（基础数学专业论文）拟微分算子的多线性交换子的有界性研究.pdf

t h es t u d yo i lb o u n d e d n e s sf o rm u l t i l i n e a r c o m m u t a t o ro fp s e u d o - d i f f e r e n t i a lo p e r a t o r s b y w a n gz h iw e i b s ( c h a n g s h au n i v e r s i t yo fs c i e n c e t e c h n o l o g y ) 2 0 0 5 at h e s i ss u b m i t t e di np a r t i a ls a t i s f a c t i o no ft h e r e q u i r e m e n t sf o rt h ed e g r e eo f m a s t e ro fs c i e n c e l n b a s i cm a t h e m a t i c s l n c h a n g s h au n i v e r s i t yo fs c i e n c e t e c h n o l o g y s u p e r v i s o r p r o f e s s o rl i ul a n z h e m a r c h ，2 0 1 1 长沙理工大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所 取得的研究成果除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何 其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品对本文的研究做出重要贡献的 个人和集体，均已在文中以明确方式标明本人完全意识到本声明的法律后 果由本人承担 作者签名王袁中 日期：z 护矿年广月2 乒日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意 学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文 被查阅和借阅本人授权长沙理工大学可以将本学位论文的全部或部分内 容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存 和汇编本学位论文 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后试用本授权书 2 、不保密晒 ( 请在以上相应方框内打“”) 作者签名王袁辛 导师签名：面1 裔多巧 日期：秒忙，月日 日期：励，年r 月册日 摘要 本文主要研究了拟微分算子分别与b m o 函数、l i p s c h i t z 函数以及加权型l i p s c h i t z 函 数构成的三种多线性交换子在p 空间( 1 p o o ) 、l 0 ) 空间a 1 ) 以及岛) 空 间( 1 p o 。，u a 1 ) 上的有界性问题以及相关的函数估计 关于拟微分算子与b m o 函数构成的多线性交换子，我们得到了其由p ( 舻) 到妒( 舻) ( 1 p o 。) 的有界性、由l ) 到b m d ) a 1 ) 的有界性以及由屏( w ) 至u c m o ( w ) ( 1 p o 。，u a 1 ) 的有界性 关于拟微分算子与- l i p s c h i t z 函数所构成的多线性交换子，我们得到了其由妒( 足t ) 到 9 夙( 舻) ( o p 而1，1 p c o ) 的有界性和由口( 毋) 到口( 舻) ( 1 p o o - 1 = = 1 一掣) 的有界性 关于拟微分算子与加权型l i p s c h i t z 函数构成的多线性交换子，我们得到了其由妒) 至u l q ( w 1 一m + 半) ( o p 而1，1 p o 。，i 1 = 1 p 一警，u a 1 ) 的有界性和 由妒) 到毋口p 1 - m 一等) ( o p 而1，1 p o o ，u a 1 ，u - 1 a 1 ) 的有界性 关键词：拟微分算子；多线性交换子；b m o 空间；l e b e s g u e 空间；c m o 空间； b ) 空间；印s c 让名空间；t r i e b e l 一出名卯乜n 空间 i a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w es t u d yt h eb o u n d e d n e s sf o rt h em u l t i l i n e a rc o m m u t a t o ro f p s e u d o - d i f f e r e n t i a lo p e r a t o r sw i t hb m of u n c t i o n ，l i p s c h i t z o nf u n c t i o na n dw e i g h t e d l i p s c h i t z o nf u n c t i o no ni _ 2s p a c e ( 1 p o 。) ，l o o p ) s p a c e a 1 ) a n d 岛p ) s p a c e ( 1 p o 。，u a 1 ) a n da l lk i n d so ff u n c t i o ne s t i m a t e a b o u tt h em u l t i l i n e a rc o m m u t a t o ro fp s e u d o - d i f f e r e n t i a lo p e r a t o r sw i t hb m o f u n c t i o n ，w eo b t a i nt h et h eb o u n d e d n e s sf r o m 汐( 舻) t o 妒( 酽) ( 1 p o o ) ，f r o m l o o ( u ) t ob m o ( w ) ( u a 1 ) a n df r o m 岛( u ) t oc m o ( w ) ( 1 p o o ，a 1 ) r e s p e c t i v e l y a b o u tt h em u l t i l i n e a xc o m m u t a t o ro fp s e u d o - d i f f e r e n t i a lo p e r a t o r sw i t hl i p s c h i t z f u n c t i o n ，w eo b t a i nt h eb o u n d e d n e s sf r o m 胪( 舻) t o 矿舯( 舻) ( o p 丽同1 ，1 p o 。) a n df r o m 护( 舻) t ol q ( 舻) ( 1 p ，昙= 1 p 一警) r e s p e c t i v e l y a b o u tt h em u l t i l i n e a rc o m m u t a t o ro fp s e u d o - d i f f e r e n t i a lo p e r a t o r sw i t hw e i g h t e d l i p s c h i t zf u n c t i o n ，w eo b t a i nt h eb o u n d e d n e s sf r o m 妒( u ) t ol q ( w 1 一m + 虹掣) ( 0 p 示若= 可，1 p o 。，；= ；1 一警，u a 1 ) a n df r o m 护( u ) t o 矽声，o o ( w 1 一m 一竿) ( 0 p 元西1 习，1 p o o ，u a 1 ，u 一1 a 1 ) r e s p e c t i v e l y k e yw o r d s ：p s e u d o - d i f f e r e n t i a lo p e r a t o r ；m u l t i l i n e a rc o m m u t a t o r ；b m o s p a c e ；l e b e s g u es p a c e ；c m os p a c e ；岛( u ) s p a c e ；l i p s c h i t zs p a c e ； t r i e b e l - l i z o r k i ns p a c e i i 目录 摘要i a b s t r a c t i i 第一章绪论1 1 1 研究背景1 1 2 预备知识1 1 2 1 权函数的定义及引理1 1 2 2 拟微分算子的定义及引理2 1 2 3 拟微分算子的多线性交换子的定义3 第二章拟微分算子与b m o 函数构成的多线性交换子的有界性4 2 1 定义与引理4 2 1 1 函数空间的定义及引理4 2 1 2 极大函数的定义及引理5 2 2 定理与证明6 第三章拟微分算子与l i p s c h i t z 函数构成的多线性交换子的有界性2 5 3 1 定义与引理2 5 3 1 1 函数空间的定义及引理2 5 3 1 2 极大函数的定义及引理2 6 3 2 定理与证明2 6 第四章拟微分算子与加权型l i p s c h i t z 函数构成的多线性交换子有界性3 8 4 1 定义与引理3 8 4 1 1 函数空间的定义及引理3 8 4 1 2 极大函数的定义及引理3 9 4 2定理与证明3 9 结论5 0 参考文献5 1 致谢5 5 附录( 攻读学位期间所发表的学术论文目录) 5 6 1 1研究背景 第一章绪论 研究积分算子在函数空间中的有界性和函数空间的刻划一直是调和分析的中心问 题之一自从二十世纪五十年代，a p c a l d e r 6 n 和a z y g m u n d 等分析数学家们为研究 偏微分方程而建立奇异积分算子理论以来，奇异积分算子在函数空间中的有界性的研 究就成了调和分析中十分活跃和热门的课题，由此形成和发展起来的许多实变方法和 技巧，已经被广泛应用于算子有界性的研究当中奇异积分理论在复分析、偏微分方 程、位势论、算子理论、非线性分析与概率论中都有许多应用 由于交换子可用于刻划某些函数空间，因此研究与各种积分算子相关联的交换 子是调和分析中一个重要课题二十世纪七十年代以来，对这种交换子的研究十分 活跃，并取得了非常丰富的成果1 9 8 2 年，s c h a n i l l o 研究了r i e s z 位势与b m 0 函数生 成的交换子，并由此给出了b m o 空间的一种刻划( 见【l 1 2 】) ；1 9 9 5 年m p a l u s z y n s k i 研 究t c a l d e r 6 n - z y g m u n d 奇异积分算子和r i e s z 位势与l i p s c h i t z 函数生成的交换子，并 给出了b e s o v 空间的刻划( 见【2 8 】 4 - 2 0 ) ，这种对空间的刻划就成了研究交换子的重要 理论意义之一；s j a n s o n 使用j o s t r o m b e r g 的思想，利用f e f f e r m a n - s t e i n 的s h a r p 函 数来研究交换子( 见陆2 4 1 ) ；受这种思想的启发，c p 6 r e z 研究t c a l d e r 6 n - z y g m u n d 奇 异积分算子与b m o 函数生成的交换子的l l o g l 弱型估计及其在h a r d y 型空间的有界 性( 见【4 一1 4 】) ；1 9 9 7 年，e h a r b o u r e ，c s e g o v i a 和j l t o r r e a 研究了该交换子的端点有界 性( 见【7 】【2 5 4 4 】) ；2 0 0 4 年，胡国恩等研究了1 4 1 c a l d e r 6 n - z y g m u n d 算子和d s c e 印口r 1 ) 函数生成的极大交换子的弱型端点估计 拟微分( p s e u d o d i f f e r e n t i a l ) 算子做为分析中一个重要的算子( 见睁1 2 】) ，由于它 与微分方程的密切联系，分析工作者们一直对它十分感兴趣，并且取得了一定的研究 成果( 见【4 】【5 儿9 1 0 】【1 1 1 ) 源于对奇异积分算子的交换子的研究，启发了由拟微分算子 构成的交换子的研究 1 2 预备知识 1 2 1 权函数的定义及引理 在本文中，q 表示舻中平行于坐标轴的方体函数6 在q 上的平均值定义为b q = 南i qb ( x ) d x 函数6 的s 尼口叩函数定义为 6 孝( z ) = q s u p 互i 专1 ，乞1 6 ( ! ，) 一b q i d y 1 众所周知( 见 1 0 】) ，函数6 的s 危。叩函数也等价于 6 襻( z ) s u pi n f 二 一c i d y c e c ；j q 。 1r17 一， 定义1 2 1a 1 权函数类的定义为( 见【5 】) a = o w el k s 伽u p - - i 专以岫) 咖嘶) ，o 曲 引理1 2 1 ( 见【4 】) 对于任意方体qcr n 有) ( q a 1 引理1 2 2 ( 见 17 】) 对于任意u a 1 以及方体qc 舻有u x q a 1 引理1 2 3 ( 见【1 7 1 ) 对于任意u a 1 ，存在l r 。o 使得 ( 高上蝌如) 孝高么州如 引理1 2 4 ( 见 17 】) 对于任意u a 1 以及任意满足关系q lcq 2 的方体q 1 ，q 2 有 i q l iu ( q 2 ) ，。 丽孤雨丁u 1 2 2拟微分算子的定义及引理 定义1 2 2 ( 见 8 】) 我们称6 ( z ，) 踞，如果对于任意z ，舻满足 i 岳筹l c 1 一啪l 口1 定义l - 2 3 ( 见【8 】) 关于核函数j ( z ， ) 踢构成的拟微分算子可以表示为 丁( 趴z ) = e 2 州) j ( z ，) ，( ) 鹰， 其中，表示s 砒叫口7 钯函数，表示，的f 洮7 - i e r 变换 注( 见【8 1 ) 关于核函数6 ( z ，) 跽构成的拟微分算子还可以表示为 t ( 烈z ) = g ( x ，z 一秒) ，( 秒) d y ， 其中k ( z ，z y ) = 厶e 2 n i ( 卜可) 。6 ( z ，) 埏 引理1 2 5 ( 见【8 】) 假i 5 2 5 ( z ， ) s 矗口，0 口 1 一口，0 n 1 k ( x ，埘) 表 示核函数6 ( z ，) 关于变量专的逆f o u r i e r 变换，且p k ( z ，w ) = 厶6 ( z ，专) e 2 而( 伽 ) 必那么 当l z x o i d j 1 ，n 之。时有 ，、互1 f i g ( x ，z y ) 一k ( z o ，x 0 一y ) 1 2 d y ) ，( 2 n d ) 1 4 s l | ，一z o l ( 2 n + i d ) l 一4 c l x z o l ( 1 一o ) ( 一羞( 2 十1 d ) 一 ( 1 - - a ) ， 2 其中h 是整数并且等 h 等+ 击 引理1 2 6 ( 见【8 】) 假设6 ( z ，) s 。o 0 e 1 g ( x ，加) 表示核函数6 ( z ，) 关于变 量的逆f o u r i e r 变换，且o k ( x ，w ) = ；6 ( z ，) e 2 丽佃，) 必那么当w i 时对于任意正 数m 都有i g ( x ，伽) i c m l w l m 引理1 2 7 ( 见【8 1 ) 假设t ( ，) 表示关于核函数6 ( z ，专) & - _ o t 仃( 0 盯 1 一口，0 a 1 ) 的拟微分算子当2 p 。，u a 号时，我们定义i i t ( i ) i i p = ( 厶i t ( f ) ( z ) l p w ( x ) d x ) ； 那么对于f c 铲( 舻) 有ii t ( i ) ii p 。u q ll f ll p 胪 1 2 3拟微分算子的多线性交换子的定义 2 0 0 2 年，c p 4 r e z 和r t r u j i l l o - g o n z a l e z 提出了奇异积分算子的多线性交换子的概 念( 见 2 0 】) 受此启发，本课题提出了与拟微分算子相关联的多线性交换子的概念，并将 系统地研究它们在一些主要函数空间( 包括l e b e s g u e 空间，b ) ，c m o 空间，t r i e b e l l i z o r k i n 空间) 上的有界性以及相关的函数估计 定义1 2 4 假= i , 以t u j ，r 净t tl 是有限个在形上的局部可积函数，拟微分算子丁与 凳l 构 成的多线性交换子可以定义为 则加厶脚p 唾( m 舭y ， 其中k ( z ，z y ) = 厶j ( z ，f ) e 2 戚( z 一必必 3 第二章拟微分算子与b m o 函数构成的多线性 交换子的有界性 2 1定义与引理 2 1 1函数空间的定义及引理 定义2 1 1 如果6 萨l o 。( 册) ，我们就称6 b m o ( r n ) ，l 司时规足l | 6 | bl b m o = i l 栌l l p 注令7 = 7 ( 1 ) ，y o ) 表示 1 ，m ) 中歹个不同的元素构成的子列，并且当i 以及7 = 7 ( 1 ) ，y ( 歹) c 罗，我 t f 定2 - d = l ，m i v y ，瓦= b ( 1 ) ，b o ) ) ，b = b ( 1 ) h 。) ，l | 瓦l l b m d = i i b , y o ) b m o l i d 7 c j i i b m o 引理2 1 1 假设q 表示方体， b l ，6 m ) 是b m o ( 舻) 中的函数那么当1 q 使得击+ + 去= 1 ，利用h 6 l d e r s 不等式和j o h n n i r e n b e r g 不等式( 见 8 】) ，我们有 i q i l b , ( 们_ ( 恸 c 垂( 高加沪c 坩咖) 专 c n i i b , l l 肼o ， 并且 ( 南z 知沪c 坩匆) c 垂( 南加沪c ) 南 4 i b j l l b o 引理2 1 2 ( 见【8 】) 假设q 表示方体，b b m o ( r “) ，那么对于任意尼1 存在常 数c 使得 l i b 一5 2 t q i i b m o c k l i b l i b m o ， 其中咄口= 丽1 止t qf ( y ) d y 定义2 1 2 假设1 p o o ，我们称，口( 舻) ，如果，满足 i l f l l p ( 旷( li f ( 删p 出) ； o 。 定义2 1 3 对于一个权函数u 来讲，如果劈l ) ，我们称，b m o ( w ) ，同时 规定i i f l i b m o ( u ) = i i 搿* ) 定s z 2 1 4 假设l p 0 0 ，u 是p _ l ：的非负的权函数，我们称f 岛) ，如果，满 足下列条件 眦) _ 溜0 ( 删。1 f qi m ) j p ) 如) ； 定义2 1 5 假设u 是舻上的非负的权函数，我们称，c m o ( w ) ，如果，满足 li f li c m o ( 。) = s 。u pw ( q ( 0 ，d ) ) _ 1 | ，( z ) 一f q i u ( x ) d x 1 u p c i n c fu ( q ( 蚴) 一1 q i f ( z ) 一c i u ( z ) 如 2 1 2极大函数的定义及引理 定义2 1 6 假设1 r 。，定义 州= s 伽u p ( 抓i ( i r d 可) 吾， 其中q 表示边和坐标轴平行的方体，那么我们称珥( ，) 为，的h a r d y - l i t t l e w o o d 极大函 数 引理2 1 3 假设1 r o 。，1 p o o ，那么对于任意，驴( 舻) 有 i i m , - ( f ) i i z - ( r - ) c i i 川p ( 舻) 定义2 1 7 假设，是个局部可积的函数，u 是舻上的非负的权函数，定义 劈( z ) = s u pw ( q ) _ 1 _ i ，( 可) 一南l ( 秒) 叻， 5 m 一 c 一 其中尼= u ( q ) f qf ( y ) w ( y ) d y ，叫( q ) = f qw ( y ) d y ，那么我们称劈为厂的加权s h 甜p 极 大函数 注众所周知 劈( z ) s q u p 善哐i n f u ( q ) 一1fl f ( y ) 一c i u ( y ) 由 2 2 定理与证明 定理2 2 1 假设t 是关于核6 ( z ，毒) & - 茗t 盯( o 盯 1 一n ，0 o o 使得对于任意f 曙( 舻) ，圣舻，2 ? - 0 0 有 m 、 ( 巧( 川孝( 孟) c i i b l i b m ol 坼( 似孟) + 坼( ( 川( 岔) 1 j = l7 呼 证明我们只需证明对于任意方体q = q ( z o ，d ) ，曙( 形) ，c ( 其中是 由q 决定的数集) 存在1 r 。o 以及牙q 使得 i q l i 乞i t i ( f ) ( x ) - c l d x c l l b l l s m o m r 唼暑尬c 删) 当m = 1 ，d 1 时，我们令f ( x ) = ( z ) - 4 - 厶 ) ， ) = f ( x ) x q ( x ) ，厶 ) = f ( x ) x q c ) ，其中j 是一个边长为d 1 - 口以q 为中心的方体 因为 毛( ，) ( z ) = g ( x ，z 一秒) ( ( 6 1 ( z ) 一( 6 1 ) ，) 一( 6 1 ( y ) 一( 6 1 ) ，) ) ，( 秒) d 可 j 肾 rf = ( b l ( z ) 一( b 1 ) j ) g ( x ，z y ) ，( 矽) d y 一g ( x ，z 一! ，) ( 6 l ( 可) 一( b 1 ) j ) f ( y ) d y jr 寸j 静 ff = ( 6 l ( z ) 一( b 1 ) j ) g ( x ，z y ) ，( y ) d y 一g ( z ，z y ) ( 6 l ( 可) 一( 6 1 ) - ，) ( ! ，) d y j t 0j 静 ， 一g ( x ，z 一可) ( 6 1 ( y ) 一( 6 1 ) ，) 如( 可) d y = ( 6 1 ( z ) 一( b 1 ) a ) t ( f ) ( x ) 一t ( ( b l 一( 6 1 ) ，) ) ( z ) 一t ( ( b l 一( 6 1 ) ，) 五) ( z ) ， 所以 1， 二i q i 厶l 瓦，( 似z ) 。( ( ( 6 1 ) ，“1 ) 厶) ( z 。) l 如 = 高z i ( 6 - ( 圹( 6 1 t ( 似z ) 一丁( ( 6 1 _ ( 6 1 ) j ) 似沪丁( ( 6 t _ ( 6 1 ) j ) 删z ) - t ( ( ( b 1 ) j 一6 1 ) 厶) ( z o ) l 出 厨1z | 6 t ( z ) 一( 6 ) ，i i 丁( ，) ( 硎如+ 南以陬( 6 t 一( 6 ) ，) ) ( z ) l d x 6 + 高么陬( 6 l _ ( 6 山) 驯z ) 一丁( ( 6 邮1 ) j ) 删训i 如 = a 1 ，1 + a 1 ，2 - t - a 1 ，3 对于a 1 ，l ，我们令；+ 专= 1 ，利用h c j l d e r 8 不等式和引理2 1 1 可以得到 钆t c ( 高加圹仇川) 专( 南加似删t 刁 c ii b lli b m o m , ( 丁( 厂) ) ( 孟) 对于a 1 ，2 ，我们选择s ，q ，l s ，q 0 0 使得q s = ，利用h s l d e r s 不等式、引理1 2 7 以及 引理2 1 1 可以得到 a 1 ，2 c ( 高 - i 1 u 而 c ( 高 1 1 ul 而 c i i b l l i b i f ( x ) l 驴如) 对于a l ，3 ，我们选择 ，1 移 ，墨 h 詈+ 击使臂z ；1 + ；1 + = 1 ，利用h 6 1 d e r s 不 等式、引理1 2 5 、引理2 1 2 可以得到 a 1 ，3 ( x ) = l t ( ( b l 一( b 1 ) s ) 丘) ( z ) 一t ( ( b l 一( b 1 ) s ) 尼) ( z o ) ( 以一茁。l 。2 + ，d ，。一。1 6 。( 可) 一( 6 。) ，i d y ) 昙( 以一z 。i 。2 n + 。d ，一。l ，( y ) i r 咖) c i x z 。ic 1 一a ) ( 一号( 2 脚d ) 一，l ( 1 一。) + 丛铲 ( 南l 郫。h 刊吾 (i南以一z。l。2n+。田，一。i，c可，ir咖) 7 州叫舳 l b h x b o ， 州 a b 一 驴 删删州一 邓 叫 一 懈n ” 仇 卜似 m。 。 叫 上厶厶办腑 一 一 一 一 一 = 2 d i ， l k ( x ，z y ) l l b l ( y ) 一( b 1 ) 2 q i i f ( y ) i d y 8 c i z 一秒l 一2 n i b l ( y ) 一( b 0 2 q i i f ( y ) l d y j i v x o l 2 d c 二 i z 一! ，i - 2 n i b l ( 秽) 一( b 1 ) 2 q i i f ( y ) i d y j 亨；，i 一z o i 曼2 + 1 d c 薹( 2 + 1 d ) - 2 m ( 南l 掣蝴1 6 1 - ( 6 1 ) 2 匆) 专 ( 南l 掣州1 m 矿匆) c e ( 2 + 1 d ) 一n n i i b a l i b m o m , ( f ) ( 面) 1 的情况的讨论 当m 2 ，d 1 时，我们令f ( x ) = ( z ) + ，2 ( z ) ， ( z ) = f ( x ) x j ( x ) ，厶( z ) = 厂( z ) x ，。扛) ，其中j 是一个边长为d 1 - a 以q 为中心的方体 因为 w ) ( 功2 厶取x , x - - y ) “驰) _ ( 讪) - ( 蛐) _ ( 删八可) d y =，磊(_1m6(垆6a厶k(x,x-y)(地)-6卉m)dyj= o7 口 。“。 2 g ( 驰) - ( 吼) 厶刚x , x - - y 白汹 +e。e一(_1)一砸(圹b)7厶k(x,x-y)(“们_6力洲们咖j= l7 c ， 。“。 + ( _ 1 ) m 厶k ( x , x - y ) g ( 蛐) - ( 咖佰) d y - ( 2 m _ 1 ) 珏( 她) - 慨h ) 厶川z , x - y ) f ( 秒) d y = ( 2 m - 1 ) 垂( ) ( 咖) 厶k ( x , x - - y 删咖 j 2 一 9 ) i 沙 k 一 n n 一 = m 皿芦 协 p 噶 一州 所以 + 若三( 6 ) _ 幻) 1 厶( x , x - - y ) ( 6 “k m ) 匆 “。) m 厶斛x , x - - y 娶( 蛐) - ( 吼删由 “- 1 p 厶以毛卜们粤( 蛐卜( 咖m ) 咖 = ( 2 m 一1 ) ( ( z ) 一( ) ，) r ( 似z ) j = l + ( 6 ( z ) 一b j ) 1 屯( 烈z ) j = l7 守 + ( 一1 ) m 丁( ( 一( 幻) - ，) ) ( z ) j = 1 + ( 一1 ) m 丁( 1 7 ( 一( 6 j ) ，) 厶) ( z ) ， 南名m o ) - 玎娶“吼叫，2 ) ( 如) f d z 9 2 m _ _ 1 j f q m 一垆( 附) ( 圳出 + ；三高丘i ( 6 ( z ) - 1 4 i 砩( 似删如 + 南乞p ( 驵( 吨m ( z ) l d x + 南以p 粤( 一( ) j ) ，2 ) 一丁旦( 幻一( 幻厶0 ) l 出 对于a 3 ，1 ，我们令；+ 专= 1 ，利用h 6 l d e r s 不等式和引理2 1 1 可以得到 锄c 如圹 7 刁专( 高加矿出) 专 c i i il b j1 8 m o m , ( r ( f ) ) ( x o ) c | j 6ji b m d 尬( 丁( ，) ) ( 童) 1 0 对于也，2 ，我们令；+ 7 1 = 1 ，利用h 6 l d e r s 不等式和引理2 1 1 可以得剑 a 3 。c 喜三( 高z ( b ( x ) - b j ) r l l d x ) 专( 高乞i 琊c 似刮出) ； sc m - 1 1 1 k 1 1 b m 。坼( 屯( 川( 孟) i = i r e 哆 c m - i l l b ll b 肋尬( ( 川( 孟) j = 17 c r 对于a 3 3 我们令专+ ；= 1 ，并且选择q 使得驴= r ，利用引理1 2 7 、h s l d e r s 不等式以 及引理2 1 1 可以得到 如3 c ( 高加重c 州蝴卯如) _ c 1 li t ( 垂( b j - ( b j ) 1 ) f i ) ( x ) l q d z , ) 。 c ( 高lf i 以沪( 咖| 口i 肌郴如) 口 c ( 高z 亟i c z ，一c 如，r ，出) 矽( 高zi ， ，i 驴如) 击 cn 1 1 1 1 日 f 。尬( ，) ) = 1 c ll b | 1 只 ，n 尥f ，1 f 童) 对于a 3 4 ，我们选择口，1 。，劬，1 歹m 使z 1 寸；1 + ；+ = 1 并且击+ + 去= 1 ， 利用h 6 l d e r ，s 不等式、引理1 2 5 、引理2 1 2 以及条件鸶 h 鸶+ 击可以得到 a 3 , 4 ( z ) = l ( k ( 舭一箩) 一g ( x 咿。一可) ) ( ( 可) 一( 幻) ，) f 2 ( y ) d y l 薹k h 妯嘣l _ 2 ( + 1 ) ( 1 一口) ( 暑一 ( - - i - 1 ) m i i b l i b m o m ，( f ) ( ：c ) 万； c ll b llb m o m r ( 厂) ( 孟) ， 进一步 a 3 ，4 c l l b | i b m o m r ( ，) ( 孟) 将所有不等式的两边同时相加，我们完成了m 2 ，d 1 情况的讨论 当m 2 ，d 1 时，我们令， ) = 扛) + 厶0 ) ， ( z ) = y ( z ) x 2 q ( z ) ，厶0 ) = f ( x ) x ( 2 q ) c ( z ) 因为 砖( ，) ( z ) = ( 2 m 1 ) i - ( b j ( x ) 一( 幻) 2 j ) 丁( ，) ) + ( 6 ( z ) 一b 2 q ) 7 ( 似z ) j f f i l7 叩 + ( 一1 ) m 丁( ( 一( ) 2 q ) ) ( z ) + ( 一1 ) m 丁( ( 一( ) 2 q ) 丘) ( z ) ， 所以 可1 , ( 似z ) l d z 哥石知圹( 恻m i 如 + m 一- 1 一，1 f qi ( b ( x ) - b 2 j ) - , l l 砩( 川z ) i 出 + 高加重c 幻 + 高绷i 酗i ( b j ) q ) f 1 ) ( x ) l d x ( b s ) o ) f 2 ) ( x ) l d x 1 2 = a 4 。1 + a 4 ，2 + a ，3 - i - a 4 ，4 类似于a 3 。1 ，有也，1 c | | b i i b m o m r ( 7 。【，) ) 【z ) 类似于a 3 2 有a 4 2 c 胥1 1 哆i l b l l b m 。尬( 砩( ，) ) ) 类似于a 3 3 ，有a 4 ，3 c l1 6 li b m d m r ( ，) ( 岔) 对于a 4 ，我们选择乃，1 j m 使得击+ + 去+ ；= 1 ，利用引理1 2 6 、h s l d e r 不 等式以及引理2 1 2 可以得到 a 刷= i 丁( ( 一( 幻) 2 q ) 厶) ( z ) i 娜荟k 眺2 肌dk 叫i _ 黔 ) _ 鸭) 2 q i l 八们坳 荟k 2 + l dk 叫r 2 竹驴 ) - ( 6 j k i | 八们协 薹，m矿2咖m(南(_x012n+id-(bj)2qlpjdy情c z ( 2i i i b a y ) d u ) j = t jy - z o l _ 2 + 1 d ) 一2 n + n ( 赤 n ：l 。”， ( 赤l 掣蝴i m 矿咖) ； c ( 2 + 1 d ) 一n ( + 1 ) mi ii l b j l i b m o m , ( f ) ( x o ) 1 情况的讨论 这样，我们就证明对于任意方体q = q ( x o ，d ) ，f 曙( 舒) ，c ( 其中是 由q 决定的数集) 存在1 7 o o 以及童q 使得 i q - - 1i 乞i z g ( f ) ( x ) - c l d x _ c l l b l i m o 嘻暑尬c 刎) 最后可以得到 m 、 ( ( 川襻( 童) c i i b l l b m dl 珥( 似童) + 尬( ( 川( 童) 1 j = l1 叩 这样，我们就完成了定理2 2 1 的证明 定理2 2 2 假设t 是关于核6 ( z ，) s - 茗t 叮( o 仃 1 一口，0 口 1 ) 的拟微分算 子再假设瓦是丁与函数列 b m 0 ( 舻) 凳。构成的拟微分算子的多线性交换子那 么当2 p o o 时乃是由汐( 舻) 到汐( 舻) 有界线性算子 证明：我们选择p 使得2 r p 1 3 当m = 1 时，利用定理2 2 1 、6j 霉1 1 2 1 3 以及引理1 2 7 ，可以得到 毛( 似z ) 怯 | i m ( 酝( ，) ) ( z ) i l p c | | 磋( ，) ( z ) i i p c l l 坼( t ( ，) ) ( z ) l l p - 4 - c l l 尬( ，) ( z ) 1 l p c i i t ( f ) ( x ) i i d , + c i i f ( x ) l l p c l l f ( x ) l l p 当m 2 时，我们可以通过归纳法得到定理2 2 1 这样我们就完成了定理2 2 1 的证明 定理2 2 3 假设r 是关于核6 ( z ，) g 墨盯( o 盯 1 一o ，0 口 1 ) 的拟微分算 子再假设是丁与函数列 b b m d ( 舻) 饕1 构成的拟微分算子的多线性交换子那 么当u a 1 时是由三o 。) 到b m d ) 的有界线性算子 证明：我们只需证明对于任意方体q = q ( x o ，d ) ，l ( u ) ，c ( 其中是 由q 决定的数集) 存在常数c 使得有 ，i u ( q ) 一1 | 露( z ) 一c l w ( x ) d