（科学技术史专业论文）理解与维护——中算家对《大测》的会通工作.pdf

内蒙古师范大学硕士学位论文 中文摘要中又捅芰 本文以明末人测的传入以及前清中算家对它的研究工作为线索， 分析和探讨了大测介绍的西方三角学内容以及中算家在理解、完善 和重构这些知识方而的系列会通工作。在此基础上，进一步指出中算 家使j - j 了自己熟悉的方式对大测介绍的西方三角学知识进行会通， 墩得j ，丰硕的成果。 论文主要分为三章。第一章详细分析了人测中的三角学内容， 纠jf 了前人的一些误解，介绍了测量全义对大测的进一步补充 工作。由此得出：传教1 j 在引进西方数学时，已经考虑到l - 算家接受这 些知识的可能性。 第二章着霞研究李子金、t l 锡闸、薛风祚为代表的清初巾算家在完 善人测中缺失的数学证明办丽的工作。认为1 期r | l 算家开辟厂以勾 股术会通西方三角学的途径，为后来中算家指明了会通的方向。 第三章以梅文鼎对半面三角学、杨作枚对三角函数造表法的研究为 重点，展示中算家对人测的晕构二 作。他们的成果标志着中算家已 圆满完成了对大测的会通j 【作。在会通的过程中，他们使用了适合 自身习惯的数学方法和说理方式，受西方逻辑推理的影响有限。 本文以中算家会通大测的过程为线索，探究了前清中算家在维 护中算传统基础上做出的创新工作，据此认为明术清初中西数学交流中， 中算家在维护中算传统价值观的基础上，全面会通了大测中的数学 内容。 关键词：人测，三角学，- 一 ，算传统，会通中姨 内蒙古师范大学硕士学位论文 a b s t r a c t b a s e do nas t u d yo ft h ef i r s tc h i n e s et r i g o m o m e t r i c a lt r e a t i s ed a c e ( g r e a tm e a s u r e m e n t ) w h i c hw a sc o m p i l e db yj e s u i tm i s s i o n a r yj e a nt e r r e n z ( 1 5 7 6 16 3 0 ，c h i n e s e n a m e d e n gy u h a n 邓玉函) a n d o fc h i n e s e m a t h e m a t i c i a n s r e s e a r c h e so nt h et r e a t i s ei nt h ee a r l yo i n gd y n a s t y , t h i s d i s s e r t a t i o na n a l y s e sd e t a i l e d l yt h et r i g o n o m e t r i c a lk n o w l e d g ei nt h ed a c ea n d s t u d i e st h ec h i n e s em a t h e m a t i c i a n s w o r k s o n c o m p r e h e n d ，r e f i n e m e n t ， r e c o n s t r u c t i o no ft h ew e s t e r nm a t h e m a t i c a lk n o w l e d g e i tc o m e s t ot h e c o n c l u s i o nt h a tc h i n e s em a t h e m a t i c i a n st o o kt h e i ro w nf a m i l i a rt e r m sa n d m e t h o d o l o g yi nt h e i rs t u d i e so ft h et r i g o n o m e t r i c a lk n o w l e d g ea n do b t a i n e d m a n yr e s u l t s t h i sp a p e ri s c o m p o s e do ft h r e ep a r t s c h a p t e r o n ed e a l sw i t ht h e c o n t e n t so f t r i g o n o m e t r i c a lk n o w l e d g e i nt h ed a c e ，a n dc o r r e c t ss o m e h i s t o r i a n s m i s u n d e r s t a n d i n ga b o u ts o m ef o r m u l a ei n t r o d u c e di n t h ed a c e i n a d d i t i o n ，t h ec o n t e n to fc e l i a n gq u a n y i ( c o m p l e t em e a n i n go fm e a s u r e m e n t ， 测量全义，1 6 31 ) w h i c hp r o v i d e ds o m es u p p l e m e n t st ot h et r i g o n o m e t r y c o n t e n t si nt h ed a c e b a s e do nt h es t u d y ，t h ep r e s e n ta u t h o rc o n c l u d e st h a tt h e m i s s i o n a t i e sh a dc o n s i d e r e dt h em a t h e m a t i c a lt r a d i t i o na n dr e s e a r c hc u s t o m o fc h i n e s e m a t h e m a t i c i a n sw h e nt h e y i n t r o d u c e sw e s t e r nm a t h e m a t i c a l k n o w l e d g e 。 c h a p t e rt w oa n a l y z e st h er e s e a r c hw o r k so fc h i n e s em a t h e m a t i c i a n so f t h ee a r l yq i n gd y n a s t y s u c ha sl iz i j i n ( 李子金，1 6 2 2 1 7 0 1 ) a n dw a n g x i c h a n ( 王锡闸，1 6 2 8 - - - 1 6 8 2 ) ，a n dx u ef e n g z u o ( 薛风祚，1 5 9 9 - 1 6 8 0 ) ， i nr e f i n i n ga n ds u p p l y i n gm a t h e m a t i c a lp r o o f st of o r m u l a ea p p e a r e di nt h e d a c e , a n dc o m e st ot h ec o n c l u s i o nt h a tt h e i rw o r k so p e naw a yo fe s t a b l i s h i n g ac o m m u n i c a t i o nb e t w e e nc h i n e s ea n dw e s t e r nm a t h e m a t i c sb y u s i n gt h e t h e i rf a m ili a rm e t h o do fg o u g u ( p y t h a g o r e a n t h e o r e m ) ，a n d ，t h e r e f o r e ， 内蒙古师范大学硕士学位论文 f o r m u l a r i z e dt h ed i r e c t i o no ft h e i rs t u d yo ft h et r i g o n o m e t r y c h a p t e rt h r e es t u d i e sc h i n e s em a t h e m a t i c i a n s r e c o n s t r u c t i o nr e s e a r c h e s o nt r i g o n o m e t r y ，e s p e c i a l l yt h o s ei nm e iw e i d i n g s ( 梅义鼎，1 6 3 3 1 7 2 1 ) p i n g s a n j i a o j u y a o ( t h eo u t l i n eo f t r i g o n o m e t r yi np l a n e ，j r 三角举要) a n di n y a n gz u o m e i s ( 杨作枚) j i eg e y u a nb a x i a nz h i g e n ( t h ef u n d a m e n t o f e s t a b l i s h i n gt h et r i g o n o m e t r i c a lf u n c t i o nt a b l e s ，解割圆八线之根) t h e i r w o r k si m p l i e dt h a tt h ec h i n e s em a t h e m a t i c i a n sh a dr e a l i z e dt h e i rt a s ko f e s t a b l i s h i n g c o m m u n i c a t i o nb e t w e e nc h i n e s ea n dw e s t e r nt r i g o n o m i t r y d u r i n gt h ew h o l ep r o c e s s ，t h e c h i n e s e m a t h e m a t i c i a n su s e dt h e i ro w n f a m i l i a rt e r m sa n d r e a s o n i n gm e t h o d s ，a d o p t i n gc o m p a r a t i v e l y l i m i t e d w e s t e r nl o g i ci d e a s u m m a r i l y ，i n t h e p r e s e n tp a p e rw e t r a c e st h es t u d i e so fc h i n e s e m a t h e m a t i c i a n so ft h ee a r l yq i n gd y n a s t yo nt h et r i g o n o m e t r yi n t r o d u c e di n d a c et os h o wh o wc h i n e s em a t h e m a t i c i a n so b t a i n e dn e wr e s e a r c hr e s u l t sa n d h o wt h e ye s t a b l i s h e dc o m m u n i c a t i o nb e t w e e n t r a d i t i o n a lm a t h e m a t i c a l k n o w l e d g ea n d w e s t e r no n ei nt h ef r a m eo ft h ec h i n e s em a t h e m a t i c s t r a d i t i o n k e y w o r d s ：d a c e ( g r e a tm e a s u r e m e n t ) ，t r i g o n o m e t r y ，c h i n e s e m a t h e m a t i c a lt r a d i t i o n s ，c o m m u n i c a t i o nb e t w e e nc h i n e s ea n dw e s t e r n m a t h e m a t i c s 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研 究工作及取得的研究成果，尽我所知，除了文中特别加以标注和 致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成 果，也不包含本人为获得内蒙古师范大学或其它教育机构的学位 或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任 何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示感谢。 , a - b 签名：之堡走 日期： 哪年月6 日 关于论文使用授权的说明 本学位论文作者完全了解内蒙古师范大学有关保留、使用学 位论文的规定：内蒙古师范大学有权保留并向国家有关部门或机 构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅，可以将学 位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影 印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文，并且本人电子 文档的内容和纸质论文的内容相一致。 保密的学位论文在解密后也遵守此规定。 、 签名：怒毛言翥多三二辩日 引言 1 历史背景 引言 1 6 世纪初，随打通纯尔方新航路的j l ：牌，瞅洲传教士络绎东来，j l | l i i 了 i 曲两 大文化间大规模的交流。欧洲历算学之输入，实为巾因学术史上火笔特15 f + 9 一场大公 案。在这场被称为“心学尔渐”的浪潮- f l 耶稣会? j 所起的作用无疑足1 i 人的，币 是由于他1 l 、j 的绣力促使晒力数学第一次系统的传入巾囤。2 耶稣会_ 【= 进入t 圈之际， 适逢大统历l j j ：d ：t j 洪，历局依靠传统数人文学知识无法解决问题。这咣耶稣会 十倚仪自己渊博的，zu ! 、良女，的品行以及锲i r i i d ；禽的精神，得以在中困矗：足，进而接 近朝廷大员，血伞最终进入钦天监。在徐光启的领导下，中外学者共闻促使1 1 1 幽最大 的天算，) i 进项【i 一一崇祯历书的编撰，这使社 以儿何体系为特t i i ! l l , ji j l i 方天文学 方法在中图钉特殊地化n 勺天文学领域，最终获”i ；力钦定的地位。 但是，作为f i | i 夕 来文化，西方历算学以川，传播，必然激起本土文化的剧烈 应。热衷= j ：学二j f f ) i - 7 洲l i i 羊数学成为当时一种从7e ，i 阿排斥拒绝也大有人n ：。1 i 过，西 洋数学所表现j _ f ：n 勺n j 碰人优势不得不使中算家折i i j i 王，川时以徐光启为代丧的。批学者 所提倡的“翻译、会通、超胜”的会通精神，也激励着更多的中算家投身于会通l f l 西 的浪潮中。一代代仃 叭1 1 、有志的中算家在广泛吸收、研究西法的基础【4 ，进一步补充、 完善西法存在的纰漏，并以中算的方法和思维，：薮构了传入的西方数学；另方面， 西学的传入，也时一 j 辣家的研究方法产生重大影响。两大数学体系在清初l f - - 算家手中 展现出特有的f j 动 j 景，使得明仞以来一度衰微的中算研究又在此时恢复了生机。 由于三角学在历法计算中起着基础作用，“新历之妙，全在弧三角，然必知平三 角，而后可以论弧：角”，所以尤为受到中算家的重视。具体来晚，曲历在测天中 引进弧三角形，汁算：l f l 引进割圆八线表1 ，测望l j 利用平三角。这些三角学知识，对 于中算家，完全是一种新的数学理论，在引起中目历法彻底革新的同时，也引起中算 家对三角学研究的热情。从研究的人数、著作、以及研究的深度上，可以看到，三角 学研究是当时数研究的重点。中算家会通- i 角学的过程，是明术清仞吸收西学最精 1 梁启超中圈近i 丌年学术l 史人津：天津古篇版i 1 2 0 0 3 8 2 具体f e 入的数学知i j ! 爹圯乍迪士编q j 阳数! # 史人系筇l 卷北京：i t 京师范人学j | ；版十i ：1 9 9 9 ，3 7 5 3 3 - 乍迪中用历史l ：i ：址，、的久斡川j 且项 1 | 太j 欲l l i 帅范人。# 1 - t l ( n 然科学版) 2 0 0 7 ( 6 ) 6 5 9 6 6 1 4i 清1 梅义 。i i i j j i 三幻擎嫂睁郸 0g ；j - ：编：f j 心科。技术皿未 ：地“数学卷4 4 6 1 郑州：m 教舒j j ；版”，1 9 9 3 5 陈久余徐光j | ；= 嗣1 崇材! j j j 协j f 宗吴德锋编旨徐光们研究沦文集1 ：海：学十术版礼1 9 8 6 9 1 内蒙古师范大学硕士学位论文 彩的槔。 通过学爿传教：j j 以自身认l j ! 为依托编撰的三角学b 符，。l 钟：家另有不同的感f 虽然或多或少i i l f 抱有“中础之见”的念度。但对三角学n j 解释，有人施以西学，订人 施以传统中饽，另有人“会通r 【i ”。经过i f l 算家近_ 向q - z f ( , j 努力，不但将崇祯历j 拈 有关三角学的j 侈籍中存在的纰漏一一补善，同时创造出人量新的成果，终使三角学在 中国以“2 = j 股”的身份站住了脚跟，“灭元一”即“借根方”一起为“西学中源” 提供了使人“信服”的证据。 大测，作为传入中蹦的笫部谱方三角学著作，更因为它是介绍三角函数造 表法的权威著作，特别引起中算家的关注。由于大测在介绍一些数学命题时，没 有给出具体的论证过程，在很人程度。l ：影响了中算家对这蝗方法的接受。于是这些没 有给她订e l | jn ，j 数学命题首当其冲，破r ，算家一个个解决完善。在f j 仃辈数学家的基础 上，梅文鼎为大测中的j ，面- 一：角学以及i 角函数造表法内容给出了符合中锋的解 释，并且找到了会通西方三i 角学的天键技术。基f 这种解释和技术，他对j f 面- - s f j 。；乏 进行重构，i i l l l _ 匕完成了中算家笫一部、i i l f l i 角学著作平i 角，滓要。而埘：二角函数 造表法进行耀合的1 作，杨作枚彳 舛每义鼎的毖础j ：继续完成，编辑i q i 版了解八线荆 圆之根，这本一j 以晓是中笄：家以大测内容为依托，利， jt j 算f 统知i j 娣j 办法， 会通三角函数造农法的巅峰之作，不f h 解释清楚了大测r i 的每一项t 角学内容， 并在两法的基础一l ：更进一步，给出了更为简洁的证明、更为清晰的说理以及更为精确 的数值。解八线割圆之根q - , 的数学方法，对后来的中算家影响很大，循着它的思 路，中算家进。步提高了三角函数表的精度。 本文即是柏! h 述背景之卜，研究大测的数学内容以及d 订清中算家对人测 的完善和重构过程，并以此为例，进步探究在这一过程中西法和中算之1 1 = i j 如何槲瓦 影响，说明中算家为将西方三角学本土化做出了怎样的工作，并期望挞于对上述历史 过程的分析，得到更深层次的研究价值。 2 研究基础 前辈数学史家在厘清明清三角学方面做了大龄的研究：i = 作，这为本文的完成奠定 了良好的基础。李俨先生的三角术和j 角函数表的东来“以及明清算家的割圆 6 牟i l l ：二= 饷术f n ：们m 数表的东水郭1 5 ，f f 、刘饨i i 编：李 i i - ；饯五琼f ： ：# 史伞集( 七) i * i ：f l ：辽i 2 教肖j i ；版 l ：1 9 9 8 1 9 2 2 1 7 2 引言 术研究：址f f j f 究f i ；j f f l i 角学之嚆矢，无沦足殳料收集，还足内容形f 析，翱5 可以晓是 扛鼎之作，住这几i f ij l l , j 研究，至今无人能盟! 其项背，而大测一足这蝗文章l = f 重 要的书籍之，伞5 t q - 已经对书籍的大概情况做了很好的研究，f i 然成为本文研究的 极佳线索与范本。 严敦杰、方豪、f l 尚恕诸先生研究了大测中数学知识的_ 水源，其中自尚恕先 生的介绍我旧第一部二角学“大测”l 。文，在李俨先，上文章的基础上详细论 证的大测的数学1 人】容以及底本问题，足继李先生之后又一篇研究大测的重要 文献，只是存。辱| 、u j 题上，自先生的结沦有错，当然，在一篇论文中，自先生也不可 能论及大测埘后来。 i 算家的影响。 至于r f l 鳟家刈+ 火i l j ! 1 1 ) ) 的研究工作，梅荣照研究了王锡阐的圜解：李迪、郭 世荣、刘钝诸先乍深入研究了梅文鼎以及他的三角学著作平三角举要；而刘钝还 对明清之际i f l 算家的心念做了精牌的论述；潘丽云则特别研究了梅文鼎的数学证明， 给本文很人础示；j f - l # t - ，i 讶宏林研究了李子余、孔林宗、杨作枚等人在三角学方面的 贡献：而数删柑蕴一1 | f l | r i 火内容，夸兆华多有研究。近年| l ：i 淼中因数学的西化 历程一j 1 5 专设。章介乡f i iq 数! 学家刈二角函数概念及公式的研究”，是这力面的一 篇新作，同时，该 5 抛i l l 了 ! 多很好的殳学脱点，本文受益良多。 钱宝踪、含迎等先乍仉他们的论著。f 1 对这一时期的三角学有综述；何艾尘、梁成 瑞、梅荣照、，下渝q - 、刘钝、郭世荣等人对几何原本传入对中算家的影i 啊做出了 详细的分析1 0 ；f 1 本学嚣小林龙彦也对这时期的三角学有研究，冯立舁、小林龙彦 还对崇祯历书、历算全书中三角函数表的传同及其影向做了分析。另一方面， 我们还可以从s m i t h 、b o v e r 、s t r u i k 、梁宗巨、沈康身、李文林、莫德等人的著作 中了解三角学传入自订后两方的情况。 从以上列出的文献看，李俨先生的两篇论文三角术和三角函数表的东来、明 清算家的割圆术研究，系统阐述了这一时期二三角学的发展，他的文章，是属于“李 钱运动”范式下典型的数学史研究，注重的是发现此时的数学“是什么? ，并没有 注意到不同人对于某一个数学命题的不同理解与阐述，所以关于大测为中算家所 7 李俨i 潘锋彖的荆网术研究- 9 1 ； 备、刘饨主编：李俨饯t 琮l ： 学史会炭( 七) ，沈阳：辽宁教育j l ；版 礼19 9 8 4 6 3 4 8 4 8 “尚恕介 “我瑚第一部t 角学“人测”数学通报，1 9 6 3 ( 2 ) 4 8 - 封底 9 淼r f i 数。产的i ，【化历程济南：山东教育版孔2 0 0 5 2 7 8 2 9 6 】( ) 参处殳，1 - ：桨成蟛j 几f , i i g , 本及j e 允中固的传插c 1 j 44 ：上史料，1 9 8 4 ( 3 ) 3 2 4 2 ：梅荣照，i i 渝生， j 嗨l ：玖几m ：f 原夺n 勺传入, t ；t h ( g 我f 日 列清数学的影响倦荣照j ! 编：叫清数学史论爻集南京：江苏教育l i j ： 版 l ，1 9 9 f 1 j ： t 粥：郭i l l _ 荣论几何j 柬本对i ”j i i 数：二的_ ： ；响必德主编：几何原奉研究论义集1 l 乎和沾 特：内絮l i 教育版 i 。2 0 0 6 2 4 f ) 2 6 2 1 1 | f l 奠j - t 卟t i 数：学殳t o f 究池i = 的转换中幽科拨史杂忠2 0 0 5 ( 1 ) 5 1 内蒙古师范大学硕士学位论文 捉的ji 体研究i i u w 吣f ，j i ：没仃给n v 订的天注，同时，他殳没“考虑i j t i f 去- f t ：栉 n f k f - - f 川个数7 问题，l - 1 1 ) 表现f ，j 饿然小同的方法，以及lt 家使川的这? 鹭力法| i i 亍 后所表现f t j t l in 爿数学f 0 统的深远影响。 j i 他众人f l 勺文章只是埘粜。人物进行独立的研究，t t l j 缺乏必要的联系。此外， 大家l 留- i i - 恋力集l 一在了梅文 i l f ，j 身l ，从f j 忽视了企梅氏之的些1 1 ，算家，如夺j ， 会和簖风张：对大i ! | ：1 0 的研究f ：作，殳没彳r 观察到梅文舶i ，f c ji ：f 1 ：足在这些r 1 ，算家研究 耩础卜究成的。整合、重构人删t + t 的数学内容，这f 务：许纽梅文鼎身上，怂j 这螳l i 算家的河期成果分f ij m ，j 。川样缺少数学史家天fm 勺，；巫仃解八线藩0 职j 之根， 皱然牲数学史家刈。此+ 口做过t i , t l ：j l ，但是， ： 是集中征这小旧i ，比大测多出的力。法， 即没钉刈一翟本- 15 进行系统的研究，蜓没订认以到将人洲l ti 珀函数造表法克个i l 一 困化这。f t 务，最终赴红这小| 5 i i 毛成。 此油数学史家都没, f l ；i i 息剑， 叫，算家完善大测f l j , i 4 群lv i ， f t 。么东两改变了? 事实j ：，川十丫：的数! 学矢叭 11 。n 川i 家下，l1 是使川了祭公1 k t l 埘i 熟悉的方法，包捐 说理方= i = 、论证方法以爻心维榄上解释的。这将址本文研歹醐，j 重，r j 工。 选题意义与论文框架 对明清之际两方三角学f 0 入内容进行研究，是明消数。l 上研究的重点之，f 4 时 也是研究中外数学交流殳的典，弘案例。不但对研究这刊+ 驯的数学史、科技史研究帮 助共大，即使是对今天我们如何刈+ 待，；f j 进学习幽外科学，也有所裨益。 第一，两方三角学传入中国的基本情况，特别足f 簟入f 1 ，j j 上体内容，一般数学史研 究者都比较熟悉。大测，作为传入【 t 幽的第部曲力- - t 角”j ：7 - t 著作，以往数学史家多 有论及，但是相互之l 日j k l j 存在着矛盾之词，其中有些是错误的认识，以至于以讹传北， 造成人们刈这一时期i 角学的误判。 本文试图对三角! 学传入的一些问题进行新的研究和讨沦，以期获得更为准确的理 解，这是明清数学史研究所应该解决的问题。 在第一章中，作者将纠正过去一些数学史家对大测。 j 某些三角学内容的错误 认识，以及测餐全义对它的进一步补充，并认为邓上函等传教士在介绍西方数学 的时候，增加了大量例题，尽量使中算家容易理解其中的t 角学知识。他们注意剑引 进知谚 麻当0r f j 算传统村j 适应。 第：，随着崇祯历二伟以及后来两洋新法历二 5 的流传，中算家做出了“热 4 引言 烈”的反心，反j 。之f 打仃住，f n 哑多的，将 占夕j 放存理解、学刊、f l j l = 7 芒、会通p l i 方数 学上。i “j ：人洲t t0 鼍数学命题没订h i ! t oj 疗法，t l ，算家“先致jj - 给：i ：这些命题 正确的i i 川j 。 鉴于以i j ：数殳家埘此火注刁i 多，第：乖将洋细介绍李予会、1 i 锡i 喇、薛从祚在 修j f 、完簿火测f l j i i i ! n j 方法力而i 的- l 作，从这些工作中，我们叮以发现，中算 家已经找j 到了会通硝方三角学的方法，l m 儿整套方法，符合中算f t 统f 其式，便于中 算家理解、使川。i 嘲卅t 算家的会通i ：作，为后来者全砸整合两力- f ( j7 学指明了方向。 第i ，纽消代t i j j t 3 诸多学行的研7 e 基础1 ：，以梅文鼎为代表的t ，算家最终埘西方 三角学全丽会通，f i ，j j 大测中的数! 学内容，也被梅文鼎归入中算“左j 股术”的范围， 他在一、f - f ( jj 浮要- | 洋细论述了】己的观j 囊，j i x 寸： t 面三角学进行币构：杨作枚在 梅文鼎的摧础l 究成解割网八线之根t j ；，对角函数造表法进ij ：了详细的解释， 全面解决了人测- ，的数学命题，更为重婴的是，杨作枚使川的方法，完全延续着 王锡闸等人) i ：创的会通道路，训j 明力i 去、沦证厅式更具有中算特觚。 这一时其】。f - 强家会通西学的成果卜分 ：寓，i j ，j 荤数学史家何f 精牌、详细的论述。 本文第五錾瓯接收# 轰于f j 仃辈的j j 作，着。霞介绍了梅文鼎对1 嘶。i ，f j 学重构的疗法以及 解割网八线之根一一饽的数学内容。 作为会通- i 角函数造表法工作之集人成析，解割嘲八线之根i 2 l j 没柏被数学史 家仔细研究，该佰通篇所列诸法，大多在人测中有过介绍。仉足，杨作枚所给 出的证明方法、推理形式，都与后者大不柏i 司。作者将在第= i 肇r l - i ? f - 纯l 介绍这些数学 内容，并总结刈于同样的三角学内容，中、西数学家的方法在哪些方面不同，从而 指出，中? ：j ：家是用自己熟悉的方法会通了两方曼角学，中算传统价值舰并没有受到硒 方数学的影响而发生根本性的改变。 1 2 包括j 0 他卡l jt 的t t 锊：家，f 【u 僻史射l 、扎林宗。 内蒙古师范大学硕士学位 第一章鸟道初开 明米，随着崇祯历 s 的编撰，【l = l 国古代舰校破j , j ( 1 j 人算弓l 进i 页目开始运 j ： 埘力科0 皇知 叭l j 大量传入- 一i - 幽。以徐) 匕脚为代表的批学枵以“翻译、会通、超胜”为 础念，月：始了学习西学的高洲。j ：一i 角学在历法计算， ，逛荇墼1 1 川 l i ：用，故使其成为 叫1 时数学研究之重点，这可以从研究人数、著作、以及研究的深度l 观察到，可以晚 魁i 仙r 吸收西学最精彩的一将。 4 i 过，中幽与三角学的接触，婴比叫术早得多。匕i ! i ：7 1 5 1 “ ! 代，许莼舫介绍过 。i , - f t ：中算包含的i 角术1 一，牛01 j | j 疋ii 化幺j 股测望中应 j 了：- _ - - ：f f j 术。祚唐代，中固肯定已 经接触剑印度王角学，但由了：t f - 钟：l + 孑印度数学f n j 基小概念以及协算体系的不同，虽然 九执历、y l ：元占经p , l - f 4 k 仃印度互角学，但是它对i f l 芦7 ：1 门影n l ；, j 基7 微。峙 几代授时历中韵弧矢：锕网术”，用以辗转解算j ；f i f i i 随们一i 角形问题。然而 这种办法“计 适刚范- f 1 0 限发，计算本身义是近f l j , v , j ，于 炙很麻烦，” ，所 以从数意义j - i 1 j 。以说，郓。、) ：做刨造的方法，州_ 川一j i ：l f 了迎i j ：球衙角法的途径。 f 1 1 足，t ，h 人义计算对三角。r j s ：l l j 个i m 应j 乃，要剑明, , t ，：丘气三 ，置 0 ? c 七 二舌0 = oi 三 六一= ：) 五立走工a 三 二。五 t 七七一tu 屯d 曼 一爿 二翻j ：九日一，、三 j ? ? 九沿 日t：七七 ，一三 i 八正育d 习一上七艺三，j 一7 l 七二屯t封一三七i入上焉 岛 t ，二p 蔓 ：j 日 - 屯九t三二， 五t 一三鹤； i 太f 二丸t 册 ：一一上二 走t 蝌 ，廿蜉e 三o = 三五玉ij 之i 七冉，) 罱) 六二、t n 三一人置，o 、i 母 三屯乞舀九苎丹五三 一 。二a b 一| 乞七、一工j i 码 九j - ，u 日一二t 证山 t ：， ) ：口，已 人八二三 金呈 日六五罂 ) 二口二) a 仁i 三八，t ：l 丸=太一三三 o 三 二。一五1 1 ：一h ：二= e j z 删，、二。一cq d ：五霸三_ 二- 一阿j n 用习 婴一二日 j 一：。i t 丸 孤匍l 傣艨切馀弓之镍士q 缘宙j 正 ，镶切正o j 图j 5 八线表中三角函数表( 局部) 罗雅符撰测量全义，进一步完善了大测中的三角学内容。 测：疑全义卷七之首列出“圈内线相当之理”。“每弧每角，有) k l l 线，日j f 弦， 【= 】j 卜切线，日证割线，日难矢，日余弦，日余切线，日余割线，日余矢，并全数，为 九种。诸线内，各有相当之理，皆依三边形等角比例法( 几何六卷四题) 。”。8 罗雅符 将割瞳i 八线与三角形各边相对应，根据相似三角形理论，互求八线，基本原理很简单， 列有l i 条： ，全数为订i 弦、余割线两率之中率( 竺旦；上) 。 1 s e c ( z 3 8 i 9 j 妙m 衍：! 1 1 8 蓝个义卷l 一i u j , ，l 。t j 祯j 儿t , 4 r l 编筇8 埘内蒙古人j i i 版i ：2 0 0 6 1 5 内蒙古师范大学硕士学位 ，个数为i l ij ：i 啊切线之i 丰1 牢( t a n ( 。：l ) 。 l c o t 6 z 三，i l ：坛j 余弦，荇全数j 余圳线( 坐竺；l ) 。 c o s “c o t q 余弦i l i 弦，若伞数与正切线( _ c o s ( x ；l ) 。 s l n “t a n a i q ，儿阿弧之l f i 划线，j 其余弦，儿。忆十| | 视之线( 翌：c o s 3 ) 。 s e c f l c o s a ，儿；蛳弧之i l i 剀线1 j e 余切线，为1 渊 视之线( t a n c x ：竺望) 。 t a n f l c o t a 这几条定川川以川米解决八线t f ：求m 题，还叮以化除法为乘法，确化汁l 车。如 率为j i 弦，t - j 。以化为余剩，符为i i i 切，化为余切汁算，其它情况也足f fn 勺，这较邓 一k 函所列八线t i - t , ：法业为i 、( - ：i l lj ，也更为父；一，使得计算殳加f 便捷。 此外，邓l i 函亿八线表中给i 包含彳i 每j ! ! ：分证余弦、一余剂、| 1 ：余切位的三 角函数农。虽然微弹细，f i i 足以- 。般实际l u j 题一1 1 并不需要如此精细的数值，所以测 最个义卷i 给。个：钏测八线小农( h 卜6 ) ，包括仃每隔1 5 i i i i ，i 厶 - 、i i i 切、正 割值的i i 珀函数农，较邓i i 蛹的八线表史为简洁。 j 6 第一章乌道初开 一 ( 绦零】正艨切正弘驻1 l l 腺冒l j 僧令i 艨，协j 萦!雁俐 o ：? = 一j ， 6 三二 置乞西二：0 ! i r ) 三三二j = 玄西 一= o 一玉玛。三矗t 屯 九j。一再一二焉 一五矗 五百 三二上七j l 全三 ，、o 二 二二，、声再 七一土 一一j ：二o ；： h = 工罔 i ，： 六二 o0 片，、鹳日。方 1 一二二一c l 五 鼻，足t 日 声、 主 置三也一r ，五 码tit 鹤 二上王 屯一 七五巧 t 声6 五叉主 日：- - 七五丘一f 因 ：j 、# 王 、，f 暮n 二t 玉 n 一一日。五鱼 2 - 几 四日 二五 九一丘丙】i 蔓 一三二日矗 ，) 六t ，、一-f ：，、最再五三七三日 i 互i f 兰 卜 二臼x 日三一三订 t 日主 上；：五 再| _ 互二舀一日五 匝_九一三五 广t 工一诅 苫三五 四一it 二j ：互 ) 门三一一 j 二丘 “t 一芷五蹦t ，四 育三一置二一j 日 f 一： -一 t o 五 ，= 丘气三 ，i 一 7 一二：三丸亡上 三 二n 五 t 三：o 一 t 一一三二三二五：3 。 i ： 萎 九：再六九四 一：二 三 ? j 乞丑 弭罚，：，蚂一 0 7 一, j 1 ： ! ： 一曼 ：7 l t 一 ，j 石 乞。二 入。丈弓 四 _。 e 工矗c 目二 t j 六二苞 ：l 等 一一七二 五? i 六二 、_i1 t oe三克一：t 去凡鼻 ：，三 二- 二七： ，j 1 六o 王t = 二 1 o t三见三 一t t t ： 二j l 七。七 h = 四七。人= 二0 西五五幽 五三 ： 一二七丘 妇 二力 二 重j 7 、：乇 ? i 一j 二七八= 一 并tt 妇五 c 二二屯： ：口匕 八七e ，冈丸二 六一 九d 卜 r ) 寸： t = 屯= t _ | 鼻毳t ： 皇：二l 口。三 t ：c o t j ：三jn 三i l ot 七 ， c 七 _ = o = n3 t 七t 一十 d 屯。三 一= 日、c ： 七 ，。一三 ： 八 。吉o 再- 丸弋t 三 ，1 - 九t 二二乞t # n 一- 三 医三 t i i t j 写t 舀t j 二一 ： n 也九七 z 二，匠一三j a 二怠t 圆 六七诃 a0 八垮巨二( ，一二 坚乏 立 - j7 i 七圈一) 齐) 六二 饵 t 匡，o 一 置屯t t 茜 九三闩玉三 - ，口 ：二厶一l l 车二三 t 一。j ：田气l ，i u ： t 五“ t 二，、 j ! 巧几 ，一t 二f - 二日 六五ej 二一口二 ：、 孕j 王八七：l 丸j ! 九二 o t ：l ：一 ： ：斟一二。一 ，、oo 匹二 葛一- jj 1 0 三一同n 印一 ，、四一t 一拜 i 一i 之儿 弼：宥l 僚艨叼馀弓之馀 七u 繇帮j 正，锻切正 jz 一 。 1 5 八线袭中。i 角函数表( 闸；) 除了给出较大测史为犬；舌、多样的“八线j ：求法”，测量全义_ 、! , 义i l l t - 6 l , l 补了 人测- l - 简略的i | 们学内容。 第二节三角形边角互求 大测除了介绍三角函数表造表法之外，还有i 丽三角学的内容。传入的j 三角 学，t l - ij 二主要戍用于测量，故注重t 角形的边角求，而目，三角形也足其他图形的 耩础，地f 移j c = 为重要。 “凡度与数，不用此形- ，即巧历无从布算。故三角者，虽形体之始基，实测量 之纲要，诸卷中当首论者，此也。凡言度数，必通大小、通远近者也。三角形，繇两 视线，一径线，径线者所测物之广也。径之两端出两直线，入交于目睛之最中而成形。 如分寸咫尺，为近小之形，乃至大圈七政为远大之形，形绝不等。然其为三角形等， 则比例必等。因而s f l 小推大，用近推远，亡不合者。故日通大小通远近也。”如 大洲测1 篇介绍了解平而三角形的基本力法， t 测平者，测平面上三角形也。凡此形皆有六率：日三边，日三角。角无测法， 必以割圆线测之。其比例甚多，今用四法以为根本。依此四根法，可用大测表测一切 2 , 9 此形【! | j 指- ! f l ，lt t + ； 4 ( j 【1 9j l 岁j n ：佟洲：t 个义j 卷一2 a b 1 7 内蒙古师范大学硕士学位 平面三角形几测三角形皆用三率法，三率法叉以相似两三角形为宗。” 火洲将i fr i f j 形分为曲类，“为“角一i 边形，一为斜，f j - ：边彤。”罐于 这种分类年，j i 准，j j 洲在洲、r 篇给求街弘一i 钔形边角六婴豢的l j l j 条法则“四根 法”，f j ，j - _ - - l l 址刈1 斜，f j 一二边形而羔“枞法州”则为直角三边形改汁。以此l j q 法，在 已知三，f j 肜i 婴素tf - 其中三个要素1 。i ，i 勺条件f ，完全可以求出，j 外i 个婴素。不过山 予“ j q 根法”i ；i 岛- ? i ；j 睡，义没铂结合例题，初看，不容易知晓 ：| ；条i p i - 。；亏，我们分析 如下。 “楸法4 。各i 角形之两边，与多0 行, , y y i 炳l - i i i ，比例等。l - i 题为用对f f j 根本。” 根法。表，j 圳i 弦定丝卫土= 二= 二，在知道边与对角的条什f ，两知道另 ，登s i n 彳s i n bs i n c 外一边或加，就t - j 以解出其它元素，故为“用对角根本”。 根法二不是余弦定理 “枞法一? ，并j 二，订形，以大角为心，小边为仁住，作圆，m 截i l 巧边，各为圈内外 两线b l j 呔线j 曲拨并，若腰之外分、o 引氐之外分。” 埘j 。楸；上