（基础数学专业论文）双向联想记忆bam神经网络模型的稳定性和hopf分支分析.pdf

摘要 作为一个有广泛应用背景的神经网络，其动力学行为是应用和设计 的基础考虑到神经网络中神经元之间信息传递过程对时间的实际需要， 用以定义和描述神经网络的微分、差分方程模型理应是时滞微分、差分 方程系统由于大规模时滞差分、微分方程神经网络的定性分析目前仍 缺少有效的工具和方法，而小规模时滞神经网络模型的动力学研究可为 大规模网络的研究提供借鉴的方法和工具，所以研究小规模时滞微分、差 分方程神经网络模型的长期动力学行为是一项十分有意义的工作本学 位论文就是建立在上述基础上的 本文主要对一类具自反馈和一类具多时滞的双向联想记忆( b a m ) 神 经网络模型进行了稳定性和h o p f 分支分析首先，给出了模型的建立过 程其次，利用特征值方法对此模型的同步状态进行了稳定性分析这种 方法是将非线性系统在平衡点处局部线性化，通过分析特征值来研究其 稳定性然后，借助于一般的h o p f 分支理论，我们获得分支周期解的存 在性利用正规型和中心流形的计算，推导出了一些公式来判断双向联 想记忆( b a m ) 神经网络模型分支周期解的性质，例如h o p f 分支方向与 稳定性等等最后，用例子进行了数值模拟，进一步证实了前面的结论 关键词：b a m 神经网络；时滞；h o p f 分支；渐近稳定性；周期解 a b s t r a c t t h ed y n a m i c so fn e u r a ln e t w o r k ，w h i c hh a sb e e na p p l i e dw i d e l y , i st h ef o u n d a - t i o no fa p p l i c a t i o na n dd e s i g n c o n s i d e r i n gt h a tt h e r ei st i m e l a gi nt h et r a n s f e r e n c e o fi n f o r m a t i o nb e t w e e nn e u r o n si nt h en e u r a ln e t w o r k ，t h en e u r a ln e t w o r km o d e l s d e s c r i b e db yd i f f e r e n c ee q u a t i o n sa n dd i f f e r e n t i a le q u a t i o n ss h o u l dc o n t a i nd e l y a s d u et ot h es h o r t a g eo fe f f i c i e n tt o o la n dm e t h o di nt h eq u a l i t a t i v ea n a y l s i so fl a r g e d e l a y e dd i f f e r e n c ea n dd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，w h i l et h ed y n a m i c a ls t u d yo fs m a l l d e l a y e dn e u r a ln e t w o r km o d e l sc a np r o v i d eu s e f u lm e t h o da n dt o o lt oi n v e s t i g a t i o n o fl a r g en e t w o r k ，s oi t i sm e a n i n g f u lt h a tw es t u d yt h ed y n a m i c so fs m a l ld i f f e r e n c e e q u a t i o n sa n dd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sn e u r a ln e t w o r k sw i t hd e l a y s t h i st h e s i si sb u i l t o nt h eb a s i sa b o v e t h ef o c u so ft h i st h e s i si st os t u d yi s s u e sr e l a t e dt os t a b i l i t ya n db i f u r c a t i o n o fab a mn e u r a ln e t w o r kw i t hd e l a y e ds e l f - f e e d b a c ka n dab a mn e u r a ln e t w o r k w i t hd e l a y s f i r s t l y , w eg i v et h ef o r m u l a t i o no ft h em o d e l s e c o n d l y , w ea n a l y z e t h es t a b i l i t yo ft h es y n c h r o n i z e dm o d e lb yu s i n ge i g e n v a l u em e t h o d w es t u d yt h e s t a b i l i t yo ft h em o d e lb yl i n e a r i z i n gl o c a l l yt h en o n l i n e a rs y s t e ma tt h ee q u i l i b r i u m t h e n ，b ym e a n so ft h es t a n d a r dh o p fb i f u r c a t i o nt h e o r y , w eo b t a i nab r a n c ho f p e r i o d i cs o l u t i o n s b a s e do nt h en o r m a lf o r ma p p r o a c ha n dt h ec e n t e rm a n i f o l d t h e o r y , w ed e r i v et h ef o r m u l ad e t e r m i n i n gt h ep r o p e r t i e so fh o p fb i f u r c a t i n gp e r i o d i c o r b i tf o rab i d i r e c t i o n a la s s o c i a t i v em e m o r yo fn e u r o n sw i t hd e l a y s ，s u c ha st h e d i r e c t i o no fh o p fb i f u r c a t i o n ，s t a b i l i t yo ft h eh o p fb i f u r c a t i n gp e r i o d i co r b i t sa n d s oo n f i n a l l y , n u m e r i c a ls i m u l a t i o n sa r eg i v e nw i t ht w oe x a m p l e st oi l l u s t r a t et h e p r e v i o u sr e s u l t s k e yw o r d s ：b a mn e u r a ln e t w o r k ；t i m ed e l a y ；h o p fb i f u r c a t i o n ；a s y m p t o t i c a l s t a b i l i t y ；p e r i o d i cs o l u t i o n i i i 湖南师范大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研究工 作所取得的成果除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体 已经发表或撰写过的作品成果对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在 文中以明确方式标明本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担 学位论文作者签名：嗲够芳日期：w 7 年占月日 湖南师范大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留，使用学位论文的规定，同意 学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论 文被查阅和借阅本人授权湖南师范大学可以将学位论文的全部或部分 内容编人有关数据库进行检索，可以采用影印，缩印或扫描等复制手段保 存和汇编本学位论文 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后适用本授权书 2 、不保密嘭 ( 请在以上相应方框内打“ ) 作者签名t 导师签名， 日期：圳7 年钼，日 日期：少衫年加归 ， 双向联想记忆( b a m ) 神经网络模型的稳定性和h o p f 分支分析 1 绪论 1 1 人工神经网络研究历史简介 利用机器模仿人类的智能是长期以来人们认识自然，改造自然和认 识自身的理想对于人工智能的研究有生理结构的模拟和宏观功能的模 拟两种方法从人脑的生理结构出发来研究人的智能行为，模拟人脑信 息处理的功能，即人工神经网络( a r t i f i c i a ln e u r a ln e t w o r k s ，简写为a n n s ) 研究，这一研究始于2 0 世纪四十年代1 9 4 3 年心理学家m c c u l l o c h 和数学 家p i t t s 合作在数学生物物理学会年刊( ( b u l l e t i no fm a t h e m a t i c a lb i o p h y s i c s ) ) 上发表文章，提出一种叫做”似脑机器”( m i n d l i k em a c h i n e ) 的思想，这种 机器可由基于生物神经元特性的互联模型来制造，这就是神经网络的概 念，见文 2 3 】他们构造了一个表示大脑基本组成部分的神经元数学模 型( 称为m p 模型) ，对逻辑操作系统表现出通用性m p 模型的提出兴 起了对神经网络的研究随着大脑和计算机研究的进展，研究目标己从” 似脑机器”变为”学习机器，为此一直关心神经系统适应律的心理学家 d 0 h e b b 于1 9 4 9 年提出了学习规律：神经元之间突触联系强度是可以变 化的，通过刺激使神经元的连接加强h e b b 学习规律建立了神经网络研 究的基础，在各种神经网络的建立中起了重要作用与此同时，罗森布拉 特( r o s e n b l a t t ) 提出感知器，第一次把神经网络的研究付诸工程实践到 2 0 世纪6 0 年代初期，关于学习系统的专用设计方法有威德罗( w i d r o w ) 等 人提出的a d a l i n e ( a d a p t i v el i n e a re l e m e n t ，即自适应线性元) 以及斯坦巴克 ( s t e i n b u c h ) 等人提出的学习矩阵由于感知器的概念简单，因而在开始引 入时人们对它寄予很大希望然而，不久之后，明斯基( m i n s k y ) 和帕伯特 ( p a p e r t ) 从数学上证明了感知器不能实现复杂逻辑功能 在2 0 世纪7 0 年代，格罗斯伯格( g r o s s b e r g ) 和科霍恩( k o h o n e n ) 对神 经网络研究作出了重要贡献。以生物学和心理学证据为基础，格罗斯伯 1 硕士学位论文 格提出了几种具有新颖特性的非线性动态系统结构该系统的网络动力 学由一阶微分方程建模，而网络结构为模式聚集算法的自组织神经实现 基于神经元组织自调整各种模式的思想，科霍恩发展了他在自组织映射 方面的研究工作但真正带来神经网络研究兴盛的是美国加州理工学院 生物物理学家j h o p f i e l d 教授于1 9 8 2 年( 见文【1 3 】) 和1 9 8 4 年( 见文【1 4 】) 发 表在美国科学院院刊上的两篇举世瞩目的论文，在文【1 3 ，1 4 】中，他提出具 有联想记忆能力的h o p f i e l d 神经网络模型，引入了 能量函数( l y a p u n o v 函数) ”的概念，阐明了神经网络与动力学的关系，并用非线性动力学的 方法来研究这种神经网络的特性，建立了神经网络的稳定性判据，网络 的电子电路实现，为网络的实现和应用找到了理论依据，同时开拓了神 经网络用于联想记忆和优化计算的新途径自2 0 世纪8 0 年代中叶开始， 越来越多的学者参加到这一研究领域，开展神经网络的应用与开发，见文 【1 5 ，2 0 ，3 3 ，3 8 】文【8 】证明了当两时滞相等时，时滞取一定值时可产生h o p f 分支文【2 4 研究了具离散时滞没有自连接的二元神经系统的稳定性文 【3 4 】研究了一类双时滞神经网络模型的稳定性和分支性，对具有自连接的 情形，证明了当两个时滞之和通过一列临界值时会产生h o p f 分支文f 3 5 l 研究了一类时滞神经网络模型的同步h o p f 分支分析文【3 ，1 9 ，2 6 ，3 1 ，3 9 ，4 1 】 给出了一些神经网络模型的分支分析。他们的结果表明时滞神经网络模 型具有某种复杂的动力学行为 1 2 模型的提出 人工神经网络通过电路来模仿人脑神经细胞的结构和功能，来揭示生 物神经网络系统所具有的复杂动力学性质在数学上，我们通常采用微分 方程或差分方程来描述神经网络中各个神经元的活动状态。通过对这些 网络模型分析，来了解其相应的动力学性态。八十年代初期h o p f i e l d ( 见文 【1 4 】) 首次用常微分方程描述人工神经网络模型通常的差分、微分方程 神经网络模型，并没有涉及网络中神经元之间信息传递过程的时间因素， 2 双向联想记忆( b a m ) 神经网络模型的稳定性和h o p f 分支分析 考虑到生物神经元在进行信号传输过程中存在诸如细胞时滞，传输时滞 及突触时滞等原因，所以具有时滞的微分、差分方程系统才较好地反应了 实际情况以h o p f i e l d 神经网络模型为基础，m a r c u s 和w e s t e r v e l t 在文【2 1 】 及w u 在文 3 7 中构造了具时滞的神经网络模型，许多学者对具时滞的神 经网络进行了研究( 参见文【2 , 3 ，8 ，1 5 1 7 ，2 5 】) 文【7 ，1 7 ，1 8 ，2 6 2 8 ，3 1 ，3 2 ，3 9 ，4 1 ，4 3 】 则研究了一类具有两层神经元，层之间相互联系的神经网络，即双向联 想记忆( b a m ) 神经网络，b a m 神经网络是一种普遍的网络，经常应用于 模式识别和自动控制等领域，其模型为 奶( ) 2 啪戤( ) + 凳l 钸五( 协( 。一) ) + 厶，( 1 2 1 ) 【y j ( t ) = 一u j y j ( t ) + ：1 d o g j ( x i ( t 一) ) + 如， 、7 其中d , j ，( 江1 ，2 ，竹，j = 1 ，2 ，m ) 分别表示i 层神经元和j 层神 经元之间的连结权值；胁和岣表示i 层和j 层内部神经元的稳定状态i 层的神经元状态记为x i ( ) ，厶表示外部输入，j 层的神经元通过激活函数 ( 信号传输函数) 五将信号传入到i 层神经元；而j 层的神经元状态记为 y j ( t ) ，以为外部输入，i 层的神经元通过激活函数( 信号传输函数) 易将信 号传入到j 层神经元参数和，表示信号传输的时间( 时滞) 对于大规模的时滞差分、微分方程神经网络的定性分析，据我们所 知，现阶段仍然没有有效的手段和方法本文研究小规模时滞神经网络 模型的动力学性质，可为大规模网络的研究提供借鉴的方法和工具因 此，研究小规模时滞神经网络模型的长期动力学行为是一项十分有意义 的工作。 2 0 0 4 年，l i nw a n g 3 1 】等人研究了系统( 1 2 1 ) 的特殊情形，即每层的时 滞都相同的情况。2 0 0 5 年，y o n g l is o n g 2 6 】等人假设信号从i 层传到j 层的 时间是n ，而从j 层反馈到i 层的时间是死，并且i 层只有一个神经元，j 3 硕士学位论文 层有2 个神经元，这一简化的神经网络模型为 i 圣l ( ) = - p x z l ( t ) + c 2 1 f l ( y 1 ( t 一死) ) + c 3 1 ( 秒2 ( 一您) ) ， ) l ( t ) = 一p 2 y 1 ( t ) + c 1 2 ，2 ( z l ( t 一丁1 ) ) ， ( 1 2 2 ) i 如( ) = 一p a y 2 ( t ) + c 1 3 f 3 ( x l ( t n ) ) 另一方面，近期研究( 参见文【4 ，5 ，2 9 ，3 2 ) 表明自连接项的抑制在一些 时滞条件下对稳定网络发挥作用。这激发我们在系统( 1 2 2 ) 中加入自滞 项，探讨其对系统稳定性的影响在本文第二章中，我们将研究下面的模 型 l 圣1 ( t ) = - k x l ( t ) + m f ( x l ( t 一盯) ) + c 2 1 ( y a ( t 一亿) ) 十c 3 1 f l ( y 2 ( t 一见) ) ， 雪1 ( ) = 一k y l ( t ) 十m f ( y l ( t 一口) ) + c 1 2 f 2 l ( t n ) ) ， if j 2 ( t ) = - k y 2 ( t ) + m f ( y 2 ( t 一盯) ) + c 1 3 f 3 ( z l ( 亡一7 1 ) ) ， 、 ( 1 2 3 ) 其中，k 0 ，c i j 0 = 2 ，3 ) 和e l l ( i = 2 ，3 ) 是实常数在第二章中，我们将探讨 系统( 1 2 3 ) 的零解稳定性和h o p f 分支的存在性，并以自滞仃为参数，证 明当口达到临界值时，零解将失去稳定性，产生分支周期解 2 0 0 6 年，y u 和c a o 4 1 】研究了具有多个时滞的四元双向联想记忆( b a m ) 神经网络模型的稳定性和h o p f 分支性质，这对把小规模的神经网络逐渐 推广到大规模的神经网络做了有意义的尝试，得到了一些实用的结论受 文【4 1 】的启发，在本文第三章将进一步深入探讨一类具有两个时滞的五 元双向联想记忆( b a m ) 神经网络模型的稳定性和h o p f 分支性质，其模 型如下： + c l l a l ( y + c 2 1 f 2 1 ( y + d l l g l l ( x + d 2 1 9 2 1 ( x + d 3 1 9 3 1 ( x + c 1 2 f 1 2 ( y 2 ( t 一亿) ) + c 1 3 f 1 3 ( y 3 ( t 一死) ) ， + c 2 2 ，2 2 ( 可2 ( 一您) ) + c 2 3 f 2 3 ( y z ( t 一丁2 ) ) ， + d 1 2 9 1 2 ( x 2 ( t n ) ) ， + d 2 2 9 2 2 ( x 2 ( t n ) ) ， + d 3 2 9 3 2 ( x 2 ( t n ) ) ( 1 2 4 ) 4 幻幻力幻谚小雄心础彤研勉玑抛协 一 一 一 一 一 = = = = = 、，、，、j、，、， t ，i，f l 2 l 2 3圣圣y轳” ，-i-l_-jl-l-l 双向联想记忆( b a m ) 神经网络模型的稳定性和h o p f 分支分析 1 3 数学背景 从十七世纪到十九世纪后半期，这一漫长的时期内，人们设法用各种 方法求微分方程的通解，随着历史的发展，人们在求解的过程中遇到的 困难越来越大，随着科学技术的发展和进步又提出大量的常微分方程问 题，这就要求人们寻找新的途径来解决这些问题在这种情况下，法国数 学家庞加莱创建了常微分方程的定性理论稳定性概念，最早源于力学 一个固体或一个力学系统具有某一平衡状态，在有微小的干扰力作用下， 这种平衡状态能否保持，这就是稳定性的雏型在静力学方面，早在十七 世纪出现过托里斯利原理，即若物体仅受重力作用，则当其重心位置最 低时，其平衡是稳定的，当重心位置最高时，其平衡是不稳定的但当时 在动力学方面，对应于稳定运动的严格的解的选择原理却未建立虽然， 稳定性概念早已被拉普拉斯、拉格朗日、马克斯威尔、汤姆逊和德特、庞 加莱等采用过，但都没有给予稳定性以精确的数学定义达郎倍尔、拉格 朗日、马克斯威尔、魏施涅格特斯基、茹可夫斯基及斯图多等都曾应用第 一次近似的线性方程来代替非线性方程研究稳定性，但未能从数学上证 明这种代替的合理i 生因此，在这之前，可以说稳定性的一般理论却迟迟 没有建立起来 李雅普诺夫院士是第一位给出运动稳定性以精确的数学定义的人，他 的1 8 9 2 年的博士论文奠定了运动稳定性的一般理论这是一项具有开创 意义的工作稳定性理论所研究的内容，简单地说就是对于用一般或特 殊的微分方程所描述的动力系统建立判别方法，以判明哪些实际运动系 统受干扰与不受干扰的运动状态相差甚微；哪些则相反。特别为设计稳定 的动力系统，避免不稳定的事故发生，提供一整套数学理论和方法，这就 是稳定性理论这门学科的意义和内容这些理论的特点是在不求解方程 的情况下根据微分方程本身的特性研究解的性质，系统的稳定性是自然 科学与工程技术人员普遍关心的问题因为只有稳定的系统才能具有一 5 硕士学位论文 定的抗干扰能力，而实际问题中的干扰总是不可避免的，所以稳定性在 实际问题中的地位有时比存在性还重要。 分支问题起源于研究一些力学失稳现象。对于含参数的系统，当参数 变动并经过某些临界值时，系统的定性性态( 平衡状态或周期运动的数目 和稳定性等) 会发生突然变化。这种变化称为分支。分支是一类常见的重 要非线性现象，是动力系统理论研究中十分重要的一个问题，并与其它 非线性现象( 如混沌、突变、分形、拟序结构等) 密切相关因此，在非线 性科学中分支研究占有重要地位而且，在自然界中，分岔现象更是普遍 存在的，因此，不论在数学理论上，还是在实际应用中，分支理论研究都 有较大的意义。所以，一直以来受到数学家们的关注，在某些方面甚至可 以追溯到p o i n c a r 6 时代。近年来，分支理论研究已经取得了很大的发展， 但主要是针对于常微分方程，特别是平面上退化程度不高的分支上相 对来说，由于泛函微分方程的相空间是无限维的，从而增加了问题的难 度，研究结果相对较少然而，我们可以利用h a l e 的 t h e o r yo ff u n c t i o n a l d i e f f r e n t i a le q u a t i o n s ) ) 中的方法对有界滞量的泛函微分方程进行研究。 h o p f 分支是一种常见的分支现象，即当系统的平衡点的稳定性发生 变化时，在此平衡点附近产生闭轨的现象文【1 0 ，1 1 ，2 2 ，4 2 详尽地阐述了 此现象。泛函微分方程产生h o p f 分支的条件主要有三个：首先，该系统 应当是足够光滑的；其次，它在常数解处的线性化方程的特征方程在特定 的参数值处有一对单重的纯虚根；最后，得到的单重纯虚根满足横截性条 件，并且，其他的特征根与它是非共振的。那么，根据隐函数定理以及空 间分解理论，可以得到在参数a 0 的某邻域内所考虑的系统有小振幅周期 解的存在性。在确定一个系统存在h o p f 分支之后，还要确定分支方向、 分支周期解的稳定性、振幅和周期文【1 2 】中给出了泛函微分方程的h o p f 分支性质的一种计算方法，这种计算方法以抽象的常微分方程的中心流 形理论和规范型方法为基础。中心流形主要起着降维的作用，而正规型 6 双向联想记忆( b a m ) 神经网络模型的稳定性和h o p f 分支分析 理论则是将所研究的问题尽可能在等价意义下从形式上予以简化通常 的做法是将泛函微分方程表示成为一个抽象的常微分方程，系统在常数 解附近必定有一个相切于中心子空间的2 维中心流形这样，我们只要 考虑原来的系统在中心流形上的限制，实际上变成一个2 维常微分方程 我们只要研究该常微分方程的分支方向以及周期解的稳定性便可以得到 原来系统的相关性质下面具体给出有关向量场的中- 5 - 流形定理【3 6 】 考虑向量场 圣= a z + 他，y ) ( 1 3 1 ) 1 7 = b y 十g ( x ，y ) 、7 其中( x ，y ) r 。r 8 ，cg 是伊的( r 2 ) ，f ( o ，0 ) = o ，9 ( 0 ，0 ) = 0 ，d f ( o ，0 ) = 0 ，d g ( o ，0 ) = 0 a 是c c 矩阵，它的所有特征值具有零实部；b 是8x8 矩 阵，它的所有特征值具有负实部 定义1 3 1 称一个不变流形是( 1 3 1 ) 的一个中心流形，如果它能局部 地表示为： 。( o ) = ( z ，y ) 彤r s l y = ( z ) ，i x i o 为常数 注1 ：如果系统( 1 3 1 ) 是含参数的，即有如下形式： = a x + f ( x ，妙皇 ( 1 3 3 ) 雪= b y + 9 ( x ，y ，e ) 、 。 其中( z ，可，e ) r c r 5 r p ，f g 是伊的( r 2 ) ，f ( o ，0 ，0 ) = 0 ，g ( o ，0 ，0 ) = 0 ，d f ( o ，0 ，0 ) = 0 ，d g ( o ，0 ，0 ) = 0 ，a ，b 同系统( 1 3 1 ) 中 将当作系统的一个新的动态变量，( 1 3 3 ) 写为 圣= a x + 厂( z ，y ，) 毒= 0 ( z ，秒，) 酽r 5 r p ， ( 1 3 4 ) 雪= b y + g ( x ，y ，e ) 那么系统( 1 3 3 ) 的一个中心流形可局部地表示为： w 。( o ) = ( z ，y ，e ) r 。x r a x r p l y = h ( x ，e ) ，i z i 0 可以得到 或 a + 七一p e 一 寸= 0 ， a + k p e 一士、盈一h = 0 ( 2 2 2 ) ( 2 2 3 ) ( 2 2 4 ) 假设a = p + 讪是方程的根，代入( 2 2 3 ) 和( 2 2 4 ) ，分离实虚部得 = 0 ， = 0 = 0 ， = 0 定理2 2 1 如果k 俐+ i q | ，盯o ，丁0 ，那么( 2 2 1 ) 所有的根都具有 负实部，因此系统( 2 1 3 ) 的零解是渐近稳定的 证明：当p 0 ，口20 ，丁0 时， r e ( 2 2 3 ) ( p ，u )k i l r e ( 2 2 4 ) ( p ，u ) 七一i p l 一 石 1 l 力 ， 啷 w 一州 肚胪 一 七p 卜+ p u = = 渤 幺 卫脚脚 ，、【 忻 州呱篇肚伍 千 黜 叫 i 言 肚胪 一 一e 七p 卜+ p u = = 妨q胁脚 硕士学位论文 容易得到，当k 俐时，方程( 2 2 3 ) 的根有负实部；当k 蚓+ 讧时， 方程( 2 2 4 ) 的所有根都具有负实部。因此，当k 俐十扣时，方程( 2 2 2 ) 的所有根都具有负实部。证毕。口 定理2 2 2 如果p 0 ，讧 一p ，盯【0 ，= b 】，那么对所有的下0 ，系统 ( 2 1 3 ) 的零解是渐近稳定的 证明：由r e ( 2 2 4 ) ( p ，u ) = 0 ，i m ( 2 2 4 2 ) ( p ，u ) = 0 ，可得到 p + k 一, 0 e 一妒c 0 8 矿) = 千、否e 一旷c o s 丁) ， u + e 一妒s i n ( w a ) = 4 - 识- e 一妒s i n ( u t ) ， 上面两式两边分别平方相加，整理后得， ( 肛+ 七) 2 + 叫2 2 p e p 盯【( p + 尼) c 0 8 ( u 仃) 一ws i n ( w o ) + 2 e 一2 p 4 一q e 一2 肛r = 0 ( 2 2 5 ) 我们假设 p 。，且面 一p ，盯 。，刁1 】， 那么，由i m ( 2 - 2 4 2 ) ( p ，u ) = 0 可知 当p 0 ，7 0 时u u 2 + 2 卢u ( u 仃) = u 2 ( 1 + 2 1 3 a ) o ( 因为一1 2 f 3 a o ) 1 2 双向联想记忆( b a m ) 神经网络模型的稳定性和h o p f 分支分析 m ( u ，u ) 关于p 求导得， t o m ( p , w ) = 2 ( 肛+ 后) + 2 胁e 一胪【 + 七) c o s ( w a ) - - w s i n ( u 盯) 】 - 2 f i e 一舻c 0 8 ( u 6 r ) 一2 p 2 0 e 一2 # a + 2 c e r e 一2 p r = 2 ( p + 七) 【1 + p 盯e p 口c o s ( u 盯) 】一p e p 4 【c o s ( u 盯) + 卢盯e p 口】 + q 7 - e 一2 p r 口盯u e p 4s i n ( w a ) 因为p o 所以，当p 0 时有， 掣 o c ，p 从上面的讨论可知：p 0 时，m ( 0 ，u ) 0 ，因此m ( p ，u ) 0 ，与( 2 2 5 ) 矛 盾 从r e ( 2 2 3 ) ( 肛，u ) = 0 中，我们容易得到，当p 0 ，矿【o ，= b 】时，( 2 2 3 ) 的根 具有负实部证毕i - 1 下面我们将以盯为参数，找出产生分支的临界值在( 2 2 2 ) 中令口= 0 ， 若p 0 有 r e ( 2 3 ) ( p ，u ) = p + k 一卢k 一卢， r e ( 2 2 4 ) ( - ，u ) = p + k p 士 石e p rc o s ( w t ) k p 一 石， 可以得到下面的引理 引理2 2 1 如果( 2 2 1 ) 的系数满足条件 p 0 ) 是方程 ( 2 2 2 ) 的纯虚根当且仅当u 满足 k - # c 咖o s ( w a ) = 0 ，, 或f l c o s ( w o ) = k 士黜高2 固 从( 2 2 8 ) 可得 u l = v 歹- k 一2 ， 或p 2 = k 2 + u 2 + 口4 - 2 v 夏 k c o s ( w t ) 一w s i n ( w z ) ( 2 2 9 ) 方程( 2 2 9 ) 或者有有限个正根或者无正根如果( 2 2 9 ) 有有限个正根，我 们记为帆，k = 2 ，3 由( 2 2 8 ) 得 o l i ：三( a r c c 0 8 石k + 2 i 7 r ) ，i ：o 1 ，2 ， 。石( 锄c 0 8 万 丌) ，江o 1 ，2 i 。 盯志= 去( a r c c 矗生兰 ( 7 0 时，方程( 2 2 2 ) 至少有一个正根 设a ( 口) = p ( 口) + i w ( a ) 是方程( 2 2 2 ) 在仃= 附近满足 p ( o - k j ) = 0 ，w ( o k ) = 0 3 k 的根将入( 盯) 代人方程( 2 2 2 ) ，两端对盯求导得 ( 2 2 1 1 ) 【( 入+ k p e a 4 ) 2 一g e - - 2 a r 】【( 1 + p 盯e a 一箬) 】 + ( a + k p e a 口) 2 ( a + k p e a 4 ) 【( 1 + p 仃e 一 口筹) 】+ 2 r a e - 2 a t 等 = 0 整理得 则 d a d a a a j 3 e a ( 4 + 2 下) 一3 ( a + k p e b ) 2 a p e a 4 ( 1 + ；3 a e - a a ) 【3 ( a + k p e a 4 ) 2 一q e 一2 h 】+ 2 ( a + k p e - a a ) t o e e 一2 a r f ，坐、：! ! 塑二型塑生二丝二竺二竺! 二! ：j 坐生二丝二：2 二竺! 二： d 口 a 1 3 e a a a e 一2 a t 一3 ( a + k 一卢e a 。) 2 1 ( 2 2 1 2 ) 1 5 硕士学位论文 由( 2 2 1 1 ) 和( 2 2 1 2 ) ，我们可得到 r e ： = 其中 = m - - - 南 m ( 一3 w 2 + 3 k 2 - f3 f 1 2 6 p 2 k a k j ) c 0 8 ( u k a k j ) 一6 w k ( k + p 2 盯幻) s i n ( w k a k j ) + 3 d ( k 2 吼j 一2 七一t t k j 0 3 2 ) + 3 2 c o s ( 2 w k a k j ) d - ( o ld - 2 k r a ) c o s ( w k a k j 一2 w k t ) + ( a p d k 一2 a p 7 - ) c o s ( 2 w k t ) 一2 w k t qs i n ( w k a k j 一2 “珐7 ) 】+ 【( 一3 u 2 - f3 k 2 3 p 2 6 七p 2 ) s i n ( w k t t k j ) d - 6 w k ( k + 2 d b ) c o s ( o j k o k j ) + 6 u ；k ；8 ( k a k j 一1 ) 一3 p 3 s i n ( 2 w k a k j ) + ( qd - 2 k t a ) s i n ( w k a k j 一2 w k v ) h - ( 2 a p r q 届口b ) s i n ( 2 w k v ) + 2 w k t ac 0 8 ( w k t t k j 一2 u 詹7 - ) 】) m = a f l w ks i n ( 2 w k r ) 一3 p 3 u 南s i n ( 2 w k a k j ) 一2 u 2 p 尼 + 2 俨2 ，c o s ( w k a k j ) 一2 忌p 2 w ks i n ( w k a k j ) n = a # w kc o s ( 2 w k t ) + 3 u 2 p 一3 k 2 u 七p 一3 p a w kc o s ( 2 w l , o k j ) 一2 p 2 u 2s i n ( w k a k j ) 一2 尼p 2 u 南c o s ( u 七) 由上面的引理，我们可以得到以下结论： 定理2 2 3 ( i ) 若卢 0 下讨论的，实际 上当q 0 时，我们可以用同样的方法讨论，有类似的结论成立 1 6 双向联想记忆( b a m ) 神经网络模型的稳定性和h o p f 分支分析 2 3h o p f 分支的方向及稳定性 在前一节，我们得到了系统( 2 1 3 ) 在满足条件( 2 2 7 ) 和r e 等 盯：0 时，在第一个临界值盯= ( 7 0 处经历h o p f 分支这样我们有必要对此系统 的h o p f 分吏陛质进行分析，主要讨论的问题有： ( 1 ) h o p f 分支方向的问题( 即方程的周期解出现在分支值的哪一侧) ； ( 2 ) 分支周期解是否稳定。 下面就利用中心流行理论和规范型方法，研究系统( 2 1 3 ) 的h o p f 分 支性质 令u ( t ) = ( x l ( ) ，y 1 ( ) ，抛( ) ) t ，u t ( 口) = u ( t + 侈) ，其中口【_ 仡，o ) ，系统( 2 2 1 ) 可写出如下形式， 也( t ) = l 。( u ) + f ( u t ，盯) ， ( 2 3 1 ) 取相空间c = c 1 ( 【 r 2 ，o 】，舻) ，对于c 记 l 矿( ) = 一j r ( o ) + b l ( - a ) + b 2 ( 一亿) + b e ( 一n ) ， ( 2 3 2 ) 兰) ，b t = ( 喜暑三) ，岛= ( 三鼍1 专1 ) ，b = o o o ) 聊憾要 为( 2 2 1 ) 右端的非线性部分，其中砂( 口) = ( 咖1 ( p ) ，咖2 ( 目) ，妒3 ( 口) ) t g ， 1 7 七0 0 ，l。一 中 = 其 k 而 33 仁 ； 卅计小镑卜墩沁埘册嘲矧吃h 力力h 砂，可、叫卅h 舯肾圳舯嘲嘲力+ d 刊斗州m 3 1 ，l o q 孔 如 呼俐黧 硕士学位论文 2 。：毕，l 。：率，1 。：型2 趋，1 4 ：型6 逊，l 。：华，1 6 = 掣， m ，：掣, v0 ，m 。：型6 逊，几。：型2 逊，n 。：三毯6 垫 由r i e s z 表示定理，存在一个有界变差矩阵函数叩( p ，盯) ，其中口【一死，o 】， 使得对任意的c 有 训= 州帅m 鼽 ( 2 3 4 ) 这里， 砌川0 巍， 日= 0 p p 口 一盯，0 ) ， 一7 1 ，一盯) ， 一见，一n ) ， 其中6 ( 口) 是d i r a c 一6 函数，d 3 是3 阶单位矩阵 对于c ，我们定义 c 圳垆 龟州和m 沪以珐：警 3 脚 c ，c 口，= 等 ；：三；：e 口：e l 。- 死，0 ) 那么，因为d u 。d o = d u 。d t ，可将方程( 2 3 1 ) 化为抽象的常微分方程 。 吐t = a 口u t + r 口乱， ( 2 3 6 ) ( 2 3 7 ) 当p 【一您，o ) ，( 2 3 7 ) 就是平凡方程d u 。d o = d u t 出；当伊= 0 时，它就是 ( 2 3 1 ) 对于妒c ( 【o ，见】，r 3 ) ，我们定义 s ( o ，死】， ( 2 - 3 8 ) s = 0 积 双向联想记忆( b a m ) 神经网络模型的稳定性和h o p f 分支分析 对于多c 1 ( 【