（基础数学专业论文）利用有限域上酉对合矩阵的标准型构作cartesian认证码.pdf

摘要 本本文利用有限域上的一类特殊的酉对合矩阵的相似标准型构作了一个笛卡儿认 证码并计算出该码的所有参数。进而，假定编码规则按照统一的概率分布所选取，该码 的成功伪造与成功替换的最大概率毋和吩亦被计算出来。 关键词：酉矩阵；酉对合；有限域； c t c s i a n 认证码 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，o n ec o n s t r u c t i o no fc a r t e s i a na u t h e n t i c a t i o nc o d e sf r o mt h en o r m a l f o r mo fu n i t a r yi n v o l u t o r ym a t r i c e s0 v e rf i n i t e6 e l d sa r ep t e s e n t e da n di t s8 i z ep a r a m e _ t e r sa r ec o m p u t e d m o r e o v e r ，a s 8 u m et h a tt h ee n c o d i n gr u l e sa r ec h o s e na c c o r d i n gt oa u n i f o r mp r o b a b i l i t yd i s t r i b u t i o n ，t h eba n db ，w h i c hd e n o t et h el a r g e s tp r o b a b i l i t i e s o fas u c c e s s f u l i m p e r s o n a t i o na t t a c ka n do fas u c c e 8 s f u ls u b s t i t u t i o na t t a c kr e s p e c t i v e l y o ft h c s ec o d e sa r ea l s oc o m d u t e d k e y w o r d s ：u n i t a r ym a t r i c e s ；u n i t a r yi n v 0 1 u t o r y ；矗n i t e 丘e l d ：c a r t e s i a na u t h e n t i c a t i o nc o d e s i i 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究 工作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致 谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果， 也不包含为获得东北师范大学或其他教育机构的学位或证书而使 用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已 在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：孟遣日期：2 翌9 ：兰l 学位论文作者签名：寸冱 一日期：2 d 垒、! 上 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解东北师范大学有关保留、使用学位 论文的规定，即：东北师范大学有权保留并向国家有关部门或机 构送交学位论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人 授权东北师范大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数 据库进行检索，可以采用影印、缩印或其它复制手段保存、汇编 学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：盟指导教师签名：趔 日 期：2 盥堑! ，均日期：鲤! ：圣2 。 一| 学位论文作者毕业后去向： 工作单位 通讯地址 电话： 邮编： 引言 在人类文明的早期，人们就已经知道利用信息与信息传递等手段来实现某些目的 要求，如古代的烽火台，就是用烽火来传递外敌入侵的信息但是，大量信息的运用还 是在有线无线电通信产生以后在2 0 世纪初，信息论开始进入早期酝酿期，为了提 高通信的质量和效率，人们往往从物理与数学两个不同的方面来考虑。在物理方面主 要研究与改进通信的物理手段与条件，如不| 可通信手段( 如有线、无线通信) 的采用， 发射与接收设备的改进，波段的选择与信噪比的提高等但在物理、机电技术改进的司 时，人们发现数学理论与工具的使用变得十分重要，许多阿题甚至是根本原理性的，对 通信中的许多同题，如果没有数学的描述就无法说明。从1 9 世纪到2 0 世纪4 0 年代， 信息论的一些基本问题开始形成 由于生产技术的需要，以及诸如试验设计与纠错码这样一些相近学科的发展，为组 台设计理论的发展提供了强大的推动力，近2 0 多年来，组合设计这一分支正处于迅速 成长时期，不仅积累丁大量的材料，而且逐步形成了以平衡不完全区组设计为主线，将 各种类型的组合设计加以统一处理的理论体系，1 9 8 5 年以来，组合理论与码和密码的 联系也正在受到越来越多的关注。 到丁2 0 世纪7 0 到8 0 年代，信息论处于理沧发展期由于香农理沧的阐述与通信 技术的发展，信息论的研究范围日益扩大，这一时期发展的主要内容在率失真理论与 多用户信息论方面，率失真理论实际r 是种在有允许误差下的信源编码理论，浚理论 刊8 0 9 0 年代戚为数据压缩技术的理论基础。多用户信息论的早期崽路是由香农提 出来的，到7 0 ，8 0 年代得到迅速发展，成为这一时期信息论研究的一个主流课题， 各种不同类型的多用户信源信道模型被提出，许多相关的编码定理被证明这些模型 与当时的微薄与卫星通信模型密切相关，当时的微薄转摇、通信卫星与广播卫星模型正 与这些模型符合， 由于一些重要的码类常常与某种类型的组合设计有关有些密码问题的理论分析 也涉及某些组合设计，所以设计和码、设计和密码的相互联系近年米受到了特别的关 注。组台设计理论主要讨论各种类型的组合设计的性质、存在性，构造方法及相互关系 等问题设计的构造方法基本上可分为两类，即直接构造及递推构造。利用有限几何构 造设计及利用有限群构造设计是主要的构造方法。差集及混差法就是利用有限群构造 设计的方法作为组合学的一个分支，设计同题的研究时常要用到组合计数理论中的 结果及图论中的一些相关概念，并且，还需要有限群、有限域、有限域上的向量空间及 射影空间等代数和几何的概念和结果作为工具随着计算机应用的进一步普及以及信 息科学的进一步发展，离散数学的重要性将越来越多地被人们所认识。组台设计乃至组 合学作为离散数学的重要部分将有着光明的发展前景。 台学作为离散数学的重要部分将有着光明的发展前景。 1 基础知识 关于典型群的研究，是华罗庚教授在2 0 世纪4 0 年代开创的。其特点是在几何背景 的指导下，运用矩阵的方法研究典型群。2 0 世纪中叶取得了极为丰硕的成果，主要汇集 在华罗庚，万哲先 2 】这部专著中。随着典型群研究领域的逐步扩大，万哲先与他的学生 和合作者们对有限域上典型群几何学的理论和应用作了深入的研究，其应用所涉及到的 内容有；结合方案与区组设计，认证码，射影码等。其主要的研究成果收录在 1 ，3 里。 由于计算机信息技术发展要求，关于认证码的研究已经全面展开。万哲先，游宏， 南基洙及其学生们在这方面做出了许多具有代表性的工作4 9 。本文的主旨是利用酉 对合矩阵的相似标准型来构作一个c ”t 鹤i a n 认证码。即设( 吾；) 为一酉对合矩 rn 、 、7 阵，将其做酉相似变换，得到标准型，l ：! l ，由此标准型的计数定理，构作一个 uj c a r t e s i a n 认证码，并计算出其全部参数。 在本文里，我们用z 表示q 2 个元素的有限域，q 是一个素数的幂：有一个 二阶自同构： 这个自同构的固定子域是r 定义1 1 【3 只。上的n n 矩阵日叫做埃尔米特矩阵，如果霄= h 定义1 2 【3 l 设日是。的n n 非奇异的埃尔米特矩阵域最z 上的n n 矩 阵t 称为对于h 来说的酉矩阵，如果满足t h f = 日，其中h = ( ，：，。；) 或者 日 注1 1 对于上述定义中的日，本文只讨论日 掣) 的情况 定义1 3 一个酉矩阵t 称为酉对合，如果有r 2 一j 。 2 2酉对合矩阵的相似标准型及其计数定理 下面的定理给出了一个酉矩阵是酉对合的充分必要条件。 定理z ，酉矩阵丁= ( 竺暑) 是酉对合，其充分必要条件是 ( 昙暑) = ( 琴要) f 21 ) 证明由于t 是一酉矩阵，故有t h ，= 日，其中h 一( ，巴。i ) 因此 = ( 品等) ( ；) ( 一) = ( 琴；) 所以丁是酉对合，即丁= 丁_ 1 当且仅当( 2 1 ) 式成立 定理。z 。上全体酉矩阵集合巩。c h ，中的一对合t = ( 言昙) 酉相似于以 ( ；) 其中j = 1 ，1 ，一1 ，一1 = ( m ，n ) ，此处( m ，n ) 作为一种记号表示由m 个1 和n 个一1 组成的对角形矩阵确切的说，有p 巩。( h ) ，使得 一= ( ：；) 仁z ， 证明因为t 的形式为r = ( 吾昙) ，故a 为可逆矩阵，且有t 2 = ，有a 2 = ， ( 言，) ( 吾昙) ( 害- ) = ( ；) 取p = ( 苫者- ) 删一1 = ( ；) 定理成立 得 于是 定理。3 满足关系式p ( ；) p = ( ；) 的酉矩阵p 的个数为 z mz n ( q 2 一( 一1 ) 4 ) q “( 2 “1 n ( 矿一( 一1 r ) ) q “( 2 “一1 ) 其中( 2 m 十2 n = 2 一) ( ii 表示矩阵的个数) 证明根据( j ；) 的形状，将p 分解为尸= ( 置：置：) 。则由 p ( ；矿1 = ( ；) ( 笔：磊：) ( ；) = ( ；) ( 竺：竺：) fp 1 l j = jp 1 1 jp 1 2 j = jp 1 2 ip 2 1 j = j 马1 【p 2 2 j = jp 2 2 奠) + n = 吐将b t 分解为只，= ( 刍：舅：) ，由只t j = ( 刍噱) ( 台三) = ( 台户。) ( 2 耻( 1z 。) b 。= ( 等2 差：) ，b - 一( 名1 差。) ，岛z = ( 等2 差： p = ( 霉：曼：害i 主! ， k 0 ，、 = 得 ， ， 令 口= _ 再 j 则有 及 又由p 为酉矩阵，则p 日声= 日，得到 可以得到 0 d 1 2 z i 7 + d 1 l i g 0 d 2 2 z i 7 + d 2 1 z 署 a 1 2 ：砭- ，+ a l l ：i 丢 o o d 1 2 面_ ，+ d 1 l 面暑 a 2 2 j i 一，+ a 2 l 万一， o ( ； ：) a 1 1a 1 2 i 锄a 2 2 。 及 d 1 1 d 1 2 id 。d 。 o d 2 2 蔚+ d 2 ，蔚 为两个独立的酉矩阵故p 为两个独立的酉矩阵的直接和，于是p 的个数为 p j = 1 巩。( 日。) i i 巩。( 乓。) j ：螽( q t 一( 一1 ) t ) q 掣i i ( 矿一( 一1 ) ) q 掣 ；= l j = l 2 m ( 矿 z = l 蔚 蔚 a a + o + o 石 蔚 挖 弛 a a ，。 0 ，0 = = l | = 石砑耐砑 a a 山几 + + + + 蔚蔚耐蔚 a a 也如 ，_-_，cli_【 o ，0 一 l | = | | 耐可蔚菘研现现仍 + + + + 蔚蔚蔚蔚现c 宇嘞 ，、 n2n+一m2m gr l 一一 j q h 阻 l 一 3c ”t e s i a n 认证码的构作及相关参数的计算 在信息的传输和存储中，安全是至关重要的。一般说来，信息系统的安全，是指保 证信息在系统中的保密性，完整性和认证性。保密性，即使非授权人不能提取系统中的 信息，通常用密码的方法来解决这一问题；完整睫，即表示在有干扰的条件下，系统保 证能恢复接受到的信息和原来发送的信息一致，这常借助于纠错码来完成；认证性， 即接受者要能够识别和确认信息的真伪，防止信息被敌方篡改，删除和伪造等。认证 是防止敌方这些主动攻击的重要技术，而认证码是解决信息认证的一种方法，它是由 g j s i m m o n s 首先提出的。 定义3 1 1 】设s ，e ，和m 是三个非空的集合，：s e ，m 是一个映射， 它满足： 1 映射，是满射； 2 对任意的m m 和e e ，如果存在一个s s 使得，( s ，e ) = m ； 则这样的s 是被m 和e 所唯一确定，我们称四元组( s ，e ，m ；，) 是一个认证码 在一个认证码( s ，e ，m ；，) 中，s ，e 和m 分别称为信源集，编码规则集和信息集， ，称作编码映射对s s ，e e ，m m ，如果m = ，( s ，e ) ，则称信源s 在编码规则 e 下加密成信息m ，简称m 包含编码规则e ，也说s 是相应于信息m 的信源。基数 s l ，f e f ，1 m i 称为这个码的参数。 定义3 2 m 1 】设( s ，e ，m ；f ) 是一个认证码，如果对任意的m m ，总存在唯一的 s s ，使得，( s ，e ) = m ，其中e 是包含在m 中的任一编码规则，则称这样的认证码为 c a r t e s i a n 认证码 下面我们将利用有限域上酉对合矩阵的标准型构造一个c a r t e s i a n 认证码 。表示有q 2 个元素的有限域，q 2 ，蚝。2 。( 。) 表示所设的特殊酉对合矩阵构 成的集合 。( 。) 表示有限域b 。上的2 v 阶的酉矩阵的集合 令 = t c ( ；) ，。i j = z ，一，一- ，一，一 = c m ，n ， g = ( 巩。( z ) ，。( 。) ) = ，( 玛z ) 巩，( 。) 这里需要注意的是， g 当中的前后两个酉矩阵集合中的两个酉矩阵是相同的 6 令 我们如下定义认证码； s = ，m = 笔。2 ，( 。) ，e = g 因为域z 上的任一个z ”z ”阶非零酉对合( 吾；) 在酉矩阵的相似变换 下，都相似于n 中的某一个矩阵标准型，且这种变换下的标准型是唯一确定，所以我 们定义的映射f 是满射，并且满足c a r t e s i a n 认证码定义中的其它要求 下面计算相关参数 定理3 1 如上定义的认证码的参数例，l e i ，f m f 分别为 s = p 一1 e l = i 巩，( 日。) i = n ( g i 一( 一1 ) 4 ) ”1 m 2 n ( 一1 ) 。) q m ( 2 m 一1 ) ( 矿一( 一1 ) j ) q “( 2 ”一1 j = 1 证明显然 f s l = 一1 ， 而对于集合e 中的相同的两个酉矩阵，只需求出一个酉矩阵的个数，则 吲= i 巩。( 。) l = ( 矿一( 一1 ) 。) g ”( 2 ”“， 给定的酉对合矩阵( 吾昙) 可化为标准型( ：；) ，且( ：；) 在定理。s 中的 酉矩阵p 的作用下保持不动，故此 1 。( 。) i 吲 2 ” 兀( 矿 # = l 2 m 兀( q 4 一( z = l 7 “ 巩 g玎 m 一 一 e 0 艚 s 0 ， 定理3 2 设m m ，则属于信息m 的编码规则的个数为 ( 矿一( 2 n 1 ) 2 ) 旧 ，= l 证明设m 是一个信息，即m m ，可令p = ( ：；) 是与m 相对应的信息 源，则属于m 的编码规则的个数是满足方程 p 矿= m 的解( u ，矿- 1 ) 的个数，其中矿巩，( 日z ) 由前面的化简的过程，知道至少有一个 ( x ，x - 1 ) 巩，( z ) 巩。( 。) ， 使得 ( x ，x - 1 ) = m ， 故有 x 一1 矿p u 一1 x = m a = ( u u _ 1 ) u p u 一1 = m ) b = ( x ，x - 1 ) x p x = m 定义a ，b 之间的映射， ：a b ( u u 。) 一( x _ 1 u u _ 1 x ) ( x ，x 。) 为一组固定解，则妒为既单又满的映射，则属于信息m 的编码规则的个数 等于吲，即满足b 集合的矩阵对个数经过变换，只需要计算x p x _ 1 = p 的个数， 此由定理2 3 ，可以得到 | ( x ，x 一1 ) f = n ( 矿一( 一l r ) ( 矿一( 一1 尸) q ”2 ”一1 + “2 ”一1 ) 定理3 3 设m 和m 。是两个不同的信息，且有共同的编码规则属于m 。和m 2 则属于1 和m 。的编码规则的个数为 2 m 】 i m 。if 巩( 。) ll 巩。f = ( 矿一( 一1 ) 4 ) q m l 2 ”1 1 z = l 2 ( m 2 一m 1 ) 2 n 2 ( 矿一( 一1 ) 。) g ”2 ( 2 1 8 证明设m ，和m 。是两个不同的信息，令日= ( ；? ) = c m ，n - ，与b = ( ：；) = c m z ，n z ，是分别与m - 和m 。对应的信息源，且规定m - m 。，则所求的 属于m - 和m 2 的编码规则的个数为满足下面矩阵方程的解的个数，其矩阵方程为： 妻嚣：窆三( 础_ 1 ) 地( 引池( 引 淼：篙 x = ( 蔓：髦) ， x ，- = ( 1 三。) ，墨。一( 名2 ：。) ， 恐，= ( 1 差。) ，恐。一( 名2 差。) 且由定理。s 知道，( 龛：三芝) 与( 芑：舅兰) 均为可逆的酉矩阵则有 x p x = ( 羔：蔓：) ( ：；) ( 笔：菱：) _ 1 尥l 尥2 o ，恐1 尥2 = ( 吾吴) ， ( 意凌) ( ：弓) ( 要要) = ( 吾晏) fx i l ，7 恐2 + x 1 2 j 7 尥1 = 4 ，( 3 1 ) j 恐1 j 7 ) 石+ 蜀2 ，蔚= 刁( 3 2 ) 1x 1 1 l ，7 ) 石+ x 1 2 ，j 胃= o( 3 3 ) i 弘，j ，叉吾+ x ，j ，) 瓦+ ：of 3 4 1 9 令 其中 注：其中，。， p。 o 1 ，、 批o 也j 八m 2 蜘2 “j m 2 一m l 0 a 1 1 0 o d 1 1 a 1 2 0 o d 1 2 羔。) ) ( 名 ) ( 名 未) + o 蔚j 2a 即 a 1 1 j g + a 1 2 j 曰 o 、 o d l l 面丢+ d 1 2 面五7 一“ 则由冬的可逆性，、需要a n j 曩+ a ，。压- ，和d 。z 露+ d 1 2 z i 均可逆而上面 已经知道( 龛：盖薹) 为酉矩阵，则由酉矩阵满足的条件，有a ，瓦7 + a 。石：， 知其已经可逆，故此条件满足，此处仅需要d 。- i 露+ d 。i 胃可逆 再由( 33 ) ，( 3 4 ) 式，可以得到，如下的两组等式 a 1 l 万i + a 1 2 再0 ：o 1a 2 l j i 孑+ a 2 2 j ：o 及 id 1 l 1 石7 + d 1 2 面i o id 2 1 万i + d 2 2 1 葛7 ：o 又由( 龛：三芝) 为酉矩阵，则与a 有关的几组关系式均成立 则只需要满足 而我们由前面的讨论，已经知道( 舅芸暑笔) 是酉矩阵 1 0 ( 3 5 ) 得 式则 剐一 k 。 阽 盯 碍。碍。 ， 、 oo ， 0 o 逆= = 可蔚藤蔚 阢玩巩 + + 十 耐瑟豸 研晚阢 ，i_jcl_ll 故由酉矩阵满足的条件及( 3 5 ) 式，可以得到，只须满足如下的等式即可 d u = _ d l l d 1 2 = d 1 2 d 2 1 = d 2 1 d 2 2 = d 2 2 f 3 6 f 3 7 f 38 f 3 9 因为与任何的可逆矩阵相乘仍然可逆，因为若原矩阵m 可逆，则d e t m o ，而 d 酣( m ) = 一d e t m o 在此设 。，- = ( 复：笔：) ，。- 。= ( 笺：戛：) ，。- = ( 盖：复：) ，。z 。= ( 乏：瓮：) 则由( 3 6 ) 式得 ( 主：复：) ( k i 一殳。) = ( k 百一羔。) ( 复：复：) 则得到 ，、 b - 。2 。，b 。= 。，。- - = ( 1 兰。) ， 同理得到 。- 。= ( 1 曼。) ，。t = ( 1 三。) ，。z = ( 1 三。) 所以由( 3 5 ) 式和上面得到的d 1 l d 1 2 ，d 2 1 ，d 2 2 的形式，我们得到如下的两组等式 fb 。可+ q 。蔚= o ie 1 l 可+ f 1 1 蔚= o 1b 1 1 可+ g 1 蔚= ， if l l 蔚+ e l l 可= j 及 通过计算可得 及 q 2 j 日2 2 = 0 f 2 2 f 1 2 2 。= o q 2 岛2 = ， e n g 云= l 暑：) 砑霹蔚霹嘞如嘞瞄 ，j、-l 、， 锄如 2 2岛岛 ， 为两个酉矩阵则根据定理23 的讨论可得属于m 。和m 。的编码规则的个数为 2 m 1 j 巩。，ii 巩( 。一。，) i 巩。l = ( 矿一( 一1 ) 。) q ”( 2 “。 下面计算岛( 模仿攻击概率的最大植) 和b ( 替换攻击概率的最大植) 定理3 4 模仿攻击概率的最大值为 南( 矿( 1 ) ；) 2 i ”( 矿一( 一1 ) ，) q ( 一凇( 一) 1 1 n ( 矿( 1 ) 2 )兀( 矿一( 一1 r ) q ( ”一1 ) 障p 一1 卜1 b = 里生一 兀( g 副一1 ) q ”( ”一1 ) 证明b = 黝坚丛垒掣，故只须求出分子的最大值即可( o m ”) 令 2 m 2 n ，( r n ) = n ( q 一( 一1 ) 。) 扩2 “一1 n ( 矿一( 一l p ) g ”2 “一”，( m + n = ”) o = 1 j = 1 由f ( m ) 的形式，可判断出当m = 1 或者是m = v 一1 时，f ( m ) 的值最大，且两处的值 是相等的此时b 的值是最大的，最大值为 r = 2 似一1 1 ( 一1 ) )兀( 一一( 一1 p ) q p 一1 ) 窿p 一1 ) 一1 ，= l 定理3 5 替换攻击概率的最大值为 证明由于 p s = 1 ) q 一( ”一1 2 ( 一2 )2 。兀。( 旷一( 一1 ) ) g ( ”一2 ) 【2 ( ”一2 ) 一1 】疗( q j 一( 一1 尸) g o = l j = 1 2 f v 一1 1 n ( 矿一( 一1 ) 。) q ( v 一1 ) 【2 ( v 一1 ) 一1 ；= l ( q + 1 ) ( q 2 一1 ) 耻龋咖。差蒯 1 2 d i 皇皿黔 蒜r f她m吼 其中 ( m l + n l = ，m 2 + 扎2 = ，o m 1 m 2 p ，o 礼2 n 1 ) 分子表示同时满足信息m 1 和m 2 的编码规则的个数则 b = 龋咖。监糍掣 ：l 丝唑二剑! 丝型 f 巩。f 2 “行”( g 。一( 一1 ) 。) q ( 一m 1 ) 【2 ( 一一圳霄( 矿一( 一1 ) ，) g 吲2 一1 ) 仁：l j = 1 经过相同的讨论，可得到当m l = l ，n l = 一1 ，m 2 = 一1 ，n 2 = 1 时b 最 大且最大值为 2 f p 一2 )2 、。( g 。( 一1 ) 。) g p 一2 ) 【2 p 一2 ) 一1 】疗( 矿一( 一1 户) q 一丐百石万杀i n ( 旷一( 一1 ) ) q ( ”1 ) 。) 。】 ( q + 1 ) ( q 2 1 ) 至此，如果我们假定上面构造的认证码的编码规则按照统一的概率分布所选取，则 前面我们构造的c a r t e s i a n 认证码的参数为 f s f = 一1 e i = i 巩，( e z ) = n ( 矿一( 一1 ) 4 ) g ”( 2 ”1 m p i p s 2 n ( 一1 y ) q m ( 2 m 一1 ) 兀( 矿一( 一1 ) j ) q “( 2 ”一1 ) j = 1 2 f v1 1 ( 一1 ) 2 ) 兀( 矿一( 一1 ) ) q ( “一1 ) 2 p 一1 ) 一1 】 j = l 2 v n ( q 孔一1 ) q v ( r 一1 = 1 ( g + 1 ) ( q 2 1 ) ( q 2 ( ”2 ) + 1 ) ( q 2 ( ”一1 ) 一1 ) 9 4 ”一8 1 3 参考文献 【1 】zxw a n ，g m e o 叫0 ，c 础3 2 c 。f9 m 叩s 删p r n 2 把加j 如，s t u d e n tl i t t e m t 山，c h a r tw e l l b r a t tl u n ds w e d e n1 9 9 3 2 1 华罗庚，万哲先，典型群，上海科技出版社，1 0 6 3 f 3 1 万哲先，戴宗铎，冯绪宁，杨本傅，有限几何与不完全区组设计的一些研究，科技 出版社，1 9 6 6 4 7z x 矾h ，c b s t 删c # 口n 西c k ，t s s m 。“旃e ”巧“彻c 。d 黜加m “o 把叫盯舳册“7 弘d e _ 西g 础，c o d e sa n dc r y p t 。g r a p h y 2 ( 1 9 9 2 ) ，3 3 5 3 5 6 同z x w a i l ，凡州 e r 凸n s t c t ；d n s 吖幽n e s i o n 删 帅梳m t o n d e s 加ms 御f b c 2 c9 e o m 曲，n o r t h e a s t e mm a t h e m a t i c a lj o u r n a l ，8 ( 1 9 9 2 ) ，4 2 0 mzx w a n ，bs m e e t s ，a n dpv a r 0 0 s e ，0 n 曲e 删t t l 上c “o “吖n 船i o n 叫地e 7 i o o n c 甜e so e rs 掣7 印2 e c t i c 印n 托，i e e en a n s a c t i o n 8o nh l f 0 i m a t i 。t l l e o r y ，4 0 ( 1 9 9 4 ) ，9 2 0 9 2 9 7 h 、，0 l l y g a 0 ，舶m en c 叫c 。船m c o o n s 盯f f e s t n nn “扎e n t i c 伽nc o d e s 加m8 m p 2 z c 口m r 蜘s y s t e m 8s c i m a t h s c i ，7 ( 1 9 9 4 ) ，3 1 7 - 3 2 7 f 8 h y o u ，f + z h o u ，啪t 忍c 觑o n 盯( h f e s i 叭n n 执e n t o t 。nc 。出s 加m p s e “出s y 唧k “8 口e o m e r 弘j i n f o r mo p 恤i ls c i ，1 6 ( 1 9 9 5 ) ，1 1 3 _ 1 2 5 | 9 1h y o u ，j zn a i l ，h 螂n 口r t 舳f 如m0 ，m n t 九c e 5 。u r 正n i 把正e 协抽n s t 一( k 竹e s d n “u 5 州z c o 舶nc 删e s ，jm a t hr e s e 砌a i l de x p o s l t l o n 3 ( 1 9 9 b j ，3 4 1 3 4 6 1 0 】n j a c o b s o ，b 5 ；c 口崎e