（基础数学专业论文）超空间拓扑和连续选择函数.pdf

山东大学博士学位论文 超空间拓扑和连续选择函数 姜楠 ( 山东大学数学与系统科学学院，山东，济南2 5 0 1 0 0 ) 中文摘要 超空间的研究起源于将由拓扑空间x 中闭子集组成的集族拓扑化的想 法而在研究过程当中，我们主要讨论的是由空间x 中非空闭子集组成的 集族厂) 最早在y ( x ) 上定义拓扑的是f h a u s d o r f f 他在论文【8 1 中定 义了有界度量空间x 上的超空间的度量( 后来被称为h a u s d o r i t 度量) ，假设 a ，b y ( x ) ，, o h ( a ，b ) = m a x s u p p ( n ，b ) ，s u p p ( b ，a ) ，其中p 为x 上的 度量但是由于其定义的局限性，关于h a u s d o r f f 度量的研究并不广泛1 9 2 3 年，l v i e t o r i s 在其论文 1 6 】中定义了一般拓扑空间x 上的超空间拓扑， v i e t o r i s 拓扑( 也被称为有限拓扑) 而在1 9 5 1 年，e m i c h a e l 在他奠基性的文 章。t o p o l o g i e so ns p a c e so fs u b s e t s ”【6 】中给出了v i e t o r i s 拓扑的基元素的形 式并且定义了超空间上的连续选择函数随后，在1 9 5 6 年，e m i c h a e l 又发表 了一系列关于连续选择函数的论文【2 ，3 ，4 】这标志着对连续选择函数研究的 正式开始在此之后，拓扑学家们在超空间上定义了各种各样的拓扑结构，并 且研究了相应于各种拓扑的连续选择函数与空间x 拓扑性质之间的联系随 着对连续选择函数研究的深入和系统化，选择理论逐渐发展成为一般拓扑学 中的独立分支 对于超空间的研究主要集中在下面两个方面； ( 1 ) 空间x 的拓扑性质与超空间y ( x ) 的拓扑性质之间的关系； ( 2 ) 如果空间x 是广义度量空间或者是具有某些特殊性质的拓扑空间， 则超空间厂( x ) 是否具有同样的性质 其中一些基本的拓扑性质，如紧性、连通性和分离性公理等，e m i c h a e l 在论文【6 】中进行了讨论并得到了相应的结果在文中，e m i c h a e l 还引入连 续选择函数的定义并研究了连续选择函数和空间x 的一些拓扑性质之间的关 系1 9 5 6 年，e m i c h a e l 【2 ，3 ，4 】继续了他对连续选择函数的研究工作，特别 山东大学博士学位论文 是连续选择函数的延拓问题他将之称为“选择函数问题”在这之后，对于 选择函数和空间x 拓扑性质之间关系及选择函数的延拓问题逐渐成为主要研 究方向 最近，s g a r c i a - f e r r e i r a ，v g u t e v 和t n o g u r a 2 0 0 6 1 2 4 继续了m i c h a e l 在选择函数延拓方面的工作，给出了选择函数从五( x ) 到 ( x ) 延拓的一个 条件 在第一章中，我们主要研究了连续选择函数和拓扑空间x 之间的联系， 其主要的结果分为下列几个方面首先在第1 3 节中我们讨论了空间x 的连 通性和弱即连续选择函数之间的关系，证明了若空间x 上有且仅有一个若 连续选择函数，则空间x 为连通空间减弱了t s u g u n o r in o g u r a 和d m i t r i s h a k h m a t o v 相关结果的条件在第1 4 节，我们指出了 3 0 ，t h e o r e m3 1 的 证明中的一个错误，并给出了耜应的正确证明在第1 5 节中，我们发展了 g i u l i a n oa r t i c o ，u m b e r t om a r c o n i 和j a np e l a n t 关于零选择函数和基数函数 关系的结果，证明了若空间x 上存在印连续零选择函数，则空间x 的包腔 度和x 的基数相等 在第二章中，我们主要讨论了若连续选择函数在超空间中的连续延拓首 先在第1 2 节中引入了，一最大集和，一最小集的概念在第1 3 节中，研究 了，一最大集和，一最小集的存在性及基本性质。在1 4 节中，我们证明了本 章的主要定理，给出了弱连续选择函数在由空间x 上所有有限子集组成的集 族上连续延拓的一个条件，推广了s g a r c l a - f e r r e i r a ，v g u t e v 和t n o g u r a 的结果1 5 节中的主要结果则是1 4 节中主要结果在发散遗传仿紧空间上的 应用，对v ，g u t e v 和t n o g u r a 的问题 2 8 ，q u e s t i o n5 做出了部分解答，并 给出了一个反例 关键词；超空间；v i e t o r i s 拓扑；f e l l 拓扑；( 弱) 连续选择函数；零选择 函数；基数函数；连续延拓；发散空间 i i 山东大学博士学位论文 h y p e r s p a c et o p o l o g ya n d c o n t i n u o u ss e l e c t i o n s j i a n gn a n ( s c h o o lo fm a t h & s y 8 s c i ，s h a n d o n gu n i v ，j i n a n2 5 0 1 0 0 ，p r c h i n a ) a b s t r a c t t h es t u d yo fh y p e r s p a c ei sf r o mt h ei d e ao ft o p o l o g i z i n gt h ec o l l e c t i o no f c l o s e ds u b s e t so fas p a c ex w h e nt h e s ec o l l e c t i o n s8 1 - et o p o l o g i z e d ，t h e ya r e c a l l e dh y p e r s p a c e so fx a n dt h em o s t l yd i s c u s s e dc o l l e c t i o ni st h ef a m i l yo fa l l n o n - e m p t yc l o s e ds u b s e t so fs p a c ex ，d e n o t e db y ，( x ) t h ef i r s ts t e pt o w a r d t o p o l o g i z i n g ，( x ) w a st a k e nb yf h a n s d o r f f 【8 】，w h od e f i n e dam e t r i cp _ l j r o n 笋( x ) ，l a t e rc a l l e dt h eh a n s d o r f fm e t r i c li nt h ec a g ew h e nxi sab o u n d e dm e t r i c s p a c e a s f o l l o w s ：f o r a ，b ，僻) p n ( a ，b ) = m a x s u p p ( a ，b ) ，s u p p ( b ，a ) ， w h e r epi sam e t t i co nx h o w e r v - e rb e c a u s eo ft h el i m i to ft h ed e f i n i t i o n t h er e - s e a r c hd i dn o tb e c o m ep o p u l a r i n1 9 2 3 ，l v i e t o r i s 【1 6 】d e f i n e da h y p e r s p a z e t o p o l o g yf o ran o r m a ls p a c exw h i c hi sc a l l e dv i e t o r i st o p o l o g y ( o rf i n i t et o p o l - o g y ) i n1 9 5 1 ，e m i c h a e li d e n t i f i e dt h eb a s i cn e i g h b o r h o o d so fv i e t o r i st o p o l o g y i h i sf a m o u sp a p e r ”t o p o l o g i 鹤o ns p a c e so fs u b s e t s ”【6 】a n dh ea l s oi n t r o d u c e d t h ed e f i n i t i o no fc o n t i n u o u ss e l e c t i o no nh y p e r s p a c e s i n1 9 5 6 ，e m i c h a e li nt h e p a p e r s 【2 ，3 ，4 】c o n t i n u e dh i ss t u d yo fc o n t i n u o u ss e l e c t i o n se s p e c i a l l yi nt h ee x - t e n s i o no fc o n t i n u o u ss e l e c t i o n sw h i c hh ec a l l e da s s e l e c t i o np r o b l e m t h e s e p a p e r sm a r k e dt h eb e g i n n i n go fs e l e c t i o nt h e o r y , e m i c h e l sw o r ki n s p i r e dt h e m o r ee n t h u s i a s mo ft o p o l o g i s t s t h e yd e f i n e dv a r i o u st o p o l o g i e so nt h eh y p e r - s p a c e sa n dd i s c u s s e dt h er e l a t i o no fc o n t i n u o u ss e l e c t i o nc o r r e s p o n d i n gt ot h e s e t o p o l o g i e sa n dt h ep r o p e r t i e so fs p a c ex w i t ht h es t u d yo fs e l e c t i o nt h e o r y b e c o m e i n gm o r ea n dm o r ed s e p l ya n ds y s t e m i z e d ，t h es e l e c t i o nt h e o r yg r a d u a l l y b e c o m e sa ni n d e p e n d e n tb r a n c ho fg e n e r a lt o p o l o g y t h em a i nt h e m e si ns t u d y i n gh y p e r s p a c e so fas p a c exa r es u m m a r i z e di n i i i 山东大学博士学位论文 t h ef o l l o w i n gt w op o i n t s ： ( 1 ) t oi n v e s t i g a t ew h a tp r o p e r t i e so fx a r ec a r r i e do v e rt o ，伍) ，c ( x ) o r 2 x ( 2 ) t od e t e r m i n ew h e t h e r 厂( x ) ，c ( x ) a n d2 xb e l o n gt oco rn o ti fx b e l o n g st ocf o rac l a s sco fg e n e r a l i z e dm e t r i cs p a c e so rs p a c e sw i t hs o m es p e c i a l p r o p e r t i e s ， s o m eb a s i cp r o p e r t i e ss u c ha sc o m p a c t n e s s ，c o n n e c t e d n e s s ，s e p a r a t i o na x - i o m sw e r es t u d i e db ym i c h a e l 【6 】a n dh ea l s og a v et h ed e f i n i t i o no fc o n t i n u o u s s e l e c t i o n s a f t e rm i c h a e l sw o r k 2 ，3 ，4 】，t h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nc o n t i n u o u s s e l e c t i o n sa n dt h ep r o p e r t i e so fs p a c exa n dt h ee x t e n s i o np r o b l e mo fs e l e c t i o n s b e c o m et h em a i nr e s e a r c hd i r e c t i o n s r e c e n t l y , s g a r c i a - f e r r e i r a ，v g u t e va n dt n o g u r a 2 0 0 6 2 4 c o n t i n u e d t h ew o r ko fm i c h a e l t h e yg a v eac o n d i t i o nf o rt h ee x t e n s i o no fc o n t i n u o u s s e l e c t i o nf r o m 冗( x ) t o 无何) i nc h a p t e r1 ，w em a i n l yd i s c u s s e dt h er e l a t i o nb e t w e e nc o n t i n u o u ss e l e c t i o n s a n dt h ep r o p e r t i e so ft o p o l o g i c a ls p a c ex t h e r ea r et h r e ea s p e c t so ft h em a i n r e s u l t s f i r s t l yi ns e c t i o n1 3 ，w es t u d i e dt h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nc o n n e c t e d n e s s o fs p a c exa n dc o n t i n u o u sw e a ks e l e c t i o n s a n dp r o v e di fxh a se x a c t l yo n e c o n t i n u o u sw e a ks e l e c t i o n ，t h e nxm u s tb ec o n n e c t e d t h i sr e s u l tw e a k e n e dt h e h y p o t h e s i si nt h er e l a t i v et h e o r e mp r o v e db yt n o g u r aa n dd s h a k h m a t o v i n s e c t i o n1 4 ，w ep o i n t e do u tt h a tt h e r ew a sag a pi nt h ep r o o fo ft h e o r e m3 1 【3 0 】a n dg a v eac o r r e c t e dp r o o f i ns e c t i o n1 5 ，w ep r o v et h a ti fs p a c exh a s c o n t i n u o u sz e r o s e l e c t i o n s t h e nt h ec a r d i n a l i t yo fxi se q u a lt ot h ec e l l u l a r i t y t h i si sa ni m p r o v e m e n to ft h er e s u l tp r o v e db yg i u l i a n oa r t i c o ，u m b e r t om a r c o n i a n d j a np e l a n t 【1 2 i nc h a p t e r2 ，t h ee x t e n s i o no fc o n t i n u o u sw e a ks e l e c t i o ni sd i s c u s s e d i ns e c - t i o n1 2 ，w ei n t r o d u c e dt h ed e f i n i t i o no ff - - m a ) 【i m u ma n df - m i n i m u m i ns e c - t i o n l , 3 。t h ee x i s t e n c ea n ds o m e b a s i cp r o p e r t i e s o f f - m a x i m u ma n d | 一m i n i m u m a r ed i s c u s s e d i ns e c t i o n1 4 ，w ep r o v et h a ti fp xa n dt h e r ee x i s t sac o n t i n - u o u ss e l e c t i o no n 瓦( x 伽) ) ，t h e nt h e r ee x i s t sac o n t i n u o u ss e l e c t i o no nl c ( x ) i v 山东大学博士学位论文 ，r h i sr e s u l ti sa ni m p r o v e m e n to ft h er e s u l to fs g a r c l a - f e r r e i r a ，v g u t e va n d t n o g u r af 1 2 1 i ns e c t i o n1 5 ，w eg i v e8 na p p l i c a t i o no fo u r m a i nt h e o r e mo n h e r e d i t a r i l yp a r a c o m p a c ts c a t t e r e ds p a c e t h i st h e o r e mi s ap a r t i a la n s w e ro i i 2 8 ，q u 鹤t i o n5 1 f i n a l l yw eg i v eac o u n t e r e x a m p l ea b o u t t h em a i nt h e o r e mo f t h i ss e c t i o n k e y ；o r d s lh y p e r s p a c e ；v i e t d r i st o p o l o g y ；f e l lt o p o l o g y ；( w e a k ) c o n t i 肌0 1 1 8 氍蚰c t i o n ：z e r o - s e l e c t i o n ；c a r d i n a lf u n c t i o n ；e x t e n s i o n ；s c a t t e r e ds p a c e v 山东大学博士学位论文 一 a ： ，( x ) ： 矗( x ) n p ： u p ： u ： u l ： 符号索引 集合a 的闭包 空间x 中所有非空闭子集组成的集族 x 中所有基数不大于n 的非空闭子集组成的集族 p 中元素的交 p 中元素的并 第一个可数的极限序数 第一个不可数的序数 v j 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进 行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何 其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本文的研究作出重要贡 献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本声明的法律责任由本人 承担。 论文作者签名： 善筠 日期：堡五! 垒 关于学位论文使用授权的声明 本人同意学校保留或向国家有关部门或机构送交论文的印刷件和电子 版，允许论文被查阅和借阅：本人授权山东大学可以将本学位论文的全部 或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他复制手 段保存论文和汇编本学位论文。 ( 保密论文在解密后应遵守此规定) 论文作者签名：笔画导师签名：己圣立凸日期：幽：! 竺 c h a p t e r1连续选择函数和空间性质 1 1 背景介绍 超空间指的是在由拓扑空间x 中的闭子集组成的集族上定义了各种拓扑 结构而形成的拓扑空间而在这些由拓扑空间x 中的闭子集组成的集族中， 我们主要考虑的是由空间x 中非空闭子集组成的集族，( x ) 最早在y ( x ) 上定义拓扑的是f h a u s d o r f f 他在论文【8 】中定义了有界度量空间x 上的超 空间的度量( 后来被称为h a u s d o r f f 度量) ；假设a ，b y ( x ) ，舳，b ) = m a x s u p p ( 口，b ) ，s u p p ( b ，a ) ，其中p 为x 上的度量但是由于其定义的局 la e a b e b j 限性，关于h a u s d o r l t 度量的研究并不广泛1 9 2 3 年，l v i e t o r i s 在其论文【1 6 】 中定义了一般拓扑空间x 上超空间y ( x ) 上的v i e t o r i s 拓扑( 也被称为有限 拓扑) 1 9 5 1 年，e m i c h a e l 在论文【6 】中对v i e t o r i s 拓扑主要进行了以下两个 方面的研究： ( 1 ) 空间x 的性质与超空间，( x ) 的性质之间的关系； ( 2 ) 如果空间x 是具有某些性质的广义度量空间，则超空间y ( x ) 具有 什么样的性质 在【6 】中，e m i c h a e l 研究了当空间x 具有一些基本性质如紧性连通性 及一些分离性公理时，超空间，) 的性质并且给出了连续选择函数的定义 及选择函数与空问x 之间的一些关系随后m i c h a e l 在论文f 2 ，3 ，4 ，5 】中继续 了他对连续选择函数的研究，其中主要是对连续选择函数的延拓性的研究， 他将之称为“选择函数问题”1 9 6 2 年，j m f e l l 在超空间y ( x ) 上定义了另 外一种重要的拓扑，f e l l 拓扑【14 】在这以后，越来越多的拓扑学家致力于研 究选择函数理论，使得选择理论逐渐发展成为一般拓扑学中独立的分支在这 研究过程中，人们发现连续选择函数和拓扑空间的可序化之间具有很强的联 系而在研究连续选择函数和空间可序化之间的关系的时候，一个很重要的 工具就是由弱连续选择函数定义的空间上的类序关系依靠这种类序关系， 得到了很多重要的结果如紧致空间x 是可序化的当且仅当超空间y ( x ) 上 具有连续选择函数( 【1 3 】) ；连通空间x 是弱可序化的当且仅当存在若连续选 l 山东大学博士学位论文 择函数( 【6 】) 本章将继续这方面的研究，并给出弱连续选择函数和空间连通性 之间的关系如不加说明，本章中的空间都是指h a u s d o r f f 空间 1 2 超空间拓扑及其性质 1 9 2 3 年，l v i e t o r i s 在其论文1 6 1 中定义了一般拓扑空间x 上超空间 y ( x ) 上的v i e t o r i s 拓扑 设x 为拓扑空间，尸( x ) 是由x 上所有非空闭子集组成的集族，即 ，( x ) = scx ：s o 并且s 为x 中的闭子集 我们在，( x ) 上定义的 v i e t o r i s 拓扑具有下列形式的子基； u 一，y + ：u 和y 为空间x 中的开集) ， 其中u 一= a y ( x ) ：anu 口) ，v + = a y ( x ) ：acy ) 则v i e t o r i s 拓扑具有是由下面形式的拓扑基：( v ) = s ，( x ) ：s u y 并且s n v 口 对于任意的v y ，其中y 是空间x 中有限个开子集组成的集族在本章 中记v i e t o r i s 拓扑为 则根据定义我们可以得到下列v i e t o r i s 拓扑的基本性质 性质1 2 1 【6 】若f 为空间x 中的闭集，则 s ，( x ) ：ecf ) 与 s ，( x ) ：e n f 0 ) 是超空间( ，( x ) ，t v ) 中的闭集 性质1 2 2 6 】假设( 巩，沈，) ，( h ，k ，k ) 是超空间伊) ，) 中的基元素，则下列性质成立。 ( 1 ) ( 巩，u 2 ，一，) n ( m ，k ) = ( 仉nk u 2 nk ，nv 矿n ，u n k ，u n k ) ，其中u = u 2 。以，v = u ：。m ( 2 ) ( 巩，) c ( ，k ，k ) 当且仅当u 墨1 u icv = u ：1 k ，且 对于任意的i ，存在j 使得u sck ( 3 ) e l 。( ( ，u s ，u _ ) ) = ( u 1 ，u s ，) e m i c h a e l 在论文【6 】中进一步研究了超空间( 尸( x ) ，t v ) 和空间x 在一些 基本性质，如分离性、紧性等之间的关系 性质1 2 3 6 设x 为拓扑空间，即是定义在超空间，( x ) 上的v i e t o r i s 拓扑则有下列性质： ( 1 ) ( 厂( x ) ，) 是晶空间 2 山东大学博士学位论文 ( 2 ) 若空间x 是正空间，则( y c x ) ， l v ) 是乃空间 ( 3 ) ( ，僻) ，t v ) 是死空间当且仅当空间x 是正则空间 ( 4 ) ( ，( x ) ，即) 是正则空间，当且仅当( ，( x ) ，t v ) 是正则空间，当且仅当 空间x 是正规空间 ( 5 ) ( ，) ，t v ) 是可分的当且仅当空间x 是可分的 ( 6 ) ( 厂( x ) ，即) 是紧致空间当且仅当空间x 是紧致的 ( 7 ) ( 尸( x ) ，t v ) 是紧致的可度量化空间当且仅当空间x 是紧致的可度量 化空间当且仅当( ，暖) ，t v ) 是可度量化空间 因此，由上面的性质( 7 ) 可知若x 为紧致的度量空间，v i e t o r i s 拓扑和 h a u s d o r f f 度量拓扑是一致的类似的，e m i c h a e l 给出了e ( x ) = f 厂) ：f 是紧致1 的拓扑性质和空间x 的拓扑性质之间的关系 性质1 2 4 【6 】设x 为拓扑空间，是定义在超空间，( x ) 上的v i e t o r i s 拓扑c ( x ) = f 厂) ：f 是紧致) 则有下列性质； ( 1 ) x 是h a u s d o r f f 空间当且仅当c ( x ) 是h a u s d o r f f 空间 ( 2 ) x 是s t o n e 空间当且仅当c ( x ) 是s t o n e 空间 ( 3 ) x 是可度量化的当且仅当c ( x ) 是可度量化的 ( 4 ) x 是零维空间当且仅当c ( x ) 是零维空间 ( 5 ) x 是第二可数空间当且仅当c ( x ) 是第二可数空间 但是，对于第一可数性，x 和c ( x ) 并不能互推事实上，存在紧致的第 一可数空间，使得c ( x ) 不是第一可数空间r e s m i t h o n 2 0 给出了c ( x ) 为 第一可数空间的充分必要条件：对于任意的k c ( x ) ，存在由x 中可数个 开集组成的集族y 使得若 巩，巩) 是k 上的最小有限开覆盖，则存在 上的最小有限开覆盖 h ，v ，m ) cy 使得u 銎。y jcu 墨l 阢且对于任意的i 存在j 使得v j c 阢 考虑到紧致性在超空间研究中的作用，1 9 6 2 年，j m f e n 1 4 定义了 超空间上另外一个重要的拓扑，我们称之为f e l l 拓扑在超空间，( x ) 上 定义的f e l l 拓扑具有下列形式的子基； y 一，( x k ) + ：v 为空间x 中的 开集，k c ( x ) ) 换句话说，f e l l 拓扑是由下列形式的基元素诱导的： ( 巩，) = s 芦( x ) ：s u ：1 以并且s n 以0 ) ，其中 以，) 3 山东大学博士学位论文 是由x 中的开子集组成的集族，且x u ：。矾是x 中的紧致子集记f e l l 拓扑为印显然，对于紧致空间x ，t i c = t f 类似的，g b e e r 和r t a m a k i 9 1 证明了f e l l 拓扑具有如下的性质： 性质1 2 5 x 是拓扑空间，( x ) = s x ：s o 并且s 为x 中的 闭子集 ，2 x = f x ：f 为x 中的闭集) 则下列条件等价： ( 1 ) x 是局部紧致空间， ( 2 ) ( 2 x ，印) 是h a u s d o r f f 空间， ( 3 ) ( 2 x ，印) 是完全正则空间， ( 4 ) ( ，( x ) ，t f ) 是h a u s d o r f f 空间， ( 5 ) ( 芦) ，t f ) 是正则空间， ( 6 ) ( 厂( x ) ，印) 是完全正则空间 l h o l a ，s l e v i 和j p e l a n t 1 7 1 证明了下面的定理 性质1 2 6 x 是拓扑空间，( x ) = s x ：s d 并且s 为x 中的 闭子集1 ，则下列条件等价； ( 1 ) ( ，) ，t f ) 是正规空间， ( 2 ) ( ，( x ) ，t f ) 是仿紧空间， ( 3 ) ( ，( x ) ，t f ) 是l i n d e l o f 空间， ( 4 ) x 是局部紧致的l i n d e l o f 空间 1 3 连续选择函数和连通性 正如前面所述，m i c h a e l 【6 】中讨论了拓扑空间x 和超空间厂( x ) 在一些 基本性质上，如紧性、连通性及分离性公理上的关系在这一节中，我们主要 研究连续选择函数和连通性之间的联系 首先我们引入连续选择函数的概念假设口厂( x ) ，则映射，：口一x 称为口上的选择函数当且仅当对于任意的s d 都有f ( s ) s 选择函数 ，：口一x 称为连续的如果，对于口上相对的v i e t o r i s 拓扑是连续的令 五) = scx ：i s l 2 ) ，则五( x ) 上的选择函数，：乃( x ) 一x 称为弱 选择函数 4 山东大学博士学位论文 在论文【6 j 中m i c h a e l 利用弱选择函数定义了一种类序关系“5 。：假设 ，为x 上的弱选择函数，则z ! y 当且仅当f c x ，订) = z 我们称z g 如果 z ! y 并且z y 若b 和c 为x 的子集( 可能为空集) ，我们称b ! c 如果 对于任意的y b 和z c 都有y5z m i c h e l 【6 】证明了下列定理 定理1 3 1 令x 为连通空间，：五) 一x 为弱选择函数，墨是由 ，诱导的类序关系，则下列结论成立； ( 1 ) 对于任意的z x ，l ( x ) 和，( x ) 均为x 中的开集，这里厶= x ：t - z ( 2 ) 为x 上的线性序 ( 3 ) x 上至多存在一个不同的弱选择函数g ：五( x ) 一x 并且由下列形 式定义； ，c t ? ，= z ，夕c t z ，可，。 i ：霎； ：；三： 1 9 9 7 年t n o g u r a 和d s h a k h m a t o v 在论文【2 5 】中继续了m i c h a e l 的工 作，证明了下面的定理 定理1 3 2 2 5 假设x 是局部连通空间，则x 上有且仅有一个连续选 择函数当且仅当x 是连通空间，且x 上的拓扑是由线性序 诱导的，并且 使得t ( 1 ) 若f 为空间x 中的非空闭子集，则f 有一 最小元； ( 2 ) x 为单点集或者x 没有 w 且g ( ( w ) ) co 令u o = o ) ：w n s 0 ，w w ，v o = ( u w ) 口) 则 令“= u v 0 ) ，则有s 似) 易验证对于任意的f ) ，f u a ) ( w ) 则，( 似) ) c 夕( ( w ) ) co 又因为x u 甜= a x u w 为x 中的紧集，为 印连续选择函数 口 1 5 零选择函数与基数函数 在这一节中，我们将讨论零选择函数和一些基数函数之间的关系首先 我们引入我们将要用到的定义在论文【1 1 】中， g a r t i c o 、u m a r c o n i 、 j p e l a n t 、l r o t t e r 及m t k a c h e n k o 给出了下列零选择函数的概念 定义1 5 1 【1 1 】选择函数，：7 ( x ) 一x 被称为零选择函数如果对于任 意的f 厂( x ) ，f ( f ) 为f 中的( 相对) 孤立点 定义1 5 2 空间x 中互不相交的非空开集组成的集族称为包腔集则定 义x 中的包腔度为c ( x ) = 8 u p i v l ：yi sac e l l u l a rf a m i l yi nx + u 而x 中 的稠密度d ( x ) 定义为d ( x ) = m i n i s i ：s x ，可= x ) + u 因此，若d ( x ) = k ，则空间x 中任意包腔集的基数都小于或等于k ，所 以c ( x ) d ( x ) 一般来说，有c ) d ( x ) si x l 在论文【1 】中证明了若正则的可分空间x 中具有不可数的离散闭子集， 则x 上不存在印连续选择函数在论文 1 2 中g i u l i a n oa r t i c o ，u m b e r t o m a r c o n i 和j a np e l a n t 证明了下面的定理 定理1 5 3 1 2 】若空间x 为正则空间，且存在即连续选择函数，则空 间x 的稠密度与x 的基数相等 事实上，若拓扑空间x 满足定理1 5 3 中的条件，则我们可以证明空间x 的包腔度和空间的基数相等下面我f r i l l 入证明中用到的定义和引理 8 山东大学博士学位论文 定义1 5 4 拓扑空间x 称为发散的若x 中任意非空闭子集都具有孤立 性质1 5 5 f 1 1 】h a u s d o r f f 拓扑空间x 为发散的当且仅当存在一个x 上 的良序关系使得起始部分都是x 中的开集 定理1 5 6 若正则空间x 上具有连续的零选择函数则x 的包腔度 和x 的基数相等 p r 0 4 令d = 扛x ：z 为x 中的孤立点 。由于d 为x 中的互不相交的开 集组成的集族，由包腔度的定义可知i d i c ( x ) 且d 为空间x 中的稠密子 集事实上，假设d 在x 中不稠密，也就是说，面x 根据引理1 5 5 ，x 是发散集再由发散空间的定义，存在x 的孤立点y x 面这与d 的定义 矛盾，因为y 应为d 中元素因此，d 在空间x 中稠密再由定理1 5 3 可 知，i d l = l x l 也就是说c ) = i x i 因为i d i c ( x ) d ( x ) i x l 口 9 c h a p t e r2 选择函数在有限集上的延拓 2 1 引言 1 9 5 1 年e m i c h a e l 在论文 6 中研究了v i e t o r i s 拓扑的基本性质，给出了 基元素的形式在这篇论文中他给出了连续选择函数的定义在1 9 5 6 年， m i c h a e l 在论文【2 ，3 ，4 】中又系统地研究了连续选择函数的存在性及其延拓 m i c h a e l 称之为。选择函数问题”从那时起，越来越多的数学家投入到这方 面的问题的研究中来，他们继续了m i c h a e l 的工作例如：2 0 0 5 年，燕鹏飞和 江守礼【19 】把m i c h a l e 的论文【7 】中的结果进行了一般化的推广；1 9 8 1 年j a n v a i lm i l l 和e v e r tw a t t e l 【1 3 证明了下面的结果： 定理2 1 1 令x 为紧空间，则下列条件等价； ( a ) x 是可序化的 ( b ) ，( x ) 上存在连续选择函数 ( c ) 存在弱连续选择函数 但是对于一般的拓扑空间来说，上述定理中的弱连续选择函数的延拓是 不存在的例如，r e n g l e k i n g ，r w h e a t h 和e m i c h a e l 在论文【1 3 】中构造 了下列反例： 例2 1 2 1 2 2 ，p r o p o s i t i o n5 1 】令r 为实数集则对于任意的n 2 ，只( r ) 上存在连续选择函数但厂( r ) 上不存在连续选择函数 甚至更糟糕的是，即使矗( x ) 上存在连续选择函数，我们也不能确定 ，+ ，) 上是否存在连续选择函数特别的，从元( x ) 到五( x ) 的连续选择 函数的延拓也可能不存在在近几年，t s u g u n o r in o g u r a 与v a l e n t i ng u t e v 在 这方面进行了研究，下面就是他们的一些结论： 定理2 1 3 1 2 4 ，t h e o r e m5 3 】令x 为拓扑空间，f ：五( x ) 一x 为弱连 续选择函数，p x ，且设g ：五( x p ) ) 一x 为连续选择函数则，可被连 续延拓至乃( x ) 1 0 山东大学博士学位论文 定理2 1 4 【2 6 】设x 为拓扑空间，f ：五) 一x 为弱连续选择函数 则五) 上存在连续选择函数 在这章中我们将继续t s u g u n i r in o g u r a 和v a l e n t i ng u t e v 在这方面的工 作，讨论弱连续选择函数在由有限子集组成的集族上的连续延拓，并且在此基 础上给出延拓定理在发散遗传仿紧空间上的应用本章中的连续选择函数均 指相对于v i e t o r i s 拓扑连续 2 2 背景知识和定义 设x 为拓扑空间，户是由x 上所有非空闭子集组成的集族，即，( x ) = scx ：s o 并且s 为x 中的闭子集) 我们在厂( x ) 上定义的v i e t o r i s 拓 扑是由下面形式的拓扑基诱导的：( y ) = s ，( x ) ：s u y 并且s n v 毋 对于任意的v y ) ，其中y 是空间x 中有限个开子集组成的集族定义 _ | c ( x ) = s 厂( x ) ：f s i u ，且兀( x ) = s y ( x ) ：f s f n 设口c ，) ，我们称映射f ：口一x 为d 上的选择函数，如果对于任 意的s d ，都有f ( s ) s 我们称选择函数，为连续的，如果，对于d 上 的相对v i e t o r i s 拓扑是连续的如果，是定义在易( x ) 上的选择函数，则我 们称，为弱选择函数 假设，为弱选择函数，则，在x 上定义了一个类序关系“5 ”o5y 当且仅当，( z ，可) ) = z 我们称。 y 如果z 冬y 并且z y 若b 和g 为x 的子集，我们称b5c 如果对于任意的y b 和z c 都有y5z 下面给出弱连续选择函数的一个性质这个结果在本章的证明中起了很 大的作用 定理2 2 1 【2 7 ，t h e o r e m3 1 】设空间x 为乃拓扑空间，：元( x ) 一x