（系统分析与集成专业论文）严平稳过程条件密度非参数估计及其在风险分析中的应用.pdf

摘要 本文着眼于严平稳过程条件密度的非参数估计，在q 混合过程的假设下，从 理论上分析过程状态的条件概率密度核估计的误差问题寻找估计核函数的最 优带宽，并将其应用到解决风险时间序列的实际问题中 第二章以q 一混合严平稳过程为前提，研究条件概率密度核估计的偏和均方 误差，给出核估计的渐近最优带宽，并以s p 5 0 0 指数为例展示了计算结果部分 内容将在运筹学学报上发表 在此理论基础上，第三章和第四章分别用其解决不同的金融时间序列问题 第三章提出一种通过峰度和条件峰度，检验风险时间序列分布厚尾性的非参数 方法以s p 5 0 0 指数和上证综合指数的日收益率，以及g a r c h 模型的模拟数 据为例证实了方法的有效性部分内容已被上海大学学报( 英文版) 录用 第四章给出了在已知t 时刻之前的历史损益时，时刻的风险值估计所应满 足的方程，以及条件风险值估计的解析表达式再以s & p 5 0 0 指数为例，讨论t 时 刻之前的历史损益数据长度对t 时刻风险值和条件风险值的影响，并将算得的风 险值与由g a r c h 模型得到的风险值进行比较最后采取不同数量的样本对风 险值进行估计，结果表明方法是稳健的其结果已发表于上海大学学报( 自然 科学版) 关键词：非参数估计；条件概率密度；q 混合平稳过程；峰度；条件峰度；风险 值( v l r ) ；条件风险值( c v a r ) a b s t r a c t t h i sp a p e rf o c u s e so nn o n p a r a m e t r i ce s t i m a t i o nf o rc o n d i t i o n a ld e n s i t yo f s t r i c t l ys t a t i o n a r yp r o c e s s e s u n d e rt h ea s s u m p t i o no fa m i x i n gp r o c e s s ，a n a l y z e s t h ee r r o rp r o b l e m sf o rak e r n e le s t i m a t o ro ft h ec o n d i t i o n a lp r o b a b i l i t yd e n s i t y f u n c t i o nt h e o r e t i c a l l y , e x p l o r e st h eo p t i m a lb a n d w i d t hf o re s t i m a t ek e r n e lf u n c - t i o n ，a n da p p l i e si ti nr e a lr i s kt i m es e r i e s i nc h a p t e r2 ，t h eb i a sa n dm e a ns q u a r ee r r o rf o rak e r n e le s t i m a t o ro ft h e c o n d i t i o n a lp r o b a b i l i t yd e n s i t yf u n c t i o na r es t u d i e du n d e rt h ea s s u m p t i o no f a - m i x i n gs t r i c t l ys t a t i o n a r yp r o c e s s a na s y m p t o t i c a l l yo p t i m a lb a n d w i d t hi s g i v e n a n dt h er e s u l t sa r ei l l u s t r a t e dw i t hs & p5 0 0i n d e x t l l i sp a r tw i l lb e p u b l i s h e di no p e r a t i o n sr e s e a r c ht r a n s a c t i o n s b a s e do nt h i st h e o r y , c h a p t e r3a n d4u s ei tt od e a lw i t hd i f f e r e n tp r a c t i c e o ff i n a n c i a lt i m es e r i e sr e s p e c t i v e l y c h a p t e r3p r o p o s e sa n o n p a r a m e t r i cm e t h o d t ot e s tt h ek u r t o s i sa n dc o n d i t i o n a lk u r t o s i sf o rr i s kt i m es e r i e s w ea p p l yt h i s m e t h o dt os & p 5 0 0i n d e x s h a n g h a ic o m p o s i t ei n d e xd a i l yr e t u r n sa n ds i m u l a t e d g a r c hd a t at ov e r i f yt h ee f f i c i e n c y i ti sp a r t l yp r o m i s e db y 乃让m 口f 巧s h a n g h a i u n i v e r s i t y ( e n g l i s he d i t i o n ) u n d e rt h ea s s u m p t i o no ft h a tt h ey i e l ds e r i e si sa s t r i c t l ys t a t i o n a r yp r o c e s s ， a ne q u a t i o nw h i c ht h ev a ra tt i m etg i v e nh i s t o r i c a ld a t as h o u l db es a t i s f i e di s p r o v i d e di nc h a p t e r4 a tt h es a m et i m e ，a na n a l y t i cf o r m u l af o rc v a ri sa l s o b r o u g h tf o r w a r d w et a k es & p5 0 02 u sa ne x a m p l et od i s c u s sh o wt h el e n g t ho f h i s t o r i c a ld a t ab e f o r etw i l la f f e c tt h ee s t i m a t eo fv a ra n dc v a ra tt i m et ，t h e n c o m p a r et h ev a rb yo u rm e t h o da n dt h a tb yg a r c hm o d e l a tl a s t ，u s i n g d i f f e r e n tl e n g t ho fs a m p l et oe s t i m a t ec v a rs h o w st h a to u rm e t h o di sr o b u s t t h er e s u l t si nt h i sc h a p t e rw e r ep u b l i s h e di n 如m 越s h a n g h a iu n i v e r s i t y ( n a t u r a ls c i e n c ee d i t i o n ) k e y w o r d s ：n o n p a r a m e t r i ce s t i m a t e ， p r o c e s s ，k u r t o s i s ，c o n d i t i o n a lk u r t o s i s ， c o n d i t i o n a lp d f a m i x i n gs t a t i o n a r y v a r ，c v a r 表格 3 1 宠和危( 可) 的置信区间 3 2 插图 s & p5 0 0 日收益图1 9 最优带宽对数图2 0 核估计方法( 粗线) i 仵i a r c h ( 5 ) 模型( 细线) 分别估计的v l r 2 1 用不同方法由最近1 0 0 0 个观察值估计的s & p 5 0 0 日收益分布密度图 2 7 s & p 5 0 0 指数日收益分布的忌直方图3 0 s & p 5 0 0 指数日收益分布的危( 可) 直方图 3 0 上证综指日收益分布的詹直方图 3 1 上证综指日收益分布的完( 可) 直方图3 1 g a r c h ( 1 ，1 ) 模拟数据分布的危直方图3 2 g a r c h ( 1 ，1 ) 模拟数据分布的j 乇( y ) 直方图3 2 s & p 5 0 0 指数水平为9 0 ( 细线) 和8 0 ( 粗线) 的k ( 可；l5 ) 置信区间3 3 上证综指水平为9 0 ( 细线) 和8 0 ( 粗线) 的k ( ；z2 5 ) 置信区间 3 3 s p5 0 0 指数日收盘指数走势 4 0 历史数据的长度对v a r 和c v a r 估计值的影响 4 1 核估计方法估计的l r 与通过g a r c h ( 1 ，1 ) 估计的v a r 比较图 4 2 不同样本量下c v a r 估计结果比较4 3 1 2 3 l 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 2 原创性声明 本人声明：所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作。 除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已发 表或撰写过的研究成果。参与同一工作的其他同志对本研究所做的 任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 本论文使用授权说明 期：剑二；o 本人完全了解上海大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学 校有权保留论文及送交论文复印件，允许论文被查阅和借阅；学校 可以公布论文的全部或部分内容。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名：j 燃导师签名：哗日 期：曲3 s ? o 第一章绪论 随机序列模型在现代科学研究中具有广泛的应用，本文主要针对一类具有 各态历经性的随机序列，构造其条件密度的估计方法，研究估计量的性质，以及 在金融风险分析中的应用首先考虑几个引例 例1 1 对于风险收益分布的尖峰厚尾性质( 相对于正态分布) 已经有很多学术 文献进行了分析和讨论，如f 1 1 等风险收益的另一显著特征是其波动的不确定 性( 即异方差性) ，自回归条件异方差( a r c h ) 模型很好地描述了这一性质与传 统的时间序列模型( 诸如与正态分布相关的a r m a 模型) 不同，a r c h 模型2 1 所 描述的状态的分布呈现出一定的厚尾性这个模型中包含了时间序列波动的 不确定性，适合描述经济和金融学中具有较大不稳定性的异常大状态值但是 在应用a r c h 模型时，通常需要使用较高的阶数来拟合风险数据为解决此问 题，【3 1 和【4 】将a r c h 模型一般化，提出了如下，q ) 0 1 ，q o ) 阶的g a r c h 模 型( 当q = 0 时即为a r c h 模型) ： i 叉t2 巩白 ( g a r c h ) 0 2 = a o + 壹礁j + q 毋盯冬歹 j = lj = l 其中0 ( j = 0 ，1 ，p ) ，缈o ( j = 0 ，1 ，口) 为常数， 钇) 为标准正态白噪 声过程如果我们以峰度来衡量分布的尾部特性，容易证明x t 分布的峰度( 记 作，c ) 将比自分布的峰度( 记作k ) 大事实上， 那么 e ( 霹l 五呻，五一) = 0 2 e e ； = 仡砰( e ；) 2 = ( e ( 砰i x 叫，五一) ) 2 e ( x t ) = e ( e ( 霹i x , 叩，五一) ) k 。e ( 刀( x ? l x , 嘲，五一。) ) 2 k ( e 霹) 2 2 严平稳过程条件密度非参数估计及其在风险分析中的应用 上述最后一个不等式由j e n s e n 不等式得到，因此 i q , = 器吲3 = i 去 k p2 ( e 研) 2 一。 即x 具有尖峰厚尾性但是在给定历史数据 x t 一七，k 1 ) 的情况下，k 的 条件4 阶矩与条件2 阶矩平方的比值( 我们不妨称其为条件峰度，具体定义见 第三章) 等于 e ( 碍i 五一七，k 1 )吒4 d 巴4 t ( e ( 砰i 五幽k 1 ) ) 2( a 2 e 6 2 ) z 它表明，在已知历史数据 五一南，k 1 ) 情况下，五的条件分布的尾部与的 尾部相似，因而我们希望了解历史信息如何影响未来五分布的特性a r c h 和g a r c h 模型属于参数模型，假如去除人为的模型假设，自然的问题是：在更 一般的假设下，对于一个具体的风险时间序列，下列问题的答案是什么 1 风险收益的分布是否具有厚尾性? 即峰度大于3 吗? 2 历史信息能否降低未来风险? 即无条件峰度比条件峰度的值大吗? 3 附加信息是否可以使分布的尾部类似于正态分布的尾部? 即条件峰度等 于3 吗? 4 历史信息如何影响未来状态7 即历史数据的长短与条件峰度之间存在怎 样的关系? 如果已知序列的条件分布，则序列的上述峰度和条件峰度指标便容易计算出来， 也就能给出上述问题的答案 例1 2 设x 是风险投资的收益，并假设 五，t n ) 为一严平稳随机过程，其概 率密度存在记( 五一p ，x t 一1 ) 的概率密度为： h ( x t p ，x t 一1 ) 它与时刻t 无关文献【2 5 】提出了金融序列咒在时刻亡的水平为q 的风险价值( v a r ) 的 定义： v a r a ) = 一i n f 钞ip ( x t 钉ix t 一七= z t k ，k 1 ) q )( 1 1 ) 第一章绪论3 为了便于统计分析，本文将上述定义修改成，对于固定的阶蜘，在给定历史数 据z t 一1 = ( z t p ，x t - 1 ) 下的水平为口的风险f f r 直： v a r a ( x t 一1 ) = 一i n f 可ip x t l 五一p = z t - p ，五一1 = x t - 1 q ) ( 1 2 ) 如果五的条件分布函数p 咒ui 五一p = 兢一p ，五一1 = x t - 1 ) 为严格单调递 增，并且条件概率密度 氏州机z ) = 锗 存在，那么v a r a ( 兢一1 ) 为满足下列方程的唯一解： e 蹦规q 错如= 。 或 ，一v 哦口( t 一1 ) f p + l ( x t “x ) d x = q 厶( 甄一1 ) - ，- - 0 0 ( 1 3 ) 而条件风险价值( c v a r a ( z c 一1 ) ) 表示在损失超过v a r a ( z 。一1 ) 时的平均损失， 即 c v a r nx t 一1 ) = 一e ( 五i 一五v a r y ( z , 一1 ) ，z t 一1 ) ( 1 4 ) 同样，如果已知序列 五 - 的条件分布，则上述风险值帆( 觋一1 ) 和条件风险 值c v a r a ( x t 一1 ) 也就容易得到了 上述两例的解决归结为如何寻找序列条件分布的问题事实上对于一般 的平稳随机序列，如果得到一个好的条件分布，很多问题都将能够解决比如在 关于随机序列 k ) 的预测问题中，通常是在给定历史信息 虬，k t ) 条件下，预 报t 时刻以后的状态五- i - t x = 日( 五一1 ，五一2 ，) + 鼠 其中日( 砚一1 ，砚一2 ，) = e ( x t i z , 1 ，砚一2 ，) ，包为t 时刻的随机扰动，且与 玩，k l ( x l ；t t 一1 ，x t 一2 ，) 4 严平稳过程条件密度非参数估计及其在风险分析中的应用 进行计算： h ( x t 一1 ，z t 一2 ，) = e ( x t l x t 一1 ，z t 一2 ，) = x d f x tj 托一k ，k i ( t i x 一1 ，x t - 2 ，) ，r 除此之外，通过条件分布取。 x t 砘七 1 ( z k 一1 ，规一2 ，) 还可以计算未来t 时 刻的其它指标，例如金融风险分析中对未来风险的区间预测与分析等事实上， 指标预测范围( 预测区间) 和数字特征的预测一直都是许多研究领域的两大重要 预测问题 5 1 1 6 1 f 7 1 ，这类问题往往要基于条件分布来解决一般而言，预测的分布 是非正态，甚至未知的因此在对序列的分布知之甚少的情况下，可以通过非 参数方法得到条件概率密度函数的估计。而估计的精确度将直接影响到预测的 精度 8 】中介绍了关于条件分布核估计量的b e r r y - e s s e e n 界，不过其研究的样本 并非一组相关随机序列，而是独立同分布的尽管 9 1 对核估计相合性的讨论基 于混合过程，但其重点是概率密度函数而非条件概率密度函数1 0 1 则主要探讨 了妒平稳过程下条件密度双核估计的强极限的收敛速度 因此本文将着眼于严平稳过程条件密度的估计，计划在q 混合过程的假设 下，提出序列条件密度的非参数估计方法，从理论上分析该方法的误差问题，并 给出其在金融风险分析中的一些应用本文的主要工作为： 1 首先从理论上分析q 混合过程核估计量的偏，方差和均方误差，并在极小化 全局均方误差的准则下，给出核估计的最优带宽该部分工作已被运筹 学学报录用： 2 提出条件峰度的概念，运用上述条件密度的核估计量，构造金融时间序 列峰度和条件峰度的检验方法具体针对s & p 5 0 0 指数，上证综合指数 以及g a r c h ( 1 ，1 ) 模拟数据分布的尾部进行了检验，回答了例1 1 中提出 的4 个问题该部分的工作已被上海大学学报( 英文版) 录用； 3 运用本文提出的条件密度的核估计方法，构造了金融时间序列的风险值与 条件风险值的计算方法通过s & p 5 0 0 指数的计算实例，表明本算法所得结 果与由g a r c h 模型算得的结果基本一致，但具有较小的波动该部分的 工作已发表在上海大学学报( 自然科学版) 1 3 ( 6 ) ，2 0 0 7 ，p p 7 2 0 - 7 2 5 第二章密度估计的误差分析及最优带宽选择 本章第2 2 节将给出描述有限维概率密度函数核估计的期望和方差的两个 结论在此基础上，第2 3 节将提出条件概率密度函数估计量的偏和均方误差最 后一节通过实例解决带宽的最优选择问题 2 1条件密度核估计量构造 设 五，t n ) 是一严平稳序列，其m 维概率密度函数为厶( z l ，z m ) 对 于给定五一1 = y ，我们估计其条件概率密度函数：( 记x 一1 = ( x t p ，x 一1 ) ， z 一1 = ( 一p ，x t - 1 ) 7 ，y = ( y l ，蜘) 7 ，其中p 为给定正整数) 觚- 1 ( 咖) 2 铹铲 ( 2 1 ) 若 咒，t n ) 的样本观察值x l ，z 已知，对( 2 1 ) 的估计则转化为首先估计 其( p + 1 ) 维概率密度函数f p - t - 1 ( 可，z ) ，( y ，z ) r p + 1 ： 觚加南善k ( 竿) 垂k ( 字)鼬舭) 2 南善k ( 宁) 驵k ( 产) 其d p k ( ) 是满足下列条件的核函数： 1 ) k ( z ) 是一维概率密度函数，即 ，+ g ( x ) 0 ，且k ( x ) d x = 1 ，一 2 ) k ( - x ) = k ( z ) 3 ) 对任意0 z y ，g ( x ) k ( y ) 对( 2 2 ) 关于z 积分，得 厶白) f + o o 矗+ 1 ( 影，z ) 如 ，一 高渺n - p 疆pk ( 字)而渺疆k ( 虻) ( 2 2 ) 6严平稳过程条件密度非参数估计及其在风险分析中的应用 因此，( 2 1 ) 的核估计为 晟胆( 咖) = 丢 一pp k ( 宁) nk ( 芈) i = 1 j = l n - p 兀p ( y j - - z t + j - i ) ky j - - z ；+ j _ 1兀 i = 1j = l 2 2 m 维密度估计的期望和方差 ( 2 3 ) 本章的研究目的是分析核估计量( 2 3 ) 的偏和均方误差我们将以( 五，x n ) 为样本，首先讨论m 维概率密度函数核估计量 厶( x l ，z m ) = 的期望和方差 ( 一m + 1 ) h m 一m + 1t n n i = i 歹= lk ( 等净) 引理2 1 如果厶( z 1 ，z m ) 的二阶偏导差，l ，j = 1 ，m 存在且有界，并 在厶的内点( z 1 ，z m ) 连续记p 2 ( k ) = = z 2 k ( x ) d x 2 ) 的q 一混合过 程【3 3 】 a 2 ：v k 1 ， a 1 ，j ，五n + b ，x 2 。一1i i = s u p a 1 ，蜀。，j + ，x 2 。+ 一1x l ，x 2 m ) ( z l ，z 2 m j 有界，且该界与k 无关 引理2 3 的证明中将用到以下引理，该引理的证明可参见 1 1 】 引理2 2 若对某些p ，q 1 , 1 p + 1 q 1 ，有e ( i x i p + i y l q ) 0 0 ，则 c o v ( x ，y ) l 0 1 r ( e i x i p ) 1 p ( e i y i q ) 1 g 其中r = ( 1 1 p l q ) 一1 ，q = 分别是由x 和y 产生的盯玳数 s u p a 盯( x ) ，b e a ( y ) ( 2 5 ) p ( a ) p ( b ) 一p ( a b ) i ，盯( x ) 和盯( y ) 甜 荸 引理2 3 其中i i k 旧= 丘k ( u ) d u 证明易见 d 厶( z 1 ， l z m ) ( 一m + 1 ) 2 h 2 m 2 n mn i = 1j ，j , x j y h _ o 时，九m o o 则矗的方差为： 学暑坐监+ 。( ( m ) 一t ) ( 2 6 ) 1 ) h m ( 一m + 。弋r77、7 i c n - r n + l ( d l i = l m ( k 七= 1 ( ，血k ( i 詹= j 我们注意到击e 亘k ( 生鲁丝) = 我们注意到击e 兀( 笙学) = 因此 去。( 1 厂 一h m 上。 1 厂 一_ i 允m 、i z 七一j 毛+ 七一1 九 z 七一五+ 七一1 0 ( 1 ) 且 型h 垫) ) l 一 ) ) + 血k ( ， k = l ) 厂m ( 鼠，岛) 必 一x t + j 一1 ) ) 2 z k x j + k 一1 上。垂职训肺，伽”甜胁删 上。垂k 2 ( 仳七) ( 厶( z ，z m ) + 。( ) ) 砒- 砒仇+ 。( m ) 厶( z 1 ，x , 。) i l k i t 2 , n + o ( h ) 攀鲁地坐+ 。( ( m ) 一t ) 1 ) h m( 一m + v 、77 z 七一五+ 七一1) ) ) ) ) 行 = a j 乙 z 件 ：、 条 研攀刚 仉c 一一 堡 ，兰、几一一 一 盘 k k k ，t 上d m耻等m冀纠 仇n 黼一试斋 i 一 再令k 1 m ，则 k ( 鳖 n - m - k 1 + 2i + k l - 1 m 咖( n i = 1 j = i - l - 1七= 1 ink ( k = l z 七一) 已+ 七一i k ( 等竽) ，k f l = lk ( 董+ 3 登1cov(垂k(半xk-ai+k_1hi=n-m-klj = i + 1 ) ff f 丌f 一1 -i ，、工工、， + 3七= 1 、7 ) ) z k x j + k 一1 肛1c伽iik(半)，1m7ki-i j = i + k lk = l ( 伽( 生字坚) ，( 七= 1 、7、 因为 c 铡( 半 七= 1 、 上：。 ) ，亘k ( 垂k ( 学) k ( 华 ) ) z 七一+ 七一1 z 七一j 0 + 七一1 五x ，玛讲l ，玛- i + m ) ( 1 i ，岛一i + 1 ，白一件仇) 蝎略州蚺+ m + 去k - - - - 1k ( ) ) z 七一五+ 七一1 x 。，局一件。，玛一件。) i i + ( ，仇( z 1 ，z m ) + o ( h 2 ) ) 2 + ) ) ) ) ) ) 2 + ( 2 7 ) 仇脯 仉c 一一 汹 卒 k 仇胁 1 丽 1 丽 一九 一危 2 m 根据引理2 2 中( 2 5 ) 得到上述不等式 连续运用h s l d e r 不等式，得 ( e熹) 詈( e i u l , z 1 6 ) 。( e 2 妒 8 ( y ) = 一s 舛1 ，升1 一 + ( ( 8 t ( v 2 8 刑- 1 p i - 1 ( z + s i ，p + 1 s p + 1 卅1啊2 ) ) 2 ) s 0 1 1 ， s p + 1 ，p + 1 8 0 1 可 聃1 ，p + 1 ) ) ) ) 砖 a 丛聃 磅一升 一s ， p 汹 1 8 严平稳过程条件密度非参数估计及其在风险分析中的应用 2 8 p + l , p + l ( x + 8 0 1 可8 p + 1 ，p + 1 ) ，记啦 ! s 卅1 ，p + 1 8 p + 1 ) 7 可，在i r m a 2 关于z 积分得 姚= 挈厚 ，f 舛1 j 一li = 1 、 i ( 舛5 ) ( 2 i i ) 钆钳仁 湍 川谢 。 s 8 厂g ( p 商 、-、砷 ，一，f一 第二章 密度估计的误差分析及最优带宽选择 1 9 其中= ( ) 1 ) 1 ) 可以通过中心化后的样本观察值z 1 ，z 估计得到： f y i j - - z 七z 七+ j i歹i ( 2 1 2 ) ， o ) ，k ( z ) 满足第二章第2 1 节中关于核函数的三个 假设 引理3 1 若p 七= 丘x k k ( x ) d x o 。，由核估计量p 砂估计得到托的阶矩为 其中如奶阶样本矩? 注意，对奇整数j 有如= 0 知 口七= 碟心a j = o n 1 如2 丙癣 1 2 1 ( 3 3 ) 证明 特别地， 。一上以( z ) 出 j = o n l = a 1 ；n 2 = a 2 + t t 2 h 2 ；a 3 = a 3 + 3 p 2 a 1 h 2 ；a 4 = a + 6 p 2 a 2 h 2 + # 4 h 4 由峰度的定义容易得出如下定理： 定理3 2 假设p 4 存在，基于p 纠的峰度k 的估计量是 k2a 4 4 a l a 3 + 6 a 2 1 a 2 3 0 ( a 2 一o ；) 2 是+ 警( 3 一是) 肌呷4 ) 其中鼠：斋n ( x a 1 ) 七，七：2 ，4 t = 1 口 ( 3 4 ) ( 3 5 ) 证明根据峰度定义，( 3 4 ) 明显为真下面证明表达式( 3 5 ) ( 3 4 ) 式的分子部分 严平稳过程条件密度非参数估计及其在风险分析中的应用 为： a 4 4 a l a 3 + 6 a i a 2 3 0 ； =a 4 + 6 p 2 a 2 h 2 + p 4 4 4 a 1 ( a 3 + 3 # 2 a l h 2 ) + 6 a ；( a 2 + # 2 h 2 ) 一3 a ； = 山一4 a 1 a s + 6 a ；a 2 3 a ：+ 6 p 2 ( a 2 一a ；) h 2 + p 4 九4 = 玩+ 6 p 2 岛 2 + # 4 h 4 ( 3 4 ) 中分母的倒数为： ( 凸2 一o ) - 2 = ( a 2 + p 2 h 2 一a ；) 一2 = ( 岛+ p 2 h 2 ) 2 = 壶( 1 + 纠川 = 去( 1 一鬻九2 ) + d ( 所以由方程( 3 4 ) 得， 名= 6 肥料。，媳( 1 一警九2 ) 圳) = 壶( 玩+ 警( 3 b ；一玩) 2 ) + 呷4 ) = 是+ 警( 3 一是) h 2 + o ) 口 如果将b 4 b ；记为走o ，意味着当( x 1 ，) 为独立同分布样本时，岛就是 峰度的估计量于是j 宅= + 2 p 2 2 ( 3 一惫o ) 疡+ o ( h 4 ) ，或走一3 = ( 岛一3 ) ( 1 2 p 2 h 2 b 2 ) + o ( h 4 ) 若取最优带宽h = v - b 丢2 ( 3 n 4 ) - 1 5 ，其中k ( z ) 为g a u s s 核 2 5 】， 那么惫一3 = ( 岛一3 ) ( 1 一( 而3 ) - 2 5 ) + o ( n - 4 5 ) ，此式说明对于n 8 ，名总是 比更接近于3 ，而对于足够大的n ，孟 下面以s & p 5 0 0 的日收益( 从1 9 5 0 年1 月4 日至u 2 0 0 7 年6 月2 8 日，总观察值达 至i 1 4 4 6 3 个) 为例，进一步阐释以上结论若取最近1 0 0 0 个观察值1 用公式( 3 。4 ) 计 1 本章所有一维概率密度核估计均选定k ( z ) 为g a 璐b 核，h = v f 瓦- 2 ( 3 n 4 ) - 1 5 为最优带宽 第三章峰度与条件峰度的非参数推断 2 7 算峰度，得到孟= 3 7 5 6 7 ，超过3 2 图3 1 显示了正态假设下的估计密度( 虚线) 以及 核方法( 3 2 ) 的估计密度( 实线) 该分布可能具有尖峰性第3 2 节将用随机模拟 方法【2 4 】证明此结论 图3 1 ：用不同方法由最；i 丘1 0 0 0 个观察值估计的s & p s 0 0 日收益分布密度图 3 1 2 条件峰度k ( 掣) 的估计 考虑在历史数据x t ，p = 可给定的情况下，未来状态五+ t 的条件密度为 f x t + r l x t , v 川炉学 对于严平稳过程 五，t n ) ，可以得到以上样本数据为x 1 ，x 的条件 密度核估计首先， ，n - p - t + 1p & t ，p ，凰一秒一2 矿南 玩( z x + p + t - 1 ) j n = l 玩( 协一五埘1 ) ( 3 6 ) 2 硒= 3 8 6 7 7 严平稳过程条件密度非参数估计及其在风险分析中的应用 然后，在r 中对a 件t ，x t p ( 秒，z ) 关于z 积分得 a 却( 秒) =n p t - 4 - 1 一p t + 1p 结合( 3 6 ) 和( 3 7 ) ，得到a 件? l x 抑( z 1 秒) 的估计量： 其中 r p t + 1 氏刊瓦p ( z i 可) = t = 1 叫l ( ；t ，p ) k ( z 一五+ 升t 一1 ) 毗( 秒；t ，p ) 或简记为毗( 可) = 与引理3 1 类似，有 p 兀( 协一五钾一1 ) j = 1 n - p - t + ip 兀玩( 协一虬可一1 ) k - - i j = 1 引理3 3 由核估计量p 矽得到五的条件k 阶矩估计是 或简记为 其中 a k ( y ；t ，p ) =c ：h j # 3 a 七一j ( 可；ep ) 七 钒( 可) = 嚷助a j ( 可) j = o 如( 可；t ，p ) = 如( 可) = 一p t + 1 毗( 可；zp ) 霹卅t l 所以，对于未来五分布的条件峰度我们有以下估计 定理3 4 设p 4 存在，基于p 砂，托( 可；t ，p ) 的条件峰度估计是 =器舞i蒜赢(3一豢舞)h2+0-4-tp b 2tptp ) = ? - - 一 一ll一二 - ，。l 磁( 可；，) ( 可；，) ”b ；( 可；，) 、“， 其中风( 可；t ，p ) n - p - r + 1 = 伽t ( 秒；t ，p ) ( 五+ p + t 一1 一a 1 ( 秒；正p ) ) 七，k = 2 ，4 i = 1 ( 3 8 ) ( 3 9 ) ( 3 1 0 ) ( 3 1 1 ) 乃 以 k 一 泐 博 斟 伽 甜 丝 l 一眈 瑞 丝砰 力坐江型咖业 第三章峰度与条件峰度的非参数推断 同样以s & p 5 0 0 收益样本为例，来证实条件峰度的计算在此考虑p = 5 天的 历史信息：y = ( 一0 0 1 3 0 ，- 0 0 0 3 2 ，一0 0 0 3 2 ，0 0 0 9 0 ，- 0 0 0 0 4 ) 如何影响未来收 益分布的尾部在( 3 1 0 ) 式中，令t = 1 ，样本数据仍是最近1 0 0 0 个观察值，得到 给定可的条件峰度为惫( 可；1 ，5 ) = 2 4 8 5 2 ，这个值小于并接近3 ，说明给定历史信 息9 可以减少未来不确定性第3 2 节还将通过统计检验证实这些判断，并回答 第一章例1 1 中提出的所有问题 ( 兰+ 。耋+ 2i ! i 妻1 ) c 3 1 5 ， 严平稳过程条件密度非参数估计及其在风险分析中的应用 这样，如若札( 可；t ，p ) 3 3 2 历史信息能够降低未来风险，即峰度k 比条件峰度k ( 可；t ，p ) 大 3 附加信息可以使较近的未来分布的尾部与正态分布的尾部相似，即条件峰 度仡( 可；1 ，p ) = 3 4 较远的未来状态受历史数据影响很小，即t 增大时，条件峰度仡；l p ) 难 以确定 严平稳过程条件密度非参数估计及其在风险分析中的应用 尽管这里是用一些特殊风险序列来检验本文的猜想，然而本章所提出的方 法适用于分析任何具有较少前提假设的金融序列( 只要求平稳的假设) 第四章金融时间序列v a r 和c v a r 的非参数计算 随着近年来金融危机的频繁发生，正确认识金融风险，对其进行分析、预测 和调控已经成为金融界日益重视的课题为了定量地描述和控制风险，历史上 曾提出过许多不同的风险衡量方法m a r k o w i t z 在【2 8 】中用收益率波动的标准差 来衡量风险在此基础上s h a r p e 又提出了单一指数模型 2 7 】，用所研究对象的收 益变化关于市场收益变化的敏感度( 1 p b e t a 系数) 来描述对象相对于市场的风险 无论是标准差还是b e t a 系数，其本质都是用波动性来衡量风险而波动性只能 描述收益偏离平均收益的程度，这种偏离可以是负，也可以是正实际中风险通 常也只被认为是损失的不确定性，即只关注负偏离，而与盈利无关所以用波动 性来描述风险存在着损失和盈利起着对称作用的缺陷 第一章的引例1 2 则引入了描述风险的另一种量风险值 2 9 1 风险 值( v a l u ea tr i s k ，v a r ) 是最近几年发展起来并颇受重视的一种风险度量标 准，它表示在正常的市场环境下，以及一定的时间区间和置信水平下某一资产 或资产组合可能遭遇的最大潜在损失与传统风险度量的手段不同，v a r 完全是 基于统计分析基础上的风险度量技术其原理是根据资产组合价值变化的统计 分布，直观地找到与置信度相对应的分位数，即