（基础数学专业论文）具有非线性记忆项的阻尼波动方程的渐近行为.pdf

学位论文独创性声明 l 1 11 111 1 11 11 11 11 1 11 1l 17 9 5 2 9 2 本人承诺：所呈交的学位论文是本人在导师指导下所取得的研究成果。论文中除特别加以标注 和致谢的地方外，不包含他人和其他机构已经撰写或发表过的研究成果，其他同志的研究成果对本 人的启示和所提供的帮助，均已在论文中做了明确的声明并表示谢意。 学位论文作者签名：渔娃搔 学位论文版权的使用授权书 本学位论文作者完全了解辽宁师范大学有关保留、使用学位论文的规定，及学校有 权保留并向国家有关部门或机构送交复印件或磁盘，允许论文被查阅和借阅。本文授权 辽宁师范大学，可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库并进行检索，可以采 用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文，并且本人电子文档的内容和纸质 论文的内容相一致。 保密的学位论文在解密后使用本授权书。 学位论文作者签名：遂詹搔 指剥雠：彩鬈壶 签名日期： w f 口年4 月f o 日 辽宁师范大学硕士学位论文 摘要 设q 是r ”的具有光滑边界的有界开区域本文在q 上考虑了具有非线性记忆项的阻尼 波动方程 u t t + 仅u t 一z f 一：p ( 卜驯甜( s ) 1 9 甜( s ) 凼+ g ( “) = 厂， ( x ，f ) q r + ； u ( x ，f ) = 0 ，( x ，t ) f r + ；u ( x ，0 ) = u o ( x ) ，u ，( x , o ) = u l ( x ) ， x q 其中a ，p 是正常数，g ( “) 是非线性项，l ：p o s ) i “( s ) 严u ( s ) d s 是非线性记忆项针对 具有线性记忆项( 即l “p s ) 6 u ( s ) d s ) 的波动方程，许多学者已经进行了广泛而深入的研 j u 究然而，记忆项为非线性的情况在自然界中普遍存在，c a v a l c a n t i 和p a r k 在文献 1 3 ，1 4 中研究了此类问题，他们研究了具有非线性边界记忆源项和非线性边界阻尼的波动方程 的解的存在性和一致衰减性本文研究了在有界开区域q 上具有非线性记忆项的阻尼波 动方程的解的存在性和整体吸引子的存在性首先，我们应用f a e d o g a l e r k i n 逼近方法 在r ( o ，o o ；砩( q ) ) r ( o ，o o ；l 2 ( q ) ) 上证明了整体弱解和强解的存在性其次，证明了整 体解的唯一性和正则性然后，我们在r ( q ) 磁( q ) 上证明了吸引集的存在性最后， 把这个方程导出的半群s ( f ) 在空间r ( q ) 域( q ) 上分解为两个半群s l ( t ) 和是( r ) ，对于 r ( q ) 珥( q ) 中的任意有界集b ，证明了s ，( r ) b 的一致衰减性，利用把方程做微分的方 法证明了s ( f ) b 在空间r ( q ) 磁( q ) 中的渐近紧性从而得到了整体吸引子的存在性 关键词：非线性记忆项；阻尼波动方程；整体解；整体吸引子 一一_ _ _ - _ i _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ - - - 一 辽宁师范大学硕士学位论文 t h ea s y m p t o t i cb e h a v i o ro fad a m p e dw a v e e q u a t i o nw i t han o n l i n e a rm e m o 巧t e r m a b s t r a c t l e tqb ea i lo p e nb o u n d e ds u b s e to fr ”w i t hs m o o t hb o u n d a r y ad a m p e dw a v e e q u a t i o nw i t ha n o n l i n e a rm e m o r yt e r mi sc o n s i d e r e di nq ，+ a u t 一甜一f p o s ) l 甜o ) 1 9 “o ) 凼+ g ( “) = 厂， ( x ，f ) q r + ； u ( x ，f ) = 0 ， ( x ，r ) fxr + ；u ( x ，0 ) = u 0 ( x ) ，甜，( x , 0 ) = 甜1 ( x ) ，x q w h e r ea ，pa r ep o s i t i v ec o n s t a n t s ，i 。b t ( t - s ) iu ( s ) 1 9u ( s ) a si st h en o n l i n e a rm e m o r yt e r m a n dg ( u ) i san o n l i n e a rs o u r c et e r m t h e e q u a t i o n s w i t hal i n e a r m e m o r y t e r m ( i ：l a ( t - s ) a u ( s ) d s ) h a v eb e e nc a r r i e d o u te x t e n s i v ea n di n - d e p t hr e s e a r c hi n t ob ym a n y s c h o l a r s h o w e v e r , t h ec a s eo fm e m o r yt e r ma sn o n l i n e a rm e m o r ye x i s t sw i d e l yi nn a t u r e i n t h el i t e r a t u r e 【13 ，14 ，c a v a l c a n t ia n dp a r kh a v ep r o v e dt h ee x i s t e n c ea n du n i f o r md e c a yo f s o l u t i o n st ot h ew a v ee q u a t i o n s 、历n ln o n l i n e a rb o u n d a r yd a m p i n ga n dn o n l i n e a rb o u n d a r y m e m o r ys o u r c et e r m t h i sp a p e ri sa b o u t t h ee x i s t e n c eo f g l o b a ls o l u t i o n sa n dt h ee x i s t e n c eo f t h eg l o b a la t t r a c t o rf o rt h ew a v ee q u a t i o n 、析t ht h en o n l i n e a rm e m o r yt e r mi na no p e n b o u n d e dd o m a i nf 2 f i r s t ，f a e d o g a l e r k i n sa p p r o x i m a t i o nm e t h o di su s e di no r d e rt oo b t a i n t h ee x i s t e n c eo fg l o b a lw e e ks o l u t i o n sa n ds t r o n gs o l u t i o n s s e c o n d ，t h eu n i q u e n e s sa n d r e g u l a r i 够o fg l o b a l s o l u t i o n sa r ep r o v e d t h e nt h ee x i s t e n c eo fa na b s o r b i n gs e t i ne ( f 2 ) x 磁( q ) i so b t a i n e d f i n a l l y ，i nz z ( q ) x 卅( q ) t h es e m i g r o u ps ( t ) a s s o c i a t e dw i t h t h ee q u a t i o ni ss p l i ti n t os 1 ( t ) a n d ( f ) f o ra n yb o u n d e ds e tbt h eu n i f o r md e c a yo f 是( f ) bi s p r o v e d , a n ds ( f ) bi sa s y m p t o t i cc o m p a c t n e s si nc ( n ) x 联( q ) i sa l s op r o v e dw i t ht h e m e t h o do ft h ed i f f e r e n t i a t i o no ft h ee q u a t i o n t h e r e f o r e ，t h ee x i s t e n c eo fg l o b a la t t r a c t o ri s o b t a i n e d k e yw o r d ：n o n l i n e a rm e m o r yt e r m ；d a m p e dw a v ee q u a t i o n ；g l o b a ls o l u t i o n ；g l o b a la t t r a c t o i i i 辽宁师范人学硕十学位论文 目录 摘要i a b s t r a c t i i i 弓i言1 1预备知识3 2 解的存在性7 2 1 能量估计7 2 1 1 第一估计7 2 1 2 第二估计1 1 2 2 第一收敛性结果11 3 解的惟一性1 3 4 解的正则性1 4 4 1 导数估计1 4 4 1 1 第三估计14 4 1 2 第四估计1 5 4 2 第二收敛性结果15 5 整体吸引子的存在性1 7 5 1 吸引集的存在性1 7 5 2 解的分解1 7 5 3 s 2 ( t ) 的一致衰减性1 8 5 4 s ( f ) 的渐近紧性1 8 5 5 定理1 4 证明2 1 参考文献2 2 攻读硕士学位期间发表学术论文情况2 4 致谢2 5 辽宁师范人学硕十学位论文 引言 设q 是r ”的具有光滑边界r 的有界开区域，0 【与p 是给定正常数在q 上我们考 虑了具有非线性记忆项的阻尼波动方程 + a 坼一甜一：p ( f s ) i 材( s ) 1 6 甜( s ) 出+ g ( “) = 厂，( x ，f ) q r + ； u ( x ，f ) = 0 ，( x ，f ) r r + ；( o 1 ) u ( x ，0 ) = u o ( x ) ，“，( x , o ) = “l ( x ) ， x q 许多自然现象可以用偏微分方程来进行描述，其中许多系统的动力行为受一个或多个过 去变量的影响具有卷积项的半线性波动方程常常用于研究此类问题卷积项反映系统 过去的状态对未来的影响此类方程常出现在等温粘弹性理论的研究中【1 。5 j 针对记忆 项为线性( 即l g ( f s ) a u d s ) 的情况许多学者已经进行过深入的研究 6 - 9 d a f e r m o s 在文 。 j 0 献 1 0 】中研究了耗散非线性波动方程解的渐近稳定性f e i r e i s l 在文献【11 】中研究了方程 ( 1 1 ) 在记忆项p 不存在，且f = 0 的情况下的解的长时间行为，在非线性项g 满足次临 界增长率的条件下证明了吸引子的存在性c a v a l c a n t i e t a l 在文献 3 】中研究了方程 ， + 口( x ) “，一“一l 。g o s ) a u ( s ) d s + i “o ) r “o ) = 0 ， ( x ，f ) ( o ，) 其中a ( x ) ：q - - 9 r + 是在区域q 的某个子区域上可以为零的函数在满足一些几何限制 的区域cq 中，当a ( x ) a o 0 ，且对任意t o ，g ( f ) 满足一号l g ( t ) g7 ( r ) t 2 9 ( r ) 时 他证明了解的指数衰减性m a 和z h a n g 1 2 1 应用半群逼近方法研究了具有线性记忆项的 双曲型方程的强解的整体吸引子的存在性c a v a l c a n t i 和p a r k 在文献分别【1 3 】和【1 4 】中 证明了具有非线性边界记忆项和非线性边界阻尼的波动方程解的存在性和衰减性在该 文中作者第一次针对边界记忆项为非线性的情况进行了研究 本文的目的是证明在有界区域上q 具有非线性记忆项的阻尼波动方程的c a u c h y 问题的 解的存在性、唯一性、正则性和整体吸引子的存在性解的存在性是利用f a e d o g a l e r k i n 逼近方法得到的为此首先证明该系统的能量 具有1 ：线性记忆项的阻尼波动方程的渐近行为 e = i v 1 2 + 1 1 训2 + ( 徊嘣卅兰( 哪；+ 【此一s ) 1 1 ( 州1 3 + + ：2 西 一fp o s ) l l “( s ) 1 9 坨“o ) 1 2d s + 2 j n g ( “) a x 的有界性，从而证明了整体强解和弱解的存在性其次，我们证明解的唯一性和正则 性最后，我们证明方程的整体吸引子的存在性我们将方程导出的半群s ( t ) 分解为 两个半群s ( f ) 和( f ) ，利用非紧集的k u r a t o w s k i 仅- 测度证明s j ( t ) b 在x 中的渐近紧 性，然后证明s ( f ) 的一致衰减性最终得到整体吸引子的存在性 在第二部分我们给出各种假设条件，约定符号，给出有关定义和必要的命题、定理，然 后陈述本文的主要结果在第三部分我们在空间r ( o ，o o ；圳( q ) ) r ( o ，；r ( q ) ) 中证明 方程( 0 1 ) 解的存在性在第四部分，证明解的唯一性在第五部分证明解的正则性最 后，在空间r ( q ) n o ( q ) 上证明整体吸引子的存在性 一2 一 辽j 叫币范大学硕士学位论文 1 预备知识 在本文我们分别用日和v 来表示希尔伯特空间r ( q ) 和日j ( q ) ，记彳_ - a 分别用( ，) ，i i 和( ( ，) ) ，i 来表示日和y 的内积和范数定义乘积空间 x = v h 我们将利用连续稠密嵌入 vchcv ， s 其中y 是矿的对偶空间记圪= d ( a 2 ) ，其内积为 兰三 ( 副，v ) = ( a 2 “，a 2 1 ，) ， ： 那么，k 是一个希尔伯特空间那么显然 v o = h ，k = v 在抽象的希尔伯特空间又上考虑如下具有阻尼项的线性方程 u n + 仅材f + a u = 厂， 0 【 0 ， u ( x ，0 ) = u o ，( x ，0 ) = u 1 我们 ( 1 1 ) ( 1 2 ) 那么，有以f 结论 定理1 1 1 5 1 如果彳是豆上自反的、正定的线性算子，其定义域为d ( 彳) ，并且厂， 、tn i d o ，t , 1 俩疋 f r ( 【0 ，丁】；h ) ；u o v ；甜l h ， 这里1 7 = d ( a 2 ) 勇v z - , 方程( 1 1 ) 和( 1 2 ) 有唯一的弱解甜使得 u c ( 0 ，丁】；矿) ；c ( 0 ，r 】；豆) 进一步，如果厂c ( 【o ，丁 ；豆) ，f r ( 0 ，丁】；霜) ，4 0 d ( 彳) ，v 一，那么存在强解“， 满足 具有非线性记忆项的阻尼波动方稃的渐近行为 甜c ( 【0 ，丁】；d ( 彳) ) ；z ，c ( 0 ，丁】；y ) 命题1 1 【1 5 】在定理1 1 的条件下，如果f ：r x g 一蟊有界，1 , 是( 1 1 ) 和( 1 2 ) 的解， 那么伽，坼) g ( r + ；v x h 一) ，这里c 6 是连续有界集 进一步，如果 o 0 和m 的有界b ，存在t o 0 ，当f t o 时，s ( t ) p 包含于尸的邻域， 则称户为s ( t ) 的整体吸引子 定理1 2 设s ( f ) 是一个度量空间m 中的c o - 半群，如果， m 存在一个s ( f ) 的有界吸引集b o ； 对任意 0 ，存在( ) ，使得当v t f 1 ( ) 时有i f , m ( b ) 0 ，使得，粥p ( s ) 一“7 ( s ) 聊2 p ( s ) ，v s r + 条件( 厅4 ) 表明p ( j ) 是衰减的，即p 满足 ( j ) p ( o ) p 一呐7 ， v t 0 其次，给出非线性项g c 1 f ，尺) 的假设条件 存在常数c ，c ： o ，u o ，丫p 和p 生竽竽( 豇蝴一b ，使得g ( s ) = p isf ，s + 季( s ) ， 这里蚕满足条件 ( 9 1 ) l i r ai 叫帕。等 o ，这里g = r 酏) 西； ( 9 2 ) l i mi n f i 柚。华砘 ( 9 3 ) j 蚕( j ) l c 2 ( 1 + isi o ) 由( 9 1 ) 和( 9 2 ) 不难发现对任意t 1 o ， 都存在常数q ，q o 满足 g ( s ) + r l s 2 - c ， v s r + ； ( 1 3 ) 哼( s ) 一c 1 g ( s ) + r l s 2 a ， v s r + ( 1 4 ) 在后面当我们需要时选择1 的值为了方便我们用g 表示蚕，并把方程( 0 1 ) 写成如下形 式 + 仅“，一材+ pu ( t ) 1 7 甜( f ) 一j ：肛。一s ) i “( j ) 1 9 材( s ) 丞+ g ( 甜) = 厂( x ，) q r + ； u ( x ，f ) = 0 ， ( x ，r ) r r + ； 具有1 卜线性记忆项的阻尼波动方程的渐近行为 u ( x ，0 ) = u o ( x ) ，甜，( x ，0 ) = u l ( x ) ， x q ( 1 5 ) 下面我们给出本文的主要结果： 定理1 3 如果p ，g 满足假设( h i ) - ( 厅4 ) 和( 9 1 ) - ( 9 3 ) ，并且当n = l ，2 时0 o ，丫 等( 心，b ，并在( 1 4 肿t 1 萼，得出 e + 2 c m ) = l ，1 2 + 1 1z f 。1 1 2 + ( 。u r n ) + 是舶) i 暖 一p ( f s ) 1 1 “m1 9 2u r n ( f ) 1 2 凼+ 2 g ( “m ) 出+ 2 c m ) + j ：p ( f s ) 1 1 “朋( s ) 邮1 3 + + 2 2 d s lv 1 2 + i i ”肌1 1 2 + ( u r n ) ( f ) + 孑l l 甜。( f ) i 笔 + 胁圳驯1 3 ：；凼一南j ：此圳以s ) 1 ，3 + 一2 凼 一彘胁) a s l l “f ) l l 霉一加i 1 2 神1 2 + 扣刘2 + ( 。啪) + 彘：心叫圳) 1 1 1 b + 2 z 凼 + ( 笔一彘们_ 11 1 3 j n “f ) i 暖 、丫+ 2 + 2 。 0 从而由g r o n w a l l 引理得到 e + 2 c f f l ) ( e ( o ) + 2 c ( n k d 9 具有1 卜线性记忆项的阻尼波动方程的渐近行为 + 笙业鬯攀( 1 一e x p ( 删) 瑚 o ，( 2 9 ) 我们得出 l i m s u p e ( t ) + 2 c ( r 1 ) 硝， ，- - o o 这里 r o = e ( o ) + 2 c ( r 1 ) + 2 c ：i 厂1 2 + c ：+ 6 c ( n ) ) 6 根据( 1 4 ) 和g 性质知，对任意材。磁( q ) ，g ( u 所) 都是可积的，并且我们得出非线性算 子g ：v _ h 是有界的由( 1 6 ) 知，丫+ 2 2 n + 2 n 一2 因此，或cf + 2 ( q ) 如果b 是x 的有界集，那么 r = s u p ( e ( 0 ) + 2 c m ) ) ( ，川) e b = s u p 。 1 1 们川2 小，( o ) 捌( o ) 1 2 + 是堋笔 ( ，加) 酣 r 卞 + 2 g ( u ( 0 ) ) + 2 c f f l ) ) o o ( 2 1 0 ) 因此，e ( 0 ) + 2 c f f l ) r ，从而当墨 l o = t o ( r ，墨) ，其中 t o ( r , r j ) = 扣去) ， ( 2 - 1 1 ) 我们得到 e ( t ) + 2 c f f l ) - r 2 从而得出 慨i i ：+ k 叩 ( 1 + 等) i i 州1 2 + ： ( 1 + 可2 e2 圳1 “。1 1 2 + i v l 2 ) ( 1 + 等) 霹 ( 2 1 2 ) 一 其中，初始条件在x 中有界这就证明了”。r ( o ，；y ) ，”：r ( o ，；日) 辽j ! 师范大学硕士学位论文 2 1 2 第二估计 从现在起，用c m ) 表示任意与1 1 有关的正常数，c 表示正常数，在不同的场合可以 表示不同的常数y ，记v = v 1 + ，2 ，这里，1 圪和( v 2e j ) = o ( ，= 1 ，m ) 那么当 i i v i i - _ 1 时i l v l | 1 ，代入方程( 2 1 ) 中得到 ( “：，1 ，) = ( 材= ：，1 ，) = ( “：，1 ，1 ) = 一( & 甜：，v 1 ) + ( 甜。，v ) - ( pit r n p ) 1 7 甜。p ) ，v 1 ) + ( j ：p o s ) i 甜胁( s ) 1 9z ，( s ) d s v j ) - ( g ( u m ) ，v 1 ) + ( ，y 1 ) ( 2 1 3 ) 应用h 6 1 d e r 不等式，( 9 3 ) 和l1 ，1 | 得到 o ( 1u 。r ，1 ，1 ) p 九, l lu m i b 是； p p s ) ( i ( s ) i p ，v ) 毋r p o s ) i f ( s ) f 1 2 嚣：西； 0 是任意常数另一方面，考虑vcr ，+ 2ch 是连续紧嵌入，由a u b i n l i o n s 定理，我们推出存在 。) 的子列( 仍用相同的符号 。) 表示) 使得 甜。一甜在r ( 0 ，t ；h ) 中强收敛 因此 u ，专z f 在f l x ( o ，t ) 中几乎处处成立 具有非线性记忆项的阻尼波动方程的渐近行为 从而 u r n ( t ) 1 7z ，( ，) 一i “( ，) 1 7 ”( r ) 在q ( 0 ，r ) 中几乎处处成立 利用g ( 3 ) ，g c 1 ( q ) 和( 1 4 ) ，得到 g ( u ，) i | | “。i l ：+ l ci i “。i 广+ 1 c 因此，在q ( 0 ，t ) 中g ( u 。) 收敛于g ( u ) 同样的估计，在( 0 ，t ) 中有 o g ( t - s ) ( 1 甜册( j ) 1 9z ，肘( s ) ) 出一j ：肛( f s ) ( i “( s ) 1 9 甜( s ) ) 丞 利用上述收敛性结果，在r ( o ，t ；v ) 中，对方程( 2 1 ) 中的各项取极限，我们可知 材。+ a 甜，一材一j ：p o s ) i 甜( s ) f 9 “( s ) 出+ g ( 甜) = 厂 成立由材r ( o ，；联( q ) ) ，“r ( o ，o o ；h ) ，“。r ( o ，o o ；v7 ) 和文献 2 0 中5 9 2 的定理3 得“c ( o ，o o ；h ) 辽j 叫币范人学硕士学位论文 3 解的惟一性 令z f 和五是( 2 1 ) 具有相同初值的两个解，定义w = 材一五由方程( 2 1 ) 得 三丢 1 w ，1 2 “2 1w ，1 2 = ( pu1 7 甜一p 五，w ) + ( 【p ( ，一驯甜( s ) ( s ) d s - i ( t - s ) l 五( s ) 1 6 五( s ) d s ，w ) + ( g ( 材) 一g ( 五) ，w ) 由h o l d e r 不等式，y o u n g 不等式和c a u e h y 不等式得到 ( pf 材，u - pi 露r 露) p ( 1 甜r + l 玉f y ) 1w l ，fw 7i ) 导( l ( “j 7 + i 露r ) 21 w 1 2 出+ 1 w f 2 ) c ( 1 1 w l l 2 + 1 w 1 2 ) 类似地，我们得到 ( j ip ( f s ) i “( s ) l9 甜( s ) d s j ：p ( f s ) i 五( s ) i 9 五( s ) d s ，w ，) 吾 n ( h ) l ( 陬s ) 一脚陬s ) ) 2 舭+ 衍) c ( t 1w l l 2 + i w 1 2 ) 由假设( 9 3 ) 得 ( g ( z f ) 一g ( 五) ，w ，) c ( l ( + 阱) 2 jwj 2d x + w 1 2 ) - + ) k 1 2 + | l 吒1 1 2 + p ( 丫+ 1 ) ( iu m ( r ) p 托：( f ) ，v ) 一p ( o ) ( i 甜。( s ) 1 9 ”。( s ) ，1 ，) 一( r 比一s ) i “。( s ) 1 9 ( s ) 西，1 ，) + ( 9 7 ( ) “：，1 ，) = ( 厂，v ) ( 4 1 ) 应用h 6 1 d e r 不等式和y o u n g 不等式和嵌入矿cr 7 + 2c 刀州，得 p 0 + 1 ) ( i r 甜：，v 7 ) c ( n ，) i | u m o ) 1 1 2 一”i iu 1 1 2 - r ii “：o ) 1 2 ； 经同样的计算得到 一 一p ( 0 ) ( 1 材。1 9 “。，v ) c 们，) 0u m ( f ) 1 1 2 - n i lu 1 1 2 - v ll “：o ) 1 2 ： p ( f s ) ( 1 村，( s ) 1 9 材。，7 ) a s - c ( n ，) i | “。o ) l | 2 一n i l “：1 1 2 一 1i ”：( f ) 1 2 ； ( g7 ( “。) “：，v 7 ) c m ，) i iu ( 0 1 1 2 - r i l l “圩- r ii ”：( f ) 1 2 ； 2 ( 甜：，甜：) 一3 i 甜：1 2 一要i “：o ) 1 2 ； c ( n ，) 1 1 f 1 1 2 + r i l lu 1 1 2 + r ll “：( f ) 1 2 ( 厂，1 ，) 选取适当的t 1 ，满足1 5 r l 等，并利用上面的不等式和( 办4 ) ，由( 4 1 ) 得出 一 丢丢己+ ；己c ( 1 l ( 圳| 2 + i 1 2 + i i 州2 ) 这里 瓦刊叱o ) 1 2 + 2 ( “j ：，“：) + 仅i 吒1 2 + i lu ：( t ) 1 1 2 那么由g r o n w a l l 引理可得 辽j 叫币范人学硕+ 学位论文 己鲫啪卅+ 堕幽粤业( i e - e i ) 利用( 2 1 0 ) 和u m ( o ) = f ( o ，x ) + “( o ) 一a 甜：( o ) 一pi 甜( o ) | yu m ( o ) - g ( u 。( o ) 的有界性，如同 2 。1 1 可得 1 “：o ) i ，i iu ( t ) l l 0 使得 ( 。s ，虬u p ) 。曰| | c p ( r s ) i 甜( s ) 1 6 “( s ) 出+ p ( o ) i ”( f ) 1 9 甜( ，) 一p ( 丫+ 1 ) iu ( t ) i vu t ( f ) 一g ( “) l i p ( 矿；) c ( b ) ( 5 4 ) 证明：当玎= l ，2 时，取o 0 满足 景 1 一。 一n ( 5 5 ) a - i - 4 2 。 这里百= m a x r ，u ) 那么，我们得到 1 3 + 2 丫+ 2 t + 2 2 n i ( n 一2 ( 1 一g ) ) 因此，我们得到嵌入 r ”7 ( 月一2 ( 1 呵 cr + 2c 口+ 2c 驴+ 2 ( 5 6 ) 辽丐：师范人学硕+ 学位论文 另一方面，由s o b 0 1 e v 嵌入定理知，当o 1 一o i n 时有 k 。c h 1 叼cr ”抽一2 1 可 ( 5 7 ) 上面所有嵌入都是连续的，结合( 5 6 ) 和( 5 7 ) ，得到嵌入 k 。c r + 2cl r + 2c 口+ 2 显然，对任意l g 0 0 ，磁( q ) cl q ，如果