（应用数学专业论文）关于一类迭代泛函微分方程解析解的研究.pdf

山东大学硕士学位论文 中文摘要 非线性科学已成为当今科学研究的一个热点，其中迭代动力系统扮演着十分 重要的角色。对迭代动力系统的研究涉及线段上的自映射、迭代根与迭代函数方 程、迭代泛函微分方程、迭代根与嵌入流等问题。 动力系统就是要研究一个决定性系统的状态变量随时间变化的规律。根据系 统变化的规律可分为由微分方程描述的连续动力系统和由映射迭代揭示的离散动 力系统。许多物理、力学、生物学以及天文学问题的数学模型都是由连续的和离 散的迭代过程描述的。动力系统的许多问题都可以化为迭代函数方程或迭代泛函 微分方程。例如，描述经典电动力学的二体问题、一些人口模型、日用品价格波 动模型以及血细胞生产模型都涉及到迭代泛函微分方程。因此对迭代动力系统的 研究必然要涉及到迭代泛函微分方程问题本文将研究二种类型的迭代泛函微分 方程的解析解的存在性。 迭代泛函微分方程与常微分方程有很大的不同由于未知函数迭代的出现，常 微分方程中经典的存在性定理不能使用，所以迭代微分方程是否有类似于常微分 方程的存在性和连续性依赖定理是一个非常需要回答的问题 本文的第一章引言中简要介绍了迭代与动力系统、迭代泛函微分方程的有关 概念，以及为第二、三章的证明提供必要的理论基础在第二章和第三章，分别对 两类迭代泛函微分方程的解析解的存在性和构造进行了研究我们的基本方法是 首先利用s c h r 5d e r 变换把迭代泛函微分方程转化为对应的不含未知函数迭代的 泛函微分方程，再利用优级数方法、幂级数理论来讨论得到原方程辅助方程的解 析解，进而得到原方程的解析解，取得了较为完整的结果 关键词：迭代；迭代泛函微分方程；状态导数；优级数；解析解 山东大学硕士学位论文 ab s t r a c t n o n l i n e a rs c i e n c ei so n eo ft h em o s ti m p o r t a n tt o p i c si nt o d a y ss c i e n c e s t h et h e o r y o fi t e r a t i v ed y n a m i c a ls y s t e m sp l a y sa ni m p o r t a n tr o l ei nn o n l i n e a rs c i e n c e t h es t u d y o fi t e r a t i v ed y n a m i c a ls y s t e m si n v o l v e ss e l f - m a p p i n g so ni n t e r v a l s ，i t e r a t i v er o o t so f f u n c t i o n s ，i t e r a t i v ef u n c t i o n a le q u a t i o n s ，i t e r a t i v ef u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa n d e m b e d d i n gf l o w s t h ep u r p o s eo fd y n a m i c a ls y s t e mt h e o r yi st os t u d yr u l e so fc h a n g ei ns t a t ew h i c h d e p e n d so nt i m e u s u a l l yt h e r ea l et w ob a s i cf o r m so fd y n a m i c a ls y s t e m s ：c o n t i n u o u s d y n a m i c a ls y s t e m sd e s c r i b e db yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa n dd i s c r e t ed y n a m i c a ls y s t e m s d e s c r i b e db yi t e r a t i o no fm a p p i n g s m a n ym a t h e m a t i c a lm o d e l si np h y s i c s ，m e c h a n i c s ， b i o l o g ya n da s t r o n o m ya r eg i v e ni ns u c hf o r m s m a n yp r o b l e m so fd y n a m i c a ls y s t e m s c a nb er e d u c e dt oa ni t e r a t i v ef u n c t i o n a le q u a t i o no ra l li t e r a t i v ef u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a l e q u a t i o n f o re x a m p l e ，t h et w o - b o d yp r o b l e m i nac l a s s i ce l e c t r o d y n a m i c s ，s o m ep o p u l a - t i o nm o d e l s ，s o m em o d e l so fc o m m o d i t yp r i c ef l u c t u a t i o n sa n dm o d e l so fb l o o dc e l lp r o d u c t i o n sa r eg i v e ni nt h ef o r mo fi t e r a t i v ef u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s s o ，t h es t u d y o fi t e r a t i v ed y n a m i c a ls y s t e m si n v o l v e si t e r a t i v ef u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s i nt h i s p a p e rw es t u d yt w of o r m so fi t e r a t i v ef u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s t h ee x i s t e n c eo f t h ea n a l y t i cs o l u t i o n sa r ed i s c u s s e d i t e r a t i v ef u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa r eq u i t ed i f f e r e n tf r o mo r d i n a r yd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n sf o rt h ea p p e a r a n c eo f i t e r a t e so ft h eu n k n o w nf u n c t i o n , s ot h ec l a s s i ce x i s t e n c e t h e o r e mf o rt h eo r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n si sn o ta p p l i c a b l e t h ep r o b l e mw h e t h e r t h ee x i s t e n c ea n dc o n t i n u i t yt h e o r e mo ft h ei t e r a t i v ef u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n si s s i m i l a rt ot h a to ft h eo r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n so rn o ti se a g e r l yt ob ea n s w e r e d i nc h a p t e r1 , c o n c e p t so fi t e r m i o n ，d y n a m i c a ls y s t e m ，i t e r a t i v ef u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a l e q u a t i o na r ei n t r o d u c e d w es t u d y t h ee x i s t e n c eo fa n a l y t i cs o l u t i o n sa n ds t r u c t u r eo f s o l u t i o n sa b o u tt w oi t e r a t i v ef u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n si nc h a p t e r2a n dc h a p t e r3 w eu s et h es c h rod e rt r a n s f o r m a t i o nt oc h a n g et h ei t e r a t i v ef u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a - t i o nt oa n o t h e rw i t h o u ti t e r a t e so ft h eu n k n o w nf u n c t i o n w eo b t a i nt h ee x i s t e n c eo f a n a l y t i cs o l u t i o n so f t h ea u x i l i a r ye q u a t i o nb ym e a n so f m a j o r a n ts e r i e sa n dp o w e r s e r i e st h e o r y , t h e nw eg e tt h ea n a l y t i cs o l u t i o n so ft h eo r i g i n a le q u a t i o n t h er e s u l ti s p e r f e c t i i 山东大学硕士学位论文 k e yw o r d s ：i t e r a t i o n ；i t e r a t i v ef u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ；s t a t ed e r i v a t i v e ； m a j o r a n ts e r i e s ；a n a l y t i cs o l u t i o n s i i i 山东大学硕士学位论文 w f ”( x ) z c e ( 惕仪) 符号说明 1 ( x ) 的刀次迭代 整数集 复数域 与刀，仅有关的函数 与刀，仅伺天阴幽双 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不 包含任何其他个人或集体己经发表或撰写过的科研成果。对本文的研 究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本声明 的法律责任由本人承担。 论文作者签名：至堡丛笙 e l 期：翌翌：丝竺 关于学位论文使用授权的声明 本人完全了解山东大学有关保留、使用学位论文的规定，同意学 校保留或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论 文被查阅和借阅；本人授权山东大学可以将本学位论文的全部或部分 内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他复制手段 保存论文和汇编本学位论文。 ( 保密论文在解密后应遵守此规定) 论文作者签名：弛垫4 三导师签名：益整 日 期：丝望竺，圭兰 山东大学硕士学位论文 第一章引言 我们常常把一些相互联系并不断变化发展的事物称作一个系统这些事物，既 可以是自然科学中的某些物质，也可以是社会客体和组织等抽象的事物一个系统 如果其历史和未来完全由某一时刻的状态所确定，或者说只要知道它在某一时刻 的状态，就能准确的预测它的未来的命运并能回溯它历史发照过程，则称之为决 定性系统。动力系统就是要研究一个决定性系统的状态变量随时间变化的规律根 据系统变化的规律可分为由微分方程描述的连续动力系统和由映射迭代揭示的离 散动力系统连续动力系统以经典力学为背景，其历史可追溯到1 9 世纪末期，法 国数学家亨利庞加莱( h e n r ip o i n c a r 6 ) 在1 8 8 1 年起的若干年里，开始了对常微 分方程定性理论的研究，并创立了微分方程几何理论，其讨论的课题( 如稳定性、 周期轨道的存在及回归性等) 以及所用研究方法的着眼点，即为后来所说的动力 系统这一数学分支的创始而对以迭代为背景的离散动力系统的研究则始于一百 多年以前，由数学家e s c h r 5d e r 、n h a b e l 、b b a b b a g e 等人创立的迭代论g d 伯克霍夫从1 9 1 2 年起的若干年里，以三体问题为背景，扩展了动力系统的研究， 包括他得出的遍历性定理。在他们关心的天体力学或哈密顿系统的领域中，多年后 出现了以太阳系稳定性为背景的柯尔莫哥洛夫一阿诺尔德一莫泽扭转定理从1 9 3 1 年起的若干年时间里，以a a 。马尔可夫总结伯克霍夫理论，正式提出动力系统的 抽象概念为开端，苏联学者进一步推动了动力系统理论的发展在近代自然科学如 物理学、化学、天文学、力学等学科的关注和推动下，动力系统理论，尤其是关 于迭代动力系统的理论发展十分迅速，取得了一些重大发现，如关于周期性的 s h a r k o v s k y 序、关于分岔的f e i g e n b a u m 现象、关于运动复杂性的s m a l e 马蹄等， 所有这些都极大的促进了动力系统的发展 大量的物理、力学、生物学以及天文学问题的数学模型都是有连续的和离散 的迭代过程描述的因此，研究由微分方程描述的连续运动和映射迭代描述的离散 运动都是现代动力系统的重要课题许多惊人的发现都是通过对映射迭代的研究 而产生的例如，作为2 0 世纪最重要的成就之一的k a m 理论，其主要方法就是映 射的迭代迭代函数方程与迭代泛函微分方程都是映射迭代的等量形式在自然界 山东大学硕士学位论文 中，许多复杂的现象是由迭代函数方程与迭代泛函微分方程描述的例如，在离散 动力系统中研究映射的倍周期分岔时，描述倍周期分岔的普适性的具体表现就是 重正化群方程，即费根鲍姆( f e i g e n b a u m ) 函数方程： g ( x ) = 一g g ( 一言) ，g ( 。) = ， 这就是一个迭代函数方程微分方程中的不变流行，h a m ii t o n 系统中的不变环面和 不变曲线，都可归结为对迭代函数方程的研究再例如，在研究描述经典电动力学 中的二体问题，研究与遗传现象密切相关的生物学问题都涉及到迭代泛函微分方 程鉴于迭代函数方程与迭代泛函微分方程在理论上和应用上的重要性，本文作者 的研究主要在迭代泛函微分方程的定性理论方面展开工作 1 1 迭代与动力系统 迭代就是同一种操作或运算的多次重复，是一种不断用变量的旧值递推新值 的过程，例如乘法可以看作是加法的迭代迭代不仅是数学，也是自然界和人类社 会中普遍存在的现象，许多实际问题的数学模型都是由连续的或离散的迭代过程 描述的，如流体的渗流、生物体的生长、人口预测等等都包含了迭代现象 设x 是一个集合，厂和g 是定义在x 上的自映射，厂。g 表示映射厂和g 的复 合，即 ( f o g ) ( x ) = ( g ( x ) ) ，x x 由此可得到迭代的定义 定义1 1 1设f ：xt - - 专x 是集合x 到自身的一个映射，记 f ”( x ) = 厂。f ”一1x ) ，f o ( x ) = x 其中以为正整数，称厂”( x ) 为s ( x ) 的刀次迭代，并称门为f ”的迭代指数从定义可 见， 尸= i d ，f 朋。f ”= f 肼+ ”， 2 山东大学硕士学位论文 其中埘表不恒i 司映射，映射的迭代构成了一个半群，如果是拓扑罕i 司x 上的连 续映射，其迭代被认为是构成了一个离散半动力系统 ”：露z + ，如果厂在x 上 是一个同胚，其迭代构成了一个离散动力系统 厂”：刀e z ) 定义1 1 2 一个映射妒( f ，x ) r xx ) - - - x 称为集合x 上的一个流，如果对 v ，乞r ，x x ( i ) ( o ，x ) = x ， ( i i ) 妒( ，l + 1 2 ，x ) = ( ，( f 2 ，x ) ) 如果上述f 仅在尺+ 上有定义，则称驴( ，x ) 为一个半流 定义中的集合x 如果是拓扑空间，而( f ，x ) 连续，这时我们称妒为x 上的一 个连续( 半) 动力系统如果x 上有c 7 微分结构，且妒( ，x ) 也是，阶连续可微，则 称为c 7 流，对连续流进行离散采样，即若上述定义中的te z ( z + ) ，记 ，( x ) = ( 1 ，x ) ，其中( 1 ，x ) 称为流的时问l 一映射，则称 k z ( z + ) 为x 上 的一个离散( 半) 动力系统反之，映射，：，h ，如果有( f ，x ) ，使得 妒( 1 ，x ) = v ( x ) ，则称f 可嵌入流( 半流) 迭代作为决定性过程的数学模型，有着鲜明的实际背景，事实上人们在生活中 常常遇到这样的系统：系统在时刻f 的状态墨由其在初始时刻气和初始状态k 及 差f 一岛决定 x t = f ( t - t o ，x t 、 如果我们每隔一个时间单位做一次观测，则第r + 1 次观测到的状态 k = f ( 乙+ 。- t ，) ， 由于o 。一乙= 1 ，记f ( x ) = f ( 1 ，x ) ，则我们有 置= f ”1f zl ，即化为迭代因此，通过对f 的迭代的研究，可以预测系统在未 h、0 ， 来的状态和发展趋势我们还可以对微分方程的解曲线通过时间1 一映射化为迭代 山东大学硕士学位论文 来进行研究，事实上微分方程的许多定性问题都可以化为拓扑空间上的连续映射 的迭代来处理 自然界中常出现的一些随时间而演变的体系，如行星系、流体运动、物种绵延 等等，如果都有数学模型的话，则它们的一个共同的最基本的数学模型是：有一 个由所有可能发生的各种状态构成的集合x 和与时间f 有关的运动规律 ：x h x ，这样，一个状态x x 随时间f 变动而成为状态( x ) 如果x 是欧几 里得空间或一般地是一个拓扑空间，时间f 占满区域( 一，) ，动态规律还满足其他 简单且自然的条件( 见拓扑动力系统) ，则得一动力系统7 0 年代以来，科学家钱 学森致力于系统学和系统科学体系的建立，而微分动力系统的理论成果可以为这 一体系的形成做出贡献虽然多年来诸多研究者在这方面做出了大量的工作并取 得了卓越成果，但微分动力系统仍然需要我们继续去探索、发现、创新和完善 91 2 迭代泛函微分方程 传统的泛函微分方程( 滞后型、中立型与超前型) 理论已得到了广泛而深入的 研究并形成了系统的理论 1 迭代泛函微分方程是上述三种类型以外的一种具有 复杂偏差变元的新型方程这种方程的时滞不仅依赖于时间而且依赖于状态甚至 状态的导数对此类方程的研究虽然早已引起数学家的重视，但由于研究工作具有 较大难度而进展不大进入8 0 年代以来，人们越来越多地发现了这种方程的多方 面的应用例如，在物理学、控制论、博弈论和生物学等一系列问题中都提出这种 类型的方程，显示出了它们在应用上和理论上的重要性从而也激发起了人们对它 们的强烈的研究兴趣但是，迭代泛函微分方程的研究工作只是刚刚开始，离建立 系统完整的基本理论还相差很远进一步寻求这种类型方程的数学特征，对其解的 特定性态进行深入细致的分析和研究，无论在理论上还是应用上都有着重要的意 义我在这方面的主要工作是进一步研究某些类型迭代微分方程的解析解的存在 性问题 迭代泛函微分方程有很强的实际背景例如，古典的e u l e r 几何问题可导出方 程 4 山东大学硕士学位论文 x ( f ) x 7 ( f ) = x ( c + x ( f ) ) p o i s s o n 的几何问题可导出方程 x 2 ( ，) + x 2 ( f ) x 庀( f ) 一x 2 ( ，+ x ( ，) x ( ，) ) = 1 1 9 6 5 年，k l c o o k e 2 提出了生物学中极为重要的方程 ( 1 2 1 ) r ( t ) + a x ( t - h ( t , x ( f ) ) ) = f ( r ) ， ( 1 2 22 ) 这个方程与遗传现象有关j k h a l e 【3 ，r d d r i v e r 【4 研究了上述方程当 h ( t ，x ( f ) ) = r 一球( ，x ( f ) ) 的情形b h s t e p h a n 5 对r = l ，k ( t ) = s i n 2 m ， f ( t ) = s i n 2 m 的情形讨论了周期性的存在性迭代微分方程在经典的电动力学 4 ， 6 一 9 ，人口模型 1 0 ，日用品的价格波动模型 1 1 ， 1 2 以及血细胞的 生产模型 1 3 中都有重要的应用，特别需要指出的是，1 9 8 4 年，e d e r 1 4 对方程 ，( 0 = 4 4 0 ) ( 1 2 3 ) 作了详尽的研究，提出了区间上饱和解的概念，并用压缩映像原理讨论了解析解 的存在性1 9 8 8 年，王克 1 5 推广了e d e r 的结果到方程 ，( r ) = 厂( 工( x ( ，) ) ) 1 9 9 0 年，吴汉忠 1 6 在e d e r 和王克工作的基础上进一步改进问题的讨论方法减弱 了相应的条件1 9 6 5 年，p e t a h o v 1 7 讨论了二阶方程 ，( f ) = 缎( x ( f ) ) 的一类边问题，得到了解的存在惟一性定理1 9 7 4 年，s a r k o v s k i i 1 8 研究了方 程 尸( 戈( ，) ，x ( 厂( x ( ，) ) ) ，x ( 厂( x ( ，) ) ) ) + q ( x ( r ) ，x ( 厂( x ( ，) ) ) ) = 0 的解的形态m i n s k e r 在 1 9 和 2 0 中讨论了方程 5 山东大学硕士学位论文 a ( 口( x ) ) = 口( x ) x 解的形态而1 9 9 8 年李文荣 2 1 又在前人工作的基础上进一步讨论了一类二阶迭 代泛函微分方程 ，( z ) = 岛( z ) ，z e c j = o 的解析解，并给出了这类方程满足初始条件解析解的几个存在性定理 1 3 预备知识 在这一部分里，我们给出一个重要引理和a 应满足的三个条件，为第二章和第 三章的证明提供必要的理论基础我们将对三种不同情形的仅加以研究 ( h 1 ) 0 l o c _ l 1 ； ( h 2 ) h = l ，0 【不是单位根； ( h 3 ) 仅是单位根 f 面给出文献s i e g e l 【2 2 j 中的结果 引理1 3 1 假设h = l ，0 【不是单位根，若存在正常数r ，满足 l n i a ”一1 i - l t l n 玎，n = 2 州3 一 则存在正数6 ，使得l 伐”一1 i - l ( 2 甩) 5 ，甩= 1 ，2 ， 并且序列 以 ：。：4 = 1 ， 以= i a - i - 1 1 廿m 一a x h 。丸) ，万= 2 ，3 ， 满足 以”1 沪6 ，n = l 州2 一 ( 1 3 1 ) 其中n = 2 5 5 + 1 在后面两章中，我们将分别讨论两类迭代泛函微分方程的解析解的存在性， 基本方法就是利用s c h r 5d e r 变换 6 山东大学硕士学位论文 y ( z ) = g ( 昭。( z ) ) 把所讨论的迭代泛函微分方程转化为对应的不含迭代的泛函微分方程，再讨论其 在条件( 日1 ) ，( 日2 ) ，( 日3 ) 下辅助方程的解析解的存在性，进一步得到原方程的解析 解，得到了较为完整的结果 7 山东大学硕士学位论文 第二章迭代泛函微分方程办( z ) = x ( p ( z ) + 科( z ) ) 的解析解 近年来，很多专家研究了。变差自变量依赖于状态的迭代泛函微分方程，譬如 b a b b a g e 2 3 ，r i c e 2 4 ，j i a n g u os i 2 5 等李文荣和郑穗生在 2 6 卜 2 7 中讨论 了方程 j l ( z ) = x ( p ( z ) + 缸( z ) ) ，z e c 的解析解存在的惟一性问题，获得了有意义的结果李文荣等又在文 2 8 中进一步 研究了更具普遍性的迭代函数方程 厅( x ( z ) ) = x ( p ( z ) + 缸( z ) ) ，z ec 的解析解的存在惟性纪在秀等 2 9 在文献 3 1 所得结果的基础上讨论了迭代 函数方程办( z ) = x ( 韶+ 搬( z ) ) ，z e c 当口，6 o 时的解析解的存在性本章将主要讨 论一类未知函数自变量依赖于状态导数的迭代泛函微分方程 办( z ) = x ( p ( z ) + 缸( z ) )( 2 0 1 ) 的解析解的存在性，其中b 是非零复数， ( z ) ，p ( z ) 是给定的解析函数 2 1 方程办( z ) ：x ( p ( z ) + b x ( z ) ) 的辅助方程的解析解 方程( 2 0 1 ) 的一个特点就是未知函数的自变量依赖于状态导数，为了构造方 程( 2 0 1 ) 的解析解，首先设定 y ( z ) = p ( z ) + 如( z ) ，( 2 1 1 ) 则有 地) = 石1 ( y ( z ) 一p ( z ) ) ， 对任意的常数气，我们有 8 山东大学硕士学位论文 于是 x ( z ) = x ( z 。) + i 1e ( 少( j ) 一p ( s ) ) 豳， ( 2 1 2 ) x ( y ( z ) ) = x ( z o ) + 石1 默y ( s ) 一p ( s ) ) 出 因此，m ( 2 o - 1 ) 式和( z ) = 丢( j ，( z ) 一p ( z ) ) ，可以得到 ( z ) = x ( ) + 石1 取y ( s ) 一p ( s ) ) 凼， ( 2 1 3 ) 进而对( 2 1 3 ) 式两端关于z 求导，得 办( z ) = 丢( y ( y ( z ) ) 一p ( ) ，( z ) ) ) y ( z ) ( 2 1 4 ) 为得到( 2 1 4 ) 式的解析解，首先来考虑辅助方程 b h 7 ( g ( z ) ) g ( z ) = g ( 仪2 z ) 一p ( g ( o z ) ) o t 9 7 ( o l z ) ( 2 1 5 ) 的解析解g ( z ) ，使其满足初始条件g ( o ) = o ，g ( o ) = t 1 o 的，其中0 【，t 1 是复数 最后证明( 2 1 4 ) 式在原点邻域内有形如 的解析解 y ( z ) = g ( o t g 。1 ( z ) ) ( 2 1 6 ) 考虑方程( 2 0 1 ) ，要保证其解析解的存在，必须满足的基本条件是p ( z ) ，办( z ) 在原点邻域内是解析的，且p ( 。) = p o ，办( o ) = o ，( o ) = 一警，其中仅，p 是复数 接下来将要证明辅助方程( 2 1 5 ) 在原点邻域内有解析解 1 辅助方程满足条件( 日1 ) 时的解析解 9 山东大学硕士学位论文 定理2 1 1 假设o 1 0 c i l ，则对任意非零复数t 1 ，方程( 2 1 5 ) 在原点邻域内 都有解析解g ( z ) ，4 r 吏得g ( o ) - - 0 ，g ( o ) = 1 1 证明已知p ，h 在原点邻域内是解析的，可设 p ( z ) = p z ”， ( 2 1 7 ) 因p ，h 满足上面条件，所以 于是存在一正常数p ，使得 引进新函数 乃( z ) = h z ”， n = o 岛吨_ o ，j j i 一警， 见i ，1 ，厅= 2 , 3 ， g ( z ) - - p g ( p _ z ) ，p ( z ) = 阳( p 。1 z ) ，日( z ) = p h ( p - l z ) ， ( 2 1 8 ) 由g ( o ) - - o ，g ( o ) = t 1 分别得到g ( o ) = o ，g 7 ( o ) = t l ，e h ( 2 1 5 ) 式又可得到形同 ( 2 1 5 ) 的等式 b h ( g ( z ) ) g ( z ) = g ( 仅2 z ) 一p ( g ( 叱) ) 仅g ( 叱) ， 其中p ( z ) = 只z ”，h ( z ) = 以矿，且当刀2 时 n = on = o 1 0 不失一般性，设 j p 1 = l p p h l 1 i m i = i h 。p 1 1 i 1 见i l ，1 ，n = 2 3 一( 2 1 9 ) 山东大学硕士学位论文 假设方程( 2 1 5 ) 有幂级数形式解 g ( z ) = c n z ”， n = l ( 2 1 1 0 ) 把式( 2 1 7 ) ，( 2 1 8 ) ，( 2 1 1 0 ) 代入( 2 1 5 ) 式，可以看出序列 巳 二。是由下面条件惟 一确定的 b h l q + 风q o c + 善1 ) b l 气c n + l + p o ( 川) 仅州 z ” =主(窆ckc一七+。(n-k+1)ot“一i+1znn=lk = l = i 一七+ 。 n 一+ 1 一啦占c州川川cl,ct(n-k+1)c_k+12z卜乩2 ， 打= 1 i 嘉= l + + = 七l l 卅= l ，j l 比较两边系数，不难发现系数序列 厶) ：。满足 ( o h , + 鳓0 c ) q = o 且 r t + 1 ) ( + 岛矿1 ) ：主q + 。( 刀一k + 1 ) 仅柑+ - k = l ( 2 1 11 ) 一，乏。 0 【斛1 + b ( m + 1 ) + 1 气q ( 力一k + 1 h 。小，l = l ，2 ， ( 2 1 1 2 ) k = l + - + = i 。 ” 由已知条件知道地+ 风a = 6 ( 一警) + 仪p = 。，因此上式对任意复数q = ”。 均成立由( 2 1 1 2 ) 式可看出巳( 刀= 2 ，3 ，) 是惟一被确定的下面来证明幂级数 ( 2 1 1 0 ) 在原点充分小的邻域内收敛 首先，对力= l ，2 ，必有 山东大学硕士学位论文 b h l + p o o 【_ 肿1 = 一仅p + p 0 【肿1 = 0 c d ( 0 【“一1 ) o 否则，若0 c d ( 仅”- i ) = 0 ，则有仪”= 1 ，于是l 仪l = 1 ，这与条件( 日1 ) 矛盾 注意到极限 嬲丽可1 = 一面1 ，0 0 ，满足 l i l l 仪“一l | - 1 t i n 刀( 甩= 2 ，3 ，) ，则方程( 2 1 5 ) 在原点邻域内有解析解g ( z ) ，使得 g ( o ) = 0 ，g ( o ) = 1 1 0 证明与定理2 1 1 的证明类似，先寻找方程( 2 1 5 ) 的形如( 2 1 1 0 ) 的幂级数 解：q = 1 1 ， ( 以+ 1 ) 仅p ( 0 【”- 1 ) g + l 一q 厶出，( ，z - k + 1 ) o c 肛h 1 k = l 1 3 山东大学硕士学位论文 yy 一r k at 1 + ：如毫 m = l 。2 ，一。七 p m o t 叶1 + 6 ( 历+ 1 ) + 。 气气( ，z - k + 1 ) c m ，甩1 ( 2 1 1 4 ) 接下来只需证明幂级数c n 2 ”在原点充分小的邻域内收敛即可( 2 1 1 4 ) 式也可 写成 n = l i 已+ 。l l n 仅”一1 1 。1l 艺川l q 小。l + 艺二 1k = lk = l + + = i m = l ，2 ，j 其中一南m l 若定义正序列 二：v l = 川， = 删p 一1 | - l l 艺咋+ l + k = l 则由数学归纳法不难证明 yy j ，一j ，一 2 地i 川k i ， 拓1 娃i 譬 ( 2 1 1 5 ) 2 h 飞小扎 h + l i + pn = o ，1 ，2 ，( 2 1 1 6 ) 也就是说，幂级数y ( z ) = v z ”是g ( z ) = c n 2 ”的优级数，现在只需证明y ( z ) 有 正的收敛半径即可 n = on = o 为此，定义正的递推序列 ) ：。：= i n i ， = 三 喜一m + yy j _ j ，一 扣1 鲥”2 h 飞小乩2 ， 因此，由引理1 3 1 ，用数学归纳法容易证得 1 4 + l u n + l 以+ l 力= 0 ，1 ，2 ， ( 2 1 1 7 ) 山东大学硕士学位论文 其中序列 以 ：。如引理1 3 1 所定义 事实上，当七= 0 时上式成立，假设对后= 1 ，2 ，行均有咋 o ，使得 当i z | o ， u n r ，n = l ，2 ， 根据引理1 3 1 并1 1 ( 2 1 1 7 ) 式，可得 屹r 胪一1 r l 。2 5 ，刀= 1 ，2 ， 这意味着级数z ”在i z | ( 聊) 1 上收敛，从而级数( 2 1 1 0 ) 也在h ( 州) 。1 上收 敛证毕 3 辅助方程满足条件( 日3 ) 时的解析解 山东大学硕士学位论文 定理2 1 3 假设条件h ( 3 ) 成立，并且当p 2 时有p = 1 ，但对所有 1 七p 一1 ，均有矿1 定义序列 巳) ：q = 1 1 ， ( 刀+ 1 ) 仅d ( a ”一1 ) 巳+ = 巨( 力，仪) ，n = l 州2 一 其中互( 刀，仅) = 气厶一( ”+ l 一七) 仪”“1 一言占 叫川叫”咖川h 。 ( 2 8 ， 若对所有1 ，= l ，2 ，均有巨( 甲一l ，0 【) = o ，则方程( 2 1 5 ) 在原点邻域内有解析解 g ( z ) ，使得g ( o ) = o ，9 7 ( o ) = q o 证明若对所有1 ，= 1 ，2 ，均有z ( v p - 1 ，0 【) = o ，而对任一1 ，( 2 1 1 2 ) 式中对 应的可以在复数域c 内任意取值为方便起见，假设= o ( 1 ，= l ，2 ，) ，则 ( 2 1 1 0 ) 式是方程( 2 1 5 ) 的形式解下面来证明幂级数( 2 1 1 0 ) 是收敛的定义 r 一岛1 ，南，南) ， 于是对刀啊，有i 仪”一i i r m ( 2 1 1 8 ) 式可得 巳一p e n 主， 1 + 2 ) l q l l c , - 。1 + z 莲。z 砖警i 气i i 气l i q 。一 ， 其中nc v p - 1 ，v = l ，2 ，为了构造一优级数，定义d ( z ) = a z “：4 = 1 ， 1 6 “ f l n 阻出。+ 喜蠡2 ”。卜2 ” 以+ 。 l 巩吃一+ ( 甩+ 2 ) 吒t 一l ，刀= l ， l 女= lt = l + + = 岁l 肼= l ，2 ， 山东大学硕士学位论文 因此，i e i s 吃，n = l ，2 ，事实上，b 1 = 4 ，假设当七刀时，有kj 喀， 则当，2 = v p 时，有i 厶+ 。i _ o 以+ 。，f f f f 当n c v p - 1 时，有 r、 川一斟h 1 | + 荟占黼一挑刊| j 陋-k+l_fln+ 喜占2 m 。卜 i 巩以+ ( 行+ 2 ) 吒吃或一i = 以 l b lb 1 挺i 掰j 与定理2 1 2 证明类似，容易看出幂级数d ( z ) = 吃z ”满足隐函数方程 n = 0 坼捌却小卜寄一o 因为函数日( z ，d ) 在原点邻域内是连续的，f i h ( o ，o ) = o ，( o ，o ) = 1 o ，由隐函 数定理可知d = d ( z ) 在以原点为中心的圆邻域内是解析的，且有正的收敛半径 由级数d ( z ) 的收敛性可知级数g ( z ) 在原点邻域内是收敛的证毕 2 2 方程办( z ) = x ( p ( z ) + 缸( z ) ) 的解析解 定理2 2 1 如果定理2 1 1 ，2 1 2 或2 1 3 中的一个条件成立，则方程 ( 2 1 4 ) 在原点邻域内有形如( 2 1 6 ) 的解析解g ( z ) ，其中g ( z ) 是方程( 2 1 5 ) 的解析 解 证明由定理2 1 1 ，2 1 2 ，2 1 3 可发现总有一序列 厶) ：，使得形如( 2 1 1 0 ) 式的函数g ( z ) 是方程( 2 1 5 ) 在原点邻域内的解析解因为( o ) = q o ，所以函数 g - i ( z ) 在点g ( o ) = o 的邻域内是解析的若用( 2 1 6 ) 式来定义y ( z ) ，则有 詈( y ( y ( z ) ) 一p ( y ( z ) ) ) y ( z ) 1 7 山东大学硕士学位论文 = 詈 g ( 仅2 ( g 一1 ( z ) ) ) 一p ( g ( q g 一1 ( z ) ) ) 兰兰专善笔 善务竽 - - - h 7 ( z ) 证毕 以上讨论表明，在定理2 1 1 ，2 1 2 ，2 1 3 的条件下，方程( 2 1 4 ) 在原点 邻域内有解析解y ( z ) = g ( 昭- 1 ( z ) ) ，其中g 是方程( 2 1 5 ) 的解析解现在来说明如 何用( 2 1 4 ) 构建( 2 0 1 ) 的解析解 由于 一( z ) = 如y ( z ) 一p ( z ) ， 所以 ，( o ) = 吾 y ( o ) 一p ( o ) = 一芸， 又 厅( o ) = x ( p ( o ) + k ( o ) ) = x ( p p ) = x ( o ) = o ，i e ，x ( o ) = o 对( 2 0 1 ) 式两边连续求导数，可得 ( z ) = ，( p ( z ) + 科( z ) ) ( p ( z ) + k ”( z ) ) ， 矿( z ) = ，( p ( z ) + 如( z ) ) ( p ( z ) + 缸。( z ) ) 2 + ( p ( z ) + 缸7 ( z ) ) ( p ( z ) + k 一( z ) ) ， 于是 办( o ) = x ( p ( o ) + 如( o ) ) ( p ( o ) + 撕”( o ) ) ， 厅”( o ) = x ( o ) ( p ( o ) + 搬( o ) ) 2 + x ( o ) ( p ”( o ) + h 胛( o ) ) ， 山东大学硕士学位论文 “o ) - 学( o ) = 生学 通常，用归纳法可算得 = 喜( p ( z ) + h ( z ) ，p 。( z ) + k 一( z ) ，p ( m ( z ) + h ( 卅+ l ( z ) ) ( p ( z ) + k ( z ) ) ， 其中m = 1 ，2 ，是具有非负系数的多项式 因此有 办( ( 。) = 善i n ( p 7 ( 。) + k ”( 。) ，矿( 。) + 撅”( 。) ，p ( ( 。) + k ( 川( 。) ) x ( 。) ( m = l ，2 ，) 可连续计算得到x 斛1 ( o ) 记x 川( o ) = r 。，则容易算出( 2 0 1 ) 的显式解析解 七) - _ 争等冉盘铲冉薹南1 山东大学硕士学位论文 第三章一阶迭代泛函微分方程( z ) = 厅( x ( p ( z ) + k ( z ) ) ) 的解析解 最近几年，许多研