（基础数学专业论文）差分方程极限点型与极限圆型的判别及本质谱.pdf

原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进 行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何 其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本文的研究作出重要贡 献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本声明的法律责任由本人 承担。 论文作者签名：各丛丞e l 期：至! 幺! ! 匹 关于学位论文使用授权的声明 本人完全了解山东大学有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保 留或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅 和借阅：本人授权山东大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关 数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文和汇编本 学位论文。 ( 保密论文在解密后应遵守此规定) 论文作者签名：鱼敬丞导师签名：堕堡至日期：丝兰：筌 山东大学硕士学位论文 差分方程极限点型与极限圆型的判别及本质谱 付政庆 ( 山东大学数学与系统科学学院，济南2 5 0 1 0 0 ) 差分方程理论自建立以来。一直是数学领域里的一个非常重要的组成部分 由于差分方程在数理科学，生命科学以及社会科学的各个领域有着广泛的实际背 景特别是天体力学，量子力学及生物工程的数学模型很多是以差分方程的形式 出现，因而对该领域的研究多年来长盛不衰。而今已成为数学研究中的一个非常 富有成果而又生机勃勃的研究方向 虽然由实际问题产生的方程大多是非线性的。但在很多情况下需要研究其在 平衡点或周期解附近的解的各种性质为此要对非线性方程进行线性化，因此对 线性方程谱理论的研究至关重要 线性差分方程的谱问题的研究大体可分为两类，是对定义在有限区间上的 非奇异差分算子的谱问题，二是定义在有限或无限区闻上的奇异问题对于非奇 异差分算子的谱问题的研究已经有了很好的理论结果，并且已形成了比较完整的 谱理论体系，例如。在一定条件下，我们得到非奇异差分算子只有离散点谱。并 且获得了关于这类算子的特征值、特征函数的正交性、平方可和函数关于特征函 数的展开定理等 由于一些重要的实际问题所导出的数学模型是定义在无穷区问上或是定义 在有限区间上，但系数在端点处具有奇异性这样的算子称为奇异差分算子这 类算子在近代量子物理学及许多工程技术中有着许多的应用例如量子力学、最 优控制中的一些问题就是在无穷区间上考虑的，因此奇异边值问题一直是数学工 作者和其它科学工作者所关心的重要同题之一奇异差分算子与非奇异差分算子 有许多本质上的不同，此时的谱除点谱外还会有其他谱点，例如连续点谱和奇异 点谱所以，对此类奇异问题谱同题的研究有很多困难和复杂性 早在1 9 1 0 年，w 刚【2 6 1 就开始了对微分方程奇异边值问题谱理论的研 究，随后t i t c h m a m h 【2 1 2 4 】，c o d d i n t o n 和l e v i n s o n 4 l 等许多数学家对此作了 大量的研究工作至二十世纪六十年代，关于纯量微分方程已形成了比较完整 的t i t c h m a m h w e y l 理论这一时期的研究结果主要集中在由纯量微分方程所 产生的奇异边值问题，其主要结果可见d u n f o r d 和s c h w a r t z 合著的书”l i n e a r o p e r a t o r l 第二卷卧 山东大学硬士学位论文 在算子的谱分析中，还有另外一种方法，也就是利用算子理论进行谱分析 这种方法的基础是h i l b c r t 空间的谱理论和全连续扰动的理论该方法自创立 以来。许多学者利用这个方法在算子谱分匍亍方面作了很好的工作，在e m i i l l c r - p f e i f f e r 的著作【16 中。就介绍了这方面的工作近年来，利用算子理论进行算 子谱理论分析的方法，在研究微分算子本质谱与点谱的分布以及纯离散点谱存 在条件等方面也取得很多结果，在这方面工作可见w n e v e r i t tf 9 j ，h s ，p e a s t h a m1 6 1 ，史国良1 1 9 1 等的工作 对于差分算子谱分析的的研究引起了许多学者的兴趣，取得了一批很好的 结果m b o h n c r 研究了离散线性哈密顿系统的特征值问题 2 】，史玉明和陈绍著 解决了有限区间上高阶向量差分方程的离散点谱的问题【1 7 ，18 】，r h i l s c h e r 1 l 】 研究了高阶微分和差分方程离散点谱的下有界问题 其中，对差分算子在无穷远处为极限点型或极限圆型问题的研究是谱问题研 究的前提和基础通过判定方程为极限点型或极限圆型可以给方程加相应的边值 条件，使我们对问题的研究得到简化关于线性差分方程和线性微分方程极限点 型和极限圆型的判定，已经有很多结果在f v a t k i n s o n 2 ，d o nb h i n t o na n d r o g e rt l e d s 1 2 ，a j i r a r i 1 5 ，陈景年和史玉明【3 1 中给出了关于二阶差分方程 极限点型和极限圆型的两个判定定理，关于二阶微分方程极限点型和极限圆型的 判定准则在e h i l l e 1 0 ，第1 0 章j ，e ，ac o d d i n g t o na n dn l e v i n s o n 4 ，第1 0 鲷已 经给出w d e v a n s l 7 】，w n e v e r i t t 8 中给出了四阶微分方程极限点型的判定 定理，史玉明f 2 0 ，第6 剜中给出离散线性啥密顿统在无穷远处为极限点型的 四个充要条件 本文对高阶差分算子的极限点型，四阶差分算子的极限圆型及二阶差分算子 的本质谱进行了研究取得了一些结果这些结果进一步完善了差分方程的谱理 论也为研究其他的谱问题，打下了基础全文共分为三章 在第一章中，主要建立了实系数高阶线性差分方程在无穷远处为极限点型的 判别准则主要方法是通过把高阶差分方程化为哈密顿系统，利用哈密顿系统理 论。得到w ( t ) 三1 情况下2 n 阶差分方程极限点型的判别条件，从而得到带权函 数的四阶差分方程极限点型的判别准则，从我们得到的结果可以发现在一定条件 下高阶差分方程为极限点型是与势函数无关的 在本文的第二章中我们给出了带权函数的四阶线性差分方程在无穷远处为 极限圜型的判别条件本章采用的的方法是将差分方程化为递归的形式，然后通 过研究矩阵的性质得到了方程在无穷远处为极限圆型的充要条件所得的结果将 陈景年和史玉明【3 1 中关于二阶差分方程极限圆型的判别条件推广到了四阶差分 方程 山东大学硕士学位论文 在第三章中，研究了二阶差分方程本质谱的分布主要利用了算子分解的方 法，二次型比较的方法，得到t - 阶差分方程本质谱分布与系数之问关系的一个 性质 关键词差分方程极限点型，极限圆型， 本质谱 山东大学硬士学位论文 t h el i m i tp i o n ta n dl i m i tc i r c l ec r i t e r 工a f o rd i f f e r e n c e q u u a t i o n sa n d e s s e n t i a l s p e c t r u m z h e n g q i n gf u ( s c h o o lo fm a t h a n ds y s s e i ，s h a n d o n gu n i x , ，j i n a n 2 5 0 1 0 0 ) a b s t r a c t t h et h e o i to fd i f f e r e n c ee q u a t i o nh a sp l a y e da l li m p o r t a n tr o l ei nm a t h c - m a t i c s ，a sw e l la si np r a c t i c a la p p l i c a t i o n s b e c a u s eo fi t sw i d e l yu s ei nq u a n t u m m e c h a n i c s ，a e r o p l a n es c i e n c ea n d l i f es c i e n c e ，t h er e s e a r c ho fd i f f e r e n c ee q u a t i o n s n o wb e c o m e sap r o s p e r o u sp r o j e c t i nt h es t u d 3 ro fn o n l i n e a rd i f f e r e n c ee q u a t i o n s ，t h es c h o l a r sh a v et oi n v e s t i g a t e t h ep r o p e r t i e sc l o s ct ot h ee q u i l i b r i u mp o i n t so rt h ep e r i o d i cs o l u t i o n s t h e l i n e a r i z a t i o no ft h ed i f f e r e n c ee q u a t i o n sa r en e c e s s a r y i tb e c o m e sm o r e i m p o r t a n t t os t u d yt h es p e c t r a lp r o p e r t i e so ft h el i n e a rd i f f e r e n c ee q u a t i o n s l i n e a rd i t i e r e n c eq u a t i o n sf a l li n t ot w oc l a s s f i e a t i o u s f i r s t ，t h o s ed e f i n e d o v e rf i n i t ei n t e r v a l sw i t hw e l l b e h a v e dc o e f f i c i e n t sa r ec a l l e dr e g u l a r t h e yh a v e ad i s c r e t es e to fe i g e n v a l u e s e d g e n f u n c t i o np a i r s t h eo p e r a t o r st h a ta r en o t r e g u l a ra r es i n g u l a r t h e ya r ed e f i n e do v e ri n f i n i t ei n t e r v a l s ，o rt h e i rc o e f f i c i e n t s a r en o ts u m m a b l eo nt h ef i n i t ei n t e r v a l s f o ri n s t a n c e ，s o m ek n o w np r o b l e m s i nq u a n t u mm e c h a n i c sa r ec o n s i d e r e di na ni n f i n i t ei n t e r v a l t h e r ei sag r e a t d i f f e r e n c eb e t w e e n r e g u l a ro p e r a t o r sa n ds i n g u l a ro p e r a t o r s b c s i d c st h et h ep o i n t s p e c t r u m ，t h es i n g u l a ro p e r a t o r sh a v et h ec o n t i n u o u ss p e c t r u ma n d t h es i n g u l a r p o i n ts p e c t r u m f o rt h es i n g u l a ro p e r a t o r s ，t h e r ea r ec o n s i d e r a b l ym o r e d i f f i c u l t t od i s c u s s t h et i t c h m a r s h w e y lt h e o r yh a sb e e ns t u d i e df o ral o n gt i m es i n c et h ee a r l y w o r ko f 【w e y l ，2 6 ，i nw h i c ht h eg e o m e t r yc l a s s i f i c a t i o no fas e c o n d - o r d e rs c a l a r e q u a t i o nw a sg i v e n t h i sw o r kw a si m p r o v e da n dc x t e n e db yt i t c h m a y s ha n d m a n yo t h e r s f o raf a rm o r ec o m p r e h e n s i v es u r v e yo ft h ew o r k ，w er e c o m m e n d t h es e c o n dv o l u m eo fd u n f o r da n ds c h w a r t z 【5 】，w h e r ea ne x c e l l e n ts u m m a r yo f l l l u n l e r o u sc o n t r i b u t i o n sm a d eb ym a n ) + m a t h e m a t i c i a n si sp r o v i d e d t h e r ei s a n o t h e rm e t h o dt h a ti so nt h eb a s i so fs p e c t r a lt h e o r yi nh i l b e r ts p a c ea n dt h e r c s u h si nt h ep e r t u r b e do p e r a t o r s f o ram o r ec o m p r c h e u s i v es u r v e yo ft h i s 4 山东大学硬士学位论文 w o r k ，w er e c o m m e n dt h cv o l u m e 1 6 o fe ，m u l l e r p f e i f f e ra n dw n e v e r i t t 9 ，m s p e a s t h a m 6 ，g 。s h i l l 9 w ea l s op o i n to u tt h a tm a n ye x c e l l e n tr e s u l t sh a v eb e e no b t a i n e da b o u t d i t f e r e c ee q u a t i o n sm b o h n e r 2 】d e v o t et ot h ei n v e s t i g a t i o nf o rt h ed i s c r e t el i n e a rh a m i l t o n i a nc i g e n v a l u ep r o b l e m s ，s c h e na n dy s h is o l v et h ep o i n ts p e c - t r u mo fh i g h e ro r d e rv e c t o rd i f f e r e n c ee q u a t i o n si n 1 7 ，1 8 】，d i s c r e t es p e c t r ac r i t e r i a f o rc e r t a i nh i g h c ro r d e rd i f f r e n t i a la n dd i f f e r e n c ee q u a t i o n sa r ei n v e s t i g a t e db y r h i l s c h e r 1 1 t h ec r i t e r i a sf o rl i m i t p o i n tt y p ea n dl i m i tc i r c l et y p ea r eb a s i so fs p e c t r u mp r o b l e m t h e r ea r em a n yr c s u l t sa b o u tt h i sp r o b l e m w cc a nf o u n dt h e c r i t e r i a sf o rl i m i t p o i n tt y p ea n dl i m i t c i r c l e t y p e o fs e c o n do r d e rd i f f e r e n c e e q u a t i o n si nf v a t k i n s o n 1 ，d b h i n t o na n dr t l e w i s 1 2 ，a j i r a r i 1 5 ，j c h e na n dy s h i a 1 t h cr e s u l t sa b o u ts e c o n do r d e rd i f i e r e n t i a le q u a t i o n sc a l l f o u n di ne h i l l c 1 0 ，s e c t i o n1 0 】，e a c o d d i n g t o na n dn l e v i n s o n 4 。s e c t i o n1 0 】， w de v a n s 7 】a n dwn e v e r i t t 8 】i n v e s t i g a t i o nt h ec r i t e r i a so fl i m i tp i o n tt 3 7 p e a b o u tf o r t ho r d e rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s y s h i 2 0 e s t a b l i s h e df o u rs u f f i c i e n ta n d n e c e s s a r yc o n d i t i o n sa b o u td i s c r e t eh a m i l t o n i a ns y s t e m s t h i sp a p e ri sd e v o t e dt ot h ec r i t e r i a sf o rl i m i tp o i n tt y p eo fh i g h e ro r d e rd i f - f e r e c ee q u a t i o n ，t h ec r i t e r i a sf o rl i m i tc i r c l et y p eo ff o r t ho r d e rd i f f e r e c ee q u a t i o n a n de s s e n t i a ls p e c t r u mo fs e c o n do r d e rd i f f e r e c ee q u a t i o n i nc h a p t e r1t h el i m i tp o i n tt y p co fh i g h e ro r d e rd i f f e r e c ee q u a t i o na r e i n v e s t i g a t e d b yt h e o r yo fh a m i l t o n i a ns y s t e m sw ee s t a b l i s h e dt h ec r i t e r i a o f l i m i tp o i n tt y p eo fh i g h e ro r d e rd i f f e r e c ee q u a t i o nw i t hl v ( t ) 兰1 ，a n dt h ec r i t e r i a o ff o r t ho r d e rd i f f e r e c ee q u a t i o nw i t hw ( t ) i nc h a p t e r2o nt h eb a s i so ft h et h e o r yo fm a t r i xa n a l y s i sw eg i v en e c e s s a r y a n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h el i m i tc i r c l et y p eo ff o r t ho r d e rd i f f e r e c ee q u a t i o n w i t hw ( t ) o u rr e s u l t sa r ee x t e n dt h er e s u l t so fj c h e na n dy s h i 3 】 c h a p t e r3i sd e v o t e d t ot h e i n v e s t i g a t i o nf o rt h e e s s e n t i a ls p e c t r u mo fs e c o n d o r d e rd l i f e r e c ee q u a t i o n b ym e a n so ft h es e p a r a t i o nt ot h eo p e r a t o r sa n dt h e p e r t u r b a t i o nt h e o r yo fq u a d r a t i cf o r m s w ef o u n dt h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h e e o d f f e c i e n t sa n dl o c a t i o no ft h ee s s e n t i a ls p e c t r u m k e y w o r d s ：d i f f e r e c ee q u a t i o n ，l i m i tp o i n tt y p c ，l i m i tc i r c l et y p e ， e s s e n t i a ls p e c t r u m 5 山东大学硕士学位论文 符号说明 哈密顿系统的权函数矩阵 由哈密顿系统所确定的最小算子 由哈密顿系统所确定的最大算子 形式啥密顿算子的最小定义域，简称算子的最小定义域 形式哈密顿算子的最大定义域，简称算子的最大定义域 希尔伯特空间 希尔伯特空问中的内积 复数域 实数域 极限点型 极限圆型 n xn 单位矩阵 标准的辛矩阵 定义在1 0 ，0 0 ) 上的加权( w ) 平方可和空间，简记为吼 定义在【0 ，) 上的平方可和空间，简记为f 2 0 r i ) 对角元素为n 。，一，的对角矩阵 矩阵h 的范数 算子t 的本质谱集 6 一 p c 舳毗圳删 。h州叫hc r厶j卯讯魄柙 山东大学硬士学位论文 第一章高阶差分方程极限点型的判定 1 1 引言 奇异差分算子的谱问题是差分算子理论中最重要的内容之一由于差分算子 的谱理论与应用联系密切，特别是奇异差分算子谱理论是解决很多数学物理问 题的数学工具，受到数学物理工作者的广泛关注对奇异差分算子的谱问题的研 究，从二阶到高阶，从不加权到加权，从实系数到复系数，取得了众多的成果， 也提出了一些新的问题 本章将考虑2 n 阶差分方程 n ：( 一1 ) a r i ( t ) a 1 y ( t i ) 】_ 柚( ) ( 1 1 1 ) 极限点型成立的条件，其中r 。( t ) 0 ，7 i ( t ) 是实函数，i = 0 ，1 ，2 ，n ，w ( t ) 0 t f 0 ，o o ) 是整数，a 是复参数是向前差分即 a y ( t ) = y ( t + 1 ) 一y ( t ) 设 + z s o ，o 。) = 9 ：y = g ( t ) ) cc 且w ( t ) l u ( t ) 1 2 o 。) ， t = o 在内积( ，2 ) = w ( t ) i ( t ) ( t ) 意义下l ：【0 ， 3 0 ) 是h i l b e r t 空间当w ( t ) 兰1 时 我们把嘲o ，o o ) 写成1 2 【o ，) 方程( 1 1 1 ) 对于每一个 c 至少有n 个线性无关的平方可和解如果 对于某一个a c 有2 n 个线性无关的平方可和解，那么我们说方程( 1 1 1 ) 在无穷远处为极限圆型，如果对于某一个a c 恰好有n 个线性无关的平方 可和解，那么我们说方程( 1 1 1 ) 在无穷远处为极限点型如果对于某一个a 有 m ( n 0 ，t 【0 ，。) 是整数，a 是复 参数 方程对应的差分算子是 m ( y ) = ”( t ) “l 2 ( r 2 0 ) 2 y ( t 一2 ) ) 一a ( r l ( t ) a u ( t 一1 ) ) + r 0 ( ) y ( t ) 】 山东大学硬士学位论文 其中t n ( t ) 0 ，r ( t ) 是实函数，i = 0 ，1 ，2 w ( t ) 0 ，t 【0 ，。o ) 是整数 定理1 3 如果存在常数m ，使得 j ( t ) 埘一 ( t 一2 ) r d t ) ls m 1 拼一 ( ) 【2 r 2 ( 亡+ 1 ) + 2 r 2 8 ) + r 1 0 ) 】叫一( 一1 ) 一2 w i ( t ) 一i o 一2 ) r 2 c t ) 一2 w 一 ( t 一1 ) w 一 ( f + 1 ) t 2 0 + 1 ) ls m ， 那么方程( 1 2 5 ) 在无穷远处为极限点型 证明方程 2 ( r 2 ( t ) 2 y ( t 一2 ) ) 一a ( r 1 ( t ) d a y ( t 1 ) ) + r o ( ) p ( o ) = a 0 ) ( ) 其中r 。( t ) 0 ，f i ( t ) 是实函数i = 0 ，1 ，2 ，w ( t ) 0 ，t 1 0 ，o o ) 是整数， 是复 参数 可以化成如下形式t r 2 ( t + 2 ) y ( t + 2 ) 一( 2 r 2 ( t + 2 ) + 2 r 2 ( t + 1 ) + r l ( t + 1 ) ) ，( + 1 ) ( 2 r 2 ( t + 1 ) 十2 r 2 ( t ) + r l ( t ) ) y ( t 一1 ) + r 2 ( t ) z ( t 一2 ) = b t 1 ( t ) 。( r 2 ( t + 2 ) + 4 r 2 ( t + 1 ) + r 2 ( t ) + r i f t + 1 ) + r l ( t ) + r o ( t ) ) 1 w ( t ) y ( t ) 其中k ( ) 0 ，r ；( t ) 是实函数，t = 0 ，1 ，2 ，w ( t ) 0 ，t 【0 ，o 。) 是整数 设 敢) = 一i ( ) ( ) ， 恐0 ) = w 一 ( t ) 一 ( t 一2 ) r 2 ( t ) ， 最( ) = 一 ( t ) w l ( t 1 ) i n ( t ) + 2 r 2 ( t ) + 2 r 2 ( t + 1 ) 一2 w 一 0 ) o 一2 ) r 2 ( t ) 一2 w ( t + 1 ) 一 0 1 ) r 2 ( t + 1 ) ， 而0 ) i ( ) = 一1 ( t ) ( r d t ) + 4 r 2 ( t + 1 ) + r 2 ( t + 2 ) + r i ( t ) + r l o + 1 ) + r o ( 亡) ) 吾0 ) 一一( t ) w 一 ( t + 1 ) ( r 1 0 + 1 ) + 2 r 2 ( t + 1 ) + 2 r 2 0 柏2 ) 齑0 + 1 ) 一一；( t ) w 一；( t 一1 ) r 1 ( t ) + 2 r 2 ( t ) + 2 r 2 ( t + 1 ) ) 页t 1 ) + 您( t ) 矾t 一2 ) 一 4 w 0 + t ) w l ( t 一1 ) n ( t + 1 ) 一一；( t ) 一i 0 2 ) n ( ) 一w 一( t ) 一i ( t + 2 ) r 2 0 + 2 ) ) 敢t ) 那么方程( 1 2 5 ) 可以写成： a 2 f f 2 ( t ) a 2 敢t 一2 ) ) 一( 再( t ) 孤一1 ) ) + r 0 ( ) 戮) = a 承) ( 1 2 6 ) 1 0 山东大学硬士学位论文 由推论( 1 2 ) 知道如果存在一常数m 使得 际( ) i m ，i = 1 ，2 那么方程( 1 2 6 ) 在无穷远处为极限点型，即只有两个廨 可( t ) 函f 2 【0 ，。) 那么方程( 1 2 5 ) 只有两个解 ( t ) ) 罄。强【o ，o o ) ，即方程( 1 2 5 ) 在无穷远处 为极限点型证毕 山东大学硕士学位论文 第二章四阶差分方程极限圆型的判定 2 1 引言 本章主要建立四阶差分方程 a 2 ( r 2 ( ) 2 9 0 2 ) ) 一a ( r l ( t ) a y ( t 1 ) ) + r o ( t ) o ) = 0 ) f ( t ) ( 2 1 1 ) 在无穷远处为极限圆型的判别准则其中r 。( t ) 0 ，n ( f ) 是实函数，i = 0 ，1 ，2 w ( t ) 0 ，t f 0 ，。) 是整数 x , d - z 程( 2 1 1 ) 来说如果对于某一个a c 有四个线性无关的平方可和解 那么我们说方程在无穷远处为极限圆型对差分方程极限圆型的研究已经有很长 时间了，在fv a t k i n s o n 1 】及陈景年和史玉明中建立了二阶实系数差分方程 极限圆型的判别准则，但是至今为止还没有发现对高阶差分方程极限圆型的判别 准则，原因之一是对于实系数二阶差分方程，当 c 且i m a 0 时只有极限 点型和极限圆型两种情况，而四阶差分方程除了这两种情况还有一种中问型，即 存在三个线性无关平方可和解的情况这使得很多处理二阶方程的方法和工具在 四阶差分方程上不再有效 本章采用的的方法是将方程( 2 1 1 ) 化为递归的形式，然后研究矩阵的性质 后建立了方程( 2 1 1 ) 为极限圆型的判别准则 2 2 主要结果 我们可以将上方程( 21 1 ) 化成如下形式 a ( t + 2 ) v ( + 2 ) 一6 ( t + 1 ) y ( t + 1 ) + c o ) y o ) 一b ( t ) y ( t 一1 ) + a ( t ) y ( t 一2 ) = a w c t ) y ( t ) ( 2 2 1 ) 其中t 【0 ，o 。) 是整数，n ( t ) ，6 ( t ) ，c ( t ) ，w ( t ) 是实函数以t ) 0 ，w ( t ) 0 o ( t ) = r 2 ( t ) ，b ( t ) = 2 r 2 ( t + 1 ) + 2 r 2 ( t ) + r 1 0 ) ， c ( t ) = r 2 ( 亡+ 2 ) + 4 r 2 0 + 1 ) + 您0 ) + r l ( t + 1 ) + r l ( t ) + r o ( ) 对于方程 a ( t + 2 ) y ( t + 2 ) 一6 ( + 1 ) v “+ 1 ) + c o ) 9 0 ) 一b ( t ) y ( t - 1 ) + n ( t ) 口0 2 ) = 0 ( 2 2 2 ) 其中t 【o ，o o ) 是整数，n ( t ) ，b ( o ，c ( t ) 是实函数。a ( t ) 0 取 卸，= 嬲刖= 揣， 山东大学硬士学位论文 c 一揣，砷) = 燕 厶1 ( t ) = a ( t ) a c t 一1 ) a ( t 一2 ) a ( t 一3 ) 一a ( t 一2 ) a ( t 一3 ) d ( t ) - a ( t ) a ( t 一3 ) d ( t 一1 ) + a ( t 一3 ) b ( t ) 一a ( t ) a ( t 一1 ) d ( t 一2 ) + d ( t ) d ( t 一2 ) + a ( t ) b ( t 一1 ) 一c ( t ) m 1 2 ( t ) = - a ( t ) a ( t 一1 ) a ( t 一2 ) d ( t 一3 ) + a ( t 一2 ) d ( t ) d ( t 一3 ) + a ( t ) d ( t 一1 ) d ( t 一3 ) 一b ( t ) d ( t 一3 ) + a ( t ) a ( 亡一1 ) 日( t 一2 ) 一u ( t 一2 ) d ( t ) 一a ( t ) c ( t + 1 ) ， 3 0 ) = a 0 ) a “一1 ) a ( t 一2 ) s ( t 一3 ) 一a ( t 一2 ) b ( t 一3 ) d ( t ) - a ( t ) b ( t 一3 ) d ( t 一1 ) + b ( t ) b ( t 一3 ) + a ( t ) a 0 1 ) c ( t 一2 ) 一c ( t 一2 ) d 0 ) ， 矗4 ( t ) = 一a ( t ) a ( t 一1 ) a ( t 一2 ) c ( t 一3 ) + a ( t 一2 ) c ( t 一3 ) d ( t ) + a ( t ) e ( t 一3 ) d ( t 一1 ) 一b ( t ) c ( t 一3 ) ， 且如1 ( t ) = a ( t ) ( 一2 ) a ( t 一3 ) 一a ( t 一3 ) d ( t 1 ) + a 0 1 ) d ( t 一2 ) 一b ( t 1 ) a 如2 ( t ) = 一a 0 1 ) a ( t 一2 ) d ( t 一3 ) + d ( t 1 ) d ( t 一3 ) - a ( t 一1 ) b ( t 一2 ) + c ( t 一1 ) ， 3 ( t ) = a ( t 一1 ) a ( t 一2 ) u ( t 一3 ) 一b ( t 一3 ) d ( t 一1 ) - a ( t 一1 ) e 0 2 ) ， 如4 0 ) = 一a ( t 一1 ) a ( t 一2 ) c ( t 一3 ) + c ( t 一3 ) d ( t 一1 ) ， m 3 l ( t ) = a ( t 一2 ) a ( t 一3 ) 一d ( t 一2 ) ， 妫2 ( ) = 一a 0 2 ) d ( t 一3 ) 4 - b ( t 一2 ) ， 地3 0 ) = a ( t 一2 ) b ( t 3 ) 一c ( t 一2 ) ， a f 3 4 ( t ) = 一a o 一2 ) c ( t 一3 ) ， m 4 , ( t ) = a ( t 一3 ) ， 厶2 ( t ) = 一d o 一3 ) m , 3 ( t ) = b ( t 一3 ) ，m 4 , ( t ) = 一c ( t 一3 ) 方程( 2 2 2 ) 可以化为 其中 山东大学硕士学位论文 ，o + 2 ) 、 if ( t + 1 ) l l 巾) l _ b ( t 一1 ) h ( t ) = 即，巨 ，1 2 ( t ) 岛2 ( ) m 3 2 ( t ) m 4 2 ( t ) 当t = 0 ，1 ，2 的时候，我们有 ，1 3 ( t ) m 2 3 ( t ) n 氏( t ) m 4 3 ( t ) h ( o ) ，地。( 3 ) 厶。( 3 ) 即，= l ：0 ， 0 0 h ( 1 ) = = h ( 1 ) m 3 2 ( 3 ) m 4 2 ( 3 ) o 1 t 3 ，( 2 2 4 ) 1 iy ( - 1 ) l v ( 一2 ) - a 4 3 ( 3 ) 0 0 1 ，可( 1 ) 、 i ( o ) l 峨) j ( 3 ) m , 3 ( 3 ) 0 0 掣( 1 ) 即恻 1 4 t 3 ( 2 2