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2 0 0 4 年上海大学硕士学位论文r - l 系统的动力学性质i 摘要 本文的目的是讨论一类在各种科学领域广泛存在的系统，即三维 缓变系统，由于该类系统在神经生物学方面的重要地位，故其动力学性 质尤显重要。文中，我们介绍了一种讨论该系统的动力学性质的严格的 定性方法，即广义m e l n i k o v 方法，于是结合该方法我们研究了著名的 l o r e n z 系统在r a y l e i g h 数r 充分大的情况下( 即所谓r o b b i n s l o r e n z 系统，我们简称r - l 系统) 的动力学性质 首先，我们严格地给出了该模型存在周期轨道的条件，并讨论了 其稳定性和分叉性质；其次，我们严格给出了该模型中存在两条非横截 对称性同宿轨道的解析条件，并利用p o i n c a r 6 映射的方法严格证明了 这些同宿轨道的存在意味着该模型中存在s m a l e 马蹄意义下的 昆沌； 最后，我们运用数值模拟证实了上述解析结果。总之，本文所得到的结 果一方面解决了过去有关该模型周期轨道存在性条件的一个分歧；另一 方面，就我们的了解，这是首次严格解析地证明了l o r e n z 系统存在混 沌。 关键词三维缓变系统， r o b b i n s l o r e n z 系统，周期轨道，同 宿轨道，? 昆沌。 2 0 0 4 年上海大学硕士学位论文r l 系统的动力学性质 i i a b s t r a c t i nt h i sp a p e r 】o u rp u r p o s ei st o o fs y s t e m sw h i c hn a t u r a l l ye x i s ti n d i s c u s st h ed y n a m i c so fac l a s s m a n ys c i e n t i f i cf i e l d s ，i e t h e t h r e e d i m e n s i o n a l s l o w l yv a r y i n gs y s t e m s e s p e c i a l l y , t h es y s t e m sp l a y a ni m p o r t a n tr o l ei nn e u r o s e i e n c e h e r e w ei n t r o d u c eam e t h o dt o s t u d yq u a l i t a t i v e l yt h ed y n a m i c s o ft h ea d d r e s s e ds y s t e m s ，a n da p p l y i tt oi n v e s t i g a t ed y n a m i c so ft h ef a m o u sl o r e n ze q u a t i o n sw i t hh i g h r a y l e i g hn u m b e r rf w ec a l li tr o b b i n s l o r e n zs y s t e m ，f o rs h o r t ，r - l s y s t e m ) f i r s t l y , w er i g o r o u s l yo b t a i nt h ec o n d i t i o n so fe x i s t i n gp e r i o d i c o r b i t si nt h er - ls y s t e m ，a n dd i s c u s st h es t a b i l i t ya n db i f u r c a t i o n s e c o n d l y , w eg i v et h ea n a l y t i c a lc o n d i t i o n so fe x i s t i n gt w o n o n t r a n s v e r s es y m m e t r i ch o m o c l i n i co r b i t s ，a n dp r o v er i g o r o u s l yt h a tt h e s e h o m o l i n i co r b i t si n d i c a t et h ee x i s t e n c eo fc h a o si nt h es e n s eo fs m a l e h o r s e s h o ei nt h es y s t e mb yt h em e t h o do fp o i n c m 6m a p f i n a l l y ：w e e x p l a i nt h ea b o v ea n a l y t i c a lr e s u l t sb y n u m e r i c a le x p e r i m e n t s i na w o r d o n eo fa c h i e v e m e n t s o ft h eo b t a i n e dr e s u l t si st or e s o l v ead i v a r - i c a t i o na b o u tt h ee x i s t e n c eo ft h ep e r i o d i co r b i t si nt h er - ls y s t e m ： t h eo t h e ra c h i e v e m e n ti st op r o v ef i r s t l yt h ee x i s t e n c eo fc h a o si nt h e l o r e n ze q u a t i o n s k e y w o r d s ：t h r e e - d i m e n s i o n a ls l o w l yv a r y i n gs y s t e m s ) r o b b i n s l o r e n zs y s t e m jp e r i o d i co r b i t s ) h o m o c l i n i co r b i t s ，c h a o s 原创性声明 本人声明：所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作。 除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已发表 或撰写过的研究成果。参与同一工作的其他同志对本研究所做的任何 贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 签名：日期塑堡垒r 本论文使用授权说明 本人完全了解上海大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学 校有权保留论文及送交论文复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可 以公布论文的全部或部分内容。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名：雏导师签名：4 日期：妒兰趔 2 0 0 4 年上海大学硕士学位论文r l 系统的动力学性质1 第一章前言 1 1 系统科学与非线性科学 系统观念、系统思想源远流长，但系统科学作为一门科学的提出却不过形成 于2 0 世纪中叶雕2 系统科学虽然是一门新兴学科，却越来越受到人们的重视， 其涵盖的领域也越来越广，系统思想是关于事物的一种整体性观念、相互联系的 观念和演化发展的观念- f 新科学的形成、发展总是和一定的科学技术背景相 关，科学的定量的系统理论是在现代科学技术发展的基础上形成的，系统科学作 为现代技术体系中的一个大门类，作为- v j 综合的横断的新兴交叉科学，却是有 深层的科学基础和哲学基础 贝塔朗菲( v o nb e r t a l a n f f y , 1 9 1 0 - 1 9 7 1 ) 早在2 0 世纪4 0 年代的一般系统论f 3 】中 就明确提出一般系统论的任务；“乃是确定适用于系统的一般原则”，并对系统的 共性( 整体性、关联性、动态性、有序性、终极性( 目的性) ) 作了一定的概括。 到二战期间运筹学的兴起，再到控制论的进一步成熟，后来香农( c e s h a n n o n ) 的信息论和电子计算机理论【4 】4 又都使得对系统的信息传播和处理过程的规律研 究取得根本性的突破，这些都推动着系统思想形成一门专门的学科，都为系统科 学横断自然科学、社会科学和工程技术奠定了坚实的基础，尤其1 9 4 6 年电子计算 机的诞生，更是为人类运用系统观念认识世界本质的飞跃提供了一个有力证据， 它不但为人类提供威力巨大的计算工具和手段，更标志着人类对信息处理本质的 深刻认识，也是人类系统思想活生生的典范2 0 世纪3 0 4 0 年代工程技术有了巨 大进步，由于大规模生产的系统技术及其科学体系由诸多部分组成，关系错综复 杂，需要人们从全新的角度一整体的和相互联系的角度去认识和分析问题，需要 制定一套处理复杂系统的科学方法及程序，由此，“系统工程”、“系统分析”、 “管理科学”等一系列国际定量化系统思想和方法得到了蓬勃发展。2 0 世纪7 0 年代，普利高津( i p r i o g i n e ，1 9 1 7 2 0 0 3 ) 提出了耗散结构理论；哈肯( h h a k e n 1 9 2 7 一) 提出了协同学【5 】5 ，后来艾根( m e i g e n ) 6 】继承了进化论思想和自组织理 论发表了“超循环理论”，把生命起源解释为自组织现象，提出了一个自然的自组 织原理一超循环这一时期，系统科学的发展主要是系统自组织理论的建立自 从2 0 世纪8 0 年代以来，非线性科学和对复杂性研究的兴起对系统科学的发展起 了很大的推动作用，非线性科学和对复杂系统性质的研究是系统科学的重要组成 部分也正是从那时起人们意识到非线性才是世界的上事物的本质特征，客观世 2 0 0 4 年上海大学硕士学位论文r - l 系统的动力学性质 2 界的一切事物，从根本上说都是相互作用体和相互作用过程，世界原本就是非线 性的非线性是个数学概念，在数学上是相互作用的概念形式，意义是一个系统 并不是其子系统的简单加和这种特殊情况，而更多的情形是该系统的子系统之间 的相互关系具有非加和特性，这意味着数学上叠加原理的失效事实上，把一切 事物作为系统看待，无论是内部结构还是外显的系统功能，以及系统演化过程都 是相互作用的，都是非线性的，更特殊一点说，系统科学，特别是基础理论层次 上的，其特别关心的是某个系统的一些性质随时间是如何变化的、其终态稳定与 否，这正是非线性动力学中有无稳定的定常状态抑或具有分岔等等的问题，这也 是我们混沌理论所要讨论的一部分内容这样看来复杂系统的动力学行为在系统 科学中占有很重要的位置其实系统大都有稳态，非线性动力学中讨论的稳定性 态大体包括不动点( 平衡态) 、极限环( 振荡态) 和混沌( 混沌态) ( 下节要详细 介绍) ，其中很多性质都是非线性系统所特有的，然而过去人们只讨论系统的平衡 态，现在对非线性的认识有了本质的开拓，这也为系统复杂性的研究提供了科学 的依据和方法，也正是这一系列非线性科学的结果极大的推动并深化了系统科学 和系统工程定量化的发展耗散结构理论和协同学正是在2 0 世纪8 0 年代吸收了 非线性科学的成果而逐渐发展起来的，在理论上提高到了一个新的高度，而且非 线性科学还推动了2 0 世纪8 0 年代后期复杂性研究的兴起后来随着系统工程在 社会、经济、科学技术各方面广泛开展研究课题和进一步深入的应用，系统理谕 在基础研究上有了长足的发展如今，系统科学涌现了很多交叉学科，正在潜移 默化地拓展着人类的视野和改变着人类对世界的认识越来越多学科领域的科学 研究成果表明，系统科学必将在二十一世纪的科学中起到更重要的作用，它必将 以非线性为其基本工具，重新整合一个全新的世界观 1 2 非线性科学与混沌科学 在日益复杂的当今世界和社会生活中，人们不时有这样一种感觉：生活、社 会：自然界等等人们熟知的一切并不完全把握在人类手中，而且它们正在变得日 益复杂从数学的角度看，如果它们仅仅用非线性来描述，还是显得太泛，而且它 们似乎与混沌的杂乱无章很类似，其实事实也的确如此，科学上非线性学科领域 的研究表明：我们生活的世界的一切原本就是混沌的，并非偶尔如此，而是时时 刻刻都是如此新的科学理论还表明，人们、乃至整个社会对混沌的理解正在改 变着人们自身的生活和整个社会的结构，正如对我们生活的世界和我们自身的许 许多多原本就是非线性的理解不断深入一样，这里所说的非线性具体一点，它的 本质其实就是混沌 混沌是存在于一个确定的复杂系统中的一种类似随机的确定性行为( 即内在 随机性) ，它貌似无规则混沌的最大特点是系统的演化发展对初始条件十分敏 2 0 0 4 年上海大学硕士学位论文r - l 系统的动力学性质3 悟x = x a ( y - x ) m 。 方程的右端不显含时间，是一个完全确定的三阶常微分方程组，当其中参数a ，r ，b 满足一定条件时，其解为非周期的，很混乱，这是一个确定的耗散系统，也是一 个可以从确定系统导出混沌的典型实例，也正是它揭开了人类对混沌深入研究的 序幕与此同时，1 9 5 4 年前苏联概率论大师柯尔莫哥洛夫( k o l m o g o r o va n ) 也从 保守系统中一种近可积哈密顿( h a m i a l t o n ) 系统解的性质中得出混沌解 1 1 ，后来 在2 0 世纪6 0 年代初分别由阿诺尔德( a r n o l dv i ) 和莫赛尔( m o s ej ) 分别证明， 这便是k a m 定理，这样两者从不同的角度不同的类型的动态系统的长期演化中 2 0 0 4 年上海大学硕士学位论文 r l 系统的动力学性质 4 都得出了混沌后来法国天文学家伊农( h e n o nm ) 给出了h e n o n 映射 1 2 】， x n + + 。1 ：2 。1 。- i - 6 鲰一。i c ，。， 得到了一种最简单的吸引子，解释了几个世纪以来一直遗留的太阳系的稳定性问 题，1 9 7 1 年法国物理学家茹厄勒( r u e l ld ) 1 3 】和荷兰数学家塔肯斯( t a k e n sf ) 为 耗散系统引入了“奇怪吸引子”提出了新的湍流的本质【1 3 ，1 9 7 5 年，美籍华人学 者李天岩和美国数学家约克( y o r kj ) 发表了“周期3 解意味着混沌”f 14 1 的著名 文章。深刻揭示了从非混沌到混沌的演化过程，“混沌”一词也正式成为科学术 语1 9 7 6 年美国数学家梅( m a yr ) 1 5 】提出人口( 或虫口) 方程即著名的逻辑斯谛 克( l o g i s t i c ) 模型 。+ 1 = 卢z 。( 1 一。) ( 1 2 3 ) 当“在一定范围内变化时，它具有极为复杂的动力学行为，其中包含了分岔和混 沌，1 9 7 8 和1 9 7 9 年费根包姆( f e i g e n b a u m m ) f l q 等人在梅的基础上独立发现了倍 周期分岔现象中的标度性和普适常数，从而使混沌在现代科学中具有了坚实的理 论基础 2 0 世纪8 0 年代以来，人们着重研究系统如何从有序进入新的混沌及其混沌 的性质和特点，而外，还借助单( 多) 标度分形理论和符号动力学，进一步对混沌 结构进行了研究和理论总结再后来，随着自然界中一些混沌现象的相继发现， 科学计算机的广泛应用，分形科学得到深入的发展，然而它只是描述自然界中几 何上的不规则性，却不能完全揭示相应的结构和动力学性质。于是g r a s s b e rp 等 人于1 9 8 7 年提出重构动力系统的理论方法【17 l ，通过由时间序列中提出的分维和 l y a p u n o v 指数等混沌特征量使混沌理论进入到实际应用阶段由于科学界已经发 现混沌运动是存在于自然界中的一种普遍运动形式，很多学科都开始运用混沌方 法、系统理论开发课题，如2 0 世纪7 0 年代以来的非线性科学和统计物理的最新 发现【18 】表明，一个小的随机力并不仅仅对原有的确定性方程结果产生微小的改 变，而且它有可能产生出人们意料不到的结果因此，混沌与其他很多学科形成 交叉学科，它们相互交错、渗透，互相促进，综合发展，使得混沌在很多领域得到 广泛应用的确，实践已经充分证明，混沌研究在整个现代科学领域有着十分重 要的意义混沌科学的广泛应用和进一步完善肯定会为人类研究未来世界提供有 力的理论工具。 1 3 本文所作的一些工作 正是基于以上介绍，本文主要以著名的l o r e n z 系统作为典型代表，通过系统分 2 0 0 4 年上海大学硕士学位论文r - l 系统的动力学性质5 析的方法研究其动力学性质，所得到的结果揭示了系统动力学的一般演化规律， 即从简单到复杂的演化共性，如系统的动力学行为从周期分叉到混沌的演化本 文的具体工作介绍如下： 文章中，我们是在文献f 19 】对传统的l o r e n z 系统在r a y l e ! 曲数r 足够大的情 况下进行的一些变化和重标基础上进行研究的，经过变换以后，我们可以将系统 看成一类三维缓变系统，这类带有缓变量的系统在脑神经科学上应用很广，具有 十分重要的意义( 有关文献和介绍见【2 0 - 2 4 ) 我们称r o b b i n s 处理后的系统为： r o b b i n s l o r e n z 系统，简称为tr - l 系统该系统也就是我们本文所要讨论的对 象，本文运用缓变系统中的广义m e l n i k o v 方法讨论了其中的周期轨道和同宿轨道 的存在性，并讨论了振动型周期轨道的稳定性和分叉，重要的是，我们在得到该 系统的两条非横截对称性同宿轨道的基础上证明了其s m a l e 马蹄意义下的混沌性 质文献【1 9 】和【2 5 】中对该类系统的研究也是很深入的，但是我们发现文献【25 中 对系统的处理存在一定不足，本文对之进行了改进另一方面，本文用的是与文 献【1 9 】中的平均法不同的方法，但是得到的结果是一致的，这样从某种程度上也 验证了本文结论的正确性，而且这里用的方法在与文献【1 9 】解决相同问题的时候 相比简单了许多由此也可以看出，m e l n i k o v 方法在这类系统研究中的重要性和 有效性，而且就目前所知本文是首次运用严格意义上的分析方法证明了l o r e n z 系 统中存在混沌在讨论系统动力学性质的各章最后我们还给出了一部分结果的数 值验证 本文的整体框架如下：第一章，我们从系统科学的角度着眼，简要阐述了系 统科学、非线性科学、混沌科学之间的关系和研究意义以及与脑神经科学、生物 数学之间的交叉关系为本文的研究背景及研究价值作了铺垫；第二章，我们简 要介绍了本文所要用到的方法及其中方法的主要结果的严格证明，并给出了所要 用到的几个定理；第三章，我们重点给出了本文我们要讨论的r o b b i n s l o r e n z 系统 由l o r e n z 系统导出过程，并讨论了它的未扰动系统的相空间结构；第四章，我们 讨论了在r a y l e i g h 数足够大的情况下，系统中存在振动型周期轨道和旋转型周期 轨道的条件，并详细给出了振动型周期轨道的稳定性条件和各类分叉的条件，而 且我们还给出了振动型周期轨道的存在性、稳定性的数值验证，第五章，我们运 用广义m e l n i k o v 方法得出了系统存在两条非横截对称性同宿轨道的条件，并从分 析的角度严格证明了系统存在s m a l e 马蹄意义下的混沌性质，而且也给出了文中 得到的参数条件下系统的轨道相图第五章还给出了系统存在的周期轨道和同宿 轨道之间的一个重要的极限关系；第六章，我们简要总结了一下本文的内容，并 对本文中我们讨论的这类带有缓变量的系统和在本文中我们运用的广义m e l n i k o v 方法的未来前景进行了展望，但愿我们能够在本文的基础上使我们的研究领域深 入混沌同步和神经科学的一些研究中，我们将继续努力 2 0 0 4 年上海大学硕士学位论文 r - l 系统的动力学性质 6 第二章三维缓变系统的动力 学性质研究方法简介 堆羔嚣舅：慧瑟盘 ， 【j = e g a ( x ，y ，g ，t ，p ) 2 1 三维缓变系统中的周期轨道 2 1 1 周期轨道的存在性 假设系统( 2 1 ) 满足假设： ( a 1 ) 当e = 0 ，系统( 2 1 ) 可以看成平面单参数h a m i l t o n 系统： f = ( 州，z ) = 筹， 口= ，2 ( y ，z ) = 一百o h ，( 2 1 ，) 【( 毒= o ) 一 其中日为h a m i l t o n 量 2 0 0 4 年上海大学硕士学位论文 r - l 系统的动力学性质 7 ( a 2 ) 对于开区间t ， r e e 的每- , t - z 值，系统( 2 1 1 ) 均具有周期为丁( n ，z ) 的 单参数周期轨道矿2 0 一日) ( 其中l ( 2 ) ，l ( z ) 为r 中的某个开区间) ，并且t ( a ，= ) 关于o t 和= 都是可微的这样，当我们在全空间。，y ，。中观察系统( 2 1 1 ) 时，可 以发现它具有一个不变光滑圆柱体族。如图2 1 1 圈2 1 1 ：系统( 2 1 1 ) 在满足假设( 山) 时的相空间结构 为了方便对系统( 2 1 ) 的讨论，可以将其看成自治系统，那么我们可以通过定 义关于t 取模的函数西( t ) = t 来实现，由仇的周期性，我们得到 ( z ，m 毋) r 3 s 1 ( 2 删 系统( 2 1 2 ) 无论是对关于j i 独立的还是对与有关的玑均有意义 在此我们首先介绍一个有用的命题，令g ( z ) cl ( z ) 表示在z = c ( c 为常数) 的平面上满足周期轨道q 舭0 一口) 的周期t ( a ，z ) 是一致有界的n 的集合，我们令 t ( o ，z ) 的上界为常数 命题2 1 1 如果话。( t 一日) 是未扰动系统的周期轨道，其周期为t ( a ，z ) 0 ( 我们假定以上这三个表达式都是o ( 1 ) 的) 那么，对于充分小的非零正数e ，西= p + o ( s ) 是( 2 1 6 ) 的p o i n c a r 6 映射的一个h o p f 分岔值，且分叉出2 一维不变环面。 2 2 三维缓变系统中的同宿轨道 2 2 1 稆空间的结构 上一节我们讨论了三维缓变系统中周期轨道的动力学性质的研究方法，这一 节我们将介绍这类系统中同宿轨道的动力学性质的研究方法，我们在上一节假设 ( a 1 ) ，( a 2 ) 的基础上，进一步假定系统还满足假设( a 3 ) ( a s ) 对于开区间，r 每一个。值“平面”系统( 2 1 1 ) 具有连接双衄鞍点 的同宿轨道，那么当我们从三维相空间中观察时，系统( 2 1 1 ) 具有一个由单参数 平面族的鞍点集给出的一维不变流形具有二维稳定流形和不稳定流形( 分 别用w s 0 厂) ，w u 们表示) ，满足w s 0 厂) nw “0 ：) = f 是由平面系统的单参数族 的同宿轨道的并组成的而且我们假定是连通的，若否那么该假定分别适合 的每一部分并且，在假设( a 。) 中，还有l i m 。一。t ( a ，z ) = 。，且其中对于 ( a ，z ) ( 三( g ) ，) ，d 丁( o ，z ) d 0 2 0 0 4 年上海大学硕士学位论文r - l 系统的动力学性质 1 3 下面进行具体讨论：在上节我们得到空间r 3 s 1 上的扭扩系统( 2 1 2 ) ，其中 ( s 1 ( = r t ) 是通过函数咖( t ) = t ( 模t ) 定义的长度为t 的圆环，并且进而再由g i 的周期性得到系统( 2 2 1 ) 这里我们同样注意到该系统无论在甄与庐相关还是它关于独立时都有意义，其 实，该系统在满足假设( a 1 ) ，( a 2 ) 时就是系统( 2 1 _ 2 ) 在s = 0 时，我们用川； ( ，) = 咖表示通常意义下扭扩系统( 2 2 1 ) 的双曲不变集，见图2 2 1 图2 2 1 ：系统( 2 21 ) 的三维相空问结构 为了接下来讨论的必要，这里先给出以下命题： 命题2 2 1 如果存在e o 0 满足0 e 印1 ，那么存在一个双曲不变流形 可以表示成 4 ：= ( 7 ( z ，；e ) ，妒) = ( 1 ( 名) + o ( e ) ，) i 妒s 1 ，。j ) ， ( 2 22 ) 其中 m = ( 1 ( 2 ) ，咖) 1 7 ( z ) = ( z ( 。) ，9 ( 。) ，z ) ，f l ( x ，y ，。) 2f 2 2 o ， f 2 ，2 3 1 a ( a ，m a ( z ，) 1 1 ( ：) o ，咖s 1 , = j ) 、。 是通过隐函数定理得到的，并且- y ( z ，也e ) 关于z 和s 均为c 函数。而且，m s 具 有与m 0 ( ) 近的局部的稳定和不稳定流形，分别用啊s 。( m r ) ，w & ( m e ) 来表示一 22 sr 秽y q0 z z 可y扛 吼纰l+ + 力砷一玑玑州q 扛 州以孽；l = | i | | = ，、l 2 0 0 4 年上海大学硕士学位论文r - l 系统的动力学性质 1 4 在朋上所有点都是不动点然而在朋。上未必是这种情况下面的命题给出 了有关流m 。上的一些信息 命题2 2 2 对于充分小的e ，令五丽= v t 启卯( 7 ( z ) ，妒) 却并假定存在 知j 满足五i = 行；两= 0 ，( d d t ) 9 3 ( ，y ( z o ) ) 0 那么，7 ( 2 ，幽) ，妨= ( ，y ( z ) + d ( ) ，纠 是一个m 。上的周期为t 的周期轨道 如果卯不依赖时间，为了形象的描述出这种自治的情形，我们将在下面的横 截面： 如= ( 。，y ，2 ，咖) r ? s 1 i 咖= t o 【o ，t ) ) ( 2 2 4 ) 上导出流的性质在这种情况下我们将通过未扰动周期解任意逼近r ，这时需要在 川。的流上进行某个控制，这样我们假定( 7 ( z ) + d ( e ) ，毋) 是m 。上的双曲周期轨 道，因此，此时也存在扰动轨道毋“( t ，0 ) 满足命题2 1 1 2 2 2 同宿轨道的存在性 在这一部分里我们将讨论缓变振动系统中同宿流形r 的存在性。利用命题 2 2 2 ，如果我们想通过朋的稳定流形和不稳定流形得到与之0 ( s ) 近的m 。的稳 定流形和不稳定流形，这里我们对扰动系统中的同宿轨道采用类似于2 1 中的度 量i 皑( 一目) 一醛( 日) i ； 如一。，z o ) = 型型丑型鬻器铲监堂 = s 型型丑型鬻i ( 遨q o ( - o 学) ) l 业坐盟趔+ 。( a 。 li 。 s s 禚十。( 。 ( 2 2 5 j 其中”是通常意义的向量点积，”i l 是e u c l i d 范数，m ( o ) 是被定义的同宿轨 道的m e l n i k o v 函数 下面我们逐步计算m e l n i k o v 函数m ( o ) 的表达形式从几何学上考虑，p o i n c a r 6 映射的双曲不动点的稳定流形和不稳定流形之间的距离m ( o ) 是d ( a o ，o o ，z 0 ) 的t a y - l o r 展开式中关于的阶数最低的项下面我们具体计算系统同宿轨道的m e l n i k o v 函数： 合 酏日) = f l ( q o ( 一咧黼口) 一鼎目) ) 一f 2 ( q 。( 一吲讹口) 一粥口) ) ( 2 删 i ”( t ，0 ) 一3 ( t ，日) 这里要对 ，甄和它们的偏导数进行限制讨论，我们在前面已经假定未扰动向量场 2 0 0 4 年上海大学硕士学位论文r - l 系统的动力学性质1 5 是h a m i l t 。n 的，于是( 争+ 等) = 0 ，那么可以计算 a “0 ，0 ) = f l ( q o ( t 一口) ) 9 2 ( q 0 0 一日) ) 一h ( q o ( t o ) ) g l ( 如( 一日) ) + 脚铷( 卅卜 ”鲫碧( 删) 删 这里z ( ，口) 是通过解一阶变分方程的。部分 群( t ，0 ) = g a ( q o ( t 日) ，t ) ，t ( 一o o ，o ，( 2 2 8 ) 而得到的，方程( 2 2 7 ) 可以积分得到下式 毗旷州嘲0 ) _ 阻响+ ( 誓+ 丘竺a y ) 协，小( 2 。- 9 ) 类似的对a s ( t ，0 ) 我们可以得到 s ( 刚卜即= s o 。 ，1 卯嘞- + ( ，玺十，2 筹) 唰 ) k ( 2 。加) 这样根据命题2 2 2 ，口y ( ，0 ) 对于所有的时间都是有界的时候和在未扰动向量场 中靠近7 ( z o ) 时8 ( 。，d ) 和“( 一。，0 ) 均为0 或者指数趋近于0 ，类似的，当积分收 敛时，我们有 碧一，2 筹= 塑塑+ 筹一0 2 h 旦d t f ，望o z ) + 一0 2 h 毛( 2 2 1 2 0 y o x o zo x o zd to zo z 2 ) “抛 “8 w 1 a z 。 j 。 并日 ( 瓦o f l 一，2 苗) ( 邮叫) = 一扒d 瓦o h ( 舭叫) ) ， ( 2 肌3 ) 既然z = c ( c 是个常数) 在一条未扰动轨道上，那么由这个事实，可以发现 f o 。l 7 - 瓦c o f l 一，2 等) ( 口。( t - o ) z 冲，州t = 警( 卯( 一o 。) ) 硝( 一o o ，0 ，b 抛h ( 驰( 一。) ) z ? ( o ，p ) ( 2 。- 1 4 ) + 等( 础叫) 9 3 ( q 0 ( 川”冲， 咖m 盟曲 丘 盟如胁 印e 闭 辨。瑶 6 ： + 吨堕知 驰 z f 十 = 郇 m 2 0 0 4 年上海大学硕士学位论文 r - l 系统的动力学性质 1 6 0 x ( ，l 碧一，2 箦) ( 邮叫，咖沁，蹦t = 瓦o h ( 一o 。) ) z i ( 。，。) 筹( 口0 ( 一o 。) ) 。 ( 一。，目) ( 2 2 1 5 ) + ：。警( 郇叫渤( 种叫棚此 删) 2 仁o o ( ，1 卯一加油+ 笔卜既卅箬( 们( 一m 卜刚) 1 6 ) 一瓦o h ( 曲( 。o 黼o 。，目) + 筹( 们( 删z i ( o 。，口( 叩) 聊)2仁(胁觥+铷卜釉诽卅刚)(22肿)oh 一面( 口0 ( 。) 矧。，n 最后，根据 = o h o y ，丘= 一a h a x ，而且进行变换t t + 日，那么( 2 2 1 7 ) 可以写 ) = 仁( -，+ 一等训_ 5 m ( o v hg ) ( q o ( 0te ) d t ，9 3 ( q o ( t ) ，t + 8 ) d t ( 2 2 1 1 8 )