（基础数学专业论文）关于充分悬挂单圈图取得极小hosoya指标图的研究.pdf

参考文献 致谢 附录个人简历，研究成果及发表的学术论文 m 沁 1 。 3 3 5 6 6 u 虬 ：； 硒 ；| 言 青海师范大学硕士学位论文 摘要 在分子结构分析研究中，一个分子的拓扑结构可用个图来表示图的拓扑 指标是描述化合物分子拓扑结构图的个重要指标，实验研究结果表明，许多拓 扑指标都与分子的某些物理化学性质密切相关而h o s o y a 指标是化学分子图理 论研究中较为流行和重要的拓扑指标之一 设g 是一个具有个n 顶点的图，则图g 的h o s o y a 指标z ( g ) ，是指图g 的 所有匹配数的总和，即z ( g ) ：! 兰6 m ( g ，s ) ，其中m ( g ，s ) 表示g 中s - 匹配的 个数个s 匹配是边集的子集m ，它具有这样的性质：l m l = s 且m 中的任 何两条边都不相邻为了简便和一致通常规定m ( a ，0 ) = 1 设表示有佗个顶点的单圈图集，个充分悬挂的单圈图是这样个单圈 图在它的唯一圈中的任何一点的度不小于3 用u ：表示充分悬挂的单圈图集 u n ( 1 ) 和牡：( z ) 分别表示和乱：的子集且唯一圈的圈长为1 本文主要研究充分 悬挂单圈图的h o s o y a 指标，得出了这些结果： ( 1 ) 充分悬挂单圈图缸：的h o s o y a 指标的第四小的极值图为：碟( 1 ，4 ，n 一 s ) ( 1 2 礼1 4 ) 和g ( 佗1 5 ) ( 2 ) 充分悬挂单圈图t ：的h o s o y a 指标的第五小的极值图为：碟( 2 ，2 ，几一7 ) ( 3 ) 充分悬挂单圈图u 毛的h o s o y a 指标的第六小的极值图为t 0 关键词：h o s o y a 指标，单圈图，常量，匹配 分类号：a m s ( 2 0 0 0 ) 1 1 8 3 9 0 5 c 0 5 文献标识符：a a b s t r a c t a b s t r a c t i nm o l e c u l a rs t r u c t u r ea n a l y s i s ，am o l e c u l a rt o p o l o g i c a ls t r u c t u r em a yb em o d e l l e d a sa nu n d i r e c t e dg r a p h at o p o l o g i c a li n d e xi sam a pf r o mt h es e to fc h e m i c a lc o m - p o u n d sr e p r e s e n t e db ym o l e c u l a rg r a p h st ot h es e to fr e a ln u m b e r e x p e r i m e n t a lr e s u l t s s h o w e dt h a tm a n yt o p o l o g i c a li n d i c e sa r ec l o s e l yc o r r e l a t e dw i t hs o m ep h y r s i c o c h e m i c a l c h a r a c t e r i s t i c s t h eh o s o y ai n d e xi so n eo ft h ep o p u l a ra n dv a l u a b l et o p o l o g i c a li n d e x i nc h e m i s t r ym o l e c u l a rg r a p h st h o e r y l e tgb ea g r a p hw i t h 佗v e r t i c e s i t sh o s o y ai n d e xz ( g ) ，i sd e f i n e dt ob et h et o t a l n u m b e ro ft h em a t c h i n g so fg ，n a m e l y , z ( g ) ：! 鍪m ( g ，s ) ，w h e r em ( g ，s ) i st h e n u m b e ro fs m a t c h i n g so fg a ns - m a t c h i n go fag r a p hgi sas u b s e tmo fi t s e d g e s e tw i t ht h ep r o p e r t yt h a tl ml = sa n dmc o n t a i n sn ot w oe d g e ss h a r i n gac o m m o n v e r t e x f o rc o n v e n i e n c ea n dc o n s i s t e n c e ，i tw i l lb ea l w a y sa s s u m e dt h a tm ( g ，0 ) = 1 l e tu nb et h es e to fu n i c y c l i cg r a p h sw i t hnv e r t i c e s af u l l yl o a d e du n i c y c l i cg r a p h i sau n i c y c l i cg r a p hw i t ht h ep r o p e r t yt h a tt h e r ee x i s t sn ov e r t e xw i t hd e g r e el e s st h a n3 i ni t su n i q u ec y c l e l e t 丢b et h es e to ff u u yl o a d e du n i c = i r c l i cg r a p h s l e t ( z ) a n du ：( 2 ) d e n o t er e s p t h es u b s e to f ( z ) a n dt ：( f ) i nw h i c he v e r yg r a p hh a sau n i q u ec y c l eo f l e n g t h1 i nt h i sp a p e r ，ou rm a i na i mi st oi n v e s t i g a t et h eh o s o y ao fu n i c y c h cg r a p h s w e o b t a i nt h ef o l l o w i n gr e s u l t s ( 1 ) t h ef o u r t h - m i n i m a lv a l u eo fh o s o y ao fg r a p h si nu ：a r e 畿( 1 ，4 ，礼二s ) ( 1 2 佗1 4 ) a n dg ( 亿z s ) ( 2 ) t h ef i f t h - m i n i m a lv a l u eo fh o s o y ao fg r a p h si n 砖i sc 甓( 2 ，2 ，n 一7 ) ( 3 ) t h es i x t h - m i n i m a lv a l u eo fh o s o y ao fg r a p h si n 如i sg k e y w o r d s ：h o s o y ai n d e x ；u n i c y c l i cg r a p h ；p e r m a n e n t ；m a t c h i n g 青海师范大学硕士学位论文 第一章绪论 1 1 引言 1 9 7 1 年，h o s o y a 在文献【2 】提出了h o s o y a 指标，h o s o y a 指标作为重要的拓 扑参数之一，在研究碳氢化合物的分子结构和其物理化学性质的关系中，起了重 要的作用，并阐述了其在组合化学中的潜在应用价值 设g 是有n 个顶点的图，图g 的h o s o y a 指标的极值是这一课题研究的主 要问题之一；而这一课题有关的结果和最新的发展在文献【a - 2 a 中已得出了一些 有价值的结论和有趣的结果，特别是分子拓扑结构研究的需要，同时又充实和完 善了h o s o y a 指标的理论研究和应用研究 设g 是一个具有个n 顶点的图，则图g 的h o s o y a 指标z ( g ) ，是指图g 的 所有匹配数的总和，即z ( g ) = 翼6 m ( g ，s ) ，其中m ( g ，s ) 表示g 中s - 匹配的 个数个s - 匹配是边集的子集m ，它具有这样的性质。l m l = s 且m 中的任 何两条边都不相邻为了简便和一致通常规定m ( g ，0 ) = 1 确定有极值h o s o y a 指标的图有着重要的意义，近年来已提出了很多结果 g u t m a n 在【2 5 中证明了在所有正六边形链中，直六边形链有最小的h o s o y a 指 标z h a n g 在【2 6 】中证明了在所有正六边形链中，z 字形链有最大的h o s o y a 指 标z h a n g 和t i a n 在 2 7 】中，对g u t m a n 在 2 5 中和z h a n g 在 2 6 】中的结果给 出了新的证明在文献【2 8 】中，z h a n g 和t i a n 确定了有最小和第二小h o s o y a 指 标的图并且在文献【2 9 】中证明了星图和路图分别有最小的h o s o y a 指标和最大 的h o s o y a 指标在【3 0 中，h o u 在给定某一匹配数的所有树中，刻画了有最小 和第二小h o s o y a 指标的树在【3 1 】中，y u 和t i a n 研究了在给定某一匹配数的 图中，有最小h o s o y a 指标的图y u 和l v 在【3 2 研究了在所有k 个悬挂点的树 中，有最小h o s o y a 指标的树而且近年来o u 在 3 3 1 中，唯一确定了在1 1 个点的 单圈图中有第一大和第二大h o s o y a 指标的单圈图，且在【3 4 中也分别确定了有 第一小，第二小h o s o y a 指标的单圈图而且h u a 在 3 5 】中确定了在n 个点的充 分悬挂的单圈图中，有第一小，第二小和第三小h o s o y a 指标的充分悬挂单圈图 1 2 基本概念及符号 如果未特殊说明，本文只考虑的是简单的连通图，其它未予说明的术语和符 号均引自文献【1 1 设g = ( y ( g ) ，e ( g ) ) ，是个有顶点集v ( c ) 和边集e ( c ) 组成 l 第一章绪论 的图对图g 中的点郇，设d ( u ) 表示与t ，关联的边数若d ( t ，) 3 ，则称u 为树枝 点n g ( v ) 表示u 的邻点的集合即邻集g v 表示从图g 中删掉点u 和其所 有关联的边得到的图咖表示没有任何边的图 为了陈述和证明主要结果，还需要进一步说明一些符号 设表示有他个顶点的单圈图集，个充分悬挂的单圈图是这样个单圈 图在它的唯一圈中的任何一点的度不小于3 用u j 表示充分悬挂的单圈图集 ( z ) 和畦( z ) 分别表示和t 矗的子集且唯一圈的圈长为1 设r 表示有亿个顶点的路它的点分别记为。1 ，z 2 ，z 。对1 k 佗，定 义磁( 1 ，1 ，1 ) 它是给p 住中的点z k ，x k + l ，。分别连结个悬挂点得到的 其中霸( 1 ，1 ，1 ) = r + 1 ，设q 是长为z 的圈，它的点依次记为y 1 ，y 2 ，y t 定 义雠( t l ，幻，彘) ，它是给a 中的点虮0 = 1 ，2 ，z ) 连结t t 个悬挂点得到的 其中t i 1 且名lt i ；n z ，例如曙( 1 ，1 ，1 ，1 ) 和矸在图1 1 c 4 2 ( 1 ，2 ，2 ，3 ) 和 锘( 2 ，2 ，2 ) ，在图1 2 中分别为； l j 】il l 工- j 图1 1 图1 2 2 一童查堑蕉盔堂塑主堂堡垒圭 第二章基本引理 帚一早基本5 l 埋 2 1 基本引理 设g 是有佗个顶点的图，它的邻接矩阵是a ( g ) g 的邻点式矩阵b ( g ) ，定 义为b ( g ) = a ( g ) + ，其中，是n 阶单位阵p e r b ( g ) 表示图g 的积和式 引理1 【3 5 】：设g 的m 个分支为g 1 ，g 2 ，g m ，则p e r b ( a ) ：兀銎lp e r b ( c t ) 引理2 1 3 5 ：设g 是n 2 ) 个顶点的图，若伽是g 的悬挂边，t ，是悬挂 点，贝0p e r b ( g ) = p e r b ( g 一 ) + p e r b ( g 一口一u ) 1 理3 3 s ：设g 是佗个顶点的单圈图，g u 。( 2 ) ( n 3 ) 则z ( g ) ：p e r b ( g ) 一 2 p e r b ( t ( g ) ) 其中t ( g ) 是g 去掉圈q 得到的森林且p e r b ( d 9 ) ：1 下面介绍两种能够减少图g 的匹配数即减少图g 的h o s o y a 指标的变换 2 1a 变换如图2 1 ： g i 图2 1 v l 仇 可 引理4 【3 5 】：设g i 和g 2 是图2 1 中所示的图，则z ( g 1 ) z ( g 2 ) 2 2b 变换如图2 2 ： 3 引理5 3 5 】：设0 l ，和侥如图2 2 中所示，则p e r b ( 0 1 ) p e r b ( 0 2 ) 或 p e r b ( g 1 ) p e r b ( 0 3 ) 引理6 3 5 】：设g 缸：( z ) ( z 3 ) ，若g 笋c i ( 1 ，1 ，1 ，死一2 1 + 1 ) ，则z ( g ) z ( 磷( 1 ，1 ，1 ，礼一2 1 + 1 ) ) 弓i 理7 【3 5 1 ：对z 5 ，有p e r b ( c ：( 1 ，1 ，1 ，n 一2 z + 1 ) ) p e r b ( g i - 1 ( 1 ，1 ，1 ，n 一 2 l + 3 ) ) 引理8 1 2 4 1 ：设g 是个图，且t ，y ( g ) ，若口1 ，, v k 是口的邻点，则z ( g ) ： z ( c 一可) + 冬1z ( c 一 t ，引- ) 若图g 的分支是g 1 ，g 。，则z ( g ) = 兀銎1z ( v t ) 引理9 1 3 s ：设n 8 ，g u j ，则z ( g ) 5 n 一6 当且仅当g 笺碟( 1 ，1 ，n 一5 ) 取等号 引理1 0 3 5 1 ：设他8 ，则簖( 1 ，2 ，n 一6 ) 在t ：中取得第二小h o s o y a 指标 引理1 l 【3 5 】：设佗21 0 在乱：中，若1 0 扎冬1 2 ，罐( 1 ，3 ，佗一7 ) 取得第三小 h o s o y a 指标；而当竹1 3 ，0 取得第三小h o s o y a 指标，其中0 如图2 3 ： 4 2 2 主要结果 g 图2 , 3 n 一6 2 2 主要结果 目前，对与分子的某些物理化学性质密切相关的分子拓扑指标h o s o y a 指标 的课题的研究，主要涉及的是树图和圈图本文主要研究了只含个圈的充分悬 挂的单圈图的h o s o y a 指标的性质，根据有关分子拓扑指标的h o s o y a - 指标的理论 和性质及已有相关结论，运用排除法和比较法研究了充分悬挂单圈图的h o s o y a 指标，得出了以下结果： ( 1 ) 充分悬挂单圈图畦的h o s o y a 指标的第四小的极值图为：砩( 1 ，4 ，n 一 8 ) ( 1 2 n 1 4 ) 和0 ( 佗1 5 ) ( 2 ) 充分悬挂单圈图畦的h o s o y a 指标的第五小的极值图为：雠( 2 ，2 ，佗一7 ) ( 3 ) 充分悬挂单圈图u i 的h o s o y a 指标的第六小的极值图为：0 5 青海师范大学硕士学位论文 第三章充分悬挂单圈图的第四小，第五小，第六小 h o s o y a 指标的图 本章中我们主要给出如中有第四小，第w d , ，第六小h o s o y a 指标的图 3 1充分悬挂单圈图的第四小h o s o y a 指标的图 定理1 ：设他1 2 且g 砖( 3 ) - c 3 ( 1 ，1 ，n - - 5 ) ，碟( 1 ，2 ，n - - 6 ) ，锑( 1 ，3 ，r t , 一7 ) ，0 ， 则有 z ( g ) ：鬻耋薪1 4 引， 在( a ) 中，当且仅当g 竺c 甓( 1 ，4 ，n 一8 ) 等号成立；在( b ) 中，当佗1 6 时， 当且仅当g 竺0 等号成立，而当佗= 1 5 时g 鲁0 或g 笺c 爱( 1 ，4 ，佗一8 ) 等号成 立其中砩( 1 ，4 ，佗一8 ) ，0 ，g 如图3 1 ： c 甓( 1 ，4 ，佗一8 ) 证明：分两种情形讨论 一8 g 图3 1 6 佗一6 情形l ：若g 型碟( k l ，k 2 ，乜) 由于g 碟( 1 ，l ，n - 5 ) ，碟( 1 ，2 ，n - 6 ) ，嚷( 1 ，3 ，佗一7 ) ，所以( k l ，k 2 ，k s ) ( 1 ，1 ，礼一 5 ) ，( 1 ，2 ，佗一6 ) ，( 1 ，3 ，7 一7 ) 假设( h ，乜，) ( 1 ，4 ，n 一8 ) ，且k l k 2 k 3 分以下两 种情形： 情形1 1 ：k t = 1 由于k 2 1 ，2 ，3 ，4 ，所以如5 ，把罐( 1 ，3 ，1 ) 看作岛，对g 施行b 变换由 弓【理5 得；p e r b ( c 3 ( 1 ，k 2 ，k s ) ) p c r b ( c 3 ( 1 ，4 ，k s + k 2 4 ) ) = p e r b ( 嚷( 1 ，4 ，礼一8 ) ) 或者p e r b ( 碟( 1 ，k 2 ，) ) p e r b ( c 3 ( 1 ，4 ，也+ 如一4 ) ) = p e r b ( c 3 0 ，4 ，佗一8 ) ) 由引 理1 , 2 ，3 得：z ( c 甓( 1 ，k 2 ，盹) ) = p e r b ( 锱( 1 ，乜，k 3 ) ) 一2 p e r b ( c 甓( 1 ，4 ，n 一8 ) ) 一2 = 6 3 1 充分悬挂单圈图的第四小i - i o s o y a 指标的图 z ( 磷( 1 ，4 ，n 一8 ) ) = 1 1 矗一7 0 ，而当n 1 5 时， z ( c ：( 1 ，4 ，住一8 ) ) z ( 0 ) ，所以， z ( c 3 ( 1 ，如，) ) z ( 0 ) 情形1 2 ：七l 2 对g 施行b 变换，由引理5 得：l e r b ( 砩( k l ，娩，忌3 ) ) p e r b ( 谨( 1 ，乜，乜+ h 一1 ) ) 若( 1 ，乜，如+ 乜一1 ) = ( 1 ，4 ，n 一8 ) 定理成立否则有如5 再施行一次 b 变换有，p e r b ( 砩( 1 ，如，b + 惫1 1 ) ) f e r b ( c 3 ( 1 ，4 ，b + ( 詹l 一1 ) + ( 如一4 ) ) ) = e e r b ( c ：( 1 ，4 ，n - 8 ) ) 或者p e r b ( c 瓮( 1 ，乜，如+ k x 一1 ) ) p e r l 3 ( 碟( 1 ，4 ，如+ ( h 一1 ) + ( b 一4 ) ) ) = t e r b ( c 3 ( 1 ，4 ，n - 8 ) ) 由引理1 ，2 ，3 得：z ( 碟( k t ，乜，b ) ) z ( 碟( 1 ，4 ，七3 + ( 七1 1 ) + ( 乜一4 ) ) ) = z ( 碟( 1 ，4 ，n 一8 ) ) ，而当佗1 5 时，z ( 磷( 1 ，4 ，佗一8 ) ) z ( 0 ) ， 所以， z ( 砩( 惫1 ，乜，) ) z ( g ) 情形2 ：若g 笋砩( 后l ，乜，乜) 分以下五种情形讨论： 情形2 1 ：若对g 连续施行a 变换得c 甓( 1 ，1 ，n 一5 ) 由于g 笋c 甓( 1 ，1 ，n 一5 ) ，则由引理4 ，对g 至少施行一次a 变换，先考虑对 图3 2 p 由弓i 理8 计算得：z ( c ( p ) ) = 一5 p 2 + ( 5 n 一2 4 ) p + 4 n 1 1 ，z ( 碟( 1 ，4 ，n 一8 ) ) = 1 1 n 一 7 0 ，z ( c ) = 9 n - 4 0 因此，z ( g 0 ) ) 一z ( 磷( 1 ，4 ，n - - 8 ) ) = 一却，2 + ( 5 n 一2 4 ) p 一7 n + 5 9 设夕p ) = 一印2 + ( 5 n 一2 4 ) p 一7 n + 5 9 ，则壁掣= ( 5 n 一2 4 ) 一1 叻由此得：当 1 0 有，z ( g ) ) 一z ( 砩( 1 ，4 ，佗一8 ) ) = 9 ( p ) g ( 2 ) = 3 n 一9 o ( n 1 2 ) 当f 墨鼍笋 p 佗一6 ，有掣 0 ( 1 2 n 1 4 ) 故当1 2 礼1 4 时， z ( a ( p ) ) z ( 嚷( 1 ，4 ，n 一8 ) ) 而当n21 5 时，z ( c ( p ) ) 一z ( 0 ) = 一5 p 2 + ( 5 n 一2 4 ) p 一5 n + 2 9 设m ( p ) = 一印2 + ( 5 n 一2 4 ) p 一5 n + 2 9 ，则磐= ( 5 n 一2 4 ) 一1 0 p 因此： l p 【曼翌砉翌时，尘麓吐 0 ，故当2sps 【墨专等j 时， z ( g ( p ) ) 一z ( o ) = m ( p ) 2m ( 2 ) = 5 n 一3 9 o ( n 1 5 ) ，当f 曼墨i 斧 p ( 佗一6 ) 时，有垡号磐 o ( n 1 5 ) ，从而得：z ( c ( p ) ) z ( 0 ) 7 第三章充分悬挂单圈图的第四小，第五小，第六小h o s o y a 指标的图 而当p = 1 时， g ( p ) 垒0 ，贝0z ( 0 ) 一z ( 磷( 1 ，4 ，扎一8 ) ) = 3 0 2 n 所以当 1 2 礼1 4 时，z ( 0 ) z ( 谨( 1 ，4 ，n 一8 ) ) 当他1 5 时，z ( 0 ) z ( c 譬( 1 ，4 ，佗一8 ) ) ， 当佗= 1 5 时取等号 著g 至少通过两次4 变换化为砩( 1 ，1 ，n 一5 ) ，则g 类似于下图3 3 ： 或 图3 3 那么对g 通过一系列a 变换，使g 化为g ( p ) ，由引理4 知：z ( g ) z ( g 0 ) ) ， 面z ( j g ) ) z ( c n 3 ( 1 ，4 ，n 一8 ) ) ，所以， z ( g ) z ( 碟( 1 ，4 ，他一8 ) ) 综上所述知： 当1 2sn 1 4 时，z ( g ) z ( 碟( 1 ，4 ，n - s ) ) ，当n 1 5 时，z ( g ) z ( g ( 1 ) ) = z ( 0 ) 情形2 2 ：g 通过连续a 变换得c 甓( 1 ，2 ，他一6 ) 由于g 笋砩( 1 ，2 ，他一6 ) ，则有引理4 ，对g 至少施行一次a 变换，先考虑对 g 刚好通过一次a 变换化为磷( 1 ，2 ，佗一6 ) ，则g 兰日( p ) ，日0 ) t ：( 3 ) 如图3 4 ： 图3 4 由引理8 计算得： z ( 捌) ) = 一7 _ 矿+ ( 7 n 一4 0 ) p + 5 n 一1 8 因此： z ( 日( p ) ) 一 z ( 碟( 1 ，4 ，礼一8 ) ) = 一7 l ，2 + ( 7 佗一4 0 ) p - 6 n + 5 2 设t ( p ) = 一7 l ，2 + ( 7 n 一4 0 ) p 一6 n + 5 2 ，则 尝茅= ( 7 n 一4 0 ) 一1 4 p 若1s psf f - 铲- j ，毫铲 0 ，z ( 日( p ) ) 一z ( 砩( 1 ，4 ，佗一8 ) ) ： t ( p ) 之t ( 1 ) = 亿+ 5 0 ，若卫铲1 psn 一7 ，有甓铲 0 ，故z ( 日( p ) ) z ( 雠( 1 ，4 ，n 一8 ) ) 而当几21 5 时， z ( 锘3 ( 1 ，4 ，n 一8 ) ) z ( 0 ) ，故z ( 日( p ) ) z ( 0 ) 8 3 1 充分悬挂单圈图的第四小h o s o y a 指标的图 若g 至少通过两次a 变换化为磷( 1 ，2 ，n 一6 ) ，则g 类似于图3 5 ： 图3 5 那么对g 通过一系列的a 变换，使g 化为日) ，则由引理4 知，z ( g ) z ( 日( p ) ) ，而z ( 日p ) ) z ( 诺( 1 ，4 ，佗一8 ) ) ，故z ( a ) z ( 碟( 1 ，4 ，n 一8 ) ) ；而当他1 5 时，z ( c 尝( 1 ，4 ，仡一8 ) ) z ( 0 ) ，故z ( a ) z ( 0 ) 情形2 3 ：g 通过连续a 变换得c 甓( 1 ，3 ，佗一7 ) 由于g 磷( 1 ，3 ，他一7 ) ，则有引理4 ，对g 至少施行一次a 变换，先考虑 对g 刚好通过一次a 变换化为锘( 1 ，3 ，佗一7 ) ，则g 垡，0 ) 或g 7 或g ，( p ) ，g 7 ，0 砖( 3 ) 如图3 6 ： ，( p ) 图3 6 7 佗一7 若g 兰，( p ) ，由引理8 计算得：z ( i ) ) = 一9 p 2 + ( 9 n 一6 0 ) p + 6 n 一2 7 因此：z u ( p ) ) 一z ( 磷( 1 ，4 ，n 一8 ) ) = 一妒+ ( 9 n 一6 0 ) p 一5 n + 4 3 设f ( p ) = 一9 p 2 + ( 9 n - 6 0 ) p - 5 n + 4 3 ，贝4 鼍= ( 9 n - 6 0 ) 一1 8 p 当1 p 【堡! f 笋j ，挚 0 ，z ( i ( p ) ) 一z ( 碟( 1 ，4 ，n 一8 ) ) = ，p ) 1 ( 1 ) = 4 n 一3 1 0 当坐铲1 p n 一8 ，有鼍掣 0 故 z ( i ( p ) ) z ( 嚷( 1 ，4 ，佗一8 ) ) ，而当n 1 5 时，z ( z ( p ) ) z ( 谨( 1 ，4 ，n 一8 ) ) z ( g ) 若g 垒g 7 ，由计算得： z ( a 7 ) = 1 1 n 一5 6 显然，z ( a 7 ) z ( 罐( 1 ，4 ，n 一8 ) ) 当佗1 5 时，z ( c 7 ) z ( c 甓( 1 ，4 ，n 一8 ) ) z ( 0 ) 9 第三章充分悬挂单圈图的第四小，第五小，第六小h o s o y a 指标的图 一一 若g 垒0 ，由计算得： z ( 0 ) = 1 1 n 一5 7 显然， z ( 0 ) z ( 诺( 1 ，4 ，n 一8 ) ) 当 亿1 5 时， z ( g ) z ( 诺( 1 ，4 ，佗一8 ) ) z ( 0 ) 若g 至少通过两次a 变换化为铝( 1 ，3 ，n 一7 ) ，则g 类似于图3 7 ： 殿泌一 匙丸 图3 7 那么对g 通过一系列的a 变换，使g 化为j ( p ) 或g 7 或0 ，则由引理4 知， z ( v ) z ( 碟( 1 ，4 ，佗一8 ) ) ，z ( a ) z ( 0 ) 刁o 情形2 4 ：g 通过连续a 变换化成0 先考虑g 通过一次a 变换化为0 ，则g 兰j 0 ) ，) 畦( 3 ) ，如图3 8 所 佗一p 一6 若g 竺，( p ) ，由引理8 计算得： z ( - 厂0 ) ) = 一s p 2 + ( 8 n 一4 7 ) p + 7 n 一2 7 因 此： z ( j ( p ) ) 一z ( 磷( 1 ，4 ，n 一8 ) ) = 一8 矿+ ( 8 n 一4 7 ) p 一4 n + 4 3 设s ( p ) ：一8 矿+ ( 8 n 一4 7 ) p 一4 n + 4 3 ，则掣= ( 8 佗一4 7 ) 一1 6 p 当1 p 【警j 时，掣 0 ， z ( ，( p ) ) 一z ( 砩( 1 ，4 ，n 一8 ) ) = s ( p ) 4 1 ) = 4 n 一1 2 o ( 礼21 2 ) 当曼丝i 乎 sp n 一7 时， 掣 0 故 z ( 厂( p ) ) z ( 锑( 1 ，4 ，r t 一8 ) ) 又因为，当几1 5 时，z ( 锑( 1 ，4 ，n 一8 ) ) z ( 0 ) ，所 以，z ( ，( p ) ) z ( 0 ) 3 2 充分悬挂单圈图的第五小h o s o y a 指标的图 若g 至少通过两次a 变换，使g 化为0 ，则类似于图3 9 ： 图3 9 那么对g 通过一系列的a 变换，使g 化为j ( p ) ，由引理4 知，z ( c ) z ( j ) ) ) ，z ( j 扫) ) z ( 锘( 1 ，4 ，n - s ) ) ，所以，z ( a ) z ( c ：；：( 1 ，4 ，n - s ) ) 而当他1 5 时，z ( 嚷( 1 ，4 ，n 一8 ) z ( g ) ，z ( g ) z ( g ) 情形2 5 ：g 由a 变换不能化成：暖( 1 ，1 ，扎一5 ) ，锈( 1 ，2 ，他一6 ) ，c 甓( 1 ，3 ，n 一7 ) ，0 对g 重复施用a 变换可得：锈( 后l ，乜，如) ，且z ( c ) z ( 碟( 惫1 ，k 2 ，k 3 ) ) 其中： ( 七1 ，惫2 ，k s ) ( 1 ，1 ，n - - 5 ) ，( 1 ，2 ，n - - 6 ) ，( 1 ，3 ，n 一7 ) 而由情形1 知，z ( 碟( 七1 ，乜，乜) z ( 磷( 1 ，4 ，n 一8 ) ) ，所以，z ( c ) z ( 碟( 1 ，4 ，n 一8 ) ) 而当n 1 5 时，z ( 曙( 1 ，4 ，佗一 8 ) ) z ( 0 ) ，故z ( g ) z ( 0 ) 定理2 ：在佗之1 2 的图簇u ：中，当1 2 佗1 4 时，碟( 1 ，4 ，n 一8 ) 取得第四 小h o s o y a 指标，而当佗21 5 时，0 取得第四小h o s o y a 指标 证明：由引理6 ，7 得：当f 4 时，p e r b ( g l n ( 1 ，1 ，1 ，n 一2 t + 1 ) ) p e r b ( c 4 ( 1 ，1 ，1 ，竹一 7 ) ) 由弓i 理1 ，2 ，3 得：z ( c 嚣( 1 ，1 ，1 ，n - t ) ) = 1 0 n - 4 8 1 1 n - 7 0 = z ( 锘( 1 ，4 ，n 一8 ) ) ， 且当n 1 5 时， z ( 磋( 1 ，1 ，1 ，佗一7 ) ) = 1 0 n 一4 8 9 n 一4 0 = z ( 0 ) ，由引理9 , 1 0 ，1 1 和定理1 得证 3 2充分悬挂单圈图的第五小h o s o y a 指标的图 定理3 ：设n 1 4 且g t j ( 3 ) 一 砩( 1 ，1 ，n 一5 ) ，锈( 1 ，2 ，他一6 ) ，砩( 1 ，3 ，佗一 7 ) ，窖，磷( 1 ，4 ，佗一8 ) ，0 ) ，则z ( v ) 1 0 n 一5 4 ，当且仅当g 兰碟( 2 ，2 ，扎一7 ) 时等号 成立，其中碟( 2 ，2 ，礼一7 ) ，0 ，0 ，如图3 1 0 ： 1 1 g _ - 章充分悬挂单圈图的第四小，第五小，第六小h o s o y a 指标的图 c 甓( 2 ，2 ，佗一7 ) 竹一6 证明：分两种情形讨论 0 图3 1 0 佗一6 几一6 情形1s 若g 簋c 3 ( k l ，乜，k 3 ) 由于g 笋嚷( 1 ，1 ，佗一5 ) ，碟( 1 ，2 ，n - 6 ) ，碟( 1 ，3 ，n - 7 ) ，所以( 七1 ，砣，如) ( 1 ，1 ，佗一 5 ) ，( 1 ，2 ，n - 6 ) ，( 1 ，3 ，n 一7 ) ，( 1 ，4 ，n - 8 ) 假设( 七l ，k 3 ) ( 2 ，2 ，n 一7 ) ，且k l k 2 3 分以下两种情形： 情形1 1 ：k l = 1 由于k 2 1 ，2 ，3 ，4 ，所以k 2 之5 ，把c 詈( 1 ，4 ，1 ) 看作0 0 ，对g 施行b 变换由 弓理5 得：p e r b ( c 3 ( 1 ，乜，k 3 ) ) p e r b ( c 3 。( 1 ，5 ，后3 + 乜一5 ) ) = p e r b ( c 冀( 1 ，5 ，佗一9 ) ) 或者p e r b ( 砩( 1 ，k 2 ，b ) ) p e r b ( 碟( 1 ，5 ，如+ 如一5 ) ) = p e r b ( 磷( 1 ，5 ，佗一9 ) ) 由引理1 , 2 ，3 得：z ( 砩( 1 ，k 2 ，k 3 ) ) 圭p e r b ( 砩( 1 ，k 2 ，七3 ) ) 一2 p e r b ( 砩( 1 ，5 ，佗一 9 ) ) 一2 = z ( 碟( 1 ，5 ，n 一9 ) ) 由引理8 计算得：z ( 砩( 1 ，5 ，佗一9 ) ) = 1 3 n 一9 6 ， z ( 碟( 2 ，2 ，礼一7 ) ) = 1 0 n 一5 4 ，显然，当他芝1 4 时，1 3 n 一9 6 1 0 n 一5 4 所 以，z ( 碟( 1 ，5 ，佗一9 ) ) z ( 碟( 2 ，2 ，n - 7 ) ) 于是，z ( 碟( 1 ，k 2 ，k 3 ) ) z ( 碟( 2 ，2 ，佗一7 ) ) 情形1 2 ：k a 2 对g 施行b 变换，有引理5 得：p e r b ( 碟( k l ，k 2 ，k 3 ) ) p e 7 b ( 砩( 2 ，乜，k 3 + k l 一 2 ) ) ，若( 2 ，如，b + k t 一2 ) = ( 2 ，2 ，佗一7 ) 定理成立否则有尥1 ，2 ，3 ，4 ，得：k 2 5 对g 再施行一次b 变换有：p e r s ( 砩( 2 ，k 2 ，k 3 + k x 一2 ) ) e e r b ( c 甓( 2 ，2 ，蚝+ ( h 一2 ) + ( 娩一2 ) ) ) = p e r b ( 砩( 2 ，2 ，n 一7 ) ) 或者有p e 7 b ( 砩( 2 ，k 2 ，+ 七l 一2 ) ) 尸e r b ( 磷( 2 ，2 ，k 2 + ( k x 一2 ) + ( k 3 2 ) ) ) = p e r b ( 饼( 2 ，2 ，n 一7 ) ) ，由引理1 ，2 ，3 得： z ( 磷( h ，乜，) ) = e e r s ( c 甓( k l ，k 2 ，) ) 一2 p e t b ( 磷( 2 ，k 2 ，+ 南1 2 ) ) 一2 = z ( 磷( 2 ，乜，b + 七l 一2 ) ) p e r b ( 砩( 2 ，2 ，n 一7 ) ) 一2 = z ( 砩( 2 ，2 ，n 一7 ) ) ，所以， z ( 碟( 后1 ，乜，乜) ) z ( 暖( 2 ，2 ，礼一7 ) ) 】2 j ，i 3 2 充分悬挂单圈图的第五小h o s o y a 指标的图 情形2 ：若g 笋暖( k l ，k s ，如) 分以下七种情形讨论 情形2 1 ：若对g 连续施行a 变换得碟( 1 ，1 ，礼一5 ) 由于g 笋暖( 1 ，1 ，佗一5 ) ，则有引理4 ，对g 至少施行一次a 变换，先考虑对 g 刚好通过一次a 变换化为暖( 1 ，l ，n 一5 ) ，则g 为g ( p ) ，g 0 ) “三一 0 ，0 ) 如图 3 i i 所示： 图3 1 1 p 由g u j 一 0 ，g ，则有p 2 ，否则p = 1 时，g 笺0 由引理8 计 算得：z ( g ( p ) ) = 一5 矿+ ( 5 n 一2 4 ) p + 4 n 一1 1 ，z ( 碟( 2 ，2 ，n 一7 ) ) = 1 0 n 一5 4 因此， z ( a ( p ) ) 一z ( 碑( 2 ，2 ，佗一7 ) ) = 一5 矿十( 5 n 一2 4 ) p 一6 n + 4 3 设6 ( p ) = 一5 p 2 + ( 5 n 一2 4 ) p 一6 n + 4 3 ，贝4 笔笋= ( 5 n 一2 4 ) 一1 0 p 由此得：当25psl 垒音产j 时，璺甓弘 0 ，那么，z ( g ( p ) ) 一z ( 碟( 2 ，2 ，几一7 ) ) = 6 ( p ) 2b ( 2 ) = 4 n 一1 5 o ( n 1 4 ) 当f 墨铲1sps 几一6 时，有掣 0 所以，z ( c 0 ) ) z ( 砩( 2 ，2 ，佗一7 ) ) 若g 至少通过两次4 变换化为锘( 1 ，1 ，佗一5 ) ，则g 类似于图3 1 2 ： 1 3 第三章充分悬挂单圈图的第四小，第五小，第六小h o s o y a 指标的图 图3 1 2 那么对g 通过一系列a 变换，使g 化为g 0 ) ，由引理4 知，z ( g ) z ( g p ) ) ， 而z ( g 0 ) ) z ( 嚷( 2 ，2 ，住一7 ) ) ，所以z ( g ) z ( 碟( 2 ，2 ，7 , 一7 ) ) 情形2 2 ：若对g 连续施行a 变换得碟( 1 ，2 ，几一6 ) 由于g 笋砩( 1 ，2 ，住一6 ) ，则有引理4 ，对g 至少旌行一次a 变换，先考虑对 g 刚好通过次a 变换化为碟( 1 ，2 ，n 一6 ) ，则g 为日( p ) ，h ( p ) u ：( 3 ) ，如图3 1 3 示： 图3 1 3 n 一6 一p 由引理8 计算得sz ( 日( p ) ) = 一7 矿+ ( 7 n - 4 0 ) p + 5 n - - 1 8 因此得：z 饵( p ) ) 一 z ( c 甓( 2 ，2 ，n 一7 ) ) = 一7 l ，2 + ( 仇一4 0 ) p 一3 n + 3 6 设，( p ) = 一乃，2 + ( 7 n 一4 0 ) p 一3 n + 3 6 ，则掣= ( 7 n - - 4 0 ) 一1 4 p 当1 冬p 【z 铲j 时，掣 0 ，所以，z ( 日( p ) ) 一 z ( 碟( 2 ，2 ，付一7 ) ) = ，( p ) f 0 ) = 4 n 一1 8 o ( n 1 4 ) ；当z ! 铲1 p 7 , 一7 时， 1 4 3 2 充分悬挂单圈图的第五小h o s o y a 指标的图 一一 有铲 o ( 礼1 4 ) ， 所以， z ( 日( p ) ) z ( 铝( 2 ，2 ，n 一7 ) ) 若g 畦( 3 ) ，至少施行两次a 变换化为磷( 1 ，2 ，佗一6 ) ，则类似于图3 1 4 。 图3 1 4 那么对g 通过一系列的a 变换，使g 化为h o ) ，则由引理4 知，z ( g ) z ( h o a ) ) ，而z ( 日0 ) ) z ( 碟( 2 ，2 ，n 一7 ) ) ，所以， z ( 日p ) ) z ( 锘( 2 ，2 ，n 一7 ) ) 情形2 3 ：若对g 连续施行a 变换得碟( 1 ，3 ，n 一7 ) 由于g 笋碟( 1 ，3 ，n 一7 ) ，则由引理4 ，对g 至少施行一次a 变换，先考虑 对g 刚好通过一次a 变换化为锱( 1 ，3 ，n 一7 ) ，则g 垒j ) 或g ，或0 其中， j ) ，g ，g u ：( 3 ) 如图3 1 5 ： i g r 图3 1 5 1 5 n 一7 佗一7 第三章充分悬挂单圈图的第四小，第五小，第六小h o s o y a 指标的图 若g 笔f ( p ) ，由引理8 计算得： z ( x ( p ) ) = 一9 p 2 + ( 9 n 一6 0 ) p + 6 n 一2 7 因 此得：z ( ，( p ) ) 一z ( 碟( 2 ，2 ，n 一7 ) ) = 一9 护+ ( 9 n 一6 0 ) p 一4 n + 2 7 设s ( p ) = 一9 】9 2 + ( 9 n 一6 0 ) p 一5 n + 4 3 ，则甓挚= ( 9 n 一6 0 ) 一1 8 p 当1 曼p