e c h ，因而我们得到方程组( 2 2 一1 ) ，( 2 - 2 2 ) 对应于解( 2 2 - 3 5 ) 一( 2 2 4 0 ) 的孤立波解： 。，：士e 切玉堡苎二二竺兰霉兰塑t a n h ，n 。，。：2 ( k 2 一。2 ) t a n 。， 这戥：妇+ u ，叩：n z + 风口= 土u 迹篙鍪型，卢= 士后王坚号翌掣和a ，卢有相同符号 。啦：土一近生掣兰丝塑。k ，札。：一2 ( k z u z ) 。 。f ， 这里：妇+ 。t ，叩：。蚪风n ：士u 迈瓮掣，卢= 土七迹竺掣 和o t ，p 有相同符号 札3 ：士一迈生掣竺兰! 塑s e c h ( ，札。：一2 ( 肛u 。) s c c 。毛 这里f ： 七。+ “j t ，叩 ： z + p ，q = 士u 羔堑兰专銎三；：二生里，卢 = 士七 竺二 ：窆警：二唑和口，卢有相同符号 利厍 m a t h e m a t i c a 的绘图功能，我们可以更直观的看到所求得的孤立波 解f i g u r e 2 - 2 1 是o = 1 ，p = 1 ，c = 3 ，k = 1 ，u = 2 时孤立波解1 ，l ( x ，t ) 的实 部，f i g u r e 2 - 2 2 9 a = 1 ，卢= i ，c = 3 ，k = 1 ，u = 2 时孤立波解“l ，l ( x ，t ) n n 部，f i g u r e 2 - 2 3 对应于n = 1 ，p = 1 ，c = 3 ，k = 1 ，u = 2 时孤立波解u 1 ，l ( z ，t ) n 模，f i g u r e 2 2 4 是o = 1 ，卢= 1 ，c = 3 ，k = 1 ，u = 2 时孤立波解n l ，l ( x ，t ) 如果我们取尸q ，和足其它的取值，我们能得到方程组( 2 - 2 一1 ) ，( 2 - 2 2 ) 其它 的周期解，这里我们为了简洁而略去 c r l 9 7 9 1 6 3 c o m第2 8 页洪6 0 页 毕业论文 第二章一类非线性k l e i n - g o r d o n 型方程的精确解 c r l 9 7 9 1 6 3 c o n l第2 9 页洪6 0 页毕业论文 第二章一类菲线性k l c i n g o r d o n 型方程的精确解 2 3 耦合非线性k l e i n - g o r d o n - s c h r 石d i n g e r 方程的精确解 在本节中，我们考虑如下的耦合k l e i n - g o r d o n s e h r s d i n g e r 方程 矾“+ 三妒+ 卢妒驴= 0 ，( 2 - 3 一1 ) 妒“一咖+ p 2 庐一p l 妒1 2 = 0 ，( 墨3 2 ) 这里( t ，z ) r r 3 方程组( 2 3 1 ) ，( 2 3 - 2 ) 是描述数量核子与中性的数量介 子福互作用的古典模型f 8 4 这里，妒代表一个复标量值的核子场，代表个 实标量值的介子场实常数描述介子的质量，p 是耦合常数文献f 8 5 】研究了耦 合k l e i n - g o r d o n s c h r s d i n g e r 方程下列形式的稳定驻波的存在性 ( 妒( t ，z ) ，庐( t ，z ) ) = ( e “u ( 茁) ，”( z ) ) ，u r ( 2 - 3 3 ) 文献 8 6 1 研究了耦合k l e i n - g o r d o n s c h r s d i n g e r 方程解的整体存在性及时间的 渐进性关于k l e i n g o r d o n s c h r s d i n g e r 方程的定性研究已经很多( 见文献f 8 7 ， 8 8 1 ) ，但精确解仍很少 因为妒是复值函数，我们假定 妒( t ，茁) = e ”7 u ( t ，z ) ，叼= k x + u j r 这里七，c a 2 待定 c r l 9 7 9 1 6 3 c o r n 第3 0 页共6 0 页 ( 2 - 3 4 ) 毕业论文 第二章一类非线性k l e i n - g o r d o n 型方程的精确解 将( 2 3 4 ) 代入( 2 3 1 ) ，( 2 - 3 - 2 ) 并且消去一，得到 + 七= 0 ， ( 2 - 3 5 ) a u 一( 2 u + 七2 ) “+ 2 p 仳= 0 ， ( 2 - 3 6 ) 也t 一+ p 2 妒一p u 2 = 0 ( 2 - 3 7 ) 我们寻求方程组( 2 3 - 5 ) 一( 2 3 7 ) 下列形式的解 u 0 ，。) = 钍( ) ，咖0 ，z ) = 口( f ) ， ( 2 - 3 8 ) 这里f = 凹+ 卢f ，o ，卢待定 将( 2 3 _ 8 ) 代入方程组( 2 3 - 5 ) 一( 2 3 - 7 ) ，那么我们得到关于u ( ) 和 ( ) 的常微 分方程组 0 2 u ”一( 2 w + 七2 ) “+ 2 p u v = 0 ， ( 2 - 3 - 9 ) ( 卢2 一理2 ) ”+ 弘2 z ，一p u 2 = o ， ( 2 - 3 - 1 0 ) p = 一惫o ，( 2 - 3 1 1 ) 这里 = 象= 象 利用齐次平衡原则，我们分别考虑方程( 2 3 9 ) ，( 2 - 3 - 1 0 ) 中u ”，w 和， u 2 的齐次平衡，我们假设常微分方程组( 2 _ 3 9 ) ，( 2 - 3 - 1 0 ) ：有如t f # 式的解 “( ) = n o + o , 1 f ( ) + 8 2 f 2 ( f ) ， ( 2 - 3 - 1 2 ) u 任) = 6 0 + b l f 任) + b 2 f 2 ( ) ， ( 2 - 3 - 1 3 ) 这里0 0 ，n 1 ，a 2 ，b o ，b 1 ，6 2 待定，并且f ( f ) 满足下列形式的非线性常微分方程 f ，2 ( ) 一p f 4 ) + q f 2 ( ) + r ( 2 - 3 1 4 ) 这里p 1q ，r 是常数并且f ”( ) = 2 p f 3 ( f ) + q f ( ) 将( 2 3 - 1 2 ) ，( 2 - 3 - 1 3 ) 代入方程组( 2 3 9 ) ，( 2 - 3 - 1 0 ) 并且利用( 2 _ 3 _ 1 4 ) ，那么常 微分方程组( 2 0 9 ) ，( 2 3 - 1 0 ) 的左边可化为关于f ( f ) 的多项式，令f 任) 每一项的 系数为零，我们得到一个关于a o ，a 1 ，a 2 ，b o ，b l ，b 2 ，n ，p 的代数方程组 6 a 2 p a 2 + 2 a 2 b 2 p =