（基础数学专业论文）关于几类常微分算子特征值的研究.pdf

中文摘要 本文围绕微分算子领域中的一个重要问题谱分析中的特征值问 题开展研究首先分析了带一般分离型边界条件的右定s l 问题的特 征的渐近值，用不同的方法得到不同的渐近结果运用p r u f e r 代换与 f r 6 c h e t 导数技术两种方法得到与专著 1 相比更为精细的渐近估计， 其结论清楚地给出了方程系数g ( 曲及边界条件中常数c o t a ，c o t p 对特 征值的影响而当权函数w 1 时，先利用g r e e n - l i o u v i l l e 变换求出 相应c a u c h y 问题的解，再运用相应方法推导出右定s - l 问题的特征 值 文章接着研究了一类为很多数学、物理工作者所关注的具有某种 不连续性微分算子”即内部点处具有转移条件的s - l 问题特征的渐 近性分析运用函数论的方法给出其特征的渐近性估计，特别是对于 边界条件中带有特征参数且具有转移条件的s l 算子，通过给出一个 与问题相关的新算子，在一个适当的空间中证明其是自共轭的，然后 研究其特征的渐近性 文章还考虑了一类带高阶转向点奇摄动特征值问题，采用l a n g e r 变换，得到其由b e s s e l 函数表示的一致有效渐近解，利用b e s s e l 函数 的性质，分别给出带单个和两个转向点时问题的特征值最后利用s l 问题的特征值对边界条件的单调依赖关系，建立了两类左定s - l 问题 间的特征值不等式 全文共分为六个部分：一、本文所研究问题的背景与主要结果： 二、一类右定s t u r m - l i o u v i l l e 算子特征的渐近分析；三、一类具有 分离边界条件和转移条件的微分算子特征的渐近分析：四、具有转移 条件且边界条件中带有特征参数的微分算子特征的渐近分析：五、一 类带高阶转向点的奇摄动特征值问题：六、两类左定s t u r m - l i o u v i l l e 问题间的特征值不等式 关键词：微分算子，特征值，特征函数，渐近分析 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w e s t u d y a r ti m p o r t a n tp r o b l e mi nt h ef i e l do f d i f f e r e n t i a l o p e r a t o r s ：s p e c t r a la n a l y s i s f i r s t w ea n a l y z eac l a s so f r i g h t - d e f i n i t es t u r m - l i o u v i l l eo p e r a t o r sw i t hg e n e r a ls e p a r a t e db o u n d a r y c o n d i t i o n s w i t ht h ed i f f e r e n tm e t h o d ，w eo b t a i nt h ed i f f e r e n ta s y m p t o t i c e x p a n s i o n u s i n gam o d i f i c a t i o no fp r i i f e r ss u b s t i t u t i o na n dt h ef r t c h e t d e r i v a t i v et e c h n o l o g y ，w eg i v et w om o r es o p h i s t i c a t e da n a l y s e sf o rt h e e i g e n v a l u e st h a nt h ec o n c l u s i o ni nb o o k 【l 】，w h i c hr e v e a l e dc l e a r l yt h e e x p l i c i te f f e c t s o ft h e e q u a t i o nc o e f f i c i e n tg ( 力a n dt h eb o u n d a r y c o n d i t i o n w h e nt h ew e i g h tf u n c t i o ns a t i s f i e sw1 ，w ef i r s t l yu s et h e g r e e n - l i o u v i u et r a n s f o r m a t i o nt ow o r ko u tt h ec o r r e s p o n d i n gs o l u t i o no f c a u c h yq u e s t i o n ，a n dt h e nu t i l i z et h ec o r r e s p o n d i n gm e t h o dt od e c i d e t h e i re i g e n v a l u e sa n de i g e n f u n c t i o n s i nt h es e c o n dp a r to ft h i sp a p e r , w ei n v e s t i g a t eac l a s so fd i f f e r e n t i a l o p e r a t o r s 谢t 1 1 ”d i s c o n t u n i t y ”，i e ，s t u r m - l i o u v i l l ep r o b l e m s 、v i m t r a n s m i s s i o nc o n d i t i o n sa ta l li n t e r i o rp o i n t ，w h i c ha r ec o n c e r n e db ym a n y m a t h e m a t i c a la n dp h y s i c a lr e s e a r c h e r s f o rs t u r m - l i o u v i l l eo p e r a t o r s w i t hs e p a r a t e db o u n d a r yc o n d i t i o n sa n dt r a n s m i s s i o nc o n d i t i o n s ，w e d i s c u s st h e i re i g e n v a l u e sa n de i g e n f u n c t i o n sb yt h et h e o r yo ff u n c t i o n i n p a r t i c u l a r w es t u d y s t u r m - l i o u v i l l e o p e r a t o r s w i me i g e n p a r a m e t e r d e p e n d e n tb o u n d a r y c o n d i t i o n sa n dt r a n s m i s s i o n c o n d i t i o n s ，b y e s t a b l i s h i n gan e wo p e r a t o ra s s o c i a t e dw i t ht h ep r o b l e m , p r o v et h a tt h e o p e r a t o ri ss e l f - a d j o i n ti na na p p r o p r i a t es p a c ea n dd i s c u s st h ea s y m p t o t i c e x p a n s i o no f i t se i g e n v a l u e sa n de i g e n f u n c t i o n s t h e nw ec o n s i d e rak i n do fs i n g u l a r p e r t u r b a t i o ne i g e n v a l u e p r o b l e mw i t hh i g ho r d e rt u r n i n gp o i n t s u s i n gt h el a n g e rt r a n s f o r m a t i o n ， t h eu n i f o r m l yv a l i da s y m p t o t i cs o l u t i o n ，e x p r e s s e db yb e s s e lf u n c t i o n ，o f t h ee q u a t i o ni sg i v e na n dt h ee i g e n v a l u e so ft h ep r o b l e mw i t ho n et u r n i n g p o i n ta n dt w ot u r n i n gp o i n t sa r ec o n s i d e r e d ，w h i c hg e n e r a l i z et h ek n o w n r e s u l t s f i n a l l y , t h ei n e q u a l i t i e sa m o n gt h ee i g e n v a l u e s o ft w o l e f t - d e f i n i t es t u r m l i o u v i u e p r o b l e m s w i t h s e p a r a t e db o u n d a r y c o n d i t i o n sa l ee s t a b l i s h e d 田1 em e t h o d sa l eb a s e do ns o m ec o n c l u s i o n s a n dm o n o t o n i c i t yo fe i g e n v a l u eo no r , 口i ns t u r m - l i o u v i l l eo p e r a t o r sw i m g e n e r a ls e p a r a t e db o u n d a r yc o n d i t i o n s t h i sp a p e rc o n t a i n ss i xp a r t s t h ef i r s tp a r t ：a ni n t r o d u c t i o no ft h e b a c k g r o u n do ft h ep r o b l e m sw ei n v e s t i g a t ea n dm a i nr e s u l t sw eo b t a i ni n t h i sp a p e r t h es e c o n dp a r t ：a s y m p t o t i cb e h a v i o ro fe i g e n v a l u e sf o ra r i g h t - d e f m i t e s t u r m - l i o u v i l l ep r o b l e m t h et 1 1 i r d p a r t ：a s y m p t o t i c b e h a v i o ro fas t u r m - l i o u v i l l ep r o b l e mw i t h s e p a r a t e db o u n d a r y c o n d i t i o n sa n dt r a n s m i s s i o nc o n d i t i o n s t h ef o u r t hp a r t ：a s y m p t o t i c b e h a v i o ro fas t u r m - l i o u v i l l ep r o b l e mw i t l le i g e n p a r a m e t e r - d e p e n d e n t b o u n d a r yc o n d i t i o n sa n dt r a n s m i s s i o nc o n d i t i o n s t h ef i f t hp a r t ：a s i n g u l a r l yp e r t u r b e de i g e n v a l u ep r o b l e mw i t hh i g ho r d e rt u r n i n gp o i n t s t h el a s t p a r t ：i n e q u a l i t i e sa m o n ge i g e n v a l u e s o f t w ol e f t - d e f i n i t e s t u r m l i o u v i l i ep r o b l e m s k e yw o r d s ：d i f f e r e n t i a lo p e r a t o r ，e i g e n v a l u e ，e i g e n f i m c t i o n ， a s y m p t o t i cb e h a v i o r 内羹古师范大学硕士学位论文 第一章问题提出的背景和本文的主要结果 微分算子是线性算子中最基本也是应用最广泛的一类无界线性算子，在数学物理 及其它工程技术学科中，有许多问题都可以归结为确定的微分算子问题，其研究领域 包括微分算子的亏指数理论、自共轭扩张、谱分析、数值方法以及反问题等许多重要 分支，内容浩瀚本文仅就特征值即点谱问题进行较为深入的探讨，特别是给出了一类 右定s l 算子特征值的精细的渐近结果 1 1 一类右定s - l 问题特征的渐近分析 微分算子的谱分析无论从理论上还是应用上都是十分重要的，它为微分方程众多 问题提供了统一的解决模式和理论框架常微分算子谱理论的研究主要围绕谱的定 性、定量分析、特征值的数值计算等方面而进行，研究方法大体分为分析法和算子法 这两种方法的起源可追溯到经典的有限区间上s - l 问题的研究：即l i o u v i l l e 的渐近 估计方法和c o u r a n t 的变分方法 分析方法是根据解析函数理论分析预解式，g r e e n 函数和微分方程解的渐近性质 来判断微分算子谱的性质这方面工作以e c t i t c h m a r s h 和b m l e v i t a i n 为代表， 在他们的经典著作中可以看到对于高阶的微分算子，分析方法也是很奏效的上世纪 四、五十年代，前苏联数学家m a n a i m a r k ，i m g l a z m a n ，v b l i d s k i i 和 b m l e v i t a n 等人，采用分析方法得到许多重要的结论 用算子理论的方法研究微分算子的谱是近几十年来广泛采用的方法，在 m a n a i m a r k ，i m g l a z m a n ，e m u l l e r p f e i f f e r 关于微分算子谱分析的专著里使用 的都是线性算子的方法咖叫“，这种方法的理论基础是h il b e r t 空间中闭线性算子的谱 理论和全连续摄动的相关理论6 1 ，其主要出发点有两个，一是分解的方法，另一是二次 型比较的方法，这些目前为人熟知的方法是近几十年来由r c o u r a n t ，f r e l l i c h ，k 0 f r i e d r i c h s ，i m g l a z m a n 等创立并在以后逐步完善起来的：e e e d m u n d s 和 w d e v a n s 在其专著旧中利用算子的近似数、s 一数及空间嵌入算子连续性、紧性来 研究微分算子的谱也是一种行之有效的办法( 以上综述部分的材料来源于文献。1 ) 近些年来，国内外许多数学工作者从不同角度，利用分析、算子、嵌入数估计等方 法对微分算子的谱闷题进行了大量研究，取得了很多重要的成果，如w e j d m a n n “”。 关于几类常微分算子特征值的研究 h i n t o n 1 ”。”。k a u f f m a n ”，孙炯与d e e d m u n d s ，a k u f u e r ，e m u l l e r p f e i f f e r 合 作的 1 5 卜 1 9 及 2 0 - 2 2 等 所谓s t u r m - l i o u v i l l e 问题，就是研究s l 算子特征值与特征函数展开的问题， 经典的s l 算子是自伴算子，所有特征值( 若存在) 均为实数，并且对应于不同特征值 的特征函数互相正交因而关于自共轭微分算子的讨论一直受到格外重视，特征值的 存在与分布的研究在常微分算子理论的研究中有着特殊的地位本文谱分析的重点就 放在s t u r m l i o u v i l l e 算子特征值的渐近分析上 1 9 8 7 年，曹之江在其专著常微分算子中利用e c t i t c h m a r s h 所引进的函数 论的方法给出了经典s l 问题特征值的存在与分布，得到了第n 个特征值丑。jo d 速度 的一个估计，渐近值仅与n 有关文 2 3 给出a 对于区间端点、边界条件、方程系数、 权函数的微分表达式，说明这些参数对a 都有影响文 2 4 ，2 5 获得了第露+ 1 个特征值 对于这些参数的依赖性文 2 6 ，2 7 给出了一类s - l 问题的特征值a 。的精细的渐近 分析我们则把研究重点放在带有正权函数的情形，采用的方法为： 首先把特征函数设为相应柯西问题的解，由于微分方程中含有权函数“功，不能 直接利用常微分方程的一般解法，故采用g r e e n - l i o u v i l l e 变换将方程转化，得到 相应柯西问题的一致有效渐近解接着我们利用b a n a c h 空间中f r $ c h e t 导数得出该右 定s - l 问题特征值的更精细的渐近分析结果特别地，当权函数w ；l 时，我们又采用一 种p r t l f e r 代换啪，结合有界变差函数的性质，解决了s l 问题特征值精细的渐近估计 本章的创新之处在于：1 给出一般分离型边界条件的右定s l 问题特征的分析结 果，使结论更具一般化2 利用f r $ c h e t 导数，给出右定s - l 算子特征值更精细的渐近 分析，结果体现了边界条件、方程系数、权函数对a 的影响3 利用p r u f e r 代换，给出 一类s l 算子特征值的更精细的渐近分析，其结果也体现了边界条件、方程系数对a 的影响 1 2 具有转移条件的s t u r m - l i o u v i l l e 算子 s l 问题，特别是正则的s l 问题的研究无论是理论上还是方法上均已十分完备， 但是经典的s - l 算子所作用的函数应当是二阶可导的，其最大算子域要求至少y 绝对 连续的，也就是y 应当是连续的但是这样的条件在一些实际问题中并不能满足近年 来，研究微分方程的解或者解的各阶导数在区间内部不连续的问题引起了越来越多的 内蒙古师范大学硕士学位论文 研究兴趣州1 ”这样一些问题来源于许多物理问题，它们包括：热传导和质量转移问 题，例如薄的叠层板块( 也就是由具有不同特性的材料重叠形成的板块) 的热传导问题 由于这个板块是叠层的，于是越过界面的转移条件应当被考虑m 3 ：以及各种各样的物 理量的转移问题，衍射问题，中间有结点，( 即要考虑在一点附a n t 质量) 的弦振动问题嘲 等在一个单独的板块上的问题可以由经典的热传导方程导出其基本解，而在整个叠 层板块上解的结构就导致我们要考虑在每个单层板上连续，在每个接合部不连续的微 分算子的特征问题，即要在不连续点附加适当的转移条件”，我们把这样的问题抽象 为带有转移条件的s - l 问题。 这类问题的研究重点是在其内部的不连续性，并且在其不连续点两侧还应有一定 的关联，这个关联反映为我们称之为的转移条件”，迸一步，这样的问题可以延展到在 内部的点作用，势函数甚至可以是广义函数“” 近年来，边界条件依赖于特征参数的s l 问题也引起了广泛的研究兴趣，从其反 问题，特征值、特征函数的渐近估计，振荡理论等不同角度进行了大量的研究，此类问 题的各种物理应用见诸于许多文献，如b i n d i n g 竹“叮，h i n t o n t “j 埘1 ，f u l t o n t w j ， b e l i n s k i y ，d a u e r c 。 ，w a l t e r 1 锄等，包括在质量转移和热量转换问题中引起的一些 具有转移条件的边值问题由于边界条件中出现谱参数a ，由其确定的线性算子 会随a 的不同而不同为此首先在适当的h i l b e r t 空间h 上定义一个与其相关的线性 算子a ，使得所考虑的依赖于特征参数的不连续s - l 问题与算子a 的特征值相同，即把 问题转化为研究在一个新的空间中的一个新的算子的特征值和特征函数问题 本文的第二部分研究了这类内部具有”不连续性的”二阶微分算子，即带有转移条 件的s l 问题第三章从最简单的情况入手，讨论了边界条件是分离的并且带有转移 条件的s l 算子特征的渐近分析，并将相应特征函数归一化第四章研究了边界条件 依赖于特征参数且带有转移条件的s l 算子的自共轭性和特征的渐近情况，并在新的 空间里将其相应特征函数向量的第一部分归一化其特征的渐近估计均采用 e c t i t c h m a r s h 所引进的函数论的方法嘟1 。 1 3 本文的主要结果 本文主要围绕微分算子领域中的谱分析问题中特征值的渐近展开研究全文分为 六个部分，第一章给出了问题提出的主要背景与本文的主要结果：第二章解决了一类 关于几类常徽分算子特征值的研究 右定s l 问题特征的渐近分析；第三章研究了一类具有分离边界条件和转移条件的微 分算子特征的渐近分析：第四章是具有转移条件且边界条件中带有特征参数的微分算 子特征的渐近分析：第五章是一类带高阶转向点的奇摄动特征值问题：第六章是两类 左定s t u r m - l i o u v i l l e 问题问的特征值不等式 本文的主要结果： ( 一) 研究了具有一般分离型边界条件的右定s l 问题特征的渐近分析，利用不 同的方法，得出不完全相同的结论 1 利用g r e e n l i o u v i l l e 变换与f r 6 c h e t 导数技术给出右定s l 问题特征值精细 的渐近估计，使结论更具一般化 2 运用p r u f e r 代换给出一类s l 算子特征值的更精细的渐近分析，其结果体现了 边界条件、方程系数对五的影响 ( 二) 研究了内部具有”不连续性的”二阶微分算子，即在内部点处具有转移条件 的s l 问题的特征的渐近分析 1 利用e c t i t c h m a r s h 所引进的函数论的方法给出边界条件是分离的并且带有 转移条件的s l 算子特征的渐近分析，并将特征函数归一化 2 研究一类具有转移条件且边界条件都带有特征参数的s - l 问题在适当的 h i l b e r t 空间h 上定义了一个新的算子a ，使得所考虑问题的特征值与算子a 的特征值 相同首先证明算子a 是自共轭的，接着利用e c t i t c h m a r s h 所引进的函数论的方法 给出其特征的渐近分析，并在新空间内将特征函数向量的第一部分归一化。 ( 三) 研究了一类带高阶转向点的奇摄动特征值问题采用l a n g e r 变换”3 。得到 其由b e s s e l 函数表示的一致有效渐近解啪1 ，利用b e s s e l 函数的性质，分别给出带单个 和两个转向点时问题的特征值，推广了以有结论嵋7 1 4 内蒙古师范大学硕士学位论文 第二章一类右定s t u r m - l io u vi | le 问题特征的渐近分析 在本章里，我们考虑 口，b 】上一类带一般分离型边界条件的右定s - l 问题我们把 研究重点放在此类算子特征值的存在与分布上，得出其特征的渐近表示 关于s t u r m - l i o u v i l l e 问题特征值的存在性证明方法很多在算子理论中，常用 的方法是构造微分算子的g r e e n 函数，然后将微分算子的特征值问题转化成一个全连 续的积分算子的特征值问题来处理事实证明，采用e c t i t c h m a r s h 所引进的函数 论的方法，在处理各种类型的微分算子( 无论是常型的或奇型的，自伴的或非自伴) 的 谱分解的问题中都是富有成效的本章我们分别采用f r e c h c t 导数技术与p r u f e r 代换 对下述右定s - l 问题的特征值进行更精细的渐近分析 设实值函数g ( 力r 【o ，万】，w ( x ) o ，以工) c 2 o ，石】，工 0 ，万】，则 i一) ，+ q ( x ) y = 州曲y ，0 x i ， y ( 0 ) c o s a + y ( o ) s i n a = 0 ， ( 2 1 ) l y o r ) c o s p + y ( x ) s i n p = o ，0 口， 石 为一类带一般分离型边晃条件的右定s - l 问题，其特征值为a 2 1 权函数w 三l 时特征值的渐近分析( 一) 在这一节，我们将利用b a n a c h 空间中的f r e c h 6 t 导数技术给出下述s l 问题的特 征值更精细的渐近估计： k - 篓y * 搿+ q ( x 篆) y = a y 篙, 其中实值函数g ( 曲l 2 o ，石】 0 工 厅。 ( 2 1 1 ) 0 口， 厅， 首先，我们把妒( 工，a ) 视为下述非齐次方程c a u c h y 问题的解： fy + 砂= g ( 功妒( 石，五) l y ( o ，五) = s i n a ，y ( o ，a ) = - - c 0 s 口， 于是应用常数变易法，即知妒( 工，旯) 满足积分方程 关于几类常微分算子特征值的研究 妒a ) = c o s 盈s i l l 口一三号字c o s 口+ 击r s i n 万。一手) g ( 孝) 烈善，a ) 鸳( 2 1 1 2 ) 、l、l w 如果9 ( 工，兄) 满足 妒( 石，j t ) c o s p4 - 妒( 万，j t ) s i n p = 0 ( 2 1 1 3 ) 时，则a 为s l 问题( 2 1 1 ) 的特征值，伊a ) 为相应的特征函数，c a u c h y 问题 ( 2 1 1 1 ) 之解妒( 工，旯) 称为其c a u c h y 解令 厂( a ，g ) = 妒( 厅，g ) c o s p + q o ( t r ，a ) s i n p = 0 ， 则它即为s - l 问题( 2 1 1 ) 的特征方程至此分析( 2 1 1 ) 的特征 九，妒( z ，以) 即化为 下述问题： p 1 ：( 2 1 1 1 ) 的解妒( 工，a ，q ) 的解析性质： p 2 ：f ( 2 ，q ) = 0 的根a 的分布及渐近性 关于妒( ，a ，q ) ，有下述结果： 引理2 1 1 1 对a r ，q ( x ) r 0 ，石】，c a u c h y 解p ( ，a ，g ) 有下述性质： ( a ) 妒a ，g ) 关于工在【o ，石】上是连续的： ( b ) 妒( ，a ，g ) 关于任意( 互，卓) r r o ，石】是f r 6 c h e t 可导的，其导算子记为 o q = ( ，a ，辱) 这里钆“互，香) 实际上表示妒( ，a ，g ) 在( 互，辱) 点关于口沿g 方向的方向导数，且它们分别 满足定解问题 j 一( 吼) 。+ ( 香( 力一a ) 吼= 妒，0 工 石， 【 ( 仍) ( o ) = 仍( o ) = o ， j 一( ) 。+ ( 辱( 工) 一a ) = 一g ( 工) 妒( 曲，0 工 丌， i ( ) ( o ) = ( o ) = 0 ， 其中伊( ) ，仍( ) ，( ) 分别表示矿( ，互，垂) ，吼( ，互，辱) 和伤( ，互，毒) ，而“”和”是对 变量x 求一阶和二阶导数， 证明根据实空间及b a n a c h 空间的微积分学理论即可证得，这里从略 引理2 1 1 2 设伊( ，互，毒) ，吼( ，互，辱) 和纯( ，互，毒) 为工的函数，则其w r o n s k i 行列式 6 内蒙古师范大学硕士学位论文 满足 阮，妒】( 砷= r 妒2 ( o d r ， h ，伊】( 曲= 一n ( r ) 妒2 ( r ) d r 证明在c a u e h y 问题( 2 1 1 1 ) 中取( a ，g ) = 研，雪) 后，得 j 一妒。( 力+ 香( 工) 矿( 功= 名以力，0 工 o 后对0 口，卢 ，一致成立 证明由于丸( o ) 是方程 以石，五，o ) c o s f l + p ( 乃z ，o ) s i n f l = 0 的第n + 1 个根，其中函数口满足 i一妒( 工) = 五妒( 功，0 0 ，考虑 f o ，) ：o ，+ 刀2c o t f l c o t a ) t a n y - r e ( c o t f l c o t 口) ：0 9 关于凡类常徽分算子特征值的研究 之根的分布情况视c o t p 为常数，作二元函数 g ( 弘f ) = + 型) 协y 一万c 。t p + f = 0 ，o s f s 万c o t 口。 y 由g ( y ，r ) = o 确定y = y ( r ) 是f 的隐函数，即g ( y ( f ) ，f ) = 0 先考虑f = 0 ，此时y ( o ) 满足方程 y t a n y = 7 r c o t f l ( 2 1 2 6 ) 考虑a ( 工，f ) = 工t a i l x - - t , t e 【o , i r c o t 用，工( 。一1 弦一号，。一1 ) 厅+ 三) 对任意固定的 f ，a ( x ，f ) = 0 的根x = 川) 即a ( x ( o ，f ) z 0 ，由此即得 d t t 2 + 工2 ( f ) + f 所以，石d r i 。= i 1 面= 1 作石，且有 鼽( 0 ) = 剖。万唧哇 ，象= 0 ( 舟0 ( 砉 。，班半+ 删k n 眨m ，) 碍 “ 故_ c 。t p ) = n f f + l c o t f l + 吉 为方程( 2 1 2 6 ) 的解y ( 另一方面，对函数y ( f ) 在f = 0 处t a y l e r 展开，得 y 印c o t 口) 一y ( o ) 一d y 一( r ) l zeota+ldzy(。r)ildr t - - - - o 2 d r ，。协c o t 口) 2 ( 2 1 2 8 )i ，o 从而由g ( ) ，( f ) ，f ) ；o 可求出 立：一 d r y z c o t f l t a n y + y 2 y 2 t a n y + y c 2 y + r z c o t f l s e e 2 y - t a n y 这是关于y 的有理碱则掣l = 一磊1 + 0 ( 砉 自( 2 1 2 9 ) 式再对r 提得 剖f = o ：。( 舟o ( 砉) 。z z s 懈 y 。( z c o t a ，= y 。c 一言c o t a + 0 ( 砉 = n 石+ i 1c c 。t 一c 。t 口，+ d ( ) ， 故定理2 1 - 2 1 成立 内蒙古师范大学颈士学位论文 下面再来给出g 的估计，即g 。o ，口) 和九( 4 ) 的依赖关系 引理2 i 2 2 当疋( 圣) 0 时，g 。圣) 有下述渐近式 “埘，= 拄c o 文历+ 啦) ， 其中毋：a r c t a n 罢姿 九( ) 证明由( 2 i 2 2 ) 式知问题( 2 i 2 i ) 的解 北幻) = 毗+ e 警g 聪钿磁， 其中矿( 石，a ，0 ) 为问题( 2 1 2 3 ) 的解= 妒( 工，a ，o ) = ，c o s ( 盈+ o ，这里 牡a r c 锄等一忙甜! 半i 将( 2 i 2 1 1 ) 式写为算子方程妒( 工) = 庐( 力+ k o 烈功，则矿( 力可表示为 呋五五( g ) ，g ) = z k 。矿( 刁， 其中v o l t e r r a 积分算子 置。州= 洋c 粼撕撕豚 注意至0 0 工s 石时， 从而由归纳法，可得 h ( 工) i 刷1 _ 4 。o ) ，( 行= o ，i 2 ，) ，。工s 石， 其中香( 力= 石i ：l q ( f ) 协至由( 2 1 2 1 2 ) 式知 ，旯( g ) ，g ) 1s 主w 。与1 一( ，) ：8 8 胁牡旯( g ) ，g ) 1 s”(z)=8训”pn=o ， 3 c o 0 ，x , t v q ( x ) r 【0 ，万】，有 关于几类常微分算子特征值的研究 2 1 1 3 知 ( g ) = 以( o ) + 0 ( 丢) ，从而根据定理2 1 2 1 有 瓜万：。十d f 三1 妒( 工，a ( g ) ，g ) ：乒( 力+ 0 r 三 ( 2 1 2 1 4 ) r 妒2 ( 孝，以( n g ) 鸳= r c o s 2 ( 孺+ 口+ 0 ( 匀= 詈+ 0 ( 书 引埘，= 畿= 竿静赢坩从 而引理2 1 2 2 即证 定理2 1 2 3 设g ( 曲r 【o ，纠，s i n a s i n f l 0 ，丸( g ) 是s l 问题( 2 1 1 ) 的第 柏m ( o ) + 三胁胁妻胁炳( 厮旧出+ 删( 2 1 2 1 5 ) “动= 砉c o s 2 册+ 文书= 丢，+ c o s 2 删+ 嗄匀 1 2 内蒙古师范大学硕士学位论文 丸崭+ 扣卢- c o t a ，+ 去胁出+ 扣c o s z 础+ d ( 丢 ，( 2 1 2 1 6 ， 妒c 工，丸，= c o s 船s 访口+ d ( 言) ，一寸。 址明田疋埋z 1 1 3 、l i z 埋2 1 2 3 即得( z 1 2 16 ) 式，由( 2 1 2 1 4 ) 式易得 ( 2 1 2 1 7 ) 式若将其归一化特征函数记为( 工) ，经计算可得 吣，= 层+ 料 如上讨论的是s i n a s i n f l 0 时，s - l 问题( 2 1 1 ) 的第n + 1 个特征值与特征函数 的渐近式，当s i n a s i n # = 0 时，可用类似方法求得这些渐近式为： 1 s i n a = 0 ，s i n 口o ， 以= ( n + 匀2 + = 2 唧+ 拇出一昙胁c o s ( 2 n + i ，砌+ 0 ( 言) ， 删= 仨s i t 争0 ( ) ： 2 s i n a 0 ，s i n p = o ， 丸= ( 疗+ 扩昙+ 妻胁出+ 妻胁衅州脚0 ( 丢) ， 州= 层c o 卜扣o ( 丢) ： 3 s i n a = 0 ，s i n p = o ， 丸娟+ 1 ) 2 + 三胁肛妻胁) c o s 2 ( 川) 础+ d ( ) ， = 据蝴删工+ 啦) 注1 文 5 8 、 2 s 、 2 9 中s - l 问题的边界条件是本文讨论s l 问题( 2 1 1 ) 边界条件的特殊情形，其结论是本文结果的特例 2 对任一有限区间k6 1 上s l 问题 关于几类常微分算子特征值的研究 i y + q ( x ) y = z y ， y ( a ) c o s a + y ( a ) s i n a = 0 ， 【y ( b ) e o s f l + y ( b ) s m z = o ， 其中g ( 力r 陋，6 】，0 口， y ，a 并s b 当s i n a s i n f l 0 时，其第n + 1 个特征值与特征函数的渐近式为： 以= 高+ 击t 即毗，+ 击f g ( x ) d x + 击f 舯。出+ 电 ， 功= j 击c o s 子+ 蚓， 其它三种情形略 2 2 权函数w z l 时特征值的渐近分析( 二) ，在这一节，我们将利用p r a f e r 变换的变形形式解决下述s - l 问题的特征值精细的 渐近估计 fy 。+ q ( x ) y = 砂，0 工 石， y ( o ) c o s a - y ( 0 ) s i n a = 0 ，( 2 2 1 ) 【y ( x ) c o s f l + y 7 ( x ) s i n f l = 0 ，0 口， 石， 其中实值函数q ( x ) = u i ( 工) ，“( 力b v o ，i t 】 定义2 2 1 若闭区间 o ，万 上函数厂的连续模 ( 艿，力= s u p l f ( x 。) 一f ( x ：) l ( _ ，工：【o ，石】，i x 。一工：l 6 ) 满足估计式 ( 占，) c 5 4 ， 这里c 不依赖于万，则称函数厂为l i p s c h i t z 类函数此类函数集合记作 人。，0 s 口 1 下面令 y i = y ，y 2 = y 7 一u ( x ) y 仿照p r u f e r 变换作下述代换 y l ( x ) = r ( x ) s i n o ( x ) ，y 2 0 ) = 旯2 r ( x ) c o s o ( x ) ， ( 2 2 2 ) 则易证o ( x ，旯) 满足 1 4 内蒙古师范大学硕士学位论文 日( 五旯) = 旯2 + 丑2 u 2 ( x ) r 。o s 2 0 ( x ，2 ) + u ( x ) s i n 2 0 ( x ，a ) ( 2 2 3 ) 引理2 2 2 捌若令 ，丑) = r i j f ) 出，人2 ( 五) = n ( x ，旯) 1 2 d t ， (24a(xu(t)sin(23dt2 ；) ，丑) 2 l2 f ) 出，人2 ( 五) = j 陋( x ，甜， ( 2 - ；) 那么有 三 o ( x ，a ) = 旯2 j + 口( 0 ，旯) + a ( x ，旯) + p ( x ，五) ( 2 2 5 ) 且 j p ( x ，2 ) | 掰( 爿( 五) + 2 - i ) ， 其中常数m 不依赖于x 和a 经推导不难得出 即，d = n l ， g - - 争黜t a n 攀孝， 舷棚砘万一詈+ 一型警 按照微分学基本定理，口( x ，a ) 满足 j r ，乃= 叫，r + a r c t a n 竺鼍趟誉产+ a r c t a n 竺警c z z e ， 因此，要求以的渐近值，需估计a ( 万，a ) 与p ( x ，五) 定理2 2 3 “当s i n a s i n f l 0 时，s l 问题( 2 2 1 ) 的第n 个特征值的渐近式为 压曲叫+ d ( 身 泣射， 引理2 2 4 嘲假设复数列九满足条件 1 ) 以h 。= z l l l m z i 口 ： 2 ) 对任何以下列点为顶点的正方形 f + i a ，r i a ，r + 2 a + i a ，f + 2 a i a ， 包含在其内部的以的数量不依赖于常数f 的限制 那么对f r ，序列 关于几类常微分算子特征值的研究 c n = l f 毒d x 属于z 2 ，并且满足 弘1 2 - c l l s l l ：, 。 从( 2 2 7 ) 式可看出，序列九i 满足引理2 2 4 的假设如果口a ) 由( 2 2 4 ) 式确 定，则由引理2 2 4 a ( x ，a ) ，2 ， o ，万】) ，而且a 2 ( 工，丸) 在工 o ，万】上一致收 敛- 自然地，a ( x ，a ) ，2 由此得到 ( 川 a r c t a n 等等+ 删a n 等等= ；。f 2 ( 2 2 8 ) 现在，i i 设u ( x ) a 。，由(