（基础数学专业论文）非线性奇异边值问题解的存在性.pdf

山东师范大学硕士学位论文 非线性奇异边值问题解的存在性 朱凤 ( 山东师范大学数学科学学院，济南，山东，2 5 0 0 1 4 ) 摘要 在核物理，气体动力学，流体力学，边界层理论以及非线性光学等科学领域出 现的各种各样的非线性奇异边值问题( 简称s b v p ) ，从上个世纪八十年代开始备受 科研工作者的关注，成为一个新的研究热点，并获得了系统而深入的结果，如文献 【1 - 3 ，5 7 ，2 0 ，2 7 ，3 0 近年来，一些奇异边值问题可以描述弯曲梁的静态形变，在弹性力学和工程物 理中有着广泛的应用，另一方面，一些重要的实际问题所导出的数学模型中的函数 或者变量本身在端点处可能具有奇异，从而引发对奇异边值问题的研究十分活跃， 如文献 2 ，3 ，1 9 ，2 0 一2 3 ，2 7 - 3 0 】因此该问题的研究具有重要的理论和应用价值 在上述研究基础上，本文只要对两点和多点奇异边值问题进行深入研究，获得 一些较好的结果，本文共分四章： 第一章给出了一维奇异p l a p l a c i a n 多点边值问题： l ( 奶( u ) ) + f ( t ，u ) = 0 ，0 t 1 ； lu ( o ) = 箸2 讧让佞) ， ( 1 ) = 篙2b i u ( 专i ) 在锥中通过给出超线性及次线性条件，利用不动点指数定理得出了至少两个正解的 存在性定理 第二章研究了四阶奇异微分方程边值问题： it 工( 4 ) ( 舌) = a f ( t ，缸( 亡) ) ，0 t 1 “( o ) = u ( 1 ) 等0 ， 【t ”( o ) = o ，牡”( 1 ) = 写2 啦“”( 锄； 其中非线性项f ( t ，札) 可能在t = 0 ，t = 1 ，u = 0 处奇异利用上下解办法，通过构造 上下解，得到了当参数入充分大时至少一个正解的存在性利用上下解方法研究的 含参数的微分方程，结果一般是给出参数的范围，当参数小于此范围时正解的存在 性，因此本章使得该问题的结果得以推广和完善，并举例说明了结论的合理性 第三章在抽象空间中讨论了积分边值条件的奇异微分方程： iz ( 4 ) ( t ) = f ( t ，z ( ) ) ，0 t 1 z ( o ) = 詹g ( s ) x ( s ) d s ，x ( 1 ) = p iz ”( o ) = 一f j 危( s ) z ”( s ) d s z ”( 1 ) = 口； 1 山东师范大学硕士学位论文 非线性项，( 亡，z ) 在t = 0 ，t = 1 ，z = 0 处奇异的这样的积分边值条件的微分方程还 不多见，本章利用锥拉压不动点定理，得出了至少两个正解的存在性结果。 第四章研究了脉冲微分系统两点边值问题： 一x = f ( t ，z ，z ，t x ，s x ) ，t ， a z l 扛“= i o k ( = ( t k ) ，z 亿知) ) ，( k = 1 ，2 ，力 a x ，k ：“= x l k ( = ( t k ) ，z 七) ) ，( k = 1 ，2 ，p ) a x ( o ) 一触7 ( o ) = 0 ， ( 1 ) + ( i x ( 1 ) = 口； 解的存在性，主要方法是利用s c h a u d e r 不动点定理 关键词：非紧性测度；边值问题；正解；锥；不动点指数；不动点定理 分类号：0 1 7 5 8 2 山东师范大学硕士学位论文 e x i s t e n c eo fs o l u t i o n sf o rs i n g u l a rb o u n d a r yv a l u e pr o b l e m s z h u f e n g t h ei n s t i t u t eo fs c i e n c eo fm a t h e m a t i c s ，s h a n d o n gn o r m a lu n i v e r s i t y j i n a n ，s h a n d o n g ，2 5 0 0 1 4 ，p r c h i n a a b s t r a c t s i n g u l a rb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s ( s b v p ，f o rs h o r t ) h a v er e s u l t e df r o mn u c l e a r p h y s i c s ，g a sd y n a m i c s ，n e w t o n i a nf l u i dm a c h a n i c s ，t h et h e o r e y o fb o u n d a r yl a y e r ，n o n - l i n e a ro p t i c sa n ds oo n f r o m1 9 8 0 ss u c hp r o b l e m sh a v er e c e i v e dag r e a td e a lo f a t t e n t i o nb ym a n yr e s e a r c h e r s t h e r e f o r et h e yb e c o m ean e ws t u d yf i e l d ，a n dt h e r e m a n ye x c e l l e n tr e s u l t s 。f o re x a m p l e ，s e et h er e s u l t so fr e f e r e n c e 【1 - 3 ，5 7 ，2 0 ，2 7 ，3 0 i nr e c e n ty e a r s ，m a n yb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sc a nd e s c r i b et h ed e f o r m a t i o no f a ne l a s t i cb e a me q u i l i b r i u ms t a t ea n dh a v ec o m p r e h e n s i v ea p p l i c a t i o ni ne l a s t i c - i t ym e c h a n i c sa n de n g i n e e r i n gp h y s i c s b e c a u s ee i t h e rt h ef u n c t i o no rt h ev a r i a b l e i t s e l f , w h i c hi sm a t h e m a t i c a lm o d e lr e s u l t e df r o ms o m ei m p o r t a n ta c t u a lp r o b - l e m s ，m a yb es i n g u l a ra te n d p o i n t s ，t h es t u d yo fs b v pb e c o m e sv e r ya c t i v e ，f o r e x a m p l e ，s e e 2 ，3 ，1 9 ，2 0 2 3 ，2 7 3 0 s ot h ec o n t e n tt h a tw es t u d i e dh a si m p o r t a n tt h e - o r e t i c a la n da p p l i c a b l ev a l u e t h i sp a p e rd i s c u s s e st h et w o - p o i n ta n dm - p o i n ts i n g u l a rb o u n d a r yv a l u ep r o b - l e m sm o r eg e n e r a l l y , a n do b t a i n ss o m eu s e f u lr e s u l t so nt h eb a s i so fa b o v ed i s c u s - 8 1 0 n s t h e r ea r ef o u rc h a p t e r si nt h ed i s s e r t a t i o n i nt h ef i r s tc h a p t e r ，w ed e a lw i t hp o s i t i v es o l u t i o n sf o rm - p o i n tb o u n d a r y - v a l u e p r o b l e m sw i t hao n e - d i m e n s i o n a lp l a p l a c i a n ： j ( 如( u ，) ) + f ( t ，乱) = 0 ，0 t 1 ； iu ( o ) = 答2 口i 仳( & ) ，u ( 1 ) = 吝2b i u ( i ) i nt h ec o n e ，w eg i v es u p - h n e a ra n ds u b - l i n e a rc o n d i t i o n s ，b yu s i n gf i x e d - p o i n t 3 山东师范大学硕士学位论文 i n d e xt h e o r e m ，t h ee x i s t e n c eo fa tl e a s tt w op o s i t i v es o l u t i o n si sg u a r a n t e e d 。 i nt h es e c o n dc h a p t e r ，w ei n v e s t i g a t e st h ef o u r t h o r d e rs i n g u l a rb o u n d a r yv a l u e p r o b l e m 牡( 4 ) ( 亡) = 入，( ，u ( t ) ) ，0 t 1 u ( 0 ) = u ( 1 ) = 0 ， ( o ) = 0 ，( 1 ) = 吝2a i u ”( 鼢； w h e r e ，( 乙牡) m a y b es i n g u l a ra tt = 0 ，t = 1 ，“= o b yc o n s t r u c t i n gu p p e ra n d l o w e rs o l u t i o n s ，w en o to n l yg e tt h ee x i s t e n c eo fa tl e a s to n ep o s i t i v es o l u t i o nw h e n 入l a r g ee n o u g h ，b u ta l s og e tt h ee x i s t e n c eo fa tl e a s to n ep o s i t i v e s o l u t i o nw h e n 入 a r b i t r a r yv a l u ei n ( 0 ，+ o o ) t h es t u d yo fd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sc o n t a i n i n gp a r a m e t e r s w i t hu p p e ra n dl o w e rm e t h o d ，t h er e s u l ta l w a yg i v et h es c o p eo ft h ep a r a m e t e r s ， w h e nt h ep a r a m e t e ri ss m a l l e rt h a nt h i sr a n g e ，s o l u t i o n se x i s t ，a tl a s t ，a ne x a m p l e i sw o r k e do u tt oi n d i c a t eo u rc o n d i t i o n sa r er e a s o n a b l e i nt h et h i r dc h a p t e r ，w ei n v e s t i g a t e st h ee x i s t e n c er e s u l t sf o rn o n l i n e a rb o u n d a r y - v a l u ep r o b l e m sw i t hi n t e g r a lb o u n d a r yc o n d i t i o n si nb a n a c hs p a c e s ： z ( 4 ) ( 艺) = f ( t ，z ( 砖) ，0 t 1 x ( o ) = 詹g ( s ) x ( s ) d s ，x ( 1 ) = 0 z ”( o ) = 一詹h ( s ) x ”( s ) d s z ”( 1 ) = p ； w h e r e ，( t 牡) m a y b es i n g u l a ra tt = 0 ，t = 1 ，u = o 。i nt h i sc h a p t e r ，u n d e rc e r t a i n c o n d i t i o n s ，b yc o n s t r u c t i n gas p e c i a lc o n ea n du s i n gc o n ec o m p r e s s i o na n de x p a n - s i o nf i x e dp o i n tt h e o r e m ，w eo b t a i na ne x c e l l e n tr e s u l t c h a p t e rf o u ri n v e s t i g a t e st h es e c o n d - o r d e ri m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ： 一= f ( t ，z ，z 7 ，t x ，s x ) ，t ， a x l 扭“= x o k ( z ( t 七) ，z 币七) ) ，( k = 1 ，2 ，p ) z 7 l 铽= k ( z ( 惫) ，z ( t 凳) ) ，( k = 1 ，2 ，p ) a z ( o ) 一p z ( o ) = 伊； 7 z ( 1 ) + 6 z ( 1 ) = 0 b yu s i n gs c h a u d e rf i x e d - p o i n tt h e o r e m ，w eo b t a i n e dt h ee x i s t e n c eo fs o l u t i o n 4 山东师范大学硕士学位论文 k e yw o r d s ：n o n c o m p a c t n e s sm e a s u r e ；b o u n d a r yv a l u e ；p o s i t i v es o l u t i o n ； c o n e ；f i x e d p o i n ti n d e x ；f i x e d p o i n tt h e o r m c l a s s i f i c a t i o n ：0 1 7 5 8 5 独创声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研 究成果据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人 已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得( 注：如没有其他需要特 别声明的，本栏可空) 或其他教育机构的学位或证书使用过的材料与我一同工作 的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意 学位论文作者签名：7 繁风 导师签字：潞撕 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，有权保留并 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅本人授 权学校可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影 印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文( 保密的学位论文在解密后适用 本授权书) 学位论文作者签名：抹j 九 签字日期：2 0 0 9 年楣姐 导师签字：潞慧、百 签字日期：2 0 0 9 年钥2 日 山东师范大学硕士学位论文 第一章一维奇异p l a p l a c i a n 多点边值问题的正解 1 1引言 含有p l a p l a c i a n 算子的方程起源子不同的物理和自然界现象的模型，近年 来有很多致力于研究p l a p l a c i a n 算子解的存在性的文章，不同边界条件下的问 题也有诸多作者研究，并有 4 ，8 ，9 ，1 2 ，1 5 ，1 6 ，1 8 】等文献，【1 5 】研究了仇点边值问题： ， l ( 如( u ) ) + q ( t ) f ( t ，牡) = 0 ，0 1 ； l 仳，( 0 ) = 沓2a i u 7 ( 锄，u ( 1 ) = 岛2b i u ( ( i ) 的正解的存在性，采用的主要方法是单调迭代，f 1 6 ，1 8 】考察了m 点边值问题： ， i ( 如( 0 ) ) + ，( t ，u ) = 0 ，0 t 1 ； l 咖( u ，( 0 ) ) = 答2 啦如( u ( 鼢) ，u ( 1 ) = 笛2b i u ( 毒i ) 并应用锥上的不动点指数定理给出了上述边值问题多解存在性的充分条件【4 ，8 】 的作者也考察了此类问题，边界条件为u ( o ) = 0 ，u ( 1 ) = 吝2 玩“( ，但是上述文 献都没有考虑，在t = 0 ，t = 1 ，缸= 0 处有奇异的情况，因此本章在这方面做出一 些努力，本章考察： ， ( 奶( 训+ 弛，u ) = o ， o 亡 1 ，已( 0 ，1 ) ，0 毒1 一2 1 ，啦，玩，f 满足： ( h 1 ) 啦，玩( 0 ，1 ) ，且0 警2 啦 1 ，o 笛2 玩 1 ( h 2 ) ，c ( ( o ，1 ) x ( 0 ，+ o 。) ，( 0 ，+ o o ) ) ，且存在k ：( 0 ，1 ) _ ( 0 ，+ 。) 连续，g ： ( 0 ，+ 。o ) _ ( 0 ，+ o 。) 连续且当z 属于一个有界集时有界，使得f ( t ，z ) ( t ) g ( z ) ， 且f o xk ( t ) d t + o 。 为了得到b v p ( 1 1 1 ) 的正解，下面列出一些用到的引理： 引理1 1 1 设dcc 明，有界且d 在j 上等度连续，则q c ( d ) = s u pa ( d ( t ) ) 引理1 1 2 设v = z n ) l i ，司，且存在g l i ，r + 】，使对一切z n vl i x n ( 圳 夕( t ) ，a et i 则 ，t， a ( ( x n ( s ) d s ：礼) ) 2 q ( y ( s ) ) d s ，t i = 【o ，b 1 ：，口 ，口 引理1 1 3 设a ：pn 晓_ p 为严格集压缩算子，那么若z pna q 弓止z 则 i ( a ，pnq ，p ) = 0 6 山东师范大学硕士学位论文 1 2 预备知识 假设e = c 【0 ，1 】 妇e ，i l x l l 。置躏l z ( t ) i 定义： p = z c o ，1 】：x ( t ) 之o ，t 【o ，1 】) 蛞1 是如的逆函数，显然咖是单调递增的，则筇1 也是单调递增的，忱p 令 厶( 考，z ) = f ( t ，茁+ 丢) ，住n 假设是下列b v p 的解； ( 咖( 乱：1 ) ) 7 + m t ，z ) = 0 ，t ( 0 ，1 ) ( 1 2 1 ) ( o ) = d f ( & ) ，u n ( 1 ) = 玩乱n ( & ) ( 1 2 2 ) 则 u ：l ( 舌) = 筇1 ( a n z r 厶( r ，。( _ ) ) 打) = ：厶( t ，础 ( 1 2 3 ) 这里厶茁待定 ，t ( t ) 2 ( o ) + 以厶( s ，z ) 幽 或者钍n ( t ) = ( 1 ) 一口k ( s ，z ) d s 由边界条件( 1 2 2 ) 有 训2 蚤啦( 鳓+ 上厶( s ，z ) 幽 = 喜叫们) + f o 磊( s ，州s 】+ “邶油 ：喜酬o ) + m 善- 2 啦z 矗帅，z ) d s + 胁s ，x ) d s = 啦( o ) + 啦厶”厶( s ，+ 厶厶( s ， i = lt = 1 。 所以 姒。) = 喜榔) + m 苔- 2 毗z 矗孙，x ) d s ， 让n ( o ) = 戗u n ( o ) + 毗厶”厶( s ， ， 叫归还毛r 蚤n - 2 啦z 矗狮d s 因此 郇) = 两br 善n - 2 啦z 矗耶幽+ “驴) 幽 或者 咄归一连b 薯玩撕油一“s 幽 7 山东师范大学硕士学位论文 ( 1 2 3 ) 中的a n z 满足下列方程： 毗卜篝鬃喜啦o & 础c 一0 8 撕舭 曙，1 1 ，p + ( 1 一善玩) 上筇1 ( c 一上厶( 丁删) 打) d s + 喜饥硝c 一0 8 枷m 如一o ( 1 2 4 ) 引理1 2 1 假设( h i ) ，( h 2 ) 成立，对于任给的z p ，佗n + ，则存在唯一的a 礼x ( 一。，+ 。) 满足( 1 2 4 ) ，更进一步，存在唯一的o - x ( 0 ，1 ) 使得 t o z a n x = 厶( f ，x ( t ) ) d t ju 证明：v x p 由三乙( c ) 的定义可知：鼠。：r _ r 连续，并且是严格递增的且有 ，1 凰( o ) 0 ，0 因此存在唯一的a n z ( 0 ，s ja ( 7 - ，x ( r ) ) d r ) c ( 一o o ，+ o 。) 满足( 1 2 4 ) ，更有令： ，t r ( 亡) = ( 丁，z ( 丁) ) 打 ，u 则晶( 亡) 连续，在【0 ，1 】上是严格增函数，晶( o ) = 0 ，兄( 1 ) = f o ( 7 ，z ( r ) ) 打 所以， 0 r ( o ) a n x f n ( 1 ) = 厶( r ，z ( 丁) ) 打， - ，u 由连续函数的介值性定理： 存在唯一的( 0 ，1 ) 使得a n z = 俨厶( 7 - ，z ( 7 - ) ) 打 引理1 2 2 假设( h 1 ) ，( h 2 ) 成立，对于任意给定的z p ，n n ，( 1 2 1 ) ，( 1 2 2 ) 的唯 一解牡n 满足下列性质： ( i ) ( t ) 的图像是凹的 ( i i ) u n ( t ) 0 ( i i i ) 存在唯一的t o ( o ，1 ) 使得( 如) 亏o m n 时有 0 厶( 7 - ，z m ( 7 _ ) ) 1 + 厶( 7 ，z o ( r ) )( 1 2 5 ) f l ，1 a 册( 0 ，a ( r ，z m ( 丁) ) 打) ( ，1 + 厶( 丁，z o ( 丁) ) d 丁) v v o 0 ，u 由( h 2 ) 可知 a 礼m ) 一致有界a 礼。为( 1 2 4 ) 式将x o 代换z 所得的对应常数 假设a n m 不收敛到a 加则存在a 一的两个子列 a 端。) 和 a 瓣。) ，使得a 端。_ c 1 a 渤。一c 2 因为a n m 一致有界，且c 1 c 2 由a 一的构造可知h ( 1 ) ( a 虢。) = o 由( 1 2 5 ) 式及l e b e s g u e 控制收敛定理可知： 甚曩锹( a 瓣t ) 2 日仉粤。饿( 甚a 然t ) = 巩。( c ) = 。 因为对每个佗，a 册是唯一的，则有c l = a n 。类似可证c 2 = a 加此与c l c 2 相矛 盾因此对每个佗n + ，若有一x o ，就有a 一一a 加所以a 彻：c + o ，1 】一r 是 连续的，因此，对每个礼，r 的连续性也是显然的 ( 2 ) 再证对每个纪，霸是紧算子 令qck 是有界的，则存在r 0 使qc z k | l | z i i r ) ，比q 由( h 2 ) ，我们有 。z 1 厶( 丁，z ( 丁) ) 打= z 1 ，( 丁，z ( 丁) + 1 ) d t _ f o o ik ( 丁) g ( z ( 丁) + 丢) 打 + 。( 1 2 6 ) 因此l a n 。ism 则有 i 厶( t ，z ) l 筇1 ( 2 m ) 则： ( 驯去m 善- 2 毗f 0 1 i ( s ，郴s + z 1 狮幽 f 氟吾吼筇1 ( 2 m ) + 筇1 ( 2 m ) 。f 彘筇1 ( 2 m ) ( 1 删 故 l l 矗圳s 蒜i l ( 死l | 筇1 ( 2 m ) ( 1 2 8 ) 因此霸q 一致有界且等度连续，由a r z e l a a s c o l i 定理，死q 是相对紧的，因此 矗是紧算子 1 0 山东师范大学硕士学位论文 由引理1 2 1 ，( 1 2 4 ) 式可以写成如下形式： i 寿笛2 啦詹螃1 ( 俨厶( 丁，z p ) ) d r ) d s 州归 篓t - i 者a = t 麓茹肌南m 如 【+ 詹筇1c a 厶( 丁，z ( 丁) ) 打) 如， 0 亡o z t 1 t 毕，( 江1 ，2 ，m 一3 ) ， l 1 2 。m i n i = 12 。m - 3 ( 芒；一2 、。， l 2 = m i l l ( & + 1 一t ；) 2 i= 1 2 ，m - 3 、。 。7 为了得到( 1 1 1 ) 的正解，现列出以下条件： ( h 3 ) 存在【q ，例ch ，1 一- y 使 舞器；慨 ( 1 3 1 ) 关于t 陋，纠一致成立，其中0 7 0 使得詹后( t ) 咐r ，+ l ( t ) d t a 其中： g r ，兄，+ 1 ( 舌) = s u p q ( x ) l x 陋( 1 一) r ，r 7 + 1 】) d = 如( ( 1 一啦) 冗7 ) ( 1 3 2 ) ( h 5 ) 存在 口，f 1 ch ，1 一州使 z - - l - i i n , + o o 船= 慨 ( 1 3 3 ) 如) 、7 关于t 陋，用一致成立，其中q ，y 0 使对有界集dc7 ，b ， 有 口( ，( 如，d ) ) 咖( l ( d ) ) ，如= 限1 一川( 1 3 4 ) 引理1 3 1v x kt 【a ，f 1 ch ，1 一州，有 m ，i n ，x ( t ) y l l x l l 1 0 ，存在6 0 且存在伽+ ，使得当5 一击 0 使得0 z m a x 面2 ，面2 一 假若( 1 3 5 ) 不成立，则3 x o ，1 1 = o l l = r ，时有( z o ) z o 扼m 【a ，a x 纠i i = o ( 舌) | l + 元1 置躏i f z 。( s ) | | + 元1 0 当i l x l l k 时，有f ( t ，z ) m 2 咖p ( 1 l = 1 1 ) 取 r m a x r + 1 ，冬) ，贝0 有 挺m l q m 制i i z 。 ) 1 1 挺m 【1 ，m l 一1 ii l x o ( t ) 1 1 i l l z 。i i 2 ，y r 七( 1 3 1 7 ) 若结论不成立，则对上述r ，存在x o k ，0 。o | l = 兄使得t z o x o 则当譬。时， z 。( + 元1 ( 死z 。) 。；) - o o 譬筇1 ( 厶( 丁，z 。( 丁) ) 打) d s 硝叫丁) + 扣如 e 硝厂u 2 如( 1 l 啾r ) 咖州s 芝酬鬈( 譬d , ) d s ) l l 时扣 7 掣忙。+ 扣 m 2 7 钿跏+ 元1 o ( 1 3 1 8 ) 贝9i l x o + 击l i m 2 y 每l l x o 阜元1f l ，得 尬去 与( 1 3 6 ) 矛盾当露。时 知( + 丢芝( 死z 。) ( 鳓名筇1 ( 仁。厶( r ，z 。( 丁) ) 打) 如 芝鬈件1 螃1 ( ，( 丁加( 丁) + 丢) d r ) 如 鬈筇1 ( 石尬如( | | 以丁) + 剥1 ) 打) d s 尬，y ( 鬈件1 ( 石打) d s 川z 。+ 扣 尬7 掣i i 叶扣 m 2 7 钿z 。+ 勃 ( 1 3 1 9 ) 贝0i l x o - i - 元1i i m 2 停l l x o + 击i i ，得 尬去 与f 1 3 1 6 1 矛盾由卜沭= 个帝王晕可知当忆布俞女的时候右 1 4 t ( 死，k r 翰，k ) = 0 1 = - 1 0 ( 1 3 2 0 ) 山东师范大学硕士学位论文 l ( r ，k 膏琢，k ) = 1 0 ( 1 3 2 1 ) 因此当佗充分大时，矗在k n k r 上与k n ，瓦上都有不动点 0 x t 1 的情形类似- 7 证 定理1 3 4 条件( h 1 ) 一( 凰) 成立，则问题( 1 1 ) 在c p , e nc 2 【( o ，1 ) ，司中至少有两 个正解 证明： 假设t x n = z n ，z n k r - k r ，礼n o 令 d ( t ) = 1 z n ( t ) ：佗n o ) ，d = z n ：n 芝7 m ， ( 1 3 。2 2 ) 下证d 相对紧，只需证明d ( t ) 相对紧且d 等度连续。若t t ，t 2 ( 0 ，1 ) 则 i l x n ( t 1 ) 一z n ( 圳：i i 厂幻筇1 ( 广”a ( 丁，z n ( 丁) ) 打) d s i i r 2 筇1 ( z 1 七( 丁) g ( 口n + 去) d 丁) 如 = g + 元1 饥t 2 筇1 ( f 0 0 1k ( 丁) d r ) d s 2 q ( x + 去) 筇1 ( 上忌( s ) d s ) ( t 2 咄) 0 - 3 - e 3 ) 由鸟的有界性可知；t 1 一乏时有i l x 礼( t 1 ) 一z n ( 亡2 ) 1 1 0 硝o ) - 连蠹薯i = i 啦z 矗筇1 ( 如i l 竹一丁) + 扣幽 ( 1 3 以) 显然 。 i l x n ( 沪z n ( o ) 1 1 圳z 。筇1 ( 广珩刖+ 1 ) d ， ) d s l l 0 ( t 一。+ ) n _ 姆0 3 2 5 ) 从而z n ( t ) 一z n ( o ) ，t _ o + ，佗_ + o o 同理可证z n ( t ) _ z n ( 1 ) ，t _ 1 一，佗_ + 。 因此d 等度连续，z n ( t ) = ( 蜀z n ) ( 句 q ( z n ( 丢) ：死n o ) = 慧 z & 筇1 ( ，( 丁，z ( r ) + 去) 打) d s 】+ a 【z 2 筇1 ( ，( r ，z ( 丁) + 去) 打) 如】 4 蒜筇1 ( 上1 口( ，( 丁，z ( 丁) + 麦) 打) d 5 + 4 筇1 ( z 1q ( ，( 丁，z ( 丁) + 去) 打) d s 2 f 主甄筇1 ( 口( m ，z ( 7 - ) + 圳 f 焘忑筇1 ( 奶( 胁( 聊) ) ) ) ( l 3 2 6 ) 由条件( h 6 ) 故q c ( d ) 5i 芝4 孬l口c ( d ) q c ( d ) 所以q c ( d ) = o , d ( t ) 相对紧，所以( z n ) 有收敛子列，不妨设为 埘) 删= 还未警i = 1 锄z 矗础心脚溉灯肛) d s 1 5 山东师范大学硕士学位论文 + z 。筇1 ( 胁剐丁) ) d t ) d s 由l e b e s g u e 控制收敛定理得：z n i _ z z ( p = 还杀警i = 1 啦o 矗筇1 ( 竹一州叫s + z 。螃1 ( 如竹一丁) ) d t ) d s 为( 1 1 1 ) 的解 以 亡 1 的信河可以举和i 证明 1 6 ( 1 3 2 7 ) ( 1 3 2 8 ) 山东师范大学硕士学位论文 第二章一类四阶奇异微分方程解的存在性 2 1引言及预备知识 近年来，用上下解办法研究的奇异边值问题比较多见，如文献【1 0 ，1 4 ，1 7 都取 得了很好的结果本章考察下列奇异四阶微分方程多点边值问题： l 牡( 4 ) ( t ) = x f ( t ，乱( t ) ) ，0 t 0 为参数，c ( ( o ，1 ) ( o 一。) ，【0 ，+ 。) ) ，可能在t = o ，芒：1 ，u ：0 处有奇异，0 a 一2 l ，夏 o ，+ o 。) ，笛20 4 0 则称u 为s b v p ( 2 1 1 ) 的正解， 若对某个a , s b v p ( 2 1 1 ) 有正解u ，则称入为特征值，相应的，u 称为s b v p ( 2 1 1 ) 的特征函数 令 g ( t , 8 ) ： “1 一s ) ，o t s 1 【s ( 1 一亡) ，0 墨s t 1 h ( t ，s ) = v ( t ，s ) + t ( 1 一锄& ) 一1 啦g ( & ，s ) 0 t ，s 1 易知：a ( t ，s ) ，h ( t ，s ) 分别为下列边值问题的g r e e n 函数 总轨。 焉巍归纷啦， 注2 1 1 显然o ( t ，s ) ，h ( t ，s ) 有下列性质： ( i ) v t ，s 【o ，l 】，t ( 1 一t ) 4 1 一s ) a ( t ，曩) t ( 1 一t ) ，a ( t ，s ) 4 1 一s ) ( 税) g ，s ) 墨日 ，s ) s ( 1 一s ) + 鞍 s ( 1 一s ) 蒜m - - 2 + s ( 1 一s ) 1 7 山东师范大学硕士学位论文 2 i 彘s ( 1 一s ) = a s ( 1 - s ) ( 2 j 七) 其中 a2 f 丽 1 一f ：2 j 2 锄 定义2 1 2 若函数妒( ) c 2 ( 【o ，1 】，【0 ，+ 。) ) nc 4 ( ( o ，1 ) ，【0 ，+ 。) ) 满足： l 妒( 4 ) ( t ) m ( t ，矽 ) ) ，0 t 1 妒( o ) 0 ，矽( 1 ) 0 ， 1 妒”( o ) o ，妒”( 1 ) 啬2 啦妒”( & ) ； 则称妒( 亡) 是s b v p ( 2 1 1 ) 的下解 注2 1 2 上解可以类似定义。只需要将上式诸不等式反号，若存在s b v p ( 2 1 1 ) 的 下解妒( t ) 上解( t ) 满足妒( t ) ( t ) 则( 妒( t ) ，( t ) ) 称为s b v p ( 2 1 1 ) 的一对上下 解 弓i 理2 1 1 若0 o 6 ，z c ( 【口，6 】，r ) n c ( ( n ，b ) ，r ) 且z 7 ( t ) c ( ( o ，6 ) ，r ) 满足： m - - 2 z ( 口) o ，z ( 6 ) 啦z ( & ) ，z ”( t ) o ，v 亡 口，6 】 i = l 则有： z ( t ) 0 v t 【a ，6 i 证明令 z ”( 孟) = - h ( t ) ，t ( 口，6 ) ，z ( 口) = r l ，z ( 6 ) 一吼z ( 已) = r 2 i = l 贝0 显然有h ( t ) 0 ，v t ( a ，6 ) ，r l 0 ，r 2 0 令 绯) ：卜嚆b - t n + 目t - a2 】，蚓吼6 l 洋矗江1 ，2 ，册- 2 lx ( 0 ，t = & ，i = 1 ，2 ，m 一2 则显然t & 时，可”( t ) = z ”( 亡) 且 m - 2m - 2 矽( 口) = z ( 口) 一r l = o ，( 6 ) = z ( 6 ) 一r 2 = 毗z ( & ) = 毗矽( 已) i