（应用数学专业论文）诱导超空间动力系统上的族f传递性、混合性及敏感.pdf

摘要 由动力系统，厂) 诱导的超空间动力系统( 玩，2 ，) 近年来受到广泛 的关注本文讨论当e 为h a u s d o 珊局部紧第二可数( 简记作h l c s c ) 空 间，并赋予其诱导超空间h i t o r - m i s s 拓扑的情形提出了族厂余紧混合， 强，余紧传递及伽集体敏感等概念证明了定义在( 舅，2 ，) ( v i e t o r i s 拓 扑) 上的尸敏感等价于原系统的，集体敏感；定义在( 玩，2 ，) ( 1 l i t o r - m i s s 拓扑) 上的m 敏感等价于原系统的紧致型扎集体敏感 关键词：超空间动力系统；厂余紧混合；厂余紧传递；强厂余紧传递； n 一集体敏感；紧致型厂集体敏感；h i t - o r - i n i s s 拓扑 a b s t r a c t h y p e r s p a c ed y n 锄i c a ls y s t e m ( 甄，2 ，) i n d u c e db yag i v e nd y n a m i c a l s y s t e m ( e ，厂) h a sb e e nr e c e n t l yi m ，e s t i g a t e d i nt l l i sp a p e r ，w es t u d yt h e h i t o r - m i s st o p o l o g yo n 玩w h e nei sah a u s d o r 81 0 c a l l yc o m p a c ts e c o n d c o u n t a b l es p a u c e ( h l c s c ) t h ec o n c e p t so f 厂c o - c o m p a c tm b d n g ，8 t r o n g 厂c 伊c o m p a c tt r a 璐i t i v i t ya n dn - c o l l e c t i v es e l l s i t i v i t ya r ei n t r o d u c e d i “s p r o v e dt h a t 厂s e n s i t i v i t yo f ( 箩矗，2 ，) ( v i e t o r i st o p o l o g ) r ) i se q u i v 甜e n tt ot h e 厂c o u e c t i v es e n s i t i v i t yo ft h eo r i g i n a ls y s t e m ；伽s e n s i t i v i t yo f ( 玩，2 ，) ( h i t o r i n i s st o p o l o g y ) i se q u i v a l e n tt ot h ec o m p a c t t y p emc o u e c t i v es e n s i t i v i t y o f ( e ，厂) k e y 、 ，o r d s ：h y p e r s p a l c ed y n a m i c a l ls y s t e m ；厂c 伊c o m p a c tm i ) ( i n g ；尸 c o - c o m p a c tt r a i l s i t i v i t y ；s t r o n g 厂c o _ c o m p a c tt r a n s i t i v i t y ；礼c o l l e c t i v es e n - s i t i v i t y ；c o m p a c t t y p e 厂c o l l e c t i v es e n s i t i 讥t y ；h i t - o r - m i s st o p o l o 时 2 9 川9心，6舢7i川1洲y 引言 设( e ，) 是一个动力系统，其中e 为任意拓扑空间，：e _ e 是连续 映射如果明确给出了度量d ，则动力系统记作( e ，d ，厂) 记玩为由e 的 所有非空闭子集构成的集合当映射，与甄相容时( ，( f ) 甄， 甄) ，诱导超空间动力系统( 玩，2 ，) 可由映射2 ，：玩_ 函，2 ，( f ) = ，( f ) ，f 玩唯一确定这时有( 2 ，) n ( f ) = ，( f ) ，礼= o ，1 ，2 ，也就是 说f 玩在2 ，下的轨道与f e 在，下的轨道一致这种轨道关系决 定了超空间系统( 玩，2 ，) 与原系统( e ，厂) 之间的密切联系 对超空间系统的研究可以追溯到2 0 世纪早期，如h a u s d o 皿v i e t o r i 8 ， h a h n 和k u r a t o w s l 【i 等人的工作( 参见f 1 6 】) ，并且从那之后变得异常活 跃b a u e r 和s i g i n u n d 于1 9 7 5 年 1 8 】对其进行了系统的研究( 概率测度空 间和超空间上的映射) 在2 0 世纪的最后2 5 年，对超空间动力系统的研究 一度中断，直至最近才开始活跃起来 诱导超空间系统( 甄，2 ，) 可能继承了原系统( e ，厂) 的某些动力学 性质，当然系统( 玩，2 ，) 具有更为复杂的性质，我们关心的是超空间系 统( 玩，2 ，) 与原系统( e ，厂) 在混合，弱混合，传递，周期稠密，相对初值敏 感，熵以及混沌等性质之间的联系d e v a i l e y 在文献【6 中给出了混沌的概 念称一个动力系统( e ，) 是混沌的，如果满足下面三个条件： ( i ) ( e ，。厂) 传递 ( i i ) ( e ，。厂) 具有稠密的周期点集 ( i i i ) ( e ，厂) 具有相对于初值敏感性 b a n k s 等人于1 9 9 2 年证明了条件( i ) 和( i i ) 蕴含了条件( i i i ) 7 】事实 上，如果空间e 不是度量空间，这一结果并不一定成立此时由它诱导的超 空间玩可能不是可度量的，因而无法定义与度量有关的量，如敏感和混沌 文献 3 ，9 】中引入l l i t o r - 1 n i s s 拓扑( 7 - ，) 研究超空间系统，以往的研究者通 常赋予超空间h a l l s d o r f f 度量妇，e t o r i s 拓扑正，或形e 拓扑 利用h a u s d o m 度量，f e d e l i 讨论了传递，周期点稠密和集体混沌 性质【2 1 】，2 0 0 5 ；p e r i s 讨论了混合，弱混合，传递和a u s l a n d e r - y o r k e 混 沌2 2 1 ，2 0 0 5 ；l i a o ，m a 和w a n g 讨论了d e v a n e y s 混沌1 9 1 ，2 0 0 7 ；m a ， h o u 和l i a 0 讨论了熵，l i y o r k e 混沌和分布混沌f 2 0 1 ，2 0 0 7 ( 对于紧致系统 3 的拓扑熵，k 谢e t i l i a k 和o p r o c h a 证明了e 耐( ，) 0 蕴含e 疵( 2 ，) = 。；m a ， h o u 和l i a o 给出了一个e 彤( ，) = 0 但是e 耐( 2 ，) 0 的系统) 利用e t o r i 8 拓扑，b a n l 【s 讨论了混合，弱混合，传递和周期点集稠 密【8 】，2 0 0 5 ；z h a n g ，z e n g 和l i u 讨论了d e v a n e y s 混沌 1 2 】( 同时也讨论了 赋予w 8 拓扑的情况) ，2 0 0 6 ；l i u ，w 抽g 和w 西讨论了熵f 2 3 1 ，2 0 0 7 利用h i t o r - 皿8 s 拓扑，w a n g 和w r e i 讨论了传递，弱混合和混合1 1 ，2 0 0 7 ； w a n g ，w e i ，c a m p b e l l 和b o u r q u i n 给出了一个超空间系统的框架【4 】，2 0 0 8 ，同 时也给出了上面三种拓扑的关系 对于系统( 编，妇，2 ，) ，其中彳6 表示e 的所有非空紧致子集全体，r d m 五n - f 1 0 r e s 证明了2 ，敏感蕴含，敏感 2 4 ，并且指出反过来结论并不一定成立 尤其，b a n k s 于2 0 0 5 年证明了下面重要定理f 8 1 ： 定理a b o 竹七s ，】设e 为度量空间，赋予颤) v i e t o r i s 拓扑，冗是蜀) 的 一个稠密的子空间如果映射，：e _ e 连续且与咒相容( 即厂( f ) 咒，7 咒) ，则2 ，：冗_ 冗连续且下面三个条件等价： ( i ) ( e ，厂) 弱混合 ( i i ) ，2 ，) 弱混合 ( i i i ) ( 何，2 ，) 传递 进一步，( 咒，2 ，) 混合当且仅当( e ，厂) 混合 一 上述定理中要求映射厂必须与咒相容，当咒为e 的所有非空有限 子集全体鼠时，闭映射。，总是与咒相容的本文考虑更为一般的情 形当e 为h a u s d o m 局部紧的第二可数空间( 简记作h l c s c ) 时，玩) 关 于v i e t o r i s 拓扑可以不是度量空间，例e = 舻当e 是紧致可度量时， 甄关于v i e t o r i s 拓扑是紧致可度量的事实上，若e 不是紧致可度量 时，玩既不是紧致的也不是可度量的 17 因此，当被赋予e t o r i s 拓扑时， 系统( 甄，2 ，) 上与度量有关的性质无法定义文献 1 5 】中，m a t h e r o n 证明了 由e 的所有闭集构成的超空间莎被赋予h i t o r i n i s s 拓扑时是h a u s d o r f f 紧 致的第二可数空间( h c s c ) ，根据u r y s o h n s 度量定理，e 和莎都是可度 量的，并且任何与莎相容的度量均是完备的，可分的和完全有界的f 1 6 1 下面为了研究2 ，的连续性，我们引入完备映射和映射收敛的概念 定义a ：设x 和y 为两个拓扑空间，连续映射，：x _ y 称为完备的， 4 如果，是闭映射且每个纤维，_ 1 ( 秒) ， y ) 为x 中的紧致子集【1 6 】 定义b 【4 】：设e 是h l c s c 空间，：e _ e 是一个映射 1 称，为收敛到口e 是指，如果e 中任意没有收敛子列的点列z n ， 有l i m n 。，( z n ) = o 成立； 2 。称，为收敛到无穷是指，如果e 中任意没有收敛子列的点列z n ， 厂( z n ) 没有收敛子列； 3 如果( 1 ) 或( 2 ) 成立，则称厂收敛 定义c 【1 5 】：e 中的闭集序列r 收敛到( 莎，吁) 中的闭集f 当且仅当 下面两条成立： 1 如果一个紧集k n f = d ，则存在m n ，使得当n m 时，k n r = d ； 2 如果一个开集g n f 谚，则存在m n ，使得当佗m 时，g n r 0 当e 为h l c s c 空间，：e _ e 是一个完备映射，则，与玩相容，此 时超空间动力系统( 玩，2 ，) 被( e ，厂) 唯一确定w a n g ，w e i 和c 锄p b e l l 在 文献 9 】中给出了下面定理： 定理b ：设e 是( 非紧致) h l c s c 空间，则： 1 如果，：e e 是完备映射，则厂与玩相容且2 ，：甄_ 甄连续， ( 玩，p ，2 ，) 为局部紧的动力系统； 2 如果，：e e 完备且收敛，则2 ，：矿_ 莎连续，且( 莎，j d ，2 ，) 为 紧致动力系统，( 玩，n2 ，) 是( 夕，p ，2 ，) 的一个局部紧的子系统其 中莎= 甄u 0 ) ； 3 如果，：e _ e 是闭映射且2 ，：玩一甄可以被扩充成莎上的连 续映射，那么，必须是收敛的 于是，当e 是( 非紧致) h l c s c 空间，映射厂：e _ e 是完备映射 时，超空间系统( 玩，j d ，2 ，) 有定义；当映射厂：e _ e 是完备映射且收敛 时，超空间系统( 莎，p ，2 ，) 有定义 5 敏感作为混沌的中心思想被广泛的研究和应用，当e 为h l c s c 空间 时，玩关于h i t o r - 1 n i s s 拓扑是可度量的因此，本文将利用h i t o r - i n i s s 拓 扑来研究超空间上的敏感性质同时，对于定义在弼和。纥上的超子系 统，我们将赋予v i e t o r i s 拓扑来进行研究 本文的主要内容是：第2 节证明了系统( 玩，2 ，) 是厂传递的等价于系 统( e ，。，) 是强，余紧传递的，如果厂为满族，则( 玩，2 ，) 为，混合等 价于( e ，。厂) 为厂余紧混合；第3 节给出了厂集体敏感，伽集体敏感等概 念，证明了( 民，妇，2 ，) 为伽敏感等价于( e ，d ，) 为伽集体敏感；若厂具 有胁e y 性质，则( 瓦，d 日，2 ，) 为厂敏感等价于( e ，以厂) 为厂集体敏 感，( 玩，岛2 ，) 是厂敏感的等价于( e ，d ，厂) 是紧致型厂集体敏感的此外，本 文还证明了如果厂为满族，则( e ，正厂) 为厂混合蕴含( e ，d ，) 为厂集体 敏感 本文主要分成四个部分，第一部分是预备知识的简单介绍；第二部分讨 论诱导超空间系统上的族尸混合与厂传递性质，给出了超空间系统与原系 统在混合和传递性质之间的关系；第三部分讨论诱导超空间动力系统上的 族厂敏感及伽敏感性质第四部分给出了一个正集体敏感的例子 6 1预备知识 1 1 相关的动力系统基础 设z + 表示非负整数集合，n 表示正整数集合，( e ，d ，厂) 是一个动力系 统，即e 是一个度量空间，d 为e 上的度量，：e e 是一个连续映射 称集合a 为e 的子集，如果a e ，a 的补集记作a c 若e 为h a u s d o r f f 空间，u e 为非空开集，称u 为余紧开集，如 果e u 为紧致子集 显然，如果e 紧致，则e 的任意非空开集均是余紧开集 若e 为h a u s d o r f f 空间，u 和y 是e 的两个非空开子集，如果u 和y 中 有一个是余紧开集，则称它们为余紧集对，记作( 以y ) 特别地，对e 的任 意非空开集u ，( 以e ) 和( e ，u ) 总是余紧集对 设以y e ，定义回复时间集为 ( 弘y ) = n ，惫( u ) ny 0 ) 动力系统( e ，厂) 称为余紧混合的，如果对任意余紧集对( 以y ) ，存 在n n ，使得对任意的七仃有厂七( u ) ny d ； 动力系统( e ，厂) 称为余紧弱混合的，如果对e 中任意有限多个余紧集 对( 以，) ，z = 1 ，2 ，n ，存在后n 使得厂南( 以) n ( k ) d ，z = 1 ，2 ，几； 动力系统( e ，) 称为余紧传递的是指，如果对e 中任意两组开 集巩，w ，曙，w 和巩，昭，曙，曙，若满足以下两个条件： ( 1 ) 巩和巩为余紧开集； ( 2 ) 巩n 哆o ( 1 歹s ) 且巩n 呼o ( 1 歹亡) 则存在m n ，使得 ，m ( 巩) n ( 吁n 巩) o 且，m ( 哼n 巩) n 巩d ，v1 i 亡，1 歹s 设p 为z + 的全体子集构成的集合如果p 的子集厂具有遗传向上 性，即若f 1 最且f 1 芦，则易厂，那么就称尸为f u r s t e n b e r g 族或 简称族族芦称为常义族，如果它是p 的真子集 7 如果歹为族，则它的对偶族定义为 k 厂= f p ：z + f 隹厂) = f p ：fnf ，0 ，对于所有f 7 厂成立) 令兀n ，为z + 的全体无限子集组成的族，那么易见它的对偶族仡五竹，为 全体余有限集组成的族，记作疋， 一个f u r s t e n b e r g 族厂称为满的，如果它为常义族并且满足芦k 厂 兀n ，显然，五n ，和心五礼，都是满族且如果族厂是满的，则k 五n ，厂 常义族厂如果对集合的交运算封闭，则称之为滤子，即如果r ，尼厂， 则有f 1n 易厂如果仡芦为滤子，则称族尸为滤子对偶 一个族厂称为具有e y 性质是指，如果毋u 尼尸，则有只 ，或兄厂成立 集合a = 0 1 ，0 2 ，) z + 称为s y n d e t i c 的是指它具有有界的间 距，其中0 1 o ，使得对任意的z e 及z 的任意邻域以，存在可以及七n ，使得d ( ，七( z ) ，厂忌( 可) ) 6 其 中6 称为敏感常数 设族厂五n ，( e ，d ，) 称为厂初值敏感是指，存在6 0 ，使得对任意 的z e 及z 的任意邻域巩，存在秒，使得( 尼n ：d ( ，后( z ) ，知( 可) ) 6 尹其中6 称为厂敏感常数 对于给定的整数礼2 ，系统( e ，。厂) 称为仡初值敏感的是指，存在j o 使得对任意的非空开集u 均存在n 个互异的点z 1 ，z 2 ，z n u 和自然 数m n 满足 m i n d ( 厂m ( z i ) ，厂m ( z j ) ) ：1 歹n ) 占 这样的j 称为系统( e ，厂) 的一个n 初值敏感常数 8 1 2 h a u s d o r f f 度量，v i e t o r i s 拓扑和h i t - o r - m i s s 拓扑 设e 为任意拓扑空间，莎( e ) ，够( e ) 和形( e ) 分别表示e 的所有闭 集，开集和紧致子集全体，简记作：莎，够和力7 ( 仍夕，d 够及d ) ， 并记玩= 莎) ，弼= 形埘 设( e ，d ，) 是一个动力系统，是完备映射，由，诱导的超空间映 射2 ，：玩一箩j 定义为：2 ，( f ) = ，( f ) ，f 玩，( 2 ，) n ( f ) = 广( f ) ，如 果广( f ) = 厂( 广1 ( f ) ) ，几= o ，1 ，2 ，此时称( 玩，2 ，) 为( e ，) 诱导的超 空间动力系统 设( e ，d ) 是一个度量空间，考虑它的所有非空有界闭子集全体，定 义h a l l s d o r f r 度量如下： 或者等价的 妇( a ，b ) = m a x s u pd ( o ，b ) ，s u pd ( 6 ，4 ) ) o a6 b d 日( a ，b ) = i n f e ：s ( a ，e ) 2b ，s ( b ，e ) 2a ) ， 其中s ( a ，e ) = 【z eld ( z ，a ) e ) 是a 的e 一邻域；s ( b ，) = 扛e d ( z ，b ) 0 ，存在同样多个互异的点 1 ，沈，鲰，满足下面两个条件： ( i ) d ( 既，纨) 0 为厂敏感常数设 z l ，z 2 ，z 竹为e 中任意有限多个互异的点，对任意的e 0 ，不失一般性， 设e ；m i n d ( 觑，巧) l1 i j 几) 设a = z l ，z 2 ，z n ) 瓦，由假设存在b 瓦，使得妇( a ，b ) e 且q = 七n ：妇( ( 2 ，) 后( a ) ，( 2 ，) 七( b ) ) 6 】厂由d 日( a ，b ) e 知，对 任意的可b ，d ( 秒，a ) e ，再由e 的选取知，有且只有一个i 1 ，2 ，扎) ， 使得d ( y ，鼢) e 令鼠= 可旧b 且d ( 可，托) e ) ，1 z n 显然， 鼠o ，v1 i 凡 1 7 易见，对任意的后q ，妇( ( 2 ，) 知) ，( 2 ，) 南( b ) ) 6 ，则有( 1 ) 或( 2 ) 成 立 ( 1 ) s ( ( 2 ，) 七( a ) ，6 ) 2 ( 2 ，) ( b ) ； ( 2 ) s ( ( 2 ，) 七( b ) ，6 ) 至( 2 ，) 七( a ) 如果( 1 ) 成立，则存在可鼠。，满足d ( 厂七( 可) ，七( 兢) ) 6 ，v1 i n 对任 意的i 1 ，2 ，仃) ，选取玑b ，特别地，选取玑。= 可，于是我们有： ( z ) d ( 兢，玑) f ，v1 i 扎； ( 既) 存在珀 1 ，2 ，佗) ，使得d ( 厂知( 兢) ，惫( ) ) 6v1 i n 如果( 2 ) 成立，则存在i o 1 ，2 ，n ) ，使得d ( 厂知( z 。) ，厂膏( 秒) ) 6 ，v 秒 b 成立对任意的i 【1 ，2 ，死，选取犰鼠，于是我们有： ( i ) d ( 甄，玑) o ，设a = _ z 1 ，z 2 ，z n ) ，由 假设存在n 个互异的点可1 ，抛，满足定义3 1 中的条件( i ) 和( 钇) 令b = 秒1 ，沈，鲰 条件( z ) 蕴含：妇( a ，b ) 0 为一个常数称系统( e ，正，) 是以6 为紧致型厂集体敏感常数的紧 致型厂集体敏感是指，对e 中任意有限多个互异的点z 1 ，z 2 ，z 。和任 意的e 0 ，存在同样多个互异的点y 1 ，抛，满足下面两个条件： g ) d ( 兢，玑) 4 j 或d ( ，知( z 1 ) ，厂凫( z ) ) 4 6 ，l i n 这样 可以适当选取犰= 兹或彰) ，使得d ( ，七 1 ) ，) ) 4 6 ，1 i 礼于 是 后_ 仃l n ：m i n d ( ，( z 1 ) ，m ( 纨) ) ：1 i n ) 4 6 厂 口 以下将说明对于紧致型度量而言，敏感是与度量无关的性质因为此 结论对任意h l c s c 空间成立，从而对诱导超空间系统( 玩，j d ，2 ，) 也成立 命题3 6 设e 是( 非紧鳓五阮册d 空何，族厂g 五n ，d 1 ，d 2 是e 上 的两个由与e 的拓扑相容的两个度量所诱导的具有紧致型的度量 ：e _ e 连续，则崾，d 1 ，n 为敏感当且仅当，d 2 ，n 为笋敏感 证明只需说明( e ，d 1 ，厂) 是厂敏感的蕴含( e ，d 2 ，厂) 是芦敏感的设西为 ( e ，d 1 ，) 的厂敏感常数，由于d 1 ，d 2 具有紧致型，所以存在u e 上的两个度 量石和五，使得d 1 = 五i e e ，d 2 = 五i e e 定义恒同映射i ：e ，忑) _ e ，石) ，这是一个同胚，于是存在& o ，使得如果五( z ，可) 如，则 有石( z ，矽) 以，z ，可u e 特别地，我们有如下关系：对任意的z ，y e ， 如果c f 2 ( z ，可) 0 为一个常数， 给定正整数n 2 ，称系统( e ，d ，) 是以6 为紧致型n 一集体敏感常数的紧致 型n 集体敏感是指，如果对任意有限多个互不相交的开集巩，巩，阢 e ，分别存在礼个不同的点z ；，z ；，z 二珥，1 r 及m n ，使得 对任意的1 i 歹死，存在忌= 尼( i ，歹) 1 ，2 ，t ) 满足 d ( 厂m ( z ? ) ，m ( 蟛) ) 6 ，v1 s 且面( 厂m ( z ? ) ，u ) j 或者 d ( ，m ( z ；) ，m ( z ；) ) 6 ，v1 s t 且刁( 厂m ( z ；) ，叫) 6 注：由定义易知，集体敏感蕴含敏感；伽集体敏感蕴含伽敏感 定理3 1 0 设( e ，d ，厂) 是一个动力系统，则系统( 氏，p ，2 ，) 是佗一敏感的 当且仅当( e ，d ，) 是紧致型佗一集体敏感的 证明类似定理3 8 的证明过程 引理3 1 1 设( x ，d ，) 是动力系统( e ，d ，l 厂) 的子系统其中x 在e 中稠 密则 ( 1 ) ( e ，d ，厂) 是敏感的当且仅当，d ，厂) 是敏感的i ( 2 ) ( e ，d ，) 是扎一敏感的当且仅当( x ，d ，厂) 是礼一敏感的 证明( 1 ) 充分性：设( x ，d ，) 是敏感的，j 为其敏感常数对任意的z e 及 它在e 中的任意邻域u ，y = unx 0 ，于是由( x ，d ，) 敏感知，存 在可，z y 及n 使得d ( ，惫( 可) ，知( z ) ) 6 ，从而有 d ( 厂忌( z ) ，知( 可) ) 昙或d ( ，后( z ) ，南( z ) ) 等 厶厶 必要性：设( e ，d ，。厂) 敏感，j 为其敏感常数对任意的z x 及它 在x 中的任意邻域u ，存在e 中的开集y ，使得u = ynx ，因 为( e ，d ，厂) 敏感，存在y 及露n 使得d ( ，七( z ) ，厂南( 可) ) j ，由厂的连续 2 3 性知，存在充分小的，满足s ( 秒，) y ，且对任意的z s ( 可，e ) 有d ( 厂( 可) ，( 名) ) ；，1 z 忌特别地，由x 稠密存在z s ( 秒，e ) nx ，即z ，使 得d ( ，七( 可) ，膏( z ) ) ；，于是d ( ，南 ) ，七( z ) ) ( 2 ) 根据( 1 ) 的证明过程知充分性显然，下证必要性 必要性：设( e ，d ，厂) 伽敏感，6 为其敏感常数u x 为x 中的任意 开集，则存在y e ，使得u = ynx 因为( e ，d ，) 是伽敏感的，故存 在z 1 ，z 2 ，y 及尼n ，使得m i n d ( ，后( 兢) ，i 厂七( 巧) ) ：1 z 歹 亿) 6 对任意的1 i 歹亿，因为，连续，存在充分小的岛，勺，满 足s ( 翰，毛) ，s ( 巧，白) y ，且对任意的耖s ( 兢，乞) ，7 s ( ，白) 有 d ( 厂( 可) ，7 ( z ) ) 差，1 r 尼；d ( 厂( 矿) ，厂7 ( z j ) ) 差，1 r 尼 特别地，由x 稠密存在犰s ( 兢，嘲nx ，协s ( 巧，勺) nx ，使得 蚶) ， 嘲) 0 ，z 1 ，z 2 ，耽为e 中任意有限多个互异的点，考虑下面四 种情况： 情况1 设0 z 1 z 2 z 1 如果观 1 ，选取玑 鼠。( ，e ) ，1 i 亡，并且轨满足 纨 1 当扎n 为奇数时有下面关 系成立： 1 厂“( 玑) 厂“( z t ) ，n ( z 一1 ) ，竹( z 1 ) 于是 l i md 1 ( 厂2 n 一1 ( z t ) ，厂2 n 一1 ( 玑) ) = o 。， n o 。 从而 l i md l ( ，2 n 一1 ( 现) ，2 n 一1 ( 犰) ) = ，1 i 亡 n + o o 如果观= 1 ，则，( 轨) = 1 选取犰& 。( 甄，e ) ，1 i 亡，并且犰满 足z t - 1 纨 瓯于是当佗为奇数时有： 这时仍然有 1 = ，”( z t ) ，竹( 纨) 厂n ( z t 1 ) 0 ，存在m n ，使得当n m 时，有 d 1 ( ，2 ”一1 ( 兢) ，2 n 一1 ( 纨) ) 瓦1 z 亡 情况2 设1 z 1 z 2 施证明类似情况1 情况3 设o z 1 z 2 取玑鼠。( z ，e ) ，1 i 亡，并且纨 有： z s l z 8 + l z s + 2 z t 远 _ 满足 纨 1 于是当佗为奇数时 o ，n ( z t ) ，”( z 。+ 1 ) 1 厂竹( 纨) ，“( z 。) ，n ( z 2 ) 0 ，存在mn ，使得当礼仇时，有 d 1 ( ，2 n 一1 ( 甄) ，2 n 一1 ( 剪。) ) 6 ，1 t t = 0 0 情况4 设0 z 1 z 2 z 。= 1 z 卧1 + 2 0 为 其只集体敏感常数 口 2 6 参考文献 【1 】y w 柚g ，g w r e i ，饥o m c e 砌叼m 沥哪，钮e 础m 捌唧彻d m 佗s i 既秽咖盯 饥砒c e d 危卯e 聊尬c e 咖凡口m z c o fs 可s t e 伽，t o p o l o 盯a p p l 1 5 5 ( 2 0 0 7 ) 5 6 6 8 2 】y 、7 g ，g w e i ，w h c a j n p b e u ，j 5 i e 扎s i 托口ed e p e 几d e 扎c eo 礼t n 坑0 2c d 咒6 融 抚d 船6 e 伽e e 礼咖n 8 仇i c 口fs 可s e m so 础饶e 打i 几砒c e d 尼卯e 唧口c e 咖舢；m i z s 秒s e m s ，t o p o l o g ya p p l 1 5 6 ( 2 0 0 9 ) 8 0 3 - 8 1 1 g w 西，y w n g ，d 仃m e 死z 口托。礼吖饶e 九诳d 卜m 拈s 叩d z 9 鲥伽i 硼a f 口佗一 d 7 1 6 疗c d 7 7 印口c t 析c o 挽d 竹，j a p p r o x 】；k a s o n 4 6 ( 1 ) ( 2 0 0 7 ) 4 7 二6 4 4 】y w a n g ，g w 西，w h c a m p b e u ，s b o u r q u i n ，a 力n n m e 伽d 毗吖锄砒c 甜 可一 p e 印p n c ed ! ，n 口m i c o fs y s e m s 叼“咖p 甜加荔九搋e 允讥d 卜m i s st 叩d z 凹秒，c h a o s s o l i t o 璐n a c t a l s ，4 1 ( 2 0 0 9 ) 1 7 0 8 1 7 1 7 5 g w 西，y w a n g ，f d r m 乱f 口统聊s t d c 托cc d 舢e 叼e 扎c e 吖m 佗d d mc f d s e d s e sd 扎z d c o f 勿c d 印n c s 印。他6 把m e 拥勰6 z e 印口c e s s i 哪m e 疵c s 盯危e 加乒d 卜m 妇st 印d f 凹弘i n t e m a t j i n t e l l t e c h a p p l s t a t 1 ( 2 0 0 8 ) 3 3 5 7 【6 】r d e v a n y ，仍o d t i cd 可n o 仇i c 口zs y s 钯脚，s e c o n de d ，a d d i s o n - w b s l e y ，n e w y b r k 1 9 8 9 7 1j b a n k s ，j b r o o k s ，g c a i r i l s ，g d a 、r i s ，p s t a c e y ，d 佗d e u 8 佗e y ，sd 币扎i 挽d 礼 c 口d s ，a m e r m a t h m o n 9 9 ( 1 9 9 2 ) 3 3 2 3 3 4 【8 】j b a n k s ，傩口d s 加r 饥如c e d 危卯e r 印口c em 印s ，c h a o ss o l i t o n sn a c t a k ， 2 5 ( 2 0 0 5 ) 6 8 l 一6 8 5 9 】y w a n g ，g w 西，w h c 锄p b e l l ， 印o c o n df d c o f 勿c d 印n c 卯e 卜 5 p o c ed 佗。仃沈c o fs s e m 5i 竹d 钍c e d ，绚仇f d c o f 勿c d 7 7 妒o c td y 死o m z c 0 2s 秒s e m s ， c h a o s ，s o l i t o n 8f r a u c t a l s ( 2 0 0 7 ) ，s u b m i t t e df o rp u b l i c a t i o n 【1 0 】叶向东，黄文，邵松，拓扑动力系统概论北京：科学出版社，2 0 0 8 【1 1 】g a c o s t a ，a i l l a n e s ，h m n d e z l a n g o ，觋e m 佗s 行知幼d ，溉砒c 鲥m 印s ， 7 】b p 0 1 0 9 ya p p l 1 5 6 ( 2 0 0 9 ) 1 0 1 3 1 0 3 3 2 7 【1 2 】g z h a n g ，f z e n g ，x l i u ，d e 口口佗e 可，sc n d 既cd 他i 扎d 让c e dm c 妒s 巧 2 p e ，、 印8 c e s ，c h a o ss o l i t o 璐n a u c t a l s ，2 7 ( 2 0 0 6 ) 4 7 1 - 4 7 5 1 3 】廖公夫，王立冬，一类集值跌射的传递性，混合性与湿沌，中国科学a 辑 数学，2 0 0 5 ，3 5 ( 1 0 ) ：1 1 5 5 一1 1 6 1 【1 4 】j m g f 、e l l ，a 日蚴s d d 彤叩d f 9 鲫，d r 饶ec 2 d s 以s u 6 s e 如d ，口f d c o 玩fc d m p o c 佗d 咒一月口让s d d 吒扩s _ p o c e ，m a t h ，n a c h r 2 6 ( 1 9 6 4 ) 3 2 1 3 3 7 1 5 】g m a t h e r o n ，r 口咖ms e 如。佗d 砌f 留r 口fg e d m e t 阿，j w i l e y n e wy ；d r k ， 1 9 7 5 ，p p 1 - 3 5 【1 6 】r e n g e l k i n g ，g e 佗e m z7 却d z 凹秒，p w r n ，w a r s z a w a ，1 9 7 7 17 】m i c h a e le ，砌d f 凹i e sd 佗印o c e s